Một số tính chất về nghiệm của hệ phương trình navier stokes không thuần nhất trong rn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (860.65 KB, 39 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
SOULADDA PONGPANYA
MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
KHƠNG THUẦN NHẤT TRONG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2020
n
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
SOULADDA PONGPANYA
MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
KHƠNG TH̀N NHẤT TRONG
n
Ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy
THÁI NGUYÊN - 2020
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và
không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc
thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020
Người viết luận văn
Souladda PONGPANYA
i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Thị Thủy. Do
đây là những kiến thức khá mới mẻ và khoảng thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên
luận văn khơng tránh khỏi những sai sót. Tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của q thầy cơ và mọi người để luận văn được hồn thiện hơn.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thị Thủy đã trực tiếp giao
đề tài, hướng dẫn và giúp đỡ tận tình trong suốt q trình nghiên cứu và hồn thành
luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn cùng các q thầy cơ
đã quan tâm, nhiệt tình giảng dạy trong suốt khóa học. Tơi cũng xin cảm ơn gia đình,
bạn bè đã giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập và hồn thành luận văn.
Trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020
Người viết luận văn
Souladda PONGPANYA
ii
MỤC LỤC
Lời cam đoan ................................................................................................................i
Lời cảm ơn ................................................................................................................... ii
Mục lục ....................................................................................................................... iii
Lời nói đầu ................................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................... 2
1.1. Không gian hàm ............................................................................................. 2
1.1.1. Không gian hàm trơn................................................................................... 2
1.1.2. Không gian hàm suy rộng ........................................................................... 3
1.1.3. Khơng gian Sobolev .................................................................................... 6
1.2. Phương trình Navier – Stokes ....................................................................... 15
Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
NAVIER – STOKES KHƠNG TH̀N NHẤT TRONG
n
.............................. 20
2.1. Định nghĩa nghiệm yếu ................................................................................. 20
2.2. Sự tồn tại và tính chất của nghiệm. ............................................................... 21
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 33
iii
LỜI NĨI ĐẦU
Việc nghiên cứu phương trình Navier – Stokes đã được đặt ra từ khá sớm ở đầu
thế kỳ XIX và lần đầu tiên được Claude – Louis Navier thiết lập vào năm 1821 cho các
chất lỏng không nén được và năm 1822 cho các chất lỏng nhớt. Nhưng Navier đi đến
phương trình Navier – Stokes mà chưa hồn toàn nhận thức rõ tầm quan trọng của các
yếu tố xuất hiện trong phương trình. Cho đến nay đã có rất nhiều cơng trình nghiên
cứu về loại phương trình Navier – Stokes. Tuy nhiên, vấn đề tồn tại nghiệm mạnh tồn
cục và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức lớn.
Vì nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ Navier-Stokes nói riêng
và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở
nên thời sự và cấp thiết. Như được đề cập đến trong các cuốn chuyên khảo của
R.Temam [16], J. Frehse & M. R ̊užička [6], [7], [8], [9], G. P. Galdi [11], [12] và các
bài báo tổng quan gần đây của C. Bardos & B. Nicolaenko [14] và R. Farwig,
Darmstadt & H. Sohr, Paderborn [10] những vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu các
phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng là: Sự tồn tại, tính duy nhất và
tính chính quy của nghiệm. Tính chính quy ở đây có thể là tính chính quy theo biến
thời gian hoặc tính chính quy theo biến khơng gian.
Mục đích của luận văn “ Một số tính chất về nghiệm của hệ phương trình
Navier-Stokes khơng thuần nhất trong
n
” là trình bày một số kết quả nghiên cứu về
nghiệm của hệ phương trình Navier – Stokes khơng thuần nhất.
Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong phạm vi của 34 trang, trong đó gồm
phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị của các không gian hàm: không
gian các hàm trơn, không gian các hàm suy rộng, không gian Sobolev và hệ phương
trình Navier – Stokes.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Trình bày định nghĩa nghiệm yếu,
sự tồn tại, tính duy nhất, tính chính quy về nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes
khơng thuần nhất trong
n
.
1
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong Chương 1 trình bày lại một số kiến thức cơ sở làm nền tảng để nghiên
cứu Chương 2. Các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong [1], [2], [3], [5], [15].
1.1. Không gian hàm
1.1.1. Không gian hàm trơn
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử
n
là một miền với n 1. Nếu n = 1, = ( a, b ) là một
khoảng mở với − a b +.
