Điều kiện cần cực trị và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu cho một lớp phương trình elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

VŨ HỮU NHỰ

ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ
VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU
CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

VŨ HỮU NHỰ

ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ
VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU
CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. TS. BÙI TRỌNG KIÊN
2. PGS. TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN

Hà Nội - 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả và
số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trên bất kỳ cơng
trình nào khác.

Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Tác giả luận án

Vũ Hữu Nhự


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Bùi Trọng Kiên và PGS.TS.
Nguyễn Hữu Điển. Trước tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.
Bùi Trọng Kiên - người đã đặt bài toán, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, chu đáo trong
suốt quá trình tác giả thực hiện luận án. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển, người đã hướng dẫn tận tình và ln
động viên tác giả trong q trình học tập, nghiên cứu.
Tiếp theo, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với GS. J.-C. Yao về sự giúp đỡ
và tạo điều kiện để tác giả làm thực tập sinh 06 tháng tại Đại học Quốc gia Tôn
Trung Sơn (National Sun Yat-sen University, Kaosiung, Taiwan, 3/2013 - 9/2013).

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự
nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học và
tập thể các thầy cô giáo tại trường Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
đã luôn quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và có những ý kiến đóng góp
quý báu cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Xin bày tỏ lòng biết ơn
đến Ban Lãnh đạo trường Học viện Quản lý giáo dục, Ban Lãnh đạo trường Học
viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, các thầy cơ giáo và các bạn đồng nghiệp ở
Khoa Công nghệ thông tin – Học viện Quản lý giáo dục và Khoa Cơ bản 1 – Học
viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng đã ln động viên giúp đỡ tác giả trong
q trình học tập, nghiên cứu.
Nhờ những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu của GS.TSKH. Nguyễn Văn
Mậu, GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát, GS.TSKH. Lê Dũng
Mưu, GS.TSKH. Nguyễn Đơng n, PGS. TSKH. Vũ Hồng Linh, PGS.TS. Cung
Thế Anh, PGS.TS. Phạm Ngọc Anh, PGS.TS. Nguyễn Quang Huy và TS. Lê Huy
Chuẩn – các Thầy trong Hội đồng chấm luận án cấp cơ sở và Hội đồng chấm luận
án cấp Đại học Quốc gia, bản luận án này đã được cải thiện đáng kể so với bản
dự thảo luận án ban đầu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy trong Hội đồng
chấm luận án cấp cơ sở về những chỉ dẫn quan trọng.
1


Xin chân thành cám ơn GS.TSKH. Hoàng Xuân Phú, GS.TSKH. Nguyễn Đông
Yên, PGS.TS. Tạ Duy Phượng, PGS.TS. Phan Thành An, TS. Nguyễn Quỳnh Nga,
các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đã góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian
tác giả tham dự Xêmina tại Phịng Giải tích số và Tính tốn khoa học tại Viện
Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy phản biện độc lập về
những nhận xét quý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng
kể.
Cuối cùng, xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh và gia đình, bạn bè đã chia sẻ,

động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.

2


MỤC LỤC

Lời cam đoan

0

Lời cảm ơn

1

Mục lục

3

Các ký hiệu

5

Mở đầu

8

Chương 1. Kiến thức cơ sở
1.1 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Giải tích biến phân . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Tập tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Nguyên lý biến phân . . . . . . . . . .
1.2.4 Hàm khả vi và tính đơn điệu . . . . .
1.2.5 Một số kết quả về hình học Banach . .
1.3 Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bài toán quy hoạch lồi . . . . . . . . .
1.3.3 Định lý tách các tập lồi . . . . . . . . .
1.4 Không gian Sobolev và phương trình elliptic
1.4.1 Khơng gian Sobolev . . . . . . . . . .
1.4.2 Phương trình elliptic tuyến tính . . . .
1.4.3 Phương trình elliptic nửa tuyến tính .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Chương 2. Điều kiện cần cực trị cho bài tốn điều khiển tối ưu elliptic nửa
tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp
2.1 Bài toán quy hoạch toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Một số kết quả về giải tích biến phân . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Điều kiện chính quy và điều kiện cần cực trị . . . . . . . . .
3

15
15
18
18
22
23
25
27
30
30
31

32
32
32
41
44

46
46
46
51


2.2
2.3
2.4
2.5

Bài tốn điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn
hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chứng minh Định lý 2.7 và Hệ quả 2.2 . . . . . . . . . . . . . . .
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

69
76

88
91

Chương 3. Điều kiện cần cực trị cho bài tốn điều khiển tối ưu elliptic nửa
tuyến tính với ràng buộc trạng thái
92
3.1 Các điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu tổng quát . 92
3.2 Các điều kiện cần cực trị bậc hai cho bài tốn điều khiển tối ưu
elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái . . . . . . . . . . . . 105
3.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Chương 4. Tính ổn định nghiệm của một số bài toán điều khiển tối ưu
elliptic chứa tham số
115
4.1 Tính liên tục Holder
của ánh xạ nghiệm theo tham số . . . . . . . . 115
ă
4.1.1 Bi toán và giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.2 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1.3 Chứng minh Định lý 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.4 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm theo tham số . . . . . . . 135
4.2.1 Bài toán và giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2.2 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2.3 Chứng minh Định lý 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.4 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Kết luận và kiến nghị

157

Danh mục cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

158

Tài liệu tham khảo

159

4


CÁC KÝ HIỆU
F:X⇒Y

ánh xạ đa trị từ X vào Y

Dom( F ), Graph( F ), Im( F )

miền hữu hiệu, đồ thị, miền ảnh
của ánh xạ đa trị F

R

tập số thực

RN

không gian Euclide N −chiều

N

tập số tự nhiên

X∗

không gian đối ngẫu tôpô của X

X ∗∗

không gian song đối ngẫu tôpô của X

không gian WCG

không gian sinh bởi tập compact yếu

x∗ , x

giá trị của x ∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X

x

chuẩn của véc tơ x

x

X

chuẩn của véc tơ x trong không gian X

|x|

môđun của véc tơ x ∈ R N

xT

chuyển vị của véc tơ x ∈ R N

[ x1 , x2 ]

