Sai lầm về phương diện suy luận logic thông qua cấu trúc đại số: Nguyên nhân và phương thức khắc phục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (519.14 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 17 (42) - Tháng 6/2016

Errors in logical reasoning through algebraic structures: Causes and solutions

rườ Đại học Sài Gòn

Ph.D. Nguyen Ai Quoc
Sai Gon University

Tóm tắt

ro bà báo trướ , hú tô đã ê ra sa lầm về phươ d ện suy luận logic của sinh viên khi tìm và
chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i xứng trong cấ trú hóm, đồng thời phân tích ngun nhân
sai lầm nà dướ ba q a đ ểm: dạy học truyền th ng, thuyết didactic, thuyết hành vi.

Ở bài báo này, chúng tôi xây dựng một giả thuyết nghiên cứu về nguyên nhân sai lầm và tiến hành một
thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết này. Từ đó, hú tơ đề xuất phươ thức khắc phục sai lầm
này ở sinh viên.

Từ khóa: suy luận logic, sai lầm, cấu trúc nhóm, phần tử trung hịa, phần tử đối xứng…

Abstract

I o r prev o s art le, we prese ted st de ts’ errors lo al reaso whe the f d a d
demonstrate the identity and inverse elements of a group structure. We also analyzed the cause of these
errors from the three viewpoints of traditional teaching method, didactics and behaviorism.

In this article, we propose a research hypothesis on the cause of these errors and proceed an experimentation
to verify this hypothesis, from which we propose solutions to help students avoid these errors.

Keywords: logical reasoning, error, structure of group, identity element, inverse element…

1. Suy luận logic

Trong phần này, chúng tơi trình bày
đị h hĩa một s khái niệm l ê q a đến
suy luận logic.

1.1.Logic

Logic là tính quy luật tro tư tưởng,
trong lập luận thể hiện sự rõ ràng, chính
xác, mạch lạc của tư d [9, trang 7]

1.2.Phán đốn

Phá đố là hình thức liên kết các
khái niệm, phản ánh m i liên hệ giữa các
sự vật, hiệ tượng vào trong ý thức của con

ười. Mỗ phá đoá hỉ có thể là đú
hoặc sai khi nó phù hợp hay không phù
hợp với sự vật, hiệ tượng, khơng có phán
đố ào vừa đú lại vừa sa ũ hư
khơ ó phá đố ào khơ đú ũ
không sai. [9, trang 40]

1.3.Suy luận trong logic học

Suy luận là hình thức của tư d hằm
rút ra phá đoá mới từ một hay nhiều
phá đoá đã ó [9, tra 66]

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

được gắn kết với nhau theo các nguyên tắc
xá định và dẫn tới một kết luậ ”

Từ đ ển Encyclopedia Universalis
(2009) đị h hĩa: “ l ậ , trước hết là
một hoạt độ tư d , một hoạt động suy lý
logic mà bằng hoạt độ đó ta đ từ một s
mệ h đề ho trướ hư là á t ề đề đến
một mệ h đề mới, theo liên kết logic gắn liền
nó với các mệ h đề ba đầ : tro ý hĩa
này chính là một quá trình di n ra trong ý
thức của một chủ thể theo thứ tự thờ a ”

1.4.Suy luận logic trong toán học

Trong bài báo này, suy luận logic mà
hú tơ ó đến là hình thứ tư d sử
dụng các lập luận nhằm rút ra một mệ h đề
mới từ một hay nhiều mệ h đề đã ó

2. Sơ đồ suy luận logic của phần tử

trung lập, phần tử đối xứng

2.1.Sơ đồ suy luận logic

ơ đồ suy luận logic được chúng tơi mơ

hình hóa từ “sơ đồ suy diễn từ nhiều tiền 
đề” trong logic học ([9, tra 84]) hư sa :

1 2

...

n

P

   

P

hay

1
2

n

P

tro đó P P1, 2,...,Pn là các mệ h đề
giả thiết và

P

là mệ h đề kết luận.

