tai lieu boi duong HSG TOAN9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phơng trình bậc nhất một ẩn</b>
<b>I. Khái niệm về phơng trình. Phơng trình bậc nhất một ẩn.</b>

<b>1. Ví dụ</b>

<b>Ví dụ 1:</b> Giải phơng trình: a2_{x + b = a(x + b)}

<i>Gi¶i:</i>

a2_{x + b = a(x + b)}
a2_{x + b = ax + ab}
a2_{x – ax = ab -b}

ax(a – 1) = b(a -1) (1)

NÕu <i>a ≠</i>0<i>, a ≠</i>1 th× phơng trình có một nghiệm duy nhất

Nu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x.

Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm đúng với mọi x khi b = 0, phơng trình vơ nghiệm
khi <i>b </i>0 .

<b>Ví dụ 2:</b> Giải phơng trình:

<i>Giải: </i>

Phơng trình trên có hệ số bằng chữ ở mẫu thức. Điều kiện để phơng trình có nghĩa là <i>a ≠ ±</i>1 .
Với điều kiện này, phơng trình đã cho tơng với

(a+x)(a+1) – (a-x)(a – 1) = 3a
Sau khi biến đổi ta đợc: 2ax = a (1)

NÕu a 0, phơng trrình có nghiệm duy nhất

Nu a = 0, phơng trrình (1) trở thành 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x.
Kết luận: Nếu <i>a ≠</i>0<i>, a ≠±</i>1 , phơng trình có nghiệm duy nhất

Nếu a = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x
Nếu a = <i>±</i>1 , phơng trình vơ nghiệm.

<b>Bµi tËp vân dụng</b>
<b>Bài 1:</b> Tìm giá trị của m sao cho phơng trình:

a) 5(m + 3x)(x + 1) 4(1 + 2x) = 80 cã nghiÖm x = 2.
b) 3(2x + m)(3x + 2) – 2(3x + 1)2_{= 43 cã nghiệm x = 1.}

<b>Bài 2:</b> Giải các phơng trình sau:
a) 315<i>− x</i>

101 +

313<i>− x</i>

103 +

311<i>− x</i>

105 +

309<i>− x</i>

107 +4=0

b) <i>x − a</i>
<i>a−</i>4+

<i>x</i>+<i>a −</i>1
<i>a</i>+4 +

<i>x − a</i>

16<i>−a</i>2=0
c) <i>x −b − c</i>

<i>a</i> +

<i>x − c − a</i>
<i>b</i> +

<i>x − a −b</i>
<i>c</i> =3
d) <i>x −</i>1

<i>a −</i>1+
1<i>− x</i>

1+a <i>−</i>

2<i>x −</i>1
1<i>−a</i>4=

2<i>a</i>2(<i>x −</i>1)
<i>a</i>4<i>−</i>1

<b>II. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức.</b>
<b>1. Ví dụ</b>

<b>Ví dụ 3:</b> Giải phơng trình:

3
1<i></i>4<i>x</i>=

2
4<i>x</i>+1<i></i>

8+6<i>x</i>

16<i>x</i>2<i></i>1

<i>x</i>=<i>b</i>
<i>a</i>

<i>a</i>+<i>x</i>
<i>a</i>1<i></i>

<i>a x</i>
<i>a</i>+1=

3<i>a</i>
<i>a</i>2<i></i>1

<i>x</i>=1

2

<i>x</i>=1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>Giải: </i>Nghiệm của phơng trình nếu có, phải thoả mÃn điều kiện <i>x ≠ ±</i> 1

4

Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với:
3(4x + 1) = 2(1 - 4x) + (8 + 6x)

14x = 7
x = 1

2

Giá trị này thoả mÃn điều kiện trên. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1

2
<b>Ví dụ 4:</b> Giải phơng trình:

3
5<i>x </i>1+

2
3<i></i>5<i>x</i>=

4

(1<i></i>5<i>x</i>)(5<i>x </i>3)

<i>Giải:</i> Điều kiƯn cđa nghiƯm sè, nÕu cã, lµ <i>x ≠</i>1

5<i>; x ≠</i>
3
5 .

Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với:
3(3 – 5x) + 2(5x – 1) = 4

Giải phơng trình này, ta đợc x = 3

5 . Giái trị này khơng thảo mãn điều kiện. Vậy phơng trình ó cho vụ

nghiệm.

<b>Bài tập vận dụng</b>
<b>Bài 3:</b> Giải các phơng tr×nh sau:

a) <i>x</i>+1
<i>x</i>2

+<i>x</i>+1<i>−</i>

<i>x −</i>1

<i>x</i>2<i>_{− x}</i>

+1=

3

<i>x</i>(<i>x</i>4+<i>x</i>2+1)
b) 5<i>− x</i>

4<i>x</i>2<i>₋</i>₈<i>_x</i>+
7
8<i>x</i>=

<i>x −</i>1
2<i>x</i>(<i>x −</i>2)+

1
8<i>x −</i>16

c) <i>a</i>

2<i>a</i>+2<i>b</i>+
<i>a −b</i>

2 bx =

<i>a</i>+<i>b</i>

4<i>b</i> <i>−</i>
<i>b</i>

ax+bx

d) <i>x</i>+<i>_xa</i>+1

+<i>a</i> <i>−</i>
<i>x</i>+11
<i>x</i>+10=

10

(<i>x</i>+<i>a</i>)(<i>x</i>+10)
e) <i>x</i>+<i>a</i>

<i>x </i>3<i></i>

<i>x</i>+3
<i>x </i>4=2

<b>Bài 4:</b> Với giá trị nào của a thì phơng trình sau có một nghiệm duy nhất?
<i>x − a</i>2<i>_{x −}</i> 1

1<i>− x</i>2+<i>a</i>=
<i>x</i>2
<i>x</i>2<i>−</i>1 .
<b>III. Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối</b>

Khi giải các phơng trình mà ẩn nằm trong dấu giái trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta xét
từng khoảng giá trị của biến. Cần nhớ và năm vững lý thuyết sau:

<b>1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối:</b>
<b> </b> |<i>A</i>|={<i> AA</i>

<b>2. Định lý về dấu của nhị thức bËc nhÊt ax + b </b> (<i>a ≠</i>0) <b>:</b>
NhÞ thøc cïng dÊu víi a khi x > <i>− b</i>

<i>a</i> , nhị thức trá dấu với a khi x <
<i>− b</i>

<i>a</i> .

<b>Chøng minh:</b>

XÐt ax+<i>b</i>

<i>a</i> = x +
<i>b</i>
<i>a</i> .
NÕu x > <i>− b</i>

<i>a</i> th× x +
<i>b</i>

<i>a</i> > 0, do đó

ax+<i>b</i>

<i>a</i> > 0, tøc lµ ax + b cïng dÊu víi a.
NÕu x < <i>− b</i>

<i>a</i> th× x +
<i>b</i>

<i>a</i> < 0, do đó

ax+<i>b</i>

<i>a</i> < 0, tøc lµ ax + b trái dấu với a.
=> ĐPCM

Với A
0

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Chú ý r»ng <i>− b</i>

<i>a</i> là nghiệm của nhị thức. Do vậy định lý trên đợc phát biểu nh sau:

“<i><b> NhÞ thøc ax + b </b></i> (<i>a ≠</i>0) <i><b> cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái </b></i>

<i><b>dấu với a với các trí trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức .</b></i>

<b>3. Ví dụ</b>

<b>Ví dụ 5:</b> Giải phơng trình:
|<i>x −</i>3|+|<i>x</i>+2|=7

<i>Giải:</i> Lập bảng xét dấu ta đợc

x <i>− ∞</i> -2 3
+<i>∞</i>

x – 3 - ¿ - 0 +
x + 2 - 0 + +

Nhìn trên b¶ng xÐt dÊu ta cã:

+ Nếu x < -2, thì x – 3 < 0 => |<i>x −</i>3| = 3 – x và x + 2 < 0 => |<i>x</i>+2| = -(x + 2), khi đó phơng
trình có dạng 3 – x – x – 2 =7 <=> x = -3, thuộc khoảng đang xét.

+ Nếu <i>−</i>2<i>≤ x ≤</i>3 , thì x – 3 < 0 => |<i>x −</i>3| = 3 – x và x + 2 > 0 => |<i>x</i>+2| = x + 2, khi đó phơng
trình có dạng 3 – x + x + 2 = 7 <=> 0x = 2, phơng trình vơ nghiệm

+ Nếu x > 3, thì x – 3 > 0 => |<i>x −</i>3| = x – 3 và x + 2 > 0 => |<i>x</i>+2| = x + 2, khi đó phơng trình có
dạng x – 3 + x + 2 = 7 <=> x = 4, thuc khong ang xột.

Vậy phơng trình có nghiệm x1 = -3; x2 = 4.

<b>Ví dụ 6:</b> Giải phơng trình:
|<i>x </i>4|+|<i>x </i>9|=5

<i>Giải:</i>

<i>Cách 1:</i> LËp b¶ng xÐt dÊu

x <i>− ∞</i> 4 9
+<i>∞</i>

x – 4 - 0 + ¿ +
x – 9 - ¿ - 0

+

Nhì trên bang xét dÊu ta cã:

+ Nếu x < 4, thì x – 4 < 0 => |<i>x −</i>4| = 4 – x và x - 9 < 0 => |<i>x −</i>9| = 9 – x, khi đó phơng trình
có dạng 4 – x + 9 – x = 5 <=> x = 4, không thuộc khoảng đang xét.

+ Nếu 4<i>≤ x ≤</i>9 , thì x – 4 > 0 => |<i>x −</i>4| = x – 4 và x - 9 < 0 => |<i>x −</i>9| = 9 - x, khi đó phơng
trình có dạng x – 4 + 9 - x = 5 <=> 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét, tức là

4<i>≤ x ≤</i>9 .

+ Nếu x > 9, thì x – 4 > 0 => |<i>x −</i>4| = x – 4 và x - 9 > 0 => |<i>x −</i>9| = x - 9, khi đó phơng trình có
dạng x – 4 + x - 9 = 5 <=> x = 9, khơng thuộc khoảng đang xét.

VËy ph¬ng trình có nghiệm là 4<i> x </i>9 .

<i>Cách 2:</i> Viết phơng trình có dạng |<i>x </i>4|+|9<i> x</i>|=5 .

Chu ý rằng 5 chính là tổng của x – 4 và 9 – x. Nh vậy tổng các giá trị tuyệt đối của hai biểu thức bằng
giá trị tuyệt đối của tổng hai biểu thức ấy, điều này chỉ xẩy ra khi (x – 4)(9 – x) 0.

Giải bất phơng trình này ta đợc 4<i>≤ x ≤</i>9 .

<b>Bài tập vận dụng</b>
<b>Bài 5:</b> Giải các phơng trình sau:

a) |<i>x −</i>3|<i>x=</i>7

b) |<i>x</i>+3|=|5<i>− x</i>|
c) |<i>x</i>|<i>−</i>|2<i>x+</i>3|=<i>x −</i>1

d) <i>x −</i>|<i>x</i>+1|+2|<i>x −</i>1|=0
e) |<i>x</i>|+|1<i>− x</i>|=<i>x</i>+|<i>x −</i>3|

f) |<i>x −</i>1|<i>−</i>2|<i>x −</i>2|+3|<i>x −</i>3|=4

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Để giải các phơng trình bậc cao dạng f(x) = 0, ta phân tích đa thức f(x) thành nhân tử để đa về
giải các phơng trình bc nht mt n.