đoạn nối hai véc tơ x1 và x2

∅

tập rỗng

x∈A

phần tử x thuộc tập A

x∈
/A

phần tử x không thuộc tập A

A ⊂ B( B ⊃ A)

tập A là con của tập B

A

tập A không là con của tập B

B

A∩B

giao của hai tập A và B

A∪B

hợp của hai tập A và B

A\B

hiệu của tập A và tập B

B

tích Descartes của hai tập A và B

A+B

tổng của hai tập A và B

| A|

độ đo của tập đo được A

BX

hình cầu đơn vị đóng trong khơng gian X

BX ( x, ρ)

hình cầu đóng tâm x với bán kính ρ trong X

d( x, K )

khoảng cách từ x tới tập K
5


∂BX ( x, ρ)

biên của hình cầu tâm x bán kính ρ trong X

SX

mặt cầu đơn vị trong khơng gian X

T∗

toán tử liên hợp của toán tử T

T −1

ánh xạ ngược của ánh xạ T

T (K, x )

nón tiếp tuyến Bouligand của tập K tại x

T (K, x )

nón tiếp tuyến trung gian (kề) của tập K tại x

TC (K, x )

nón tiếp tuyến Clarke của tập K tại x

T 2 (K, x, d)

tập tiếp tuyến Bouligand bậc hai
của tập K tại x theo hướng d

T 2 (K, x, d)

tập tiếp tuyến trung gian bậc hai
của tập K tại x theo hướng d

TC2 (K, x, d)

tập tiếp tuyến Clarke bậc hai
của tập K tại x theo hướng d

N (K, x )

nón pháp tuyến của tập K tại x

σ( x∗ , K )

hàm giá của tập K

( X, d)

không gian mêtric

L( X, Y )

không gian tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục
từ X vào Y

f ,∇f

đạo hàm của ánh xạ f

f , ∇2 f

đạo hàm bậc hai của ánh xạ f

∇ x f , ∇2xy f

đạo hàm bậc 1, 2 của f theo biến x và x, y

A, cl( A)

bao đóng của tập A

int( A)

phần trong của tập A

span( A)

khơng gian tuyến tính sinh bởi tập A

cone( A)

tập nón sinh bởi tập A

{ x n }, ( x n )

dãy véc tơ xn

xn → x

dãy { xn } hội tụ (mạnh) tới x

xn

x

dãy { xn } hội tụ yếu tới x

∗
xn∗
K
xn →

x∗

dãy { xn∗ } hội tụ yếu−∗ tới x ∗

x

dãy { xn } hội tụ tới x và xn ∈ K

f : X → [−∞, +∞]

hàm thực mở rộng

dom( f )

miền hữu hiệu của hàm f

6


epi( f )

epigraph của hàm f

∂ f (x)

dưới vi phân của hàm f tại x

supp( ϕ)

tập giá của hàm ϕ

α := (α1 , α2 , ..., α N )

một đa chỉ số

x α := x1 1 x2α2 ...x NN

đơn thức cấp |α| := ∑iN=1 αi

∂
∂x j
α
α
D α := D1 1 D2α2 ...D NN
C m (Ω)

toán tử vi phân
toán tử vi phân cấp |α|

C0 (Ω)

không gian các hàm liên tục

α

α

D j :=

không gian các hàm khả vi cấp m trên Ω
với giá compact trong Ω

C0∞ (Ω), D(Ω)

không gian các hàm khả vi vô hạn lần
với giá compact trong Ω

D (Ω)

không gian đối ngẫu tôpô của D(Ω)

L p ( Ω ), 1 ≤ p < ∞

khơng gian các hàm p−khả tích trên tập Ω

L1loc (Ω)

khơng gian các hàm khả tích địa phương trên Ω

L∞ (Ω)


W m,p (Ω), W m,p (Ω),

không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên Ω

0


 H m ( Ω ), H m ( Ω )

không gian Sobolev

0

m,p

W −m,p (Ω)( p−1 + p −1 = 1)

không gian đối ngẫu tôpô của W0

Γ

biên của tập Ω

X →Y

X nhúng liên tục trong Y

X →→ Y
¯)
C (Ω

X nhúng compact trong Y
¯
không gian các hàm liên tục trên tập Ω

¯)
M(Ω

không gian các độ đo Borel chính quy hữu hạn

A := B

A được định nghĩa bằng B

∃x

tồn tại x

∀x

với mọi x

h.k.

hầu khắp

tr. 5

trang 5

✷

kết thúc chứng minh

7

(Ω)

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điều khiển tối ưu được nghiên cứu một cách có hệ thống và phát
triển mạnh mẽ từ cuối những năm 1950 khi hai nguyên lý cơ bản được thiết lập.
Một là nguyên lý cực đại Pontryagin, đưa ra điều kiện cần cực trị để tìm hàm điều
khiển tối ưu. Nguyên lý thứ hai thuộc về Qui hoạch động, một thủ tục đưa việc
tìm kiếm hàm điều khiển tối ưu về việc tìm nghiệm của một phương trình đạo
hàm riêng (phương trình Hamilton-Jacobi). Cho tới nay lý thuyết điều khiển tối
ưu đã được phát triển theo nhiều hướng nghiên cứu khác nhau như: điều khiển
tối ưu không trơn, điều khiển tối ưu cho bởi bao hàm thức vi phân, điều khiển
tối ưu cho bởi phương trình sai phân, phương trình vi phân thường và phương
trình đạo hàm riêng (xem [26, 42, 55, 68]).
Trong những thập niên gần đây, các nghiên cứu định tính cho các bài toán
điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình vi phân thường và phương
trình đạo hàm riêng như phương trình elliptic, parabolic, hyperbolic,... đã thu
được nhiều kết quả quan trọng. Một trong những kết quả đó là việc đưa ra các
điều kiện cực trị cho lớp các bài toán này (xem [11, 12, 16–25, 38, 58, 68]). Hiện nay
hướng nghiên cứu này vẫn tiếp tục phát triển khơng ngừng.
Ngày nay khi mà khoa học máy tính phát triển, để tìm hàm điều khiển tối ưu,
hầu hết các bài toán được rời rạc hoá để thuận lợi cho việc tính tốn. Khi các bài
tốn được rời rạc hố để tính tốn thì các dữ liệu đầu vào thường có một sai số
nhất định. Một bài tốn được gọi là ổn định nếu sai số của dữ liệu đầu vào bé thì
sai số của kết quả đầu ra không đáng kể. Trong trường hợp ngược lại, sai số của
dữ liệu đầu ra rất lớn và khác xa với kết quả mong đợi, ta nói bài tốn là khơng
ổn định. Việc nghiên cứu tính ổn định của các bài tốn điều khiển tối ưu chính
là nghiên cứu tính liên tục, tính khả vi của ánh xạ nghiệm của các bài toán điều
khiển tối ưu chứa tham số. Sau đây là một số cơng trình nghiên cứu về tính ổn
định của ánh xạ nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình vi phân
thường và cho phương trình đạo hàm riêng: [5, 34, 38, 52, 56].
8

