Phương pháp phiếm hàm lyapunov và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯU THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG
ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯU THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG
ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - Năm 2014


Mục lục

Mở đầu

3

1 Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong không gian
Banach

5

1.1

5

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

1.1.2
1.2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân
trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Phương pháp xấp xỉ thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1

Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính . . 15

1.3.2

Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1

Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2

Đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm của
một hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.3

Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . . 22

1.4.4

Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . . 23

1.4.5

Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . . 24

1


1.5

Sự ổn định mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6

Phương pháp chọn hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân
tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của phương trình vi phân hàm
2.1

2.2

2.3

2.4

Khái niệm về phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1

Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.2

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . 36

Phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm . . . . . 37
2.2.1

Phương pháp từng bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2

Phương pháp toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Lý thuyết ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1

Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.2

Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Định lý Razumikhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Một số mô hình ứng dụng
3.1

3.2

35

55

Mô hình ứng dụng trong các quần thể sinh học . . . . . . . . . . . 55
3.1.1

Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra dạng đơn giản . . . . . 56

3.1.2

Mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra . . . . . . . . . . . . 61

3.1.3

Mô hình cộng sinh Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1.4

Mô hình Lotka-Volterra cho ba loài . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.5

Một số nhận xét chung về các mô hình quần thể đa loài . 71

Mô hình Lotka-Volterra có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.1

Tính ổn định tiệm cận địa phương . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.2

Tính ổn định tiệm cận toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3

Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật thể rắn . 83

3.4

Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . 84
2


Mở đầu
Lý thuyết ổn định của phương trình vi phân là một trong những hướng
nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình
vi phân. Lý thuyết này xuất phát từ những đòi hỏi của thực tế và có nhiều ứng
dụng trong các lĩnh vực thực tế khác nhau, như: Vật lý, Sinh thái học, Cơ học,...
Trong những năm gần đây đã có rất nhiều công trình của các nhà khoa học

trong và ngoài nước đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực này.
Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân, chúng ta
thường sử dụng các phương pháp của nhà toán học người Nga A.E.Lyapunov.
Ngày nay, do yêu cầu của ứng dụng thực tế và sự phát triển vượt bậc của toán
học, việc nghiên cứu các bài toán ổn định đã được mở rộng theo nhiều hướng,
một trong số đó là nghiên cứu trên các phương trình vi phân có chậm. Trong
bản luận văn này chúng tôi sẽ đề cập đến một số vấn đề sau đây:
- Trình bày lại các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của các phương
trình vi phân trong không gian Banach, trong không gian Rn và phương pháp
hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm.
- Phần cuối của bản luận văn dành cho việc trình bày chi tiết một số ứng
dụng của phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho các
mô hình ứng dụng.
Bố cục luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân
trong không gian Banach và trong không gian Rn .
Chương 2: Trình bày tính chất nghiệm của phương trình vi phân có chậm.
3


Chương 3: Trình bày một số ứng dụng về tính ổn định nghiệm của phương
trình vi phân.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS.
Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi
trong việc hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,
trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điều
tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục
học tập và bảo vệ luận văn.

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về
tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản luận
văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Lưu Thị Thu Huyền

4


Chương 1
Sự ổn định nghiệm của phương
trình vi phân trong không gian
Banach
1.1
1.1.1

Một số khái niệm cơ bản
Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính

Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương trình vi
phân
dx(t)
= f (t, x(t)),
dt

(1.1)

trong đó t ∈ R+ , x(.) ∈ B và hàm f : R+ × D → D với D là một miền đơn liên
trong không gian Banach B. Ta hiểu nghiệm của (1.1) là nghiệm cổ điển theo
nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.1.1. Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ ) xác định trên I , khả vi
liên tục theo t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi thay vào (1.1) ta thu được
một đồng nhất thức trên I . Tức là
dx(t)
= f (t, x(t)); ∀t ∈ I.
dt

5


Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước.
Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau:
t

x(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ

(1.2)

t0

Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằng
nghiệm của (1.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.
Ký hiệu

S(ε,µ) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ µ , với ε > 0, µ > 0

là lân cận đóng của điểm (t0 , x0 ). Khi đó ta có định lý tồn tại duy nhất nghiệm
của bài toán Cauchy như sau:
Định lý 1.1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t0 , x0 ) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x)
liên tục theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 ||

(1.3)

M là một hằng số hữu hạn.

