SKKN hƣớng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI

PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ
Tốn học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Tốn
học khơng chỉ cung cấp cho học sinh (người học Tốn) những kỹ năng tính tốn
cần thiết mà cịn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lơgic, một
phương pháp luận khoa học.
Trong dạy học Tốn thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải
bài tập Tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng
đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học
sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về
phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Tốn trong đó có các
bài tốn về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh
phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh.
Bài toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến thức rộng, đặc
biệt là với học sinh THCS. Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy khi dạy tốn bất
đẳng thức đó là: Bất đẳng thức Cơsi là một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi
trong việc chứng minh bài toàn bất đẳng thức và cịn ứng dụng trong giải các
dạng tốn khác, tuy nhiên học sinh có hiểu biết về bất đẳng thức này cũng như
những ứng dụng của nó rất hạn chế. Trong các kì thi học sinh giỏi học sinh
thường mất điểm đối với các bài toán liên quan đến bất đẳng thức.
Vì vậy: Để giải góp phần quyết vấn đề này, mặt khác nâng cao năng lực
giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, chúng tôi đã chọn
đề tài:" Hƣớng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CƠSI"
nhằm trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về kỹ thuật sử dụng và các
ứng dụng của bất đẳng thức C, đặc biệt là với các học sinh khá giỏi. Từ đó khi
các em tiếp xúc với một bài tốn, các em có thể chủ động được cách giải ,chủ
động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài tốn, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
Qua những bài toán về về bất đẳng thức mà học sinh đã giải được, tôi định
hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài
tốn đó. Bằng các hình thức như:
Kiểm tra cách làm. Xem xét lại các lập luận, xem lại kỹ năng áp dụng Bất
đẳng thức Cơsi trong bài đó.

-

Nghiên cứu, tìm tịi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:
Liệu các bài tốn ở dạng khác có thể sử dụng Bất đẳng thức Cơsi được hay
khơng? Có thể khai thác giả thiết bài toán như thế nào cho phù hợp? Các dạng
của Bất đẳng thức Côsi được sử dụng trong mỗi bài tốn có mối liên hệ như thế
nào với nhau? Mỗi bài toán đã giải được cũng như một kiến thức toán học sử
dụng trong bài toán đó liệu có thể sử dụng để giải các bài tốn khác hay khơng?
-

1


Trong đề tài này, chúng tôi xin minh hoạ một số kỹ năng sử dụng bất đẳng
thức Cosi, thấy được các ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong việc giải các
dạng toán khác. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong
học tốn nói chung và trong bất đẳng thức nói riêng. Từ đó, giúp học sinh tự tin,
tích cực, sáng tạo hơn trong học tốn; giúp học sinh thêm u thích, nâng cao
chất lượng, kết quả học tập mơn tốn.
PHẦN II- NỘI DUNG
A. THỰC TRẠNG, MỤC ĐÍCH VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1.

Thực trạng của vấn đề.

Khi giảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tơi thấy học
sinh cịn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập, hay định hướng cách làm,
đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình.
-

Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,
phân tích đề tài mở rộng bài tốn mới dẫn đến khi học sinh gặp bài tốn khác
một chút là khơng giải được.
-

Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức khơng liền
mạch, phương pháp giải hạn chế, các bài tốn bất đẳng thức thường khó, phải áp
dụng các kiến thức khó như: quy nạp tốn học, phản chứng,... nên học sinh hay
ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài tốn
khó như cực trị, hàm số,...
-

2.

Mục đích nghiên cứu.

a. Đối với giáo viên:
-

Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy.

-

Làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.

b. Đối với học sinh:
Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung và việc giải bài tập về chứng minh
bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng
cao năng lực học mơn tốn giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo
và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.