Qua khảo sát các cơng trình nghiên cứu gần đây chúng tơi thấy rằng có một
lớp các bài tốn cũng như các câu hỏi mở vẫn chưa được giải quyết. Cụ thể là,
điều kiện cần cực trị bậc hai và tính ổn định nghiệm cho các bài tốn điều khiển tối
ưu với phương trình đạo hàm riêng elliptic với ràng buộc trạng thái từng điểm
(pointwise pure state constraint) và ràng buộc hỗn hợp điều khiển - trạng thái
từng điểm (pointwise mixed control-state constraint) chưa được thiết lập.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "Điều kiện cần cực
trị và tính ổn định nghiệm của bài tốn điều khiển tối ưu cho một lớp phương
trình elliptic" cho luận án này.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là đưa ra một số kết quả mới về điều kiện cần cực trị bậc
hai và tính ổn định nghiệm cho các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương
trình đạo hàm riêng elliptic với ràng buộc trạng thái từng điểm và ràng buộc hỗn
hợp trạng thái-điều khiển từng điểm.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu. Luận án nghiên cứu các bài toán điều khiển tối
ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic với ràng buộc từng điểm,
trong đó:
- nghiên cứu điều kiện cần cực trị bậc hai cho một lớp các bài toán điều khiển tối
ưu elliptic với tập ràng buộc phi tuyến,
- nghiên cứu tính ổn định nghiệm của một số bài toán điều khiển tối ưu elliptic
chứa tham số với tập ràng buộc tuyến tính và hàm mục tiêu lồi.
3.2. Phạm vi nghiên cứu. Luận án tập trung nghiên cứu các lớp bài toán sau:
- bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic
nửa tuyến tính với các ràng buộc phi tuyến từng điểm;
- bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số với phương trình trạng thái là
phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính, các ràng buộc hỗn hợp điều khiển
- trạng thái là tuyến tính và hàm mục tiêu là lồi.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết
về bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic.
9


Ý nghĩa thực tiễn: luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các nhà nghiên
cứu, học viên cao học và sinh viên có quan tâm đến bài tốn điều khiển tối ưu
được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic.
5. Tổng quan
Nghiên cứu điều kiện cần cực trị cho bài toán tối ưu là việc khảo sát một số
điều kiện liên quan tới nghiệm tối ưu (hoặc nghiệm tối ưu địa phương) của bài
toán đã cho. Chẳng hạn như việc thiết lập các điều kiện cần cực trị bậc một liên
quan tới các nhân tử Lagrange và các điều kiện cần cực trị bậc hai liên quan tới
hàm Lagrange. Để làm rõ hơn các khái niệm trên, ta xét bài toán tối ưu sau:

( P)

min { f ( x ) | x ∈ Q, G ( x ) ∈ K } ,

(0.1)

ở đó f : X → R, G : X → Y là các hàm khả vi Fréchet và Q và K tương ứng là các
tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Banach X và Y. Ta gọi hàm

L( x, λ) := f ( x ) + λ, G ( x ) ,

( x, λ) ∈ X × Y ∗ ,

(0.2)

ở đó Y ∗ là khơng gian đối ngẫu tôpô của Y, là hàm Lagrange của bài toán ( P). Ta
gọi λ ∈ Y ∗ là nhân tử Lagrange của bài toán ( P) tại điểm x0 nếu điều kiện sau
được thỏa mãn

− ∇ x L( x0 , λ) ∈ N ( Q, x0 ),

λ ∈ N (K, G ( x0 )),

(0.3)

ở đó ký hiệu N ( A, x ) là nón pháp tuyến của A tại x. Ký hiệu Λ( x0 ) là tập tất cả
các nhân tử Lagrange của bài toán ( P) tại x0 (xem [10, Định nghĩa 3.8, tr. 150]). Ta
gọi điều kiện (0.3) là điều kiện cần cực trị bậc 1. Tiếp theo chúng ta trình bày một
số kết quả liên quan tới điều kiện cần cực trị cho bài toán ( P).
Định lý 0.1. (Xem [10, Định lý 3.9, tr. 151]). Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương
của bài toán ( P) và các hàm f , G thuộc lớp C1 . Hơn nữa, điều kiện chính quy ràng buộc
Robinson sau được thỏa mãn
0 ∈ int { G ( x0 ) + ∇ G ( x0 )( Q − x0 ) − K } .
Khi đó tập Λ( x0 ) khác rỗng, lồi, bị chặn và compact yếu* trong Y ∗ .
Ta gọi tập
C ( x0 ) := { h ∈ T ( Q, x0 ) : ∇ G ( x0 )h ∈ T (K, G ( x0 )), ∇ f ( x0 )h ≤ 0} ,
10

(0.4)


ở đó ký hiệu T ( M, x ) là nón tiếp tuyến Bouligand của M tại x, là nón tới hạn của
bài toán ( P) tại x0 .
Định lý 0.2 (điều kiện cần cực trị bậc hai). (Xem [10, Định lý 3.45, tr. 175]). Giả

sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán ( P) và giả sử điều kiện chính quy ràng
buộc Robinson (0.4) được thỏa mãn. Khi đó, với mỗi h ∈ C ( x0 ) và với bất kỳ tập con lồi

T (h) ⊂ T 2 (K, G ( x0 ), ∇ G ( x0 )h), bất đẳng thức sau được thỏa mãn
sup
λ ∈ Λ ( x0 )

∇2xx L( x0 , λ)(h, h) − σ(λ, T (h)) ≥ 0.