<b>1. Ví dụ</b>

<b>Ví dụ 7:</b> Giải phơng tr×nh:

(x – 1)3_{+ x}3_{+ (x + 1)}3 _{= (x + 2)}3

<i>Gi¶i:</i>

Sau khi biến đổi phơng trình ta đợc.
x3_{– 3x}2_{– 3x – 4 = 0}

<=> x3_{– 1 – 3x}2_{-3x – 3 = 0}

<=> (x – 1)(x2_{+ x + 1) -3(x}2_{+ x + 1) = 0}
<=> (x2_{+ x + 1)(x – 4) = 0}

V× x2_{+ x + 1} _{0, nên phơng trình có một nghiệm x = 4.}

<b>Ví dụ 8:</b> Giải phơng trình:

(x + 2)(x – 2)(x2_{– 10) = 72}

<i>Gi¶i:</i> (x2_{4) (x}2_{10) = 72}

Đặt x2_{7 = y, phơng trình trở thành}

(y + 3)(y - 3) = 72

<=> y2_{= 81}
<=> y = <i>±</i>9

+ Víi y = 9 ta cã x2_{– 7 = 9 <=> x =} <i>_±</i>₄

+ Víi y = -9 ta cã x2_{– 7 = - 9 <=> x}2 _{= -2, vô nghiệm.}
Vậy phơng trình có nghiệm là x = <i>±</i>4

<b>* Chó ý:</b>

<b>Trong cách giải trên ta đã đặt ẩn phụ. Khi giải phơng trình bậc bốn dạng:</b>
<b> (x + a)4_{+ (x + b)}4_{= c ta thờng đặt ẩn phụ y = x +}</b> <i>a</i>+<i>b</i>

2 <b>. Khi giải phơng trình đối xứng bậc chẵn,</b>
<b>chẳng hạn ax4_{+ bx}3_{+ cx}2_{+ bx + a = 0 ta thờng đặt ẩn phụ y = x +}</b> 1

<i>x</i> <b>.</b>

<b>Ví dụ 9:</b> Giải phơng trình: (x + 3)4_{+ (x + 5)}4_{= 2.}

<i>Gi¶i:</i>

Đặt x + 4 = y, phơng trình trở thành: (y - 1)4_{+ (y + 1)}4_{= 2.}
Sau khi biến đổi ta đợc y2_(y2_{+ 6) = 0, do đó y = 0. Vy x = -4.}

<b>Ví dụ 10:</b> Giải các phơng trình sau:
a) 2x3_{+ 7x}2_{+ 7x + 2 = 0}

b) x4_{– 3x}3_{+ 4x}2_{– 3x + 1 = 0.}

<i><b>* NhËn xÐt:</b></i>

<b>Hai phơng trình trên đều là những phơng trình đối xứng(Chú ý các hệ số có tính đối xứng). Trong</b>
<b>phơng trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì </b> 1

<i>a</i> <b> cịng lµ nghiƯm.</b>

<b>Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1. Phơng trình đối xứng</b>
<b>bậc chẵn 2n đợc đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ y = x + </b> 1

<i>x</i> <b>.</b>

<i>Gi¶i:</i>

a) Biến đổi phơng trình thành
(x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0

Phơng trình có ba nghiệm: x1 = -1; x2 = -2; x3 = <i>−</i>1

2

b) <i><b>C¸ch 1:</b></i> Đa phơng trinh về dạng (x 1)2_(x2_{x + 1) = 0. Phơng trình có một nghiệm x = 1.}

<i><b>Cách2:</b></i> Chia hai vế của phơng trình cho x2_{(Vì x} _{0)ta đợc:}

(x2₊ 1

<i>x</i>2 ) – 3(x +

1

<i>x</i> ) + 4 = 0.
Đặt y = x + 1

<i>x</i> th× x2 +

1

<i>x</i>2 = y

2 _{– 2, ta đợc: y}2_{– 3y + 2 = 0 nên y1 = 1; y2 = 2.}
Với y = 1, ta có x2_{– x + 1 = 0, vơ nghim}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Vậy phơng trình có nghiệm x = 1.

<b>Ví dụ 11:</b> Giải phơng trình:

x4_{+ x}3 _{+ x}2_{+ x + 1 = 0}

<i>Giải:</i> Ta thấy x – 1 0 vì x = 1 khơng nghiệm đúng phơng trình.

Nhân hai về của phơng trình với x – 1 0 ta đợc x5_{– 1 = 0 hay x = 1, không thoả mãn điều kiện}
trên.

VËy phơng trình vô nghiệm

<b>Bài tập vận dụng</b>
<b>Bài 6:</b>Giải các phơng tr×nh sau:

a) x3_{– 5x}2_{+ 8x – 4 = 0}

b) 9ax3_-18x2_{– 4ax + 8 = 0 (a lµ tham sè)}
c) x3_{+ x}2_{+ 4 = 0}

d) (x – 1)3_{+ (x +2)}3_{= (2x + 1)}3

<b>Bài 7:</b> Giải các phơng trình bậc bốn:
a) (x2_{+ x)}2_{+ 4(x}2_{+ x) = 12}
b) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 24

c) (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72
d) (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297
e) (6x + 7)2_{(3x + 4)(x + 1) = 6}

<b>Bµi 8:</b> Giải các phơng trình sau:
a) (x2₄₎2_{= 8x + 1}

b) (x2_{– 4x)}2_{+ 2(x – 2)}2_{= 43}
c) (x – 2)4_{+ (x – 6)}4_{= 82}

d) x6_{+ x}5_{+ x}4_{+ x}3_{+ x}2_{+ x + 1 = 0}
e) 2x4_{+ x}3_{– 6x}2_{+ x + 2= 0}

<b>Bài 9:</b> Cho phơng trình x3_{– (m}2_{– m + 7)x – 3(m}2_{– m – 2) = 0}

a) Tìm các giá trị của m để một trong các nghiệm của phơng trình bằng 1
b) Giải phơng trình ứng với các giá trị đó ca m.

<b>Phần II</b>

<b>Phơng trình bậc hai và phơng trình bậc cao</b>
<b>I/ Phơng trình bậc hai một ẩn.</b>

ở phần này tôi xin chỉ đa ra một số bài tập cơ bản và đơn giản mà khơng nói sâu, tơi xin tập
chung sâu ở các phơng trình có liên quan tới bậc hai trở lên (phơng trình bậc cao) cùng với một số
ph-ơng pháp giải.

<b>A/ Lý thut:</b>

<i><b>1/ C«ng thøc nghiƯm:</b></i>

Cho phơng trình bậc hai: ax2_{+ bx + c = 0 (a} ₀ _{) (1)}
Ta cã <i>Δ</i> = b2_{– 4ac (} <i>_Δ'</i> _{= b’}2_{– ac)}

(1) v« nghiƯm <=> <i>Δ</i> < 0 ( <i>Δ'</i> < 0)

(1) cã nghiÖm kÐp <=> <i>Δ</i> = 0 ( <i>Δ'</i> = 0) x1 = x2 = <i>− b</i>

2<i>a</i> (x1= x2 =
<i>− b '</i>

<i>a</i> )
(1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt <=> <i>Δ</i> > 0 ( <i>Δ'</i> > 0)

x1 = <i>− b</i>+√<i>Δ</i>

2<i>a</i> ( x1 =

<i>− b</i>+√<i>Δ'</i>

<i>a</i> ) ; x2 =

<i>− b −</i>√<i>Δ</i>

2<i>a</i> ( x2 =

<i>− b −</i>√<i>Δ'</i>

<i>a</i> )

(1) cã nghiÖm <=> <i>Δ</i> 0 ( <i>Δ'</i> 0)

<i><b>2/ HÖ thøc Vi </b></i>–<i><b> Ðt: </b></i>

NÕu phơng trình bậc hai ax2_{+ bx + c = 0}<i><b>_{cã hai nghiƯm}</b></i>_{x1, x2 th×:}
S = x1 + x2 = <i>− b</i>

<i>a</i> vµ P = x1.x2 =
<i>c</i>
<i>a</i>

<i><b>3/ HƯ quả (nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai)</b></i>:

Phơng trình ax2_{+ bx + c = 0 (a} ₀ _).

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

- NÕu a b + c = 0 thì phơng trình cã nghiÖm x1 = -1; x2 = <i>− c</i>
<i>a</i>

<i><b>4/ Hệ thức Vi </b></i>–<i><b> ét đảo:</b></i>

NÕu hai sè x, y thoả mÃn x + y = S và x.y = P thì hai số x, y là nghiệm của phơng tr×nh: X2_{– SX + P =}
0.

<i><b>( </b><b>á</b><b>p dụng: để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng và dùng để lập phơng trình bậc hai khi khi </b></i>

<i><b>biÕt tríc hai nghiƯm )</b></i>

<i><b>5/ Chú ý (Điều kiện cn v ):</b></i>

Để PT (1) có hai nghiệm trái dÊu <=> a.c < 0
§Ĩ PT (1) cã hai nghiÖm cïng dÊu <=> {<i>P</i>>0<i>Δ </i>0

Để PT (1) có hai nghiệm cùng dơng <=>

<i>S</i>>0
<i></i>0

<i>P</i>>0

{

Để PT (1) có hai nghiệm cùng âm <=>

<i>S</i><0
<i></i>0

<i>P</i>>0

{

<b>B/ Bài tập</b>

<b>Bài 1:</b> Cho phơng trình: 2x2_{+ mx 5 = 0.}

a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 1.Tìm nghiệm cịn lại.
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1.Tìm nghiệm cịn lại.

<b>Bài 2:</b> Cho phơng trình: x2_{+ 2(m - 1)x – 2m +5 = 0.}
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn:
- <i>x</i>1

<i>x</i>2
+<i>x</i>2

<i>x</i>1

= 2.

- x1 + x2 + 2x1x2 6.

<b>Bài 3:</b> Cho phơng trình: x2_{2x + m + 2.}

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thảo mãn:
- x1 + x2 + 2x1x2 6.

- x1 + x2 + 4x1x2 = 10.

<b>Bài 4:</b> Cho phơng trình: x2_{8x + m + 5 = 0.}
a) Giải phơng trình víi m = 2.

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng.

c) Tìm m để phơng trình có một nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia. Tìm các nghiệm trong trờng hợp
này.

<b>Bµi 5:</b> Cho phơng trình: x2_{2(m + 1)x + 2m = 0.}

a) Chứng tỏ rằng(CTR) phơng trình luôn có nghiệm với mäi m.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình. CTR: A = x1 + x2 –x1x2 khơng phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

x12_{+ x2}2 _{- 3x1x2 = 6}

<b>Bµi 6:</b> Cho phơng trình: x2_{(2m 1)x + m}2_{m 2 = 0.}
a) CTR: Phơng trình luôn có hai nghiƯm ph©n biƯt.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để 2x1x2 + x1 + x2 3

<b>Bài 7:</b> Cho phơng trình: x2_{+ 2x + 2m + 5 = 0.}

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt?
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tính A = x12_{+ x2}2_{theo m.}
c) Tìm m để A = 10.

d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiƯm lµ y1 = <i>_x</i>1

2

, y2 = <i>_x</i>1

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a) Giải phơng trình với m = 3.

b) CTR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.

c) Gi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m x12_{x2 + x1x2}2_{= 10.}

<b>Bài 9:</b> Cho phơng trình: x2_{– 2x + m – 2 = 0.}

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu?

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả món: <i>x</i>1
<i>x</i>2

+<i>x</i>2
<i>x</i>1

=10

3
<b>Bài 10:</b> Cho phơng trình: 3x2 _{– 4x + m – 1 = 0.}

a) Gi¶i phơng trình với m = 6.

b) Tỡm m phng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x1 = 3x2.
Bài 1 1 :

Cho phơng trình: x2_{– 4x + m = 0.}
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

b) Với giá trị nào của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12_{+ x2}2 _{= 12.}
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12_{+ x2}2

<b>Bµi 12 : </b> Cho phơng trình: x2_{3x - m + 2 = 0 (1)}

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu?

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm cịn lại.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thảo mãn: x12_{+ x2}2_{= 8.}

d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đơi các nghiệm của phơng trình (1).

<b>Bµi 13 : </b>

Cho phơng trình: x2_{2(a – 1)x + 2a - 5 = 0.}
a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi a.

b)Tỡm a phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x2 < 1 < x1

<b>Bài 1 4: </b>

Cho phơng tr×nh: x2_{+ (m +1)x + m - 1 = 0.}

a) CMR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biƯt.

b) Tìm m để A = x12_{x2 + x1x2}2_{– 4x1x2 đạt giá trị lớn nhất.}

<b>Bµi 1 5: </b> Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình:
2x2_{+ 2(m + 1)x + m}2_{+ 4m + 3 = 0 (1).}
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: <i>A</i>=_|<i>x</i>₁<i>x</i>₂<i></i>2<i>x</i>₁<i></i>2<i>x</i>₂_| .

<b>II/ Phơng trình tam thức.</b>
<b>1) Định nghĩa:</b>

Phng trỡnh tam thức là phơng trình có dạng: ax2n_{+ bx}n_{+ c = 0 (a} _{0) (1)}
trong đó a, b, c là các số thực, n nguyên dơng, n 2.

