Đề thi lớp 11

Trường THPT Quế Võ I ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM
2010 - 2011
MÔN : TOÁN
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề )
Câu I: ( 3 điểm )
Cho hàm số
2
4 3y x x= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Dựa vào đồ thị hàm số biện luận theo m số nghiệm của phương trình
2
4 5 0x x m− + − + =
Câu II : ( 2 điểm )
1. Không sử dụng bảng số và máy tính. Hãy tính giá trị của biểu thức
0
0
1 1
cos290
3sin 250
P = +
2. Giải phương trình sau:
3sin 2 cos2 4sin 1 0x x x− + + =
Câu III : ( 1 điểm )
Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2 2
3( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y


− + = −


+ + = −


Câu IV : ( 3 điểm )
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác cân ABC đỉnh A, có trọng tâm
4 1
;
3 3
G
 
 ÷
 
, phương trình đường thẳng BC là
2 4 0x y− − =
và phương trình đường
thẳng BG là
7 4 8 0x y− − =
. Tìm toạ độ các đỉnh A, B,C.
2. Cho tam giác ABC có
7
8
; ; ;cosBC a AC b AB c A= = = =
và diện tích
bằng
2
15
4

a
. Gọi
, ,
a c
b
h h h
lần lượt là độ dài các đường cao hạ từ đỉnh A, B,C.
Chứng minh rằng
a c
b
h h h= +
Câu V : ( 1 điểm )
Cho a,b,c là các số thực dương sao cho
,a c b c≥ ≥
. Chứng minh rằng :
( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤
ĐÁP ÁN
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu I:(3điểm )
1(2điểm )
+ TXĐ : D = R
+ Toạ độ đỉnh : I ( 2; - 1 )
+ SBT: a > 0 hàm số đồng biến trên
(2; )+∞
Hàm số nghịch biến trên
( ;2)−∞
+ BBT:
x -∞ 2 +∞
y
+∞ +∞

-1
+ Đồ thị: Nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng
Giao với trục Oy tại điểm A( 0; 3)
Giao với trục Ox tại điểm B( 1;0) và C ( 3;0)
đồ thị là pa ra bol có bề lõm quay lên trên
+ Vẽ đúng đồ thị :
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
2.(1điểm)
Biến đổi phương trình
2
2
4 5 0
4 3 2
x x m
x x m
− + − + =
⇔ − + = −
đặt
2
1
4 3y x x= − +
có đồ thị là ( P ) đã vẽ

2
2y m= −

là đường thẳng d song song hoặc trùng trục Ox
Vậy số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị
hàm số ( P ) và đường thẳng d .
Do đó : m < 1 đường thẳng d không cắt ( P) . phương trình vô
nghiệm
m = 1 đường thẳng d tiếp xúc với ( P ). Phương trình có
1 nghiệm
m > 1 đường thẳng d cắt ( P) tại 2 điểm . phương trình có
2 nghiệm phân biệt.
0.25đ
0.25đ
0.5đ
Câu II(2điểm)
1. (1điểm)
0 0
0 0
1 1 1 1
cos290 cos110
3sin 250 3( sin70 )
P = + = +
−
−
0.25đ

( )
0
0
0 0
0 0
0 0 0 0

0
1 1
sin 20
3cos20
3cos20 sin 20
3sin 20 cos20
4 sin 60 cos20 cos60 sin 20
4
3sin 40 3
= −
−
=
−
= =
0.25đ
0.5đ
2. ( 1điểm)

2
2 3sin cos 4sin 2sin 0
sin ( 3 cos sin 2) 0
sin 0
sin 0
cos 1
3cos sin 2
6
( )
7
2
6

x x x x
x x x
x
x
x
x x
x k
k z
x k
π
π
π
π
⇔ + + =
⇔ + + =
=

=


⇔ ⇔
 


− = −
+ = −
 ÷


 


=


⇔ ∈

= +


0.25đ
0.5đ
0.25đ
CâuIII(1điểm)
2 2 2
2 2 2 2 2
3( ) ( ) 3( )
7( ) ( ) 3 7( )
x xy y x y x y xy x y
x xy y x y x y xy x y
 
− + = − − + = −
 
⇔
 
+ + = − − + = −
 
 
đặt
x y u
xy v

− =


=

hệ trở thành
2
2 2
3
3 7
u v u
u v u

+ =


+ =



0
u o
v
=

⇔

=

hoặc

1
2
u
v
=


=

Suy ra nghiệm của hệ ( 0;0); ( 2;1) ; (-1; - 2)
0.25đ
0.25đ
0.5đ
CâuIV:(3điểm)
1. ( 2điểm)
+ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ
2 4 0 0
(0; 2)
7 4 8 0 2
x y x
B
x y y
− − = =
 
⇔ ⇒ −
 
− − = = −
 
đường thẳng d vuông góc hạ từ G xuống BC là
2 3 0x y+ − =

Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và BC . suy ra toạ độ
điểm H ( 2;-1).
0.5đ
0.5đ
Vì tam giác ABC cân đỉnh A nên d vừa là đường cao vừa là
trung tuyến đi qua A. Vậy H là trung điểm của BC suy ra
C( 4; 0 )
Gọi toạ độ đỉnh A ( x; y ) .
3 (0;3)HA HG A= ⇒
uuur uuur

0.5đ
0.5đ
2. ( 1điểm)
+
7
sin
8
15
cos
8
AA ⇒ ==
Ta có
1 15
sin
2 16
bc
S bc A= =
mà theo đầu bài S=
2

15
4
a

2
4bc a⇒ =
(1)
Mà
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −

2 2
2 2 2
7
4
15
( ) ( ) 15
4
b c bc
b c bc b c a
= + −
= + − = + −

4b c a⇒ + =
(2)
Từ (1) và (2)
1 1 1 1b c
bc a b c a
+
⇒ = ⇔ + =

a b c
S S S
h h h
b c a
⇔ + = ⇔ = +
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu V ( 1 điểm)
( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤

. . 1
c a c c b c
b a a b
− −
⇔ + ≤
Áp dụng BĐT côsi tao có
1 1
. 1
2 2
c a c c a c c c
b a b a b a
− −
   
≤ + = + −
 ÷  ÷
   
1 1

. 1
2 2
c b c c b c c c
a b a b a b
− −
   
≤ + = + −
 ÷  ÷
   
1
c a c c b c
b a a b
− −
⇒ + ≤
dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
ab
c
a b
=
+
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