HD học sinh một số PP sử dụng bất đẳng thức COSI dạng nghịch đảo

Phòng giáo dục
trờng trung học cơ sở
******************
Sáng kiến kinh nghiệm
Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh phơng pháp sử dụng
bất đẳng thức cô-si dạng nghịch đảo
Ng ời thực hiện :
Trờng Trung học cơ sở
H . - T .

tháng 4 năm 2008.
A- Phần mở đầu
I/ Lý do chọn đề tài:
Trong thời kỳ đổi mới của đất nớc thì một trong những yêu cầu của nền giáo
dục là phải tạo ra một lớp ngời mới, năng động sáng tạo. Họ sẵn sàng tiếp nhận cái
mới, những tinh hoa tri thức khoa học của nhân loại, áp dụng một cách khoa học
vào thực tiễn đất nớc. Vậy làm thế nào để phát huy đợc tính chủ động sáng tạo của
học sinh đây là một trong những yêu cầu trớc mắt, nhằm tập dợt khả năng sáng tạo
của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trờng.
Hiện nay sách giáo khoa môn toán mới đợc biên soạn theo hớng đổi mới,
phơng pháp dạy học hiện nay là: Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi
dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực độc
lập sáng tạo nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề rèn luyện khả năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng
thú học tập cho học sinh. Sách giáo khoa mới có những bài toán mở, mục có thể
em cha biết nhằm khơi dậy và định hớng cho các em sự sáng tạo. Tuy nhiên sự h-
ớng dẫn chỉ bảo tận tình của ngời thày là rất cần thiết.
Nội dung kiến thức về bất đẳng thức đợc trình bày trong chơng IV - Đại số 8
. Đây là một phần kiến thức hay nhng khó đối với học sinh . Bất đẳng thức Cô-Si đ-
ợc giới thiệu trong mục " Có thể bạn cha biết". Nhằm giới thiệu học sinh tìm tòi,
khám phá và sử dụng nó. Vậy để giúp các em làm việc này thì trớc hết ngời thày

phải nghiên cứu, hớng dẫn về mặt phơng pháp, cung cấp và hớng dẫn cho học sinh
thực hiện trên các bài toán điển hình cơ bản tạo cho học sinh tiền đề để các em tự
học, tự nghiên cứu.
Đứng trớc yêu cầu trên tôi xin trình bày một phần nhỏ trong chơng trình dạy
về bất đẳng thức đó là: "Hớng dẫn học sinh một số phơng pháp sử dung bất đẳng
thức Cô-Si dạng nghịch đảo"


II- Mục đích nghiên cứu:
Chỉ ra một số phơng pháp cơ bản để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng
nghịch đảo để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị.
Hớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm
cực trị (đối với học sinh khá giỏi lớp 8-9 ) .
III- Ph ơng pháp nghiên cứu
+Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si : Trờng hợp với hai số không âm.
+áp dụng đối với hai số dơng có dạng nghịch đảo.
+Phân loại một bài tập điển hình và xây dựng phơng pháp giải nhờ áp dụng
bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo .
+Tham khảo ý kiến đồng nghiệp và nhà trờng.
+áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh.
2
+Rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy để tiếp tục hoàn thiện vào các năm
sau.
IV- Phạm vi và đối tợng nghiên cứu
+Nghiên cúu bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo và các bài toán áp dụng .
+Chọn các bài toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 8; 9 diện khá,
giỏi.
B - phần nội dung
I/Bất đẳng thức Cô-Si:
1/Bất đẳng thức Cô-Si (Đối với hai số không âm)

+Với hai số không âm a và b ta có :
ab
ba

+
2
(1)
Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân do nhà toán học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu.
+Chứng minh:
Với hai số a và b không âm ta có :

0)(
2
ba

02 + baba

abba 2+
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b .

