Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn cơ chế tán xạ điện tử phonon quang
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.51 MB, 60 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------
HOÀNG THỊ HƢỜNG
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ
HÌNH TRỤ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------
HOÀNG THỊ HƢỜNG
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ
HÌNH TRỤ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số
: 60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội – 2015
MỤC LỤC
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU............................................................................................................ 1
CHƢƠNG 1
DÂY LƢỢNG T Ử HÌNH TRỤ VÀ LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG RADIO
ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI ...................................................................... 4
1.1.
Dây lượng tử. ......................................................................................... 4
1.1.1. Khái về dây lượng tử. ................................................................................ 4
1.1.2.
Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử và phonon giam cầm trong dây
lượng tử hình trụ với thế cao vơ hạn ..................................................................... 4
1.2.
Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Radio điện trong bán dẫn khối.................. 6
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ TRƢỜNG RADIO ĐIỆN TRONG
DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN KHI KỂ ĐẾN
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM .................................................... 8
2.1. Hamiltonian của điện tử - phonon trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vơ
hạn khi kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm .................................................. 8
2.2. Phương trình động lượng tử của điện tử trong dây lượng tử hình trụ với hố thế
cao vơ hạn khi kể đế n ảnh hưởng của phonon giam cầ m . ..................................... 10
2.3 Biểu thức mật độ dịng tồn phần ................................................................ 22
2.4. Biểu thức giải tích cho trường radio điê ̣n .................................................... 36
CHƢƠNG 3 ..................................................................................................... 45
TÍNH TỐN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO DÂY
LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN GaAs/GaAsAl................ 45
3.1. Sự phụ thuộc của trường radio-điện vào tần số của bức xạ laser. ....................... 46
3.2. Sự phụ thuộc của trường radio điện vào nhiệt độ. ......................................... 47
KẾT LUẬN...................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO. .............................................................................. 49
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 51
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Trang
Bảng 3: Tham số vật liệu được sử dụng trong q trình tính tốn
45
DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của trƣờng radio điện vào tần số của bức
xạ laser
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của trƣờng radio điện vào nhiệt độ
46
47
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Những năm gần đây, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ vật liệu
mới, các nhà khoa học đã tìm ra nhiều phương pháp tạo ra các cấu trúc nano khác
nhau, trong đó có bán dẫn thấp chiều (như siêu mạng, hố lượng tử, dây lượng tử,
chấm lượng tử...). Việc nghiên cứu các loại vật liệu mới này cho ra đời nhiều cơng
nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật như: các vi
mạch, diot huỳnh quang điện, pin mặt trời, … Khi nghiên cứu các hệ điện tử thấp
chiều này người ta thấy, không những tính chất vật lý của các điện tử bị thay đổi
một cách đáng kể, mà còn xuất hiện trong chúng thêm nhiều đặc tính mới khác hồn
tồn so với hệ điện tử ba chiều thông thường.
Trong bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động tự do trong tồn mạng
tinh thể (cấu trúc 3 chiều), còn ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị
giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một, hai, hoặc ba hướng tọa độ nào đó. Phổ năng
lượng của các hạt tải cũng bị gián đoạn theo các phương này. Sự lượng tử hóa phổ
năng lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các tính chất vật lý của hệ như:
tương tác điện tử - phonon, tính chất điện, tính chất quang [1, 2], ... Do vậy, các đặc
trưng của vật liệu như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, tensor độ dẫn … cũng thay
đổi. Theo đó, khi chịu tác dụng của trường ngồi, các bài tốn trong các hệ thấp
chiều như: tính tốn mật độ dịng, tính tốn hệ số hấp thụ, tính tốn dịng âm điện,
trường âm điện, hiệu ứng Hall, hiệu ứng radio điện… sẽ cho các kết quả mới, khác
biệt so với trường hợp bán dẫn khối [3, 8-12].
Dưới ảnh hưởng của trường điện từ mạnh cao tần, cùng sự tương tác của điện
tử và phonon, trong bán dẫn khối cũng như các hệ thấp chiều xuất hiện các hiệu ứng
vật lý thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Một trong các hiệu
ứng vật lý được nghiên cứu đó là hiệu ứng radio điện. Hiệu ứng radio - điện trong
bán dẫn khối đã được nghiên cứu trong những năm 80 của thế kỷ trước. Hiệu ứng
radio – điện trong hệ hai chiều được nghiên cứu gần đây trong [4 - 5, 8]. Những đặc
tính của hiệu ứng radio điện trong hệ một chiều, đặc biệt là với sự có mặt của
trường laser đã được nghiên cứu [7]. Tuy nhiên, bài tốn nghiên cứu về hiệu ứng
radio điện có kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm trong dây lượng tử hình trụ
với thế cao vơ hạn (cơ chế tán xạ điện tử- phonon quang) vẫn cịn đang bỏ ngỏ.Vì
1
vậy, trong luận văn này tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là: “Ảnh hưởng của phonon
giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn
(cơ chế tán xạ điện tử-phonon quang)”.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Để tìm được lời giải cho bài tốn về hiệu ứng radio-điện trong dây lượng tử
hình trụ (trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang), ta có thể áp dụng nhiều phương
pháp lý thuyết khác nhau như lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green, phương
pháp tích phân phiến hàm, phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp đều có
những ưu nhược điểm của nó, nên việc sử dụng phương pháp nào tốt hơn chỉ có thể
được đánh giá tùy vào từng bài toán cụ thể.
