Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (114.66 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<i><b>Chương I: Phép chia hết và phép chia có dư nguyencongk46 </b></i>
<i><b>NTC </b></i> <i><b>Page 1 </b></i> <i><b>Tháng 2/2008 </b></i>
<i><b>Nguyễn Thành Cơng </b></i>
<i><b> THCS Triệu Trạch ,Quảng Trị </b></i>
<i><b>Chú ý:</b> Nếu không có lí giả gì thêm thì các số được xét đến trong chương này là các </i>
<i>số thuộc tập số nguyên </i>
<i><b>I) Định nghĩa: </b></i>
<i>Với hai só nguyên a và b , ta nói a chia hết b , hay b chia hết cho a , hay a là ước </i>
<i>số của b . hay b là bội của a</i> nếu tồn tại số nguyên <i>csao cho b</i>=<i>ca</i>, và khi ấy ta kí
<i>hiệu b a</i>⋮ hay |<i>a b . Trường hợp ngược lại, ta kí hiệu b a</i>/⋮ hay <i>a b</i>/| và nói rằng a
<i>khơng chia hết</i> b
<i>Khi a không chia hết b hay b khơng chia hết cho a thì tồn tại duy nhất cặp số nguyên </i>
( ; )<i>q r sao cho b</i>=<i>qa</i>+<i>r</i> và 0<<i>r</i>≤ <i>b</i> −1.
<i>Khi này, phép chia b cho a gọi là phép chia có dư. </i>
<i><b>II) Tính chất: </b></i>
1.<i> Nếu b a</i>⋮ thì <i>bc a</i>⋮ (<i>c ∈</i><sub>ℤ </sub>)
2.<i> Nếu b a⋮ và a c⋮ thì b c</i>⋮
3. Nếu <i>b c a c</i>⋮ ; <sub>⋮ thì </sub><i><sub>ax</sub></i><sub>+</sub><i><sub>by c</sub></i>⋮ <sub>(</sub><sub>∀</sub><i><sub>x y</sub></i><sub>,</sub> <sub>∈</sub><sub>ℤ </sub><sub>)</sub>
4.<i> Nếu b a⋮ và a b⋮ thì a</i>=<i>b hoặc a</i>= −<i>b</i>
6. Nếu <i>m ≠</i>0<i> thì b a</i>⋮ ⇔<i>bm am</i>⋮
7. <i><sub>a</sub>n</i><sub>−</sub><i><sub>b</sub>n</i><sub>⋮</sub>(<i><sub>a</sub></i><sub>−</sub><i><sub>b</sub></i>)<i><sub> với mọi n ∈ ℕ </sub></i>
8. <i>an</i>+<i>bn</i>⋮(<i>a</i>+<i>b</i>)<sub> với mọi </sub><i><sub>n</sub></i><sub>∈ ℕ</sub><sub>,</sub><i><sub>n</sub></i><sub> lẻ. </sub>
<b>Hai tính chất 7 và 8 có ứng dụng rất nhiều trong các bài tốn số học </b>
<i><b>III)Một số ví dụ: </b></i>
<b>Ví dụ 1.1: </b>
Chứng minh rằng tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n
<b>Giải: </b>
<i>Trong n số ngun liên tiếp ta ln tìm được một số m mà m n</i>⋮ ( điều này dễ chứng
<i>minh) . Từ đó tích của n số ngun liên tiếp có chứa thừa số m mà m n</i>⋮ nên tích này
