Đề thi và Đáp án Vào lớp 10 Môn Toán Hà Nội Năm 2017

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.55 MB, 48 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 1 
---MỤC LỤC---

Ôn tập 1: Kiến thức cơ bản lớp 9 – 10 ... trang 2 
Ôn tập 2: Kiến thức cơ bản lớp 11... trang 3 - 6 
Ôn tập 3: Kiến thức cơ bản lớp 12... trang 7 
Các dạng bài tập ... trang 8 
Loại 1: thể tích lăng trụ ... trang 8 – 16 
Dạng 1: khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy ...
Dạng 2: lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ...
Dạng 3: lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng ...
Dạng 4: khối lăng trụ xiên ...
Loại 2: thể tích khối chóp ... trang 16 – 27 
Dạng 1: khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy ...
Dạng 2: khối chóp có một mặt bên vng góc với đáy ...
Dạng 3: khối chóp đều...
Dạng 4: khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích ...
Dạng 5: tổng hợp khối chóp và lăng trụ ...
Loại 3: thể tích khối trịn ... trang 27 – 37 
Dạng 1: hình trụ ...
Dạng 2: hình nón ...
Dạng 3: hình cầu ...
Dạng 4: tổ hợp khối trịn...
Bài tập ơn tập ... trang 37 – 41 
Đề thi cao đẳng các năm ... trang 41 
Đề thi đại học các năm ... trang 42 – 43 
Phụ lục ... trang 44 – 48

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 2

ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là , , ; độ dài các đường trung tuyến là , , ; bán
kính đường trịn ngoại tiếp ; bán kính đường tròn nội tiếp ; nữa chu vi .

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ∆ vng ở , ta có:

a) = +

b) = . ; = .

c) = +

d) = 2

e) sin = ; cos = ; tan = ; cot =
f) = . sin = . cos ; = . sin = . cos ;

= . tan = . cot

2. Hệ thức lượng trong tam giác thường: 
a) Định lý hàm số Cosin:

= + − 2 cos ; = + − 2 cos ; = + − 2 cos

b) Định lý hàm số Sin: = = = 2

c) Công thức độ dài trung tuyến: = − ; = − ; = −

3. Các cơng thức tính diện tích:

a) Cơng thức tính diện tích tam giác:

= . = . = = = ( − )( − )( − ) với =

Đặc biệt:

 Nếu ∆ vng ở thì = .
 Nếu ∆ đều thì = √

b) Diện tích hình vng: = cạnh . cạnh 
c) Diện tích hình chữ nhật: = dài . rộng

d) Diện tích hình thoi: = (chéo dài . chéo ngắn)

e) Diện tích hình thang: = (đáy lớn . đáy nhỏ). chiều cao 
f) Diện tích hình bình hành: = đáy . chiều cao = . .
g) Diện tích hình trịn: = .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 3

ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11

A. QUAN HỆ SONG SONG:

§1 – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Định nghĩa:

Đường thẳng và mặt phẳng gọi là
song song, nếu chúng không có điểm

nào chung. ∥( ) ⇔ ∩ ( ) = ∅

2. Các định lý:

ĐL1: Nếu đường thẳng không nằm 
trên mp ( ) và song song với đường
thẳng nằm trên mp ( ) thì đường
thẳng song song với mp ( )

⊄ ( )

∥
⊂ ( )

⇒ ∥( )

ĐL2: Nếu đường thẳng song song 
với mp ( ) thì mọi mp ( ) chứa mà
cắt mp ( ) thì theo giao tuyến song
song với .

∥( )
⊂ ( )
( ) ∩ ( ) =

⇒ ∥

ĐL3: Nếu hai mp cắt nhau cùng song 
song với một đường thẳng thì giao

tuyến của chúng song song với đường
thẳng đó.

( ) ∩ ( ) =

∥( )

⇒ ∥

§2 – HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là song song,

nếu chúng khơng có điểm nào chung. ( ) ∥ ( ) ⇔ ( ) ∩ ( ) = ∅

2. Các định lý:

ĐL1: Nếu mp ( ) chứa 2 đường thẳng 
, cắt nhau và cùng song song với
mp ( ) thì ( ) và ( ) song song với
nhau.

, ⊂ ( )
∩ =
∥ ( ); ∥ ( )

⇒ ( ) ∥ ( )

ĐL2: Nếu một đường thẳng thuộc một 
trong hai mặt phẳng song song thì
song song với mặt phẳng kia.

( ) ∥ ( )

⊂ ( ) ⇒ ∥ ( )

ĐL3: Nếu hai mp ( ) và ( ) song
song thì mọi mặt phẳng ( ) cắt ( )
thì phải cắt ( ) và các giao tuyến của
chúng song song.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 4

CHỨNG MINH QUAN HỆ SONG SONG

1. Chứng minh hai đường thẳng song song: ta sử dụng một trong các cách sau:

 Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song
song như trong hình học phẳng (tính chất đường trung bình, định lý Talets đảo,…)

 Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
 Áp dụng các định lý về giao tuyến song song.

2. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

để chứng minh ( ) ∥ ( ), ta chứng minh ( ) ∉ ( )

( ) ∥ ( ′) với ( ′) ∈ ( )

3. Chứng minh hai mặt phẳng song song:

Ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau, lần lượt song song với hai đường
thẳng trong mặt phẳng kia.

B. QUAN HỆ VNG GĨC:

§1 – ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa:

Một đường thẳng được gọi là vng
góc với một mặt phẳng nếu nó vng
góc với mọi đường thẳng nằm trên
mặt phẳng đó.

⊥ ( ) ⇔ ⊥ ; ∀ ⊂ ( )

2. Các định lý:

ĐL1: Nếu đường thẳng vng góc 
với hai đường thẳng cắt nhau và
cùng nằm trong mp ( ) thì đường
thẳng vng góc với mp ( )

⊥ ; ⊥

; ⊂ ( )
∩ ≠ ∅

⇒ ⊥ ( )

ĐL2: (ba đường vng góc) Cho 
đường thẳng khơng vng góc với
mp ( ) và đường thẳng nằm trong
( ). Khi đó, điều kiện cần và đủ để
vuông góc với là vng góc với
hình chiếu ’ của trên ( )

a  ( );P b( );P baba'

§2 – HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

1. Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
2. Các định lý:

ĐL1: Nếu một mặt phẳng chứa một 
đường thẳng vng góc với một mặt
phẳng khác thì hai mặt phẳng đó
vng góc với nhau.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 5

ĐL2: Nếu hai mặt phẳng ( ) và ( )
vng góc với nhau thì bất đường

thẳng nào nằm trong ( ), vng góc
với giao tuyến của ( ) và ( ) đều
vng góc với mặt phẳng ( ).

( ) ⊥ ( )
( ) ∩ ( ) =

⊂ ( ); ⊥

⇒ ⊥ ( )

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng ( ) và ( )
vng góc với nhau và là một điểm
trong ( ) thì đường thẳng đi qua
điểm và vng góc với ( ) sẽ nằm
trong ( ).

( ) ⊥ ( )
∈ ( )
∈
⊥ ( )

⇒ ⊂ ( )

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và 
cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba
thì giao tuyến của chúng vng góc
với mặt phẳng thứ ba.

( ) ∩ ( ) =

( ) ⊥ ( )
( ) ⊥ ( )

⇒ ⊥ ( )

CHỨNG MINH QUAN HỆ VNG GĨC

1. Chứng minh hai đường thẳng vng góc: để chứng minh ⊥ ta sử dụng một trong các cách
sau:

 Chứng minh góc giữa và bằng 90

 Chứng minh hai véctơ chỉ phương của và vng góc với nhau. 
 Chứng minh ⊥ mà ∥ .

 Chứng minh ⊥ ( )và ∈ ( ) 
 Sử dụng định lý ba đường vng góc.

 Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lý pi-ta-go,…)

2. Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng: để chứng minh ⊥ ( ) ta sử dụng một
trong các cách sau:

 Chứng minh vng góc với hai đường thẳng và cắt nhau nằm trong ( )
 Chứng minh ∥ mà ⊥ ( )

 Chứng minh ⊥ ( ) mà ( ) ∥ ( ).

 Chứng minh ⊂ ( ) với ( ) ⊥ ( ) và ( ) ∩ ( ) = ⊥ 
 Chứng minh = ( ) ∩ ( ), với ( ) ⊥ ( ) và ( ) ⊥ ( )

3. Chứng minh hai mặt phẳng vng góc: để chứng minh ( ) ⊥ ( ) ta sử dụng một trong các
cách sau:

 Chứng minh ⊂ ( ) và ⊥ ( )
 Chứng minh ( ); ( ) = 90

§3 – KHOẢNG CÁCH

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 6

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 
song song: khoảng cách giữa đường thẳng a và mp

( ) song song với là khoảng cách từ một điểm
nào đó của a đến mp ( ).

, ( ) =

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là

khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia.

( ), ( ) =

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng đó.

( , ) =

§4 – GĨC

Góc giữa hai đường thẳng và : là góc giữa hai 
đường thẳng ’ và ’ cùng đi qua một điểm và lần
lượt cùng phương với hai đường thẳng và .

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ( ): là
góc giữa và hình chiếu ’ của nó lên mp ( )

Góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường 
thẳng lần lượt vng góc với hai mp đó.

Hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai
mp cùng vng góc với giao tuyến tại một điểm.