Ở đó, ký hiệu T 2 (K, x, v) là tập tiếp tuyến Bouligand bậc hai của tập K tại x theo hướng
v và σ(λ, M ) là hàm giá được cho bởi σ (λ, M ) := sup {| λ, m | : m ∈ M } .
Nghiên cứu các điều kiện cần cực trị cho bài toán tối ưu là một vấn đề quan
trọng trong lý thuyết tối ưu và ứng dụng. Có nhiều cơng trình khoa học nghiên
cứu theo hướng này (xem [10, 30, 43, 44, 57, 72]). Trong [30], Cominetti đã nghiên
cứu điều kiện cần cực trị bậc hai cho bài toán tối ưu ( P) trong trường hợp Q là tập
đóng và lồi. Jourani [44] đã nghiên cứu điều kiện cần cực trị bậc hai cho bài toán
tối ưu với ràng buộc bao hàm thức, trong đó có xét trường hợp Q chỉ là tập đóng.
Ở đó, Jourani đã sử dụng khái niệm nón tiếp tuyến Clarke để mở rộng điều kiện
chính quy ràng buộc Robinson (0.4). Tuy nhiên việc tính nón tiếp tuyến Clarke
của một tập đóng là cơng việc khó khăn. Vấn đề đặt ra tiếp theo là: sử dụng khái
niệm nón tiếp tuyến Bouligand để mở rộng điều kiện chính quy ràng buộc Robinson (0.4)
cho trường hợp Q chỉ là tập đóng. Luận án này đã giải quyết vấn đề vừa nêu ra.
Những năm gần đây, có nhiều cơng trình khoa học nghiên cứu điều kiện (cần
và đủ) cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình vi phân
thường và phương trình đạo hàm riêng (xem [11,12,16–25,38,58,68]). Bonnans và
Hermant [11, 12] nghiên cứu điều kiện cực trị bậc hai cho bài toán điều khiển tối
ưu được cho bởi phương trình vi phân thường. Casas và các tác giả [16–18,20–23]
nghiên cứu điều kiện cần cực trị bậc một và điều kiện đủ bậc hai cho lớp các bài
toán điều khiển tối ưu với phương trình elliptic với ràng buộc điều khiển u dạng
a( x ) ≤ u( x ) ≤ b( x )

hầu khắp (h.k.) x ∈ Ω,

(0.5)

ở đó a, b ∈ L∞ (Ω). Trong [19], Casas và Mateos đã đưa ra điều kiện cực trị bậc
hai cho bài toán điều khiển tối ưu elliptic với ràng buộc đẳng thức và bất đẳng
11


thức của biến trạng thái. Casas và Troltzsch
đã khảo sát iu kin cc tr bc hai
ă
cho bi toỏn iu khin tối ưu elliptic với ràng buộc điều khiển (0.5). Vấn đề được
đặt ra tiếp theo là: nghiên cứu điều kiện cần cực trị bậc hai cho lớp các bài toán điều
khiển tối ưu elliptic với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái từng điểm và ràng buộc
trạng thái từng điểm. Luận án này đã giải quyết vấn đề vừa nêu trên.
Nghiên cứu tính ổn định nghiệm là khảo sát các tính chất liên tục của ánh xạ
nghiệm theo tham số của bài tốn chứa tham số, như tính nửa liên tục trên, tính
nửa liên tục dưới, tính liên tục Holder,
tính liờn tc Lipschitz,.... Vic nghiờn cu
ă
dỏng iu ca ỏnh x nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu được bởi phương
trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng khi tham số biến thiên đã
được nhiều tác giả quan tâm (xem [5, 34, 38, 52, 56]). Như chúng ta đã biết, nếu
hàm mục tiêu là lồi mạnh với mỗi giá trị của tham số thì ánh xạ nghiệm là đơn
trị. Trong trường hợp này, [5, 34, 38, 56] đã chỉ ra rằng ánh xạ nghiệm là liên tục
Lipschitz theo tham số. Chú ý rằng, các kết quả đạt được trong tài liệu [56] được
thiết lập cho các bài toán điều khiển tối ưu elliptic chứa tham số với ràng buộc
điều khiển, khơng có ràng buộc trạng thái. Trong khi đó, [38] xét các bài tốn với

ràng buộc trạng thái và khơng có ràng buộc điều khiển. Bài tốn với ràng buộc
hỗn hợp điều khiển-trạng thái được xét trong tài liệu [5], ở đó Alt và các tác giả
đã chỉ ra tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm dưới điều kiện giao khác rỗng
của các tập bảo mật (security sets). Vấn đề nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài
toán điều khiển tối ưu elliptic với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái khi điều kiện
giao khác rỗng của các tập bảo mật không được đảm bảo sẽ trở lên phức tạp. Một tình
huống khác, khi hàm mục tiêu không lồi mạnh với mỗi giá trị của tham số, thì
nói chung ánh xạ nghiệm là khơng đơn trị. Trong trường hợp này, Kiên và các tác
giả [52] đã chỉ ra rằng ánh xạ nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi
phương trình vi phân thường là nửa liên tục dưới theo tham số. Do đó, vấn đề
tiếp theo là nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài tốn điều khiển tối ưu được cho bởi
phương trình elliptic khi hàm mục tiêu không lồi mạnh. Luận án này đã giải quyết các
vấn đề vừa nêu.
Mục đích chính của luận án này là trình bày một số kết quả mới bao gồm: (1)
điều kiện cần cực trị bậc một và bậc hai cho một lớp các bài toán điều khiển tối ưu cho
phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái từng
12