<i>chia hết cho n </i>
<b>Ví dụ 1.2: </b>
Chứng minh rằng <i>n</i>3−4<i>n</i>⋮48<i><sub> với n chẵn </sub></i>
<b>Giải: </b>
Đặt <i>n</i>=2<i>k</i> . Ta có: <i>n</i>3−4<i>n</i>=8<i>k</i>3−8<i>k</i>=8 (<i>k k</i>−1)(<i>k</i>+1)
Mặt khác: <i>k k</i>( −1)(<i>k</i>+1) 6⋮ <sub> ( suy ra từ ví dụ 1.1) </sub>
Từ đó ta có: <i><sub>n</sub></i>3 <sub>4</sub><i><sub>n</sub></i> <sub>6.8</sub> <sub>48</sub>
− ⋮ = <sub> (đpcm) </sub>
<i><b>Chương I: Phép chia hết và phép chia có dư nguyencongk46 </b></i>
<i><b>NTC </b></i> <i><b>Page 2 </b></i> <i><b>Tháng 2/2008 </b></i>
Cho ( )<i>f x là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên; a b là hai số nguyên khác nhau. </i>,
Chứng minh rằng: <i>f a</i>( )− <i>f b</i>( ) (⋮ <i>a</i>−<i>b</i>)
<b>Giải: </b>
Giả sử ( ) <i>n</i> <sub>1</sub> <i>n</i> 1 ... <sub>1</sub> <sub>0</sub> ( , ,...,<sub>0</sub> <sub>1</sub> , 0)
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>f x</i> <i>c x</i> <i>c</i> <i>x</i> − <i>c x</i> <i>c</i> <i>c c</i> <i>c</i> <i>c</i>
−
= + + + + ∈ℤ ≠
Khi đó :<i>f a</i>( )− <i>f b</i>( )=<i>c a<sub>n</sub></i>( <i>n</i>−<i>bn</i>)+<i>c<sub>n</sub></i>−<sub>1</sub>(<i>an</i>−1−<i>bn</i>−1) ...+ +<i>c a</i><sub>1</sub>( −<i>b</i>).
Theo tính chất 8 ta có <i>ak</i> −<i>bk</i>⋮(<i>a</i>−<i>b</i>)<sub> với mọi </sub><i><sub>k</sub></i>=<sub>1, 2,...,</sub><i><sub>n</sub></i>. Do đó từ đẳng thức trên
ta suy ra điều phải chứng minh.
Tương tự ta cũng dễ dàng chứng minh được: 2 2
( ) ( ) ( )
<i>f a</i> − <i>f b</i> ⋮ <i>a</i>+<i>b</i>
<b>Ví dụ 1.4: </b>
Cho hai số nguyên x và y. Chứng minh rằng 2<i>x</i>+3 17<i>y</i>⋮ ⇔9<i>x</i>+5 17<i>y</i>⋮ <sub>. </sub>
<b>Giải: </b>
Ta có
2<i>x</i>+3 17<i>y</i>⋮ ⇔13(2<i>x</i>+3 ) 17<i>y</i> ⋮ ⇔(26<i>x</i>+39 ) 17<i>y</i> ⋮ ⇔[(17<i>x</i>+34 )<i>y</i> +(9<i>x</i>+5 )] 17<i>y</i> ⋮ ⇔(9<i>x</i>+5 ) 17<i>y</i> ⋮
Suy ra 2<i>x</i>+3 17<i>y</i>⋮ ⇔9<i>x</i>+5 17<i>y</i>⋮
<b>Ví dụ 1.5: </b>
Cho , ,<i>a b c ∈ ℤ . CHứng minh rằng: <sub>a</sub></i>3<sub>+</sub><i><sub>b</sub></i>3<sub>+</sub><i><sub>c</sub></i>3<sub>⋮</sub><sub>6</sub><sub>⇔</sub><i><sub>a</sub></i><sub>+</sub><i><sub>b</sub></i><sub>+</sub><i><sub>c</sub></i><sub>⋮ </sub><sub>6</sub>