Diện tích hình chiếu: gọi là diện tích của đa 
giác ( ) trong mp ( ) và ’ là diện tích hình chiếu
( ’) của ( ) lên mp ( ’) thì

=

Trong đó là góc giữa hai mp ( ) và ( ’)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 7

ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12

Thể tích khối lăng trụ:

=

.

Với: là diện tích đáy, ℎ là chiều cao.
 Thể tích khối hộp chữ nhật:

= . .

Với , , là độ dài ba cạnh
 Thể tích khối lập phương:

=

Với là độ dài cạnh

Thể tích khối chóp:

=

.

Với: là diện tích đáy, ℎ là chiều cao.

Tỉ số thể tích tứ diện: cho tứ diện và
’, ’, ’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc

, , . Ta có:

=

.

Thể tích khối chóp cụt:

=

+

+ √

Với: , ’ là diện tích hai đáy, ℎ là chiều cao

Khối cầu Khối trụ Khối nón

=

+

đáy

=

+

đáy

=

Chú ý:

 Đường chéo của hình vng cạnh a là = √2
 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là = √3

 Đường chéo hình chữ nhật có 3 cạnh là a, b, c là = √ + +
 Đường cao của tam giác đều là ℎ = √

 Hình chóp đều là hình chóp là đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (hoặc đáy là đa
giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).

 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên

 Diện tích tồn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích 
đáy.

D

C
B

A
S

C'
B'
A'

D

B
A

S

C'
B'

A'
C

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 8

LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Dạng 1: khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác . ′ ′ ′ là tam giác vuông cân tại , có cạnh = √2
và ′ = 3 .Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều . ′ ′ ′ ′ có cạnh bên bằng 4 và đường chéo bằng 5 . Tính thể
tích khối lăng trụ này.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác . ′ ′ ′ là tam giác đều cạnh = 4, và biết diện tích tam giác
′ bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ này.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 9 
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng, có đáy là hình thoi cạnh và có góc nhọn bằng 60 . Đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích lăng trụ.

Giải: ...

...
...
...
...
...
...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng . Tính thể tích và
tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. Đáp số: = √ ; = 3
2. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ ′ có đáy là tứ giác đều cạnh , biết rằng = √6. Tính thể tích

khối lăng trụ này. Đáp số: = 2

3. Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6 và 8 , biết rằng chu vi hai
đáy bằng hai lần chiều dài hình trụ. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.

Đáp số: = 240 ; = 248

4. Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37 , 13 , 30 và biết tổng diện tích các mặt

bên là 480 . Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: = 1080

5. Cho lăng trụ đứng tam giác . ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông cân tại , biết rằng chiều cao
lăng trụ là 3 và mặt bên ′ ′ có đường chéo là 5 . Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: = 24

6. Cho lăng trụ đứng tứ giác đều, có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ

bằng 96 . Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: = 64

7. Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 19 , 20 , 37 và chiều cao khối lăng trụ
bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: = 2888

8. Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt là 24 . Tính thể tích khối lập phương.

Đáp số: = 8

9. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước tỉ lệ thuận với 3, 4, 5. Biết rằng độ dài một đường chéo của hình

hộp là 1 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đáp số: = 0,4

10. Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt có độ dài lần lượt là √5; √10; √13. Tính

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 10

Dạng 2: lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác . ′ ′ ′ có đáy là ∆ vuông cân tại , với = = và
hợp với ( ) một góc 60 . Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 2: cho lăng trụ đứng tam giác . ′ ′ ′ là tam giác vuông tại , với = , = 60 và
′ hợp với ( ) một góc 30 . Tính ′ và thể tích khối lăng trụ.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vng cạnh và đường chéo ′ của lăng trụ
hợp với đáy ( ) một góc 30 . Tính thể tích và tổng diện tích của các mặt bên của lăng trụ.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 11 
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng . ′ ′ ′ ′ có đáy là hình thoi cạnh và = 60 , ′ hợp với đáy
( ) một góc 30 . Tính thể tích khối hộp.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy vng cân tại , biết = và hợp với mặt bên

( ′ ′ ) một góc 30 . Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: = √

2. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy vng tại , biết = = và ′ hợp với đáy ( )

một góc 30 . Tính thể tích khối lăng trụ này. Đáp số: = √

3. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh . biết ′ hợp với mặt bên ( ′ ′)
một góc 30 . Tính độ dài ′ và thể tích khối lăng trụ này. Đáp số: ′ = √3; = √
4. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy vuông tại , biết = và = 60 , ′ hợp với mặt

bên ( ′ ′ ) một góc 30 . Tính thể tích lăng trụ và diện tích . Đáp số: = √6; = √
5. Cho lăng trụ tam giác đều . ′ ′ ′ có khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ′ ) bằng a và ′ hợp

với mặt phẳng ( ′ ) một góc 30 . Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: =

6. Cho hình hộp chữ nhật . ′ ′ ′ ′ có đường chéo = . và ′ hợp với mặt phẳng ( )
một góc 30 và ( ′ ′) một góc 45 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Đáp số: = √
7. Cho hình hộp đứng . ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vng. Gọi là tâm và = . Tính thể

tích khối hộp khi.

a) . ′ ′ ′ ′ là khối lập phương. b) hợp với đáy ( ) một góc 60 .
c) hợp với ( ′ ′) một góc 30 . Đáp số: ) = √

; ) = √ ; ) = √
8. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vng và = . Tính thể tích lăng trụ khi.

a) hợp với đáy một góc 60 .

b) hợp với mặt bên ( ′ ′ ) một góc 30 . Đáp số: ) = √ ; ) = √
9. Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc giữa hai đường chéo xuất phát từ một đỉnh của hai mặt

bên kề nhau là 60 . Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 12

10. Cho hình hộp chữ nhật . ′ ′ ′ ′ có = ; = ; ′ = và = = =

√ + + .

a) Chứng minh . ′ ′ ′ ′ là hộp chữ nhật.

b) Gọi ; ; là góc hợp bởi một đường chéo và ba mặt cùng đi qua một đỉnh thuộc đường chéo.
Chứng minh rằng: sin + sin + sin = 1.

Dạng 3: lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng

Ví dụ 1: cho lăng trụ đứng tam giác . ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông cân tại , với = =
và ( ) hợp với ( ) một góc 60 . Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 2: cho lăng trụ đứng tam giác . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều , mặt phẳng ( ′ ) hợp với
đáy một góc 30 và diện tích tam giác ′ bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều . ′ ′ ′ ′ có cạnh đáy bằng và mặt phẳng ( ′) hợp với đáy
( ) một góc 60 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 13 
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật . ′ ′ ′ ′ có cạnh ′ = 2 , mặt phẳng ( ) hợp với đáy
( ) một góc 60 , hợp với đáy ( ) một góc 30 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho hình hộp chữ nhật . ′ ′ ′ ′ có cạnh ′ = , biết đường chéo hợp với đáy ( )
một góc 30 , và mặt phẳng ( ) hợp với đáy ( ) một góc 60 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Đáp số: = 2 √
2. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vuông và cạnh bên bằng , mặt phẳng

( ′ ′) hợp với đáy một góc 30 . Tính thể tích khối lăng trụ. Đáp số: = 3
3. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông cân tại , và = 2 . mặt phẳng

( ′ ) hợp với đáy một góc 45 . Tính thể tích khối lăng trụ. Đáp số: = √2
4. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy vuông cân tại , biết = = và = 120 , mặt

phẳng ( ) hợp với đáy một góc 45 . Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: = √
5. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy là tam giác vng tại , và ′ = = ℎ. biết rằng mặt

phẳng ( ) hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: = √
6. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều, cạnh bên = . Tính thể tích lăng trụ

khi:

a) Mặt phẳng ( ′ ) hợp với đáy một góc 60 .

b) hợp với đáy một góc 45 . Đáp số: ) = √3; ) = √ ; ) = √3
c) Chiều cao kẻ từ của tam giác ′ bằng độ dài cạnh đáy của hình trụ.

7. Cho lăng trụ tứ giác đều . ′ ′ ′ ′ có cạnh bên = 2 . Tính thể tích lăng trụ khi:
a) mp ( ′) hợp với đáy một góc 45 .

b) ′ hợp với đáy một góc 60

c) Khoảng cách từ đến mp ( ′) bằng . Đáp số: ) = 16 ; ) = 12 ; ) =
8. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vng cạnh . Tính thể tích lăng trụ khi:

a) Mặt phẳng ( ′) hợp với đáy ( ) một góc 60 .
b) Tam giác ′ đều.

c) ′ hợp với đáy ( ) một góc 45 .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 14

9. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ ′ có đáy là hình thoi cạnh và = 60 . Tính thể tích lăng trụ khi:
a) Mặt phẳng ( ′) hợp với đáy ( ) một góc 60 .

b) Khoảng cách từ đến ( ′) bằng
c) ′ hợp với đáy ( ) một góc 45 .

Đáp số: ) = √ ; ) = √ ; ) =
10. Cho hình hộp chữ nhật . ′ ′ ′ ′ có = 5 ; = 3 . Tính thể tích lăng trụ khi:

a) = .

b) hợp với mặt phẳng ( ′ ′ ) một góc 30 .
c) Mặt phẳng ( ) hợp với đáy ( ) một góc 30 .

Đáp số: ) = 8 √2; ) = 5 √11; ) = 16
Dạng 4: khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: cho lăng trụ xiên tam giác . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh . biết cạnh bên là √3
và hợp với đáy ( ) một góc 60 . Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải: ...
...

...
...
...
...
...
...