Khi đó tồn tại một lân cận của điểm x0 mà trong lân cận đó thì (1.1) có duy
nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 .
Chứng minh. Từ giả thiết suy ra tồn tại ε, η > 0 sao cho trong miền |t − t0 | ≤
ε, ||x − x0 || ≤ η , ta có:
||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )||
≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞

Lấy δ = min ε, Mη1 và ký hiệu Cδ (B) là không gian Banach các hàm liên tục x(t)
xác định trên |t − t0 | ≤ δ với chuẩn
|||x||| = sup ||x(t)||
|t−t0 |≤δ

6


Gọi
Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η} .

Xét toán tử
t

(Sx)(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ
t0

Ta có:
t

||(Sx)(t) − x0 || = ||

f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))||
τ ∈[t0 ,t]

t0

≤ δM1 ≤ η

(∀x(t) ∈ Bη ).

Ta thấy toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη .
Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη , từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá
t

||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ

||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤
t0

t

||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 |||.

≤M
t0

Mặt khác ta lại có:
t

||(S 2 x2 )(t) − (S 2 x1 )(t)|| ≤ M

||(Sx2 )(τ ) − (Sx1 )(τ )||dτ
t0
t

≤ M 2 |||x2 − x1 |||

(τ − t0 )dτ
t0

=

[M (t − t0 )]2
|||x2 − x1 |||.
2!

Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được:
[M (t − t0 )]n

|||x2 − x1 |||
n!
[δM ]n
||S n x2 − S n x1 || ≤
|||x2 − x1 |||.
n!

||(S n x2 )(t) − (S n x1 )(t)|| ≤

Do

[δM ]n
n!

→ 0 khi n → +∞ nên với n đủ lớn thì S n là toán tử co trong Bη . Do

đó sẽ tồn tại duy nhất nghiệm x(t) ∈ Bη của phương trình tích phân:
t

x(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ
t0

7


Định lý 1.1.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)
Giả sử tồn tại miền [a, b] × B mà trên đó hàm f (t, x) liên tục theo biến t và thỏa
mãn điều kiện Lipschitz (1.3). Khi đó với mọi (t0 , x0 ) ∈ [a, b]× B, bài toán Cauchy

có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b].
Chứng minh tương tự định lý (1.1.1) với chú ý:
(i) Từ giả thiết của định lý ta suy ra hàm f (t, x) giới nội trên [a, b] × D với D là
tập compact trong không gian Banach B.
(ii) Bη ở định lý trước được thay bởi C(B) gồm tất cả các hàm x(t) xác định liên
tục trên [a, b], lấy giá trị trong không gian Banach B và có chuẩn được xác định
bởi
|||x||| = sup ||x(t)||.
[a,b]

Định lý 1.1.3. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy)
Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất
r
r0

dr
→ ∞ khi r → +∞
L(r)

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian
vô hạn t0 ≤ t < +∞.
Chứng minh. Vì
||

x(t2 ) − x(t1 )
||x(t2 )|| − ||x(t1 )||
dx
d||x||
|| ≥

⇒ || || ≥
t2 − t1
t2 − t1
dt
dt

Mặt khác ta có

dx(t)
dt

= f (t, x(t)) và ||f (t, x)|| ≤ L(||x||) ta suy ra L(||x||) ≥

d||x||
dt

.

Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x(t0 ) đến điểm x theo
chiều tăng của t ta được:
t

t

dr ≥
t0

t0

d||x||

1
.
dr ⇒ t − t0 ≥
dt L(||x||)

Đổi biến r = x(t). Do
r
r0

dr
→ ∞ khi r → +∞
L(r)
8

||x||
||x0 ||

dr
Lr


nên nếu ||x|| → +∞ thì t → +∞, do đó nghiệm có thể thác triển ra vô hạn.

