Bài giảng Cơ lượng tử - Chương 3: Ma trận thống kê lượng tử

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Ma trận thống kê lượng tử</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>3.1 – Mở đầu</b>

• Trong bài tốn thống kê lượng tử, hệ được xem
như vô số các hạt lượng tử.

• Trạng thái vi mơ của hệ xem là trạng thái của các
hạt lượng tử mô tả bởi các hàm sóng.

• Các hàm sóng và các
mức năng lượng của hệ
được xác định bằng cách

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>3.1 – Mở đầu</b>

• Nói chung các mức năng lượng của hệ lượng tử
là gián đoạn.

• Tuy nhiên đối với hệ vĩ mô, số lượng các mức
năng lượng là vô cùng lớn, nên sự phân bố các
mức trên phổ năng lượng là gần như liên tục

nhau (dày đặc)  Khoảng cách 2 vạch kề nhau

là rất bé

• Vì thế năng lượng của bất kỳ một loại tương tác
nào đó đều lớn hơn rất nhiều so với khoảng cách
của hai mức năng lượng liên tiếp

Lig

h

t

sou

rces

Wide spectrum (thermal) light sources

Narrow spectrum light sources

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Trung bình thống kê lượng tử</b>

• Thực tế, hệ vĩ mơ khơng thể ở một trạng thái
dừng hồn tồn tức là khơng thể mơ tả trạng
thái vĩ mô của một hệ lượng tử chính xác bằng
một hàm sóng được.

• <b>Như vậy, tại một thời điểm xác định, trạng </b>

<b>thái vĩ mô của một hệ lượng tử có thể được </b>
<b>mơ tả bằng rất nhiều hàm sóng khác nhau </b>
<b>ứng với nhiều trạng thái lượng tử khác </b>

<b>nhau</b>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

•

<b>GiBBS: Tính trung </b>

<b>bình theo thời gian </b>

<b>được tính bằng trung </b>

<b>bình qua tồn bộ các </b>

<b>hàm riêng theo biến </b>

<b>không gian (tương </b>

<b>ứng các trạng thái vi </b>

<b>mô của hệ lượng tử) </b>

<b>dựa trên ma trận </b>

<b>thống kê </b>

<b>Trung bình thống kê lượng tử</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>3.1 – Tính trị trung bình</b>

• <b>Giả sử ở thời điểm cho trước, hệ ở trạng thái </b>

<b>lượng tử mô tả bởi hàm sóng (q,t) với q là ký </b>
<b>hiệu tồn bộ tọa độ của hệ. Trị trung bình của </b>
<b>đại lượng F tính qua tốn tử F theo biểu thức:</b>

)

1

.

3

(

dq

)

t

,

q

(

Fˆ

).

t

,

q

(

F

*

<b>Vì có nhiều hàm sóng (q,t) nên giá trị trung </b>
<b>bình thống kê được tính bởi trung bình lấy </b>
<b>theo các hàm sóng:</b>

)

2

.

3

(

Fˆ

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài tập 3.1</b>

• Tính trị trung bình của tốn tử toạ độ x

Trong bài tốn electron ở giếng thế sâu vơ hạn
có độ rộng a. Hàm sóng mơ tả trạng thái

electron là :

)

a

x

n

sin(

a

2

)

x

k

sin(

a

2

)

x

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>3.1 – Mở đầu</b>

<i><b>Tốn tử mơmen xung lượng có các hàm riêng </b></i>

<i><b>trực giao </b></i> <i><b>_n</b><b> và các trị riêng l</b><b>_n</b><b>thỏa biểu thức:</b></i>

<i><b>(Chuyển L vì hàm sóng khơng phụ thuộc t)</b></i>

<b>Để thuận tiện ta chuyển từ biểu diễn tọa độ </b>
<b>sang biểu diễn mômen xung lượng: </b>

)

3

.

3

(

P

x

rˆ

Lˆ



)

4

.

3

(

/

)

q

(

.

)

q

(

Lˆ

nm
m

n

n
n

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>3.2 – Trung bình thống kê</b>

• <b>Chỉ số n là ký hiệu tập hợp các lượng tử số đặc trưng một trạng </b>
<b>thái riêng. Khai triển hàm (q,t) theo các hàm </b> <i><b>_n</b><b>(q)</b><b> trong L </b></i>

• <b> </b>

₍

_q

_,

_t

₎

n

_c

₍

_t

₎

₍

_q

₎

₍

₃

_.

₅

₎

1

k k k

<b>Thay biểu thức 3.5 vào 3.2 và viết lại như sau:</b>

)
6
.
3
(
C
Fˆ
C
Fˆ
*
F

j j j

k

*
k
*

k

<i><b>Vì tích phân (TP) và tổng là giao hoán, đưa hằng số ra ngồi TP:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>3.3 – Ma trận thống kê</b>

• <b>Phần tử ma trận của toán tử F (trong L biểu diễn) được tính là:</b>
)
8
.
3
(
dq
.
)
q
(
Fˆ
)
q
(
Fˆ

F_kj *_k _J *_k _J

<b>Định nghĩa phần tử ma trận thống kê là</b>

)

9

.

3

(

C

C

* _J

K
kJ

<i><b>Tập hợp n các giá trị của (3.9) tạo thành một ma trận vuông gọi là ma </b></i>
<i><b>trận thống kê ký hiệu là:</b></i>

<i><b>Đưa kết quả 3.9 và 3.8 vào biểu thức trung bình của F:</b></i>

</div>

<!--links-->