Ví dụ 2: cho lăng trụ xiên tam giác . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh . hình chiếu ′ xuống
mặt phẳng ( ) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác và ′ hợp với đáy một góc 60 .
Chứng minh ′ ′ là hình chữ nhật và tính thể tích lăng trụ.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 15

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho lăng trụ . ′ ′ ′ có các cạnh đáy là 13; 14; 15 biết cạnh bên bằng 2 và hợp với đáy ( )

một góc 45 . Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: = √2

2. Cho lăng trụ . ′ ′ ′ ′ có đáy là hình vng cạnh , và cạnh bên bằng 8, hợp với đáy một

góc 30 . Tính thể tích khối lăng trụ. Đáp số: = 4 √3

3. Cho hình hộp . ′ ′ ′ ′ có = ; = ; ′ = và = 30 . Cạnh bên ′ hợp với đáy

một góc 60 . Tính thể tích khối lăng trụ. Đáp số: = √

4. Cho lăng trụ tam giác . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh , và điểm ′ cách đều , , và

= √ . Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: = √

5. Cho lăng trụ . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh , đỉnh ′ có hình chiếu lên mặt phẳng
( ) nằm trên đường cao của tam giác . mặt bên ( ′ ) hợp với đáy một góc 60 .

a) Chứng minh ′ ′ là hình chữ nhật.

b) Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: = √

6. Cho lăng trụ . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều tâm , cạnh bên = và hợp với đáy một góc
60 . và ′ có hình chiếu lên trùng với .

a) Chứng minh ′ ′ là hình chữ nhật, tính diện tích .

b) Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: ) = √ ; ) = √

7. Cho lăng trụ . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh , biết chân đường vng góc hạ từ ′ trên
trùng với trung điểm của và = .

a) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.

b) Tính thể tích lăng trụ. Đáp số: ) = 60 ; ) = √

8. Cho hình hộp . ′ ′ ′ ′ có 6 mặt là hình thoi cạnh , hình chiếu vng góc của ′ trên ( )
nằm trong hình thoi, các cạnh xuất phát từ hợp đơi một tạo với nhau một góc 60 .

a) Chứng minh nằm trên đường chéo của ( ).
b) Tính diện tích các mặt chéo ( ′ ′) và ( ′ ′).

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 16

9. Cho lăng trụ xiên . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều tâm . hình chiếu của trên ( ) là .
Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ đến ′ là a và hai mặt bên ′ ′ và ′ ′ vng góc.

Đáp số: =

√

10. Cho hình hộp . ′ ′ ′ ′ có đáy là hình thoi cạnh và = 60 , chân đường vng góc hạ
từ ′ xuống trùng với giao điểm hai đường chéo đáy, biết = .

a) Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp. Đáp số: ) = 60 ; ) = ; = √15.

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

Dạng 1: khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp . có = = = = . hai mặt ( ) và ( ) cùng vng góc với
( ). Tính thể tích hình chóp.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 2: Cho hình chóp . có đáy là tam giác vng cân tại , với = . Biết vng góc
với đáy và hợp với đáy một góc 45 .

a) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông.
b) Tính thể tích hình chóp.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 17 
Ví dụ 3: Cho hình chóp . có đáy là tam giác đều cạnh , biết vng góc với đáy và
( ) hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích hình chóp.

Giải: ...
...

...
...
...
...
...

Ví dụ 4: Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh , vng góc với đáy và mặt
bên ( ) hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ đến mặt phẳng ( )
Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho hình chóp . có đáy là tam giác vuông cân tại với = = , biết vng góc
với đáy và hợp với ( ) một góc 30 . Tính thể tích hình chóp. Đáp số: = √
2. Cho khối chóp . có vng góc với đáy và = ℎ, biết tam giác đều và mặt ( )

hợp với đáy một góc 30 . Tính thể tích khối chóp. Đáp số: = √
3. Cho hình chóp . có đáy là tam giác vuông tại và vng góc với đáy , = .

hợp với ( ) một góc 30 và ( ) hợp với ( ) một góc 60 . Chứng minh rằng = +

+ và Tính thể tích hình chóp. Đáp số: = √

4. Cho tứ diện có ⊥ ( ), biết = = 4 ; = 3 ; = 5 .
a) Tính thể tích tứ diện .

b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ). Đáp số: ) = 8 ; ) =

√

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 18

6. Cho hình chóp . có đáy là hình vng, biết ⊥ ( ), và = và hợp với đáy

một góc 60 . Tính thể tích hình chóp. Đáp số: = √

7. Cho khối chóp . có đáy là hình chữ nhật, biết ⊥ ( ), hợp với đáy một góc

45 và = 3 ; = 4 . Tính thể tích khối chóp. Đáp số: = 20

8. Cho khối chóp . có đáy là hình thoi cạnh và = 60 . Biết ⊥ ( ) và khoảng
cách từ đến bằng . Tính thể tích khối chóp . Đáp số: = √
9. Cho khối chóp . có đáy là hình thang vng tại và , Biết = = , = 2 và

⊥ ( ) và ( ) hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích . Đáp số: = √
10. Cho khối chóp . có đáy là nữa lục giác đều nội tiếp trong nữa đường tròn đường kính

= 2 , biết mặt phẳng ( ) hợp với đáy một góc 45 . Tính thể tích . Đáp số: =
Dạng 2: khối chóp có một mặt bên vng góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh , mặt bên SAB là tam giác đều nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy và mặt bên ( ) hợp với đáy một góc 60 . Chứng minh rằng

chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh và tính thể tích hình chóp .

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 2: Cho tứ diện có đáy là tam giác đều, là tam giác vuông cân tại . Biết ( ) ⊥
( ) và hợp với ( ) một góc 60 . Tính thể tích tứ diện .

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 19 
Ví dụ 3: Cho hình chóp . có đáy là tam giác vuông cân tại và = . Mặt bên ( ) vuông
góc với đáy, các mặt bên cịn lại đều tạo với đáy một góc 45 . Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp
trùng với trung điểm cạnh và tính thể tích hình chóp .

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho hình chóp . có đáy là tam giác đều cạnh . Tam giác cân tại và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy .

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh .

b) Tính thể tích hình chóp . Đáp số: ) = √

2. Cho hình chóp . có đáy là tam giác vuông cân tại và = = . Tam giác cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy . Mặt phẳng ( ) hợp với ( ) một góc 45 .

Tính thể tích hình chóp . Đáp số: =

3. Cho hình chóp . có = 90 ; = 30 . là tam giác đều cạnh , và ( ) ⊥ ( ).

Tính thể tích hình chóp . Đáp số: = √

4. Cho hình chóp . có đáy là tam giác đều, tam giác có đường cao = ℎ và ( ) ⊥
( ), biết hợp với mặt ( ) hợp một góc 30 . tính thể tích . Đáp số: = √
5. Cho tứ diện . có và là hai tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vng góc với nhau,

biết = . Tính thể tích tứ diện. Đáp số: = √

6. Cho hình chóp . có đáy là hình vng, mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH=h,
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh .

b) Tính thể tích hình chóp . Đáp số: =

7. Cho khối chóp . có đáy là hình chữ nhật, biết ∆ đều cạnh và nằm trong mặt phẳng

vng góc đáy. Biết ( ) hợp với đáy một góc 30 . Tính thể tích . Đáp số: = √
8. Cho khối chóp . có đáy là hình chữ nhật có = 2 , = 4 . Biết ( ) ⊥ ( )

và hai mặt bên ( ) và ( ) cùng hợp với đáy một góc 30 . Tính thể tích khối chóp .

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 20

9. Cho khối chóp . có đáy là hình thoi, Biết = 2 = 2 và tam giác vuông cân
tại , nằm trong mặt phẳng vng góc đáy. Tính thể tích . Đáp số: = √
10. Cho khối chóp . có đáy là hình thang vuông tại và , = = ; = 2 . Biết

∆ đều và nằm trong mặt phẳng vng góc đáy. Tính thể tích . Đáp số: = √
Dạng 3: khối chóp đều

Ví dụ 1: Cho khối chóp đều . có cạnh đáy bằng , và cạnh bên bằng 2 . Chứng minh rằng chân
đường cao kẻ từ của hình chóp là tâm tam giác đều . Tính thể tích khối chóp đều .

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác . có tất cả các cạnh độ dài bằng a.
a) Chứng minh rằng S.ABCD là khối chóp tứ giác đều.

b) Tính thể tích tứ diện .

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều có cạnh bằng , là trung điểm .
a) Tính thể tích tứ diện đều .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 21

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho hình chóp đều . có cạnh bên bằng và hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích hình chóp.
Đáp số: =
2. Cho hình chóp đều . có cạnh bên là , góc ở đáy của mặt bên là 45 .

a) Tính độ dài chiều cao của hình chóp .

b) Tính thể tích hình chóp . Đáp số: ) =

√ ; ) =

3. Cho hình chóp tam giác đều . có cạnh đáy là , mặt bên hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích

hình chóp Đáp số: = √

4. Cho hình chóp tam giác đều có đường cao ℎ, và hợp với một mặt bên góc 30 . Tính thể tích hình chóp

Đáp số: = √
5. Cho hình chóp tam giác đều có đường cao ℎ, và mặt bên có góc ở đỉnh là 60 . Tính thể tích hình chóp

Đáp số: = √
6. Cho hình chóp tứ giác đều . có cạnh đáy là và = 60 .

a) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.

b) Tính thể tích hình chóp. Đáp số: ) = √ ; ) = √

7. Cho hình chóp tứ giác đều có đường cao ℎ, và mặt bên có góc ở đỉnh là 60 . Tính thể tích hình chóp
Đáp số: =

8. Cho hình chóp tứ giác đều . có mặt bên hợp với đáy một góc 45 , và khoảng cách từ chân
đường cao của hình chóp đến mặt bên bằng . Tính thể tích hình chóp

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 22

9. Cho hình chóp tứ giác đều . cạnh bên bằng và hợp với đáy góc 60 . Tính thể tích hình chóp.
Đáp số: = √
10. Cho hình chóp . có tất cả các cạnh bằng nhau.

a) Chứng minh rằng, . là khối chóp tứ giác đều.

b) Tính cạnh của hình chóp biết thể tích khối chóp . là = √ Đáp số: 3
Dạng 4: khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích

Ví dụ 1: Cho khối chóp . có tam giác vuông cân ở , = √2 và = , ⊥ .
a) Tính thể tích khối chóp .

b) Gọi là trọng tâm tam giác , mặt phẳng ( ) qua và song song với cắt , lần lượt tại
, . Tính thể tích của khối chóp .