1.1.2

Các khái niệm về ổn định

Giả sử B là không gian Banach. Xét phương trình vi phân
dx
= f (t, x(t))

dt

(1.4)

trong đó t ∈ R+ , x(t) ∈ B, f : R+ × G → B, f (t, 0) = 0. Để thuận tiện ta xét G là
một miền mở chứa gốc tọa độ
G = {x ∈ B : ||x|| ≤ R, R > 0}
hoặc G có thể là toàn bộ không gian Banach B.
Giả sử hàm f thỏa mãn mọi điều kiện để nghiệm của bài toán Cauchy của
phương trình (1.4) tồn tại duy nhất và có thể kéo dài ra vô hạn.
Ký hiệu x(t) = x(t, t0 , x0 ) là nghiệm của phương trình vi phân (1.4) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , x0 ∈ G.
Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)
được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+ , ∃δ =
δ(t0 , ε) sao cho
∀x0 ∈ G : ||x0 || < δ ⇒ ||x(t, t0 , x0 )|| < ε, ∀t ≤ t0 .

Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)
được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.1.2) có thể
chọn không phụ thuộc vào t0 .
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)
được gọi là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại ∆ = ∆(t0 ) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0 | | < ∆ thì
lim ||x(t, t0 , x0 )| | = 0

t→+∞

9

Định nghĩa 1.1.5. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)
được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định đều.
(ii) Tồn tại ∆ > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn
||x0 | | < ∆ thì
lim ||x(t, t0 , x0 )| | = 0

t→+∞

Định nghĩa 1.1.6. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)
được gọi là ổn định mũ khi t → +∞ nếu như mọi nghiệm x(t) = x(t, t0 , x0 ) của
phương trình (1.4) luôn thỏa mãn bất đẳng thức
||x(t)|| ≤ M.e−λ(t−t0 ) .||x0 ||, ∀t ≥ t0

trong đó M, λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0 .
Định nghĩa 1.1.7. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)
được gọi là ổn định mũ đều khi t → +∞ nếu như số M trong định nghĩa (1.1.6)
không phụ thuộc vào t0 .
Định nghĩa 1.1.8. (Phiếm hàm Lyapunov)
Ta nói phiếm hàm V : R+ × B → R+ là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai.
Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (1.1), ký hiệu là V˙ (t, x) được xác
định bởi
1
{V [t + h, x + hf (t, x)] − V (t, x)}
V˙ (t, x) = lim
h→+∞ h

Ký hiệu CIP: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương.

1.2

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov đối với phương
trình vi phân trong không gian Banach

Định lý 1.2.1. (Định lý về sự ổn định)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × B → R+ và hàm
10


a(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:

(i) V (t, 0) = 0;
(ii) a(||x||) ≤ V (t, x);
.

(iii) V (t, x) ≤ 0.
Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định.
Chứng minh. Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii), ta sẽ
chứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (1.1) là ổn định.
Cho ε > 0 đủ bé, ta xác định mặt cầu
Sε = {x : x ∈ B, ||x|| = ε}.

Từ (ii) ta suy ra
0 < a(ε) ≤ V (t, x), t ∈ R+ , x ∈ Sε .

Vì V (t, 0) = 0, V (t, x) là hàm liên tục nên với t0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại số
δ(t0 , ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(t0 , ε) thì V (t0 , x) < a(ε).

Lấy x = x(t, t0 , x0 ) là nghiệm của (1.1) sao cho ||x0 || < δ , ta sẽ chứng minh
||x(t, t0 , x0 )|| < ε, ∀t ≥ t0 .

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại t1 > t0 sao cho nghiệm x = x(t, t0 , x0 ) với
||x0 || < δ thỏa mãn
||x(t1 )|| = ε.

Từ điều kiện (iii) ta suy ra
V (t1 , x(t1 )) ≤ V (t0 , x(t0 )),

từ đó ta suy ra
a(ε) ≤ V (t1 , x(t1 )) ≤ V (t0 , x(t0 )) < a(ε).

Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều giả sử là sai. Như vậy nếu ||x0 || < δ thì
||x(t, t0 , x0 )|| < ε, ∀t ≥ t0 ,

tức là nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 ổn định.
11


Định lý 1.2.2. (Định lý về sự ổn định đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm Lyapunov V : R+ × B → R+ và các hàm a(.), b(.) ∈
CIP thỏa mãn điều kiện:

(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||)
.