Trong luận văn của mình, tơi đã sử dụng:
- Phương pháp phương trình động lượng tử để thu nhận biểu thức giải tích của
trường radio - điện E0 trong dây lượng tử hình trụ với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ
điện tử - phonon quang). Đây là phương pháp được sử dụng nhiều và có những ưu
việt khi nghiên cứu các vật liệu bán dẫn thấp chiều.
- Ngồi ra, tơi cịn sử dụng chương trình Matlab để tính tốn số và đồ thị sự phụ
thuộc của trường radio - điện E0 vào tần số của bức xạ laser , và nhiệt độ T với
dây lượng tử hình trụ GaAs/GaAsAl để minh họa tính tốn lý thuyết.
3. Cấu trúc của luận văn.
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và ba chương sau:
Chương 1: Dây lượng tử hình trụ và lý thuyế t lượng tử về hiê ̣u ứng radio điê ̣n
trong bán dẫn khố i.
Chương 2: Phương trình động lượng tử và hiệu ứng radio điện trong dây lượng
tử hình trụ với thế cao vơ hạn khi kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm.
Chương 3: Tính tốn số và vẽ đờ thị kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình tr ụ
với thế cao vô haṇ GaAs/GaAsAl.
4. Các kết quả thu đƣợc của luận văn.
So sánh khi có ảnh hưởng của phonon khi bị giam cầm và khi phonon không bị
giam cầm trong dây lượng tử hình trụ, ta thấy phonon khi bị giam cầm có ảnh
2
hưởng đáng kể tới giá trị truờng radio-điện của hệ, cụ thể là làm tăng trường radio –
điện lên khoảng 1,5 – 1,6 lần và ta không thể bỏ qua sự ảnh hưởng này. Trong
trường hợp giới hạn khi chỉ số giam cầm phonon tiến tới 0 ta sẽ thu được kết quả
tương ứng với trường hợp phonon không giam cầm.
Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa học, góp phần vào
phát triển lý thuyết về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn thấp chiều.
3
CHƢƠNG 1
DÂY LƢỢNG TƢ̉ HÌNH TRỤ VÀ LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG RADIO
ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1.
Dây lƣợng tử.
1.1.1. Khái niệm về dây lượng tử.
Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều trong đó
chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), chỉ có
một chiều được chuyển động tự do (trong một số bài toán chiều này thường được
gọi là vơ hạn); vì thế hệ điện tử cịn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trên
thực tế chúng ta đã chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt.
Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa
hữu cơ kim loại MOCVD. Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên
một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn
trên hệ khí điện tử hai chiều.
Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có thể giải dễ
dàng nhờ phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều :
2
H
2 V(r) U(r) E
2m *
(1.1)
Trong đó:
U(r): là thế năng tương tác giữa các điện tử,
V r : là thế năng giam giữ các điện tử do sự giảm kích thước,
m*: là khối lượng hiệu dụng của điện tử.
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử và phonon giam cầm trong dây
lượng tử hình trụ với thế cao vơ hạn
Xét bài tốn với dây lượng tử hình trụ có bán kính R, thế giam giữ điện tử của dây
có đặc điểm:
4
0
V(r)
r
(1.2)
Với thế năng này, hàm sóng và phổ năng lượng trong hệ tọa độ trụ r, , z
-
Hàm sóng:
0
n, ,k (r, , z) 1 in ikz
e e n, (r )
V
0
r>R
r
(1.3)
Trong biểu thức(1.3) V0 R 2 Lz là thể tích dây lương tử; n = 0, 1, 2,... là các số
lượng tử phương vị; l=1,2,3…là các số lượng tử xuyên tâm; k (0,0, k z ) là véc tơ
sóng của điện tử; n ,l (r ) là hàm sóng xuyên tâm của điện tử chuyển động trong mặt
phẳng (0xy) có dạng;
n, (r)
1
r
J n (A n, ).
J n 1 (A n, )
R
(1.4)
Trong biểu thức (1.4) trên, An, là nghiệm thứ l, của hàm Bessel cấp n tương ứng
với phương trình Jn(An, ) = 0, ví dụ A01 = 2,405; A11 = 3,832. Như đã biết, trong
dây lượng tử, chuyển động của điện tử bị giới hạn trong mặt phẳng (0xy) và năng
lượng của nó theo các phương này bị lượng tử hóa.
-
Phổ năng lượng của điện tử có dạng :
En, (k) E(k z ) E n,
k 2z
Trong đó, E(k z )
2m*
(1.5)
2
là động năng theo phương 0z của điện tử (phương
A 2n,
chuyển động tự do của điện tử); E n, (k)
là năng lượng gián đoạn theo
2m * R 2
2
các phương còn lại.