2/Bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo
+Ta có :
2+
x
y
y
x
Với x.y > 0
Thật vậy : áp dụng (1) với a =

y
x
và b =
x
y
là hai số dơng ta có :

2+
x
y
y
x
2. =
x
y
y
x
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra

x
y
y
x
=
x
2

= y
2
x = y (Vì x và y cùng dấu )

*Chú ý: a =
y
x
và b =
x
y
là hai số nghịch đảo của nhau .
II/ áp dụng :
Để áp dụng bất đẳng thức trên ta cần biến đổi làm xuất hiện các biểu thức có
dạng nghịch đảo " hoàn toàn" hoặc không hoàn toàn tuỳ thuộc vào cái đích mà
bài toán cần đạt tới . Vậy biến đổi nh thế nào ? có những phơng pháp nào ?.
1/Ph ong pháp biến đổi đồng nhất:
3
a, Một số bài toán đơn giản ta chỉ cần thực hiện phép tính nhân hoặc chia là
xuất hiện dạng nghịch đảo.
+Bài toán 1: Cho a ; b ; c là các số dơng , CM rằng :

8)1)(1)(1( +++
a
c
c
b
b
a
(1)
Giải: Ta có VT =
b
a
c
b

++1(
)1)(
a
c
c
a
++
=
11 +++++++
c
a
b
c
b
a
a
b
c
b
a
c
=
)()()(2
b
c
c
b
a
c
c

a
a
b
b
a
++++++

VP
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
==+++=+++ 82222.2.2.22
Ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy ra a = b = c .

* Với phơng pháp trên mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán 2: Cho a ; b ; c là các số dơng , CM rằng :

9)
111
)(( ++++
cba

cba
.
* Bài này mời các em tự thực hiện .
+Bài toán 3: Cho x là số dơng, tìm GTNN của :
A =
x
xx 42
2
++
.
-Nhận xét: Với x dơng ta chỉ cần thực hiện phép chia tử cho mẫu là xuất hiện dạng
nghịch đảo.
-Giải: Có : A =
2
442
2
++=++
x
x
xx
x
x
x
Ta có :
4
4
.2
4
=+
x

x
x
x
Nên
62
4
++
x
x
Hay A
6
dấu đẳng thức sảy ra
x
x
4
=
x = 2 (vì x > 0 )
Vậy A
min
= 6 x = 2.
4
+Bài toán 4: Cho a, b, c là các số thực dơng thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh
rằng:
2
+
+
+
+
+
+

+
+
ba
abc
ac
cab
cb
bca
.
- Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tơng tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b) do đó ta có:

ba
bcac
ac
cbab
cb
caba
VT
+
++
+
+
++
+
+
++
=
))(())(())((

áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

)(2
))(())((
ba
ac
cbab
cb
caba
+
+
++
+
+
++

)(2
))(())((
)(2
))(())((
cb
ba
bcac
ca
cbab
ca
ba
bcac
cb
caba

+
+
++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
Vậy 2. VT
4)(4 =++ cba
hay

2VT
ĐPCM Đẳng thức xảy ra a = b = c =
3
1
* Mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán4 : Tìm GTNN của :
B =
x
xx
3
1615
2
++
(với x dơng ) .

C =
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
.
Gợi ý : Thực hiện phép chia đa thức ta đợc :
C =
52
256
)52.(4
2
2
++
+++
xx
xx
.

b, Đôi khi chúng ta phải "tách" , "nhân trộn" rồi chia mới xuất hiện đợc dạng
nghịch đảo.
+Bài toán5 : Tìm GTNN của :
D =
2
22
)2712)(4816(

x
xxxx ++++
(với x là số dơng ) .
5
-Nhận xét: Nếu chia ngay thì D =
)12
27
)(16
48
( ++++
x
x
x
x
Sau đó áp dung (1) thì
dấu bằng không thể xảy ra vì x không đồng thời bằng
x
48
và
x
27
. Nên ta phải tìm
cách "cào bằng" hai số 48 và 27 . May thay cả hai đa thức trên tử đều phân tích đ-
ợc thành nhân tử !.
-Giải : Ta có :
D =
xx
xxxx
.
)4)(9)(3)(12( ++++

=
xx
xxxx
.
)36.13)(36.15(
22
++++
=
)13
36
)(15
36
( ++++
x
x
x
x
Việc làm tiếp theo là rất đơn giản !
+Bài toán 6 : Tìm GTNN của :
E =
2
22
)12022)(3011(
x
xxxx ++++
(với x là số dơng )
* Bài này mời các em tự thực hiện .
2/Ph ơng pháp thêm bớt :
a/ Ta có thể thêm và bớt cùng một số vào biểu thức rồi biến đổi làm xuất hiện dạng
nghịch đảo.

