bài tập lớn môn toán cao cấp 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (168.64 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN CAO CẤP 2

Chú ý: Mỗi nhóm khơng dưới 8 người. Điểm tính chung cho các thành viên trong nhóm. 
Nhóm nào làm Project chất lượng sẽ được cộng điểm.

Phần 1 – Các bài luyện tập (4đ)

Bài 1. Chứng tỏ các ánh xạ với công thức xác định ảnh sau là đơn ánh nhưng khơng tồn ánh

 

4
2 1

x
f x

x



 ; b)

 

2 3

5
x
f x

x



 .

Bài 2. Chứng tỏ các ánh xạ với công thức xác định ảnh sau là tồn ánh nhưng khơng đơn ánh

 

3
2

1
1
x
f x

x





; b)

 

2 3 1

x x

f x

x

 



 .

Bài 3. Cho ánh xạ f :33 có cơng thức xác định ảnh như sau
f x y z



, ,



 2



xyz, x 3y2 ,z x4y2z



a) Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh trên là song ánh.

b) Viết công thức xác định f1.
c) Tìm tập ảnh của ánh xạ.

d) Xác định tập f1

 

 .

Bài 4. Hãy xác định



sao cho

u

là tổ hợp tuyến tính của

u u u

1

,

2

,

3:
a) u(7, 2, );  u1 (2,3,5),u2 (3, 7,8),u3 (1, 6,1) .

b) u(1,3,5); u1 (3, 2,5),u2 (2, 4, 7),u3 (5, 6, ) .

Bài 5. Chứng minh



v v1, 2,v3



là một cơ sở của



3, tìm toạ độ của

u

trong cơ sở này.
a) u(6,9,14); v1 (1,1,1),v2 (1,1, 2),v3 (1, 2, 3).

b) u(6,9,14); v1 (1,1, 2),v2 (1, 2,3),v3 (1,1,1).

Bài 6. Tìm chiều và một cơ sở của không gian con của 4
a) Các véc tơ có dạng

(

a

,

b

,

c

,

0 )

b) Các véc tơ có dạng

(

a

,

b

,

c

,

d

)

với

d



a



b

và

c



a



b

Bài 7. Tìm chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ các véc tơ sau:
a) v1(2, 4,1),v2 (3, 6, 2), v3  ( 1, 2, 1 2) .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 8. Cho 3 véc tơ v v v của không gian véc tơ V1, 2, 3 . Chứng minh:
a) Nếu



v v1, 2



độc lập thì



v1v2, v1v2



cũng độc lập.

b) Nếu



v v v1, 2, 3



độc lập thì



v1v2,v2 v3,v3v1



cũng độc lập.
Bài 9. Chứng minh rằng các tập con sau là các không gian con của 3.

V 



( , , )x y z 3 x2y z 0







( , , ) 3 0

W  x y z  x  y z .
a) Tìm một cơ sở của ,V W V, W.

b) Tìm số chiều của các khơng gian ,V W V, W.

Bài 10. Cho W W1, 2 là hai không gian véc tơ con của 4 xác định như sau:







1 ( , , , ) , , , ; 0

W  x y z t x y z t  y  z t ;







2 ( , , , ) , , , ; 0, 2

W  x y z t x y z t  x  y z  t .
Tìm một cơ sở và chiều của các khơng gian véc tơ con W W1, 2 và W1W2.
Bài 11. Trong không gian 4 xét:





span (1, 0, 0,2);(0,2,1, 1);( 1, 6, 3, 7)

V    , W span (3,2, 0,1);(1,2,1,1)





Tìm số chiều của V W V, , W .

Bài 12. Cho 2 5 1

3 0 4

A   


 

, 1 2 3

0 1 5

B    


 

, 0 1 2

1 1 1

C    

 

 

. Tính 3A4B2C.

Bài 13. Cho

1 3
1 2
3 4
A

 

 

  

 

 

0 1
3 2
2 3
B

 

 

 

 

 

2 3

1 2

4 1

C



 

 

 

  

 

. Tính:

a) (AB)C ; b) A(BC) ; c) A B C ; d) t, t, t A B ; e) t BC . t

Bài 14. Trong không gian véc tơ

M

2 các ma trận vng cấp 2. Tìm tọa độ của ma trận
2 3

4 7

A  


 

trong cơ sở 1 1
1 1

 

 

 

, 0 1
1 0



 

 

 

, 1 1
0 0



 

 

 

, 1 0
0 0

 

 

 

Bài 15. Tính các định thức

0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0

; b)

2 5 1 2

3 7 1 4

5 9 2 7

4 6 1 2



 



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 16. Cho

1 3 3

3 5 3

6 6 4

t
A t
t
   
 
 
    
   
 
 

a) Tìm các giá trị của t để A khả nghịch.
b) Khi t 3 tìm A1.