<b>2) Ph ơng pháp giải:</b>

- Nu a, b, c là các số thực đồng thời khác 0 và n = 2 thì (1) là phơng trình trùng phơng ma ta đã
biết cách giải.

- Nếu trờng hợp n > 2. Đặt xn_{= y, phơng trình (1) đa đợc về dạng}

_{ay

2

+by+<i>c</i>=0<i>x</i>

<i>n</i>

=<i>y</i>

<b>3) Ví dụ</b>

<b>Ví dụ 1:</b> Giải phơng trrình x6_{+ 9x}3_{– 8 = 0.}

<i>Gi¶i: </i>

<i>Cách 1:</i> Đặt x3_{= y, ta có phơng trình y}2_{– 9y + 8 = 0. Phơng trình này có nghiệm y1 = 1; y2 = 8, từ đó}
ta tìm đợc x3_{= 1 và x}3_{= 8, suy ra x = 1; x = 2.}

<i>Cách 2:</i> Phân tích vế trái của phơng trình thành nhân tử, vế phải bằng 0:
- x6_{+ 9x}3_{– 8 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<=> (x3_{- 1) (8 - x}3_{) = 0}

Từ đó ta cũng tìm đợc x = 1 hoc x = 2

<b>Bài tập vận dụng</b>
<b>Bài 16:</b> Giải các phơng trình sau:

a) x6_7x3_{+ 6 = 0}
b) x8_{+ x}4_{+ 2 = 0}
c) x8_{– 17x}4_{+ 16 = 0}
d) x12_{– 10x}6_{+ 24 = 0}
e) x10_{+ x}5_{- 6 = 0}
f) x6_{+ x}4_{+ x}2_{= 0}

<b>III/ Phơng trình đối xứng</b>
<b>1) Định Nghĩa:</b>

<b>Một phơng trình đa thức: a0xn + a1xn </b>–<b> 1+ … + an -1x + an = 0. Gọi là đối xứng nếu các hệ số </b>

<b>của các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau, nghĩa là: an = a0; an </b>–<b> 1 = a1,…, an </b>–<b> 2 = </b>

<b>a2… Tuỳ theo n là số chẵn hay số lẻ mà ta có phơng trình đối xứng bc chn hay bc l.</b>

<b>2)Ví dụ</b>

<b>Ví dụ 2:</b> Giải phơng tr×nh: 2x4_{+ 3x}3_{– 16x}2_{+ 3x + 2 = 0. (1)}

<i><b>NhËn xÐt:</b></i>

Đây là phơng trình đối xứng bậc chẵn dạng:
ax4_{+ bx}3_{+ cx}2_{+ bx + a = 0}

Phơng trình này khơng có nghiêm x = 0, chia cảc hai về của phơng trình cho
x2 _{0 rồi nhóm lại ta đợc: a(x}2₊ 1

<i>x</i>2 ) + b(x +
1

<i>x</i> ) + c = 0.
Đặt t = x + 1

<i>x</i> th× x2 +

1

<i>x</i>2 = t

2_{– 2.}

Sẽ dẫn đến phơng trình bậc hai at2_{+ bt + c – 2a = 0. Từ đó tính đợc t rồi tính đợc x theo phơng trình:}
x2_{– tx + 1 = 0 để tìm đợc các giá trị của x.}

Trë l¹i vÝ dơ 2 tacã cách giải sau:

Chia hai vế của phơng trình cho x2_{, råi nhãm l¹i ta cã:}
2(x2₊ 1

<i>x</i>2 ) + 3(x +
1

<i>x</i> ) -16 = 0. Đặt t = x +

1

<i>x</i> => x2 +

1

<i>x</i>2 = t2 – 2, ta đợc phơng trỡnh: 2t2 +

3t 20 = 0. Phơng trình này cã nghiƯm t = -4 vµ t = 5

2 . Để tìm x ta giải hai phơng trình x +
1

<i>x</i> =
-4 vµ x + 1

<i>x</i> =

5

2 , từ đó phơng trình có 4 nghiệm x1,2 = -2 <i>±</i>√3 ; x3 =
1

2 ; x4 = 2.
<b>Ví dụ 3:</b> Giải phơng trình:

2x5_{+ 3x}4_{– 5x}3_{– 5x}2_{+ 3x + 2 = 0 (2)}

<i><b>NhËn xÐt:</b></i>

Đây là phơng trình đối xứng bậc lẻ(bậc 5), có dạng:
ax5_{+ bx}4_{+ cx}3_{+ cx}2_{+ bx + a = 0.}

Phơng trình này có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phơng trình có nghiệm x =
-1.

Hạ bậc của phơng trình theo lợc đồ Hoóc ne

a b c c b a

-1 a b - a a – b –

c b - a a 0

Ta đợc phơng trình: (x + 1)[ax4_{+ (b – a)x}3_{+ (a – b – c)x}2_{+ (b – a)x + a] = 0}
Giải tiếp phơng trình đối xứng bậc chẵn:

ax4_{+ (b – a)x}3_{+ (a – b – c)x}2_{+ (b – a)x + a = 0, ta tỡm c nghim ca phng trỡnh.}

<i>Giải:</i>

áp dụng nhận xét trên vào ví dụ 3 thì phơng trình (2) có thÓ viÕt nh sau:
(x + 1)(2x4_{+ x}3_{– 6x}2_{+ x + 2) = 0.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Qua hai vÝ dơ trªn ta thÊy r»ng:

- Nếu hạ bậc của một phơng trình đối xứng bậc lẻ, ta lại đợc một phơng trình đối xứng.

- Các nghiệm của một phơng trình đối xứng đơi một nghịch đảo của nhau. Nh vậy nếu a là một nghiệm
của phơng trình đối xứng thì 1

<i>a</i> cũng là nghiệm của phơng trình. Vì lẽ đó các phơng trình đối xứng
(bậc chẵn hay bậc lẻ) còn đợc gọi là phơng trình thuận nghịch (bậc chẵn hoặc bậc lẻ).

<b>Bµi tËp vËn dụng</b>
<b>Bài 17:</b> Giải các phơng trình sau:

a) x4_{+ 5x}3_{– 12x}2_{+ 5x + 1 = 0.}
b) 6x4_{+ 5x}3_{– 38x}2_{+ 5x + 6 = 0.}
c) 6x4_{+ 7x}3_{– 36x}2_{- 7x + 6 = 0.}

d) 6x5_{- 29x}4_{+ 27x}3_{+ 27x}2_{- 29x + 6 = 0.}
e) x7_{– 2x}6_{+ 3x}5_{- x}4_{- x}3_{+ 3x}2_{- 2x + 1 = 0.}

<b>VI/ Một số cách giải các phơng trình bậc cao </b>

ở chơng trình tốn sau này chúng ta sẽ có dịp là quen với phép giải tổng quát phơng trình bậc
cao. ở đây chúng ta nghiên cứu một số cách giải khác để giải phơng trình bậc cao.

<b>1. Phơng pháp đặt ẩn phụ.</b>

Thực ra phơng pháp nay đã đợc tơi đề cập đến ơ trên khi trình bày về phơng trình bậc nhât một
ẩn. Song ở trên tơi cha đi sâu mà mới chỉ đa ra và đề cập đến những phơng trình đa về phơng trình bậc
nhất một ẩn. ở đây tôi xin đa ra ở mc sõu hn.

<b>Ví dụ 4:</b> Giải phơng trình:

(x2_{+ x + 2)}2_{– 12(x}2_{+ x + 2) + 35 = 0. (3)}

<i>Gi¶i:</i>

Thực chất phơng trình này ta rất rễ tìm ra cách đặt ẩn phụ ngay.
Đặt x2_{+ x + 2 = y, ta đợc phơng trình: y}2_{– 12y + 35 = 0.}
Phơng trình này cho ta y = 5 và y = 7.

- Víi y = 5, ta cã x2_{+ x + 2 = 5 phơng trình này cho ta hai nghiƯm} <i>_x</i>

1,2=

<i>−</i>1<i>±</i>√13
2

- Víi y = 7, ta cã x2_{+ x + 2 = 7 ph¬ng trình này cho ta hai nghiệm} <i>_x</i>

3,4=

<i></i>1<i></i>21
2

Vậy phơng trình (3) cã 4 nghiƯm <i>x</i>_1,2=<i>−</i>1<i>±</i>√13

2 ; <i>x</i>3,4=

<i>−</i>1<i>±</i>√21
2
<b>VÝ dơ 5:</b> Giải phơng trình:

(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x2_{. (4)}

<i><b>Nh©n xÐt:</b></i>

Phơng trình trên có dạng: (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax2_{, trong đó ad = bc.}
Để giải phơng trình này ta đặt ẩn phụ <i>y</i>=<i>x</i>+ad

<i>x</i> .

<i>Gi¶i:</i>

Ta biến đổi phơng trình (4) về dạng: (x2_{+ 14x + 24)(x}2_{+ 11x + 24) 4x}2_.

Phơng trình khơng có nghiệm x = 0; chia cả hai vế của phơng trình cho x2 _{0, ta đợc: (x + 14 +} 24
<i>x</i> )
(x + 11 + 24

<i>x</i> ) = 4. Đặt y = x +

24

<i>x</i> rồi đa phơng trình về dạng (y + 14)(y + 11) = 4 hay y2 + 25y +

150 = 0. Suy ra y1 = -15; y2 = -10. Từ đó suy ra x2_{+ 15x + 24 = 0 hoặc x}2_{+ 10x + 24 = 0. Hai phơng}
trình này cho các nghiệm: <i>x</i>₁=<i>−</i>15<i>−</i>√129

2 ; <i>x</i>2=

<i>−</i>15+√129

2 ; x3 = -6; x4 = -4.
<b>VÝ dụ 6:</b> Giải phơng trình: (6 x)4_{+ (8 – x)}4_{= 16 (5).}

<i><b>Nh©n xét:</b></i>

Phơng trình này có dạng: (x a)4_{+ (x – b)}4_{= A.}

Để giải phơng trình nay ta dùng phép đặt ẩn phụ. Đặt y = <i>x −a</i>+<i>x −b</i>

2 = x -

<i>a</i>+<i>b</i>

2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

DỈt y = 6<i>− x</i>+8<i>− x</i>

2 = 7 – x, rồi đa phơng trình (5) về dạng: y4 6y2 7 = 0. Đây là phơng trình

trùng phơng, ta rễ ràng tìm ra nghiệm y1 = 1; y2 = 8 råi suy ra
x1 = 8; x2 = 6.

<i><b>Chó ý:</b></i>

Phơng trình cịn có dạng: (x + a)4_{+ (x + b)}4_{= A, để giải phơng trình dạng nay ta cũng đặt y =}
<i>x</i>+<i>a</i>+<i>x</i>+<i>b</i>

2 = x +

<i>a</i>+<i>b</i>

2 và cũng giải tơng tự nh trên.
<b>2. Phơng pháp đa về phơng trình tích</b>

<b>Ví dụ 7</b>: Giải phơng trình:

x4_{+ 4x}3_{+ 3x}2_{+ 3x 1 = 0 (6).}

<i>Gi¶i: </i>

Ta nhóm các hạng tử thích hợp ở vế trái tạo thành các bình phơng đúng rồi sử dụng cơng thức A2_{– B}2
= (A – B)(A + B) để biến vế trái thành tích.

x4_{+ 4x}3_{+ 3x}2_{+ 3x – 1 = 0}
<=> (x2_{+ 2x)}2_{– (x – 1)}2_{= 0}
<=> (x2_{+ x + 1)(x}2_{+ 3x – 1) = 0.}

Phơng trình x2_{+ x + 1 = 0 vô nghiệm, còn phơng trình x}2_{+ 3x 1 = 0 cho nghiƯm:} <i>_x</i>

1,2=

<i>−</i>3<i>±</i>√13
2

vµ lµ nghiƯm cđa phơng trình (6).

<b>Ví dụ 8:</b> Giải phơng trình:

x4_4x3_{– 10x}2_{+ 37x – 14 = 0 (7).}

<i>Gi¶i:</i>

Vế phải là một đa thức bậc 4, giả sử phân tích đợc thành hai nhân tử bậc hai

x2_{+ px + q và x}2_{+ rx + s, trong đó p, q, r, s là các số nguyên cha xác định, khi đó: x}4_{– 4x}3_{– 10x}2₊
37x – 14 =( x2_{+ px + q)( x}2_{+ rx + s).}

Khai triển, nhóm các hạng tử rồi đồng nhất các số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thứ ta có hệ
sau:

p + r = -4 vµ s + p + qr = -10 vµ ps + qr = 37 vµ qs = -14.