. +Bài toán 1 : Tìm GTNN của :
A =
xx
x 5
1
+

( Với 0 < x < 1 ) .
Nhận xét: Điều kiện 0 < x < 1 chỉ làm cho A xác định và các hạng tử đều dơng.
Phải làm xuất hiện nhân tử (1 - x) Trên tử của số hạng thứ hai
Ta có
x
x
x
)1(5
5
5
=

Giải : Ta có : A =
55
5
1
++
xx
x

5
55
1

+

+

=
x
x
x
x
Ta có
52
)1(5
.
1
2
)1(5
1
=




+
x
x
x
x
x
x
x

x
6
Nên A
552 +
dấu đẳng thức sảy ra
x
x
x
x )1(5
1

=

x
2
= 5( 1 - x )
2
x =
4
55
Vậy A min =
552 +
x =
4
55
.
+Bài toán 2 : Tìm GTNN của :
B =
xx
1

1
2
+

( Với 0 < x < 1 )
Nhận xét: Phải đồng thời làm xuất hiện nhân tử x trên tử và nhân tử (1 - x ) dới
mẫu.
Có
x
x
x
=
1
2
2
1
2
Còn
x
x
x

=
1
1
1
Giải : Ta có B =
31
1
2

1
2
++
xx
=
3
1
1
2
+

+
x
x
x
x
Ta có
22
1
.
1
2
2
1
1
2
=

+
x
x
x
x
x
x
x
x
Nên có B
322 +
dấu đẳng thức sảy ra
x
x
x
x
=

1
1
2
x =
12
Vậy B min =
322 +
x =
12
.
Bài3: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng :

1
3
)1(
1
)1(
1
)1(
1
+

+
+
+
+
+ abcaccbba

+Hớng dẫn:
61
)1(
1
1
)1(
1
1
)1(
1
)1(

+
+
+
+






+
+
+
+






+
+
+

ac
abc

cb
abc
ba
abc
7

6
1
)1(
)1(
1
1
)1(
)1(
1
1
)1(
)1(
1







+
+
+
+

+
+






+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+

a
ba
ac
c

c
ac
cb
b
b
cb
ba
a


6
1
)1(
)1(
1
1
)1(
)1(
1
1
)1(
)1(
1

+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+

c
ac
ac
c
b
cb
cb
b
a
ba
ba
a

*Tơng tự mời các em giải bài toán sau:
+Bài toán 4 : Tìm GTNN của :
C =
1
4
3
+
+
x
x
(với x > - 1 )
D =
1
2
2
+

x
x
( với x > 1 )
E =
2
2
2
2
1
)1(






+
+
++
x
x
x
( với x
1
)
Hớng dẫn : E =
2
2
2
1

22
)1(






+
++
++
x
xx
x
=
2
2
1
1
)1()1(






+
++++
x
xx

=
2
)1(
1
)1(2
2
2
+
+
++
x
x
b, Nhiều khi việc thêm bớt phải dựa trên việc xác định điểm rơi (điểm cực trị).
Bài1: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng :

dcba
a
d
d
c
c
b
b
a
++++++
2222
Nhận xét: Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d .
Khi ấy :
b
b

a
=
2

Giải : Ta có :
b
b
a
+
2
ab
b
a
2.2
2
=
Tơng tự ta có :
+ c
c
b
2
2b
8

+ d
d
c
2
2c

+ a
a
d
2
2d

Nh vậy :
)(2
2222
dcbadcba
a
d
d
c
c
b
b
a
++++++++++
Hay
dcba
a
d
d
c
c
b
b
a
++++++

