chia hết toán học 9 nguyễn thành công thư viện giáo dục tỉnh quảng trị

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (114.66 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chương I: Phép chia hết và phép chia có dư nguyencongk46

NTC Page 1 Tháng 2/2008

Chương 1

Phép chia hết và phép chia có dư

Nguyễn Thành Cơng 
 THCS Triệu Trạch ,Quảng Trị 
Chú ý: Nếu không có lí giả gì thêm thì các số được xét đến trong chương này là các 
số thuộc tập số nguyên

I) Định nghĩa:

Với hai só nguyên a và b , ta nói a chia hết b , hay b chia hết cho a , hay a là ước 
số của b . hay b là bội của a nếu tồn tại số nguyên csao cho b=ca, và khi ấy ta kí
hiệu b a⋮ hay |a b . Trường hợp ngược lại, ta kí hiệu b a/⋮ hay a b/| và nói rằng a
khơng chia hết b

Khi a không chia hết b hay b khơng chia hết cho a thì tồn tại duy nhất cặp số nguyên 
( ; )q r sao cho b=qa+r và 0<r≤ b −1.

Khi này, phép chia b cho a gọi là phép chia có dư. 
II) Tính chất:

1. Nếu b a⋮ thì bc a⋮ (c ∈ℤ )
2. Nếu b a⋮ và a c⋮ thì b c⋮

3. Nếu b c a c⋮ ; ⋮ thì ax+by c⋮ (∀x y, ∈ℤ )
4. Nếu b a⋮ và a b⋮ thì a=b hoặc a= −b

5. Nếu b a⋮ và ,a b > thì b0 ≥a

6. Nếu m ≠0 thì b a⋮ ⇔bm am⋮
7. an−bn⋮(a−b) với mọi n ∈ ℕ 
8. an+bn⋮(a+b) với mọi n∈ ℕ,n lẻ.

Hai tính chất 7 và 8 có ứng dụng rất nhiều trong các bài tốn số học

III)Một số ví dụ:

Ví dụ 1.1:

Chứng minh rằng tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n

Giải:

Trong n số ngun liên tiếp ta ln tìm được một số m mà m n⋮ ( điều này dễ chứng
minh) . Từ đó tích của n số ngun liên tiếp có chứa thừa số m mà m n⋮ nên tích này
chia hết cho n

Ví dụ 1.2:

Chứng minh rằng n3−4n⋮48 với n chẵn

Giải:

Đặt n=2k . Ta có: n3−4n=8k3−8k=8 (k k−1)(k+1)
Mặt khác: k k( −1)(k+1) 6⋮ ( suy ra từ ví dụ 1.1) 
Từ đó ta có: n3 4n 6.8 48

− ⋮ = (đpcm)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chương I: Phép chia hết và phép chia có dư nguyencongk46

NTC Page 2 Tháng 2/2008

Cho ( )f x là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên; a b là hai số nguyên khác nhau. ,
Chứng minh rằng: f a( )− f b( ) (⋮ a−b)

Giải:

Giả sử ( ) n 1 n 1 ... 1 0 ( , ,...,0 1 , 0)

n n n n

f x c x c x − c x c c c c c

−

= + + + + ∈ℤ ≠

Khi đó :f a( )− f b( )=c an( n−bn)+cn−1(an−1−bn−1) ...+ +c a1( −b).

Theo tính chất 8 ta có ak −bk⋮(a−b) với mọi k=1, 2,...,n. Do đó từ đẳng thức trên
ta suy ra điều phải chứng minh.

Tương tự ta cũng dễ dàng chứng minh được: 2 2

( ) ( ) ( )
f a − f b ⋮ a+b

Ví dụ 1.4:

Cho hai số nguyên x và y. Chứng minh rằng 2x+3 17y⋮ ⇔9x+5 17y⋮ .

Giải:

Ta có

2x+3 17y⋮ ⇔13(2x+3 ) 17y ⋮ ⇔(26x+39 ) 17y ⋮ ⇔[(17x+34 )y +(9x+5 )] 17y ⋮ ⇔(9x+5 ) 17y ⋮

Suy ra 2x+3 17y⋮ ⇔9x+5 17y⋮

Ví dụ 1.5:

Cho , ,a b c ∈ ℤ . CHứng minh rằng: a3+b3+c3⋮6⇔a+b+c⋮ 6

Giải:

Xét A=(a3−a)+(b3−b)+(c3−c)
Ta có: n3 n 6 ( n )

− ⋮ ∀ ∈ℤ . Suy ra:A⋮6 . 
Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 1.6:

Chứng minh rằng: 2

1 9 ( )

S =n +n+ /⋮ ∀ ∈n ℕ

Giải:

