Một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong chương trình Toán 9

MỤC LỤC
 MỤC LỤC                                                                                                                                   
 
..................................................................................................................................
   
 1
 Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU                                                                                                         
 
........................................................................................................
   
 1
 I.    Đặt vấn đề                                                                                                                              
 
.............................................................................................................................
   
 1
 Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ                                                                                    
 
...................................................................................
   
 2
I. Cơ sở lí luận của vấn đề..........................................................................2
II. Thực trạng vấn đề: ................................................................................3
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: ................................4
V. Hiệu quả SKKN: ..................................................................................18
 Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị                                                                                        
 
.......................................................................................
    
 19
I. Kết luận: ..............................................................................................19

II. Kiến nghị: ..........................................................................................20

 1


Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
 
Trong trường THCS mơn tốn được xem là mơn cơng cụ có tác dụng rèn 
luyện và phát triển tư  duy, đặt nền móng và có sự  hỗ  trợ  rất nhiều cho các 
mơn học khác. Một mặt nó phát triển, hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái  
độ  mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành  ở  bậc tiểu học, mặt khác nó góp 
phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ  cần thiết để  tiếp tục lên 
THPT, TH chun, học nghề  hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất địi 
hỏi những hiểu biết nhất định về tốn học. Vì vậy trong việc dạy tốn địi hỏi 
người giáo viên phải chọn lọc hệ  thống kiến thức đồng thời  sử  dụng đúng 
phương pháp dạy học góp phần hình thành , phát triển tư  duy của học sinh.  
Cùng với việc học tốn học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện về phẩm chất  
đạo đức, các thao tác tư duy để giải tốn. 
Tơi nhận thấy trong chương trình tốn 9  ở  chương 4 phần đại số  thì 
khiến thức về hệ thức Vi­ét là rất quan trọng, nó tính ứng dụng rộng rãi trong 
việc giải tốn. Kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra chương, 
kiểm tra học kỳ, các đề  thi học sinh giỏi lớp 9,... Trong khi đó bài tốn về 
phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi ­ ét  trong sách giáo khoa có nội  
dung và thời lượng tương đối ít, lượng bài tập chưa đa dạng. Trong q trình 
dạy tốn tại trường THCS Bn Trấp năm học 2016 ­ 2017, 2017 ­ 2018 tơi 
nhận thấy học sinh  vận dụng hệ thức Vi­ét vào giải tốn cịn rập khn chưa 
được linh hoạt, chưa vận dụng hệ thức Vi­ét vào được vào nhiều loại tốn.
        Đứng trước thực trạng này, tơi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất  
lượng học tập cho các em, giúp cho học sinh nắm vững kiến thức về định lí 

Vi­ét và sử dụng thành thạo chúng vào các dạng bài tập, qua đó làm tăng khả 
năng tư  duy phát triển các năng lực tốn học, đồng thời kích thích hứng thú  
học tập của học sinh. Đó là lý do tơi chọn nghiên cứu đề  tài: “Một số   ứng 
dụng của định lí Vi­ét trong chương trình tốn 9” 
II. Mục đích nghiên cứu: 
Thơng qua các kiến thức về ứng dụng của định lí Vi­ét sẽ giúp học sinh 
vận dụng thành thạo nhưng 
̃ ứng dụng của hệ  thức Vi­ét trong giải phương  
trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham 
khảo, giúp các em giải được một số bài tập cơ bản và nâng cao.
Trang bị  cho học sinh một số  kiến thức về  ứng dụng của định lí Vi­ét  
nhằm nâng cao năng lực học mơn tốn, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ 
động sáng tạo và sử  dụng các kiến thức đã học để  là cơng cụ  giải quyết  
những bài tập có liên quan.
 1


Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên 
cứu đề tài tơi đã đưa ra các biện pháp như sau:
+ Trang bị cho các em các dạng tốn cơ bản, thường gặp.
+ Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
           + Rèn luyện kỹ  năng nhận dạng và đề  ra phương pháp giải thích hợp 
trong từng trường hợp cụ thể.
+ Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
+  Kiểm tra, đánh giá mức độ  nhận thức của học sinh thơng qua các bài  
kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
+  Đặt ra các tình huống có vấn đề  nhằm giúp các em biết cách tìm tịi 
kiến thức nhiều hơn nữa khơng chỉ bài tốn bậc hai mà cả các dạng tốn khác. 
Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ  thống các phương pháp cơ  bản và 
nhận dạng, hiểu được bài tốn, áp dụng thành thạo các phương pháp đó để 

giải bài tập.
Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận của vấn đề
Chương trình giáo dục phổ thơng mới đã đáp ứng nhiệm vụ nêu tại Nghị 
quyết số 29­NQ/TW là "Xây dựng và chuẩn hóa nội dung giáo dục phổ thơng  
theo hướng hiện đại, tinh gọn, bảo đảm chất lượng, tích hợp cao  ở  các lớp  
học dưới và phân hóa dần  ở  các lớp học trên; giảm số  mơn học bắt buộc;  
tăng mơn học, chủ đề và hoạt động giáo dục tự chọn". Để thực hiện tốt Nghị 
quyết thì  Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể đã xác đinh mục tiêu của  
Bậc THCSlà : giúp học sinh phát triển các phẩm chất, năng lực đã được hình 
thành và phát triển ở cấp tiểu học; tự điều chỉnh bản thân theo các chuẩn mực  
chung của xã hội; biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để  hồn 
chỉnh tri thức và kỹ năng nền tảng; có những hiểu biết ban đầu về các ngành  
nghề  và có ý thức hướng nghiệp để  tiếp tục học lên THPT học nghề  hoặc  
tham gia vào cuộc sống lao động.
Nội dung của hệ thức Vi­ét và ứng dụng hệ thức Vi­ét : 
Hệ thức Vi­ét: 
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0)  thì: 
x1 + x2 = −
x1.x2 =

b
a

c
a

Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt)
+ Nhẩm nghiệm:  Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0) 
 2

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = 
 

c
a

Nếu a ­ b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = ­1, x2 = ­
+ Nếu có hai số u và v thỗ mãn: 

c
a

S =u+v
   thì u và v là hai nghiệm của 
P = u.v

phương trình:   x2 – Sx + P = 0.  Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P   0.
Nội dung của hệ thức Vi­ét và ứng dụng hệ  thức Vi­ét  nằm  ở  chương 
IV phần đại số 9, tiết 57 + 58 trong đó có: 
+ Tiết lý thuyết: Học sinh được học định lí Vi­ét và ứng dụng hệ  thức  
Vi­ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai và tìm hai số khi biết tổng và  
tích của chúng.
+ Tiết Luyện tập : Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết 
vừa học.
II. Thực trạng vấn đề: 
Theo chương trình học như  trên, thì học sinh được học Định lý Vi­ét 
nhưng khơng có nhiều thời gian đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi­
ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi­ét chưa linh hoạt. 

Qua việc dạy tốn tại trường THCS Bn Trấp tơi nhận thấy các em  
học sinh cịn vận dụng máy móc chưa thực sự linh hoạt, chưa khai thác và sử 
dụng hệ thức Vi­ét vào giải nhiều dạng tốn, đặc biệt dạng phương trình bậc 
hai có chứa tham số. 
Các bài tốn cần áp dụng hệ thức Vi­ét rất đa dạng có mặt trong nhiều  
kỳ thi quan trọng như bài kiểm tra chương IV, thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi,  
thi vào một số trường THPT...  
Số lượng học sinh tự học, tìm tịi thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…
để  nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả  năng học mơn Tốn giữa các em 
trong lớp học khơng đồng đều. Bên cạnh đó một bộ phận khơng nhỏ học sinh  
cịn yếu trong kỹ năng biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích hai 
nghiệm của phương trình bậc hai. Vì vậy khi găp một số  bài tốn dạng: Tìm 
giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện  
cho trước hoặc lập hệ thức giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số, ...  
thì với học sinh đại trà, đa số  các em thường tỏ  ra lúng túng, khơng biết cách 
giải.
Bên cạnh đó dưới tác động của xã hội đã làm một số  học sinh khơng 
làm chủ được mình nên đã đua địi, ham chơi, khơng chú tâm vào học tập mà 
dẫn thân vào các tệ  nạn xã hội như  chơi game, bi da, đánh bài ... Một số  gia  
đình có điều kiện cịn mãi lo làm kinh tế, khơng có thời gian quan tâm đến 
việc học hành của con em mình dẫn đến các em có kết quả học tập khơng tốt.
 3