Giả sử k , ta kí hiệu C k ( ) là không gian của tất cả các hàm
u: →
u ( x)
x
sao cho D u tồn tại và liên tục trong với mọi
n
0
,0 k .
C 0 ( ) là không gian của tất cả các hàm u : → .
C
( ) :=
C k ( ) gọi là không gian hàm trơn trong .
k =0
Giả sử M là bao đóng của tập M
n
. Ta kí hiệu supp u := x ; u ( x ) 0
là giá của hàm u : → .
Nếu k
0
hoặc k = thì ta đặt
C0k ( ) := u C k ( ) ; supp u compact , supp u .
Do đó u C0k ( ) nghĩa là u C k ( ) và u = 0 trong ngoại trừ một tập con
compact nào đó của . Đặc biệt C0k ( ) là không gian của tất cả các hàm trơn u bằng
không ngoại trừ một tập con compact nào đó phụ thuộc vào u.
Giả sử u M là hạn chế của hàm u trên tập con M. Với k
( )
hiệu C k là không gian của tất cả các hạn chế u với u C k
sup
k , x
n
D u ( x ) .
2
0
hoặc k = , ta kí
( ) sao cho
n
Nếu k = thì ta thay k bởi .
Ta xác định chuẩn
u
Ck
= u
D u ( x ) .
( ) := sup
k , x
Ck
Nếu k = thì ta thay k bởi .
Ta ký hiệu
( )
k
Cloc
:= u ; u C k (
n
).
Giả sử n 2,0 T . Ta xác định không gian của trường vectơ không phân kỳ trơn
C0, ( ) := u C0 ( ) ; div u = 0 .
n
Ta xét không gian thử
C0 ( ( 0, T ) ; C0, ( ) ) := u C0 ( ( 0, T ) ) ; div u = 0 ,
n
trong đó div áp dụng cho các biến số x = ( x1 ,..., xn ) và
C0 ( 0, T ) ; C0, ( ) ) := u 0,T ) ; u C0 ( ( −1, T ) ) ; div u = 0 .
n
1.1.2. Không gian hàm suy rộng
Giả sử
n
là một miền bất kỳ với n 1.
Trong lý thuyết hàm suy rộng, không gian tuyến tính C0 ( ) của hàm trơn trên
gọi là không gian thử và C0 ( ) gọi là hàm thử. Cho phiếm hàm tuyến tính
F : → F ( ) , C0 ( ) .
Hàm F liên tục khi và chỉ khi với mỗi miền con G , G , tồn tại k
0
và
C = C ( F , G ) 0 sao cho
F ( ) C
( )
Ck G
thỏa mãn với mọi C0 ( ) .
Định nghĩa 1.1.2. Khơng gian tuyến tính C0 ( ) của tất cả các phiếm hàm tuyến tính
F : C0 ( ) →
F ( ) ,
3
C0 ( )
liên tục, được gọi là không gian hàm suy rộng trong . Kí hiệu
F ( ) = F , = F ,
là giá trị của F tại .
Mỗi hàm f L1loc ( ) xác định một hàm suy rộng được định nghĩa bởi
f ,
Ta kí hiệu hàm suy rộng là f ,. = f ,.
= f , := f dx.
hoặc f . Do đó ta xác định f với hàm suy
rộng f ,. và phép nhúng
L1loc ( ) C0 ( ) .
Mỗi f L1loc ( ) gọi là một hàm suy rộng chính quy.
Xét tốn tử vi phân bất kỳ D = D11 ...Dn n với = (1 ,..., n )
n
0
. Với mỗi
F C0 ( ) hàm suy rộng D F C0 ( ) được định nghĩa bởi
D F , := ( −1) F , D , C0 ( ) .
Đặc biệt, với mỗi f L1loc ( ) hàm suy rộng D f = D f ,. C0 ( ) được định
nghĩa bởi
D f , := ( −1)
f , D = ( −1)
f ( D )dx.
Nếu D f chính quy thì tồn tại một hàm của L1loc ( ) biểu thị qua D f sao cho
D f , = D f , = ( D f )dx với mọi C0 ( ) .
Kí hiệu D f L1loc ( ) là D f chính quy và coi như một hàm trong L1loc ( ) .
Giả sử F C0 ( ) và
D :=
a D ,
k
0
, a
(1.1)
k
là toán tử vi phân bất kỳ. DF C0 ( ) được định nghĩa bởi
DF , = ( −1)
k
a F , D , C0 ( ) .