<b>Giải: </b>
Xét <i>A</i>=(<i>a</i>3−<i>a</i>)+(<i>b</i>3−<i>b</i>)+(<i>c</i>3−<i>c</i>)
Ta có: <i><sub>n</sub></i>3 <i><sub>n</sub></i> <sub>6 (</sub> <i><sub>n</sub></i> <sub>)</sub>
− ⋮ ∀ ∈<sub>ℤ . Suy ra:</sub><i><sub>A</sub></i>⋮<sub>6</sub><sub> . </sub>
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
<b>Ví dụ 1.6: </b>
Chứng minh rằng: 2
1 9 ( )
<i>S</i> =<i>n</i> +<i>n</i>+ /⋮ ∀ ∈<i>n</i> <sub>ℕ </sub>
<b>Giải: </b>
<i>Cách 1: </i>
Xét
2
3 3 ( 1) 1 9
3 1 9 ( 1) 9
3 2 3( 5 2) 1 9
<i>n</i> <i>k</i> <i>S</i> <i>k k</i>
<i>n</i> <i>k</i> <i>S</i> <i>k k</i>
<i>n</i> <i>k</i> <i>S</i> <i>k</i> <i>k</i>
/
• = ⇒ = + +
/
• = + ⇒ = +
/
• = + ⇒ = + + +
⋮
⋮
⋮
Vậy <i>S</i> =<i>n</i>2+<i>n</i>+1 9 (⋮/ ∀ ∈<i>n</i> <sub>ℕ </sub>)
<i>Cách 2: </i>
Ta có <i>S</i> =<i>n</i>2+<i>n</i>+ =1 (<i>n</i>+1)(<i>n</i>−2)+3.
1, 2
<i>n</i>+ <i>n</i>− hoặc cùng chia hết cho 3 hoặc cùng không chia hết cho 3 . Với cả hai
trường hợp thì <i>S /⋮</i>9
<i>Cách 3: </i>
2 2
4<i>S</i>=4(<i>n</i> +<i>n</i>+1)=(2<i>n</i>+1) +3
Nếu 2<i>n</i>+1 9⋮ ⇒4<i>S</i> =9<i>l</i>+3 9⋮/ ⇒<i>S</i>/⋮9
Nếu 2<i>n</i>+1 9⋮/ ⇒4<i>S</i>/⋮3⇒4<i>S</i>⋮/9⇒<i>S</i>⋮/9
Tóm lại <i><sub>S</sub></i> <sub>=</sub><i><sub>n</sub></i>2<sub>+</sub><i><sub>n</sub></i><sub>+</sub><sub>1 9 (</sub><sub>⋮</sub><sub>/</sub> <sub>∀ ∈</sub><i><sub>n</sub></i> <sub>ℕ </sub><sub>)</sub>
…
<i>Còn rất nhiều cách khác nữa nhưng do bài viết hạn hẹp tôi không đưa lên đây, mong </i>
<i>các bạn tiếp tục khai thác. </i>
Với cách làm tương tự cách 3 ta giải quyết được b tốn sau:
<i><b>Chương I: Phép chia hết và phép chia có dư nguyencongk46 </b></i>
<i><b>NTC </b></i> <i><b>Page 3 </b></i> <i><b>Tháng 2/2008 </b></i>
Chứng minh rằng: 3 2
9<i>n</i> +9<i>n</i> +3<i>n</i>−16 343⋮/ ∀ ∈<i>n</i> <sub>ℤ </sub>
Từ đó có thể đưa ra cách giải quyết chung sau:
<i><b>Chứng minh rằng ( )</b>T n</i> ⋮/<i>pk</i> (∀<i>n k</i>, ∈ℕ,<i>k</i>>0<i><b><sub>, p là số nguyên tố) </sub></b></i>
<b>Phương hướng giải là tìm ra đẳng thức: </b><i><sub>aT n</sub></i>( )<sub>=</sub>[A( )]<i><sub>n</sub></i> <i>k</i> <sub>+</sub> <i><sub>p</sub>m</i>
<b>trong đó A( )</b><i><b>n là đa thức biến n với </b></i><b>a ∈ ℤ và </b><i>k</i>><i>m</i>>0 ( ,<i>k m</i>∈ ℤ)