Bài 17. Tìm hạng của các ma trận sau:

0 1 1 1

1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0

 

 

 , b,

4 3 5 2 3

8 6 7 4 2

8 3 8 2 7

4 3 1 2 5

8 6 1 4 6


 
  
 

  
 

 
   
 
, c,

3 1 2

1 4 7 2

1 10 17 4

4 1 3 3

m
 
 
 
 
 
 

Bài 18. Các ma trận sau có khả nghịch khơng, nếu khả nghịch hãy tìm ma trận nghịch đảo:

1 1 2

1 2 1

2 3 2

C

 
 
 
 
  
 
; b)

1 1 2
2 3 2
1 3 1
D
 
 

 
  
 
.

Bài 19. Giải các hệ phương trình sau:

1 2 3 4

2 2 4

4 3 2 6

8 5 3 4 12

3 3 2 2 6

x x x x

   


   



   

    


; b)

1 2 3 4

2 7 13 5 4

5 2 1

2 3 2 3

3 4 3

x x x x

   


   


    

     

.

Bài 20. Tìm điều kiện của , ,a b c để hệ phương trình sau có nghiệm:

2 3

2 6 11

2 7

x y z a

x y z b

x y z c

  



  

   


; b)

2 3

2 4

3 2

x y z a

x y z b

x y z c

  


  

   

.

Bài 21. Tìm hệ nghiệm cơ bản và số chiều của khơng gian nghiệm của các hệ phương trình
sau:

1 2 3 4

2 4 20 0

4 2 7 15 0

2 5 3 0

x x x x

   


   

    


; b) 2 7 4 0

2 3 6 0

x y z t

   


   

;

Bài 22. a) Chứng tỏ v1(1, 2,3),v2 (2, 5,3),v3 (1, 0,10) là một cơ sở của 3.

b) Tìm cơng thức xác định ảnh ( , , )f x y z của ánh xạ tuyến tính f :33 biết rằng
( ) (1, 0, 0), ( ) (0,1, 0), ( ) (0, 0,1)

1 2 3

f v  f v  f v  .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1 2 3 4 5

2 3 4 5

3 2 3 0

5 4 3 3 0

2 2 6 0

x x x x x

x x x x

    



     




    



    



Hệ nào trong số các hệ véc tơ sau là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình trên.

a) 1 



1, 2,1, 0, 0 ;



2 



1, 2, 0,1, 0 ;



3 



0, 0,1, 1, 0 ;



4 



1, 2, 3, 2, 0 ; 



b) 1 



1, 2,1, 0, 0 ;



2 



4, 0, 0, 6, 2 ;



3 



0, 0, 1,1, 0 ;



Bài 24. Cho phép biến đổi tuyến tính f :33 có ma trận chính tắc là

0 2 1

1 4 0

3 0 0

A

 

 

  

 

 

Hãy tìm ma trận của f trong cơ sở



v v v1, 2, 3



; Với v1(1,1,1), v2 (1,1, 0), v3 (1, 0,0).

Bài 25. a, Viết ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở chính tắc của 3. Tìm một cơ
sở của 3để biểu thức tọa độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc:

2 2 2

( 1 2, , 3) 1 5 2 4 3 2 1 2 4 1 3
Q x x x x  x  x  x x  x x .

b, Tìm một cơ sở của 3để phép biến đổi tuyến tính f có ma trận dạng chéo: 
( , , ) ( , 2 3 2 , 2 )

f x y z  x y x y z xy z .
Phần 2 – Dự án nhỏ (6đ)

Hãy nêu 2 ứng dụng của mơn Đại số tuyến tính mà em biết, chẳng hạn: trong kinh tế học, kỹ
thuật, dân số,...

Yêu cầu: Trình bày cẩn thận, cụ thể cho ra một Project. Khơng nêu gạch đầu dịng mà phải 
nêu bài tốn xuất hiện chẳng hạn trong dân số (trong kinh tế,...) thế nào? Giải quyết ra sao? 
Dùng kiến thức gì trong chương trình? Trình bày càng chi tiết càng tốt.

Tài liệu gợi ý:

 Gilbert Strang, Introduction to Linear algebra, MIT, WELLESLEY-CAMBRIDGE 
PRESS, 2005;

 Gilbert Strang, Linear algebra and Its applications, Thomson Brooks, 2006; 
 David Lay, Linear algebra and Its applications, Addison-Wesley, 2012;

 Stephen Boyd, L. Vandenberghe, Introduction to Applied linear algebra, 
CAMBRIDGE University Press, 2018;

 GOOGLE.

</div>

bài tập lớn môn toán cao cấp 2

BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN CAO CẤP 2

<sub> </sub>

 

 

 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

 



<i>u</i>

<i>u u u</i>

,

,







<i>u</i>

(

<i>a</i>

,

<i>b</i>

,

<i>c</i>

,

0

)

(

<i>a</i>

,

<i>b</i>

,

<i>c</i>

,

<i>d</i>

)

<i>d</i>



<i>a</i>



<i>b</i>

<i>c</i>



<i>a</i>



<i>b</i>









































<i>M</i>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>