Suy luậ đú đắn (hợp logic) khi mệnh
đề

P

1

  

P

2

...

P

n là hằ đú ( hĩa là

tất cả các mệ h đề

P P

1

, ,...,

2

P

n là đú ).

2.2.Sơ đồ suy luận logic của phần tử 
trung lập, phần tử đối xứng

Từ đị h hĩa ủa phần tử trung lập
[4, trang 9], phần tử đ i xứng [4, trang 15]
chúng tôi lập sơ đồ suy luậ lo hư sa :

1
2

P

Mệ h đề Phần tử trung lập Phần tử đ i xứng

P

 

e

X ex

:

  

x

,

x

X

x

  

X

,

x

'

X x x

: '



e

P

 

e

X xe

:

  

x

,

x

X

x



X

,

 

x

'

X xx

:

'



e

P

X

có phần tử trung lập là

e

x

'

là phần tử đối xứng của

x

2.3. Sơ đồ suy luận trong bài làm của sinh viên

Từ bài làm của s h v ê mà hú tô đã t ến hành khảo sát, chúng tôi lập sơ đồ suy

luậ lo hư sa :

'

P

Mệ h đề Phần tử trung lập Phần tử đ i xứng

'

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Sai lầm của sinh viên là thiết lập mệnh
đề

P

1

'

, tứ là sa kh tìm được phần tử

e

và

x

'

, các em hồn tồn khơng kiểm tra vị
ngữ của mệ h đề, đồng thời yếu t trung lập
trái, trung lập phả (ha đ i xứ trá , đ i
xứng phả ) ũ khô được quan tâm.

3. Giả thuyết nghiên cứu

Xuất phát từ quan sát hiệ tượng sai
lầm của sinh viên di n ra dai dẳng qua
nhiề ăm và từ các nguyên nhân sai lầm
mà hú tơ đã phâ tí h dựa trên quan
đ ểm dạy học truyền th , q a đ ểm
d da t và q a đ ểm của thuyết hành vi
tro bà báo trước, chúng tôi xây dựng một
giả thuyết khoa học về nguyên nhân sai lầm
của sinh viên trong suy luận logic khi tìm và
chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i

xứng trong cấ trú hóm hư sa :

Tồn tại ở sinh viên kiểu “suy luận logic 
không đầy đủ” do các kiến thức và kỹ năng 
suy luận logic chỉ được tiếp nhận rãi rác, 
đôi khi ngầm ẩn qua một vài bài tốn mà 
khơng được trang bị đầy đủ và hệ thống.

4. Phương thức khắc phục

Nhằm kiểm chứng giả thuyết trên,
hú tô đề xuất một phươ thức khắc
phục gồm ha bước:

Bước 1: trang bị cho sinh viên kiến
thức logic mệ h đề trước khi giảng dạy các
cấ trú đại s .

Chúng tôi thiết kế một bài giảng về lý
thuyết logic mệ h đề, vị ngữ - lượng từ.
Bài giảng này nhằm cung cấp một á h đầy
đủ và hệ th ng các khái niệm toán học liên
q a đến suy luận logic, từ đó s h v ê ó
ơ sở khoa họ để tư duy hợp lý, có
phươ pháp lý l ận chặt chẽ và biết vận
dụng vào các bài toán hiệu quả.

+ Mệ h đề: cung cấp đị h hĩa mệnh
đề, các phép toán mệ h đề (phép phủ định,
phép tuyển, phép hội, phép kéo theo, phép

tươ đươ ), mệ h đề đảo, mệ h đề phản
đảo, mệnh đề phức hợp và tươ đươ
lo Đặc biệt chúng tôi chú trọ đến các
tươ đươ lo q a trọng (luật đồng
nhất, luật nu t, luật lũ đẳng, luật phủ định
kép, luật giao hoán, luật kết hợp, luật phân
ph i, luật De Mor a ,…)

+ Vị ngữ - lượng từ: cung cấp định
hĩa vị ngữ, lượng từ một biế , lượng từ
hai biến.

