Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên trường âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.58 MB, 66 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------
Nguyễn Thị Ngát
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
TRƢỜNG ÂM – ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8440130.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN NGHĨA
GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội - 2018
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------
Nguyễn Thị Ngát
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
TRƢỜNG ÂM – ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8440130.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN NGHĨA
GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội - 2018
LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lời cảm ơn và biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Nghĩa và
GS.TS. Nguyễn Quang Báu đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho em trong suốt quá trình làm luận văn.
Em cũng xin gửi tới các thầy, các cô trong bộ môn Vật lý lý thuyết và vật lý
tốn, các thầy, các cơ trong khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học tự nhiên- ĐHQG
Hà Nội những lời cảm ơn sâu sắc. Cảm ơn các thầy, các cơ đã tận tình dạy dỗ, vun
đắp kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập tại trường.
Em cũng xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè, những người luôn bên
cạnh giúp đỡ, chia sẻ và động viên em rất nhiều để giúp em hoàn thành luận văn này.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2018
Học viên
Nguyễn Thị Ngát
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................1
2. Cấu trúc của luận văn ...........................................................................................2
CHƢƠNG 1: SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BIỂU THỨC DÒNG ÂM ĐIỆN
PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA
PHONON GIAM CẦM KHI KHƠNG CĨ MẶT SĨNG ĐIỆN TỪ ...................3
1.1
Tổng quan về siêu mạng pha tạp.......................................................................3
1.1.1 Siêu mạng pha tạp ..............................................................................................3
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp ..................4
1.2
Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng
của phonon giam cầm khi khơng có sóng điện từ .......................................................5
1.2.1
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng pha
tạp khi khơng có sóng điện từ .....................................................................................5
1.2.2. Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi khơng có sóng
điện từ ........................................................................................................................11
CHƢƠNG 2: BIỂU THỨC DÒNG ÂM ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM KHI
CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ ....................................................................................15
2.1
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng pha tạp
khi có mặt sóng điện từ .............................................................................................15
2.2.
Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng
điện từ .............................................................................................................. 26
CHƢƠNG 3: TÍNH TỐN SỐ VÀ THẢO LUẬN ..............................................44
3.1 Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào tần số sóng âm .........................45
3.2 Sự phụ thuộc của dịng âm điện phi tuyến vào nồng độ pha tạp........................46
3.3 Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nhiệt độ ....................................47
3.4 Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào cường độ sóng điện từ .............48
KẾT LUẬN ..............................................................................................................50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................51
PHỤ LỤC .................................................................................................................53
DANH MỤC BẢNG SỐ LIỆU VÀ HÌNH VẼ
SỐ HIỆU
TÊN
TRANG
Bảng 3.1
Tham số vật liệu được sử dụng trong q trình
tính tốn
44
Hình 3.1
Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào tần
số sóng âm ngồi
45
Hình 3.2
Sự phụ thuộc của dịng âm điện phi tuyến vào
nồng độ pha tạp
46
Hình 3.3
Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào
nhiệt độ và năng lượng Fermi
47
Hình 3.4
Sự phụ thuộc của dịng âm điện phi tuyến vào
cường độ sóng điện từ ngồi
48
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thế giới đang tích cực nghiên cứu, phát triển lĩnh vực khoa học công nghệ mới
và phát triển các loại vật liệu mới để chuyển động cùng với cuộc cách mạng công
nghiệp 4.0. Vật liệu bán dẫn thành công rực rỡ cùng với sự phát triển mạnh mẽ công
nghệ, người ta đã chế tạo ra được nhiều cấu trúc nanô. Bên cạnh sự phát triển của
công nghệ chế tạo là sự phát triển không ngừng của kỹ thuật đo các hiệu ứng vật lý
ở cấp độ vi mơ. Có thế nói rằng, trong hai thập niên vừa qua các cấu trúc tinh thể
nano như màng mỏng, siêu mạng, hố lượng tử, dây lượng tử hay chấm lượng tử…
đã dần thay thế vị trí các vật liệu bán dẫn khối kinh điển.
Trong các cấu trúc nano này, chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt
theo một hướng tọa độ với một vùng kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước
sóng De Broglie. Các tính chất vật lý của điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số
tính chất mới khác, gọi là hiệu ứng kích thước trong các cấu trúc này. Ớ đây các quy
luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó hàm sóng và phổ năng lượng bị
biến đổi là đặc trưng cơ bản nhất. Do tính chất quang, điện của hệ cũng biến đổi và
đã mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện điện tử làm việc theo nguyên lý hoàn
toàn mới và công nghệ hiện đại.
Hệ vật liệu thấp chiều là một cấu trúc hoàn toàn mới, khác hẳn với những vật
liệu trước đây và có thể chia hệ thấp chiều làm 3 loại: hệ không chiều, hệ một chiều
và hệ hai chiều.
Đối với hệ hai chiều, cụ thể ở đây là siêu mạng pha tạp, phổ năng lượng của điện
tử trong trường hợp này trở lên gián đoạn theo một chiều và trong siêu mạng pha
tạp điện tử chỉ chuyển dộng tự do theo hai chiều, còn một chiều bị hạn chế. Chính
sự gián đoạn của phổ năng lượng và hạn chế chuyển động của điện tử theo một
chiều này một lần nữa lại ảnh hưởng lên các tính chất phi tuyến của hệ.
Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, đã có cơng trình nghiên cứu về sự ảnh
hưởng của phonon giam cầm lên trường âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha
tạp khi khơng có mặt sóng điện từ. Tuy nhiên, đối với siêu mạng pha tạp, sự ảnh
hưởng của phonon giam cầm lên trường âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha
tạp khi có mặt sóng điện từ vẫn cịn là đề tài mở. Vì vậy, trong luận văn này em
1
chọn vấn đề nghiên cứu của mình là “Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên trường
âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ”
Về phương pháp nghiên cứu:
Chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau để giải bài
toán vật lý về sự ảnh hưởng của phonon giam cầm lên trường âm – điện phi tuyến
trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ. Mỗi phương pháp lựa chọn để
nghiên cứu đều có những điểm mạnh và hạn chế riêng nên việc áp dụng chúng như
thế nào cho phù hợp cịn phụ thuộc vào từng bài tốn cụ thể. Trong luận văn này,
em sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử. Từ Hamilton của hệ trong
biểu diễn lượng tử hóa ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử, áp
dụng phương trình động lượng tử cho điện tử để tính biểu thức giải tích dịng âm
điện phi tuyến và tính số thơng qua phần mềm Matlab. Phương pháp này được sử
dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt được hiệu quả cao và
cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.
2. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được chia
làm 3 chương
Chƣơng 1: Siêu mạng pha tạp và biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng
pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm khi khơng có mặt sóng điện từ.
Chƣơng 2: Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh
hưởng của phonon giam cầm khi có mặt sóng điện từ.
Chƣơng 3: Tính tốn số và vẽ đồ thị.
Kết luận chính của luận văn được trình bày ở chương 2 và chương 3. Luận
văn đưa ra được biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới
ảnh hưởng của phonon giam cầm khi có mặt sóng điện từ, tính tốn số và vẽ đồ thị.
Khi cho tham số bằng khơng thì biểu thức giải tích trở về trường hợp tương ứng khi
khơng có mặt sóng điện từ.
2
CHƢƠNG 1
SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BIỂU THỨC DÒNG ÂM ĐIỆN PHI TUYẾN
TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON
GIAM CẦM KHI KHƠNG CĨ MẶT SĨNG ĐIỆN TỪ
Trong chương này trình bày khái quát về siêu mạng pha tạp (cấu trúc phổ năng
lượng, hàm sóng điện tử) và từ phương pháp động lượng tử đưa ra biểu thức giải
tích cho dịng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của
phonon giam cầm khi không có mặt sóng điện từ.
1.1 Tổng quan về siêu mạng pha tạp
1.1.1 Siêu mạng pha tạp
Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn
thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn,
trong bán dẫn siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron cịn
phải chịu một thế tuần hồn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kì lớn hơn hằng số
mạng rất nhiều. Thế phụ được tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của
hai bán dẫn cấu trúc thành siêu mạng.
Trong bán dẫn siêu mạng, độ lớn của các lớp đủ hẹp để electron có thể xuyên
qua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng như một thế tuần
hồn bổ sung và thế của mạng tinh thể.
Bán dẫn siêu mạng được chia làm 2 loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn
siêu mạng hợp phần.
Bán dẫn siêu mạng pha tạp( gọi tắt là siêu mạng pha tạp- DSL) có cấu tạo các hố
thế trong siêu mạng được tạo thành từ hai lớp bán dẫn cũng loại nhưng được pha tạp
khác nhau.
Siêu mạng pha tạp được sắp xếp tuần hoàn của các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại
n( GaAs: Si) và GaAs loại p ( GaAs: Be), ngăn cách bởi các lớp GaAs khơng pha
tạp. Vì vậy được gọi là tinh thể n-i-p-i. Trong siêu mạng pha tạp sự phân bố điện
tích đóng vai trị quyết định đối với việc tạo nên thế siêu mạng.
3
Nếu mật độ các chất pha tạp không quá cao và số lượng acceptor trong lớp n
trùng với các số donor trong các lớp n thì tất cả các tâm donor trong siêu mạng pha
tạp đều tích điện dương cịn tất cả các tâm acceptor đều tích điện âm.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha tạp
Hàm sóng của điện tử trong siêu mạng pha tạp có dạng:
n, p
(r) e
ip r
S0
U n r eikz jz n z jd
j 1
Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp
n , p p n
*
2 2m
1
2
p2
Trong đó
n = 1,2,3... : chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z
p p p z : vectơ xung lượng của điện tử (vectơ sóng của điện tử).
S0: số chu kỳ siêu mạng
d: chu kỳ siêu mạng
e: khối lượng của điện tử
m*: khối lượng hiệu dụng của điện tử
p 2e
nD
: tần số plasma gây bởi các tạp chất donor
0 m*
nD: nồng độ pha tạp
0 : hằng số điện
p : Hình chiếu của p trên mặt phẳng (x, y)
r : Hình chiếu của r trên mặt phẳng (x, y)
Từ đó ta thấy phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp chỉ
nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ năng
4
lượng là liên tục trong tồn bộ khơng gian. Sự khác biệt phổ năng lượng như vậy
gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả các tính chất của điện tử trong siêu
mạng pha tạp.