Cách 1: 
Xét

3 3 ( 1) 1 9

3 1 9 ( 1) 9

3 2 3( 5 2) 1 9

n k S k k

n k S k k

• = ⇒ = + +

• = + ⇒ = +

• = + ⇒ = + + +

⋮
⋮

⋮
Vậy S =n2+n+1 9 (⋮/ ∀ ∈n ℕ )
Cách 2:

Ta có S =n2+n+ =1 (n+1)(n−2)+3.
1, 2

n+ n− hoặc cùng chia hết cho 3 hoặc cùng không chia hết cho 3 . Với cả hai
trường hợp thì S /⋮9

Cách 3:

2 2

4S=4(n +n+1)=(2n+1) +3
Nếu 2n+1 9⋮ ⇒4S =9l+3 9⋮/ ⇒S/⋮9
Nếu 2n+1 9⋮/ ⇒4S/⋮3⇒4S⋮/9⇒S⋮/9
Tóm lại S =n2+n+1 9 (⋮/ ∀ ∈n ℕ )
…

Còn rất nhiều cách khác nữa nhưng do bài viết hạn hẹp tôi không đưa lên đây, mong 
các bạn tiếp tục khai thác.

Với cách làm tương tự cách 3 ta giải quyết được b tốn sau:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chương I: Phép chia hết và phép chia có dư nguyencongk46

NTC Page 3 Tháng 2/2008

Chứng minh rằng: 3 2

(

)

9n +9n +3n−16 343⋮/ ∀ ∈n ℤ 
Từ đó có thể đưa ra cách giải quyết chung sau:

Chứng minh rằng ( )T n ⋮/pk (∀n k, ∈ℕ,k>0, p là số nguyên tố)

Phương hướng giải là tìm ra đẳng thức: aT n( )=[A( )]n k + pm

trong đó A( )n là đa thức biến n với a ∈ ℤ và k>m>0 ( ,k m∈ ℤ)
IV) Bài tập áp dụng:

1. Cho ,a b ∈ ℕ . Chứng minh rằng: 11a+2 19b⋮ ⇔18a+5 19b⋮ .

2.

Chứng minh rằng: 4n3 6n2 3n 37 125 (/ n )

− + + ⋮ ∀ ∈ℕ

3. Chứng minh rằng: 2 2

5a +15ab−b ⋮49⇔3a+b⋮7 ( ,a b∈ℕ )
4. Chứng minh rằng: 2 2 1

(

)

11n+ 12 n+ 133 n

+ ⋮ ∀ ∈ℤ

5. Chứng minh rằng: 2 1 1 1 2 1

(

)

5 n−.2n+ +3 .2n+ n− ⋮38 ∀ ∈n ℕ
6. Giả sử 1 1 1 ... 1

2 3 1319

p
q

− + − + = , trong đó ,p q ∈ ℤ . Chứng minh rằng: 
1979

p⋮

7. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho: 2 9 2 11
n + n− ⋮
8. Chứng minh rằng: 321−224−68− ⋮1 1930
9. Chứng minh rằng: 9 99

2 +2 ⋮100

10. Giả sử: 2n =10a+b (n>3;0>b>10). Chứng minh rằng: ab⋮6
11. Chứng minh rằng: 2269 1779 1730 1776 2001n n n n

+ + − ⋮

(

∀ ∈ ℕn

)

12. Chứng minh rằng: 105 105

2 +3 chia hết cho 7,11, 463 .
13. Chứng minh rằng với mọi *

, ,

k n∈ ℕ k lẻ ta có 2

1 2

n

k

− ⋮

14. Giả sử 2 1n+ =xy, trong đó ,x y∈ℕ, x y, >1,n>0. Chứng minh rằng: 
(x−1) 2⋮ a ⇔(y−1) 2⋮ a

15. Chứng minh rằng với mọi só tự nhiên n tồn tạióos tự nhiên x sao cho 
2

64 21 7 2n
x + x+ ⋮

16. Chứng minh rằng tồn tại k ∈ ℕ sao cho với mọi n ∈ ℕ thì .2 1k n+ là hợp số.
17. Chứng minh rằng: Nếu a≠ −b thì 1 2 1

(an− +b n− ) (⋮ a+b) với n∈ℕ,n>1. 
V) Tài liệu tham khảo:

- Tạp chí tốn tuổi thơ.

</div>

chia hết toán học 9 nguyễn thành công thư viện giáo dục tỉnh quảng trị

<b>Chương 1 </b>

<b>Phép chia hết và phép chia có dư </b>

(

)

<i><b>2.</b></i>

(

)

(

)

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

1 2

<i>k</i>

− ⋮

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về