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...

...

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân ở , và = . trên đường thẳng qua và vng góc với mặt
phẳng ( ) lấy điểm sao cho = . Mặt phẳng qua vng góc với , cắt tại và tại .

a) Tính thể tích tứ diện . b) Chứng minh ⊥ ( )

c) Tính thể tích tứ diện

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 23 
Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều . . Một mặt phẳng ( ) qua , và trung điểm của . Tính tỉ
số thể tích của hai phần khối chóp được phân chia bởi mặt phẳng đó.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều . , đáy là hình vng cạnh , cạnh bên tạo với đáy góc 60 . Gọi
là trung điểm , mặt phẳng đi qua và song song với , cắt tại và tại .

a) Hãy xác định mặt phẳng b) Tính thể tích khối chóp .
c) Tính thể tích khối chóp .

Giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 5: Cho khối chóp . có đáy là hình vuông cạnh và ⊥ và = √2. gọi
′, ′ là hình chiếu của lần lượt lên , . Mặt phẳng ( ′ ′) cắt tại ′.

a) Tính thể tích khối chóp .
b) Chứng minh ⊥ ( ′ ′)

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 24

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...

...
...
...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho tứ diện . gọi ′ và ′ lần lượt là trung điểm của và . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện

′ ′ và khối tứ diện . Đáp số: =

2. Cho tứ diện có thể tích 9 , trên , , lần lượt lấy các điểm ′, ′, ′ sao cho =
2 ′; 2 = 3 ′; = 3 ′. Tính thể tích tứ diện ′ ′ ′. Đáp số: = 2
3. Cho tứ diện đều có thể tích 12 , gọi ; lần lượt là trung điểm của ; . Lấy trên

sao cho = 3 . Tính thể tích tứ diện Đáp số: = 1

4. Cho tứ diện đều có cạnh , Lấy ′; ′ trên ; sao cho = ; = . Tính thể tích tứ

diện ′ ′ Đáp số: = √

5. Cho hình chóp . có đáy là tam giác đều cạnh √3, đường cao = . Mặt phẳng qua và vng
góc tại , cắt tại . Tính thể tích hình chóp . Đáp số: = √
6. Cho hình chóp . có thể tích 27 , Lấy ′ trên sao cho = 3 ′. mp qua ′ song song với

đáy hình chóp cắt , , lần lượt tại ′, ′, ′. Tính thể tích . ′ ′ ′ ′ Đáp số: = 1

7. Cho hình chóp . có thể tích 9 , là hình bình hành, Lấy trên sao cho 2 = 3 .
Mặt phẳng ( ) cắt tại . Tính thể tích khối đa diện Đáp số: = 4

8. Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh , chiều cao = ℎ. Gọi là trung điểm ,

mp chứa song song với lần lượt cắt , tại và . Tính thể tích hình chóp .

Đáp số: =

9. Cho hình chóp . có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm SC. Mặt phẳng qua AI và
song song với BD chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai hình này. Đáp số: =
10. Cho hình chóp . có đáy ABCD là hình bình hành, Lấy điểm M trên SA sao cho = . Tìm X

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 25

Dạng 5: tổng hợp khối chóp và lăng trụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp . có là hình vng cạnh 2 , = √2 và ⊥ . Góc giữa
và đáy bằng 60 và là trung điểm .

a) Tính thể tích khối chóp .
b) Tính thể tích khối chóp .

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác . có = 5 ; = 6 ; = 7 . Các mặt bên ( ), ( ),

( ) tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật . ′ ′ ′ ′ có = √3; = ; = . là giao điểm của
và .

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp . ′ ′ ′ ′
b) Tính thể tích khối chóp ′ ′

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 26

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...

...

Ví dụ 4: Cho hình lập phương . ′ ′ ′ ′ có cạnh . Tính thể tích khối chóp ′ ′

Giải: ...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng .
a) Tính thể tích khối chóp ′ ′

b) là trung điểm cạnh , mặt phẳng ( ′ ′ ) cắt tại . Tính thể tích khối chóp . ′ ′

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 27

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có tam giác vuông, = = ; = √2. là trung điểm

′. Tính thể tích lăng trụ ′ ′ Đáp số: = √

2. Cho hình chóp . có tam giác vuông tại , ⊥ ( ); = 60 ; = ; = √3,

là trung điểm . Tính thể tích tứ diện . Đáp số: =

3. Cho hình chóp . có đáy là hình thang với đáy lớn = 2, = 90 . Các tam giác đều

và có cạnh bằng √3. Tính thể tích khối chóp . Đáp số: = √

4. Tính thể tích hình chóp tam giác đều . trong các trường hợp:
a) Cạnh đáy bằng 1 và = 60 .

b) = 1; = 2 Đáp số: ) =√ ; ) =√

5. Cho lăng trụ . ′ ′ ′ có độ dài cạnh bên bằng 2 , ∆ vuông tại , = , = √3. hình
chiếu vng góc của ′ lên mp( ) là trung điểm . Tính thể tích ′ Đáp số: =

6. Cho hình chóp . có đáy ABCD là hình bình hành và = √3. và góc giữa hai đường chéo
bằng 60 , các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc 45 . Tính thể tích hình chóp Đáp số: = √
7. Cho hình chóp . có = = = . = 60 ; = 90 ; = 120 . Chứng minh rằng

tam giác vng và tính thể tích khối đa diện . Đáp số: = √
8. Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh 2 , = ; = √3. mp ( ) vng góc

với đáy. Gọi ; lần lượt là trung điểm ; . Tính thể tích . Đáp số: = √
9. Cho lăng trụ đứng tam giác đều . ′ ′ ′, có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng . Gọi , , lần lượt

là trung điểm của ; ′; ′ ′. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do mp( ) tạo ra.

Đáp số: = 1
10. Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh , mặt bên ( ) là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , . Chứng
minh vng góc với và tính thể tích tứ diện . Đáp số: = √

LOẠI 3: THỂ TÍCH KHỐI TRỊN

Dạng 1: hình trụ

Ví dụ 1: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm và ′, bán kính , chiều cao hình trụ là √2. Tính
thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 28 
Ví dụ 2: Cho hình trụ có các đáy là hai hình trịn tâm và ′, bán kính bằng 2 , trên đường tròn tâm
lấy hai điểm , sao cho = 2 . Biết thể tích tứ diện ′ bằng 8 . Tính chiều cao hình trụ và
thể tích khối trụ.

Giải: ...
...
...
...
...
...

Ví dụ 3: Cho hình trụ có các đáy là hai hình trịn tâm và ′, bán kính bằng 2 , trên đường trịn tâm
lấy điểm sao cho ′ hợp với đáy một góc 60 . Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.

Giải: ...
...
...
...
...
...

Ví dụ 4: Một hình trụ có bán kính và chiều cao √3.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ.

c) Cho hai điểm , lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho hợp với trục của hình trụ một
góc bằng 30 . Tính khoảng cách giữa và trục của hình trụ.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 29

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Một khối trụ có chiều cao 20 và có bán kính đáy bằng 10 . Kẻ hai bán kính và ′ ′ lần lượt
trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau góc 30 . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng

′ và song song trục của khối trụ. Hãy tính diện tích của thiết diện
2. Một hình trụ có bán kính đáy và có thiết diện qua trục là hình vng.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đó.

3. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng , chiều cao ′ = ℎ, và là hai điểm thay đổi trên hai đường
tròn đáy sao cho độ dài = không đổi ℎ < < √ℎ + 4 .

a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng và ′ không đổi.
b) Chứng minh khoảng cách giữa và ′ khơng đổi.

4. Trong khơng gian cho hình vuông cạnh , gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và .
Khi quay hình vng đó quanh trục ta được một hình trụ trịn xoay.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ trịn xoay được tạo nên.
b) Tính thể tích khối trụ được tạo nên từ hình trụ trịn xoay đó.

5. Cho hình chữ nhật với = , = 2 , và đường thẳng ∆ nằm trong mp( ), ∆ song song
với và cách một khoảng bằng , ∆ khơng có điểm chung với hình chữ nhật .

a) Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên khi quay hình chữ nhật quanh ∆.

b) Xác định để thể tích nói trên gấp 3 lần thể tích hình cầu có bán kính bằng cạnh .

6. Cho hình trụ bán kính đáy bằng , trục ′ = 2 . và ′ là hai bán kính của hai đường trịn đáy
tâm và ′ sao cho góc giữa và ′ bằng 30 .

a) Tính độ dài đoạn thẳng ′

b) Tính tan( ; ′) và d( ; ′).