<i><b>IV) Bài tập áp dụng: </b></i>
<i><b>1.</b><b> Cho ,</b>a b ∈ ℕ . Chứng minh rằng: </i>11<i>a</i>+2 19<i>b</i>⋮ ⇔18<i>a</i>+5 19<i>b</i>⋮ <sub>. </sub>
− + + ⋮ ∀ ∈ℕ
<i><b>3.</b><b> Chứng minh rằng: </b></i> 2 2
5<i>a</i> +15<i>ab</i>−<i>b</i> ⋮49⇔3<i>a</i>+<i>b</i>⋮7 ( ,<i>a b</i>∈<sub>ℕ </sub>)
<i><b>4.</b><b> Chứng minh rằng: </b></i> 2 2 1
11<i>n</i>+ 12 <i>n</i>+ 133 <i><sub>n</sub></i>
+ ⋮ ∀ ∈<sub>ℤ </sub>
<i><b>5.</b><b> Chứng minh rằng: </b></i> 2 1 1 1 2 1
2 3 1319
<i>p</i>
<i>q</i>
− + − + = , trong đó ,<i>p q ∈ ℤ . Chứng minh rằng: </i>
1979
<i>p⋮</i>
<i><b>7.</b><b> Tìm tất cả các số nguyên n sao cho:</b></i> 2 <sub>9</sub> <sub>2 11</sub>
<i>n</i> + <i>n</i>− ⋮
<i><b>8.</b><b> Chứng minh rằng: </b></i>321−224−68− ⋮1 1930
<i><b>9.</b><b> Chứng minh rằng: </b></i> 9 99
2 +2 ⋮100
<i><b>10.</b><b> Giả sử: 2</b>n</i> =10<i>a</i>+<i>b</i> (<i>n</i>>3;0><i>b</i>>10). Chứng minh rằng: <i>ab⋮</i>6
<i><b>11.</b><b> Chứng minh rằng: 2269 1779 1730 1776 2001</b>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
+ + − ⋮
<i><b>12.</b><b> Chứng minh rằng: </b></i> 105 105
2 +3 chia hết cho 7,11, 463 .
<i><b>13.</b><b> Chứng minh rằng với mọi </b></i> *
, ,
<i>k n</i>∈ ℕ <i>k</i> lẻ ta có 2
<i>n</i>
<i>n</i>
<i><b>14.</b><b> Giả sử 2 1</b>n</i><sub>+ =</sub><i><sub>xy</sub></i><sub>, trong đó ,</sub><i><sub>x y</sub></i><sub>∈</sub><sub>ℕ</sub><sub>,</sub> <i><sub>x y</sub></i><sub>,</sub> <sub>></sub><sub>1,</sub><i><sub>n</sub></i><sub>></sub><sub>0</sub><sub>. Chứng minh rằng: </sub>
(<i>x</i>−1) 2⋮ <i>a</i> ⇔(<i>y</i>−1) 2⋮ <i>a</i>
<i><b>15.</b><b> Chứng minh rằng với mọi só tự nhiên n tồn tạióos tự nhiên x sao cho </b></i>
2
64 21 7 2<i>n</i>
<i>x</i> + <i>x</i>+ ⋮
<i><b>16.</b><b> Chứng minh rằng tồn tại k ∈ ℕ sao cho với mọi n ∈ ℕ thì .2 1</b>k</i> <i>n</i>+ là hợp số.
<i><b>17.</b><b> Chứng minh rằng: Nếu a</b></i>≠ −<i>b</i> thì 1 2 1
(<i>an</i>− +<i>b</i> <i>n</i>− ) (⋮ <i>a</i>+<i>b</i>)<sub> với </sub><i><sub>n</sub></i><sub>∈</sub>ℕ<sub>,</sub><i><sub>n</sub></i><sub>></sub><sub>1</sub><sub>. </sub>
<i><b>V) Tài liệu tham khảo: </b></i>
- Tạp chí tốn tuổi thơ.