Đề, đáp thi HSG Toán 9 cấp huyện

Phòng gd đt Bình xuyên
thi Khảo Sát hsg THCS
-------------------------
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán.
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------------------------
Câu 1.
a) Cho
( )
347103613
3
++=
x
. Tính
2007
24
34
x
xx
A
+
=
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
1
2007120062005
x
xx

P

++
=
.
Câu 2.
a) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức
xyyxyxxy
++=+++
222
212
b) Tìm ba chữ số khác nhau x, y, z sao cho tổng tất cả các số có ba chữ số
tạo bởi ba chữ số này bằng 3 lần số
xxx
.
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đờng cao AH. Đờng trung trực của
cạnh AB cắt cạnh BC tại M và cắt đờng thẳng vuông góc với BC ở B tại P. Gọi
giao điểm của PC với đoạn thẳng AH là E. Chứng minh rằng:
a)
CB
CH
PB
EH
=
và
MB
CH
PB
AH
=

, rồi từ đó suy ra E là trung điểm của đoạn
thẳng AH.
b)
22
.2. MBPBPMAH
=
.
Câu 4. Cho ba số không âm a, b, c có tổng bằng 1.
Chứng minh bất đẳng thức:
( )( )( )
cbacba
++
21114
.
---------------------------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng gd đt Bình xuyên
thi Khảo Sát hsg THCS
Hớng dẫn chấm thi hsg lớp 9
-------------------------
Môn: Toán.
-----------------------------
b) 1,5 điểm.
Số
xxx
tồn tại nên
0

x
. 0,25đ

Nếu yz=0 => y=0 hoặc z=0
Xét y=0 ta có
xxxzxxzxzzx .30000
=+++
zx 211122
=
vì (122; 211)=1 nên
122;211 zx
vô lý. 0,25đ
Ta cũng xét tơng tự với z=0 0,25đ
Nếu
0

yz
ta có
xxxzyxzxyyxzyzxxzyxyz .3
=+++++

( )
xzy
=+
2
(*) =>
x chẵn m
zy

nên 2(y+z)>4 suy ra x=6 hoặc x=8
Xét x=6 thì từ (*) ta có y+z=3 suy ra y=1, z=2 hoặc y=2, z=1
Xét x=8 thì từ (*) ta có y+z=4 suy ra y=1, z=3 hoặc y=3, z=1 0,5đ
Thử lại, có 4 bộ ba chữ số thoả mãn bài toán là:

(x; y; z)=(6; 1; 2); (6; 2; 1); (8; 1; 3); (8; 3; 1). 0,25đ
Câu 3. (2,5 điểm)
Vẽ đúng hình cho
0,25đ
a) 1,25 điểm.
Vì AH//PB nên áp
dụng định lý Ta lét
vào tam giác CPB ta
có:
)1(
CB
CH
PB
EH
=
0,5đ
Vì đờng thẳng PM là đờng trung trực của cạnh AB nên PM

AB và do đó
PM//AC suy ra
HCABMP


=
. Từ đó hai tam giác vuông AHC và PMB đồng
dạng (góc - góc), suy ra
MB
CH
PB
AH

=
(2) 0,5đ
Từ (1) và (2), do BC=2BM (...) suy ra AH=2EH suy ra AE=EH suy ra E là
trung điểm của AH. 0,25đ
b) 1,0 điểm.
Trong tam giác ABC vuông ở A có đờng cao AH đợc tính:
( )
CHCHBMCHBHAH .2.
2
==
(3) 0,25đ
Thay CH ở (1) vào (3) với AH=2EH ta đợc:
a
b
h m
p
e
c

=
PB
CBAH
PB
CBAH
BMAH
2
.
2
.
2
2
hay
( )
BMAHBMAHPBBMAHPB 2..2..4.4
22
=
hay
( )
PBBMBMPBAH .2
222
=+
(4) 0,25đ
Mặt khác, theo định lý Py-ta-go trong tam giác vuông BPM có
222
PMBMPB
=+
(5) 0,25đ
Từ (4) và (5) ta có điều phải chứng minh. 0,25đ
Câu 4. (2,5 điểm)

Vì a, b, c không âm và a+b+c=1 suy ra
10

b
và b+c=1a 0,25đ
Ta có
)1)(1)((4)1)(1)(1(4 cbcbcba
+=
(1) 0,25đ
áp dụng bất đẳng thức
xyyx 4)(
2
+
ta có
2
)1()1)((4 bccb
++
0,5đ
=>
)1)(1()1()1()1)(1)((4
22
bbbbcbcb
+=++
0,5đ
Do
110
2

b
nên

cbabcbabcbcb
++=+++=++
2)()1()1)(1)((4
(2)
0,5đ
Từ (1) và (2) ta có
cbacba
++
2)1)(1)(1(4
0,25đ
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
1
==
ca
và b=0. 0,25đ
===================================