Đề thi học kì I Toán 9

Đề thi HK I – Khối lớp 9
Môn thi : Toán
Thời gian : 90 phút
Câu 1) (2,5 điểm)
Thực hiện các phép tính sau:
a)
5 3 5 3 5 1
5 3 5 3 5 1
− + +
+ −
+ − −
b)
( )
5 21 14 6− +
c)
3 3 3
56 875 448+ +
Câu 2) (1,0 điểm)
Giải phương trình:
2
4 2 0x x
− − + =
Câu 3) (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức sau:
3 4 3 4M x x= − −
Câu 4) (1,5 điểm)
Cho hàm số: y = ax + b (d)
Tìm a, b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; –1) và cắt trục hoành tại
điểm có hoàng độ là
3

2
. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường
thẳng qua hai điểm trên.
Câu 5) (3,5 điểm)
Cho đường tròn (0;R) và điểm A ở ngoài đường tròn (0;R). Kẻ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm BC.
a) Chứng minh A, H, O thẳng hàng và các điểm A, B, O, C thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính BD của (O), CK vuông góc với BD. Chứng minh rằng:
AC.CD = CK.AO
c) Tia AO cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng:
MH.AN = AM.HN
d) Đường thẳng AD cắt CK tại I. Chứng minh rằng: I là trung điểm CK.
Trần Hoàng Tuấn
Page 1



Học sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đáp án:
Bài 1: (2,5 điểm)
a.
5 3 5 3 5 1
5 3 5 3 5 1
− + +
+ −
+ − −
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )

2 2 2
5 3 5 3 5 1
5 3 5 3 5 1 5 1
− + + +
= −
+ − − +
( )
16 3 5
8 2 15 8 2 15 6 2 5 13 5
5 3 5 1 2 2
− +
− + + + −
= − = =
− −
b.
( ) ( ) ( ) ( )
14 6 . 5 21 7 3 . 2. 5 21 7 3 . 2 5 21+ − = + − = + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
7 3 . 10 2 21 7 3 . 7 3 2 7. 3= + − = + + −
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
7 3 . 7 3 7 3 7 3= + − = + −
( ) ( )
7 3 7 3 7 3 4= + − = − =
c.
3 3 3 3 3 3 3
56 875 448 2 7 5 7 4 7 11 7+ + = + + =

Bài 2: (1,0 điểm)
Giải phương trình:
2
4 2 0x x− − + =

2
4 2x x
⇔ − = −
(*)
Điều kiện:

2 0 2x x
− ≥ ⇔ ≥
( )
*
¬ →
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
4 2 2 . 2 2 2 . 2 2 0x x x x x x x x− = − ⇔ − + = − ⇔ − + − − =

( ) ( )
2 0 2
2 2 1 0
2 1 0 1( )
x x
x x
x x loai
− = =
 
⇔ − + − = ⇔ ⇔ 

 
 
+ − = = −
 
Vậy: S = {2}
Bài 3: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức sau:
3 4 3 4M x x= − −

Trần Hoàng Tuấn
Page 2


Tập xác định:
( )
( )
( ) ( )
2
2
4
4
3 4 0
3
3
3 4 3 4 0
3 4 3 4 0 *
3 4 2 2.2 3 4 0
x
x
x

x x
x x
x x


≥
≥
− ≥




⇔ ⇔
  
− − ≥


 
− − ≥
− + − − ≥


( )
2
4
4
3
3
3 4 2 0
x

x
x

≥

⇔ ⇔ ≥


− − ≥

Ta có:
( )
2
3 4 2 3 4 2M x x= − − = − −
Trường hợp 1:
8
3 4 2 0 3 4 2 3 4 4
3
x x x x− − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
3 4 2M x
⇒ = − −
Trường hợp 2:
8
3 4 2 0 3 4 2 3 4 4
3
x x x x− − < ⇔ − < ⇔ − < ⇔ <
Kết hợp tập xác định, suy ra điều kiện trong trường hợp 2 là:
4 8
3 3
x≤ <