Kết quả  bài kiểm tra liên quan đến việc  ứng dụng hệ  thức Vi­ét trong  
năm học 2016 ­ 2017 của lớp 9A5,6,7 khi chưa áp dụng các nội dung của chuyên 
đề:
Lớp

Sĩ số

Điể
học sinh m 
giỏi

TL  Điểm  TL 
%
khá
%

Điểm  TL 
TB
%

Điểm 
dưới 
TB

TL 
%

9A5

40

02

5

07

17.5 11

27.5 19

47.5

9A6

35

02

5.7

05

14.3 13

37.1 15

42.9

9A7

36

04

11.

1

05

13.9 07

19.4 20

55.6

Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về việc vận dụng hệ thức Vi­ét  
trong q trình giảng dạy, tơi đã củng cố từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết 
và tiết luyện tập về hệ thức Vi­ét để học sinh được khắc sâu thêm, đồng thời  
rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày bài tốn khi gặp các dạng này. 
Rèn luyện các kỹ  năng nhận dạng, phân dạng tốn có sử  dụng hệ  thức 
Vi­ét để giải nhằm giúp học sinh nắm được đề ra và đưa ra phương pháp giải 
thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. 
Các em khơng cịn gặp bất ngờ, khó khăn khi gặp các dạng bài tốn có sử 
dụng hệ thức Vi­ét từ  đó các em cảm thấy dần hứng thú, say sưa khi học về 
chun đề Hệ thức Vi­ét và ứng dụng của nó.
Khơng chỉ áp dụng sáng kiến vào q trình giảng dạy của cá nhân mà tơi 
cịn đưa nội dung chun đề  cho bạn đồng nghiệp trong trường tham khảo.  
Kết quả  nhận được các phản hồi tích cực của các bạn đồng nghiệp. Qua áp 
dụng SKKN trên tơi thấy đa số học sinh đều vận dụng được hệ thức Vi­ét vào  
giải các bài tốn cơ bản, đạt kết quả học tập tốt hơn. 
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: 
Trang bị cho các em các dạng tốn cơ bản, thường gặp.
Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
Rèn kỹ  năng nhận dạng và đề  ra phương pháp giải thích hợp trong từng 
trường hợp cụ thể.

Kiểm tra, đánh giá mức độ  nhận thức của học sinh thơng qua các bài 
kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
Tạo hứng thú qua các dạng tốn áp dụng hệ  thức trong giải tốn về 
phương trình bậc hai thơng qua các bài tốn có tính tư duy, g iúp học sinh có tư 
duy linh hoạt và sáng tạo.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0) (*)
Ứng dụng 1:   Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
 4


      Trường hợp 1:  Phương trình bậc hai có các hệ  số  có quan hệ  đặc  
biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu a + b + c = 0   phương trình (*) có nghiệm  x1 = 1  và  x2 =

c
a

b) Nếu a  −  b + c = 0   phương trình (*) có nghiệm  x1 = −1 và  x2 =

−c
a

Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Tốn 9_tập 2):  
Khơng giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
 
a)   35x2 ­ 37x + 2 = 0    ;       c)   x2 ­ 49 x ­ 50 = 0  
 
Giải:
     a) Phương trình: 35x2 ­ 37x + 2 = 0.

Ta có a + b + c = 35 + (­ 37) + 2 = 0, nên phương trình có hai nghiệm:
c
a

x1 = 1,  x2 =   = 

2
35

    c) Phương trình: x2 ­ 49 x ­ 50 = 0
Ta có  a ­ b + c = 1 ­ 49 ­ 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: 
c
a

x1= ­1; x2 =  −  = 50
    Lưu ý : Đối với câu a, thì HS thường hay nhầm lẫm phương trình có các  
hệ số a ­ b + c = 0. Vì vậy trước hết giáo viên phải u cầu HS xác định rõ các  
hệ số, rồi đối chiếu xem thuộc trường hợp nào? 
Ví dụ 2(Bài 31/54 Sgk Tốn 9_tập 2):  
Khơng giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
b)

(

)

3x 2 − 1 − 3 x − 1 = 0 ;