2222
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b = c = d .
Bài2: Cho a ; b ; c là các số dơng CM rằng :

2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++

+
+
+
+
+
.
Nhận xét : Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c .
Khi ấy :
4
2
cb
cb
a +
=
+

Giải : Ta có :
a
cb
cb
acb
cb
a
=
+
+

+
+
+ 4
.2
4
22
Tơng tự ta có :

+
+
+ 4
2
ca
ca
b

b

+
+
+ 4
2
ba
ba
c

c
Vậy có :
cba
cba
ba
c
ca
b
cb
a
++
++
+
+
+
+
+
+ 2
222
Hay :
2
222

cba
ba
c
ac
b
cb
a ++

+
+
+
+
+
.
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b = c .
* Bằng cách trên mời các em làm tiếp bài toán sau :
Bài3: Cho a ; b ; c là các số dơng . CM rằng:
a,
.
333
bcacab
a
c
c
b
b
a
++++
9
b,

cba
c
ab
b
ac
a
bc
++++
.

3, Ph ơng pháp tách :
Phơng pháp này đợc áp dụng cho loại bài : tởng nh đã có thể áp dụng đợc (1) ngay,
nhng dấu bằng lại không thể xảy ra. Do vậy trớc hết chúng ta phải xác định đợc
điểm rơi đế tách một cách hợp lý thì mới áp dụng đợc . Loại bài tập này khá phổ
biến , ta sẽ dành nhiều thời lợng hơn cho loại bài tập này.
Bài 1 : Cho
1000;100;10 cba
Tìm GTNN của :
A =
.
111
cba
cba +++++
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng

cba
111
++
Dự đoán điểm rơi là : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000 .
Khi đó :

1000000
11
;
10000
1
;
100
1
===
c
b
b
a
a
.
HD giải: Có A =
)
1
1000000
(
100000 0
999999
)
1
10000
(
10000
9999
)
1

100
(
100
99
c
cc
b
bb
a
aa
++++++++

c
c
b
b
a
a 1
.
1000000
2
1000000
1000.9999991
.
10000
2
10000
100.99991
.
100

2
100
10.99
+++++
=
1000
2
1000
999999
100
2
100
9999
10
2
10
99
+++++
=
Bài 2: Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn : x + y = 1 . Tìm GTNN của:
B =
)
1
)(
1
(
2
2
2
2

x
y
y
x ++
.
Nhận xét : Ta có B =
2
1
22
22
++
yx
yx
Với GT trên ta cần tiêu hoá hết lợng x
2
y
2
Dự đoán điểm rơi là :
2
1
== yx

10
Khi đó
.
16
1
256
1
22

22
==
yx
yx
Giải : Ta có B =
2222
22
256
255
)
256
1
(
yxyx
yx ++
Có
8
1
256
1
.2
256
1
22
22
22
22
=+
yx
yx

yx
yx
Và
xyyx 4)(
2
+

4
1

xy

16
1
22

yx
Vậy B
216.
256
255
8
1
++
=
Bài 3: Cho a ; b ; c là các số dơng thoả mãn :
2
3
++ cba
Tìm GTNN của:

A =
.
111
cba
cba +++++
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng

cba
111
++
Dự đoán điểm rơi là
2
1
=== cba
khi đó
c
c
b
b
a
a
4
1
;4
1
;4
1
===
Giải : Có A =
)(3)

1
4()
1
4()
1
4( cba
c
c
b
b
a
a +++++++
Ta có :
4
1
.42
1
4 =+
a
a
a
a

Tơng tự có :
+
b
b
1
4
4

+
c
c
1
4
4
Còn - 3 ( a+b+c )
2
9

Vậy A
2
15

dấu đẳng thức xảy ra
2
1
=== cba
Amin =
2
15

2
1
=== cba
11
Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng thoả mãn :
6
111

++
cba
Tìm GTNN của:
A =
.
111
cba
cba +++++
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng
a + b +c
Dự đoán điểm rơi là
2
1
=== cba
khi đó
c
c
b
b
a
a
4
1
;
4
1
;
4
1
===