-

Bồi dươngc năng lực toán cho học sinh, khắc phục một phần hạn chế trong các
kì thi học sinh khá giỏi.
-

Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải tốn bất
đẳng thức trong q trình dạy học.
-

Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các kỹ thuật sử dụng bất đẳng
thức Côsi và ứng dụng của bất đẳng thức trong giải các bài tập toán liên quan.
-

2


Thơng qua việc giải các bài tốn bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục
đích của việc học tốn và học tốt hơn toán bất đẳng thức.
3.

Phƣơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại
trường. Nghiên cứu qua mạng Internet.
-

Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp.

-

Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp.

4.

Kết quả cần đạt.

Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Cơsi với
trình độ nhận thức của học sinh THCS.
-

Trang bị cho học sinh một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Côsi trong chứng
minh bất đẳng thức.
-

Rút ra một số nhận xét và chú ý khi sử dụng các kỹ năng đó.

-Thấy được vai trị to lớn của bất đẳng thức Cơsi trong giải các bài tập tốn
khác. Vận dụng giải tốn bất đẳng thức Cơsi vào giải tốn cực trị, giải một số
phương trình dạng dặc biệt.
B. GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC COSI
1.

Giới thiệu bất đẳng thức Côsi (CAUCHY).
Nếu a1, a2, ….., an là các số thực không âm thì
a1

Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình
cộng và trung bình nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức
này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic

mean và GM là viết tắt của geometric mean)
nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người
Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức
COSI(CAUCHY). Thật ra đây là một cách gọi tên khơng chính xác vì Cauchy
khơng phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một
phép chứng minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình
sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Côsi.
Ở

Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần
lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức
và cực trị. Trong phạm vi chương trình Tốn THCS, chúng ta quan tâm đến các
trường hợp riêng của bất đẳng thức Côsi.

a2


3


2.

Các quy tắc cần nhớ khi sử dụng bất đẳng thức Côsi

Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta
có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định
hướng cách giải nhanh hơn.
Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trị rất quan trọng. Nó
giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải.
Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán

cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù
một số bài khơng u cầu trình bày phần này.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính
xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất
đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu
“=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.
Quy tắc biên: Đối với các bài toán bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc thì dấu
đẳng thức thường đạt được tại vị trí biên.
Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trị của các biến
trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các
biến đó bằng nhau. Nếu bài tốn có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra
dấu “=” xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể.
3. Một số dạng bất đẳng thức Côsi
a. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số )
x, y 0 khi đó

x

x
x

1

1
x

y


4

b. Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm
Cho x1, x2, x3 ,...,xn khơng âm ta có:
Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x 1

x2

...

xn

C. Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Cơsi
1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Chúng ta biết rằng bất đẳng thức Cơsi là bất đẳng thức liên hệ giữa trung
bình cộng và trung bình nhân.Vì vậy trong chứng minh bất đẳng thức chúng ta
thường sử dụng biến đổi từ tổng sang tích, việc biến đổi này chính là đánh giá từ
trung bình cộng sang trung bình nhân. Dưới đây là một số ví dụ thể hiện sự đánh
giá đó.
Ví Dụ 1.1: Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng:
a 2b

2

b

c

2

2

c

2

a

2

Phân tích : Trong bất đẳng thức trên thì vế trái là tích của các tổng các số khơng
âm, ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho mỗi tổng
và nhân các kết quả theo vế với vế.

Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2
a2
b2
c2

Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
a2

b2

b2

c2

c2

a2

8|a2b2c2| 8a2b2c2

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.


Chú ý: - Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều ( kết quả được bất
đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.

5


- Để ý rằng ta dùng cách viết: x2 + y2 2
âm hay dương.

x2y2=

2|xy| vì x, y khơng biết

Nói chung ta ít gặp bài tốn sử dụng ngay bất đẳng thức Cơsi như bài
tốn nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi
mới sử dụng bất đẳng thức Cơsi.
-

Ví dụ 2.1: Cho các số dương a, b thỏa mãn

Chứng minh rằng:
ab

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh nhìn đơn giản nhưng các biến có sự
ràng buộc, nên trước khi chứng minh ta cần phân tích giả thiết để tìm ra sự ràng
buộc đơn giản hơn giữa các biến và trong phép phân tích này ta vẫn sử dụng sự
đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2

Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Côsi một lần nữa, ta được
a

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =1
Ví Dụ 3.1: Cho các số thực dương không âm a, b. Chứng minh rằng:
a

Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2
a

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.


Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho các
ví dụ sau đây.

6

Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng :
3

1

a

1

b

1

c

1

3

abc

Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng
không âm. Ta có:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra
Ví dụ 5.1: Cho các số thực dương a , b ,c , d Chứng minh rằng
a

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

a

Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Cơsi dạng

ab

Từ đó bằng cách đơn giản cả hai vế của (1) cho
được ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


7


Nhận xét: Có thể nói đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là kỹ
thuật sử dụng bất đẳng thức Cơsi cơ bản, nhưng địi hỏi mỗi học sinh khá, giỏi
đều phải nắm được trong chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên không phải bất
đẳng thức nào cũng chứng minh được bằng cách đánh giá này. Vì vậy ta tiếp tục
hướng dẫn học sinh tìm hiểu tiếp kỹ thuật tiếp theo.
2. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Nếu như đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là đánh giá
từ tổng sang tích, hiểu nơm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh
giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng là thay dấu a.b bằng dấu a + b. Và
cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu
hết biến, chỉ còn lại hằng số. Dưới đây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật đánh giá
từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Ví dụ 1.2: Cho a, b, c là các số thực dương.Chứng minh rằng:
ab

cd

a

c

b

d

Phân tích: - Nếu giữ ngun vế trái thì khi biến tích thành tổng ta khơng thể
triệt tiêu ẩn số nên ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng
minh, sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số.
Dấu “ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng bất đẳng thức Cơsi thì ta phải
đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
-

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng

ab
ac bd

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra
Ví dụ 2.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a

Chứng minh rằng:


8

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức khá giống với ví dụ 1.2.
Vì vậy một cách tự nhiên ta có thể biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho
và đánh giá theo chiều từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Lời giải
Ta có cần chứng minh tương đương với:
c ac
ab

Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng

c ac
ab

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = 2c.
Ví dụ 3.2: Cho các số thực khơng âm a, b, c. Chứng minh rằng:
13 a b c

Lời giải
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau:

3

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:

3

1

1

3

1 a
1

a 1
3

1 a

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 4.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a

b

c

1


Chứng minh rằng:

9


Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu đẳng thức
của bất đẳng thức xảy ra khi a

b c

là sau khi sử dụng bất đẳng thức Côsi ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu
đẳng thức là a = b = c.
Lời giải

a b c ab bc ca

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a

b

c

1
3

Nhận xét: Có thể nói hai kỹ thuật trên là hai kỹ thuật đánh giá ngược chiều
nhau, tùy theo điều kiện bài toán mà ta chọn cách đánh giá phù hợp. Trong q
trình dạy học tốn, giáo viên cần phải giới thiệu để học sinh nắm được hai kỹ
thuật cơ bản này.
3. Kỹ thuật tách, ghép cặp nghịch đảo
Chúng ta biết rằng tích của hai số nghịch đảo nhau bằng 1. Từ điều này
chúng ta dẫn học sinh đi tới ý tưởng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số
dương là nghịch đảo của nhau nhằm mục đích triệt tiêu các biến. Tuy nhiên
trong quá trình vận dụng ta người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng
tách một hạng tử thành nhiều hạng tử sao cho có thể ghép được các cặp là
nghịch đảo của nhau. Dưới dây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật tách và ghép
cặp nghịch đảo.