2
d)  ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( m 1)

Giải:
 b) Phương trình:  3x 2 − ( 1 − 3 ) x − 1 = 0

(

)

Ta có  a − b + c = 3 + 1 − 3 − 1 = 0 , nên phương trình có hai nghiệm: 
c
a

x1= ­1; x2 =  −  = 

1
3
=
3
3

2
d) Phương trình:  ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( m 1)
 Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m 0).
Ta có   a + b + c = m − 1 − ( 2m + 3) + m + 4 = 0 , nên phương trình có hai nghiệm: 

c
a

x1= 1;  x2 = =

m+4
m −1

Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm ngun đơn giản, ta  
có thể nhẩm nghiệm như sau:
Phương pháp: 
 5


b
a

­

Bước 1: Tính  x1 + x2 = −  và  x1.x2 =

­

Bước 2: Nếu  −

b
a

Z  và 

c
a

c
a

Z thì ta dễ dàng tìm được 2 nghiệm của pt.

Ví dụ 3(Bài 31/54 Sgk Tốn 9_tập 2) 
Nhẩm nghiệm của phương trình sau:
a) x2 ­ 7x + 12 = 0
;
b) x2 + 7x + 12 = 0
Giải:
a)  Ta có:  3 + 4 =

−b
c
= 7  và  3.4 = = 12 .
a
a

Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 3, x2 = 4. 
 b) Tương tự như câu a) ta có ­3 + (­4) = ­7 và (­3)(­4) = 12. 
 Ta nhẩm được hai nghiệm là  x1 = −3; x2 = −4
Bài tập vận dụng: Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1.  7 x 2 + 500 x − 507 = 0
2.  1,5 x 2 − 1, 6 x + 0,1 = 0

(

)

(

)

3.  2 − 3 x 2 + 2 3x − 2 + 3 = 0
Ứng dụng 2: Tìm giá trị  của tham số  khi biết một nghiệm của 
phương trình đã cho và tìm nghiệm cịn lại.
Phương pháp: 
      + Cách 1: Thay giá trị  nghiệm đã biết vào phương trình để  tìm tham số,  
sau đó kết hợp với hệ thức Vi­ét để tìm nghiệm cịn lại.
     + Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi­ét  
để tìm nghiệm cịn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi­ét cịn lại để tìm giá trị  
của tham số.
Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Tốn 9_tập 2)
Dùng hệ thức Vi – ét để  tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị 
của m trong mỗi trường hợp sau:  
a) Phương trình x2 + mx ­ 35 = 0 (1), biết nghiệm x1=7
b) Phương trình x2 ­ 13x + m = 0 (2), biết nghiệm x1=12,5
Giải:  a) Phương trình  y2 ) = ( 5;3) .
Ví dụ 5:  Giải hệ phương trình:
x 2 + xy + y 2 = 4
           a) 
     
x + xy + y = 2

   b) 

xy ( x + 1)( y − 2) = −2
x2 + x + y 2 − 2 y = 1

 14

Giải:
S2 − P = 4
      a)   Đặt S = x + y; P = xy  ta có hệ phương trình :  
     
S+P=2

            

S = 2 ,  P = 0 hoặc S = ­3;  P = 5

Do đó ta có: 

x+ y = 2
x + y = −3
    hoặc 
xy = 0
xy = 5

Suy ra    x, y  là nghiệm phương trình  X2 ­ 2X = 0 (1)  hoặc  X2 + 3X + 5 = 0 
(2)
Giải (1) được: X1 = 0; X2 = 2.
Giải (2):  ∆ = 32 − 4.1.5 = −11 < 0    phương trình (2) vơ nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  là :  ( x1 ; y1 ) = ( 0; 2 ) ,  ( x2 ; y2 ) = ( 2;0 )
           b)       Đặt   x2  + x = S;     y2  ­ 2y = P ta đưa về  hệ  đối xứng hai  ẩn sau: 
SP = −2
      
S + P =1

Suy ra S, P là nghiệm phương trình  X2 ­ X ­ 2 = 0.