Giải hệ phơng trình này ta đợc p = -5; q = 2; s = -7; r = 1 do đó phơng trình (7) trở thành: ( x2_{- 5x + 2)}
( x2_{+ x - 7 ) = 0. Giải hai phơng trình bậc hai}

x2_{- 5x + 2 = 0 và x}2_{+ x – 7 = 0, ta đợc nghiệm của phơng trình (7) là:} <i>_x</i>

1,2=

5<i>±</i>√17

2 ; <i>x</i>3,4=

<i>−</i>1<i>±</i>√29

2 .

<b>Bµi tËp vËn dơng</b>
<b>Bµi 18:</b> Giải các phơng trình sau:

a) ( x2_{+ x + 1)( x}2_{+ x + 2 ) = 12.}
b) (x2_{– 5x)}2_{+ 10(x}2_{– 5x) + 24 = 0}
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)( x + 7) = 9.
d) (x2_{+ 5x)}2_{- 2(x}2_{+ 5x) - 24 = 0.}

<b>Bài 19:</b> Giải các phơng trình:
a) (x + 5)4_{+ (x + 3)}4_{= 2.}
b) (x – 2)6_{+ (x – 4)}6_{= 64.}
c) (x + 6)4_{+ (x + 4)}4_{= 82.}
d) (x – 4,5)4_{+ (x 5,5)}4_{= 1.}

<b>Bài 20:</b> Giải phơng trình:

a) (x2_{– 3x + 1)(x}2_{+ 3x + 2)(x}2_{– 9x + 20) = -30.}
b) (x2_{– x + 1)}4_{– 6x}2_(x2_{– x + 1)}2_{+ 5x}4_{= 0.}

<b>Bài 21:</b> Giải phơng trình:

(a x)5_{+ (x b)}5_{= (a – b)}5_víi <i>_{a ≠ b}</i> _.

<b>V/ Phơng trình phân thức hữu tỉ</b>

<i><b>Khỏi nim:</b></i> Phng trỡnh phân thức hữu tỉ là phơng trình sau khi biến đổi có dạng: <i>P</i>(<i>x</i>)

<i>Q</i>(<i>x</i>)=0 ,
trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức và Q(x) 0.

<i><b>Ph</b></i>

<i><b> ơng pháp:</b></i> Để giải phơng trình này ta đa vỊ gi¶i hƯ

{

<i>Q</i>(<i>x</i>)<i>≠</i>0<i>P</i>(<i>x</i>)=0 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

4<i>x</i>
<i>x</i>2+<i>x</i>+3+

5<i>x</i>

<i>x</i>2<i>−</i>5<i>x</i>+3=<i>−</i>

3

2 (8).

<i>Gi¶i:</i>

Phơng trình này khơng co nghiệm x = 0, chia mỗi phân thức ở vế của phơng trình cho x 0, ta đợc:

4

<i>x</i>+3
<i>x</i>+1

+ 5

<i>x</i>+3
<i>x</i>5

=<i></i>3

2

Đặt y = <i>x</i>+3

<i>x</i> , ta có phơng trình:

4

<i>y</i>+1+

5

<i>y </i>5=<i></i>
3

2 hay

<i>y</i>2+2<i>y −</i>15

(<i>y</i>+1)(<i>y −</i>5)=0 . Giải phơng trình này tìm
đợc y1 = -5; y2 = 3.

Từ đó ta có hai phơng trình <i>x</i>+3

<i>x</i> = -5 (1) vµ <i>x</i>+

3

<i>x</i> = 3 (2).
Giải phơng trình (1) ta đợc nghiệm x1 = <i>−</i>5+√13

2 ; x2 =

<i></i>5<i></i>13

2 , giải phơng trình (2) vô nghiệm.

Vậy phơng trình (8) cã nghiƯm lµ: x1 = <i>−</i>5+√13

2 ; x2 =

<i>−</i>5<i>−</i>√13

2 .

<i><b>NhËn xÐt:</b></i>

Phơng trình đã cho có dạng: Ax

ax2+<i>b</i>1<i>x</i>+<i>c</i>

+Bx

ax2+<i>b</i>2<i>x</i>+<i>c</i>

=<i>C</i> _.
Trong đó ABC 0 và ac 0, đặt ẩn phụ y = ax + <i>c</i>

<i>a</i> rồi đa về phơng trình dạng:
<i>A</i>
<i>y</i>+<i>b</i>₁+

<i>B</i>

<i>y</i>+<i>b</i>₂=<i>C</i> .

<b>Ví dụ 10:</b> Giải phơng trình:
x2₊

(

<i>x x</i>1

)

2

= 8 (9)

<i>Giải:</i>

Điều kiÖn: x 1
Ta cã: x2₊

(

<i>x −x</i>1

)

2

= 8
<=> x2_{+ 2x.} <i>x</i>

<i>x −</i>1 +

(

<i>x</i>
<i>x −</i>1

)

2

- 2x. <i>x</i>

<i>x −</i>1 = 8

<=>

(

<i>x</i>+ <i>x</i>
<i>x −</i>1

)

2

<i>−</i>2

(

<i>x</i>
2

<i>x −</i>2

)

=8

<=>

(

<i>x</i>2

<i>x </i>1

)

2

<i></i>2 . <i>x</i>

2
<i>x </i>1=8

Đặt y = <i>x</i>

2

<i>x </i>1 , ta có phơng trình y

2_{2y 8 = 0. Giải phơng trình này có nghiệm y = -2; y = 4; từ}
đó suy ra x1 = 2; x2 = -1 + _√3 ; x3 = -1 - 3 .

Vậy phơng trình (9) cã nghiƯm lµ: x1 = 2; x2 = -1 + _√3 ; x3 = -1 - _√3 .

<b>Ví dụ 11:</b> Giải phơng trình:
5

(

<i>x </i>2

<i>x</i>+1

)

2

<i></i>44

(

<i>x</i>+2

<i>x </i>1

)

2

+12<i>x</i>

2

<i></i>4

<i>x</i>2<i></i>1=0 (10)

<i>Giải:</i>

Điều kiện <i>x </i>1 .
Đặt <i>x </i>2

<i>x</i>+1=<i>u</i> ;
<i>x</i>+2

<i>x </i>1=<i>v</i> , ta có phơng trình 5u2 44v2 +12uv = 0. Phơng trình này có nghiệm u = v =

0; u = 2v hc u = <i>−</i>22

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Xét các trờng hợp trên phơng trình (10) chØ cã nghiÖm: <i>x</i>₁=<i>−</i>9+√73

2 ;

<i>x</i>₂=<i>−</i>9<i>−</i>√73

2 .

<b>Ví dụ 12:</b> Giải phơng trình:
<i>x</i>

(

5<i>− x</i>

<i>x</i>+1

)(

<i>x</i>+

5<i>− x</i>

<i>x</i>+1

)

=6 (11)

<i>Gi¶i:</i>

Điều kiện <i>x ≠ −</i>1 ; đặt u = <i>x</i>.5<i>− x</i>

<i>x</i>+1 vµ v = <i>x</i>+

5<i>− x</i>
<i>x</i>+1 ,
khi đó uv = 6 và u + v = <i>x</i>.5<i>− x</i>

<i>x</i>+1 + <i>x</i>+

5<i>− x</i>

<i>x</i>+1 = 5, nh vËy u, v lµ nghiƯm của phơng trình: t

2_{5t + 6}
= 0, suy ra t1 = 3; t2 = 2, từ đó ta tìm đợc u1 = 3 và v1 = 2 hoặc u2 = 2 và v2 = 3.

Xét với từng cặp giá trị của u và v ta tìm đợc nghiệm của phơng trình (11) là:
x = 2; x = 1.

<b>Bài tập vận dụng</b>
<b>Bài 22:</b> Giải các phơng trình sau:

a)

(

<i>x</i>2+ 1

<i>x</i>2

)

+5

(

<i>x</i>+

1

<i>x</i>

)

<i>−</i>12=0

b) 4<i>x</i>

4<i>x</i>2<i>−</i>8<i>x</i>+7+

5<i>x</i>

4<i>x</i>2<i>−</i>10<i>x</i>+7=1
c)

(

<i>x −</i>2

<i>x</i>+1

)

2

<i>−</i>5

(

<i>x</i>+2

<i>x −</i>1

)

2

+48

(

<i>x</i>

2

<i>−</i>4

<i>x</i>2<i>₋</i>₁

)

=4

d) <i>x</i>

2

<i></i>13<i>x</i>+15
<i>x</i>2<i></i>₁₄<i>_x</i>

+15<i></i>

<i>x</i>2<i></i>15<i>x</i>+15
<i>x</i>2<i></i>₁₆<i>_x</i>

+15=<i></i>

1
12
<b>Bài 23:</b> Giải các phơng trình sau:

a) <i>x</i>+1
<i>x −</i>1+

<i>x −</i>2

<i>x</i>+2+
<i>x −</i>3

<i>x</i>+3+
<i>x</i>+4

<i>x −</i>4=4

b) <i>x</i>+4
<i>x −</i>1+

<i>x −</i>4

<i>x</i>+1=
<i>x</i>+8
<i>x −</i>2+

<i>x −</i>8

<i>x</i>+2 <i>−</i>

8
3

c)

<i>x</i>+5¿2
¿
¿
<i>x</i>2

+25<i>x</i>

2

¿

d) <i>x</i>3

+ 1

<i>x</i>3=6

(

<i>x</i>+
1

<i>x</i>

)

e) <i>x</i>4

=11<i>x −</i>6

6<i>x −</i>11

f) <i>x</i>5=133<i>x </i>78

133<i></i>78<i>x</i>

<b>Phần III</b>

<b>Phơng trình vô tỉ</b>

Cỏc phng trỡnh i s chứa ẩn trong dấu căn gọi là <i><b>phơng trình vơ tỉ</b></i>.

Để giải các phơng trình này, phải khử dấu căn. Sau đây là một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng
trình vơ tỉ:

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>VÝ dơ 1:</b> Giải phơng trình:

3+2<i>x −</i>3=<i>x</i> (1)

<i>Gi¶i:</i>

Điều kiện xác định của phơng trình là: 2x – 3 0 <=> x 3

2 (2)

Tách riêng căn thức ở một vế ta đợc: _√2<i>x −</i>3=<i>x −</i>3 (3)

Ta phải có thêm điều kiện: x – 3 0 <=> x 3 (4)
Víi ®iỊu kiƯn (4) th×

PT(3) <=> 2x – 3 = (x – 3)2₍₅₎
<=> 2x – 3 = x2_{– 6x + 9}

<=> x2_{– 8x + 12 = 0}
<=> (x – 2)(x – 6) = 0
<=> x1 = 2; x2 = 6.

Gi¸i trị x1 = 2 không thoả mÃn ĐK (4) loại.

x2 = 6 tho¶ m·n ĐK (2) và (4), là nghiệm của phơng trình.
Vậy phơng tr×nh (1) cã mét nghiƯm duy nhÊt x = 6.

<i><b>NhËn xÐt</b></i>

a) Nếu không đặt điều kiện x – 3 0 ở (3), ta sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của (1). Chú ý
rằng từ (3) suy ra đợc (5) nhng từ (5) chỉ suy ra đợc (3) với điều kiện x – 3 0.

b) Có thể bình phơng hai vế của (1) với điều kiện x 0 (điều kiện này đã có ở

2x – 3 0), nhng lời giải không ngắn ngọn bằng cách tách riêng căn thức ở mỗi vế.