5
-
Thừa số dạng đặc trưng cho sự giam cầm của điện tử trong dây lượng tử
hình trụ có dạng:
,j
I nh,l,n',
l ' qh , j
R
2
J
q R * r
r rdr
2 n n ' h , j n ',l ' n ',l '
R 0
(1.6)
Do sự phức tạp của hàm sóng xuyên tâm, nên khơng thể tính giải tích tường
minh đối với tích phân (1.6). Tuy nhiên, nếu chỉ quan tâm đến các trạng thái cơ bản
của điện tử thì tích phân này có thể tính được nhờ áp dụng gần đúng hàm sóng và
năng lượng của điện tử ở các trạng thái như sau:
r r3
r2
0,1 3 1 2 1,1 12 3
R ,
R R
Ta thu được biểu thức cho thừa số dạng:
I0,1,0,1 q
24J 3 qR
qR
3
,
I0,1,0,1 q
48J 4 qR
qR
3
Đối với phonon, cũng chịu tác động của hiệu ứng giảm kích thước dẫn đến năng
lượng và vec tơ sóng cũng bị lượng tử hóa:
1
m,k,q 02 vs2 q hj 2 q z2 2
qh , j
1.2.
x1j / R khi h 0
h hj / R khi h 2s 1; s 0,1, 2...
h
g j / R khi h 2s; s 0,1, 2...
Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Radio điện trong bán dẫn khối.
Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong một trường sóng điện từ
phân cực phẳng: E t E eit eit ;H t n,E t , trong đó (với là
năng lượng trung bình của hạt tải); một điện trường không đổi E 0 và một trường
bức xạ cao tần: F t Fsin t với t 1 ( là thời gian phục hồi xung lượng của
điện tử).
Dưới tác dụng của hai trường bức xạ có tần số và sẽ làm cho chuyển
động định hướng của hạt tải theo điện trường cố định ban đầu sẽ bị bất đẳng hướng.
6
Kết quả là xuất hiện các điện trường E0x , E0y , E0z trong điều kiện mạch hở. Đó
chính là hiệu ứng Radio điện.
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối:
f p, t
f p, t
f p, t
eE t H p, h t ,
eE0 ,
t
p
p
2 M q J l2 a , q f p q , t f p, t p q p l
(1.7)
l
q
eH
H (t )
eF
p2
, h (t )
,a
, p
Trong đó: H
mc
H
m2
2m
Từ (1.7), xét trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang, ta tìm được biểu thức
mật độ dịng tồn phần và xét trong điều kiện mạch hở, thu được biểu thức trường
radio điện:
2 1 2 F
E0 z EW 1 zz F Azz
xx
F
1 2 2
1
2 F 1 2 2 F
Axx
1 2 2 F
(1.8)
1/2
2
il , F
Trong đó: il
il 3a0i a0l , Ail
3
F
e2 F 2
a
, a0 , EW
, là hệ số hấp thụ.
m
a
enec
Biểu thức (1.8) cho thấy trường radio điện trong bán dẫn khối phụ thuộc vào
tần số của bức xạ laser và nhiệt độ của hệ.
7
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ TRƢỜNG RADIO ĐIỆN TRONG
DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI HỐ THẾ CAO VƠ HẠN KHI KỂ ĐẾN
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM
2.1. Hamiltonian của điện tử - phonon trong dây lƣợng tử hình trụ với hố thế
cao vô hạn khi kể đến ảnh hƣởng của phonon giam cầm
Xét dây lượng tử hình trụ với thế cao vơ hạn, được đặt trong trường sóng
điện từ phân cực thẳng: E t E eit eit , B t B eit eit với B
E
, BE
c
và một trường bức xạ mạnh F t F sin t . Khi đó, chuyển động định hướng của
hạt tải được tạo ra từ điện trường cố định ban đầu sẽ bị thay đổi. Kết quả là làm xuất
hiện dịng Radioelectric trong điều kiện mạch kín, hoặc xuất hiện trường
Radioelectric (các điện trường EOx , EOy , EOz ) trong điều kiện mạch hở.
Trong luận văn ta xét đến sự giam cầm của cả điện tử và phonon. Tương tự
với điện tử, trạng thái của phonon cũng được miêu tả bởi hai số lượng tử m, k ứng
với hai phương Ox, Oy và véctơ sóng q theo phương Oz. Đặt dây lượng tử trong
trường
E E0 sin(t )
Lazer
ứng A t
hướng
theo
Oz
có
thế
véctơ
tương
c
E0cos(t ) , Hamiltonian của hệ điện tử - phonon quang giam cầm
biểu diễn thông qua tốn tử số hạt [7]:
Ta có phương trình Hamlitonian của hệ điện tử giam cầm – phonon giam cầm trong
dây lượng tử với hố thế cao vơ hạn có dạng:
H H 0 H e ph
Với:
H0
n ',l ', p 'z
H e ph
n ',l ' pz
e
A t a n ',l ', p 'z an ',l ', p 'z m,k,q z b m,k,qz bm,k qz
c
q
I m,k n ',l ',n '1 ,l '1 Cm,qz a n ',l ', p 'z an1 ',l1 ', p 'z qz (bm,k,qz b m,k, qz )
n ',l ', n '1 ,l '1
8
Từ đó ta có:
H
n ',l ', p 'z
e
n ',l ' pz A t a n ',l ', p ' an ',l ', p ' m,k,q b m,k,q bm,k,q
c
q ,m
z
z
z
z
I m,k n ',l ',n '1 ,l '1 Cm,k,qz a n ',l ', p 'z an1 ',l1 ', p 'z qz (bm,k,qz b m,k, qz )
z
(2.1)
n ',l ', n '1 ,l '1 , m , k , qz
Trong đó:
n, l: là các kí hiệu sự lượng tử hóa năng lượng của điện tử theo các trục Ox, Oy
tương ứng (n,l = 1, 2, 3…).