4
(1.2)
Đặc biệt, nếu f L1loc ( ) và Df được định nghĩa bởi (1.2) là hàm suy rộng chính quy
xác định bởi một hàm được biểu thị qua Df thì ta viết đơn giản Df L1loc ( ) . Khi đó
Df , =
Giả sử
Df , = ( Df ) dx =
f L1loc ( )
( −1)
k
a f , D với mọi C0 ( ) .
và = (1 ,..., n )
n
0
D f
Nếu
.
chính quy,
D f L1loc ( ) thì ta gọi D f là đạo hàm yếu cấp của f . Nếu 1 q thì ký
hiệu D f Lq ( ) là D f chính quy và là một hàm trong Lq ( ) , khi đó ta viết
D f
q
.
Tương tự, Df Lq ( ) với D thỏa mãn (1.1) là chính quy.
Ta xét khơng gian tương ứng cho trường vectơ. Giả sử m
C0 ( ) := (1 ,..., m ) , j C0 ( ) ,
và
j = 1,..., m
m
là không gian hàm thử có giá trị vectơ = (1 ,...,m ) được trang bị tôpô tương ứng.
Với mỗi F = ( F1 ,..., Fm ) , Fj C0 ( ) , j = 1,..., m ta định nghĩa hàm
F , ,
F:
= (1 ,..., m ) C0 ( )
m
bởi
F , = F , := F1 ,1 + ... + F1 ,m .
Ta ký hiệu
m
m
C0 ( ) = C0 ( ) =
( F ,..., F ); F C () , j = 1,..., m
1
m
0
j
là không gian suy rộng của không gian thử C0 ( ) .
m
1
Giả sử f Lloc ( ) và = (1 ,..., n )
m
f , =
n
0
thì f = ( f1 ,..., f m ) xác định hàm suy rộng
f , = f . dx
trong đó f . = f11 + ... + f mm , = (1 ,..., m ) C0 ( ) . Khi đó ta có phép nhúng
m
m
m
L1loc ( ) C0 ( ) .
Để xác định nghiệm yếu của phương trình Navier – Stokes ta xét không gian con của
hàm thử không phân kỳ
5
C0, ( ) := C0 ( ) ; div = 0 C0 ( ) .
n
n
Không gian C0, ( ) của hàm tuyến tính liên tục được định nghĩa trên C0, ( ) là
không gian của tất cả các hạn chế
F C
0,
Do đó
()
n
, F C0, ( ) .
C0, ( ) = F C
0,
( )
n
, F C0, ( ) .
2
Xét không gian Hilbert L ( ) với tích vơ hướng
n
u, v
= u , v := u ( x ) .v ( x ) dx
và không gian con
L2 ( ) := C0, ( )
n
là bao đóng trong chuẩn .
2
.
2
L2 ( )
n
.
2
Với mỗi u L ( ) xác định hàm u , . :
n
u , , C0 ( ) ta được
n
phép nhúng tự nhiên
n
n
L2 ( ) C0 ( ) .
Tương tự, với mỗi u L2 ( ) xác định hàm u , . :
u , , C0, ( )
được
phép nhúng tự nhiên
L2 ( ) C0, ( ) .
2
Sau đó, ta sử dụng phép chiếu trực giao P : L ( )
L2 ( ) được gọi là phép chiếu
n
Helmholtz.
1.1.3. Không gian Sobolev
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử
n
là một miền với n 1, 1 q , khi đó Lq ( ) là
khơng gian Banach của tất cả các hàm thực đo được Lebesgue u được định nghĩa trên
có chuẩn hữu hạn
uq= u
q ,
= u
Lq ( )
= u
6
Lq
:=
(
)
1
q
u ( x ) dx .
q
Nếu q = 2 thì Lq ( ) = L2 ( ) trở thành không gian Hilbert với tích vơ hướng
u, v
= u , v := u ( x ) .v ( x ) dx, với u , v L2 ( ) .
Nếu q = , ta giả sử Lq ( ) = L ( ) là không gian Banach thông thường của tất cả
các hàm đo được u với cận trên đúng hữu hạn
u
Giả sử q :=
= u
,
= u
L ( )
= u
L
:= ess − sup u ( x ) .
x
q
là số mũ liên hợp (đối ngẫu) của q, ta đặt q = nếu q = 1 và
q −1
q = 1 nếu q = . Đặt
1 1
1
1
= 0 nếu q = và = 0 nếu q = , ta ln có + = 1.
q q
q
q
Nếu u Lq ( ) , v Lq ( ) thì u.v L1 ( ) và bất đẳng thức Holder không đổi
uv 1 u
q
v q .