Chúng tôi nhấn mạ h ý hĩa á
mệ h đề lượng từ và phủ định mệ h đề
lượng từ đ i vớ lượng từ một biến trong
bảng sau:

Mệnh đề Đúng Sai

 

x P x

 P(x) đú vớ mọ á trị ủa x Có một á trị ủa x để P(x) sai

 

x P x

 Có một á trị ủa x để P(x) đú P(x) sa vớ mọ á trị ủa x

Mệnh đề 
phủ định

Mệnh đề

tương đương Đúng Sai

 

x P x

 x P x

 

Có một á trị ủa x để P(x) sai P(x) đú vớ mọ á trị ủa

x

 

x P x

 x P x

 

P(x) sa vớ mọ á trị ủa x Có một á trị ủa x để P(x)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chú tô ũ lư ý về trật tự, thứ tự sắp xếp ủa á lượ từ tro lượng từ hai biến
trong bảng sau:

Mệnh đề Đúng Sai

 

x y P x, y

 

 

y xP x, y

  P(x,y) đú vớ mọ ặp (x,y)

Có một ặp (x,y) sao cho P(x,y)
sai

 

x y P x, y

  Vớ mọ x ó một y sao cho P(x,y) đú Có một x sao cho P(x,y) sai vớ
mọ y

 

x y P x, y

  Có một x sao cho P(x,y) đú vớ mọ y Vớ mọ x ó một y sao cho
P(x,y) sai

 

x y P x, y

 

 

y x P x, y

  Có một ặp (x,y) sao cho P(x,y) đú P(x,y) sa vớ mọ ặp (x,y)

Bướ 2: phâ tí h, hướng dẫn cách vận
dụng logic mệ h đề trong lý thuyết nhóm
khi giảng dạ đị h hĩa phần tử trung lập,
phần tử đ i xứng.

Ở phần này chúng tơi phân tích một
vài ví dụ cụ thể trong giảng dạ đị h hĩa
phần tử trung lập, phần tử đ i xứ để làm
sáng tỏ việc vận dụng lý thuyết logic mệnh
đề trong khái niệm nhóm.

- Cá đị h hĩa tro toá học
thườ là đị h hĩa tươ xứng, bao gồm
hai thành phần, một phần là khái niệm 
được định nghĩa, phần kia là khái niệm 
dùng để định nghĩa ([9, trang 28]), vì vậy
á đị h hĩa tro toá học khi di đạt
dưới hình thức logic mệnh đề đều là các
mệ h đề tươ đươ ro lý th ết
nhóm, tuy có một s đị h hĩa phát b ểu
dưới dạng mệ h đề“kéo theo” hư vì là
“định nghĩa” nên chúng vẫn là mệ h đề

tươ đươ Ví dụ ta ó đị h hĩa về
hóm ao hố hư sa :

“Nếu phép toán của nhóm là giao

hốn”. [7, trang 42]

Rõ rà ế xem p: “phép toán của 
nhóm là giao hốn” và q: “nhóm được gọi 
là nhóm giao hốn” thì ta ó p  q. Tuy
h ê , á h h ể hư trê là khơ hí h
xá vì phát b ể trê là đị h hĩa ê ế
“nhóm được gọi là nhóm giao hốn” thì
“phép tốn của nhóm là giao hoán”, hĩa
là p  q, ó á h khá p và q là tươ
đươ lo

- Cầ lư ý về đị h hĩa tro lý
th ết hóm đượ phát b ể dướ dạ
mệ h đề lượ từ ha dướ dạ mệ h đề
phứ hợp kết hợp vớ lo mệ h đề hư
hú vẫ là mệ h đề tươ đươ

Ví dụ đị h hĩa phầ tử đ xứ sa
là loạ đị h hĩa phát b ể dướ dạ
mệ h đề lượ từ kết hợp vớ mệ h đề:

“Giả sử * là một phép toán hai ngơi 
trong tập X có phần tử trung lập là e và x 
là phần tử tùy ý của X. Ta nói x là phần tử

khả đối xứng nếu có một

x

'