k, m: là các kí hiệu sự lượng tử hóa năng lượng của phonon theo các trục Ox, Oy
tương ứng (k, m = 1, 2, 3…).
a n,l , pz , an,l , pz : lần lượt là toán tử sinh, hủy điện tử.
b m,k,qz , bm,k,qz : lần lượt là toán tử sinh hủy hạt phonon.
pz : xung lượng của điện tử chuyển động tự do theo phương Oz
q z : là vectơ sóng của phonon.
m,k,q : tần số của phonon quang.
n,l pz n,l ,p
2 2
An,l
pz2
, An ,l là nghiệm thứ l của hàm Bessel đối số thực
2m * 2m * R 2
2
z
cấp n.
A t là thế vectơ
1 A t
cF
F t . Suy ra: A t
cos t
c t
Cm,k,q là hằng số tương tác điện tử - phonon quang:
Cm,k,q
2
2 e2 0 1
1 1
2
V0 0 0 q qz2
V0 là thể tích chuẩn hóa ( V0 1), 0 hằng số điện, 0 hằng số điện môi tĩnh,
hằng số điện môi cao tần, 0 tần số của phonon quang.
9
R
I n,l ,n ',l '
2
2 J|nn '| (q R) n*',l ' (r ) n,l (r )rdr : thừa số đặc trưng phụ thuộc vào vật liệu.
R 0
2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử của điện tử trong dây lƣợng tử hình trụ với
hố thế cao vơ hạn khi kể đế n ảnh hƣởng của phonon giam cầ m.
Chúng ta xét phương trình cho trạng thái trung bình điện tử a n,l , pz an,l , pz : hàm
t
a n,l , pz an,l , pz
phân bố lượng tử tổng quát. Phương trình đối với
i
a n,l , pz an,l , pz
t
<SH1>= a
t
n ,l , pz an ,l , pz ,
n ',l ', p 'z
a
a n,l , pz an,l , pz , H
(2.2)
n ',l ', p ' a n ',l ', p ' an ',l ', p '
t
z
z
z
n ',l ', p '
n ',l ', p ' a n,l , p n,n ' l ,l ' p , p ' a n ',l ', p ' an,l , p an ',l ', p '
n ',l ', p ' z
z
n ,l , pz
z
có dạng:
t
n ',l ', p 'z
f n,l , pz
i
t
an,l , pz a n ',l ', p 'z an ',l ', p 'z a n ',l ', p 'z an ',l ', p 'z a n,l , pz an,l , pz
z
z
z
z
z
a n ',l ', p 'z n,n ' l ,l ' pz , p 'z a n,l , pz an ',l ', p 'z an,l , pz
SH 2 a n ,l , pz an ,l , pz , m,k,qz b m,k,qz bm,k,qz
qz
t
z
0
(2.3)
t
0
(2.4)
t
m,k
SH 3 a n,l , pz an,l , pz , I n ',l ',n '1 ,l '1 Cm,qz a n ',l ', p 'z an1 ',l1 ', p 'z qz (bm,k ,qz b m,k , qz )
n ',l ', n '1
l '1 , p 'z ,m,k,q z
n ',l ',n '1
l '1 , p 'z ,m,k,q z
Cm,k,qz I
m ,k
n ',l ', n '1 ,l '1
a
n ,l , p z
an,l , pz , a
n ',l ', p ' z q z
an1 ',l1 ', p 'z (bm,k,qz b
m ,k, q z
)
Cm,k,qz I m,k n ',l ',n '1 ,l '1 a n,l , pz an,l , pz a n ',l ', p 'z qz an1 ',l1 ', p 'z (bm,k,qz b m,k, qz )
n ',l ', n '1
l '1 , p 'z ,m,k,q z
a n ',l ', p 'z qz an1 ',l1 ', p 'z (bm,k,q z b m,k, qz )a n,l , pz an,l , pz
10
t
t
t
Cm,k,q I m.k n ',l ',n '1 ,l '1 a n,l , pz n,n ' l ,l ' pz , p 'z qz a n ',l ', p 'z qz an,l , pz
n ',l ', n '1
l '1 , p 'z ,m,k,q z
an1 ',l1 ', p 'z (bm,k,qz b m,k, qz )
a n ',l ', p 'z qz n,n1 ' l ,l1 ' pz , p 'z a n,l , pz an1 ',l1 ', p 'z an,l , pz (bm,k,q z b m,k, qz )
Cm,k,qz I
n,n ' l ,l ' p , p ' q an ',l ', p ' (bm,k,q b
m,k
n ',l ', n '1 ,l '1
z
z
z
1
1
z
z
m,k, qz
t
)
n ',l ', n '1
l '1 , p 'z ,m,k,q z
a n ',l ', p 'z qz n,n1 ' l ,l1 ' pz , p 'z an,l , pz (bm,k,qz b m,k, qz )
t
Cm,k,qz I m,k n,l ,n ',l ' a n,l , pz an ',l ', pz qz bm,k,qz a n,l , pz an ',l ', pz qz b m,k, qz
n ',l ',m,k,q
a n ',l ', pz qz an,l , pz bm,k,qz a n ',l ', pz qz an,l , pz b m,k, qz
Cm,k,q I
m,k
n ,l ,n ',l '
n ',l ',m,k,q
Fn ',l ', p q ,n,l , p ,m,k,q (t ) F
z
z
z
z
t
*
n ,l , pz ,k ,n ',l ', pz qz ,m,k,q z
(t )
Fn,l , pz ,q z ,n ',l ', pz qz ,m,k,q z (t ) F *n ',l ', pz qz ,n,l , pz ,m,k, qz (t )
(2.5)