Giả sử 1 , q , r sao cho
thì uv L ( ) . Đặt q :=
(1.3)
1 1 1
= + và u Lq ( ) , v Lr ( )
q r
q
r
sao cho q := và áp dụng (1.3) ta có
uv u
Giả sử 1 q r ,0 1 sao cho
thì u L ( ) . Đặt u = u u
1−
q
v r.
(1.4)
1 1−
= +
và u Lq ( ) Lr ( )
q
r
và áp dụng (1.4), sau đó sử dụng bất đẳng thức
Young, ta có
a b1− a + (1 − ) b a + b
với a, b 0 ta có
u
u
q
v
1−
r
u q + u r.
(1.5)
Xét không gian Lqloc ,1 q . Ta nói u Lqloc ( ) khi và chỉ khi u Lq ( B ) với
( )
mỗi hình cầu mở B , B . Ta nói u Lqloc khi và chỉ khi u Lq ( B ) với
mỗi hình cầu B
n
, B . Ta có thể viết đơn giản u thay vì u hoặc u B .
7
Do đó
( )
Lq ( ) Lqloc Lqloc ( ) .
Nếu bị chặn thì
( )
Lq ( ) Lqloc , Lq ( ) Lqloc ( ) .
( ) ( )
Giả sử u j = u j
j =1
là một dãy trong Lq ( ) . Ta có u = lim u j trong Lq ( )
j →
khi và chỉ khi u Lq ( ) và lim
j →
( )
trong Lqloc khi và chỉ khi lim
j →
u −uj
u −uj
= 0. Do đó u = lim u j trong Lqloc ( ) hoặc
j →
q
Lq ( B )
= 0 hoặc lim
j →
đổi với mọi hình cầu mở B , B hoặc B
n
u −uj
Lq ( B )
= 0 không
, B .
Giả sử m , ta định nghĩa không gian Lq của trường vectơ u = ( u1 ,..., um )
Lq ( ) := u = ( u1 ,..., um ) , u j Lq ( ) ,
m
j = 1,..., m
là không gian Banach với chuẩn
u
q
= u
q ,
= u
Lq ( )
= u
1
q
q
:= u j .
q
j =1
m
Lq
2
Khi đó khơng gian L ( ) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
m
u, v = u, v
m
:= u j , v j
j =1
với u.v = u1v1 + ... + umvm .
Bất đẳng thức (1.3), (1.4) và (1.5) vẫn đúng trong trường hợp vectơ có giá trị.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử
n
là một miền bất kỳ với n 1, k , 1 q .
Không gian Lq − Sobolev bậc k W k ,q được định nghĩa là không gian của mọi
u Lq ( ) sao cho D u Lq ( ) với mọi k .
Khi đó D u là hàm suy rộng chính quy được định nghĩa bởi một hàm biểu thị
qua D u .
Chuẩn trong W k ,q được định nghĩa bởi
8
u
W
k ,q
u
= u
W k ,
W
k ,q
= u
= u
W k ,
k ,q
= u
= u
k ,
:
=
D u
k , q ,
k
= u
k , ,
1
q
với 1 q ,
q
q
:= max D u
k
với q = .
Do đó, khơng gian L2 − Sobolev bậc nhất W1,2 được định nghĩa là không
gian của u L2 ( ) sao cho
D u L2 ( ) với mọi 1.
Chuẩn trong W1,2 được định nghĩa bởi
u
1,2
W
= u
1,2
W
= u 1,2 = u 1,2, := D u
1
1
2
.
2
2
Khi đó
W01,2 ( ) := u W1,2 ( ) ; supp u compact , supp u
và
W0,1,2 ( ) := u W1,2 ( ) ; div u = 0 .
n
❖ Một số tính chất
Vết của ánh xạ f → f theo định nghĩa một tốn tử tuyến tính bị chặn từ
W ,q () sang W −1/ q ,q () . Ngược lại, tồn tại một tốn tử tuyến tính bị chặn
E1 : W 1−1/ q,q () → W 1,q () với E 1 (h) = h
và một toán tử tuyến tính bị chặn
E 2 : W 2−1/ q ,q () W 1−1/ q ,q () → W 2,q ()
thỏa mãn
E 2 (h1 , h2 ) = h1 , N E 2 (h1 , h2 ) = h2 .