<b>Ví dụ 2:</b> Giải phơng trình:

_√<i>x −</i>1<i>−</i>√5<i>x −</i>1=√3<i>x −</i>2

<i>Gi¶i:</i>

Điều kiện xác định của phơng trình là x 1. (1)
Chuyển vế ta có _√<i>x −</i>1=_√5<i>x −</i>1+_√3<i>x −</i>2 (2)

Bình phơng hai vế ta đợc:

<i>_{x −}</i>₁=5<i>x −</i>1+3<i>x −</i>2+2

√

15<i>x</i>2<i>−</i>13<i>x</i>+2
<=> ₂<i>₋</i>₇<i>_x</i>₌₂

_√

₁₅<i>_x</i>2

<i>−</i>13<i>x</i>+2 . (3)
Đến đây có hai cách giải

<i>Cách 1:</i> Với điều kiện 2 7x 0 <=> x 2

7 (4)

th× PT(3) <=> 4 – 28x +49x2_{= 4(15x}2_{– 13x +2) (5)}
<=> 11x2_{– 24x + 4 = 0}

<=> (11x – 2)(x – 2) = 0 <=> x1 = 2

11 ; x2 = 2.

Giái trị x1 = 2

11 không thoả mÃn điều kiện (1), loại.

Giái trị x2 = 2 không thoả mÃn (5), loại.
Vậy phơng trình vô nghiệm.

<i>Cách 2:</i> Ta phải có 2 7x 0 <=> x 2

7 , điều này trái với điều kiện (1) x 1. Vậy phơng

trình vô nghiệm.

<b>Ví dụ 3:</b> giải phơng trình:
3

√2<i>x</i>+1+√3 <i>x</i>=1 (1)

<i>Gi¶i:</i>

Lập phơng hai vế, áp dụng hằng đẳng thức
(a +b)3_{= a}3_{+ b}3_{+ 3ab(a + b)}

ta đợc 2<i>x</i>+1+<i>x</i>+3

_√

3<i>x</i>(2<i>x</i>+1)(√32<i>x</i>+1+√3<i>x</i>)=1 (2)
Thay 3

√2<i>x</i>+1+√3 <i>x</i>=1 vµo (2) ta cã

3<i>x</i>+1+3

_√

3 <i>x</i>(2<i>x</i>+1)=1 (3)

<=> 3

_√

3<i>x</i>(2<i>x+</i>1)=− x (4)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Thư l¹i: - víi x1 = 0 th¶o m·n (1).

- với x2 = -1 không thoả mÃn (1), loại.
Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhÊt x = 0.

<i><b>NhËn xÐt:</b></i>

Các phơng trình (1) và (2) hai tơng đơng, nhng các phơng trình (2) và (3) không tơng đơng. Từ
(2) ruy ra đợc (3), nhng từ (3) khơng suy ra đợc (2). Do đó sau khi tìm đợc các nghiệm của (3) là 0 và
-1, phải thử các giái trị đó vào (1) để chọn ra nghiệm của (1).

<b>II/ Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.</b>
<b>1. Lý thuyết</b>

<b>Định nghĩa giá trị tuyệt đối:</b>
<b> </b> |<i>A</i>|={<i>− AA</i> <b></b>

<b>2. Ví dụ</b>

<b>Ví dụ 4:</b> Giải phơng trình:

_√

<i>x</i>+2√<i>x −</i>1+

√

<i>x −</i>2√<i>x −</i>1=2 (1)

<i>Giải:</i>

Điều kiện x 1.

PT (1) <=>

_√

<i>x −</i>1+2√<i>x −</i>1+1+

_√

<i>x −</i>1<i>−</i>2√<i>x −</i>1+1=2

<=>

√<i>x −</i>1+1¿2
¿
√<i>x −</i>1<i>−</i>1¿2

¿
¿
¿

√¿

<=> |√<i>x −</i>1+1|+|_√<i>x −</i>1<i>−</i>1|=2
<=> _√<i>x −</i>1+1+|_√<i>x −</i>1<i>−</i>1|=2

<=> _√<i>x −</i>1+|√<i>x −</i>1<i>−</i>1|=1 (2)
- NÕu <i>x></i>2 , th× PT (2) <=> _√<i>x −</i>1+√<i>x −</i>1<i>−</i>1=1

<=> _√<i>x −</i>1=1
<=> <i>x −</i>1=1

<=> <i>x=</i>2 không thuộc khoảng đang xét lo¹i.

- Nếu 1<i>≤ x ≤</i>2 , thì PT (2) <=> _√<i>x −</i>1+1<i>−</i>√<i>x −</i>1=1 ln đúng, phơng trình vơ s nghim vi

1<i> x </i>2 .

Vậy phơng trình (1) có nghiệm 1<i> x </i>2 .

<b>Ví dụ 5:</b> Giải phơng trình:

_√

<i>x</i>+3<i>−</i>4√<i>x −</i>1+

√

<i>x</i>+8<i>−</i>6√<i>x −</i>1=1 (3)

<i>Giải:</i>

Điều kiện x 1.

PT (3) <=>



<i>x −</i>1<i>−</i>4√<i>x −</i>1+4+

√

<i>x −</i>1<i>−</i>6√<i>x −</i>1+9=1

<=>

√<i>x −</i>1<i>−</i>2¿2
¿
√<i>x −</i>1<i>−</i>3¿2

¿
¿
¿

√¿

<=> |√<i>x −</i>1<i>−</i>2|+|√<i>x −</i>1<i>−</i>3|=1 (4)
- NÕu 1<i>≤ x</i><5 th× PT (4) <=> 2<i>−</i>_√<i>x −</i>1+3<i>−</i>√<i>x −</i>1=1

<=> _√<i>x −</i>1=2

<=> <i>x</i>=5 không thuộc khoảng đang xét loại.

- Nếu 5<i> x ≤</i>10 th× PT (4) <=> _√<i>x −</i>1<i>−</i>2<i>−</i>√<i>x −</i>1+3=1 <=> 0x = 0, phơng trình vô số nghiệm.

- Nếu x > 10 th× PT (4) <=> _√<i>x −</i>1<i>−</i>2+_√<i>x −</i>1<i>−</i>3=1

<=> _√<i>x −</i>1=3

<=> x = 10 kh«ng thuộc khoảng đang xét loại.
Vậy phơng trình (3) có nghiệm 5<i>≤ x ≤</i>10 .

Víi A
0

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>III/ Phơng pháp đặt ẩn phụ</b>
<b>Ví dụ 6:</b> Giải phơng trình:
₂<i>_x</i>2

+3<i>x</i>+

√

2<i>x</i>2+3<i>x</i>+9=33 (5)

<i>Gi¶i:</i>

₂<i>_x</i>2

+3<i>x</i>+

√

2<i>x</i>2+3<i>x</i>+9=33
<=> 2<i>x</i>2

+3<i>x</i>+9+

√

2<i>x</i>2+3<i>x</i>+9<i>−</i>42=0 (6)
V× 2<i>x</i>2

+3<i>x</i>+9=2(<i>x</i>2+3

2<i>x</i>+
9

2)= 2

[

(<i>x</i>
2

+2.<i>x</i>.3

4+
9
16)+

63
16

]

<i>x</i>+3

4
2

+63

16

2

> 0 với mọi x.
Đặt y =

_√

₂<i>_x</i>2

+3<i>x</i>+9 (y > 0), th× PT (6) cã d¹ng: y2 + y – 42 = 0
=> y = 6 (thoả mÃn) hoặc y = -7 (loại)

- Với y = 6, ta cã

_√

2<i>x</i>2

+3<i>x</i>+9 = 6 <=> 2x2 + 3x – 27 = 0 <=> x1 = 3; x2 = <i></i>₂9 .
Vậy phơng trình (5) cã nghiÖm x1 = 3; x2 = <i>−</i>9

2 .
<b>VÝ dụ 7:</b> Giải phơng trình:

₃<i>_x</i>2

+21<i>x</i>+18+2

√

<i>x</i>2+7<i>x</i>+7=2 (7)

<i>Gi¶i:</i>

3<i>x</i>2

+21<i>x</i>+18+2

√

<i>x</i>2+7<i>x</i>+7=2
<=> ₃<i>_x</i>2

+21<i>x</i>+21<i>−</i>3+2

√

<i>x</i>2+7<i>x</i>+7=2

<=> 3(<i>x</i>2+7<i>x</i>+7)<i>−</i>3+2

√

<i>x</i>2+7<i>x</i>+7=2 (8)
Đặt



<i>x</i>2

+7<i>x</i>+7 = y (y 0) thì <i>x</i>2+7<i>x</i>+7 = y2.

PT (8) có dạng: 3y2_{+ 2y – 5 = 0 <=> y =} <i></i>5

3 (loại); y = 1 (thoả mÃn).

- Với y = 1 th× <i>_x</i>2

+7<i>x</i>+7 = 1 <=> <i>x</i>2+7<i>x</i>+6=0 <=> x1 = -1; x2 = -6.
VËy ph¬ng tr×nh (7) cã nghiƯm: x1 = -1; x2 = -6.

<i><b>Nhận xét:</b></i> Cách đặt ẩn phụ nh hai phơng trình trên đã làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu t.

<b>Ví dụ 8:</b> Giải phơng trình:
3

√2<i>x</i>+1+_√3 <i>x</i>=1 (9)

<i>Giải:</i>

Đặt 3

2<i>x</i>+1=<i>a</i> v 3 <i>x</i>=<i>b</i> thỡ 2x + 1 = a3 và x = b3, nên ta có 2b3 + 1 = a3 hay a3 – 2b3 = 1(*).
Mà PT (9) có dạng: a + b = 1 => b = 1 – a thay vào (*) ta đợc a3_{– 2(1 – a)}3_{= 1}

<=> a3_{– 1 + 2(a – 1)}3_{= 0 <=> (a – 1)(a}2_{+ a + 1) + 2(a – 1)}3_{= 0}
<=> (a – 1)[a2_{+ a + 1 +2(a – 1)}2_{] = 0}

Do a2_{+ a + 1 +2(a – 1)}2_{> 0 nªn a = 1. Suy ra b = 0.}
Víi a = 1 vµ b = 0 thì x = 0.

Vậy phơng trình (9) có nghiệm x = 0.

<b>IV/ phơng pháp bất đẳng thức</b>

Phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vơ tỉ đợc thể hin di nhiu dng:

<b>1. Chứng tỏ rằng phơng trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia.</b>
<b>Ví dụ 9:</b> Giải phơng trình:

_√<i>x −</i>1<i>−</i>√5<i>x −</i>1=_√3<i>x −</i>2 (10)

Bằng cách chứng tỏ rằng với điều kiện xác định của phơng trình, có một vế của phơng trình ln nhỏ
hơn vế kia.

<i>Gi¶i:</i>

Điều kiện để xác định của (10) là x 1. Với điều kiện này thì x < 5x, do đó _√<i>x −</i>1<√5<i>x −</i>1 suy ra vế
trái của (10) là số âm, còn vế phải khơng âm. Phơng trình vơ nghiệm.

<b>2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế.</b>
<b>Ví dụ 10:</b> Giải phơng trình:

_√

₃<i>_x</i>2

+6<i>x</i>+7+

√

5<i>x</i>2+10<i>x</i>+14=4<i>−</i>2<i>x − x</i>2 (11)

<i>Giải:</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Vế trái (VT):

_√

₃<i>_x</i>2

+6<i>x</i>+7+

√

5<i>x</i>2+10<i>x</i>+14

=

<i>x</i>+1¿2+4

¿
<i>x</i>+1¿2+9

5¿

3¿

√¿

√4+√9 = 5.

VÕ ph¶i (VP): 4<i>−</i>2<i>x − x</i>2 _{= 5 – (x + 1)}2 _5.

Vậy để VT = VP khi và chỉ khi hai vế của (11) đều bằng 5, khi đó x = -1.
Vậy phơng trình (11) có nghiệm x = -1.

<b>3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.</b>
<b>Ví dụ 11:</b> Giải phơng trình:
3

√2<i>x</i>+1+√3 <i>x</i>=1 (12)
B»ng c¸ch chøng tá r»ng x = 0 lµ nghiƯm duy nhÊt của phơng trình.

<i>Giải:</i>

Ta thy x = 0 nghim ỳng phng trình (12).
+) Với x > 0 thì 3

√2<i>x</i>+1>1 vµ 3 <i>x</i>>0 nên vế trái của (12) lớn hơn 1.
+) Với x < 0 thì 3

2<i>x</i>+1<1 và 3 <i>x</i><0 nên vế trái của (12) nhỏ hơn 1.
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình (12).

<b>4. S dng iu kin xy ra du = ở bất đẳng thức không chặt.</b>“ ”

<b>VÝ dụ 12: </b>Giải phơng trình:
<i>x</i>

√3<i>x −</i>2+

√3<i>x −</i>2

<i>x</i> =2 (13)

<i>Giải:</i>

Điều kiện x > 2

3 (*).