 Giải ra ta được X1= ­1;  X2 = 2. Vậy 

S
P

1
S
 hoặc 
2
P

2
1

x + x = −1
x +x=2
    ho
ặ
c  (II)
y2 − 2 y = 2
y 2 − 2 y = −1
2

 Từ đó ta có  (I)

2

Hệ (I) vơ nghiệm. Hệ (II) có hai nghiệm là:  ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) ,  ( x2 ; y2 ) = ( −2;1)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:  ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) ,  ( x2 ; y2 ) = ( −2;1)
Bài tập áp dụng  ( Đề thi HSG tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011)

Giải hê ph
̣ ương trinh : 
̀

xy − x + y = 7
x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 11

    (I)

Hướng dẫn: 
Hê ph
̣ ương trinh (I)
̀

( u + v)
uv = 6

2

= 25

( x+1) ( y −1) = 6
( x+1) 2 + ( y −1) 2 =13

Đặt u = x+1; v = y­1. Ta có 

       

Có hai trường hợp :
u+v =5 �

u =3 �
u=2
�
�x = 2 �x = 1
��
��
��
��
 
uv = 6
v=2 �
v=3
�
�
�y = 3 �y = 4
u + v = −5 �
u = −3 �
u = −2
�
�x = −4 �x = −3
��
��
��
��
+ Trường hợp 2:  �
uv = 6
v = −2 �
v = −3
�
�

�y = −1 �y = −2

+Trường hợp 1:  �

Ứng dụng 7:  Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp: Dựa vào quan hệ về  dấu của tổng và tích hai số  với dấu của  
hai số  đó, kết hợp với hệ  thức Vi­ét thì ta sẽ  xét được dấu của hai nghiệm  
hoặc tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu. 
 15


∆
Dấu nghiệm x1
x2
S
P
Điều kiện chung
m
Trái dấu 
P < 0
m
∆ 0 ; P > 0
Cùng dấu 
P > 0 ∆ 0
∆ 0 ; P > 0 ; S > 0
Cùng dương  +
+ S > 0 P > 0 ∆ 0
Cùng âm 
­
­

S < 0 P > 0 ∆ 0 ∆ 0  , P > 0 và S < 0
Chú ý:  Trước khi xét dấu nghiệm, cần chú ý xét xem phương trình có nghiệm  
hay khơng. 
Ví dụ 1 : Khơng giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trình 
sau:
     a)   x2 ­ 2x + 5 = 0
         
b)   x2 ­ 2x ­ 5 = 0
     c)   x2  ­ 5x +1 = 0
d)   x2 + 5x +1 = 0
Giải: 
      a) Ta có    ' = ­4 < 0 nên phương trình vơ nghiệm
      b)  Ta có   P = ­5 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
∆' = 2 > 0

      c)  Ta có  S = 5 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  
P =1> 0
∆' = 2 > 0
       d) Ta có  S = −5 < 0  nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
P =1> 0

Ví dụ 2:  Cho phương trình: x2 + (2m ­ 1)x + m ­ 1 = 0 (m tham số)  (1)
Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có:
         a) Hai nghiệm trái dấu.
         b) Hai nghiệm phân biệt đều âm.
         c) Hai nghiệm phân biệt đều dương.
         d) Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Giải: 
2
2

Ta có:  ∆ = ( 2m − 1) − 4. ( m − 1) = 4m 2 − 4m + 1 − 4m + 4 = 4m 2 − 8m + 5 = 4 ( m − 1) + 1
              Vì  4 ( m − 1) �0∀m � 4 ( m − 1) + 1 > 0∀m  với mọi m).
     � ∆ > 0∀m  
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P < 0 hay  m − 1 < 0     m < 1 
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi 
2

2

∆>0
∀m
�
�
1
m>
�
�
�
S
<
0
�
1
−
2
m
<
0
��
                             �

�
� 2
�
�
�
m >1
P >0
m −1 > 0
�
�

m > 1         

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi
∆>0
�
� ∀m
1
m<
�
�
�
1 − 2m > 0 � � 2
                       �S > 0 � �
�P > 0
�m − 1 > 0
�
m >1
�
�

khơng có giá trị  nào của m thoả mãn
 16


d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau 
tức là phương trình có hai nghiệm đối nhau .
Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi 