1.2 Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dƣới ảnh
hƣởng của phonon giam cầm khi khơng có sóng điện từ
1.2.1 Phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng
pha tạp khi khơng có sóng điện từ
Hamilton của hệ điện tử - phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi
kể đến tác dụng của phonon âm ngồi và khi chưa có sóng điện từ:
H=He+Hph+He-ph
(1.1)
Trong đó:
He
n' , p
'
n'
( p )a '
H ph
m,q
H e phngoai
n' , p ,n1' ,k
H e phtrong
'
n , p
m,q
a
'
n' , p
bm
bm, q
,q
CkU n' ,n' (k )an' , p
n , p ,m ,q
1
k
an' , p bk exp(ik t )
Cm ,q I nm,n' (qz )an' , p
q
an' , p (bm ,q bm , q )
Với
an, p , an , p lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ở trạng thái n, p ( kiểu
hạt fecmi ).
bm,q , bm,q lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon âm ở trạng thái k
(kiểu
hạt boson).
p , q : là xung lượng của điện tử và phonon âm trong mặt phẳng vng
góc với trục của siêu mạng pha tạp.
5
Gọi nn , p (t ) an, p , an , p t là số e trung bình tại thời điểm t
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:
i
i
nn, p (t )
t
nn, p (t )
t
a n, p an , p , Hˆ
(1.2)
t
'
a n, p a n , p , n' p a ' ' a ' ' a n, p a n , p , m,q bm ,q bm,q
n , p n , p
n' , p
t m,q
a n, p a n , p , CkU n' ,n' (k )an' , p k an' , p bk exp(ik t )
1
n' , p ,n1' ,k
t
t
a n, p a n , p , Cm,q I nm,n' (qz )an' , p q an' , p (bm,q bm , q )
n, p ,m,q
Biến đổi vế phải của (1.2) có tương ứng bốn số hạng với toán tử Hamilton.
'
sh1 a n, p a n , p , n' p a ' ' a ' '
n , p n , p
n' , p
sh2 a n, p a n , p , m,q bm ,q bm ,q
m ,q
0
t
0
t
sh3 a n, p a n , p , CkU n' ,n' (k )an' , p k an' , p bk exp(ik t )
1
n' , p ,n1' ,k
t
CkU n' ,n' (k ) Fn' , p k ,n' , p ,k (t ) F '
(t ) exp( ik t )
'
'
n
,
p
,
n
,
p
,
k
1
,n' ,k
n' , p
1
sh 4 a n, p a n , p , Cm ,q I nm,n' (q z )an' , p q an' , p (bm ,q bm , q )
n , p ,m ,q
F
(t ) F
(t )
'
'
'
n , p ,n' , p ,m , q
n , p ,n , p ,m ,q
*
F '
(
t
)
F
(
t
)
'
'
n' , p q ,n , p ,m , q
n , p q ,n , p ,m ,q
*
n ,m ,q
Cm , q I
m
n , n'
Thay <sh1>,<sh2>,<sh3> , <sh4> phương trình (1.2) trở thành:
6
t
i
nn, p (t )
t
CkU n' ,n' (k ) Fn' , p k ,n' , p ,k (t ) F ' ' ' (t ) exp(ik t )
n , p ,n , p ,k
1
n' , p ,n1' ,k
C
n ,m ,q
I F ' ' (t ) F * ' '
(t ) F '
(t ) F *'
(t )
'
'
n , p ,n , p ,m , q
n , p q ,n , p ,m , q
n , p q ,n , p ,m , q
n, p ,n , p ,m,q
m
m ,q n , n'
(1.3)
(t ) an , p an , p bm ,q t )
( với Fn , p ,n
1
2 , p2 , m , q
1
1
Tính Fn , p ,n , p
1
1
2 ,m ,q
2
i
1
1
2
(t ) thơng qua phương trình:
Fn , p ,n , p ,m,q (t )
1
2
2
an , p an , p bm,q , H
1 1 2 2
2
t
(1.4)
t
Vế phải của (1.4) chứa bốn số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton H.