Giải :Ta có:
1
4
1
.2
4
1
=+
a
a
a
a
Tơng tự
+
b
b
4
1

1

+
c
c
4
1

1
Còn
2

9
)
111
(
4
3
++
cba
Vậy A
2
15

dấu đẳng thức xảy ra
2
1
=== cba
Amin =
2
15

2
1
=== cba
.
*Nhận thấy : Bài 3 và Bài 4 chỉ là một vì với các số dơng a ; b ; c ta có :
9)
111
)(( ++++
cba
cba

Nên :
2
3
++ cba

6
111
++
cba
Tuy nhiên mỗi bài lại phải có cách tách khác nhau .Ta sẽ có bài toán mới nếu ta
thay giả thiết là : a ; b ; c là các số dơng thoả mãn:

++
22
ba
4
3
2
c
Hoặc:









+

+
+
2
5
32
2
5
32
2
5
32
ac
cb
ba
Hoặc :









+
+
+
4
5
23

4
5
23
4
5
23
22
22
22
ac
cb
ba
12
Bài 5 : Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn :
1
22
=+ yx
Tìm GTNN của:
C =
)
1
1)(1()
1
1)(1(
x
y
y
x +++++
Nhận xét :
2

11
++++++=
yxx
y
y
x
yxC
Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng : x + y
Dự đoán điểm rơi là :
2
2
== yx
khi đó :
y
y
x
x
2
1
;
2
1
==
Giải: Ta có :
2)
11
(
2
1
)()

2
1
()
2
1
( ++++++++=
yxx
y
y
x
y
y
x
xC
Có:
2
2
1
.2
2
1
=+
x
x
x
x
Tơng tự :
+
y
y

2
1

2

2+
x
y
y
x
2
211
)
11
(
2
1
22
4
22
=
+
=+
yx
yx
xy
yx
Vậy
234 +C

Bài 5 : Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn :
6+ yx
Tìm GTNN của:
D =
yx
yx
86
23 +++
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng

yx
86
+
Rõ ràng với x = y = 3 không giải quyết đợc vấn đề, phải chăng
yx

?
Thử tới x = 2 ; y = 4 thì ổn . Khi đó :
y
y
x
x
8
2
;
2
36
==
Giải : Ta có

y
y
x
xyxD
8
2
6
2
3
)(
2
3
+++++=

19
8
.
2
2
6
.
2
3
26.
2
3
==++
y
y
x

xD
dấu đẳng thức xảy ra x = 2 ; y = 4
13
Vậy Dmin = 19 x = 2 ; y = 4 .
Bài 7: Giả sử x
1
và x
2
là các nghiệm của phơng trình : x
2
- 4x +7 - m = 0 (1)
với m là tham số . Tìm GTLN của :
22
21
7
1
xx
xxP =
.
Nhận xét: Trớc hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , đó cũng là cơ sở để xác định
điểm rơi .
Giải : Ptrình (1) có nghiệm
0


074
+
m

3

m
Khi đó theo Vi-et ta có : x
1
x
2
= 7 - m
Nên :
)
1
(7
1
7
m
m
m
mP +==
Ta có :
3
101
.
9
1
23.
9
8
)
1
9
1

(
9
81
=+++=+
m
m
m
mm
m
m
dấu đẳng thức xảy ra m = 3 ( T/m điều kiện)
Nên
)
1
(7
1
7
m
m
m
mP +==
3
11
3
10
7 =
Vậy Pmax =
3
11
m = 3.

*Tơng tự mời các em giải các bại tập:
Bài 8: Cho :
60;20;5 abcaba
CM rằng :
a,
12
++
cba
b,
50
222
++ cba
Bài9: Cho :a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn :

60;20;5 abcaba
. CMrằng : a = 5 ; b = 4 ; c = 3
Bài 10 : Cho :
24;4;3 abcba

CMrằng :
9++ cba
4/ Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
Phơng pháp này đợc áp dụng cho các bài toán phải thông qua phép đặt ẩn phụ
và biến đổi mới xuất hiện dạng nghịch đảo.
Bài toán 1: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. tìm GTNN của:

cba
c
bca
b

acb
a
A
+
+
+
+
+
=
1694
14
Hd : Đặt b + c - a = 2x thì có : x , y , z dơng và a = y + z
a + c - b = 2y b = z + x
a + b - c = 2z c = x + y
Khi đó
z
yx
y
xz
x
zy
A
+
+
+
+
+
= .16.9.4.2
=
)