Thay (2.3), (2.4), (2.5) vào biểu thức (2.2). Ta thu được:
a n,l , pz an,l , pz
t
i
Cm,k,qz I m,k n,l ,n ',l ' (q z ) Fn ',l ', p q ,n ,l , p ,m,k,q (t ) Fn*,l , p ,n ',l ', p q ,m,k,q (t )
n ',l ',m,k,q z
z
z
z
Fn ,l , p ,n ',l ', p q ,m,k,q (t ) Fn*',l ', p k ,n ,l , p ,m,k,q (t )
z
z
Tìm biểu thức F
z
z
n , l , pz , n ', l ', p' z ,m,k, qz
i
a n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz
t
t
z
z
z
z
z
z
z
z
z
(2.6)
bằng phương pháp phương trình động lượng tử
a n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz , H
t
(2.7)
Ta có:
SH 1 a n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz , n '',l '', p ''z a n '',l '', p ''z an '',l '', p ''z
n '',l '', p '' z
n '',l '', p '' a
n '',l '', p '' a
z
n ,l , pz
an ',l ', p 'z a
n ,l , p z
n '',l '', p ''z
z
n '',l '', p '' z
an '',l '', p ''z bm,k ,qz a
p ' , p '' a
n ', n '' l ',l ''
z
z
n '',l '', p '' z
11
n '',l '', p '' z
n '',l '', p ''z
t
an '',l '', p ''z a n ,l , pz an ',l ', p 'z bm,k ,qz
an ',l ', p ' z an '',l '', p ''z bm ,k,qz
t
a n '',l '', p ''z n,n '' l ,l '' pz , p ''z a n,l , pz an '',l '', p '' z an ',l ', p ' z bm,k, qz
n '',l '', p '' a n,l , p n ',n '' l ',l '' p ' , p '' an '',l '', p '' bm,q
z
z
z
z
z
z
n '',l '', p ''z
a
t
t
n '',l '', p ''z
n,n '' l ,l '' p , p '' an ',l ', p ' bm,k,q
z
n,l , pz n ',l ', p 'z
z
a
z
n ,l , pz
z
t
an ',l ', p 'z bm,k,qz
t
n ',l ', p 'z n,l , pz Fn,l , pz ,n ',l ', pz ',m,k,qz
SH 2 a n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz , m ',k',q 'z b m ',k',q'z bm ',k',q'z
m ',k', q ' z
t
m ',k',q ' a n,l , p an ',l ', p '
z
z
z
m ',k', q 'z
a n,l , pz an ',l ', p 'z b m,k,qz bm ',k',qz bm,k,qz
m ',k',q ' a
z
n ,l , pz
q z , q 'z
b m ',k',q'z bqz bm ',k',q'z
m ',k',q '
z
m ',k', q ' z
a n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz b m ',k',q 'z bm ',k',q 'z a n,l , pz an ',l ', p 'z b m ',k',q'z bm ', k',q 'z bm,k,qz
(2.8)
t
t
t
an ',l ', p 'z mm ',kk',qz q 'z bm ',k',q 'z
m ',k', q 'z
t
m,k,qz a n,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz
m,k,qz Fn,l ,pz n ',l ',p'z m,k,qz
t
(2.9)
Ta có:
SH 3 a n ,l , pz an ',l ', p 'z bm,k,qz ,
I m ',k'n '',l '',n ''1 ,l ''1 Cm ',k',q 'z
n '',l '', n ''1 ,l ''1 ,m',k',q' z
a n '',l '', p ''z an1 '',l1 '', p ''z (bm,k,q 'z b m,k, qz )
I
m ',k'
n '',l '', n ''1 ,l ''1
Cm ',k',q 'z a
t
n ,l , p z
an '',l '', p 'z q 'z bm,k,q (bm ',k',q 'z b m ',k', q 'z )
t
n ''1 ,l ''1 ,m',k',q'z
I m ',k'n '',l '',n ''1 ,l ''1 Cm ',k',q 'z a n '',l '', pz q 'z an ',l ', p 'z (bm ',k',q 'z b m ',k', q 'z )bm,k,q
t
n '',l '',m',k',q'z
I m ',k'n '',l '',n ''1 ,l ''1 C qz a n,l , pz an '',l '', p ''z qz an ',l ', p 'z an1 '',l1 '', p ''z
t
n '',l '', n ''1 ,l ''1 ,m',k',q'z
Bỏ qua số hạng bậc cao hơn hai của hằng số tương tác điện tử - phonon ta có:
SH 3
n ''1 ,l ''1 ,m',k',q'z
I m ',k'n '',l '',n ''1 ,l ''1 Cm ',k',q 'z
a
n ,l , p z
an '',l '', p 'z q 'z bm,k,q (bm ',k',q 'z b m ',k', q 'z )
t
a n '',l '', pz q 'z an ',l ', p 'z (bm ',k',q 'z b m ',k', q 'z )bm,k,q
Cm,k , qz I nm,l,,kn ',l ' an,l , pz an,l , pz bm,k ,qz bm,k ,qz an',l ', p 'z an ',l ', p 'z bm,k ,qz bm,k ,qz
12
t
(2.10)
Tìm biểu thức F
n , l , pz , n ', l ', p' z ,m,k, qz
bằng phương pháp phương trình động lượng tử.