+ Số hạng thứ nhất:
'
sh1 an , p an , p bm ,q , n p an , p an , p n , p n , p Fn , p ,n , p ,m ,q (t )
n ,p
t
1
1
2
'
2
'
'
'
'
2
2
sh3 an , p an , p bm ,q , CkU n ,n (k )an , p k an , p bk exp(ik t )
n , p ,n ,k
t
'
2
2
1
1
1
1
+ Số hạng thứ hai:
sh2 an , p an , p bm,q , m,q bm,q bm,q m,q Fn , p ,n , p ,m,q (t )
m ,q
t
1
1
2
2
1
1
2
2
+ Số hạng thứ ba:
1
1
2
2
'
'
'
'
1
'
1
'
'
CkU n ,n (k )(an , p an , p k bm ,q bk an , p k an , p bk bm ,q )exp(ik t )
'
'
1
1
1
2
'
1
2
2
2
+ Số hạng thứ tư:
sh4 an , p an , p bm ,q , Cm ,q I nm,n (qz )an , p
n , p ,m ,q
1
1
2
2
Cm ,q I nm,n (an , p
1
2
1
q
'
'
q
an , p (bm ,q bm , q )
'
an , p bm ,q bm , q an , p an , p bm , q bm ,q )
1
2
2
2
7
2
t
Thay các số hạng vào (1.4) ta được phương trình:
i
Fn , p ,n , p ,m,q (t )
1
1
2
2
t
n , p n , p Fn , p ,n , p ,m,q (t ) m,q Fn , p ,n , p ,m ,q (t )
2 2
1 1
1 1 2 2
1 1 2 2
CkU n' ,n' (k )(an , p an , p k bm ,q bk an ' , p
1
1
Cm,q I nm1 ,n2 (an , p
1
1
q
2
2
1
k
an , p bk bm ,q )exp(ik t )
2
2
an , p bm ,q bm , q an , p an , p bm , q bm ,q )
1
2
2
2
2
(1.5)
Phương trình (1.5) là phương trình vi phân không thuần nhất được giải bằng
phương pháp biến thiên hằng số. Trước hết, xét phương trình vi phân thuần nhất
tương ứng:
i
Fn , p ,n , p ,m,q (t )
1
1
2
2
t
n , p n , p m,q Fn , p ,n , p ,m,q (t )
1 1
1 1 2 2
2 2
Với điều kiện đoạn nhiệt tương tác Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,m,q (t ) 0 , nghiệm của
phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
t i
F o n , p ,n , p ,m ,q (t ) exp n , p n , p m ,q dt1
1
1
2
2
2
2
1
1
Do đó, nghiệm của phương trình vi phân khơng thuần nhất có dạng:
Fn , p ,n , p ,m,q (t ) M (t ).F o n , p ,n , p ,m ,q (t )
1
1
2
2
Khi đó:
1
1
Fn , p ,n , p ,m,q (t )
1
1
2
2
t
2
2
M '(t ).F o n , p ,n , p ,m,q (t ) M (t ) F o 'n , p ,n , p ,m,q (t )
1
1
2
2
1
1
2
2
Thay vào phương trình khơng thuần nhất và giải ra nghiệm của phương trình:
Fn , p ,n , p ,m,q (t ) i Cm,q I nm1 ,n2 an , p an , p bm ,q bm,q
1 1 2 2
2 2 2 2
t
t2
an , p an , p bm,q bm ,q
1
1
1
CkU n' ,n1' (k ) an1 , p1 an' , p1bk bk t2 an' , p q an2 , p2 bk bk
i
exp n , p n , p m,q t t2 dt2
2 2
1 1
1
t2
exp(i t )
k
t2
(1.6)
8
Thay (1.6) vào (1.3) ta đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon, t2 t
ta được phương trình động lượng tử:
nn, p (t )
t
i Cm , q
n' ,q
2
I
(nn , p n '
'
dt
2
n , p q
t
2
m
n ,n'
) N m,q exp i ' '
n , p q i (t t2 )
n , p q
(nn' , p
q
) N m,q exp i ' '
n , p q i
n , p q
nn , p ) N m,q exp i n , p n' , p q q i
(nn' , p
q
nn , p ) N m,q
(nn , p n '
'
n , p q
i Ck U n ' , n '
2
(nn' , p n '
dt
(nn' , p
q
n' , p
q
q
(t t )
i (t t )
2
2
2
'
n , p k
n, p
2
2 t
1
n' ,k
exp i
(t t )
) N k exp i ' ' n , p q k i (t t2 )
n , p k
nn , p ) N k exp i n , p n' , p q q k i (t t2 )
(1.7)
Phương trình (1.7) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không
cân bằng của điện tử trong siêu mạng pha tạp có kể đến tương tác điện tử với
phonon âm trong và phonon âm ngồi khi khơng có sóng điện từ.
Giải (1.7) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, chọn gần đúng ban đầu
của nn0, p (t ) là nn0, p (t ) nn, p và có giá trị tích phân sau:
exp i
t
K
n
'
'
, p q
n, p q i (t t2 )dt2
Với tích phân K đã tính ta được:
9
i
'
n' , p q
n, p q i
nn , p (t )
t
( n n
) N m ,q
(nn , p n ' ' ) N m ,q
'
n, p
n' , p q
n , p q
2 Cm , q I
n' ,q
n' , p' q n , p q i ' ' n , p q i
n , p q
(nn' , p q nn, p ) N m ,q
(nn' , p q nn, p ) N m ,q
)
n, p n' , p q q i n, p n' , p q q i
(nn' , p n ' ' ) N k
(nn' , p q nn , p ) N k
2
2
1
n , p k
2 Ck U n ' , n '
(1.8)
1
i
i
'
'
n' ,k
n' , p k n, p
k
k
q
n, p
q
n , p q
1
Áp dụng
2
m
n , n'
1
X i X
2
i ( X ) , giải (1.8) , lấy tích phân chạy từ 0 p ta được:
nn, p (t ) n1 2 i p Cm,q
n' ,q
(n
n, p
nn' , p
q
(nn, p nn' , p
) ( n' , p
q
q
) ( n' , p
2
I
m
n ,n'
2
N m ,q
n, p q ) (nn, p nn' , p
q
n, p q ) (nn, p nn' , p
q
) ( n' , p
q
n , p q )
q
) ( n' , p
q
n , p q )
2 i p Ck U n' ,n' N k
2
2
1
n' ,k
(n
n' , p
n '
n , p k
(nn, p nn' , p
k
) (
n' , p k
) ( (
n, p q k ) (nn, p nn' , p
n' , p k
k
)
n , p q k )
(1.9)
Như vậy từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon âm trong siêu mạng pha tạp
có kể đến tương tác điện tử với phonon âm ngồi và khi khơng có sóng điện từ, sử
dụng gần đúng lặp ta xây dựng được phương trình động lượng tử cho điện tử trong
siêu mạng pha tạp. Từ phương trình động lượng tử này ta sẽ tính biểu thức dịng âm
điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi khơng có sóng điện từ.