(ii) V (t, x) ≤ 0.
Khi đó nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định đều theo nghĩa Lyapunov
khi t → +∞.

Chứng minh. Xét mặt cầu
Sε = {x : x ∈ B, ||x|| = ε}.

Từ điều kiện (i) ta có a(||x||) ≤ V (t, x)
Đồng thời, do
V (t, x) ≤ b(||x||) và b(||x||) ∈ CIP

nên với a(ε) > 0 ta chọn được số δ = δ(ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(ε) thì
b(||x||) < a(ε), do đó b(δ) < a(ε).

Lấy một nghiệm tùy ý x(t, t0 , x0 ) của (1.1) với ||x0 || < δ(ε) thì với t0 cố định bất
.

kỳ từ giả thiết V (t, x) ≤ 0, ta có
a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ V (t0 , x0 ) ≤ b(||x0 (t)||) ≤ b(δ) < a(ε).

Như vậy với ||x0 || < δ(ε) thì
||x(t, t0 , x0 )|| < ε, ∀t ≥ t0 .

Do đó nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định đều.
Định lý 1.2.3. (Định lý về sự ổn định tiệm cận đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục V : R+ × B → R+ và các hàm a(.), b(.), c(.) ∈
CIP thỏa mãn điều kiện:

(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||),
12


(ii) V˙ (t, x) ≤ −c(||x||).
khi đó nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.1) là ổn định tiệm cận đều theo

nghĩa Lyapunov khi t → +∞.
Chứng minh. Từ định lý trên ta có nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình (1.1) là
ổn định đều. Ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường đó là ổn định tiệm cận đều.
Do nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều nên tồn tại δ0 > 0 sao cho với t0 ∈ R+ và
||x|| ≤ δ0 , ta có:
x(t, t0 , x0 ) < M < +∞; ∀t ≥ t0

Mặt khác ∀ε > 0, ∃δε > 0 sao cho t0 ∈ R+ , ||x|| ≤ δε , ta có:
x(t, t0 , x0 ) < ε, ∀t ≥ t0

Giả sử ngược lại tồn tại nghiệm x(t, t0 , x0 ), t0 ∈ R+ , ||x|| < δ0 nhưng
limt→+∞ ||x(t, t0 , x0 )|| = 0

khi đó tồn tại dãy tk với tk ≥ t0 , limk→+∞ tk = +∞ sao cho
δε ≤ ||xtk || < M

Kết hợp điều kiện (ii) ta suy ra tồn tại số γ > 0 sao cho
V˙ (t, x) < −γ

Do δε ≤ ||x(tk )|| < M nên
t

t

V˙ (t, x(τ ))dτ ≤
t0

−γdτ
t0

Do đó
V (t, x) ≤ V (t0 , x0 ) − γ(t − t0 ) → −∞ khi t → +∞

mâu thuẫn với giả thiết (i).
Điều này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai. Do đó limk→+∞ tk = 0.
Như vậy nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định tiệm cận đều.
13


Ví dụ 1.2.1. Phương trình vi phân
dx
t
= −13x − 12x sin [ln(1 + t)] +
cos [ln(1 + t)]
dt
t+1

là ổn định tiệm cận nhưng không ổn định đều.
Thật vậy:
*) Tính toán ta thu được công thức nghiệm tổng quát của phương trình:
x(t) = exp {−13t − 12t sin [ln(t + 1)]} .x(0)

*) Chứng minh x(t) = 0 là ổn định tiệm cận, tức limt→+∞ ||U (t, t0 )|| = 0.
Ta có:
U (t, t0 ) = exp {− {13 + 12 sin [ln(t + 1)]} t}

Do
sin [ln(t + 1)] ≥ −1

nên

13 + 12 sin [ln(t + 1)] ≥ 13 − 12 = 1 ⇒ exp − {13 + 12 sin [ln(t + 1)]} t ≤ e−t
⇒ ||U (t, t0 )|| ≤ e−t → 0 khi t → ∞ ⇒ lim ||U (t, t0 )|| = 0.
t→+∞