7. Cho hình trụ bán kính đáy bằng , chiều cao ℎ. Gọi , lần lượt là hai điểm trên hai đường tròn tâm
và ′ sao cho và ′ hợp với nhau một góc bằng , hai đường thẳng và ′ hợp với nhau một
góc bằng .

a) Tính bán kính theo ℎ, , .
b) Tính ; và theo ℎ, , .

8. Một khối trụ có các đáy là hai hình trịn tâm và ′, bán kính và có đường cao ℎ = √2. Gọi , lần
lượt là hai điểm trên hai đường tròn tâm và ′ sao cho vng góc ′ .

a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện ′ là những tam giác vng. Tính tỉ số thể tích giữa
khối tứ diện ′ và khối trụ.

b) Gọi ( ) là mặt phẳng qua và song song ′. Tính khoảng cách giữa trục ′ và ( )
c) Chứng minh rằng ( ) là tiếp diện của mặt trụ có trục ′ và bán kính đáy bằng √

9. Một hình trụ có thể tích khơng đổi. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ để:

a) Diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Diện tích xung quanh cộng diện tích một đáy đạt giá trị nhỏ nhất.

10. Trên các đường tròn đáy của một hình trụ có chiều cao ℎ và bán kính đáy , người ta lấy thứ tự các điểm
, . Xác định khoảng cách giữa đường thẳng và trục của hình trụ trong các trường hợp:

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 30

Dạng 2: khối nón

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ′ ′ ′ có cạnh đáy bằng , chiều cao bằng 2 . Biết rằng ′ là
tâm của ′ ′ ′ và đường tròn ( ) nội tiếp đáy . Tính thể tích khối nón có đỉnh ′ và đáy là ( ).

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tứ giác đều . ′ ′ ′ ′ có cạnh đáy bằng , chiều cao bằng 2 . Biết rằng ′
là tâm của ′ ′ ′ ′ và đường tròn ( ) nội tiếp đáy . Tính thể tích khối nón có đỉnh ′ và đáy là ( ).
Giải: ...
...
...

...
...
...
...
...

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều . có cạnh đáy bằng , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi
( ) là đường tròn ngoại tiếp đáy . Tính thể tích khối nón có đỉnh và đáy (C).

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 31 
Ví dụ 4: Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng a. Tính thể

tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Trong không gian cho tam giác vng góc tại I, = 30 ; = . Khi quay tam giác
quanh cạnh góc vng thì đường gấp khúc tạo thành một hình nón trịn xoay. Tính diện tích
xung quanh hình nón và thể tích khối nón đó.

2. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón.

b) Tính thể tích khối nón.

c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60 . Tính diện tích của thiết diện này.

3. Cho hình nón đỉnh , đường cao , và là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ
đến bằng , và = 30 ; = 60 . Tính độ dài đường sinh hình nón theo .

4. Cho hình chóp tam giác đều . có cạnh bên bằng , và góc giữa các mặt bên và mặt đáy là . Một
hình nón đỉnh có đường trịn đáy nội tiếp ∆ . Tính diện tích xung quanh của hình nón theo và .
5. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 va góc giữa đường sinh và đáy là .

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón.

b) Gọi là điểm trên đường cao của hình nón sao cho = (0 < < 1). Tính diện tích của thiết
diện qua và vng góc với trục.

6. Một mp( ) qua đỉnh của một hình nón cắt đường trịn đáy theo một cung có số đo là ( < ). Biết
rằng ( ) hợp với mặt đáy một góc va khoảng cách từ tâm của đáy tới ( ) bằng . Tính thể tích khối
nón theo , , .

7. Cho tam giác vuông tại , = , = , Tính thể tích khối trịn xoay sinh bởi tam giác khi
quay quanh .

8. Cho hình nón có bán kính và đường cao ℎ.

a) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón.
b) Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp hình nón.

9. a) Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính cho trước.

b) Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp một mặt cầu bán kính cho trước.
10. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy là và mặt bên có góc ở đáy là .

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón nội tiếp hình chóp.
b) Chứng minh rằng chiều cao của hình chóp đã cho bằng:

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 32

11. Cho hình chóp tứ giác đều . có chiều cao ℎ, = .
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.

b) Chứng minh diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp bằng: √

12. Cho tam giác vuông tại , = , = . Gọi ; ; là thể tích các khối trịn xoay sinh bởi
tam giác đó (kể cả các điểm ở trong) khi lần lượt quay quanh , , .

a) Tính ; ; theo , .
b) Chứng minh rằng: = +

13. Cho hình nón có đường cao = ℎ, bán kính đáy . Gọi là điểm trên , đặt = (0 < < ℎ).
a) Tính diện tích thiết diện vng góc với trục tại .

b) Tính thể tích của hình nón đỉnh và đáy là thiết diện ở câu a) theo , ℎ, . Xác định sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.

Dạng 3: khối cầu

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều cạnh .

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 2: Cho hình chóp , có đường cao = , đáy là tam giác đều cạnh . Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp.

Giải: ...
...
...
...
...
...

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 33

Giải: ...
...
...
...
...
...
...

...
...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho tứ diện có và là các tam giác đều cạnh , = √2.
a) Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp.

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu trên.

2. Cho hình chóp . có đáy là tam giác vng tại và ⊥ ( ).

a) Gọi là trung điểm . Chứng minh = = = , từ đó suy ra bốn điểm , , , cùng
nằm trên mặt cầu tâm bán kính =

b) Cho = = và = √2. Tính bán kính mặt cầu nói trên.

3. Trong mp( ), cho đường thẳng và điểm nằm ngồi . Một góc di động quanh , cắt tại và
. Trên đường thẳng qua vng góc với ( ) lấy điểm , gọi , là hình chiếu vng góc của lên

, .

a) Chứng minh , , , , cùng thuộc một mặt cầu.

b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết = 2, = 3, = 60 .

4. Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh , = √3 và ⊥ ( ), gọi là tâm
và là hình chiếu của lên .

a) Chứng minh ba điểm , , cùng nhìn đoạn dưới một góc vng. Suy ra năm điểm , , , ,

cùng nằm trên mặt cầu đường kính .

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.

5. Cho hình chóp tam giác đều . , có cạnh đáy bằng và góc hợp bởi mặt bên và đáy là 60 . Gọi là
tâm của tam giác , trong tam giác dựng đường trung trực của cạnh , cắt tại .

a) Tính , .

b) Chứng minh ∆ ~ ∆ ( là trung điểm ), suy ra .

c) Chứng minh hình chóp . là hình chóp đều, suy ra = + .
d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

6. Trong mặt phẳng ( ), cho đường trịn đường kính = 2 . là một điểm di động trên đường trịn,
vng góc với tại , với = (0 < < 2 ). Dựng đường thẳng vng góc với ( ) tại ,
trên đó lấy = .

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 34

7. Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh , = √7 và ⊥ ( ), Một mp( )
qua và vng góc , cắt , , lần lượt tại , , .

a) Chứng minh 7 điểm , , , , , , cùng nằm trên mặt cầu.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

8. Cho mặt cầu đường kính 2 . Cắt mặt cầu bởi một mặt phẳng vng góc với tại sao cho =
(0 < < 2 ), được thiết diện là đường tròn ( ). Gọi là hình vng nội tiếp đường trịn ( ).
a) Tính theo và bán kính đường trịn ( ), cạnh của hình vng và các đoạn thẳng , .
b) Tính thể tích khối đa diện tạo bởi 2 hình chóp và . Tính để thể tích này đạt giá

trị lớn nhất.

9. Cho mặt cầu ( ) tâm , đường kính = 2 . Cắt ( ) bằng một mặt phẳng ( ) vng góc với ′ tại
( ≠ ), giao tuyến là đường tròn ( ). Đặt = ℎ, là một điểm cố định trên ( ), là đường kính
lưu động của ( ). Đường thẳng vng góc với ( ) tại cắt ( ) tại .

a) Tính theo và ℎ. Chứng minh hình tứ diện có tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng
nhau và bằng hằng số.

b) Xác định vị trí để thể tích của khối tứ diện đạt giá trị lớn nhất.
c) Tìm tập hợp hình chiếu vng góc của lên đường thẳng .

d) Chứng minh tam giác có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi khối tứ diện có thể tích lớn
nhất. Khi đó, hãy tính diện tích của tam giác và thể tích của khối tứ diện biết ℎ = .
10. Cho tam giac đều tâm , có ′, ′, ′ lần lượt là trung điểm của các cạnh , , . Đặt ′ = .

Mặt cầu ( ) tâm bán kính tiếp xúc với mp( ) tại .
a) Chứng minh: = 2 √3.

b) Chứng minh nếu mặt phẳng qua tiếp xúc với ( ) cắt đường thẳng tại thì các mặt phẳng qua
, và tiếp xúc với ( ) cũng qua .

c) Tìm điều kiện để ba điểm , , thẳng hàng theo thứ tự đó.
d) Đặt = ℎ. Chứng minh: ℎ + 2 − ℎ = 0

e) Tính theo để = 90 .
Dạng 4: Tổ hợp khối trịn

Ví dụ 1: Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính cho trước.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 35 
Ví dụ 2: Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính cho trước.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 3: Trong tất cả khối nón ngoại tiếp khối trụ chiều cao h, bán kính đáy R. Xác định khối nón có thể

tích nhỏ nhất.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...