Ta cú bt ng thức <i>a</i>
<i>b</i>+

<i>b</i>

<i>a≥</i>2 với a > 0, b > 0, xẩy ra đẳng thức (dấu “=”) khi và chỉ khi a = b.
Với x > 2

3 th× PT (13) <=> <i>x</i>=√3<i>x −</i>2 <=> x2 – 3x + 2 = 0

<=> (x – 1)(x – 2) = 0 <=> x1 = 1; x2 = 2 (tho¶ m·n *).
VËy phơng trình (13) có nghiệm x1 = 1; x2 = 2.

<b>Bài tập vận dụng</b>
<b>Giải các phơng trình sau:</b>
<b>Bài 1:</b>

a) _√<i>x</i>+3<i>−</i>_√<i>x −</i>4=1 d) _√4<i>x</i>+1<i>−</i>_√3<i>x</i>+4=1
b) _√15<i>− x</i>+√3<i>− x</i>=6 e) √<i>x −</i>1<i>−</i>√<i>x</i>+1=2
c) _√<i>x</i>+3+_√10<i>− x</i>=5 f) _√2<i>x</i>+5<i>−</i>_√3<i>x −</i>5=2

<b>Bµi 2:</b>

a)

_√

<i>x −</i>2√<i>x −</i>1<i>−</i>√<i>x −</i>1=1
b)

_√

<i>x</i>+_√2<i>x −</i>1<i>−</i>

_√

<i>x −</i>_√2<i>x −</i>1=_√2

c)

_√

<i>x</i>+√6<i>x −</i>9+

√

<i>x −</i>√6<i>x −</i>9=√6
<b>Bµi 3:</b>

a)

_√

<i>_x</i>2

<i>−</i>4<i>x</i>+4<i>−</i>

√

<i>x</i>2<i>−</i>6<i>x</i>+9=1
b)

_√

<i>x</i>+4<i>−</i>4_√<i>x</i>+

_√

<i>x</i>+9<i>−</i>6_√<i>x</i>=1

c)

_√

<i>x</i>+6<i>−</i>4√<i>x</i>+2+

√

<i>x</i>+11<i>−</i>6√<i>x</i>+2=1
d)

_√

<i>x</i>+2<i>−</i>4√<i>x −</i>2+

√

<i>x</i>+7<i>−</i>6√<i>x −</i>2=1

<b>Bµi 4:</b>

a) _√<i>x</i>+

√

<i>x</i>+√1<i>− x</i>=1 f)

√

1+<i>x</i>

√

<i>x</i>2+4=<i>x+</i>1

b)

_√

₁<i>₋</i>

_√

<i>_x</i>2

<i>− x=</i>√<i>x −</i>1 g) 3+<i>x</i>

3<i>x</i> =

√

1
9+

1

<i>x</i>

√

4
9+

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

c)

_√

<i>_x</i>2

+6=<i>x −</i>2

√

<i>x</i>2<i>−</i>1 h)

√

2<i>x</i>+2
<i>x</i>+2 <i>−</i>

√

<i>x</i>+2

2<i>x</i>+2=

7

12

d)

_√

₂<i>_x</i>2

+8<i>x</i>+6+

√

<i>x</i>2<i>−</i>1=2<i>x</i>+2
e) _√<i>_{x −}</i>₇+√9<i>− x</i>=<i>x</i>2<i>−</i>16<i>x</i>+66

<b>Bµi 5:</b>

a) _√2<i>x −</i>1+√<i>x −</i>2=√<i>x</i>+1
b) _√3<i>x</i>+15<i>−</i>_√4<i>x</i>+17=_√<i>x</i>+2

c) _√<i>x −</i>1+√<i>x+</i>3+2

√

(<i>x −</i>1)(<i>x</i>2<i>−</i>3<i>x+</i>5)=4<i>−</i>2<i>x</i>

d) _√<i>x</i>+1+_√<i>x</i>+10=_√<i>x</i>+2+_√<i>x</i>+5

<b>Bµi 6:</b>

a)

_√

2<i>x</i>+3+√<i>x</i>+2+

_√

2<i>x</i>+2<i>−</i>√<i>x</i>+2=1+2√<i>x</i>+2
b)

_√

<i>_x</i>2

<i>−</i>9<i>x</i>+4+3_√2<i>x −</i>1=

√

2<i>x</i>2+21<i>x −</i>11

<b>Bµi 7:</b>

a) _√1<i>− x</i>+

√

<i>x</i>2<i>−</i>3<i>x</i>+2+(<i>x −</i>2)

√

<i>x −</i>1
<i>x −</i>2=3

b) (<i>x −</i>2)(<i>x</i>+2)+4(<i>x −</i>2)

√

<i>x</i>+2
<i>x −</i>2=<i>−</i>3

c) 2+√<i>x</i>
√2+

√

2+√<i>x</i>+

2<i>−</i>√<i>x</i>

√2<i>−</i>

√

2<i>−</i>√<i>x</i>=√2

<b>Bµi 8:</b>

a) 3

√<i>x</i>+1+_√37<i>− x</i>=2 c) _√3 <i>x</i>+3<i>−</i>_√36<i>− x</i>=1
b) 3

√25+<i>x</i>+√33<i>− x</i>=4 d) 1+√3<i>x −</i>16=√3 <i>x</i>+3

<b>Bµi 9:</b>

a) 4

√

1<i>− x</i>2+_√41+<i>x</i>+4_√1<i>− x</i>=3
b) 4

3<i></i>2<i>x</i>=41<i> x</i>+42<i> x</i>

<i>Hớng dẫn bài 9:</i>

a) Đặt 1 + x = a 0, 1 – x = b 0. Ta cã a + b = 2 vµ 4

√ab+√4<i>a</i>+4√<i>b</i>=3
Theo bất đẳng thức cơ-si √mn<i>≤m</i>+<i>n</i>

2 , ta cã

3 =

_√

_√<i>a</i>.√<i>b</i>+

√

1 .√<i>a</i>+

√

1 .√<i>b ≤</i>√<i>a</i>+√<i>b</i>

2 +
1+√<i>a</i>

2 +
1+√<i>b</i>

2 =¿
√<i>a</i>+√<i>b</i>+1<i>≤</i>1+<i>a</i>

2 +
1+<i>b</i>

2 +1=¿

<i>a</i>+<i>b</i>

2 +2=3 .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Do đó x = 0.
b) Đặt 4

√1<i>− x</i>=<i>a ≥</i>0 , √42<i>− x</i>=<i>b ≥</i>0 . DiỊu kiƯn x 1 (*).
Ta cã: a + b = 4

√

<i>a</i>4+<i>b</i>4 <=> (a + b)4 = a4 + b4 <=> 2ab(2a2 + 3ab + 2b2) = 0.
Nếu a > 0, b > 0 thì 2a2_{+ 3ab + 2b}2_{> 0. Do đó a = 0 hoặc b = 0.}

Suy ra x = 1 hoặc x = 2. Loại x = 2 vì trái với điều kiện (*).

<b>Phần IV</b>

<b>Phơng trình nghiệm nguyên</b>
<b>I/ Phơng pháp Đa về dạng tích.</b>

Bin i a về dạng f(x,y).g(x,y) = a (a <i>Z</i> ). Với f(x,y) và g(x,y) là các đa thức với hệ số
nguyên.

Từ đó ta đi giải các hệ

<b>*) Chó ý:</b> Ta phải xét hết các trờng hợp xẩy ra

{

<i>g</i>(<i>x , y</i>)=<i>a</i>
<i>m</i>

<i>f</i>(<i>x , y</i>)=<i>m</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>VÝ dơ 1:</b> Gi¶i phơng trình nghiệm nguyên sau:
2x3_{+ xy – 7 = 0}

<i>Gi¶i:</i>

2x3_{+ xy – 7 = 0}

<=> x(2x2_{+ y) = 7 = 7.1 = 1.7 = -7.(-1) = -1.(-7)}

Vì x, y Z => 2x2_{+ y} _{Z, do đó có 4 trờng hợp xẩy ra. Giải 4 trờng hợp đó ta đợc nghiệm của phơng}
trình là: (1;5); (-1;-9); (7;-97); (-7;-99).

<b>Ví dụ 2:</b> Giải phơng trình nghiệm nguyªn sau:
xy = x + y

<i>Gi¶i:</i>

xy = x + y

<=> xy – x – y = 0
<=> xy – x – y + 1 = 1

<=> (x – 1)(y – 1) = 1 = 1.1 = -1.(-1)
V× x, y Z => x 1 và y 1 Z
Nên có 2 khả năng xẩy ra:

+) {<i>y </i>1=1<i>x</i>1=1
+) {<i>y −</i>1=<i>−</i>1<i>x −</i>1=<i>−</i>1

Giải hai trờng hợp trên ta đợc nghiệm của phơng trình là: (2;2); (0;0).

<b>VÝ dơ 3:</b> T×m nghiƯm nguyên của phơng trình sau:
3xy – 3 = 5x + 2y. (1)

<i>Gi¶i:</i> 3xy – 3 = 5x + 2y
<=> 3xy – 5x – 2y – 3 = 0

<=> 9xy – 15x – 6y – 9 = 0 (nhân cả hai vế của phơng trình với 3)
<=> 3x(3y – 5) – 2(3y – 5) = 19

<=> (3y – 5)(3x – 2) = 19 = 1.19 =19.1 =-19.(-1) = -1.(-19)

Có 4 khả năng xẩy ra nhng giải các trờng hợp xẩy ra ta chỉ đợc 2 nghiệm là: (1;8) và (7;2).

<i><b>*) NhËn xÐt:</b></i>

Nếu các phơng trình có dạng axy + bx + cy + d = 0 với a, b, c, d Z, a 0. Thì để đa phơng trình về
dạng tích thờng ta nhân cả hai vế của phơng trình với a.

<b>VÝ dơ 4:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình sau:
x2_{(x + 2y) – y}2_{(y + 2x) = 1991}

<i>Gi¶i:</i> x2_{(x + 2y) – y}2_{(y + 2x) = 1991}
<=> (x3_{– y}3_{) + (2x}2_{y – 2xy}2_{) = 1991}
<=> (x – y)(x2_{+ 3xy + y}2_{) = 1991 (1)}

V× x, y Z+_{=> x}2_{+ 3xy + y}2_{> 0 vµ x}2_{+ 3xy + y}2_{> x – y. Tõ (1) => x – y > 0}
Mµ 1991 = 1.1991 = 11.181 nên có hai trờng hợp xẩy ra

+) {<i>x</i>2+3 xy+<i>y</i>2=1991<i>x − y</i>=1 +) {<i>x</i>2+3 xy+<i>y</i>2=181<i>x − y</i>=11

Giải các trờng hợp trên với nghiệm nguyên dơng ta đợc (x = 12; y = 1)
Vậy (x = 12; y = 1) là nghiệm nguyên dng ca phng trỡnh.

<b>Ví dụ 5:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x2_{+ x + 1 = xy – y}

<i>Gi¶i:</i> x2_{+ x + 1 = xy – y}

<=> (x2_{– x) + (2x – 2) + 3 = y(x – 1)}
<=> (x – 1)(x – y + 2) = -3

<=> (x – 1)(y – x – 2) = 3 = 1.3 = 3.1

+) {<i>y − x −</i>2=1<i>x−</i>1=3 +) {<i>y − x −</i>2=3<i>x −</i>1=1

Giải các hệ phơng trình trên ta đợc: (x = 4; y = 7) và (x = 2; y = 7).