Cho 1 r q, 1/ n + 1/ q 1/ r và f = ( f1 ,....., f n ) Lq (), div f Lr (). Khi
đó, sử dụng E1 với q được thay bằng q , từ các ước lượng phép nhúng
9
E 1 ( h)
r ',
C ( E 1 ( h)
+ E1 (h)
q ',
q ',
với C = C (, q, r ) 0 và đồng nhất thức của Green
divf , E1 (h)
= N f ,h
− f , E1 (h)
với h W 1/ q ,q ' () , ta nhận được N f W −1/ q ,q ' () và ước lượng
N f
1
− ;q ,
q
C( f
q ,
+ divf
r ,
(1.6)
với C = C (, q, r ) 0
Ngược lại, đó là một tốn tử tuyến tính
Eˆ : W −1/ q ,q () → Lq (),
thỏa mãn div Eˆ (h) Lr (), N Eˆ (h)
Eˆ (h)
q ,
+ divEˆ (h)
r ,
= h và ước lượng
C h
−1/ q ;q ,
, h W −1/ q ,q ()
với C = C (, q, r ) 0 . Từ (1.6) vậy H W −1/ q ,q () cũng được xác định và thỏa
mãn các ước lượng
H
−1/ q ;q ,
C ( H
q ,
+ H
r ,
với C = C (, q, r ) 0.
Xét f = div F , k , g trong (1.9) và bài toán Neumann yếu
H = k , N H = N g
(1.7)
trong đó H Lq () được coi là một nghiệm. Khi đó ta sử dụng Eˆ ( h) với
1, r
h = N g W −1/ q ,q () và chọn một nghiệm b(h) W0 () của phương trình
div b(h) = div Eˆ (h) − k Lr (). Từ đó
( divEˆ (h) − k ) dx = N gdS − kdx = 0 .
Vậy tồn tại một nghiệm thỏa mãn
10
b( h)
q ,
C1 ( b(h)
r ,
C2 ( divEˆ (h
+ k
r ,
r ,
)
với C j = C j (, q, r ) 0, j = 1, 2. Viết (1.7) dưới dạng
H = div( Eˆ (h) − b(h)), N (H − Eˆ (h) − b(h)) = 0
(1.8)
ta thấy rằng là một nghiệm duy nhất H Lq (), thỏa mãn
H
q ,
C1 ( Eˆ (h)
q ,
+ b( h)
q ,
C2 ( N g
−1/ q ;q ,
+ k
r ,
)
và do đó
H
C( N g
−1/ q ;q ,
−1/ q ;q ,
+ k
r ,
(1.9)
)
với C = C (, q, r ) 0, C j = C j (, q, r ) 0, j = 1, 2.
Đối với các chứng minh của đồng nhất thức (1.10) dưới đây ta sẽ xấp xỉ k , g
trong (1.7) bằng hàm số trơn k j , g j , j
lim k − k j
j →
r ,
như vậy
= 0,lim N ( g − g j )
j →
−1/ q ;q ,,
=0
và
k dx = N g dS .
j
j
Để chứng minh sự tồn tại, ta sử dụng (1.8), F = Eˆ (h) − b(h) Lr () và hàm
số trơn Fj , j , thoả mãn
lim Fj − F
j →
q ,
= 0 và lim div ( Fj − F )
j →
r ,
=0 .
Thiết lập K j = div Fj , g j = F j| và sử dụng (1.6) với 𝑓 được thay thế bởi F − F j
ta nhận được các tính chất mong muốn. Cho H j Lq () là các nghiệm trơn tương
ứng của (1.7). Sử dụng (1.8), (1.9) với H , g , k bị thay thế bởi H − H j ,
g − g j , k − k j , ta thấy rằng
11
lim H − H j
j →
q ,
= 0 và lim H − H j
j →
−1/ q ;q ,
=0 .
Khi đó, sử dụng các toán tử Stokes Aq ' và phép nghịch đảo một Aq−'1 dưới đây, ta
được đồng nhất thức quan trọng
H , Aq−'1v
= lim H j − Aq−'1v
j →
(
= lim H j , N Aq−'1v
j →
= H , N Aq−'1v
(1.10)
+ H j , Aq−'1v
)
q'
đối với mọi v L () từ đó Aq−'1v = 0 và Aq−'1v| .
Cho f = ( f1 ,...., f n ) Lq () . Khi đó trong (1.8) bài tốn Neumann yếu
H = div f , N (H − f )| = 0
có một nghiệm duy nhất H Lq () , thoả mãn
H
q ,,
C f
q ,
với C = C (, q) 0 . Thiết lập Pq f := f − H ta nhận được phép chiếu Helmholtz là
q
một toán tử tuyến tính bị chặn từ Lq () lên L () , thỏa mãn Pq2 = Pq và Pq' = Pq ' trong
đó Pq' là tốn tử đối ngẫu.