X

sao cho

'*

* '

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

trang 39]

a thấ x ất h ệ mệ h đề lượ từ p:
“ x' X : x* x'x'* xe” và mệ h đề q:
“phần tử

x

'

gọi là phần tử đối xứng của x 
(đối với *)” Bỏ q a á ả th ết ba đầ ,
đị h hĩa trê ho thấ p và q là tươ
đươ lo

Ví dụ đị h hĩa hóm sa đâ là loạ
đị h hĩa phát b ể dướ dạ mệ h đề
phứ hợp kết hợp vớ mệ h đề:

“Ta gọi là nhóm một nửa nhóm X có 
các tính chất sau:

1. có phần tử trung lập e;

2. với mọi x X, có một

x

'



X

sao 
cho

x x

'



xx

'



e

.” [4, trang 15]

Đị h hĩa trê hứa mệ h đề phứ
hợp bao ồm ba mệ h đề: “X là nửa 
nhóm”, “có phần tử trung lập e”, và “với 
mọi x X, có một x’ X sao cho x’x=xx’=e
mà ta ầ k ểm tra á trị hâ lý đú ủa

mỗ mệ h đề và mệ h đề “X là nhóm”.

Lư ý tro kỹ th ật k ểm tra mệ h đề
thứ ba ủa mệ h đề phứ hợp trê là v ệ
phả k ểm hứ á trị hâ lý đú “với 
mọi x X” V ệ tìm thấ phầ tử đ xứ
hỉ đú ho từ phầ tử hứ khô đảm
bảo đú ho “x là phần tử tùy ý của X”, vì
vậ sa kh tìm thấ phầ tử

x

'

ta hất th ết
phả k ểm tra b ể thứ đó ó đú ho “với 
mọi x X” Ví dụ sa là m h hứ ho
v ệ k ểm tra là thự sự ầ th ết:

Cho S là tập các số thực nằm trong 
đoạn [0,1]. Ta định nghĩa phép toán * trên

tập S như sau: a* b min a b,1 , a,b S







  . 
Biết

 

S ,* là vị nhóm giao hốn với phần 
tử trung lập là 0. Liệu S có là nhóm không 
? Tại sao ? [7, trang 69]

á trì h tìm phầ tử đ xứ





a* a' 0, a S

min a a',1 0 a a' 0 a' a

  

        

Suy ra

a

'

 

a

là phầ tử đ xứ
ủa

a

Vậ là hóm

a lầm trê do ta bỏ q a á ế t
“lượ từ” tro mệ h đề “với mọi x X, 
có một x’ X sao cho x’*x=x*x’=e”, kết
l ậ

a

'

 

a

là phầ tử đ xứ ủa

a

hỉ đú tro trườ hợp

a



0

Hơ ữa
q á trì h tìm k ếm hưa đủ ơ sở để kết
l ậ mà v ệ d đạt tro hứ m h
thỏa mệ h đề lượ từ là thự sự ầ th ết

- Kh ả dạ đị h hĩa phần tử
trung lập, phần tử đ i xứng trong cấu trúc
hóm, á đị h hĩa oà phát b ểu bằng
ngôn ngữ mô tả, chúng cần thiết đượ định
hĩa dưới hình thức logic mệ h đề lượng
từ, cụ thể hư sa :

Phần tử trung lập

Giả sử đã cho một phép toán “.” trong 
tập X.

 

X

,.

có phần tử trung lập

: .

. ,

e

  

e

X

e x



x



x e

 

x

X

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Phần tử đ i xứng

Giả sử tập X với phép tốn “.” có phần tử trung lập e.

x



X

có phần tử đối xứng

x

'

  

x

'

X

: '.

x x



e



. '

x x

ươ tự, một quy trình kiểm chứng tồn tại hay không tồn tại phần tử đ i xứng sau:

Lư ý á q trì h k ểm chứng tồn tại
phần tử trung lập, phần tử đ i xứng trên chỉ
hiệu quả cho quá trình tìm và chứng minh
các phần tử đó thực sự tồn tại.