<b>* Chú ý:</b> Có thể giải bằng cách sau <i>y</i>=<i>x</i>

2

+<i>x</i>+1

<i>x −</i>1 =<i>x</i>+2+
3

<i>x −</i>1 . Råi sư dơng tÝnh chÊt chia hết.
<b>Bài tập vận dụng</b>

<b>Bài 1:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau:
a) xy 2x + 3y = 27

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

c) 3x2_{+ 10xy + 8y}2_{= 96}
d) x3_y3_{= 91}

<b>Bài 2:</b>

Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

<i>Hớng dẫn:</i> Gọi hai cạnh góc vuông là x, y và cạnh huyền là z.
Theo bài ra ta có: xy = 2x + 2y + 2z

<=> 2z = xy – 2x – 2y

<=> 4z2_{= x}2_y2_{+ 4x}2_{+ 4y}2_{– 4x}2_{y – 4xy}2_{+ 8xy (*)}
Theo Pitago ta cã: z2_{= x}2_{+ y}2_{<=> 4z}2_{= 4x}2_{+ 4y}2_(**)
Tõ (*) vµ (**) => x2_y2_{– 4x}2_{y – 4xy}2_{+ 8xy = 0}

=> xy(xy – 4x – 4y + 8) =0

=> xy -4x – 4y + 8 = 0 (V× xy > 0)
=> (x – 4)(y – 4) = 8 = 1.8 = 2.4
Vì x, y có vai trò nh nhau nên:

+) {<i>y </i>4=8<i>x </i>4=1<i></i>{<i>y</i>=12<i>x</i>=5=><i>z</i>=13 (Thoả mÃn)
+) {<i>y </i>4=4<i>x </i>4=2<i></i>{<i>y</i>=8<i>x</i>=6=><i>z</i>=10 (Thoả mÃn)

Vậy có hai tam giác vuông có các cạnh là số nguyên dơng và số đo diện tích b»ng sè ®o chu vi.

<b>II/ Phơng pháp sắp thứ tự các ẩn (các ẩn có vai trị bình đẳng).</b>

Nếu các ẩn x, y, z,… có vai trị bình đẳng, ta có thể giả sử x y z…, để tìm các nghiệm
thoả mãn điều kiện này. Từ đó dùng phép hoán vị để suy ra các nghiệm của phơng trỡnh ó cho.

<b>Ví dụ 1:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x + y + z = xyz (1)

<i>Gi¶i:</i>

Do vai trị bình đẳng của x, y, z trong phơng trình. Giải sử x y z.
Vì x, y, z Z+_{=> xyz} _{0 và x} _y _z

=> xyz = x + y + z 3z
=> xy 3 => xy {1,2,3} .

* NÕu xy = 1 => x = y = 1 thay vào (1) ta có 2 + z = z vô lý (lo¹i).

* Nếu xy = 2, do x y => x = 1 và y = 2 thay vào (1) ta đợc z = 3 (thoả mãn)
* Nếu xy = 3, do x y => x = 1 và y = 3 thay vào (1) ta đợc z = 2 (thoả mãn)
Vậy nghiệm nguyên dơng của (1) là các hoán vị của (1;2;3) gồm: (1;2;3); (1;3;2);
(2;1;3); (2;3;1); (3;1;2); (3;2;1).

<b>Ví dụ 2:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
1

<i>x</i>+

1

<i>y</i>+

1

<i>z</i>=2 (2)

<i>Gi¶i:</i>

Do vai trị bình đẳng của x, y, z trớc hết ta xét x y z, ta có:

2=1
<i>x</i>+

1

<i>y</i>+

1

<i>z≤</i>3.

1

<i>x</i>=><i>x ≤</i>

3

2=><i>x</i>=1

Thay x = 1 vào (2) ta đợc 1
<i>y</i>+

1

<i>z</i>+1=2=> 1=

1

<i>y</i>+

1

<i>z≤</i>

2

<i>y</i>=><i>y ≤</i>2 =><i>y∈</i>{1<i>;</i>2} .
- NÕu y = 1 => 1

<i>z</i>=0 => z = 0 (lo¹i)
- NÕu y = 2 => 1

<i>z</i>=

1

2=><i>z</i>=2 (thoả mÃn)

Vậy nghiệm nguyên dơng của (2) là các hoán vị của (1;2;2) gồm: (1;2;2); (2;1;2)
(2;2;1).

<b>Ví dụ 3:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x + y + 1 = xyz (3)

<i>Gi¶i:</i>

Do vai trị bình đẳng của x, y trong phơng trình, ta xét x y

xyz = x + y + 1 2y + 1

=> xz 2<i>y</i>+1

<i>y</i> = 2 +

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

=> xz {1,2,3}

* Nếu xz = 1 => x = z = 1 thay vào (3) ta đợc y + 2 = 0 vô lý (loại).
* Nếu xz = 2.

- Với x = 1; z = 2 thay vào (3) ta đợc y = 2 (thoả mãn).
- Với x = 2; z = 1 thay vào (3) ta đợc y = 3 (thoả mãn).
* Nếu xz = 3.

- Với x = 1; z = 3 thay vào (3) ta đợc y = 1 (thoả mãn)

- Với x = 3; z = 1 thay vào (3) ta đợc y = 2 (khơng thoả mãn vì x y).

Vậy nghiệm nguyên dơng của (3) là (1;2;2); (2;3;1); (1;1;3); (3;2;1) và các hoán vị của x, y gồm:
(1;2;2); (2;1;2); (2;3;1); (3;2;1); (1;1;3).

<b>Ví dụ 4:</b> Tìm nghệm nguyên dơng của phơng trình:
y3_{+ 7x = x}3 _{+7y (4)}

<i>Giải:</i>

* Với x = y. Ta thấy (4) luôn thoả m·n víi x = y

* Víi x y => x – y 0

x3_{– y}3_{= 7(x – y)}
=> x2_{+xy + y}2_{= 7 (4’)}

Giải tơng tự nh trên ta đợc x = 1. Thay x = 1 vào (4’) ta đợc:
y(y + 1) = 6 => y = 2.

Vậy nghiệm nguyên dơng của (4) lµ: (1;2); (2;1) vµ +¿¿
¿

<b>Bµi tËp vËn dơng</b>
<b>Bµi 3:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau:

a) xy + yz + xz = xyz + 2
b) 1

<i>x</i>+

1

<i>y</i>+

1

<i>z</i>=

1
2

c) 2x_{+ 2}y _{+ 2}z_{= 2336}

<b>Bài 4:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của hệ phơng trình sau:
{<i>x</i>3+<i>y</i>3+<i>z</i>3=3<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>=3

<b>Bài 5:</b> Chứng minh rằng phơng trình sau không có nghiệm nguyên dơng:
1

<i>x</i>2+

1
xy +

1

<i>y</i>2=1

<i><b>Híng dÉn:</b></i>

<b>Bµi 3:</b>

a) xy + yz + xz = xyz + 2 => 1
<i>x</i>+

1

<i>y</i>+

1

<i>z</i>=

2
xyz+1

Do vai trị của x, y, z bình đẳng trong phơng trình. Trớc hết ta xét x y z
=> 3

<i>x≥</i>

2

xyz+1 =><i>x</i>+
2

yz <i>≤</i>3=><i>x</i><3 (V×
2
yz >0 )

=> <i>x∈</i>{1,2} . Sau đó ta xét tơng tự các bài trên.

c) Vì x, y, z có vai trị bình đẳng nên ta giả sử x y z 1.
Từ 2x_{+ 2}y _{+ 2}z_{= 2336 <=> 2}z₍₂x – z _{+ 2}y – z _{+1) = 2}5_.73

V× 2x – z _{+ 2}y – z _{+1 là số lẻ.}
Nên 2z_{= 2}5_{=> z = 5}

Vµ 2x – z _{+ 2}y – z _{=73 – 1 = 72 <=> 2}y – z ₍₂x – y_{+ 1) = 2}3_.9
V× 2x – y_{+ 1 là số lẻ}

Nên 2 y z _{= 2}3_{=> y – z = 3 => y = z + 3 = 5 + 3 = 8}

Vµ 2x – y _{= 9 – 1 =8=2}3_{=> x – y = 3 = > x = y + 3 = 8 + 3 = 11.}
Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là các hoán vị của (11,8,5)

<b>Bài 4: </b>

Ta xÐt A = (x + y + z)3_{– (x}3_{+ y}3_{+ z}3₎
= (x + y + z)3_{– x}3_{– ( y}3_{+ z}3₎

= (x + y + z - x)[(x + y + z)2_{+ (x + y + z)x + x}2_{] – (y + z)(y}2_{– yz + z}2₎
= (y + z)(3x2_{+ 3xy + 3xz + 3yz)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Mµ x + y + z = x3_{+ y}3_{+ z}3_{= 3}
=> A = 24

Hay 3(y + z)(x + y)(x + z) = 24

<=> (y + z)(x + y)(x + z) = 8 (1)

V× x + y + z = 3 => (x + y) + (y + z) + (x + z) = 6 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:

* NÕu x + y = 8 th× y + z = x + z = -1 <=> x = y = 4 & z = -5
* NÕu x + y = 2 th× y + z = x + z = 2 <=> x = 1, y = 1, z = 1
VËy ph¬ng trình có các nghiệm nguyên là:

(x = y = z = 1) và các hoán vị của (x = y = 4; z = -5) = (4;4;-5).

<b>Bµi 5:</b> Chøng minh ph¶n chøng

Giả sử phơng trình có nghiệm ngun dơng.
Giải phơng trình ta sẽ khơng tìm đợc nghiệm nào.

<b>III/ Ph¬ng pháp s dụng dấu hiệu chia hết và chia còn d.</b>

Phơng pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phơng trình vơ nghiệm hoặc tìm
nghiệm của phơng trình.

<b>VÝ dơ 1:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
xy + x – 2y = 3.

<i>Gi¶i:</i> xy + x – 2y = 3
<=> y(x – 2) = -x + 3 (1)

V× x = 2 không phải là nghiệm của phơng trình.
Nên PT (1) <=> <i>y</i>=<i>− x</i>+3

<i>x −</i>2 =<i>−</i>1+
1

<i>x −</i>2

y Z => x 2 Ư(1), mà Ư(1) = {<i>±</i>1} .

Xét các trờng hợp ta đợc nghiệm của PT (1) là (1; -2) và (3; 0).

<i><b>Chó ý:</b></i>

Bµi nµy cã thể đa về dạng tích (x 2)(y + 1) = 1

<b>Ví dụ 2:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng tr×nh:

xy2_{+ 2xy – 243y + x = 0 (2)}

<i>Giải:</i>

Từ (2) ta có

<i>y</i>+12

<i>x</i>=243<i>y</i>

Vì x, y R+_{=> 243y} ⋮ _{(y + 1)}2

Mµ (y; y + 1) = 1, nªn => 243 ⋮ (y + 1)2

Mµ 243 = 35_{=> 243 chia hết cho 3}2_{và 9}2_{và 1}2_{(Vì (y + 1)}2_{> 1}2₎
=> (y + 1)2_{= 3}2_{=> y = 2 => x = 54.}

Hc (y + 1)2_{= 9}2_{=> y = 8 => x = 24.}

VËy nghiệm nguyên của phơng trình (2) là (54;2); (24;8).

<b>Ví dụ 3:</b> Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:
x2_{– 3y}2_{= 17}

<i>Gi¶i:</i> x2_{– 3y}2_{= 17}

<=> x2_{= 17 + 3y}2

Vì x2_{là số chính phơng nên => x}2_{chia 3 d 0 hoặc 1 (1)}
Còn17 + 3y2_{chia 3 luôn d 2 (2)}
Từ (1) và (2) => phơng trình đã cho khơng cú nghim nguyờn.

<b>Ví dụ 4: </b>Chứng minh rằng phơng trình sau không có nghiệm tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 5:
x! + y! = 10z + 9 (4)

<i>Giải:</i>

Giải sử phơng trình (4) có nghiệm x, y 5 (x, y N)
=> x! ⋮ 10 vµ y! ⋮ 10 => x! + y! ⋮ 10 (1)
V× 10z ⋮ 10 (z N) vµ 9 ⋮ 10 => 10z + 9 ⋮ 10 (2)
Tõ (1) và (2) ta có điều giả sử là sai.

Vậy phơng trình không có nghiệm tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 5.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

a) yx + 3x – y = 38
b) 3x2_{+ 5y}2_{= 12}
c) 19x2_{+ 28y}2_{= 729.}

<b>IV/ Phơng pháp sử dụng tính chẵn lẻ.</b>

<b>Ví dụ 1:</b> Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình:
y2_{– 2x}2_{= 1}

<i>Gi¶i:</i> y2_{– 2x}2_{= 1}
<=> y2_{= 2x}2_{+ 1 (1)}

Từ (1) ta thấy y là số lẻ nên y có dạng: y = 2k + 1 (k Z*₎
=> (2k + 1)2_{= 2x}2_{+ 1 => x}2_{= 2(k}2_{+ k)}

=> x là số chẵn mà x là số nguyên tố.
=> x = 2. Thay x = 2 vào (1) ta đợc y = 3.