*) x(t) = 0 không ổn định đều
Ta sẽ chỉ ra tồn tại dãy {tn } và tn sao cho:
tn → +∞, tn → +∞ và U (tn , tn ) → ∞(n → ∞)

Chọn hai dãy
tn = exp (4n + 1)

π
2

− 1;

tn = exp (4n + 3)

Dễ thấy:
tn → +∞, tn → +∞

14

(n → ∞)

π
2

−1

Và
π

(e(4n+1) 2 − 1) = e−25tn

π

(e(4n+3) 2 − 1) = e−tn

x(tn ) = exp − 13 + 12 sin(ln e(4n+1) 2 )
x(tn ) = exp − 13 + 12 sin(ln e(4n+3) 2 )
⇒

π

π

x(tn )
= e−25tn −tn
x(tn )

trong đó
π

π

π

−25tn − tn = −25(e(4n+1) 2 − 1) − (e(4n+3) 2 − 1) = (25 − eπ )e(4n+1) 2 − 24

Do 25 > eπ nên
x(tn )
→ +∞ khi n → +∞
x(tn )

Vậy nghiệm x(t) = 0 không ổn định đều.

1.3
1.3.1

Phương pháp xấp xỉ thứ nhất
Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

 dx

dt
x(t0 )

= A(t)x + f (t)

(1.5)

= x0

Chúng ta có thể giả sử rằng t thuộc khoảng hữu hạn hay vô hạn I nào đó thuộc
B, f : I → B và A : I → Mn (Rn ) là liên tục.
Ta cũng có thể xét phương trình tích phân tương ứng:
t

x(t) = x0 +

t

A(τ )x(τ )dτ +
t0

f (τ )dτ

(1.6)

t0

Ta nói rằng x : I → B là nghiệm của phương trình (1.5) nếu x(t) khả vi và thỏa
mãn (1.5). Khi đó, x(t) cũng là nghiệm của (1.6).
Xét phương trình tích phân dạng tổng quát
t

x(t) = g(t) +

A(τ )x(τ )dτ
t0

15

(1.7)


với g(t) là hàm vector liên tục trên I . Ta sẽ chỉ ra rằng phương trình có một
nghiệm liên tục trên đoạn [a, b] ∈ I .

Thật vậy:
Ký hiệu C([a, b]; B) là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với giá trị trong
B và có chuẩn
|||x||| = max ||x(t)||
t∈[a,b]

Trong không gian

C([a, b], Rn )

xét toán tử:
t

A(τ )x(τ )dτ

(Sx)(t) = g(t) +
t0

đi từ C([a, b]; B) vào chính nó và (Sx)(t) là liên tục.
Bằng phương pháp quy nạp thực hiện liên tiếp ta được:
t

t

(S n x)(t) = g(t) +

A(tn−1 )A(tn−2 ) . . . A(t1 )g(t1 )dt1 . . . dtn−1

...
t0

t

t0
tn

t0

t0

t0

t2

tn−1

+

t0
t2

A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 )x(t1 )dt1 . . . dtn−1 dtn .

...

+

A(t2 )A(t1 )g(t1 )dt1 dt2 + . . .
t0

t0

t

t2

A(t1 )x(t1 )dt1 +

t0

Khi đó với mỗi x1 , x2 ∈ B ta có:
(S n x2 )(t) − (S n x1 )(t)
t

t2

tn

A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 ) [x2 (t1 ) − x1 (t1 )] dt1 . . . dtn−1 dtn

...

=
t0

t0

t0

và có đánh giá
||(S n x2 )(t) − (S n x1 )(t)||
t

tn

≤ |||x2 − x1 |||

t2

||A(tn )||||A(tn−1 )|| . . . ||A(t1 )||dt1 . . . dtn−1 dtn

...
t0

t0

t0

Do tính chất bất biến của tích phân khi hoán đổi vị trí các biến số t1 , t2 , . . . , tn
nên ta có:
t

tn

t2

||A(tn )||||A(tn−1 )|| . . . ||A(t1 )||dt1 . . . dtn−1 dtn

...
t0

1

=
n!

t0

t0
t

t

t0

t0

t

...
t0

1
||A(tn )||||A(tn−1 )|| . . . ||A(t1 )||dt1 . . . dtn−1 dtn =
n!
16

n

t

||A(τ )||dτ
t0

.