169
()
164
()
94
(
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
+++++


Bài toán2: Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :

ba
c
ac
b
cb
a
P

+
+
+
+
+
=
1625
>8 .
HDẫn: Đặt : b + c = 2x
c + a = 2y
a + b = 2z
Ta có : a = -x + y + z ; b = x y + z ; c = x + y z
và x ; y ; z là các số dơng .
Khi đó ta có :
z
zyx
y
zyx
x
zyx
P
22
)(16
2
)(25 +
+
+
+
++
=

=>
z
zyx
y
zyx
x
zyx
P
+
+
+
+
++
=
)(16)(25
2

)
16
()
25
()
1625
(42
z
y
y
z
z
x

x
z
y
x
x
y
++++++=
>
Bài 3: Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :

4
3
222

++
+
++
+
++ bac
c
acb
b
cba
a
Hớng dẫn: Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b thì suy ra:
x; y; z là các số dơng và:
3x (y+z) = 4a; 3y (x+z) = 4b; 3z (x+y) = 4c.
Từ đó với
bac
c

acb
b
cba
a
T
++
+
++
+
++
=
222
ta có:


)()()(9
)(3)(3)(3
4
=
+++=
+
+
+
+
+
=
y
z
z
y

x
z
z
x
x
y
y
x
z
yxz
y
zxy
x
zyx
T
*Bằng cách tơng tự mời các em giải bài toán sau:
Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :

.
2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b

cb
a
15
III .H ớng khai thác mở rộng:
1/Hớng1: Sử dụng các BĐT hệ quả
a/ Ta có :
2+
a
b
b
a
với a . b dơng .

411 +++
a
b
b
a

4
+
+
+
a
ba
b
ba


4)

11
)(( ++
ba
ba


baba +
+
411
(2)
b/ Tổng quát hoá bài toán ta có:
+
9)
111
)(( ++++
cba
cba
với a , b , c là các số dơng.
+
2
21
21
)
1

11
)( ( n
aaa
aaa
n

n
++++++
.với mọi a
i
> 0 ; i = 1;2;;n .
c/áp dụng giải các bài tập:
Bài tập 1: Cho a ; b là hai số dơng thoả mãn điều kiện : a + b = 1 .
Tìm GTNN của:
22
11
ba
ab
A
+
+=
.

22
32
ba
ab
B
+
+=
.

.4
21
22
ab

ab
ba
C ++
+
=
Bài tập 2 : Cho a ; b ; c là 3 số dơng . CMrằng :
).
111
(
4
1
2
1
2
1
2
1
,
cbacbacbacba
a ++
++
+
++
+
++
.
2
1
2
1

2
1
3
1
3
1
3
1
,
bacacbcbaaccbba
b
++
+
++
+
++

+
+
+
+
+
Bài tập 3:CMrằng : Với a ; b ; c là ba cạnh của một tam giác thì :

).
111
(2
111
cbacpbpap
++

+

+

với p là nửa chu vi .
Bài tập 4: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn :
3++ cba
CMrằng:

.
2
31
1
1
1
1
,
+
+
+
+
+ acba
a

.
2
3
1
1

1
1
1
1
,
+
+
+
+
+ cabcab
b
Bài tập 5: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn :
1++ cba
CMrằng:

.9
2
1
2
1
2
1
222

+
+
+
+
+ abccabbca
16

Bài tập 6: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn :
4
111
=++
cba
CMrằng:

.1
2
1
2
1
2
1

++
+
++
+
++ cbacbacba
Bài tập 7: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn :
3
222
++ cba
Tìm GTNN:

bcacab
P
+
+

+
+
+
=
1
1
1
1
1
1
Bài tập 8: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn :
1
=++
cba
CMrằng:

14
23
222

++
+
++
cba
bcacab
Bài tập 9: a) Cho
3

a
. Tìm GTNN của

a
aA
1
=
b) Cho
2
1
0 a
Tìm GTNN của
b
aB
3
2 +=
Bài tập 10: Cho a ; b là 2 số dơng thoả mãn :
2008
2009
=+ ba
Tìm GTNN của:

2008
12008
+=
a
P
Bài tập 11: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : Tìm GTNN của:

c
ba
b
ac

a
cb
ba
c
ac
b
cb
a
A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
c/Triển khai đề tài
Trong việc giảng dạy bộ môn toán, ở mỗi đơn vị kiến thức mở , tôi luôn hớng
dẫn học sinh theo hớng : mở rộng, tổng quát hoá, tìm hớng áp dụng kiến thức . Đặc
biệt trong phần kiến thức về bất đẳng thức ở lớp 8 và 9 , xác định đây là phần kiến
thức khó đối với học sinh , nhng nó rất quan trọng trong việc rèn khả năng t duy
sáng tạo , phát triển khả năng tự học tự nghiên cú cho học sinh .Tôi đã triển khai
theo từng bớc ,đối với từng đối tợng học sinh .
Cụ thể : Năm học 2006- 2007:
-Từ 7/2006 đến 3/2006 : Giáo viên nghiên cứu hoàn thiện . Kết hợp với

việc tham khảo ý kiến đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và nhà trờng .
- Từ 3/2007 đến 4/2007 : Triển khai hớng dẫn học sinh .
- Từ 4/2007 đến 15/5/2007 : Tổ chức dạy nâng cao cho học sinh khá
giỏi , kết hợp với việc kiểm tra đánh giá học sinh .
Năm học 2007-2008:
- Từ 7/ 2007 đến 10/2007: Chỉnh sửa và hoàn thiện đề tài.
- Từ 1/ 2008 đến 3/ 2008: Tổ chức dạy cho HS lớp 9 dự thi HSG cấp tỉnh.
-Từ 4/2008 đến 5/ 2008: Đánh giá kết quả việc thực hiện đề tài.
D/Kết quả đạt đợc
Với việc triển khai đề tài này thì bớc đầu tôi đã thu đợc một số kết quả đáng
khích lệ:
+ Học sinh đã tự tin và chủ động hơn trong việc học phần kiến thức này.
17
+ Đa số các em đã tự giải quyết đợc các bài toán về BĐT và các bài toán có liên
quan trong chơng trình.
+ Các em ở đối tợng khá, giỏi đã giải đợc các bài toán trong các sách tham khảo.
+ Khích lệ hơn nữa khả năng chủ động sáng tạo trong việc học tập bộ môn.
+ Kết quả khảo sát : - Loại Giỏi : 36%
- Loại Khá : 47 %
- Loại Tb : 17%
+ Trong kỳ thi HSG cấp tỉnh năm học 2007- 2008 đã có 3 em đạt giải trong đó
có hai giải ba.
E /Kết luận
Trong việc dạy và học nhất là đối với môn toán thì việc tổ chức cho học sinh
chủ động sáng tạo trong việc nắm bắt và vận dụng kiến thức là rất quan trọng .Sau
đó việc hớng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu là rất cần thiết. Cho nên ở mỗi
đơn vị kiến thức nhất là đối với phần kiến thức mở trớc hết ngời dạy phải đầu t thời
gian tìm tòi nghiên cứu kiến thức, tìm phơng pháp hớng dẫn cho học sinh học tập
một cách tích cực chủ động. Có nh vậy thì việc dạy và học mới đạt hiệu quả cao, và
trớc hết là rèn cho học sinh những phẩm chất của ngời lao động mới năng động

sáng tạo.
Tuy nhiên với kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, tôi mong nhận đợc các ý kiến
đóng góp của tất cả các bạn .
Tôi xin chân thành cảm ơn !
ngày 5/5/2008

Ngời thực hiện đề tài



ý kiến của hội đồng khoa học nhà trờng

18