Ta chỉ giữ lại các số hạng chứa trung bình điện tử và trung bình số phonon mà bỏ
qua những giá trị chứa số hạng bậc hai của trung bình điện tử.
Thay (2.8), (2.9), (2.10) vào (2.6), ta được:
F (t ) i
n,l , pz n ',l ', p 'z m,k,qz Fn,l , pz ,n ',l ', p 'z ,m,k,qz (t )
t
i
I m n '',l '',n ''1 ,l ''1 Cm,qz an,l , pz an,l , pz bm,k ,qz bm,k ,qz an',l ', p 'z an ',l ', p 'z bm,k ,qz bm,k ,qz
t
n ''1 ,l ''1 ,p z ,m
t
(2.11)
Ta đi giải phương trình (2.11) để đi tìm Fn,l , pz ,n ',l ', p 'z ,q (t ) với điều kiện đoạn nhiệt của
tương tác Fn,l , pz ,n ',l ', p 'z ,m,k,qz (t )() 0 . Giải phương trình (2.11) bằng phương pháp
biến thiên hàm số.
Trước hết ta giải phương trình thuần nhất tương ứng.
F 0 t
M t F 0 t , suy ra
t
dF 0 t t
0
0
F 0 t M t1 dt1 ln F t ln F
t
t
t
t
Suy ra: F t exp M t1 dt1 (do giả thiế t đoa ̣n nhiê ̣t ta ̣i t
0
Biế n thiên hằ ng số :
F t C t F 0 t
F t F t 0
F t C t M t F 0 t
t
t
Mà:
F t
M t F 0 t Nt
t
Suy ra:
t
t'
1
C t
Nt F 0 t C t dt ' N t ' exp M t1 dt1
t
13
M t1 dt1
t
t
t'
Vâ ̣y: F t dt 'Nt ' exp M t1 dt1 exp M t1 dt1
t'
t
t
t
F t dt ' Nt ' exp M t1 dt1 M t1 dt1 dt ' N t ' exp M t1 dt1
t'
t
Do đó: (2.11) có nghiệm
Fn ,l , pz ,n',l',p
t dt 'Cn.k ,q I nm,l,,kn ',l '
i
z
,k ,m ,qz
t
an',l ', p 'z an ',l ', p 'z bm ,k ,qz bm,k ,qz
t
exp dt1
t'
z
t
an,l , pz an,l , pz bm,k ,qz bm,k ,qz
t
i
e
' e
n ',l ' pz A t1 n,l pz A t1 m,k ,qz
c
c
(2.12)
2 2
An,l
pz2
Ta có: n,l pz
2m 2m R 2
2
e
e
Biế n đổ i: n ',l ' pz' A t1 n,l pz A t1
c
c
2
2
2 2
2 2
An ',l ' 1
A
e
1 ' e
pz A t1 2 pz A t1 n,l2
c
c
2m R 2m
2m R
2m
2
2
1 2
1 ' 2
e
e 2
e 2
' e
p
2
p
A
t
A
t
p
2
p
A
t
A
t
z
z
z
1
1
z
1
1
2m
c
c
c
c
2m
2
2mR
2
A
2
n ',l '
An2,l
2
1
e
'2
2
p
p
p
'
p
A
t
An2',l ' An2,l
z
z
z
z
1
2m
m c
2m R 2
n ',l ', p 'z n,l , pz
t
Suy ra: exp dt1
t'
e
m c
pz ' pz A t1
i
e
e
n ',l ' p 'z A t1 n,l pz A t1 m,k ,qz
c
c
14
t
i
exp dt1
n ,l , pz
t'
i
exp
ie
n ',l ', p 'z m,k ,qz exp
n ',l ', p 'z m,k ,qz
n ,l , pz
t
2
m
t'
c
pz ' pz A t1 dt1
t
t t ' exp m ie c p ' p A t dt
2
z
z
1
1
t'
Vậy ta có :
Fn,l , pz ,n ',l ', p 'z ,m,k ,qz t
t
i
dt '
an',l ', p 'z an ',l ', p 'z bm,k ,qz bm,k ,qz
t
exp
ie
2
m
t'
c
I nm,l,,kn ',l 'Cm,k , qz
t'
exp i
a
n ,l , p z
n ,l , pz
an,l , pz bm,k ,qz bm,k ,qz
t'
t t '
n ',l ', p 'z m,k ,qz
pz ' pz A t1 dt1
(2.13)
Tương tự ta có:
Fn*,l , pz ,n ',l ', p 'z ,m,k ,qz t
t
dt '
an',l ', p 'z an ',l ', p 'z bm ,k ,qz bm,k ,qz
exp
i
i
t'
I nm,l,,kn ',l 'Cm,k , qz an',l ', p ' z an ',l ', p ' z bm,k ,q z bm,k ,q z
n ',l ', p ' n,l , p m,k ,q
z
t'
z
z
t
ie
p ' pz A t1 dt1
2 z
m
c
t'
t t ' exp
(2.14)
Suy ra:
Fn,l , pz ,n ',l ', pz qz ,m,k ,qz t
n ,l , p z
a
exp
i
t
dt '
m ,k ,qz
an,l , pz bm,k ,qz b