điểm và với ràng buộc trạng thái từng điểm; và (2) tính ổn định nghiệm của một số bài
tốn điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic tuyến tính chứa tham số với hàm mục
tiêu lồi và ràng buộc tuyến tính. Vì luận án là sự đan xen của các lĩnh vực khác nhau
như: Giải tích phi tuyến, Giải tích hàm, Giải tích đa trị, Phương trình đạo hàm
riêng và Điều khiển tối ưu nên phương pháp nghiên cứu của luận án sẽ là sự
kết hợp của các kỹ thuật của Giải tích phi tuyến, Giải tích hàm, Giải tích đa trị,
Phương trình đạo hàm riêng và Điều khiển tối ưu.
Ngoài phần Mở đầu, luận án gồm 4 chương, Kết luận và kiến nghị, Danh mục
cơng trình của tác giả liên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo.
Chương 1 nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về ánh xạ đa trị, giải
tích biến phân, giải tích lồi và phương trình đạo hàm riêng. Các kiến thức này sẽ

là cơ sở cho việc khảo sát những kết quả chính được trình bày ở các chương sau
của luận án.
Chương 2 nghiên cứu điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu
được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc
hỗn hợp điều khiển-trạng thái từng điểm. Mục 2.1 nghiên cứu điều kiện cần cực
trị cho bài toán quy hoạch tốn học. Mục 2.2 dành cho việc trình các kết quả
chính của chương này về điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu
được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc
hỗn hợp điều khiển-trạng thái từng điểm. Các chứng minh của các kết quả chính
của chương này được trình bày trong mục 2.3. Một số ví dụ áp dụng được trình
bày trong mục 2.4. Kết luận của chương này được trình bày trong mục 2.5.
Chương 3 khảo sát điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu được
cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng
thái từng điểm. Mục 3.1 thiết lập các điều kiện cần cực trị cho bài tốn điều khiển
tối ưu tổng qt. Mục 3.2 trình bày điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển
tối ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng
buộc trạng thái từng điểm. Mục 3.3 đưa ra một số kết luận của chương này.
Chương 4 nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài tốn điều khiển tối ưu
được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính chứa tham số. Mục
4.1 đưa ra điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm là liên tục Holder
theo tham s. Mc
ă
13


4.2 trình bày các điều kiện đủ đảm bảo ánh xạ nghiệm là nửa liên tục dưới theo
tham số. Cuối cùng, mục 4.3 trình bày kết luận của Chương 4.
Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại:
- Xêmina bộ mơn Giải tích, xêmina bộ mơn Tốn học tính tốn và Tốn ứng
dụng, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học

Quốc gia Hà Nội.
- Xêmina phịng Giải tích số và Tính tốn khoa học, Viện Tốn học.
- Các hội thảo Tối ưu và Tính tốn khoa học lần thứ 12 (Ba Vì, Hà Nội, 2325/4/2014) và lần thứ 13 (Ba Vì, Hà Nội, 23-25/4/2015).
- Hội nghị Tính tốn Hiệu năng cao lần thứ 6, 16-20/3/2015, Hà Nội (6th International Conference on High Performance Scientific Computing, Hanoi, March
16-20, 2015).
Các kết quả chính của luận án đã được đăng trên các tạp chí SIAM Journal on
Control and Optimization (xem [48]), Optimization (xem [49]), Journal of Optimization
Theory and Applications (xem [50]), và Taiwanese Journal of Mathematics (xem [60]).

14


Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản sẽ được sử dụng ở các
chương sau. Mục 1.1 trình bày các khái niệm và tính chất liên quan đến ánh xạ đa
trị. Mục 1.2 được dành cho giải tích biến phân. Trong mục 1.3, chúng tơi trình bày
các khái niệm và tính chất liên quan tới giải tích lồi. Phần cuối chương này, mục
1.4 sẽ giới thiệu các khái niệm và tính chất liên quan đến phương trình đạo hàm
riêng gồm: khơng gian Sobolev, phương trình elliptic tuyến tính và nửa tuyến
tính.

1.1

Ánh xạ đa trị

Ánh xạ đa trị là một khái niệm cơ bản của giải tích đa trị và được giới thiệu trong
nhiều cuốn sách chuyên khảo về giải tích đa trị như [3, 6–8, 64]. Ánh xạ đa trị
xuất hiện trong lý thuyết tối ưu, đặc biệt trong bao hàm thức vi phân (xem [8])

và trong các bài toán liên quan tới lý thuyết trị chơi.
Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản và các tính
chất chính liên quan tới tính liên tục của ánh xạ đa trị.
Cho X và Y là hai tập bất kỳ. Ánh xạ đa trị F từ X vào Y là ánh xạ từ tập X vào
tập các tập con của Y, và thường được ký hiệu là F : X ⇒ Y. Với mỗi x ∈ X, tập
hợp F ( x ) được gọi là ảnh của F tại x.
Định nghĩa 1.1. (Xem [7, Định nghĩa 1.3.1, tr. 34] và [3, Định nghĩa 1.1.1, tr. 10]).
Cho X, Y là hai không gian tôpô và một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y. Ta gọi các tập
Graph( F ) := {( x, y) ∈ X × Y | y ∈ F ( x )},
Dom( F ) := { x ∈ X | F ( x ) = ∅}

và Im( F ) :=

F(x)
x∈X

15


lần lượt là đồ thị, miền hữu hiệu và miền ảnh của F.
Ánh xạ nghịch đảo F −1 : Y ⇒ X của F được cho bởi: với mỗi y ∈ Y,
F −1 (y) := { x ∈ X | y ∈ F ( x )}.
Ánh xạ đa trị F được gọi là không tầm thường nếu Dom( F ) = ∅.
Nếu K là tập con của X, thì hạn chế của F trên K là ánh xạ đa trị F |K : K ⇒ Y được
cho bởi
F |K ( x ) = F ( x )

∀ x ∈ K.

