BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CHƯƠNG I ĐẦY ĐỦ

BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CHƯƠNG I ĐẦY ĐỦ

CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG
Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH.
• Định lí Pi-ta-go:
BC 2 = AB2 + AC 2

• AB2 = BC.BH ;
• AB.AC = BC.AH

AC 2 = BC.CH

• AH 2 = BH .CH
1
1
1
=
+
•
2
2
AH
AB
AC 2

Bài 1. Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 3cm, BC = 5cm. AH là đường cao. Tính BH, CH,
AC và AH.
ĐS: BH = 1,8cm, CH = 3,2cm, AC = 4cm, AH = 2,4cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC vng tại A có AC = 10cm, AB = 8cm. AH là đường cao. Tính BC, BH,
CH, AH.

ĐS:
Bài 3. Cho tam giác ABC vng tại A có BC = 12cm. Tính chiều dài hai cạnh góc vng biết
2
AB = AC .
3
24 13
36 13
(cm) , AC =
(cm) .
13
13
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 10cm, CH = 42 cm. Tính BC,
AH, AB và AC.
ĐS: BC = 52cm, AH = 2 105cm, AB = 2 130 cm, AC = 2 546 cm.
ĐS: AB =

Bài 5. Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A là 600 .
a) Tính cạnh BC.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính MN.
ĐS:
Bài 6. Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B bằng 600 và góc A là 900 .
a) Tính đường chéo BD.
b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC.
c) Tính HK.
d) Vẽ BE ⊥ DC kéo dài. Tính BE, CE và DC.
ĐS:
Bài 7. Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox ⊥ AB. Trên Ox, lấy điểm D sao
a
cho OD = . Từ B kẽ BC vng góc với đường thẳng AD.
2

a) Tính AD, AC và BC theo a.
b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một
đường tròn.
ĐS:
Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần
lượt lấy các điểm M, N sao cho ·AMC = ·ANB = 900 . Chứng minh: AM = AN.
HD: ∆ABD # ∆ACE ⇒AM 2 = AC.AD = AB.AE = AN 2 .
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết

AB 20
=
và AH = 420. Tính chu vi
AC 21

tam giác ABC.
ĐS: PABC = 2030 . Đặt AB = 20k, AC = 21k ⇒ BC = 29k . Từ AH.BC = AB.AC ⇒k = 29 .

Trang 1


BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CHƯƠNG I ĐẦY ĐỦ
Bài 10. Cho hình thang ABCD vng góc tại A và D. Hai đường chéo vng góc với nhau tại O.
Biết AB = 2 13,OA = 6 , tính diện tích hình thang ABCD.
ĐS: S = 126,75 . Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5.

Trang 2


BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CHƯƠNG I ĐẦY ĐỦ
II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

1. Định nghĩa: Cho tam giác vng có góc nhọn α.
cạnh đố
i
cạnh kề
cạnh đố
i
cạnh kề
sina =
; cosa =
; tana =
; cota =
cạnh huyề
n
cạnh huyề
n
cạnh kề
cạnh đố
i
Chú ý:
• Cho góc nhọn α. Ta có: 0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1.
• Cho 2 góc nhọn α, β. Nếu sina = sin b (hoặc cosα = cosβ , hoặc tana = tan b , hoặc
cota = cot b ) thì a = b .
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cơsin góc kia, tang góc này bằng cơtang góc kia.
3. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:
α
300
450
600
Tỉ số LG

1
2
3
sina
2
2
2
1
2

cosα

3
2

2
2

tana

3
3

1

3

cota

3

1

3
3

4. Một số hệ thức lượng giác
sinα
tanα =
;
cosα
sin2 α + cos2 α = 1;

cotα =

cosα
;
sinα

1+ tan2 α =

tana .cota = 1;
1

cos2 α

;

1+ cot2 a =

1
sin2 a

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 64cm và CH = 81cm. Tính các
cạnh và góc tam giác ABC.
ĐS:
Bài 2. Cho tam giác ABC vng tại A. Tìm các tỉ số lượng giác của góc B khi:
a) BC = 5cm, AB = 3cm.
b) BC = 13 cm, AC = 12 cm. c) AC= 4cm, AB=3cm.
ĐS: a) sin B = 0,8 ; cosB = 0,6
Bài 3. Cho tam giác ABC vng tại A, có AB = 10cm và AC = 15cm.
a) Tính góc B.
b) Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI.
c) Vẽ AH ⊥ BI tại H. Tính AH.
ĐS:
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) cos2150 + cos2 250 + cos2 350 + cos2 450 + cos2 550 + cos2 650 + cos2 750 .
b) sin2100 − sin2 200 + sin2 300 − sin2 400 − sin2 500 − sin2 700 + sin2 800 .
c) sin150 + sin750 − cos150 − cos750 + sin300
d) sin350 + sin670 − cos230 − cos550
e) cos2 200 + cos2 400 + cos2 500 + cos2 700
3
ĐS: a) 3,5
b) −
c) 0,5
4

f) sin200 − tan400 + cot500 − cos700
d) 0

Trang 3

e) 2

f) 0.


BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CHƯƠNG I ĐẦY ĐỦ
Bài 5. Cho biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn α, tính các tỉ số lượng giác cịn lại của α:
a) sina = 0,8
b) cosα = 0,6
c) tana = 3
d) cota = 2
ĐS: a) cosα = 0,6
b) sina = 0,8
1
Bài 6. Cho góc nhọn α. Biết cosα − sinα = . Tính cota .
5
4
ĐS: cota = .
3
5
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại C. Biết cos A = . Tính tan B .
13
5
ĐS: tan B =
.
12
Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:
a) (1− cosα )(1+ cosα )

b) 1+ sin2 α + cos2 α
c) sinα − sinα cos2 α
d) sin4 α + cos4 α + 2sin2 α cos2 α
e) tan2 α − sin2 a tan2 α
f) cos2 α + tan2 α cos2 α
ĐS: a) sin2 a
b) 2
c) sin3a
d) 1
e) sin2 a
f) 1.
Bài 9. Chứng minh các hệ thức sau:
cosα
1+ sinα
(sinα + cosα )2 − (sinα − cosα )2
=
a)
b)
=4
1− sinα
cosα
sinα .cosα
ĐS:
Bài 10.Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B,
C.
a
b
c
=
=

a) Chứng minh:
.
sin A sin B sinC
b) Có thể xảy ra đẳng thức sin A = sin B + sinC không?
BH
BH
,sinC =
ĐS: a) Vẽ đường cao AH. Chú ý: sin A =
. b) không.
AB
BC
Bài 11.
a)
ĐS:

III. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Trang 4


BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CHƯƠNG I ĐẦY ĐỦ
Cho tam giác ABC vng tại A có BC = a, AC = b, AB = c.
b = a.sin B = a.cosC ;
c = a.sinC = a.cosB
b = c.tanB = c.cotC ;
c = b.tanC = b.cot B
Bài 1. Giải tam giác vng ABC, biết µA = 900 và:
a) a = 15cm; b = 10cm
b) b = 12cm; c = 7cm
ĐS: a) µB ≈ 420, µC ≈ 480,c ≈ 11,147cm b) µB ≈ 600, µC ≈ 300, a ≈ 14cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC có µB = 600, µC = 500, AC = 35cm. Tính diện tích tam giác ABC.
ĐS: S ≈ 509cm2 . Vẽ đường cao AH. Tính AH, HB, HC.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD có µA = µD = 900,µC = 400, AB = 4cm, AD = 3cm. Tính diện tích tứ giác.
ĐS: S = 17cm2 . Vẽ BH ⊥CD. Tính DH, BH, CH.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AC = 4cm, BD = 5cm,
·AOB = 500 . Tính diện tích tứ giác ABCD.
ĐS: S ≈ 8cm2 . Vẽ AH ⊥BD, CK ⊥BD. Chú ý: AH = OA.sin500,CK = OC.sin500 .
Bài 5. Chứng minh rằng:
a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các
đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo
bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
ĐS: a) Gọi αlà góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. Vẽ đường cao CH. CH = AC.sina
Bài 6.
a)
ĐS:

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Trang 5


BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CHƯƠNG I ĐẦY ĐỦ
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m.
a) Chứng minh tam giác ABC vng. b) Tính sin B,sinC .
ĐS:
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết HB = 112,
HC = 63.
a) Tính độ dài AH.
b) Tính độ dài AD.
ĐS: a) AH = 84

b) AD = 60 2 .
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 5, CH = 6.
a) Tính AB, AC, BC, BH.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
25
305
5 61
ĐS: a) AB =
, AC = 61 , BH =
b) S =
.
6
12
6
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH = 16, BH = 25.
a) Tính AB, AC, BC, CH.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
ĐS:
Bài 5. Cho hình thang ABCD có µA = µD = 900 và hai đường chéo vng góc với nhau tại O.
a) Chứng minh hình thang này có chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy.
b) Cho AB = 9, CD = 16. Tính diện tích hình thang ABCD.
c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD.
ĐS: a) Vẽ AE // BD ⇒AB = ED và AE ⊥AC.
b) S = 150
c) OA = 7,2; OB = 5,4; OC = 12,8; OD = 9,6 .
Bài 6. Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35.
ĐS: S = 210. Vẽ BE // AC (E ∈CD) ⇒DE 2 = BD2 + BE 2 .
Bài 7. Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17.
a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vng.
b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh.