n ,l , pz
t'
i
I nm,l,,kn ',l 'Cm,k , qz
a
n ',l ', p z q z
an ',l ', pz qz bm,k ,qz bm,k ,qz
t'
n ',l ', p 'z m,k ,qz
t t ' exp mie c q A t dt
t
2
z
1
(2.15)
1
t'
Fn ',l ', pz qz ,n,l , pz ,m,k ,qz t
t
dt '
i
an',l ', pz qz an ',l ', pz qz bm,k ,qz bm,k ,qz
exp
i
n ',l ', pz qz
I nm,l,,kn ',l 'Cm,k , qz
t'
a
n ,l , p z
an,l , pz bm,k ,qz bm,k ,qz
t'
n,l , pz m,k ,qz
t t ' exp mie c q A t dt
t
2
t'
15
z
1
1
(2.16)
t
*
n ,l , pz , n ',l ', pz qz , m , k , q z
F
t dt '
i
I nm,l,,kn ',l 'Cm,k , qz
an',l ', pz qz an ',l ', pz qz bm ,k , qz bm,k , qz
exp
i
n ',l ', pz qz
t'
a
n ,l , p z
an,l , pz bm,k , qz bm,k , qz
t'
n,l , pz m,k , qz
t t ' exp mie c q A t dt
t
2
z
1
1
(2.17)
t'
Fn*',l ', pz qz ,n ,l , pz ,m,k , qz t
n ,l , p z
a
exp
i
t
dt '
m ,k , qz m ,k , qz
an,l , pz b
n ,l , pz
b
t'
i
I nm,l,,kn ',l 'Cm,k , qz
a
n ',l ', p z q z
an ',l ', pz qz bm,k , qz bm,k , qz
t'
n ',l ', pz qz m,k , qz
t t ' exp mie c q A t dt
t
2
z
1
1
(2.18)
t'
Thay (2.14), (2.15), (2.16), (2.17) vào (2.6) và kí hiệu f n,l , pz t an,l , pz an,l , pz , N qmz ,k
Đồng thời biến đổi:
ie
ie
cF
exp 2 qz A t1 dt1 exp 2 qz
cos t1dt1
m
c
m
c
t'
t'
t
t
ie
exp 2z 2 F q sin t ' sin sin t
m
Áp dụng: exp iz sin
J z exp il , đặt: a m
l
exp iz sin
J a, q J a, q exp -ist+ilt '
s
s ,l
z
l
z
J a, q J a, q expi l s t il t t '
s ,l
eF
2
2
l
s
z
l
z
i
J a, q J a, q exp l s t exp
s ,l
s
z
l
z
l t t '
Ta được:
f n,l , pz t
t
n ,l ,n ',l ',m ,k ,qz
1
2
Cm,k ,qz
2
I
2
m,k
n ,l ,n ',l '
t
dt '
16
J a, q J a, q expl s t
s ,l
s
z
l
z
f n ',l ', pz qz t ' N qmz ,k f n,l , pz t ' 1 N qmz ,k
i
exp n ,l , p n ',l ', pz qz m,k ,qz l t t '
z
f n ',l ', pz qz t ' 1 N mq,zk f n,l , pz t ' N mq,zk
i
exp n ,l , p n ',l ', pz qz m,k , qz l t t '
z
f n,l , pz t ' N qmz ,k f n ',l ', pz qz t ' 1 N qmz ,k
i
exp n ',l ', pz qz n ,l , p m,k ,qz l t t '
z
m
,
k
m
,
k
f n,l , pz t ' 1 N qz f n ',l ', pz qz t ' N qz
i
exp n ',l ', pz qz n ,l , p m,k , qz l t t '
z
2.19
Áp dụng công thức chuyển phổ Fourier:
1
f n,l , pz t
2
f n,l , pz t
t
f n,l , pz e
1
2
i t
d , f n,l , pz
2
Cm , k , q z
I
2
m ,k
n ,l , n ',l '
n ,l , n ',l ', m , k , qz
1
exp l s t
2
e
i t '
f n,l , pz t ei t dt
t
s ,l
dt ' J a, q J a, q
d
f n ',l ', pz qz N qmz ,k f n,l , pz 1 N qmz ,k
i
exp n ,l , p n ',l ', pz qz m,k ,qz l t t '
z
f n ',l ', pz qz 1 N mq,zk f n,l , pz N mq,zk
i
exp n ,l , p n ',l ', pz qz m,k , qz l t t '
z
17
s
z
l
z
f n ,l , pz N qmz ,k f n ',l ', pz qz 1 N qmz ,k
i
exp n ',l ', pz qz n ,l , p m,k ,qz l t t '
z
f n,l , pz 1 N mq,zk f n ',l ', pz qz N mq,zk
i
exp n ',l ', pz qz n ,l , p m,k , qz l t t '
z
Đổi thứ tự lấy tích phân
dt ' d d dt ' và lấy l s .
