SKKN con lac don trong thang may

Dao động của con lắc trong thang máy
Đề tài:

Dao động của con lắc trong thang máy

A. Đặt vấn đề

Bài toán dao động điều hoà của con lắc trong hệ qui chiếu không
quán tính đà đợc giải tơng tự nh trong hƯ qui chiÕu qu¸n tÝnh cã
bỉ sung lùc qu¸n tÝnh.
- Việc chứng minh dao động của con lắc trong hệ qui chiếu
không quán tính và tính chu kì nhiều sách đà làm.
- Việc xác định biên độ dao động sau khi thang máy bắt đầu
chuyển động là một vấn đề mới .
Tôi xin trình bày những suy nghĩ về vấn đề này trong đề tài:
Dao động của con lắc trong thang máy.
B. Nội dung

1. Bài toán 1: Một con lắc đơn có chiều dài dây l, vật có khối lợng m, đang dao động điều hoà với biên độ góc 0 trong một
thang máy đang đứng yên . Gia tốc rơi tự do g. Hỏi chu kì và
biên độ của con lắc thay đổi nh thế nào khi:
a. Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a0 ?
b. Thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a0 ?
Lời giải
Khi thang máy đang đứng yên con lắc đơn dao động với biên
độ góc 0 , với chu kì:

T0 2

l
g

a.Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a0
* Xét chu kì T1:
Các lực tác dơng lªn vËt m: träng lùc P = mg, lùc căng dây T, lực
quán tính Fq = ma0





Theo định luật II Niutơn, ta có: P Fq  T ma0 hay m( g  a0 )  T ma
Theo phơng tiếp tuyến quĩ đạo, ta có: m( g  a0 ) sin  ms" hay
s"

g  a0
s 0
l

(1)

Phơng trình (1) chứng tỏ con lắc dao động điều hoà với chu kì:
T1 2

l
l
2
g a0
g1

(2)

với g1 = g + a0

Vậy: T1 < T0. ( Chu kì giảm ).
* Xét biên độ góc 1 :
Khi thang máy bắt đầu chuyển động vật m ở vị trí có góc lệch ,
có vận tốc v, cơ năng của con lắc bảo toàn. Ta có :
1
1
1
mg 1l 12 mg1l 2  mv 2
2
2
2

víi v 2 2 gl (cos   cos  0 )  gl ( 02   2 )
1


Dao động của con lắc trong thang máy

g1 12  g1 2  g ( 02   2 )
 1   2 

g
( 02   2 )
g1

(3)

víi g1 =

g + a0
(  1 phơ thc vµo gia tốc a0 của thang máy và góc lệch ban đầu
của con lắc lúc thang máy bắt đầu đi lên)
g
2
g1

2

Đạo hàm 1 theo : 1 ' 

(1 

g
2   ( 02   2 )
g1



2

2 

g
)
g1

g

( 02   2 )
g1

Ta cã : g1 > g nªn  1 ’ > 0 víi mäi  > 0
 0   0

th×

g
 1  0
g1

0.

VËy: Biên độ dao động giảm .
Kết luận: Khi thang máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia
tốc a0 thì chu kì giảm và biên độ dao động giảm. ( Chu kì đợc
tính theo biểu thức (2), biên độ tính theo biểu thức (3) ).
b.Thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a 0.
* Xét chu kì T2:
Tơng tự nh trên , ta có:

m( g a 0 ) sin  ms" hay s"

Dao ®éng cã chu k×: T2 2

l
l
2
g  a0

g2

g  a0
s 0
l

(4) víi g2 = g a0

Vì g2 < g nên T2 > T0 .
Vậy: chu kì tăng lên.
* Xét biên độ gãc  2 :
2
T¬ng tù ta cã :   2   

g
( 02   2 )
g2

(5)

V× g2 < g nªn  2 ’ < 0 víi mäi  > 0
 0   0

th×

 0  2 0 .

g
g1

Vậy: biên độ dao động tăng.
Kết luận: Khi thang máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia
tốc a0 thì chu kì tăng và biên độ dao động tăng. ( Chu kì đợc tính
theo biểu thức (4), biên độ tính theo biểu thức (5) ).
2. Bài toán 2:
Một con lắc lò xo có độ cứng k, vật có khối lợng m treo trong một
thang máy đang đứng yên, dao động diều hoà với chu kì T0 và
biên độ A0 .
Hỏi chu kì và biên độ của con lắc thay đổi nh thế nào khi:
2


Dao động của con lắc trong thang máy

a.Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a 0 ?
b.Thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a 0 ?
Lời giải
Chọn hệ toạ độ OX gắn với thang máy: O là vị trí cân bằng, chiều
trục toạ độ thẳng đứng hớng lên.
ở vị trí cân bằng, lò xo giÃn l

mg
k

a.Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a0
* Xét chu kì:
Vị trí cân bằng mới là O1:
O1 có toạ độ : x0 l ' 

l  l ' 

P  Fq
k

 OO1 l '

ma 0
k

ma0
0
k

- Xét sự dao động của m trên trục O1X, xung quanh vị trí cân
bằng mới O1 .