Ví dụ 4: Trong tất cả các khối trụ nội tiếp khối nón chiều cao h, bán kính đáy R. Hãy xác định khối trụ có

thể tích lớn nhất.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 36 
Ví dụ 5: Đường cao của hình nón gấp hai lần bán kính của nó. Tính tỉ số thể tích của hình cầu ngoại tiếp và

nội tiếp hình nón đó.

Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Cho tam giác đều ABC cạnh a và (P) là mặt phẳng qua BC và vng góc với mp(ABC). Gọi (C) là
đường trịn đường kính BC và nằm trong mp(P).

a) Tính bán kính mặt cầu đi qua đường tròn (C) và điểm A.

b) Xét hình nón ngoại tiếp mặt cầu nói trên sao cho các tiếp điểm giữa hình nón và mặt cầu là đường
trịn (C). Tính thể tích khối nón.

2. Một hình cầu nội tiếp trong một hình nón, biết rằng thể tích hình nón bằng 2 lần thể tích của hình cầu.
Tính tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu.

3. Một hình nón có bán kính đáy R và chiều cao bằng 4R.

a) Tính diện tích tồn phần của hình trụ nội tiếp hình nón, biết rằng bán kính đáy hình trụ bằng r.
b) Tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp hình nón để diện tích tồn phần của hình trụ

đạt giá trị lớn nhất.

4. Cho một hình cầu bán kính R, một hình nón nội tiếp trong hình cầu có chiều cao là x(0<x<2R).
a) Tính thể tích V, diện tích xung quanh S của hình nón.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữaV,S,R độc lập với x.
c) Với giá trị nào của x thì V lớn nhất.

5. Một hình nón có đường sinh bằng a, diện tích xung quanh bằng .
a) Tính diện tích tồn phần S và thể tích V của hình nón đó.

b) Trong hình nón đã cho có một mặt cầu nội tiếp. Tính diện tích S' của mặt cầu nội tiếp và thể tích V'
của hình cầu xác định bởi mặt cầu nói trên. So sánh các tỉ số và .

6. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2 . Trong hình nón có một hình trụ nội tiếp. Tính
bán kính đáy và chiều cao hình trụ, biết thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vng.

7. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH=h và đường sinh l bằng đường kính đáy. Một hình cầu có tâm là
trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy của hình nón.

a) Xác định giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 37

8. Hiệu giữa đường sinh và bán kính đáy của một hình nón là a, góc xen giữa đường sinh và mặt đáy là .

Tính diện tích mặt cầu nội tiếp trong hình nón.

9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng B'D và
mp(ABB'A') bằng 30 . Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt ABB'A' bằng . Tính thể tích hình hộp đã
cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp, biết đường kính đáy hình trụ bằng 5a.

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều . có đáy là hình vng cạnh 2 , cạnh bên = √5. mp
( ) đi qua và vng góc với mp( ), lần lượt cắt và tại ′ và ′. tính thể tích khối đa diện

′. ′ Đáp số: = √

Bài 2: Cho hình chóp . có = ; = ; các cạnh cịn lại đều 1. Tính . .

Đáp số: = 4 − −

Bài 3: Cho tứ diện có các cạnh = = ; = = ; = = . Tính thể tích tứ diện

Đáp số: =√ ( + − )( + − )( + − )

Bài 4: Cho hình vng cạnh , các nữa đường thẳng , vng góc ( ) và ở về cùng một
phía đối với mặt phẳng ấy. trên , lần lược lấy , và gọi = , = . Tính theo , .

Bài 5: Cho hình chóp . có đáy là hình chữ nhật với = , = √2, ⊥ ( ). Gọi
, lần lượt là trung điểm của , . là giao điểm của và . Chứng minh ⊥ ( ) và tính thể
tích hình chóp .

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều . có cạnh đáy bằng , và = .
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

b) Chứng minh đường cao của hình chóp bằng cot − 1

c) Tính thể tích hình chóp. Đáp số: = cot ; = cot − 1

Bài 7: Cho hình chóp . có hai mặt bên ( ) và ( ) vuông góc đáy. Đáy là tam giác cân
đỉnh . Trung tuyến = . Cạnh bên tạo với đáy góc và tạo với mp( ) góc .

a) Xác định các góc ; .

b) Chứng minh: = + + .

c) Tính diện tích tồn phần và thể tích khối chóp. Đáp số: ) = ; = ;

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 38 
Bài 8: Cho hình chóp . , đáy là hình vng cạnh . Mặt bên là tam giác đều và và vng
góc với đáy. Gọi là trung điểm của và là một điểm di động trên đường thẳng .

a) Chứng minh rằng ⊥ ( ). Tính thể tích khối chóp .

b) Tìm tập hợp các hình chiếu của lên .

c) Tìm khoảng cách từ đến theo và = .

Đáp số: b) thuộc đường trịn đường kính . ) =

Bài 9: Trên đường thẳng vng góc tại với mặt phẳng của hình vng cạnh , ta lấy điểm với
= 2 . gọi ′, ′ là hình chiếu của lên , . Mặt phẳng ( ′ ′) cắt tại ′. Tính thể tích khối

chóp . ′ ′. Đáp số: =

Bài 10: Cho hình chóp . , đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng ( ) cắt , , , lần

lượt tại ′, ′, ′, ′. Chứng minh: + = +

Bài 11: Cho tứ diện đều có cạnh là . Dựng đường cao .
a) Chứng minh ⊥ .

b) Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình chóp .

c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng , , đơi một vng góc với nhau.

Đáp số: ) = √ ; ) = √

Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều , có chiều cao = ℎ và góc ở đáy của mặt bên là .
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo ; ℎ.

b) Cho điểm di động trên cạnh . Tìm tập hợp hình chiếu của xuống mp( )

Đáp số: = ; =

( )

Bài 13: Trên cạnh của hình vuông cạnh , ta lấy điểm với = (0 ≤ ≤ ) và trên nửa
đường thẳng vng góc tại với mặt phẳng của hình vng, ta lấy điểm với = ( > 0).

a) Chứng minh hai mặt phẳng ( ) và ( ) vng góc.
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mp( ).

c) Tính thể tích khối chóp .

d) Với giả thuyết + = . Tìm giá trị lớn nhất của thế tích hình chóp .

e) là trung điểm của . Tìm quỹ tích hình chiếu của xuống khi di động trên .

Đáp số: ) = √ ; ) = ( + 1); ) = √3

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 39

a) Chứng minh: =

cos2 −sin2

b) Tính thể tích khối chóp. Đáp số: =

(cos2 −sin2 )

Bài 15: Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh . Cạnh bên = 2 và vng góc với
mặt phẳng đáy.

a) Tính diện tích tồn phần của hình chóp.

b) Hạ ⊥ , ⊥ . Chứng minh ⊥ ( )

Bài 16: Cho hình chóp tứ giác đều . có đáy là hình vng cạnh , và = = = =
. Tính diện tích tồn phần và thể tích khối chóp . .

Bài 17: Cho hình chóp tứ giác . có đáy là hình thang vng tại và , = = , =
2 . Cạnh bên ⊥ ( ) và = .

a) Chứng minh ∆ vng. Tính diện tích ∆
b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( )

Bài 18: Cho hình chóp tứ giác . có đáy là hình thang vng tại và , = = , =
2 . Cạnh bên ⊥ ( ) và = √3. Từ trung điểm của dựng ⊥ ( ∈ ). Tính thể tích
khối chóp . theo và chứng minh ⊥ ( ).

Bài 19: Cho hình chóp tứ giác . có đáy là hình thang vuông tại và , = 2 , =
= ( > 0). Cạnh bên = 3 và vng góc với đáy. Tính diện tích tam giác và thể tích tứ diện
. theo .

Bài 20: Cho hình chóp . có đáy là ∆ vuông ở . Cạnh vuông với đáy. Từ kẻ các đoạn thẳng

⊥ ; ⊥ . Biết = , = , = .

a) Tính thể tích khối chóp .

b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( ).

Bài 21: Cho lăng trụ tam giác đều . ′ ′ ′, cạnh đáy bằng , đường chéo của mặt bên ′ ′ hợp với
mặt bên ′ ′ một góc . Xác định góc và chứng minh thể tích lăng trụ là: .

Bài 22: Cho lăng trụ tứ giác đều . ′ ′ ′ ′, chiều cao ℎ. Mặt phẳng ( ′ ) hợp với mặt bên ′ ′
một góc . Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.

Đáp số: = ℎ √tan − 1; = 4ℎ √tan − 1

Bài 23: Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′, đáy vuông tại . Khoảng cách từ ′ đến mặt bên ′ ′
bằng , mp( ′) cách một khoảng bằng và hợp với đáy một góc .

a) Dựng ⊥ , ⊥ . Chứng minh: = , ′ = , = .

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 40

c) Cho = khơng đổi, cịn thay đổi. Định để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
Đáp số: ) =

√ ) tan =

√

Bài 24: Cho lăng trụ đều . ′ ′ ′ ′ cạnh đáy bằng , Góc giữa đường chéo ′ và đáy là 60 . Tính
thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ. Đáp số: = √6; = 4 √6

Bài 25: Cho lăng trụ tứ giác đều, cạnh bên là ℎ. Từ một đỉnh, vẽ hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau,
góc giữa hai đường chéo là . Tính diện tích xung quanh của lăng trụ.