VËy x = 2 & y = 3 là nghiệm nguyên tố của phơng trình.

<b>Ví dụ 2:</b> Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình:
xy_{+ 1 = z (2)}

<i>Giải:</i>

Vì là nghiệm nguyên tố nên x, y 2 => xy _4.

Do đó z 5, mà z là số nguyên tố nên z lẻ => xy_{+ 1 lẻ => x}y_{chẵn => x chẵn, mà x là số nguyên tố}
nên ta có x = 2.

Thay x = 2 vào (2) ta đợc 2y_{+ 1 = z (2’)}
Ta xét hai trờng hợp chẵn, l ca y.

* Nếu y lẻ thì y có dạng 2k + 1(víi k Z+_{) => (2}2k + 1₊₁₎ ⋮ _{(2+ 1) hay (2}2k + 1₊₁₎ ⋮ _{3 => z} ⋮ ₃
điều này vô lý vì z là số nguyên tố lớn hợn 5.

Vậy y không thể lẻ.

* Nếu y chẵn mà y là số nguyên tố => y = 2, thay vào (2’) ta đợc z = 5.
Vậy nghiệm của phơng trình là (x, y, z) = (2, 2, 5).

<b>Ví dụ 3:</b>Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:

3.2x_{+ 1 = y}2_{. (3)}

<i>Giải:</i>

Ta thấy VT là sè lỴ => y2_{lỴ => y lỴ. VËy y = 2k + 1 (víi k} _Z+₎

Tõ (3) ta cã: 3.2x_{+ 1 = (2k + 1)}2_{<=> 3.2}x_{= 4k(k + 1) <=> 3.2}x – 2_{= k(k + 1). (3’)}
V× k, k + 1 không cùng tính chẵn lẻ, nên từ (3) => 2x – 2_{=2 <=> x = 3 => y = 5.}
Hc 2x – 2_{= 4 <=> x = 4 => y = 7.}

Vậy nghiệm của phơng trình là: (3;5); (4;7)

<b>Ví dụ 4:</b> Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x2_{– 2y}2_{= 5. (4)}
Gi¶i:

Tõ (4) => x là số lẻ.

Thay x = 2k + 1 (k Z) vào (4) ta đợc: 4k2_{+ 4k + 1 – 2y}2_{= 5}
<=> y2_{= 2(k}2_{+ k – 1) (4’)}
=> y2_{là số chn => y l s chn.}

Đặt y = 2t (t Z) thay vµo (4’) ta cã: 2(k2_{+ k – 1) = 4t}2_{<=> k(k + 1) = 2t}2_{+ 1 (*)}
Ta thÊy k(k + 1) lµ số chẵn, còn 2t2_{+ 1 là số lẻ => PT (*) vô nghiệm.}

Vậy phơng trình (4) không có nghiệm nguyên.

<b>V/ Phơng pháp loại trừ hay chặn dần các nghiệm.</b>
<b>Ví dụ 1:</b> Giải phơng trình nghiệm nguyên:
6x2_{+ 5y}2_{= 74. (1)}

<i>Giải:</i>

Vì 5y2 _{0 với mọi y. Từ (1) => 6x}2 _{74 => x}2 _12,3…
Mµ x2 _{N, nªn x}2 _{_0,1,4,9_} _.

- Với x2_{= 0 => x = 0 thay vào (1) khơng tìm đợc giá trị nào của y.}
- Với x2_{= 1 => x =} <i>_±</i> _{1 thay vào (1) khơng tìm đợc giá trị nào của y.}
- Với x2_{= 4 => x =} <i>_±</i> _{2 thay vào (1) tìm đợc y}2_{= 10 (loại).}

- Với x2_{= 9 => x =} <i>_±</i> _{3 thay vào (1) tìm đợc y}2_{= 4 => y =} <i>_±</i> _2.
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là: (3;2); (3;-2); (-3;2); (-3;-2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<i>Gi¶i:</i> y2_{= x(x + 1)(x + 7)(x + 8)}

<=> y2_{= (x}2_{+ 8x)(x}2_{+ 8x + 7) (1)}

Đặt x2_{+ 8x = t (t} _{Z), thay vào (1) ta đợc: y}2_{= t}2_{+ 7t.}

* Víi t > 9 ta thÊy t2_{+ 6t + 9 < t}2_{+ 7t < t}2_{+ 8t + 16. Hay (t + 3)}2_{< y}2_{< (t + 4)}2_{điều này vô lý. Vậy t >}
9 phơng trình không có nghiƯm nguyªn.

* Víi t 9 => x2_{+ 8x} _{9 <=> x}2_{+ 8x – 9} _{0 <=> -9} _x _{1 ( xÐt dÊu tam thøc bËc hai). Mµ}
x Z => x {<i>−</i>9,<i>−</i>8,<i>−</i>7, . ..<i>,</i>0,1} .

Thay 11 giá trị của x vào (1) ta đợc 11 giá trị tơng ứng của y, từ đó suy ra nghiệm của phng trỡnh.

<b>Ví dụ 3:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng tr×nh:
x2_{+ x + 1 = y}2_{. (3)}

<i>Gi¶i:</i>

Ta thÊy x2_{+ x + 1 > x}2_{víi x} _N*

x2_{+ 2x + 1 > x}2_{+ x + 1 víi x} _N*

Suy ra x2_{< x}2_{+ x + 1 < x}2_{+ 2x + 1 hay x}2_{< x}2_{+ x + 1 < (x + 1)}2
hay x2_{< y}2_{< (x + 1)}2_{(vơ lý), nên khơng tìm đợc giá trị nào của x.}
Vậy phơng trình (3) khơng có nghiệm nguyờn dng.

<i><b> Chú ý:</b></i>

Ta có thể thay đầu bài là chứng minh rằng x2_{+ x + 1 không phải là số chính phơng.}

<b>VI/ Phơng pháp đa về phơng trình d¹ng A2_{+ B}2_{+ C}2₊… …₊</b> <b>_{= 0.}</b>

<b>Ví dụ 1:</b> Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

(x – 1)(y + 1) = (x + y)2_{. (1)}

<i>Gi¶i:</i> (x – 1)(y + 1) = (x + y)2

<=> (x – 1)(y + 1) = [(x – 1) + (y + 1)]2
<=> (x – 1)2_{+ (x – 1)(y + 1) + (y + 1)}2_{= 0}
<=>

[

(<i>x −</i>1)+ <i>y</i>+1

2

]

2

+ 3

4 (y + 1)2 = 0 (1’)

V× (y + 1)2 _{0 víi mäi y vµ}

[

(<i>x −</i>1)+ <i>y</i>+1

2

]

2

0 víi mäi xy.
Nªn PT (1’) <=>

{

<i>x −</i>1+<i>y</i>+1

2 =0

<i>y</i>+1=0

<=> {<i>x</i>=1<i>y</i>=<i>−</i>1
VËy phơng trình (1) coa nghiệm là: (1;-1)

<b>Ví dụ 2:</b> Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

x2_{+ y}2_{+ xy – 3x – 3y + 3 = 0. (2)}

<i>Gi¶i:</i>

<i><b>* C¸ch 1:</b></i> x2_{+ y}2_{+ xy – 3x – 3y + 3 = 0}

<=> (x – 1)2_{+ (x – 1)(y – 1) + (y – 1)}2_{= 0}
<=>

[

(<i>x −</i>1)+<i>y −</i>1

2

]

2

+ 3

4 (y – 1)2 = 0

Lập luận nh ví dụ 1 ta đợc nghiệm của phơng trình là: (1;1).

<i><b>* C¸ch 2:</b></i> x2_{+ y}2_{+ xy – 3x – 3y + 3 = 0}

<=> (<i>x</i>2+ <i>y</i>

2
4 +

9

4+xy<i>−</i>3<i>x</i>+
3<i>y</i>

2 )+
3<i>y</i>2

4 <i>−</i>
3<i>y</i>

2 +
3

4=0

<=>

<i>y −</i>1¿2=0

(

<i>x</i>+<i>y</i>

2 <i>−</i>
3
2

)

2

+3

4¿

Lập luận tơng tự nh trên ta cũng tìm đợc nghiệm của phơng trình l: (1;1)

<b>Ví dụ 3: </b>Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

x2_{+ y}2_{+ z}2_{– xy – 3y – 2z + 4 = 0. (3)}

<i>Gi¶i:</i> x2_{+ y}2_{+ z}2_{– xy – 3y – 2z + 4 = 0}
<=> (x2_{– xy +} <i>y</i>

2

4 ) + (z

2_{– 2z + 1) + (} 3

4 y2 – 3y + 3) = 0

<=> (x - <i>y</i>

2 )2 + (z – 1)2 +
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Lập luận nh bài trên ta đợc phơng trình (3) cú nghim l: (1;2;1)

<b>Bài tập vận dụng</b>
<b>Bài 7:</b> Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:

a) 2x2_{+ y}2_{2xy + 2y – 6x + 5 = 0.}
b) x2_{– 4xy + 5y}2_{= 16.}

c) x2_{+ y}2_{+ xy – 5x – 4y + 7 = 0.}

<b>Bµi 8:</b> Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau:
a) x2_y2_{+ 2x}2_{– 2x}2_{y – 2x + 1 = 0.}

b) x2_{+ y}2_{– 4x – 4y + 8 = 0.}
c) √<i>x</i>+√<i>y −</i>1+√<i>z −</i>2=1

2(<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>) .
<b>VII/ Phơng pháp dùng bất đẳng thức</b>

<b>1. Lý thuyÕt</b>

* Dùng bất đẳng thức A2 _0.
* Dùng bất đẳng thức Côsi:
Với a, b R+_{ta có: a + b} ₂

√ab , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi (<=>) a = b.
* Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

(a1b1 + a2b2)2 _(a12_{+ a2}2_)(b12_{+ b2}2_{), dÊu b»ng xÈy ra <=>} <i>a</i>1

<i>b</i>1
=<i>a</i>2

<i>b</i>2

<i>Tỉng qu¸t:</i>

(a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 _(a12_{+ a2}2₊…_+a

n2)(b12 + b22 + … + bn2), dÊu b»ng xÈy ra <=>
<i>a</i>₁

<i>b</i>1

=<i>a</i>2
<i>b</i>2

=.. .=<i>an</i>
<i>bn</i>

<b>2. VÝ dô</b>

<b>VÝ dụ 1:</b> Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
(x2_{+ 1)(y}2_{+ 1) = 4xy. (1)}

<i>Giải:</i>

Theo Côsi ta có: x2_{+ 1} _{2x, dÊu b»ng xÈy ra <=> x = 1}
y2_{+ 1} _{2y, dÊu b»ng xÈy ra <=> y = 1}
=> (x2_{+ 1)(y}2_{+ 1)} _{4xy, dÊu b»ng xÈy ra <=> x = y = 1}
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là: (x;y) = (1;1)

<b>Ví dụ 2:</b> Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x2_{– xy + y}2_{= 3. (2)}

<i>Gi¶i:</i> x2_{– xy + y}2_{= 3}
<=>

(

<i>x −</i> <i>y</i>

2

)

2

=3<i>−</i>3<i>y</i>

2
4

V×

(

<i>x −</i> <i>y</i>

2

)

2

<i>≥</i>0 => 3<i>−</i>3<i>y</i>

2

4 <i>≥</i>0 => <i>−</i>2<i>≤ y ≤</i>2

=> <i>y∈</i>{<i>−</i>2<i>;−</i>1<i>;</i>0<i>;</i>1<i>;</i>2} . Lần lợt thay y vao (2) để tính x ta đợc các nghiệm của phơng trình là: (-2;2);
(1;2); (-2;1); (2;1); (-1;1); (1;-1).

<b>VÝ dụ 3:</b> Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

(x + y + 1)2_{= 3(x}2_{+ y}2_{+ 1). (3)}

<i>Gi¶i:</i>

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(1.x + 1.y + 1.1)2 ₍₁2_{+ 1}2_{+ 1}2_{)( x}2_{+ y}2_{+ 1}2_).

<=> (x + y + 1)2 _3(x2_{+ y}2_{+ 1). DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi} <i>x</i>

1=

<i>y</i>

1=
1
1=1 .

Vậy nghiệm của phơng trình (3) là: (1;1)

<b>Bài tập vận dụng</b>

Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình sau:
2x2_{+ 4x = 19 – 3y}2_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25></div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26></div>

<!--links-->