∆ 0
  
S =0

 1 ­ 2m = 0   m = 

1
2

1
2
Ứng dụng 8: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a   0) với Parabol 
(P):y = mx2 (m   0):
8.1. Lập phương trình đường thẳng y = ax + b  (a   0) đi qua 2 điểm A 
(xA; yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m   0).
Cơ sở lý luận : Do đường thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hồnh độ giao  
điển là nghiêm của phương trình: mx2 = ax + b   mx2 ­ ax ­ b = 0. 
Vậy  m =

Theo hệ thức Vi­et, ta có:  

xA

xB

x A .x B

a
m
     (*)
b
m

Từ (*) tìm a và b   Phương trình  (d)
Ví dụ  1:   Cho Parabol (P) có phương trình (P): y = x 2. Gọi A và B là 2 điểm 
thuộc  (P)  có hồnh độ  lần lượt xA  = ­ 1 ; xB  = 2. Lập phương trình đường 
thẳng đi qua A và B.
Giải: Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b (a   0) 
Phương trình hồnh độ giao điểm của (AB) và (P) : 
x2 = ax + b   x2 ­ ax – b =0 (*).
Ta có: xA = ­ 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*).
xA xB a
a 1
Theo hệ thức Vi­ et, ta có:  
     
b 2
xA xB
b
      Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2.
8.2. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm 
M(xM; yM)

Cơ sở lý luận : Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phương trình:
mx2 ­ ax ­ b = 0 có nghiệm kép: x1 = x2. Vận dụng hệ thức Vi­et, ta có:
x1
x 1x 2

x2

a
b
m

Ví dụ 2: Cho (P):  y

    a và b    phương trình tiếp tuyến.
x2
4

; A   (P) có hồnh độ  xA = 2 lập phương trình đường 

thẳng tiếp xúc với (P) tại A.
 Giải    : Giả  sử  phương trình tiếp tuyến tại A là (d) : y = ax + b. Phương trình 
x2
hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là :  = ax + b   x2 ­ 4ax ­ 4b = 0   (*)
4
 17


Ta có: xA = 2 là nghiệm kép của (*): x1 = x2 = 2
Theo Viet ta có: 

x1
x 1x 2

x2

4a
4b

   

a 1
b

1

Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x ­ 1
IV. Tính mới của giải pháp: 
Qua 3 năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến của mình tơi  
thấy khả  năng vận dụng các kiến thức về   ứng dụng hệ  thức Vi­ét  của học 
sinh đã có nhiều tiến bộ, thể hiện ở chỗ đa số học sinh biết cách giải tốn linh  
hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm tịi kiến thức mới góp phần nâng cao  
chất lượng dạy và học trong nhà trường.
Các  ứng dụng của hệ  thức được sắp xếp khoa học, có tính logic, từ 
dạng cơ  bản đến mở  rộng nâng cao phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. 
Hầu hết các dạng bài đều xuất phát từ  các bài tập cơ  bản trong sách giáo 
khoa, sách bài tập, sách mơ hình trường học mới, sau đó phát triển dần lên 
nhằm kích thích tính tư duy sáng tạo của học sinh. 
Việc phân dạng, chọn các ví dụ  tiêu biểu giúp hình thành đường lối tư 
duy cho học sinh thì sẽ  tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, 
nhớ lâu. Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh phân biệt dạng và tìm ra cách  

giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ  nắm vững vấn đề, phát 
hiện ra cách giải và tìm ra phương pháp phù hợp nhất, khoa học nhất. 
Sáng kiến kinh nghiệm được viết theo chun đề  nên mang tính tổng  
quan, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Các ví dụ và bài tập đưa ra bám  
sát theo định hướng phát triển năng lực của học sinh, chú trọng hình thành và 
rèn luyện các kĩ năng cho các em.
Qua việc nghiên chun đề thì người giáo viên giang day toan co mơt cai
̉
̣
́ ́ ̣ ́ 
nhin tơng quat vê các 
̀ ̉
́ ̀
ứng dụng của định lý Vi­ét trong chương trình tốn 9, 
cập nhât th
̣ ương xun nh
̀
ưng d
̃ ạng toan, nh
́
ưng thu tht giai toan hiêu qua. 
̃
̉
̣
̉
́
̣
̉
V. Hiệu quả SKKN: 
Trên đây là là một số   ứng dụng của hệ  thức Vi­ét trong chương trình 