10
1.2.2. Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi khơng có
sóng điện từ
Dịng âm điện dọc theo chiều truyền sóng âm có dạng sau:
J AE
n
2e
p n1dp
(2 ) 2
ở đây p là vận tốc của điện tử cho bởi công thức p
Vì nn' , p
nn, p
q
n p
n , p
p
2
p
1
p nF
với n , p (n )q
q
q z
2m
2
p
m n, p
Tuyến tính hóa phương trình bằng cách thay: nn,n' ( p) nF ( p) n1
J AE
2
2
4e
m
C
I
N m ,q
'
p
m ,q
n ,n
(2 ) 2
n , n' , m , q
nF
nF
p
d
p
q
(
)
q
( n' , p q n, p q )
'
m
n, p
q
n , p q
2
2
4e
C
U
Nk
'
'
p k
n ,n1
(2 ) 2
n' , k
2
nF
nF
p
d
p
k
(
)
k
( n' , p k n, p q k )
'
m
k
n, p
q
n , p k
2
(1.10)
( n, p F )
1
k T
k
Vì hàm điện tử khơng suy biến nn ,n' ( p) n0 exp
Ta có
p 2
nF
1
2n2
exp
F
2
2mk T 2mL k T k T
k T
p 2
1
2n2
exp F exp
k T
2mk T 2mL2 k T
k T
11
Xét các số hạng trong biểu thức (1.10):
+ Số hạng thứ nhất
SH 1
4e
p Cm,q
(2 ) 2
n , n' , m , q
2
2
I nm,n' N m,q
n
n
p
d p q F ( n' , p q n, p q ) q F ( n' , p q n , p q )
m
2
2
F
2e i p n0
Bn2
m
C
I
N
exp
ex
p
'
2
k T n , n' , m , q m , q n , n m , q
k
T
2mR
3
A2
A2
3
A exp
A exp
2m
2m
q
với A (n ' n)mq mq
2
2
+ Số hạng thứ hai
SH 2
2
2
4e
C
U
Nk
p k
n' , n1'
(2 ) 2
n' , k
nF
nF
p
d
p
k
(
)
k
( n' , p k n , p q k )
'
m
k
n, p
q
n , p k
2
F
2e i p n0
2
Bn2
C
U
N
exp
exp
2
k
n' , n1'
k T n , n' , k k
k
T
2mR
D2
D2
D3 exp D3 exp
2m
2m
2
với D
k
1
m
( Bn2' Bn2 )
( k )
2
2 2k R
k q
Vậy
J AE SH 1 SH 2
2
2
3
Bn2
A2 3
A2
exp F Cm,q I nm,n' exp
N
A
exp
A
exp
2
m ,q
k T n, p ,m,q
k T
2
mR
2
m
2m
2
3
2e i p n0
2
Bn2
3 D2
3 D2
3
exp F Ck U n' ,n' exp
N
D
exp
D
exp
2
k
k T n , n' , k
1
k T
2
mR
2
m
2m
2e i p n0
12
Khi có tán xạ điện tử - phonon âm trong, ta có:
Cm,q
kT
q2 qm2
và N m,q
2 BV
m,q
2
(với m ,q 2 02 B 2 (q2 qm2 ), 0
, m ,q B q2 qm2 )
Thay Cm ,q , N m ,q vào SH1, sử dụng cơng thức chuyển tổng thành tích phân và tính
tốn ta được:
e p n0
SH 1
2
2 BV m ,q
2
Bn2
exp F I nm,n exp
2
2mR
k T n, p ,m,q
'
2 m 3
1 K3 (1 ) 3K 2 (1 ) 3K1 (1 ) K 0 (1 )
e 1
e
2
3
2m
K
(
)
3
K
(
)
3
K
(
)
K
(
)
3
2
2
2
1
2
0
2
2
( Bn2' Bn2 )
mq
2
2m 2 R
Với
( Bn2' Bn2 )
2
mq
2
2m 2 R
1
Khi có tán xạ điện tử - phonon âm ngồi, ta có:
Ck4q3
2
Ck
2 Fs
và N k
(2 )3 w
q s
Thay Ck , N k vào SH2, sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân và tính tốn
ta được:
e p n0 Ck4q2 (2 ) 2 w
2
SH 2
k T Fs s
exp F
k T
2
Bn2
U n' ,n1' exp
2
2mR
n , n'
e 1 15/2 K 5/2 (1 ) 3K 3/2 (1 ) 3K1/2 (1 ) K 1/2 (1 )
2 5/2
e 2 K 5/2 (2 ) 3K3/2 (2 ) 3K1/2 (2 ) K 1/2 (2 )
13
m
k 1 k
2
q
2m 2 R
2
2
Với
Bn2' Bn2
2
mq k 2 k
2
2m 2 R
2
2
1
Bn2' Bn2
Như vậy, ta có biểu thức dòng âm điện phi tuyến:
J
e p n0
2
2 BV m ,q
2
F
Bn2
m
exp
I n ,n exp
2
2mR
k T n, p ,m,q
'
2m
1 K 3 (1 ) 3K 2 (1 ) 3K1 (1 ) K 0 (1 )
e 1
3
e
2
3
2m
2 K 3 ( 2 ) 3K 2 ( 2 ) 3K1 ( 2 ) K 0 ( 2 )
2
Bn2
U n' ,n1' exp
2
k T Fs s
2mR
n , n'
e 1 15/2 K 5/2 (1 ) 3K 3/2 (1 ) 3K1/2 (1 ) K 1/2 (1 )
2 5/2
e 2 K 5/2 (2 ) 3K 3/2 (2 ) 3K1/2 (2 ) K 1/2 (2 )
e p n0 Ck4q2 (2 ) 2 w
2
exp F
k T
ở đây
1
Bn2' Bn2
2m 2R 2
1 1
2
Bn2' Bn2
mq ;2
mq
2
2m 2R
k ; 2 2
2
k
Như vậy, bằng phương pháp phương trình động lượng tử dịng âm điện phi
tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm khi khơng
có mặt sóng điện từ đã thu được. Khi có sóng điện từ, định luật bảo tồn năng xung
lượng thay đổi vì có năng lượng của photon sóng điện từ làm cho xác suất tán xạ
của các hạt tải trong siêu mạng pha tạp thay đổi dẫn đến trường âm điện từ thay đổi
so với trường hợp khơng có sóng điện từ. Ngồi ra, cường độ của trường sóng điện
từ (bức xạ laze) làm cho các hiệu ứng động nói chung và trường âm điện nói riêng
lại bị phi tuyến theo cường độ sóng điện từ. Các biểu hiện chi tiết này được tính
tốn ở chương sau.
14
CHƢƠNG 2
BIỂU THỨC DÒNG ÂM ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG PHA
TẠP DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM KHI CÓ MẶT
SÓNG ĐIỆN TỪ
Trong chương này bằng cách biến đổi toán tử và sử dụng gần đúng lặp xây
dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp.
Từ phương trình động lượng tử khai triển hàm Bessel và sử dụng phép chuyển đổi
phổ Fourier ta thu được biểu thức giải tích cho dịng âm điện phi tuyến trong siêu
mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm khi có mặt sóng điện từ.
2.1 Phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng pha
tạp khi có mặt sóng điện từ
Hamilton của hệ điện tử - phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi
kể đến tác dụng của phonon âm ngồi và khi có sóng điện từ:
H
n' , p
n
'
e
'
p A(t ) an' , p' an' , p' m , q bm , q bm , q
c
m,q
Ck U n' , n' ( k ) an' , p
Cm , q I nm, n' ( q z ) an' , p
1
n ' , p , n1' , k
n, p ,m,q
k
an' , p bk exp( ik t )
q
an' , p (bm , q bm , q )(2.1)
Trong đó:
an, p , an , p lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ở trạng thái n, p ( kiểu
hạt fecmi ).
bm,q , bm,q lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon âm ở trạng thái k
(kiểu
hạt boson)
p , q : là xung lượng của điện tử và phonon âm trong mặt phẳng vng
góc với trục của siêu mạng pha tạp.
p
e
A(t ) là hàm năng lượng theo biến
c
15
e
A(t )
p
c
A(t )
E 0c
cos t là thế vecto của trường điện từ
1 A(t )
E (t ) E 0 sin t
c
t
m,q là tần số của phonon âm
I nm,n' (qz ) : thừa số dạng của điện tử trong siêu mạng
Cm,q : Hằng số tương tác điện tử - phonon âm
n' , p
n
' e
p A(t ) an' , p' an' , p' là Hamilton tương tác giữa các điện tử khi có mặt
c
'
sóng điện từ
m,q
m,q m,q m,q
n' , p , n1' , k
b
b
là Hamilton tương tác giữa các phonon âm
k
an' , p bk exp( ik t ) là Hamilton tương tác giữa điện tử -
Cm,q I nm,n' (qz )an' , p
an' , p (bm,q bm, q ) là Hamilton tương tác giữa điện
Ck U n' ,n' (k )an' , p
1
phonon âm ngoài
n , p ,m,q
q
tử - phonon âm trong
Gọi nn , p (t ) an, p , an , p t là số e trung bình tại thời điểm t
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:
i
nn, p (t )
t
a n, p an , p , Hˆ
16
t
(2.2)
i
nn, p (t )
t
' e
a n, p a n , p , n' p A(t ) a ' ' a ' ' a n, p a n , p , m,q bm ,q bm,q
c
n , p n , p t m,q
n' , p
a n, p a n , p , CkU n' ,n' (k )an' , p k an' , p bk exp(ik t )
1
n' , p ,n1' ,k
t
t
a n, p a n , p , Cm,q I nm,n' (qz )an' , p q an' , p (bm,q bm , q )
n, p ,m,q
Biến đổi vế phải của (2.2) có tương ứng bốn số hạng với tốn tử Hamilton.