Đáp số: = 4ℎ

Bài 26: Cho lăng trụ tam giác đều . ′ ′ ′, cạnh đáy bằng . mp( ′) hợp với mp( ′ ′) một góc
. Gọi , là hình chiếu của lên và ′. Chứng minh = , và tính thể tích, diện tích xung quanh
hình lăng trụ.

Đáp số: =

√ ; = 3

Bài 27: Cho lăng trụ xiên . ′ ′ ′, đáy là tam giác đều cạnh , ′ = ′ = ′ = .
a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ ′. Chứng minh mặt bên ′ ′ là hình chữ nhật.
b) Định theo , để mặt bên ′ ′ hợp với đáy một góc 60 .

c) Tính thể tích và diện tích tồn phần theo và vừa tìm được.

Đáp số: = ; = 7√3 + √21

Bài 28: Cho lăng trụ xiên . ′ ′ ′, đáy là tam giác vuông cân đỉnh . Mặt bên ′ ′ là hình thoi
cạnh , nằm trên mặt phẳng vng góc với đáy. Mặt bên ′ ′ hợp với đáy góc (0 < < 90 )

a) Chứng minh: ′ = . Tính thể tích lăng trụ.

b) Xác định thiết diện mặt phẳng qua . Tính diện tích xung quanh lăng trụ.

c) Gọi là góc nhọn mà mp( ′ ′) hợp với mp đáy. Chứng minh: tan = √2 tan

Đáp số: = sin ; = 1 + sin + √1 + sin

Bài 29: Cho lăng trụ xiên . ′ ′ ′ đáy là ∆ đều cạnh . Hình chiếu của ′ lên mp( ) trùng với
tâm đường tròn ( ), cho ′ = 45 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.

Đáp số: = √ ; = 1 +√

Bài 30: Cho lăng trụ xiên . ′ ′ ′, đáy là tam giác đều nội tiếp trong đường trịn tâm . Hình chiếu của
′ lên mp( ) là . Khoảng cách giữa và ′ là và số đo nhị diện cạnh ′ là 2 .

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 41

b) Gọi là góc giữa hai mp( ′ ′) và mp( ) (0 < < 90 ). Tính , biết + = 90

Đáp số: = ; tan = ; tan = √

Bài 34: Cho lăng trụ xiên . ′ ′ ′, có đáy là tam giác vng tại , = ; = 2 . Mặt bên ′ ′
là hình thoi, mặt bên ′ ′ nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy, hai mặt này hợp với nhau góc .

a) Tính khoảng cách từ đến mp( ′ ′) và định góc .
b) Tính thể tích lăng trụ.

Đáp số: = √ ; = ; = cot

Bài 31: Cho hình hộp đứng . ′ ′ ′ ′, đáy là hình thoi. Diện tích hai mặt chéo ′ ′, ′ ′ là
; . Tính diện tích xung quanh hình hộp và nếu biết ′ = 90 , tính thể tích hình hộp.

Đáp số: = 2 + ; = √

Bài 32: Cho hình hộp chữ nhật . ′ ′ ′ ′, đường chéo ′ = và hợp với đáy một góc ,
hợp với mặt bên ′ ′ một góc .

a) Chứng minh ′ = ; ′ = .

b) Chứng minh thể tích hình hộp là: = sin . sin cos( + ) cos( − ).

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa và để ′ ′ là hình vng. Cho không đổi, và thay đổi mà
′ ′ ln là hình vng, định ; để thể tích lớn nhất.

Đáp số: 2(cos − sin ) = 1; = √ ( = = 30 )

Bài 33: Cho hình hộp . ′ ′ ′ ′ có đáy là hình thoi cạnh , = 60 . Chân đường vng góc
hạ từ ′ xuống đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho ′ = .

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp. Đáp số: = 60 ; = ; = √15

Bài 34: Cho hình hộp xiên . ′ ′ ′ ′, đáy là hình thoi cạnh và = 60 ; = = ′ và

cạnh bên hợp với đáy một góc .

a) Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ ′ và góc . Tính thể tích hình hộp
b) Tính diện tích các tứ giác ′ ′, ′ ′.

c) Đặt = ; . Tính biết + =

Đáp số: a) Chân đường cao là tâm tam giác đều .

b) = √ ; = tan . c) tan = √

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 42 
Bài 1: ( − − − ) Cho hình chóp . , đáy là hình vuông cạnh , mặt phẳng vng
góc với mặt phẳng đáy, = , góc giữa đường thẳng và đáy bằng 45 . Tính theo thể tích khối chóp

. . Đáp số: = √

Bài 2: ( − − − ) Cho hình chóp tứ giác đều . có = , = √2. gọi , và lần
lượt là trung điểm , và . Chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng và tính theo

thể tích của . Đáp số: = √

Bài 3: ( − − − ) Cho hình chóp . có đáy là hình thang = = 90 ,
= = , = 2 . SA vng góc với đáy và = 2 , gọi , lần lượt là trung điểm của , .
Chứng minh rằng là hình chữ nhật và tính thể tích . theo .

Đáp số: =

Bài 1: ( − ) Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh . Gọi , lần lượt là trung
điểm của và ; là giao điểm của với , biết ⊥ ( ); = √3. Tính thể tích khối

chóp và ( , ). Đáp số: = √ ; = √

√

Bài 2: ( − ) Cho lăng trụ tam giác đều . ′ ′ ′ có = , ( ′ ); ( ) = 60 , gọi là trọng
tâm tam giác ′ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

theo . Đáp số: = √ ; =

Bài 3: ( − ) Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh , cạnh bên = , hình chiếu
vng góc của lên ( ) là điểm thuộc sao cho = . Gọi là đường cao của ∆ .
Chứng minh là trung điểm và tính thể tích khối tứ diện theo . Đáp số: = √

Bài 4: ( − ) Cho hình chóp . có đáy là hình thang vuông tại và . = =
2 , = . góc giữa hai mp( ) và mp( ) bằng 60 . Gọi là trung điểm , biết hai mặt phẳng
( ) và ( ) cùng vng góc với mp( ), tính thể tích . theo . Đáp số: = √

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 43 
Bài 6: ( − ) Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông tại . = ; = 2 ,
′ = 3 . Gọi là trung điểm ′ ′, là giao điểm và ′ . Tính theo thể tích và tính

( , ( )). Đáp số: = ; = 2 √

Bài 7: ( − ) Cho lăng trụ . ′ ′ ′ có độ dài cạnh bên bằng 2 , đáy là tam giác vng tại .
= , = √3. Hình chiếu vng góc của ′ lên ( ) là trung điểm . Tính theo thể tích khối

chóp và cos ; ′ ′ . Đáp số: = ; cos ; ′ ′ =

Bài 8: ( − ) Cho hình chóp . có đáy là hình vuông cạnh 2 , = ; = √3 và

( ) vng góc với đáy. Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Tính theo và

cos ; . Đáp số: =√ ; cos ; ′ ′ =√

Bài 9: ( − ) Cho lăng trụ đứng . ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông. = = ; = √2,
= . Tính theo thể tích lăng trụ và tính ( , ). Đáp số: = √ ; ( , ) = √

Bài 10: ( − ) Cho hình chóp . có đáy là hình vng cạnh . Mặt bên là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , . Chứng minh

⊥ và tính . Đáp số: =√

Bài 11: ( − ) Cho hình chóp tứ giác đều . có đáy là hình vng cạnh , là điểm đối
xứng của qua trung điểm , là trung điểm của , là trung điểm của . Chứng minh ⊥ và

tính ( , ). Đáp số: = √

Bài 12: ( − ) Cho hình chóp . có đáy là hình thang với = = 90 . =
= , = 2 , ⊥ ( ), = √2. gọi là hình chiếu của lên . Chứng minh ∆ vng

và tính ; ( ) . Đáp số: =

Bài 13: ( − ) Cho hình trụ có đáy là hình trịn tâm và , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng .
Trên hai đường trịn đó lần lượt lấy hai điểm , sao cho = 2 . Tính Đáp số: = √

Bài 14: ( − ) Cho hình chóp . có đáy là hình chữ nhật với = ; = √2; = ; ⊥
( ). Gọi , lần lượt là trung điểm , . là giao điểm của và . Chứng minh ( ⊥ )

và tính . Đáp số: = √

Bài 15: ( − ) Cho hình chóp . đáy là ∆ đều cạnh ; = 2 và ⊥ ( ). gọi , lần

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 44

D'

C'
B'

A'

D

C
B

A
I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN HÌNH LĂNG TRỤ:

1. Định nghĩa: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là 
hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau.

 Hình lăng trụ . ′ ′ ′ ′ ′ có:

 ; : đáy

 ; ; …: mặt bên

 ′; ′; …: cạnh bên

 ′ ′; ′ ′; …: mặt chéo

 Tùy theo đa giác đáy, ta có: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,…
2. Tính chất: trong hình lăng trụ

 Các cạnh bên song song và bằng nhau

 Các cạnh bên và mặt chéo là các hình bình hành

 Hai đáy là các đa giác bằng nhau có các cạnh tương song song và bằng nhau.
3. Hình hộp:

 Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, gọi là hình hộp.

 Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật, gọi là hình hộp chữ nhật.
 Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vng, gọi là hình lập phương.

 Trong hình hộp . ′ ′ ′ ′ các đường chéo ′, ′ ′, ′, ′ cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường.

 Tất cả các đường chéo của hình hộp chữ nhật đều bằng nhau.

4. Lăng trụ đứng – đều – xiên:

a) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy, trong lăng trụ đứng: 
 Các cạnh bên cũng là đường cao.