tốn 9 mà tơi đã áp dụng giảng dạy thực tế  tại trường THCS Bn trấp, tơi 
nhận thấy hiệu quả học tập của học sinh đã được nâng lên đáng kể  đặc biệt 
là đối tượng học sinh trung bình, cũng như trong q trình ơn luyện, bồi dưỡng 
học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt. Tơi cùng các đồng nghiệp đã thu được kết 
quả như sau:
     + Học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tốn cơ bản  
đạt hiệu quả cao đối với học sinh trung bình. Đối tượng học sinh khá giỏi đã 
 18


biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về   ứng dụng định lý Vi­ét để  giải các 
bài tốn khó, mới trong các đề thi.
+ Đã cải thiện rất lớn về năng lực giải phương trình bậc hai và bậc ba của 
học sinh. Học sinh phần nào đã biết cách phân dạng, sử  dụng khá linh hoạt 
các phương pháp biến đổi để giải tốn, đặc biệt các em đã chú ý hơn việc tìm 
điều kiện xác định và đã có ý thức kiểm tra lại kết quả có thỏa mãn điều kiện 
của bài tốn hay khơng.    
+ Học sinh tiếp thu bài nhanh hơn dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học  
tập và u thích bộ mơn tốn hơn.
+ Học sinh tránh được những sai sót cơ  bản hay gặp phải trong q trình 
giải tốn liên quan đến ứng dụng hệ thức Vi­ét.
+ Trong thời gian năm học 2017 ­ 2018 áp dụng SKKN này vào giảng dạy tơi  
đã thu được kết quả  bài kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi­ét 
như sau: 
Lớp

Sĩ số

Điể
học sinh m 

giỏi

TL  Điểm  TL 
%
khá
%

Điểm  TL 
TB
%

9A3

39

10

25.
6

11

28.2 13

9A5

40

11

27.
5

14

35

9A7

36

13

36.
1

10

27.7 7

6

Điểm 
dưới 
TB

TL 
%

33.3

05

12.8

15

09

22.5

19.4

06

16.6

+ Qua nghiên cứu SKKN này người giáo viên đã hệ  thống, phân loại bài 
tập thành từng dạng, xây dựng kiến thức từ cũ đến mới, từ  cụ  thể  đến tổng 
quát, từ  dễ  đến khó, từ  đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ  nhận  
thức của học sinh.
+ Giáo viên có tài liệu tham khảo khi giảng dạy các tiết tăng tiết tại trường  
cũng như ơn luyện học sinh giỏi.
Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị
I. Kết luận: 
“Một số ứng dụng của định lí Vi­ét trong chương trình tốn 9” là tài liệu 
và kinh nghiệm giảng dạy có ý nghĩa quan trọng trong chương trình đại số  9.  
 19

Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả  trong  
việc giải các bài tốn có liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai và 
phương trình bậc cao hơn. Qua q trình dạy cịn giúp học sinh từng bước 
hình thành và phát triển tư  duy tốn học để  vận dụng hiệu quả  vào các mơn 
học khác, vào thực tiễn cuộc sống.
Một số ứng dụng của hệ thức Vi­ét giải là một tài liệu dạy học đem lại 
hiệu quả cao trong q trình dạy nội dung chương 4 đại số 9.  Nhưng để đạt 
hiệu quả  tốt nhất thì người giáo viên trước khi giải một bài tốn thì cần cho 
học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ dễ đến khó để tìm ra phương pháp  
phù hợp để giải. Sau đó cho học sinh sẽ giải các bài tập tương tự cùng dạng 
và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phương pháp giải. 
Đối với mỗi chun đề  tốn học chúng ta đều dạy theo từng dạng, đi 
sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư  duy, hướng giải và phát triển bài tốn. Sau  
đó ra bài tổng hợp để  học sinh phân biệt dạng và tìm ra cách giải thích hợp  
cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề  và tơi tin chắc rằng 
tốn học sẽ  là niềm say mê với tất cả  học sinh. Phần đơng các em đều có 
hứng thú làm bài tập nếu như bài tập đó có phương pháp giải hoặc vận dụng  
các phương pháp giải của một loại tốn khác.  
Đê co thê găt hai đ
̉ ́ ̉ ̣ ́ ược những thanh cơng thì đoi hoi cac em h
̀
̀ ̉ ́
ọc sinh phaỉ  
co mơt s
́ ̣ ự  nơ l
̃ ực rât l
́ ớn, mơt s
̣ ự  quyêt tâm hoc tâp h
́
̣ ̣ ết kha năng cua ban thân