Các tốn tử Stokes Aq với miền
D( Aq ) = Lq () W01,q () W02,q ()
và
R( Aq ) = Lq ()
được xác định bởi
Aq u = − Pq u , u D ( Aq )
12
là trù mật xác định tốn tử đóng thỏa mãn
Aq u , v
= u , Aq 'v
sao cho u D( Aq ), v D( Aq ) và Aq u = A u với 1 q, , u D ( Aq ) D ( A ).
Phân số bậc
Aq : D( Aq ) → Lq () 1,
với
D( Aq ) D( Aq ) Lq ()
được xác định và song ánh, nghịch đảo của nó Aq− = ( Aq ) −1 bị chặn từ Lq () lên
R ( Aq ) −1 = D( Aq ) .
( ) =A
Hơn nữa, nó cố định Aq
'
q'
. Ta lưu ý rằng chuẩn u
( )
tương đương cho u D Aq , cũng như chuẩn u
1;q ,
và Aq1/2u
2;q ,
q ,
và Aq u
q ,
là
là tương đương
( )
cho u D Aq . Có ước lượng phép nhúng
u
q ,
C A u
r ,
( )
, u D A , 1 q , 2 +
n n
=
q
(1.11)
cố định với C = C(, q, ) 0.
Sử dụng Aq1/2 ta xác định các toán tử Yosida J m = ( I + m −1 Aq1/2 ) −1 cho m
.
Biết rằng trong đó có tồn tại C = C(, q) 0 sao cho
J m + m −1 Aq1/2 J m C , m
(1.12)
q
q
trong các toán tử tiêu chuẩn trên L () và J mu → u trong L () như là m → liên
quan đến các toán tử Stokes.
Sử dụng (1.11) ta nhận được cho f = divF , f Lq () , F Lr () và tùy ý
v Lq () ước lượng
'
f , Aq−'1v
= F , Aq−'1v
13
= F , Ar−' 1/2 Ar−' 1/2v
C1 F
Ar−'1/2v
r ,
r ',
C2 F
r ,
v
q ',
với C j = C j (, q, ) 0, j = 1, 2 . Điều này chứng minh sự tồn tại duy nhất của
fˆ Lq () thỏa mãn f , Aq−'1v
fˆ
q ,
^
với mọi v Lq () và ước lượng
'
= f ,v
C F
r ,
, C = C (, q, ) 0.
Tương tự trong lý thuyết của sự phân phối, ta đặt theo định nghĩa fˆ = Aq−1Pq f Lq ().
Khi đó Aq−1 Pq f được xác định rõ bởi mối quan hệ
Aq−1Pq f , v
= f , Aq−'1v
, v Lq () .
Tổng quát hơn, cho f C0 () là phân phối bất kỳ nào đó, vậy
f ,w
cũng
được định nghĩa (bởi bất kỳ phần mở rộng liên tục naò đó) cho mọi hàm số tiêu chuẩn
w = D( Aq' ), 0 1 và thỏa mãn ước lượng
f , Aq−' v
Cf v
q ',
, v Lq ()
khi đó Aq−' Pq f Lq () cũng được xác định bởi mối quan hệ
Aq− Pq f , v
= f , Aq−' v
, v Lq ' ()
cho Aq−' Pq f theo nghĩa suy rộng và nó cố định
Aq−' Pq f
q
Cf .
Ta nói đến các ước lượng
Aq−'1/2 Pq div w C w q , w Lq () , 1 q
q
với C = C ( , q ) 0 .
14
Cho w C0,2 () và v = Aq w . Khi đó, sử dụng (1.11) và các ước lượng vết,
ta được
g , N Aq−1v
C1 g
C2 g
−1/ q ;q ,
C3 g
−1/ q ;q ,
−1/ q ;q ,
Aq−'1v
v
Aq−'1v
1/ q ;q,
1;q ',
q ,
với C j = C j (, q) 0, j = 1, 2,3 . Từ Lq () = ( Lq () ) , có một G Lq () duy nhất thỏa
mãn
G, v
= g , N Aq−'1v
G
q ,
C g
cho v Lq ()
−1/ q ;q ,
với C = C(, q) 0 .
Cuối cùng ta cần tính chất trù mật
AqC0,2 ()
q ,
= Lq () .