Định nghĩa 1.2. (Xem [3, Định nghĩa 1.1.2, tr. 11] và [7, tr. 34]). Cho X và Y là các

không gian véc tơ tôpô. Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là:

(i ) ánh xạ đóng (hoặc có đồ thị đóng) nếu Graph( F ) là tập đóng trong khơng gian
tơpơ tích X × Y.

(ii ) ánh xạ đa trị lồi nếu Graph( F ) là tập lồi trong khơng gian véc tơ tơpơ tích
X × Y.

(iii ) ánh xạ có giá trị đóng nếu F ( x ) là tập đóng trong Y với mỗi x ∈ X.
(iv) ánh xạ có giá trị lồi nếu F ( x ) là tập lồi trong Y với mỗi x ∈ X.
(v) ánh xạ có giá trị compact nếu F ( x ) là tập compact trong Y với mỗi x ∈ X.
Tiếp theo, chúng ta nhắc đến các khái niệm liên quan đến tính liên tục của
ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3. (Xem [3, Định nghĩa 1.2.1, tr. 19], [7, Định nghĩa 1.4.1, tr. 38]
và [6, Định nghĩa 1, tr. 108]). Ta nói ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa hai không gian
tôpô X và Y là nửa liên tục trên tại x0 ∈ Dom( F ) nếu với mọi tập mở V ⊂ Y sao
cho F ( x0 ) ⊂ V tồn tại lân cận U của x0 thỏa mãn
F(x) ⊂ V

với mọi x ∈ U.

Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục trên nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi
điểm x ∈ Dom( F ).
Định nghĩa 1.4. (Xem [3, Định nghĩa 1.2.2, tr. 20], [7, Định nghĩa 1.4.2, tr. 39]
và [6, Định nghĩa 2, tr. 108]). Ta nói ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa hai không gian

16


tôpô X và Y là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ Dom( F ) nếu với mọi tập mở V ⊂ Y sao

cho F ( x0 ) ∩ V = ∅ tồn tại lân cận U của x0 thỏa mãn
F(x) ∩ V = ∅

với mọi x ∈ U ∩ Dom( F ).

Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi
điểm x ∈ Dom( F ).
Trong trường hợp X và Y là các không gian mêtric, ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là
nửa liên tục dưới tại x ∈ Dom( F ) nếu và chỉ nếu với mọi y ∈ F ( x ) và với mọi dãy

{ xn } ⊂ Dom( F ), xn → x, tồn tại dãy {yn } ⊂ Y, yn ∈ F ( xn ) sao cho yn → y.
Định nghĩa 1.5. (Xem [3, Định nghĩa 1.2.3, tr. 20], [7, Định nghĩa 1.4.3, tr. 40]
và [6, Định nghĩa 3, tr. 109]). Ta nói ánh xạ đa trị F từ khơng gian tôpô X vào
không gian tôpô Y là liên tục tại x0 ∈ Dom( F ) nếu F đồng thời là nửa liên tục trên
và nửa liên tục dưới tại x0 . Nếu F là liên tục tại mọi điểm x ∈ Dom( F ), thì ta nói
F là liên tục.
Trường hợp F : X → Y là ánh xạ đơn trị, các khái niệm nửa liên tục trên, nửa
liên tục dưới và liên tục là trùng nhau. Theo Aubin và Frankowska (xem [7]), các
khái niệm về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị được
giới thiệu bởi Bouligand và Kuratowski năm 1932. Hai khái niệm này là các sự
mở rộng của khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục.
Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày khái niệm ánh xạ liên tục Lipschitz, một lớp
quan trọng trong các ánh xạ đa trị liên tục.
Định nghĩa 1.6. (Xem [3, Định nghĩa 1.5.1, tr. 45 và Định nghĩa 1.5.4, tr. 46] và [7,
Định nghĩa 1.4.5, tr. 41]). Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa các không gian định chuẩn
X và Y được gọi là Lipschitz địa phương tại (hoặc ở quanh) điểm x ∈ X nếu tồn tại
một lân cận U ⊂ Dom( F ) của x và một số dương l sao cho
F ( x 1 ) ⊂ F ( x 2 ) + l x 1 − x 2 BY

với mọi x1 , x2 ∈ U.

Trong trường hợp này, ta cũng gọi F là Lipschitz (hoặc l −Lipschitz) trên U.
Cho trước y ∈ F ( x ). Ta nói F là giả-Lipschitz quanh điểm ( x, y) ∈ Graph( F )
nếu tồn tại một số l > 0 và các lân cận U ⊂ Dom( F ) của x và V của y sao cho
F ( x 1 ) ∩ V ⊂ F ( x 2 ) + l x 1 − x 2 BY
17

với mọi x1 , x2 ∈ U.


Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị các khái niệm Lipschitz địa phương và
giả-Lipschitz quanh điểm x trở về khái niệm Lipschitz địa phương quanh điểm x
của hàm đơn trị.
Khái niệm giả-Lipschitz được Aubin đưa ra năm 1984, do đó tính chất giảLipschitz cịn có tên gọi khác là tính liên tục Aubin. Tiếp theo chúng ta sẽ xét một
khái niệm liên quan tới tính liên tục Aubin của một ánh xạ đa trị. Cho ( X, d) là
không gian mêtric và x ∈ X, K ⊂ X, ký hiệu d( x, K ) là khoảng cách từ x tới K và
được cho bởi
d( x, K ) := inf {d( x, y) | y ∈ K } .
Định nghĩa 1.7. (Xem [64, Định nghĩa 1.136, tr. 96] và [65, Định nghĩa 1.1]). Ánh
xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa các không gian mêtric được gọi là chính quy mêtric tại
điểm ( x0 , y0 ) ∈ Graph( F ) nếu tồn tại các hằng số c, α, β, > 0 sao cho
d( x, F −1 (y)) ≤ cd(y, F ( x ))
với mọi x ∈ B( x0 , α), y ∈ B(y0 , β) thỏa mãn d(y, F ( x )) ≤ .
Tính chính quy mêtric có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu các điều
kiện cần cực trị của bài tốn tối ưu có ràng buộc. Các khái niệm giả-Lipschitz và
chính quy mêtric cũng như mối liên hệ giữa hai khái niệm này được nghiên cứu
trong nhiều cơng trình tốn học (xem [30, 48, 64, 65]). Dưới đây trình bày mối liên
hệ giữa hai khái niệm giả-Lipschitz và chính quy mêtric.
Định lý 1.1. (Xem [65, Định lý 1.5]). Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa hai không
gian mêtric và ( x0 , y0 ) ∈ Graph( F ). Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i ) F là chính quy mêtric tại ( x0 , y0 );
(ii ) F −1 là giả-Lipschitz quanh điểm (y0 , x0 ).