Vật đứng yên ở vị trí cân bằng, ta có : P  Fq  kl1 0 (1)
VËt ®ang dao ®éng ở toạ
độ x1. Theo định luật II Niutơn, ta có :
 


P  Fq  k (l1  x1 ) ma1

Kết hợp với (1)



kx1 ma1

hay

x1 "

k
x1 0
m

(2)

Phơng trình (2) chứng tỏ con lắc dao động diều hoà với chu kì:
T 2

m
T0 (3)
k

Vậy, chu kì không thay đổi.
- Xét biên độ dao động A:
Khi thang máy bắt đầu đi lên vật m có toạ độ x, vận tốc v. Năng lợng dao động điều hoà đối với vị trí cân bằng mới O1 không đổi.
1
2

1
2

1
2

Ta có phơng trình: E  kA 2  mv 2  kx12 víi x1  x  x0 , v 2  2 ( A02  x 2 )
1
1
1
1
 E  kA 2  m 2 ( A02  x 2 )  k ( x  x0 ) 2  k ( A02  x 02  2 x0 x)
2
2
2
2
ma
ma
 A  A02  x 02  2 x 0 x  A02  ( 0 )  2 0 x
(4)
k
k
Ta thÊy: A A0
2 x0
A'
Đạo hàm A theo x :
2 A02  x 02  2 x 0 x

V× x0 < 0 nªn A’ > 0 víi mäi x.
Ta cã bảng biến thiên:

x

-A0

x0/2

A0
AM
3


Dao động của con lắc trong thang máy

A

A0
Am

Am A02  (

ma 0 2
ma
ma 0
)  2 0 A0  A0 
k
k
k

ma 0 2
ma
ma 0
)  2 0 A0  A0 
k
k
k

x
NÕu  A0  0 th× Am  A0
2

AM A02 (

Vậy, khi thang máy đi lên nhanh dần đều thì con lắc dao động
điều hoà với chu kì không thay đổi, với biên độ thay đổi: AM A Am
( A đợc tính theo công thức (4), A phơ thc vµo gia tèc a 0 cđa thang
máy và vị trí x của vật khi thang máy bắt đầu đi lên ).
b.Thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a 0.
Tơng tự nh trên, con lắc có chu kì dao động T = T 0 không thay đổi
và có biên độ dao động A tính theo c«ng thøc:
ma0 2
ma
)  2 0 x (5)
k
k
ma
víi x0 0 0
k
2 x0
Đạo hàm A theo x : A' 
2 A02  x 02  2 x 0 x

A  A02  x02  2 x0 x A02 (

Vì x0 > 0 nên A < 0 với mọi x.
Ta có bảng biến thiên:
x

-A0
x0/2
AM
A

A0

A0
A

m

Với Am A0

ma0
ma
và AM A0 0
k
k

Vậy, khi thang máy đi xuống nhanh dần đều thì con lắc dao
động điều hoà với chu kì không thay đổi, với biên độ thay đổi:
AM A Am ( A đợc tính theo công thức (5), A phụ thuộc vào gia tốc
a0 của thang máy và vị trí x của vật khi thang máy bắt đầu đi
xuống).
3. Bài toán 3:
4


Dao động của con lắc trong thang máy

Các bài toán 1và 2 ở trên có thể giải tơng tự cho trờng hợp thang
máy đi lên chậm dần đều và thang máy đi xuống chậm dần đều.
4. Bài toán 4:
Một con lắc lò xo có: l 0 = 30 cm, k = 10 N/m, m = 100 g, treo trên
trần của một thang máy đang đứng yên, dao động điều hoà với
biên độ A0 = 5 cm. Chọn trục toạ độ Ox gắn với thang máy, gốc O
ở vị trí cân bằng của vật m, trục hớng thẳng đứng đi lên. Khi vật
m đi xuống đến vị trí x = 2 cm thì thang máy đi lên thẳng
đứng nhanh dần đều víi gia tèc a0 = 1 m/s2, lóc ®ã t = 0.
a. Lập phơng trình chuyển động của vật m trên trục toạ độ Ox?
b.Tính chiều dài cực đại và cùc tiĨu cđa lß xo ?
Cho g = 10
2
m/s .
Lêi giải
a. Lập phơng trình chuyển động của vật m trên trục toạ độ
Ox
- Khi thang máy đà đi lên, VTCB míi cđa m lµ O 1 :
OO1  x0 

Fq
k



ma 0
1cm
k

- Khảo sát sự chuyển
động
của m trên trục toạ ®é O 1x:

 
P  Fq  kl1 0
ë VTCB O1:



ở vị trí có li độ x1: P  Fq  k (l1  x1 ) ma1


  kx1 ma1

hay

x1 "

k
x1 0
m

Vậy, m dao động điều hoà xung quanh VTCB O 1 với phơng trình:
x1 A1 sin(t   )

Víi: x1 = x – x0 = x + 1,



k
10(rad / s )
m

Khi t = 0 : x01  A1 sin  2  1 3cm vµ v01 A1 cos    A02  x 2   21
  2,562rad , A1 5,48cm
 x1 5,48 sin(10t 2,562)cm

- Phơng trình dao động trên trục toạ độ Ox:
x = x1- 1
(cm)
b. Tính chiều dài cực đại và cùc tiĨu cđa lß xo:
 x 5,48 sin(10t  2,562) 1

Chiều dài lò xo : l l 0 l  x

víi l 

mg
10(cm)
k

xM = 4,48 cm vµ xm =- 6,48 cm
Chiều dài cực đại của lò xo : l M l 0  l  x M 46,48(cm)
ChiÒu dài cực tiểu của lò xo : l m l 0  l  x m 35,52(cm)
C. KÕt luËn
5


Dao động của con lắc trong thang máy

Trong đề tài : Dao động của con lắc trong thang máy, tôi đÃ
giải bài toán cho cả con lắc đơn và cả con lắc lò xo, ở đây có
một sự tơng tự về cách giải.
Kết quả về biên độ dao động đà đợc kiểm nghiệm trong thí
nghiệm và đa vào giảng dạy cho học sinh lớp 12.
Tôi nghĩ rằng còn phải nghiên cứu nhiều hơn nữa về đề tài này,
rất mong mọi ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp. Tôi xin cảm
ơn!

6