(1.13)
q
Thật vậy, xét f L () , chọn f j C0, () , j , với lim f − f
j →
j q ,
và cho u j Aq−1 f j . Các tính chất tính chính quy cho thấy rằng u j C0,2 () cho j
=0
và
q
ta thấy rằng Aq u j = f j → f trong L () như j → . Điều này được chứng minh (1.13).
Hơn nữa, chứng minh này cho thấy rằng C0,2 () D( Aq ) là một lõi của D ( Aq ) .
1.2. Phương trình Navier – Stokes
Giả sử miền mở,
các biến số x = ( x1 ,..., xn )
. Trong phần này, ta giả sử trơn, gồm
gọi là không gian biến, 0,T ) là khoảng thời gian với
n
0 T , t 0, T ) gọi là biến thời gian.
Trong trường hợp n = 2 và n = 3, ta giả sử miền được lấp đầy với chất lỏng
như nước, khơng khí, dầu,...
u ( t , x ) = ( u1 ( t , x ) ,..., un ( t , x ) ) là vận tốc của chất lỏng tại ( t , x ) = ( t , x1 ,..., xn ) ,
t 0, T ) , x .
15
p ( t , x ) thể hiện áp suất tại ( t , x ) .
f ( t , x ) = ( f1 ( t , x ) ,..., f n ( t , x ) ) là ngoại lực đã biết.
Trong mơ hình vật lý, ta giả sử rằng chuyển động của chất lỏng được mô tả bằng
phương trình
ut − vu + u.u + p = f ,
div u = 0,
(1.14)
với t 0, T ) , x . Phương trình này gọi là phương trình Navier – Stokes.
Điều kiện đầu tiên có nghĩa là sự cân bằng các lực theo định luật Newton. Điều
kiện div u = 0 có nghĩa là chất lỏng đồng nhất và không nén được. Hằng số v 0 là
độ nhớt của chất lỏng, nó phụ thuộc vào tính chất vật lý và là hằng số cố định.
u t là đạo hàm theo thời gian, ta viết
ut = u =
d
u = u.
dt
t
Ta có
ut + u.u = ut + u1
+ ... + un
u
xn
x1
mô tả gia tốc toàn phần của một phần nhỏ chất lỏng.
Dj =
,
x j
j = 1,..., n , = ( D1 ,..., Dn ).
Số hạng
−vu = −v ( D12 + ... + Dn2 ) u
mô tả ma sát giữa những phần nhỏ của chất lỏng.
p = ( D1 ,..., Dn ) p là gradient của áp suất p.
Phương trình (1.14) là hệ n + 1 phương trình vi phân từng phần với n + 1 biến
( t , x1 ,..., xn )
và n + 1 hàm ( p, u1 ,..., un ) chưa biết.
Ta thêm điều kiện
u = 0 nếu
tức là u ( t , x ) = 0 với mọi t 0, T ) , x .
16
(1.15)
Ta thêm điều kiện ban đầu
u ( 0 ) = u0
(1.16)
với vận tốc ban đầu u 0 tại t = 0 tức là u ( 0, x ) = u0 ( x ) với mọi x . Ta kí hiệu
u ( t , .) = u ( t ) , t 0, T ) .
Do đó (1.16) có thể viết dưới dạng u ( 0, .) = u0 (. ) .
Nếu không bị chặn ta giả sử
u ( t , x ) → 0 khi x → .
Phương trình (1.14) cùng với điều kiện (1.15) và (1.16) là hệ phương trình
Navier – Stokes với điều kiện u0 , f .
Ký hiệu không gian Euclid
n
:= ( x1 ,..., xn ) , x j ,
j = 1,..., n
với chuẩn
1
x := ( x12 + ... + xn2 ) 2 .
Ta viết
e1 := (1,0,...,0 ) , e2 := ( 0,1,0,...,0 ) ,..., en := ( 0,...,0,1)
và
x = ( x1 ,..., xn ) = x1e1 + ... + xn en
D j :=
n
.
, j = 1,..., n là đạo hàm riêng.
x j
:= ( D1 ,..., Dn ) là gradient.
Căn cứ vào chỉ số = (1 ,..., n )
n
0
, ta định nghĩa toán tử
1
1
2
n
D := D1 D2 ...Dn
2
n
=
...
x1 x2
xn
trong đó D j j = I là đồng nhất thức nếu j = 0, j = 1,..., n. Trong nhiều trường hợp, kí
hiệu I là đồng nhất thức.
2 := ( D j Dk )
n
j , k =1
là ma trận của đạo hàm cấp hai.