1.2
1.2.1

Giải tích biến phân
Tập tiếp tuyến

Mục này trình bày các khái niệm và tính chất liên quan tới tập tiếp tuyến bậc 1,
bậc 2 của một tập con trong một không gian định chuẩn. Trước tiên, chúng ta
trình bày khái niệm nón tiếp tuyến Bouligand và các tính chất liên quan.
18


Định nghĩa 1.8. (Xem [3, Định nghĩa 2.2.1, tr. 54] và [7, Định nghĩa 4.1.1, tr. 121]).
Cho K ⊂ X là một tập con trong không gian định chuẩn X và một điểm x ∈ K.
Nón tiếp tuyến Bouligand của tập K tại x, được ký hiệu là T (K, x ), được cho bởi
T (K, x ) :=

v ∈ X | lim inf
t →0+

d( x + tv, K )
=0 .
t

Từ Định nghĩa 1.8, dễ thấy T (K, x ) là nón đóng và T (K, x ) ⊂ cone(K − x ).
Ở đó ký hiệu cone( A) := {λa | λ ≥ 0, a ∈ A} là nón sinh bởi tập A. Hơn nữa,

chúng ta dễ dàng nhận được đặc trưng sau:
T (K, x ) = {v ∈ X | ∃tn → 0+ , ∃vn → v sao cho x + tn vn ∈ K với mọi n ∈ N}.
Ví dụ 1.1. (Xem [7, Ví dụ, tr. 123]). Cho X là không gian định chuẩn, một ánh xạ
liên tục g = ( g1 , g2 , ..., g p ) : X → R p và K là tập con của X được cho bởi
K := { x ∈ X | gi ( x ) ≤ 0, i = 1, 2, ..., p}.
Cố định x ∈ K, định nghĩa tập chỉ số hoạt I ( x ) := {i = 1, 2, ..., p | gi ( x ) = 0}. Khi
đó:

(i ) Nếu I ( x ) = ∅ thì T (K, x ) = X.
(ii ) Nếu I ( x ) = ∅ và g khả vi Fréchet tại x, thì
T (K, x ) ⊂ {v ∈ X | ∀i ∈ I ( x ), gi ( x ), v ≤ 0}.

(iii ) Nếu I ( x ) = ∅, g khả vi Fréchet tại x và điều kiện chính quy sau được thỏa mãn
∃v0 ∈ X sao cho ∀i ∈ I ( x ), gi ( x ), v0 < 0
thì
T (K, x ) = {v ∈ X | ∀i ∈ I ( x ), gi ( x ), v ≤ 0}.
Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm về nón tiếp tuyến trung gian
và nón tiếp tuyến Clarke.
Định nghĩa 1.9. (Xem [7, Định nghĩa 4.1.5, tr. 126] và [3, Định nghĩa 2.2.2 và 2.2.3,
tr. 60]). Cho K ⊂ X là tập con trong khơng gian định chuẩn X và x ∈ K. Nón tiếp
tuyến trung gian (hay nón tiếp tuyến kề) của tập K tại x, được ký hiệu bởi T (K, x ),
được cho bởi
T (K, x ) :=

v ∈ X | lim

t →0+

19

d( x + tv, K )
=0 .
t


Nón tiếp tuyến Clarke của tập K tại x, được ký hiệu bởi TC (K, x ), được cho bởi








d( x + tv, K )
=0 .
TC (K, x ) := v ∈ X | lim


t
t →0+




K
x−
→x
K

Ở đây, ký hiệu x −
→ x có nghĩa là: x ∈ K và x → x.
Từ Định nghĩa 1.9, chúng ta dễ dàng nhận được đặc trưng sau của nón tiếp
tuyến trung gian và nón tiếp tuyến Clarke.
Mệnh đề 1.1. (Xem [3, Mệnh đề 2.2.3, tr. 60] và [7, tr. 128]). Ta có:

(i ) v ∈ T (K, x ) nếu và chỉ nếu với mọi dãy tn → 0+ , tồn tại dãy vn → v sao cho với
mọi n ∈ N, ta ln có x + tn vn ∈ K.
K

→ x, tồn tại dãy
(ii ) v ∈ TC (K, x ) nếu và chỉ nếu với mọi dãy tn → 0+ và mọi dãy xn −
vn → v sao cho với mọi n ∈ N, ta ln có xn + tn vn ∈ K.
Cho X là không gian Banach và cho x1 , x2 ∈ X, tập

[ x1 , x2 ] := { x ∈ X | x = αx1 + (1 − α) x2 , 0 ≤ α ≤ 1}
được gọi là đoạn nối hai điểm x1 và x2 trong không gian X. Một tập con A của
không gian X được gọi là lồi nếu: ∀ x1 , x2 ∈ A thì [ x1 , x2 ] ⊂ A (xem [42, Mục 0.3.1,
tr. 45]).
Sau đây chúng tôi liệt kê một số tính chất của nón tiếp tuyến Bouligand, nón
tiếp tuyến kề và nón tiếp tuyến Clarke.
Mệnh đề 1.2. (Xem [3, Mệnh đề 2.2.3, tr. 60] và [7, Chương 4]). Ta có:

(i ) Nón tiếp tuyến Clarke TC (K, x ) là nón lồi và đóng.
(ii ) Nón tiếp tuyến trung gian T (K, x ) là nón đóng.
(iii ) TC (K, x ) + T (K, x ) ⊂ T (K, x ).
(iv) TC (K, x ) + T (K, x ) ⊂ T (K, x ).
Dễ thấy rằng, với mọi tập K trong không gian định chuẩn X, ta luôn có bao
hàm thức TC (K, x ) ⊂ T (K, x ) ⊂ T (K, x ) ⊂ cone(K − x ).
Trong trường hợp tập K là lồi thì bao hàm thức trên trở thành đẳng thức.