Ví dụ 1.3: Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
Phân tich: Bất đẳng thức cần chứng minh là một dạng của bất đẳng thức Côsi,
cách chứng minh rất đơn giản khi sử dụng kỹ năng ghép nghịch đảo.
Lời giải
Áp dụng bất dẳng thức Cơsi cho hai số ta có:

a


b

Bài toán được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a

b

10


Ví dụ 2.3: Cho số thực a. Chứng minh rằng:

a

2

Phân tích: Ở bất đẳng
thức cần chứng minh trên
ta chưa thấy cặp nghịch
đảo vì vậy ta cần biến đổi
vế trái để tạo ra cặp
nghịch đảo. Để ý rằng

a

Lời giải
Biến đổi vế trái và áp
dụng bất đẳng thức Côsi
cho hai số ta có:

a

Bất đẳng thức được chứng
minh. Dấu đẳng thức xẩy
ra khi và chỉ khi

a2

Ví dụ 3.3: Cho các số
thực dương a, b thỏa mãn
điều kiện a
b.
1

Chứ
a
ng
3
minh
b a
b
rằng:
Phân tích: Để chứng

minh được bất đẳng thức


trên ta cần ghép cặp nghịch đảo cho ba số
dương, để ý rằng muốn triệt tiêu được hết
biến ta cần ghép nghịch đảo
cho c số dương sau b , a b

,

Lời giải
Ta có nhận xét : b + a – b = a khơng phụ
thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu a sẽ được
phân tích như sau :

a

Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = 2 và
b=1
Ví dụ 4.3: Cho các số thực dương a, b,c.
Chứng minh rằng:

Phân tích: Để chứng minh bất đẳng thức
trên, ta cần biến đổi tương đương để sử dụng
kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho ba số
dương.
Lời giải
11

Ta biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau:
c
1

a

a

b
b

c

a

a

a

b

b

c

b

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Tương tự như Ví dụ 4.3 ta tiếp tục áp dụng kỹ thuật ghép nghịch đảo cho

ví dụ sau.
Ví dụ 5.3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
c2
ab

Lời giải
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau:
c2
c
a

c

1
a

a

b

c
a

b

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét: Có thể kỹ thuật ghép nghịch là kỹ thuật khơng có gì mới lạ nhưng nó
lại đem đến một số hiệu quả nhất định trong chứng minh bất đẳng thức. Vi vậy
học sinh cần phải nắm được kỹ thuật này như một kỹ năng cơ bản trong gải các
bài tập cề bất đẳng thức.

4.

Kỹ thuật chọn điểm rơi

Trong bất đẳng thức, kỷ thuật chọn điểm rơi là một kỹ thuật tối quan
trọng. Ý tưởng chính của kỹ thuật này là việc xác định được dấu đẳng thức xảy
ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp lý.Trong quá trình chứng minh
12


các bất đẳng thức học sinh thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức
Côsi mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Vì vậy khi hướng dẫn học sinh
tìm tịi chứng minh các bài tốn bất đẳng thức , người giáo viên cần chỉ cho học
sinh thấy rằng trong bất kỳ đánh giá nào ( trong chuỗi đánh giá của mình )
khơng bảo tồn được dấu bằng thì bài tốn chứng minh sẽ bị phủ nhận hồn
tồn. Hãy xét một số ví dụ dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề dang được đề cập
Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điền kiện
Chứng minh rằng:

a

b

b

c

c

a

a

b

c

1

.

6.

Lời giải
Khi giải bài toán này học sinh thường gặp sai lầm như sau:

a

b

b

c

c

a

ab

Cách chứng minh trên hoàn toàn sai.
Nguyên nhân sai lầm: Dấu “ = ” xảy ra a + b = b + c = c + a = 1 a + b + c = 2.
Điều này trái với giả thiết.
Phân tích: Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi
của bất đẳng thức sẽ là a

b c

vậy để sử dụng dược bất đẳng thức Côsi ta cần nhân them hằng số là
giải đúng là : Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng
âm ta có:

xy


13


ab

Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c =
3

Ví dụ 2.4: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện
rằng:

Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên

đẳng thức xảy ra tại a

b

1

ta dự đốn dấu

. Từ dự đốn đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức

2

Côsi để chứng minh bất đẳng thức trên như sau

Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng
1

a 2b 2

2

a