Cuối cùng ta có
n

b

1
|||S n x1 − S n x2 ||| ≤
n!

||A(τ )||dτ

|||x2 − x1 |||

(1.8)

a

Như vậy S : ([a, b], B) −→ C([a, b], B) là một ánh xạ co nên (1.7) có nghiệm duy
nhất. Ngoài ra: khi đó tồn tại duy nhất một hàm x(t) liên tục trên đoạn [a, b] và
lim (S n x0 )(t) = x(t) với mọi x0 (t) ∈ C([a, b]; B).

n→∞

Do đó, nghiệm x(t) có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi như sau:
t

A(t1 )x(t1 )dt1

x(t) = g(t) +
t0
∞

t

tn

t2

...

+
n=2

t0

t0

A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 )x(t1 )dt1 . . . dtn−1 dtn
t0

∞

= g(t) +

gk (t)
k=1

trong đó
t

A(τ )gk−1 (τ )dτ, g0 (t) = g(t)

gk (t) =
t0

Và
b

|||x||| ≤ |||g|||exp

||A(τ )||dτ

(1.9)

a

*) Trong trường hợp riêng chúng ta xét bài toán Cauchy

 dx
= A(t)x
dt

(1.10)

x(t0 ) = x0
Cùng với phương trình (1.10) ta có phương trình tích phân tương ứng:

t

x(t) = x0 +

A(τ )x(τ )dτ

(1.11)

t0

Khi đó, nghiệm của phương trình (1.10) thu được là
∞

t

tn

x(t) = x0 +

t2

A(tn )A(tn − 1) . . . A(t1 )x0 (t1 )dt1 . . . dtn−1 dtn

...
n=1

t0

t0

t0

17


Chú ý: Nếu như A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm x(t) khả vi liên tục. Ký hiệu
U (t) ∈ Mn (Rn ) là toán tử được xác định bởi
∞

t

U (t) = I +

t

tn

A(t1 )dt1 +
t0

t2

A(tn )A(tn −1) . . . A(t1 )dt1 . . . dtn (1.12)

...
t0

n=2

t0

t0

Khi đó nghiệm của (1.10) có thể viết dưới dạng: x(t) = U (t)x0
Và từ (1.9) ta có:
t

||A(τ )||dτ

||U (t)|| ≤ exp
t0

Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm nghiệm của (1.5) như
sau:
Đặt x(t) = U (t)y(t) trong đó U (t) xác định như trong (1.12). Thay vào ta được:

 dy
= U −1 (t)f (t)
dt
(1.13)
y(t0 ) = x0
Tích phân từ t0 đến t hai vế ta được:
t

U −1 (τ )f (τ )dτ

y = x0 +
t0

Khi đó, nghiệm của phương trình (1.5) có thể viết dưới dạng:

t

U (t)U −1 (τ )f (τ )dτ

x(t) = U (t)x0 +

(1.14)

t0

Đặt U (t, τ ) = U (t)U −1 (τ ). Toán tử U (t, τ ) được gọi là toán tử tiến hóa (hoặc là
toán tử tự giải) của phương trình
dx
= A(t)x
dt

Họ toán tử tiến hóa {U (t, τ )} , t ≥ τ ≥ t0 có các tính chất sau:
1)

U (t, t) = I

2)

U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ )

3)

U (t, τ ) = [U (τ, t)]−1
t

4)

||U (t, τ )|| ≤ exp

||A(τ )||dτ , (t > τ )
τ

18


dU (t, s)
= A(t).U (t, s)
dt
dU (t, s)
= −U (t, s).A(t).
ds

5)
6)

1.3.2

Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
có nhiễu

Bây giờ ta xét phương trình vi phân:
dx
= A(t)x + f (t, x)
dt

(1.15)

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính giới nội và liên tục theo t và toán tử hàm
f (t, x) là hàm thỏa mãn điều kiện sau trong miền G:
||f (t, 0)|| ≤ M, ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||