20


Mệnh đề 1.3. (Xem [7, Mệnh đề 4.2.1, tr. 138]). Giả sử K là tập lồi, khi đó nón tiếp
tuyến Bouligand T (K, x ) là tập lồi. Hơn nữa, ta ln có
TC (K, x ) = T (K, x ) = T (K, x ) = cone(K − x ).
Các khái niệm nón tiếp tuyến có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu
các điều kiện cần cực trị bậc 1 của bài tốn tối ưu có ràng buộc. Để nhận được các
điều kiện cần cực trị bậc 2 của bài tốn tối ưu có ràng buộc, chúng ta cần nghiên
cứu các khái niệm liên quan tới các tập tiếp tuyến bậc 2. Trước khi xem xét các
khái niệm về tập tiếp tuyến bậc 2, chúng ta sẽ trình bày các khái niệm về giới hạn
Painlevé-Kuratowski của họ các tập hợp.
Định nghĩa 1.10. (Xem [3, Định nghĩa 2.2.5, tr. 63] và [7, Định nghĩa 1.1.1, tr. 17]).
Cho (Kt )t∈T là họ các tập hợp phụ thuộc tham số t ∈ T, T là không gian mêtric
và Kt ⊂ X với mọi t ∈ T, X là không gian định chuẩn. Giả sử t0 ∈ T. Tập hợp
LimsupKt := { x ∈ X | lim inf d( x, Kt ) = 0}
t → t0

t → t0

được gọi là giới hạn trên theo Painlevé-Kuratowski của họ (Kt ) khi t → t0 .
Tập hợp
LiminfKt := { x ∈ X | lim d( x, Kt ) = 0}
t → t0

t → t0

được gọi là giới hạn dưới theo Painlevé-Kuratowski của họ (Kt ) khi t → t0 .
Định nghĩa 1.11. (Xem [7, Định nghĩa 4.7.1 và 4.7.2, tr. 171]). Cho K là tập con

¯ v ∈ X.
trong không gian định chuẩn X và x ∈ K,
Tập hợp
T 2 (K, x, v) := Limsup
t →0+

K − x − tv
t2

được gọi là tập tiếp tuyến Bouligand bậc 2 của tập K tại x theo hướng v.
Tập hợp
T 2 (K, x, v) := Liminf
t →0+

K − x − tv
t2

được gọi là tập tiếp tuyến kề (trung gian) bậc 2 của tập K tại x theo hướng v.
Tập hợp
TC2 (K, x, v) := Liminf
t →0+
K
x−
→x

K − x − tv
t2

được gọi là tập tiếp tuyến Clarke bậc 2 của tập K tại x theo hướng v.
21

Từ định nghĩa trên, chúng ta thấy rằng các tập T 2 (K, x, v), T 2 (K, x, v) và TC2 (K, x, v)
là các tập đóng, hơn nữa các đẳng thức sau luôn đúng
T 2 (K, x, 0) = T (K, x ),

T 2 (K, x, 0) = T (K, x ),

TC2 (K, x, 0) = TC (K, x ).

Khi K là tập con đóng trong khơng gian L p (Ω) (xem định nghĩa trong mục
1.4), ta có kết quả sau.
Định lý 1.2. (Xem [7, Định lý 8.5.1, tr. 324]). Cho K là tập con của không gian L p (Ω)
sao cho tập M ( x ) := {u( x ) | u ∈ K } là tập đo được và đóng trong R với h.k. x ∈ Ω.
Khi đó, với u0 ∈ K,
v ∈ L p (Ω) | v( x ) ∈ T ( M ( x ), u0 ( x )) h.k. x ∈ Ω

⊂ T (K, u0 ) ⊂ T (K, u0 )
⊂ {v ∈ L p (Ω) | v( x ) ∈ T ( M( x ), u0 ( x )) h.k. x ∈ Ω} .
Dưới đây là một hệ quả của Định lý 1.2 được áp dụng cho trường hợp K là
tập con đóng và lồi trong khơng gian L p (Ω). Kết quả này cho chúng ta cơng thức
hiện tính nón tiếp tuyến của tập K tại u ∈ K.
Hệ quả 1.1. Cho K := {u ∈ L p (Ω) | a( x ) ≤ u( x ) ≤ b( x ) h.k. x ∈ Ω}, với
a, b ∈ L p (Ω) và u0 ∈ K. Khi đó
T (K, u0 ) = T (K, u0 )

= v ∈ L p (Ω) | v( x ) ∈ T ([ a( x ), b( x )], u0 ( x )) h.k. x ∈ Ω .

1.2.2

Nón pháp tuyến

Cho X là khơng gian định chuẩn trên trường R. Ký hiệu X ∗ là không gian đối
ngẫu tôpô của X, tức là
X ∗ = { x ∗ : X → R là ánh xạ tuyến tính và liên tục}.
Với mỗi x ∈ X và x ∗ ∈ X ∗ , ta thường viết x ∗ , x thay cho x ∗ ( x ). Ta nói rằng ·, ·
là tích vơ hướng của cặp đối ngẫu X ∗ , X. Khi đó X ∗ là khơng gian Banach với
chuẩn
x ∗ := sup{ x ∗ , x | x ∈ X, x ≤ 1}
22

(xem [14, Chương 1, tr. 3]).