 Các mặt bên là hình chữ nhật, nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.

b) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều và các mặt bên là các hình chữ nhật bằng

nhau.

c) Lăng trụ xiên: Là lăng trụ đa dạng và rất khó xác định các yếu tố của nó.

 Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ một đỉnh đòi hỏi vận dụng các phương pháp khác nhau để
dựng đoạn vng góc từ một điểm đến một mặt (như sử dụng quan hệ song song, tính chất cách
đều, mặt phẳng vng góc,…) đã được trình bày ở phần ôn tập.

E' D'

C'
B'
A'

E

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 45

 Khi đường cao, chẳng hạn ′ đã được xác định, thì:
 ′ là góc mà cạnh bên hợp với đáy.

 ′ , với là hình chiếu của lên là góc của mặt bên ( ′ ′ ) hợp với đáy.

5. Cơng thức: Ngồi các cơng thức trên, ta cịn dùng: 
a) Diện tích xung quanh lăng trụ: = .

Trong đó: là chu vi thiết diện thẳng (thiết diện cắt bởi mặt phẳng vng góc với cạnh bên), là độ
dài cạnh bên.

b) Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật có 3 cạnh , , : = 2( + + )

II. LÝ THUYẾT CƠ BẢN HÌNH CHĨP:

1) Hình chóp: 
a) Định nghĩa:

 Hình chóp là hình đa diện có một mặt là một đa giác còn các mặt khác đều là những tam giác có
chung một đỉnh.

 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
b) Cơng thức: Ngồi các cơng thức trên, ta cịn dùng:

ℎ = − ; =1

6 . . . ℎ; =
1

2 . . ; =
1

2 . . ( + ′)

Trong đó: là số cạnh, là độ dài cạnh đáy, là độ dài trung đoạn của đáy (là độ dài đoạn thẳng 
nối vuông góc từ tâm của đáy đến một cạnh của hình chóp), là độ dài trung đoạn của hình chóp (là 
độ dài đoạn thẳng hạ vng góc từ đỉnh xuống của một cạnh của hình chóp), là chiều cao.

c) Các dạng hình chóp thường gặp: 
 Hình chóp đều:

 Hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy.
 Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau.

 Các cạnh bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau.
 Các mặt bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau.

 Hình chóp có một cạnh bên vng góc với đáy: giả sử hình chóp S.ABCD có ⊥ ( ), ta có:
 SA là đường cao của hình chóp.

 ( ) ⊥ ( ); ( ) ⊥ ( ).

 là hình chiếu của A lên CD, nên = ( ); ( )
 Với dạng đặc biệt: ⊥ ; ⊥ ; ⊥ . ta có: = . .

Với , , là ba cạnh góc vng

 Hình chóp có một mặt bên vng góc với đáy: giả sử hình chóp S.ABCD có ( ) ⊥ ( ),
nếu ta dựng đường cao SH của tam giác SAD, thì SH chính là đường cao của hình chóp.

C

C'

B

B'

A

A'

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 46

2) Hình tứ diện:

 Tứ diện là một hình chóp tam giác. Đó là hình chóp duy nhất mà mọi mặt đều có thể lấy làm đáy.
 Ngồi các cơng thức trên, ta có thể tính thể tích tứ diện theo công thức sau:

6 . . . sin

Trong đó: , là độ dài hai cạnh đối, và là khoảng cách và góc giữa hai cạnh đối đó.

 Trong một tứ diện bất kỳ, 7 đoạn thẳng sau đay luôn đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ
diện.

 4 đoạn nối một đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện.
 3 đoạn nối trung điểm 2 cạnh đối.

 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và AB, A' và B' là trọng tâm các tam giác BCD và
ACD. Ta có: GM=GN, GA=3GA' và AA' được gọi là trọng tuyến của tứ diện.

 Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cặp cạnh đối diện đơi một vng góc với nhau.
 Tứ diện gần đều là tứ diện có các cạnh đối diện bằng nhau từng đơi một.

3) Hình chóp cụt: 
a) Định nghĩa:

 Hình chóp cụt là phần của hình chóp nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy và cắt tất
cả các cạnh bên.

 Hình chóp cụt được cắt ra từ hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
b) Cơng thức: Ngồi các cơng thức trên, ta cịn dùng:

= ℎ + ( − ) ; =ℎ

6 + + ;

= 1

2( + ′). ; =
1

2 [( + ). + + ]

Trong đó: là số cạnh đáy, ; là độ dài hai cạnh đáy, ; là độ dài trung đoạn hai đáy, là
độ dài trung đoạn của hình chóp cụt (là độ dài đoạn thẳng vng góc chung của hai cạnh trên hai 
đáy), là chiều cao.

c) Tính chất: Trong một hình chóp cụt đều

 Đoạn thẳng nối tâm hai đáy chính là đường cao của hình chóp cụt.
 Các mặt bên là các hình thang cân và bằng nhau.

S
S

H

C
B

A

D

A B

C
D

H
d'

d

H
O

D C

B
A

S

C

B
A

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 47

 Các cạnh bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau.
 Các mặt bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau.

III. LÝ THUYẾT CƠ BẢN HÌNH TRỤ:

1. Định nghĩa: Hình trụ trịn xoay (hình trụ) là hình sinh bởi một hình chữ nhật quay một vòng quanh 
một cạnh.

2. Thiết diện:

 Các thiết diện qua trục của một hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau.
 Thiết diện vng góc với trục của hình trụ là một hình trịn bằng hình trịn đáy.
IV. LÝ THUYẾT CƠ BẢN HÌNH NĨN:

1. Định nghĩa: Hình nón trịn xoay (hình nón) là hình sinh bởi một tam giác vng quay quanh một cạnh 
góc vng.

2. Thiết diện:

 Các thiết diện qua trục của một hình trụ là các tam giác cân bằng nhau.
 Thiết diện vng góc với trục của hình trụ là một đường trịn.

3. Hình nón cụt:

 Hình nón cụt là phần của hình nón giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện song song với đáy.
 Hình nón cụt có thể tạo thành bởi một hình thang quay một vịng quanh cạnh góc vng.
 Các cơng thức:

= ℎ + ( − ′) ; = ( + ′) ; = 1

3 ℎ( + + )

Trong đó: ; là bán kính đáy lớn, đáy nhỏ, là chiều cao, là đường sinh.

V. LÝ THUYẾT CƠ BẢN HÌNH CẦU:

1. Định nghĩa: Cho điểm O cố định và một số dương R

 Tập hợp điểm trong không gian thỏa mãn hệ thức = gọi là mặt cầu tâm bán kính .
( , ) = { / = }

 Tập hợp điểm trong không gian thỏa mãn điều kiện ≤ gọi là hình cầu tâm bán kính .
( , ) = { / ≤ }

2. Thiết diện: Một mặt phẳng ( ) cách tâm mặt cầu S(O,R) một đoạn là d, với d<R luôn cắt mặt cầu 
theo một đường tròn C(I,r), thỏa: = − và r là hình chiếu của O lên mp( ). đặc biệt:

 = 0 ⇒ =

≡ Ta gọi C(O,R) đường tròn lớn của mặt cầu.

 = ⇒ = 0

∈ Ta có ( ) tiếp xúc với mặt cầu tại I.
3. Tính chất:

 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của hình chóp.

 Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó có đường trịn ngoại tiếp.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

GV: LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 48

 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách đều tất cả các đỉnh một đoạn bằng R.

 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục đường trịn ngoại tiếp một đáy và mặt phẳng trung
trực của một cạnh bên.

4. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC: 
Ta thường gặp các trường hợp sau:
a) Trường hợp 1: SA=SB=SC=a.

 Dựng đường cao ⊥ ( )

 Trong tam giác SAO, đường trung trực của SA cắt SO tại .

 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có tâm và bán kính = = =
b) Trường hợp 2: ⊥ ( )

 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Mặt cầu ( , ) ngoại tiếp tứ diện SABC được xác định bởi:

⃗ = ⃗

= +

Trong đó: ℎ = , là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
c) Trường hợp 3: = = 90

Hình cầu ngoại tiếp SABC có tâm là trung điểm của AB và bán kính =
5. Mặt cầu nội tiếp hình chóp:

 Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của
hình chóp.

 Điều kiện cần và đủ để một hình chóp đỉnh S có hình cầu nội tiếp tâm I là trên mặt đáy có một điểm
M cách đều tất cả các mặt bên của hình chóp và khi đó I nằm trên đoạn SM.

 Tâm của hình cầu nội tiếp cách đều tất cả các mặt của hình chóp và nằm trên mặt phân giác của góc
nhị diện tạo bỏi 2 mặt kề nhau của hình chóp.

 Nếu một khối đa diện có hình cầu nội tiếp thì bán kính của nó có thể tính theo cơng thức: =
Trong đó: V là thể tích khối đa diện, là diện tích tồn phần khối đa diện.

VI. TỔ HỢP KHỐI TRỊN:

 Một hình cầu gọi là nội tiếp trong một hình trụ khi mặt cầu của hình cầu đó tiếp xúc với tất cả các
đường sinh của hình trụ và tiếp xúc với hai đáy của hình trụ.

 Một hình cầu gọi là nội tiếp trong một hình nón khi nó có mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh
của hình nón và tiếp xúc với đáy của hình nón.

 Một hình cầu gọi là ngoại tiếp một hình trụ khi nó có mặt cầu chứa hai đường trịn đáy của hình trụ.
 Một hình cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón khi nó có mặt cầu chứa đỉnh và đường trịn đáy của hình

</div>