(1.16)

Bổ đề 1.3.1. (Bổ đề Gronwal - Belman)
Giả sử u(t) ≥ 0, f (t) ≥ 0, ∀t ≥ t0 và các hàm u(t), f (t) là các hàm liên tục trên
[t0 ; +∞) u(t), f (t) ∈ C[t0 ;+∞) và thỏa mãn bất đẳng thức:
t

u(t) ≤ c +

f (τ )u(τ )dτ

(1.17)

t0

ở đây, c là một hằng số dương. Trong trường hợp với t ≥ t0 ta có:
u(t) ≤ c.e

t
t0

f (τ )dτ

Tiếp theo chúng ta xét phương trình

dx
= A(t)x + ϕ(t, x) + φ(t, x)
dt

(1.18)

Từ nay về sau ta luôn luôn giả thiết
||ϕ(t, x)|| ≤ L||x||

ϕ(t, 0) = φ(t, 0) = 0,

(1.19)

và
∞

||φ(t, x)|| ≤ γ(t)||x(t)||,

γ(t)dt = α < +∞
0

19

(1.20)


Định lý 1.3.1. Giả sử tồn tại các hằng số c > 0 và λ > 0 sao cho
||U (t, τ )|| ≤ ce−λ(t−τ ) , ∀t ≥ τ ≥ t0

khi đó với cL − λ < 0 (L đủ nhỏ) thì nghiệm của phương trình (1.18) ổn định

tiệm cận và ta có đánh giá
||x(t)|| ≤ cecα .e−(λ−cL)(t−τ ) ||x(τ )||

Chứng minh: Giả sử x(t) là nghiệm của phương trình (1.18), khi đó x(t) có
thể viết dưới dạng
t

x(t) = U (t, τ )x(τ ) +

U (t, s)[ϕ(s, x) + φ(s, x)]ds
τ
t

⇒ ||x(t)|| ≤ ce−λ(t−τ ) ||x(τ )|| +

ce−λ(t−s) [L + γ(s)]||x(s)||ds
τ

t

⇒ ||x(t)||eλ(t−τ ) ≤ c||x(τ )|| +

c[L + γ(s)]||x(s)||eλ(t−τ ) ds
τ

Áp dụng bổ đề Gronwall - Belman ta có:
||x(t)||eλ(t−τ ) ≤ c||x(τ )||e

t
[cL+cγ(s)]ds

τ

Từ đó suy ra
||x(t)|| ≤ c||x(τ )||e−λ(t−τ ) e

t
[cL+cγ(s)]ds
τ

Kết hợp với giả thiết ta có:
||x(t)|| ≤ c||x(τ )||ecα .e−(λ−cL)(t−τ )

do (λ − cL) > 0 nên nghiệm x(t) ≡ 0 của (1.18) ổn định tiệm cận.

1.4
1.4.1

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov trong Rn
Các hàm xác định dấu

Xét hàm số
V = V (t, x) ∈ Ctx (Z0 )
20


trong đó
Z0 = {a < t < ∞, ||x| | < h}

Dưới đây là một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có dấu xác
định:

Định nghĩa 1.4.1. Hàm vô hướng thực liên tục V (t, x) được gọi là không đổi
dấu (có dấu dương hay dấu âm) trong Z0 nếu
V (t, x) ≥ 0

(hay V (t, x) ≤ 0)

với (t, x) ∈ Z0 .
Định nghĩa 1.4.2. Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu
tồn tại hàm W (x) ∈ C(||x| | < h) sao cho
V (t, x) ≥ W (x) > 0

với ||x| | = 0

V (t, 0) = W (0) = 0.

Tương tự hàm V = V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại hàm
W (x) ∈ C(||x| | < h) sao cho
V (t, x) ≤ −W (x) < 0

với ||x| | = 0

V (t, 0) = W (0) = 0.