ĐS: a) Tính được AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm ⇒∆ABC vuông tại A.
b) r = 9cm. Gọi O là giao điểm ba đường phân giác. SABC = SOBC + SOCA + SOAB .
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết µA = 480; AH = 13cm. Tinh chu vi ∆ABC
ĐS: BC ≈ 11,6cm; AB = AC ≈ 14,2cm.
Bài 9. Cho ∆ ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD =
DE = EC.
DE DB
=
a) Chứng minh
.
b) Chứng minh ∆BDE đồng dạng ∆ CDB.
DB DC
c) Tính tổng ·AFB + ·BCD .
ĐS: a) DB2 = 2a2 = DE.DC
c) ·AEB + ·BCD = ·ADB = 450 .
Bài 10. Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vng góc
với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.
sin B + cosB
a) Tính
.
b) Tính diện tích hình thang ABCD.
sinB − cosB
17
ĐS: a)
b)
7
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B.
Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE.
a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm.
b) Tính tan·IED, tan·HCE .

c) Chứng minh ·IED = ·HCE .
d) Chứng minh: DE ⊥ EC .
ĐS: a) AB = 5cm, AC =

20
16
3
cm, HC = cm b) tan·IED = tan·HCE =
3
3
2
Trang 6


BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CHƯƠNG I ĐẦY ĐỦ
d) ·DEC = ·IED + ·HEC = 900 .
Bài 12.Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c,
AH = h. Chứng minh rằng tam giác có các cạnh a − h; b − c; h là một tam giác vuông.
ĐS: Chứng minh (b − c)2 + h2 = (a − h)2 .
Bài 13.Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) SAEF + SBFD + SCDE = cos2 A + cos2 B + cos2 C .
ĐS: a) Chứng minh

SAEF
= cos2 A
SABC

Bài 14.Cho ∆ ABC vuông tại A có sinC =

b) SDEF = sin2 A − cos2 B − cos2 C .

b) SDEF = SABC − ( SAEF + SBFD + SCDE )
1
. Tính các tỉ số lượng giác của góc B và C.
4cosB

1
3 sinC = 1
3
; sin B =
;
; cosC =
.
2
2
2
2
Bài 15. Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh:
a) ∆ANL #∆ABC
b) AN.BL .CM = AB.BC.CA.cos A.cosB.cosC
ĐS:
Bài 16. Cho tam giác ABC vng tại A có µC = 150 , BC = 4cm.
a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính ·AMH , AH, AM, HM, HC.
ĐS: cosB =

6+ 2
.
4
ĐS: a) ·AMH = 300 ; AH = 1cm; AM = 2cm; HM = 3cm; HC = 2 + 3(cm)
CH

b) cos150 = cosC =
.
AC
Bài 17. Cho tam giác ABC cân tại A, có µA = 360 , BC = 1cm. Kẻ phân giác CD. Gọi H là hình
chiếu vng góc của D trên AC.
a) Tính AD, DC.
b) Kẻ CK ⊥ BD. Giải tam giác BKC.
b) Chứng minh rằng: cos150 =

c) Chứng minh rằng cos360 =

1+ 5
.
4

ĐS:
Bài 18. Cho tam giác ABC có AB = 1, µA = 1050 , µB = 600 . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE =
1. Vẽ ED // AD (D thuộc AC). Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt BC tại F. Gọi H là
hình chiếu của A trên cạnh BC.
a) Chứng minh rằng tam giác ABE đều. Tính AH.
b) Chứng minh ·EAD = ·EAF = 450 .
c) Tính các tỉ số lượng giác của góc AED và góc AEF.
d) Chứng minh ∆ AED = ∆ AEF . Từ đó suy ra AD = AF.
1
1
4
+
= .
e) Chứng minh rằng
2

2
3
AD
AF
ĐS:
Bài 19. Giải tam giác ABC, biết:
a) µA = 900, BC = 10cm, µB = 750
b) ·BAC = 1200, AB = AC = 6cm.
c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma = 5 , đường cao AH = 4.
d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma = 5 , một góc nhọn bằng 470 .
ĐS:

Trang 7


BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 CHƯƠNG I ĐẦY ĐỦ
Bài 20. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu của H trên cạnh AB và AC.
a) Giải tam giác vng ABC.
b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH.
c) Tính: EA.EB + AF.FC.
27
3 3
ĐS: a) AC = 3 3(cm) , µB = 600 , µC = 300
b) AH =
.
(cm) c)
4
2
Bài 21.

a)
ĐS:

Trang 8