+ Số hạng thứ nhất:
' e
sh1 a n, p a n , p , n' p A(t ) a ' ' a ' '
c
n , p n , p
n' , p
t
a a , a a a a a a
a
a
a
a
' '
' '
' '
' '
' '
' '
n , p
n , p
n , p n , p
n , p n , p n , p n , p
n , p n , p n , p n , p
a n, p ( n ,n'
a n , p n ,n'
a '
'
p , p
'
p , p
'
n , p
a
'
n' , p
a n , p )a
a
'
n' , p
'
n' , p
n ,n
'
a '
'
n , p
'
p , p
an, p
( n ,n'
'
p , p
a n, p a '
'
n , p
)a n , p
' e
sh1 n' p A(t ) a n, p a n , p , a ' ' a ' ' 0
c
n , p n , p t
n' , p
+ Số hạng thứ hai:
sh 2 a
a
, m,q bm,q bm,q
n
,
p
n
,
p
m
,
q
t
a
a
a
,b
b
a
b
b
bm,q bm,q a
a
0
n, p n, p m,q m,q
n , p n , p
n, p n, p m,q m,q
sh 2
a
a
, bm,q bm,q 0
m,q
n
,
p
n
,
p
m,q
t
+ Số hạng thứ ba:
17
sh3 a n, p a n , p , CkU n' ,n' (k )a ' ' an' , p bk exp(ik t )
n , p k
1
n' , p ,n1' ,k
t
a a , a ' a ' b a a a ' a ' b a ' a ' b a a
n , p
n , p
n' , p k n' , p k
n' , p k n' , p k n , p n , p
n , p n , p n' , p k n' , p k
a n, p ( n ,n'
a n , p n ,n'
a '
'
n , p k
'
p , p k
a n, p a
'
n' , p
a n , p n ,n'
a '
'
p , p k
'
p , p k
sh3
n' , p
'
n' , p k
b an, p a
a
b a '
a n , p )a
'
n , p k
'
n' , p k
'
n' , p k
'
n , p k
b a
an, p a
( n ,n'
'
n' , p k
'
p , p
'
n' , p k
a n, p a
n ,n p
'
'
n' , p
'
,p
)a n , p bk
a n , p bk
a n , p bk
b a '
a
'
n' , p k
'
n , p k
n ,n p
'
'
,p
a n , p bk
CkU n' ,n' (k ) Fn' , p k ,n' , p ,k (t ) F '
(t ) exp( ik t )
'
'
n
,
p
,
n
,
p
,
k
1
,n' ,k
1
+ Số hạng thứ tư:
sh4 a n, p a n , p , Cm,q I nm,n' (qz )an' , p q an' , p (bm,q bm , q )
n, p ,m,q
a a , a '
a
(b
bm , q )
n , p n , p n' , p q n' , p m ,q
an, p an, p a ' '
a ' ' (bm ,q bm , q ) a '
n , p q
a n , p ( n ,n'
a '
'
n , p q
'
p , p q
( n ,n'
C
sh4
n ,m ,q
n ,p
'
p , p
a
'
n' , p q
a n, p a
I m F
m , q n , n'
'
'
a n , p )a
'
n' , p
n , p ,n , p ,m ,q
'
n , p q
'
n' , p
a
'
n' , p
(bm ,q bm , q )a n, p a n , p
m , q
(bm,q b
t
)
)a n , p (bm,q bm , q )
(t ) F *
'
n , p ,n , p ,m , q
'
(t ) F
'
n , p q ,n , p ,m ,q
'
(t ) F *
'
n , p q ,n , p ,m , q
'
(t )
Thay <sh1>,<sh2>,<sh3>, <sh4> phương trình (2.2) trở thành:
i
nn, p (t )
t
CkU n' ,n' (k ) Fn' , p k ,n' , p ,k (t ) F ' ' ' (t ) exp(ik t )
n , p ,n , p ,k
1
n' , p ,n1' ,k
C
n ,m ,q
I F ' ' (t ) F * ' '
(t ) F '
(t ) F *'
(t )
'
'
n , p ,n , p ,m , q
n , p q ,n , p ,m ,q
n , p q ,n , p ,m , q
n, p ,n , p ,m,q
m
m ,q n , n'
(2.3)
18
( với Fn , p ,n
1
1
2 , p2 , m , q
Tính Fn , p ,n , p
1
1
i
2 ,m ,q
2
(t ) an , p an , p bm ,q t )
1
1
1
2
(t ) thơng qua phương trình:
Fn , p ,n , p ,m,q (t )
1
2
2
an , p an , p bm,q , H
1 1 2 2
2
t
(2.4)
t
Vế phải của (2.4) chứa bốn số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton H.