17
Kí hiệu
x = ( x1 ,..., xn )
n
:= 1 + ... + n
với
, y = ( y1 ,..., yn )
n
1
2 2
n
x := ( x12 + ... + x
)
= (1 ,..., n )
n
0
Tuy nhiên nếu
.
thì ta kí hiệu
2
x − y := ( x j − y j )
j =1
n
,
1
2
đối với chuẩn Euclid.
x. y = x1 y1 + ... + xn yn là tích vơ hướng.
Giả sử
u: →
n
u ( x ) = ( u1 ( x ) ,..., un ( x ) )
x
là một trường vectơ. Ta đặt
div u := .u = D1u1 + ... + Dnun ,
u := div u = ( D12 + ... + Dn2 ) u = ( u1 ,..., un ) ,
u := ( D1 ,..., Dn ) u = ( D j uk )
2u := ( D j Dk )
n
j , k =1
n
j , k =1
u = ( D j Dk ul )
,
n
j , k ,l =1
và
u.u = ( u. ) u := ( u1D1 + ... + un Dn ) u = ( u1D1uk + ... + un Dnuk )k =1 .
n
Hơn nữa
div ( u u ) = D1 ( u1u ) + ... + Dn ( unu ) = ( D1 ( u1uk ) + ... + Dn ( unuk ) )k =1
n
trong đó ma trận
u u = u u = ( u j uk )
n
j , k =1
có nghĩa là tích tenxơ thơng thường. Ta kí hiệu đơn giản là uu . Nếu
p: →
x
p ( x)
là một trường vô hướng, ta đặt
p = ( D1 ,..., Dn ) p = ( D1 p,..., Dn p ) .
Nếu div u = 0 thì ta nói u khơng phân kỳ hoặc solenoidal. Khi đó
18
u.u = D1 ( u1u ) + ... + Dn ( unu ) − ( D1u1 + ... + Dnun )
= D1 ( u1u ) + ... + Dn ( unu )
= div ( uu ) .
Giả sử
F: →
n2
, F = ( Fjk )
n
j , k =1
là các trường ma trận. Ta định nghĩa trường vectơ
div F = ( D1F1k + ... + Dn Fnk )k =1 .
n
Ngoài ra, ta định nghĩa các lũy thừa
A : D ( A ) → L2 ( ) , −1 1
sao cho
D ( A ) D ( A ) L2 ( ) với ( 0,1)
thỏa mãn bất đẳng thức
A v Av
2
2
v
1−
2
, v D ( A ) ,0 1
và phép nhúng
1
3 3
v q C A v , v D ( A ) ,0 , 2 + =
2
2
q 2
với hằng số C = C ( ) 0 độc lập với . Hơn nữa
A1/2v = v 2 , v W0,1,2 ( ) = D ( A1/2 ) ,
2
A e − tAv t − v 2 , v L2 ( ) ,0 1
2
và
A1/ s e − tAv
2, s ;T
v 2 , v L2 ( ) , 2 s .
19
Chương 2
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES
KHƠNG TH̀N NHẤT TRONG
n
Chương này trình bày sự tồn tại, tính duy nhất, tính chính quy về nghiệm của
hệ phương trình Navier – Stokes khơng thuần nhất trong
n
. Các tài liệu tham khảo
được trích dẫn trong [4], [7], [10], [13], [16].
2.1. Định nghĩa nghiệm yếu
Xét hệ phương trình Navier – Stokes
−u + u u + p = f ,
divu = k ,
u| = g ,
(2.1)
n
trong một miền giới nội R , n 3 , với biên trơn ∂Ω của lớp C
2,1
và với giá trị
f = div F , k , g thỏa mãn
F = ( Fi , j )in, j =1 Lr (), k Lr (), g W −1/ q ,q () ,
kdx =
N gdS với n q , q ' r q,
(2.2)
1 1 1
+
n q r
ở đây N = N ( x) = ( N1 ( x),..., N n ( x) ) với x = ( x1 , x2 ,..., xn ) .
Định nghĩa tích phân trên biên là
N .g dS = g , N = N , g ,1
với biên trơn q =
q
.
q −1
Ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất, tính chính quy về nghiệm
u Lr ( ) của Bài toán (2.1) với điều kiện (2.2).
Định nghĩa 2.1. Giả sử f , k , g được xác định trong (2.2), u Lq () được gọi là
nghiệm yếu của hệ (2.1) nếu thỏa mãn
− u , w
+ g , N w
− uu , w
− ku , w
20
= − F , w
2
, w C0, ()
(2.3)