Định nghĩa 1.4.3. Hàm V = V (t, x) được gọi là có giới hạn trên vô cùng bé khi
x → 0 trong Z0 nếu với t0 > 0 nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên
[t0 , ∞), khi ||x| | → 0. Tức là với bất kỳ ε > 0 tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho
|V (t, x)| < ε

(1.21)

khi ||x| | < δ và t ∈ [t0 , ∞).
Nhờ bất đẳng thức (1.21) ta kết luận rằng: hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng
bé bậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó
t0 ≤ t < ∞,

||x| | < h.
21


1.4.2

Đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm
của một hệ phương trình vi phân

(0,1)
(Z), Z = {a < t < ∞, ||x| | < H} và hệ vi phân
Giả sử X(t, x) ∈ Ctx

dx
= X(t, x)
dt

(1.22)

là hệ rút gọn, tức là X(t, 0) = 0. Rõ ràng hệ (1.22) có nghiệm tầm thường ξ = 0.
Ta đặt
(1,1)

Z0 = {a < t < ∞, ||x| | ≤ h < H} ⊂ Z

V = V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ),

và
X = X(t, x) = colon [X1 (t, x), . . . , Xn (t, x)]

Hàm
∂V
V˙ (t, x) =
+
∂t

n

j=1

∂V
∂V
Xj (t, x) =
+ (gradV, X)
∂xj
∂t

được gọi là đạo hàm toàn phần theo t của hàm V (t, x) theo hệ (1.22).
Nếu x = x(t) là nghiệm của hệ (1.22) thì V˙ (t, x) là đạo hàm toàn phần theo
thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là
d
V˙ (t, x) = V (t, x(t))
dt

Đúng hơn, giả sử (t, x) ∈ Z0 và x(τ, t, x) là nghiệm của hệ (1.22) xác định bởi điều

kiện ban đầu x(τ, t, x) = x. Khi đó
V˙ (t, x) =

1.4.3

d
V (τ, x(τ, t, x))
dt

.

(1.23)

τ =t

Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định

Định lý 1.4.1. (Định lý thứ nhất của Lyapunov).
Giả sử đối với hệ rút gọn (1.22) tồn tại phiếm hàm Lyapunov V (t, x) ∈
(1,1)

Ctx (Z0 ) với Z0 ⊂ Z thỏa mãn các điều kiện sau:
22


i) V (t, x) là hàm xác định dương, tức là tồn tại hàm liên tục, xác định dương
W = W (x) trên Z0 sao cho

* V (t, x) ≥ W (x) > 0 với ||x|| = 0;
* V (t, 0) = W (0) = 0.

ii) Đạo hàm của hàm V dọc theo nghiệm của hệ (1.22) là V˙ (t, x) có dấu không
đổi âm, tức là
V˙ (t, x) ≤ 0

Khi đó nghiệm tầm thường ξ(t) = 0, 0 < t < +∞ của hệ (1.22) là ổn định theo
Lyapunov khi t → +∞.
Ví dụ 1.4.1. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ
x˙

= −(x − 2y)(1 − x2 − 3y 2 )

y˙

= −(x + y)(1 − x2 − 3y 2 )

Xét hàm Lyapunov V (t, x, y) = x2 + 2y 2 . Ta có V˙ (t, x, y) = 2xx˙ + 4y y˙ . Khi đó,
đạo hàm của hàm V dọc theo nghiệm của hệ đã cho là
V˙ (t, x, y) = 2x −(x − 2y)(1 − x2 − 3y 2 ) + 4y −(x + y)(1 − x2 − 3y 2 )
= −2(x2 + 2y 2 )(1 − x2 − 3y 2 ) ≤ 0 với x, y đủ nhỏ

Vậy nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định.

1.4.4

Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận

Định lý 1.4.2. Giả sử đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại phiếm hàm Lyapunov
(1,1)

V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ) với Z0 ⊂ Z thỏa mãn các điều kiện sau:

i) V (t, x) là xác định dương, tức là tồn tại hàm W1 (x) liên tục và xác định dương
trên Z0 sao cho
* V (t, x) ≥ W1 (x) > 0 với ||x|| = 0;
* V (t, 0) = W1 (0) = 0.
ii) V (t, x) có giới hạn trên vô cùng bé bậc cao khi x → 0, tức là V (t, x) ⇒ 0 khi
t

23