t t '
Lưu ý: ei t ' ei t e
f n,l , pz t
t
1
2
Cm,k ,qz
2
I
2
m,k
n ,l ,n ',l '
n ,l ,n ',l ', m , k , qz
f n ',l ', pz qz N
m ,k
qz
1
2
f n ,l , p z 1 N
l
i t '
2
e d J l a , qz
t
m ,k
qz
dt '
i
exp n ,l , p n ',l ', pz qz m,k ,qz l t t '
z
f n ',l ', pz qz 1 N mq,zk f n ,l , pz N mq,zk
t
dt '
i
exp n ,l , p n ',l ', pz qz m,k , qz l t t '
z
t
dt '
f n,l , pz N qmz ,k f n ',l ', pz qz 1 N qmz ,k
i
exp n ',l ', pz qz n ,l , p m,k ,qz l t t '
z
f n,l , pz 1 N mq,zk f n ',l ', pz qz N mq,zk
t
dt '
i
exp n ',l ', pz qz n ,l , p m,k , qz l t t '
z
18
i
t
dt 'exp
Ta tính:
n ',l ', pz qz m,k ,qz l t t '
i
dt
'exp
n ,l , pz n ',l ', pz qz m,k ,qz l t t ' , do
t
n , l , pz
i
exp n ,l , p n ',l ', pz qz m,k ,qz l t t '
z
i
n ,l , p n ',l ', pz qz m,k ,qz l
Lưu ý:
n , l , pz
z
n ',l ', pz qz
t
i
m,k ,qz l i
1
d ei t f n,l , pz f n,l , pz t thu được:
2
f n,l , pz t
t
i
Cm,k ,qz
2
I nm,l,,kn ',l '
n ,l ,n ',l ',m ,k ,qz
2
J a, q
2
l
l
z
f n ',l ', p q t N qm,k f n,l , p t 1 N qm,k
f n ',l ', pz qz t 1 N mq,zk f n ,l , pz t N mq,zk
z
z
z
z
z
l
i
l
i
n ',l ', pz qz
m ,k ,qz
n ',l ', p z q z
m ,k ,q z
n ,l , pz
n ,l , pz
f n,l , pz t N qmz ,k f n ',l ', pz qz t 1 N qmz ,k
n ',l ', p q
z
z
n , l , pz
m,k ,qz l i
f
t 1 N mq,k f n ',l ', p q t N mq,k
n ,l , pz
m,k , qz l i
z
n ',l ', p q
z
z
n ,l , pz
z
Thực hiện việc chuyển chỉ số l l , qz qz và lưu ý:
N qmz ,k N mq,zk , m,k ,qz m,k , qz , Cmq,zk Cqmz ,k , J l2 a, qz J 2l a, qz
2
SH 1
f n ',l ', pz qz t N qmz ,k f n,l , pz t 1 N qmz ,k
n ',l ', p q
z
SH 2
2
z
n ,l , pz
m,k ,qz l i
f n ',l ', pz qz t 1 N qmz ,k f n,l , pz t N qmz ,k
n ',l ', p q
z
z
n ,l , pz
m,k ,qz l i
19
z
z
SH 3
n ',l ', p q
z
SH 4
f n ',l ', pz qz t 1 N qmz ,k f n,l , pz t N qmz ,k
z
m,k ,qz l i
n ,l , pz
f n ',l ', pz qz t N qmz ,k f n,l , pz t 1 N qmz ,k
n ',l ', p q
z
z
n ,l , pz
m,k ,qz l i
Sau đó nhóm (SH1+SH4) và (SH2+SH3) và áp dụng:
1
1
2 i x , x là hàm Delta-Dirac, ta thu được:
x i x i
f n,l , pz t
t
2
Cm,k ,qz
n ,l ,n ',l ',m ,k ,qz
2
I nm,l,,kn ',l ' N qmz ,k J l2 a , qz f n ',l ', pz qz t f n ,l , pz t
2
l
n ',l ', pz qz n ,l , p m,k ,qz l n ',l ', pz qz n ,l , p m,k ,qz l
z
z
(2.20)
Bổ sung thành phần của điện từ trường vào (2.20) ta được:
f n,l , pz t
f n ,l , pz t
eE t eE0 c pz , h t ,
t
p
z
2
2
2
Cm,k ,qz I nm,l,,kn ',l ' N qmz ,k J l2 a , qz f n ',l ', pz qz t f n,l , pz t
l
n ,l , n ',l ', m , k , qz
n ',l ', pz qz n ,l , p m,k ,qz l n ',l ', pz qz n ,l , p m,k ,qz l
Trong đó: c
z
z
(2.21)
eB
B
, h t h eit eit , h
là vecto đơn vị dọc theo chiều từ
m
B
trường.
Ta tìm nghiệm f n,l , pz t của phương trình (2.21) dưới dạng:
f n,l , pz t f 0 f1 n, l , pz , t
(2.22)
Trong đó: f 0 f ( n,l , pz ) là hàm phân bố cân bằng của điện tử.
f1 n, l , pz , t f10 n, l , pz f1 n, l , pz eit f1* n, l , pz eit
20
(2.23)