+ Số hạng thứ nhất:
' e
sh1 an , p an , p bm,q , n p A(t ) an , p an , p
c
n ,p
1
1
2
'
2
'
'
'
'
'
t
a a b , a a a a b a a a a a a b
n , p n , p m ,q
n ,p
n ,p
n , p n , p m ,q n , p n , p n , p n , p m ,q n , p n , p
an , p an , p bm ,q n ,n p , p an , p an , p bm ,q n ,n p , p
1
1
1
2
'
'
1
'
'
2
1
'
'
2
1
'
2
1
2
'
'
2
'
'
'
2
'
'
2
'
'
'
'
1
1
2
2
'
1
1
' e
sh1 n p A(t ) an , p an , p bm ,q n ,n p , p an , p an , p bm ,q n ,n p
c
n ,p
e
e
n p 2 A(t ) an , p an , p bm ,q t n p1 A(t ) an , p an , p bm ,q t
c
c
e
n ( p1 ) n ( p2 )
p1 p2 A(t ) Fn , p ,n , p ,m ,q (t )
mc
'
1
'
2
1
1
1
2
2
1
'
2
'
'
2
1
2
'
'
1
2
1
1
1
2
1
'
2
2
1
'
, p1
2
2
+ Số hạng thứ hai:
sh2 an , p an , p bm,q , m,q bm ,q bm ,q
m ,q
1
1
2
2
'
'
'
'
t
a a b , b b a a b b b b b a a b
n , p n , p m ,q
m ,q
m ,q
n , p n , p m ,q m ,q m ,q n , p n , p m ,q m ,q m ,q
an , p an , p (bm ,q bm ,q bm ,q bm ,q bm ,q bm ,q )
1
1
1
2
1
2
'
'
1
2
'
,q
2
1
'
'
an , p an , p ( m,m q
1
'
'
'
2
'
'
2
'
1
2
'
'
2
'
'
'
'
'
'
1
1
'
'
1
1
2
2
bm ,q bm ,q )bm ,q bm ,q bm ,q bm ,q an , p an , p bm ,q m,m q
'
'
'
'
'
'
'
'
sh2 m,q an , p an , p bm,q t m,q Fn , p ,n , p ,m,q (t )
'
2
2
1
1
2
2
19
1
1
2
2
'
'
'
'
,q
+ Số hạng thứ ba:
sh3 an , p an , p bm ,q , CkU n ,n (k )an , p k an , p bk exp(ik t )
n , p ,n ,k
1
1
2
2
'
'
'
'
1
'
1
'
'
t
a a b , a a b a a b a a b a a b a a b
k n , p n , p m ,q
n , p k n , p
n , p n , p m ,q n , p k n , p k n , p n , p m ,q n , p k n , p k
an , p an , p k bm ,q bk an , p k an , p bk bm ,q
1
1
1
2
1
2
'
2
'
1
1
2
'
'
1
2
2
'
2
'
'
'
1
1
2
2
2
sh3 CkU n ,n (k )(an , p an , p k bm,q bk an , p k an , p bk bm,q )exp(ik t )
'
'
1
1
1
2
'
1
2
2
2
+ Số hạng thứ tư:
sh4 an , p an , p bm ,q , Cm ,q I nm,n (qz )an , p
n , p ,m ,q
1
1
2
2
Cm , q I
m
n1 , n2
(an , p
1
'
q
an , p (bm ,q bm , q )
'
t
an , p bm ,q bm , q an , p an , p bm , q bm ,q )
q
'
1
2
2
2
2
Thay các số hạng vào (2.4) ta được phương trình:
i
Fn , p ,n , p ,m,q (t )
1
1
2
2
t
e
n1 ( p1 ) n2 ( p2 )
p1 p2 A(t ) Fn , p ,n , p ,m,q (t )
mc
1 1 2 2
m,q Fn , p ,n , p ,m,q (t )
1
1
2
2
CkU n' ,n' (k )(a
1
Cm,q I
m
n1 ,n2
n1 , p1 n2 , p2 k m ,q k
a
b
b an ' , p
1
n1 , p q n1 , p m ,q m , q
(a
a
b
b
k
an , p bk bm,q )exp(ik t )
2
2
n2 , p2 n2 , p2 m , q m ,q
a
a
b
b
)(2.5)
Phương trình (2.5) là phương trình vi phân khơng thuần nhất được giải bằng
phương pháp biến thiên hằng số. Trước hết, xét phương trình vi phân thuần nhất:
Fn , p ,n , p ,m,q (t )
e
n1 ( p1 ) n2 ( p2 ) m,q
p1 p2 A(t ) Fn , p ,n , p ,m,q (t )
t
mc
1 1 2 2
Fn , p ,n , p ,m,q (t )
e
1 1 2 2 i n1 ( p1 ) n2 ( p2 ) m,q
p1 p2 A(t ) Fn , p ,n , p ,m,q (t )
t
mc
1 1 2 2
i
1
1
2
2
F 0 (t )
e
0
i n1 ( p1 ) n2 ( p2 ) m,q
p1 p2 A(t ) Fn , p ,n , p ,m,q (t )dt '
F (t )
mc
1 1 2 2
t
t
20