( )
3 4 2 2 3 4M x x⇒ = − − − = − −

Kết luận:
•
4 8
3 3
x≤ <
:
( )
3 4 2 2 3 4M x x⇒ = − − − = − −
•
8
3
x ≥
:
3 4 2M x⇒ = − −
Bài 4:
(d): y = ax + b
(2; –1) thuộc (d) → 2a + b = – 1 ↔ b = – 2a – 1 (1)
(d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
3
2
nên điểm ấy có tọa độ là
3
;0
2
 
 ÷
 

3 3
;0 ( ) 0
2 2
d a b
 
⇒ ∈ ⇒ + =
 ÷
 
(2)
Thế (1) vào (2):
2
3
a
b
= −

⇒

=

Vậy: (d): y = –2x + 3

Gọi A
3
;0 ( )
2
d
 
∈
 ÷

 
, lấy B(0;3)
( )d∈
:
Trần Hoàng Tuấn
Page 3


Gọi h là khoảng cách từ O(0;0) đến (d), tam giác OAB vuông tại O, nên:
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 5 3 5
3 9 5
3
2
h
h OA OB
= + = + = ⇒ =
 
 ÷
 

Bài 5:
a. CM: A, H, O thẳng hàng
Ta có: AB = AC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
OB = OC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
→ OA là đường trung trực đoạn BC
→ OA
⊥
BC

Mà: OH
⊥
BC (t/c đường kính đi qua trung điểm dây cung)
Nên: OA và OH cùng nằm trên một đường thẳng
→ A,H,O thẳng hàng (đpcm)

CM: A,B,O,C thuộc cùng một đường tròn
Ta có:
·
·
0
90OBA OCA
= =
(gt) và hai góc này đều nhìn cạnh OA
dưới những góc bằng nhau
→ A,B,O,C thuộc cùng một đường tròn, đường kính OA. (đpcm)
b. CM: AC.CD = CK.AO
Dễ thấy : OH là đường trung bình của
BCD∆
(do H,O lần lượt là
trung điểm BC và BD)
→ OH//CD hay OA//CD
Mặt khác: AB//CK (cùng vuông góc BD)
→
·
DCK =
·
OAB
Theo tính chất hai tiếp tuến cắt nhau: OA là đường phân giác
·

BAC

→
·
·
OAB OAC
=

Vậy:
·
·
DCK OAC
=
→
DCK∆
~
OAC∆
(g – g)
→
. .
CD CK
AC CD CK AO
AO AC
= ⇔ =
(đpcm)
c. CM: MH.AN = AM.HN
Xét
OAC∆
⊥
C , có: HC

2
= AH.OH
Xét
MCN C∆ ⊥
(vì
·
MCN
là góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn, đường kính MN):
→ HC
2
= MH.HN
Trần Hoàng Tuấn
Page 4


Do vậy: AH.OH = MH.HN ↔ 2.AH.OH = 2.MH.HN
Mà: MH + OH + OH = HN ↔ 2.OH = HN – MH
Nên: AH.(HN – MH) = 2.MH.HN
↔ AH.HN – AH.MH = MH.HN + MH.HN
↔ AH.HN – MH.HN = MH.HN + AH.MH
↔ (AH – MH).HN = MH.(HN + AH)
↔ AM.HN = MH.AN
Vậy: MH.AN = AM.HN (đpcm)

d. CM: I là trung điểm CK
Ta có:
DCK∆
~
OAC∆

(cmt)
→
~DCK OAB∆ ∆
(vì
OAB OAC∆ = ∆
)
KC KD KD
BA BO R
⇒ = =
(1)
Lại có:
~DKI DBA
∆ ∆
(g – g)
2
KI DK DK
BA DB R
⇒ = =
(2)
Từ (1) và (2), suy ra: KC = 2.KI
Mà: I nằm giữa KC
→ I là trung điểm KC (đpcm)

Trần Hoàng Tuấn
Page 5