̉
̉
̉
 
minh. Chinh vi vây s
̀
́
̀ ̣ ự  đông viên, quan tâm, giup đ
̣
́ ỡ cua lanh đao nhà tr
̉ ̃
̣
ường, 
gia đinh va nh
̀
̀ ưng giao viên  la rât l
̃
́
̀ ́ ớn. Nhât la đôi v
́ ̀ ́ ơi l
́ ứa tuôi hoc sinh l
̉
̣
ớp 9,  
khi mà đăc điêm tâm li l
̣
̉
́ ưa tuôi cua cac em co tac đông không nho đên viêc hoc
́
̉

̉
́
́ ́ ̣
̉ ́
̣
̣  
tâp cua cac em. Trong q trình d
̣
̉
́
ạy học giáo viên phải khéo léo lồng ghép các 
tình huống “có vấn đề”  nhằm thu hút và phát huy sự sáng tạo cho học sinh. 
Những ứng dụng của hệ thức là vấn đề  tương đối mới mẻ  và hết sức 
khó khăn cho học sinh  ở  mức trung bình nên giáo viên cần cho các em làm 
quen dần. Vì các dạng tốn trong SKKN này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ 
những kiến thức rất cơ bản trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến 
thức, biết tư duy sáng tạo tìm cách giải dạng tốn mới. 
Do kinh nghiệm cịn hạn chế  nên q trình viết khó tránh khỏi những  
đơn điệu và hạn chế, nhưng tơi hi vọng rằng một phần nào đó giúp chúng ta 
hiểu kỹ hơn về một số ứng dụng của hệ thức Vi–ét trong chương trình tốn 9. 
Tơi thực sự mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp xây dựng của các  
thầy cơ giáo, các bạn đồng nghiệp để  đề  tài này thực sự  hấp dẫn và có hiệu 
quả khi đến với các em học sinh.
II. Kiến nghị:  
Giáo viên có chương trình hướng dẫn, định hướng cho học sinh chọn  
mua sách tham khảo tất cả các mơn học. Đối với việc bồi dưỡng HSG tốn 9 
 20


nên chia từng mảng kiến thức cho từng giáo viên ơn tập để chất lượng giảng  

dạy được nâng lên.
Nhà trường tiếp tục tổ chức học tăng tiết cho học sinh lớp 9 để  các em  
có thể ơn tập, mở rộng kiến thức.
Phịng GD & ĐT Krơng Ana tổ  chức nhiều buổi chun đề  về  từng  
mảng kiến thức khó để  giáo viên có thể  chia sẻ, học tập lẫn nhau và khơng  
ngừng nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ. 
Phổ  biến các sáng kiến kinh nghiệm hay cấp huyện, cấp tỉnh thành các 
chun đề để giáo viên chúng tơi được học tập, góp phần nâng cao chất lượng  
giảng dạy. 
Bn Trấp, ngày 02 tháng 03 năm 2019
Người viết
­
Nguyễn Thị Cẩm Linh

 21


NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN 

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN 
………………………………………………………………………………
 22

………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN 

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Sách giáo khoa, sách bài tập tốn 9
2) Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng mơn Tốn trung học cơ 
sở.
3) Sách Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi tuyển sinh vào lớp 
10 ( Tác giả: Trần Thị Vân Anh). Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
4) Bồi   dưỡng  học   sinh  giỏi  tốn   9   (   Nhóm  tác   giả:  Nguyễn   Đức  Tân, 
Nguyễn Anh Hồng, Nguyễn Đồn Vũ, Phan Bá Trình, Nguyễn Văn Danh, Đỗ 
Quang Thanh…). Nhã xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
5) Sách 50 bộ  đề  tốn thi vào lớp 10 chun chọn ( Tác giả: Minh Tân ). 
Nhà xuất bản Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.
6) Sách Bài tập thực hành tốn 9, tập hai ( Tác giả: Qch Tú Chương,  
Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hồng). Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
7) Các tài liệu tham khảo về hệ thức Vi­ét trên Internet,...  

 23