Đ i với bài toán chứng minh không
tồn tại phần tử trung lập hay phần tử đ i
xứng, sinh viên cần vận dụng kiến thức
phủ định mệ h đề lượng từ đ i vớ lượng

từ hai biến mà chúng tôi trang bị ở bước 1
và cầ lư ý rằ kh đó phươ trì h ả
định vơ nghiệm ha ó hơ một nghiệm.

Ví dụ sau giúp chúng ta thấ rõ hơ s
luận logic mệ h đề được áp dụng trong
chứng minh không tồn tại phần tử đ i xứng:

Trên tập hợp Q các số hữu tỷ ta xét 
phép toán

x y

*

  

x

y

xy

Đ
S

ìm k ếm

e

thơng qua
phươ trì h

ả đị h

ex



x

K ểm tra

e

th ộ X

K ểm tra

,

xe

 

x

khô ó phầ Dự đoá

tử tr lập
K ểm tra

,

ex

 

x

Kết l ậ

e

là
phầ tử tr

lập

Đ
1

1
)

1: Phương trình có nghiệm duy nhất; 2: Phương trình vơ 
nghiệm hoặc có hơn 1 nghiệm; Đ: Đúng; S: Sai.

Đ
S

2
ìm k ếm

x

'

thơng qua
phươ trì h

ả đị h

'

x x



e

K ểm tra

'

x

th ộ

X K ểm tra

'

xx



e

Dự đố

'

x

khơng có
phầ tử đ

xứ
K ểm tra

'

x x



e

Kết l ậ

x

'

là
phầ tử đ
xứ ủa

x

Đ
1

1
)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Cặp (Q,*) có phải một nhóm khơng?
[8, trang 40]

Ở đâ hú tô hỉ quan tâm việc vận
dụng suy luận logic mệ h đề trong phần
chứng minh phần tử đ i xứng nên bỏ qua
phần trình bày chứng minh * có tính kết
hợp và (Q,*) có phần tử trung lập là 0. Quy
trình sau dựa trê sơ đồ suy luận logic của
phần tử đ i xứ mà hú tô đã ê trê

+ Tìm kiếm

x

'

thơ q a phươ
trình giả định:

'*

0 x





x

'

 

x

x x

'



0



x

' 1



  

x



x

'

1
x
x

x


 

 với

x

 

1

+ K ểm tra

x

'

th ộ :

'

x

th ộ kh và hỉ kh

x

 

1

.
Kết l ậ

x

 

1

khơ ó phầ tử đ
xứ , đâ ũ là sa lầm khá phổ b ế ở
s h v ê vì á em khô b ết vận dụng
suy luận logic mệ h đề, đặc biệt là phủ
định mệ h đề lượng từ hai biến. Vì vậy,
khi ả dạ đị h hĩa phần tử đ i xứng,
ví dụ trên thực sự hiệu quả giúp sinh viên
hiểu rõ chứng minh một phần tử cụ thể

khơng có phần tử đ xứ là thế nào.
rước hết, ta vận dụng phủ định mệ h đề
lượng từ hai biế tro đị h hĩa phần tử
đ xứ hư sa :

Giả sử tập X với phép toán “.” có 
phần tử trung lập e.

Phần tử

x



X

khơng có phần tử đối 
xứng

  

y

X y x

: .

 

e

x y

.



e

Vậy lời giả đú ho ví dụ trên là:

: 1* 1 ( ) 1 0

y Q y y y

          

nên -1 không có phần tử đ xứ

3. Thực nghiệm

3.1.Bài toán thực nghiệm

Thực nghiệm được chúng tôi tiến hành
vào 01/2016 trê 105 s h v ê à h ư

phạm Toán của khoa Toán - Ứng dụng
trườ Đại học Sài Gòn với câu hỏi:

“Trên tập







2



X  a,b R ,a0 ,

ta định nghĩa phép tốn hai ngơi* như sau:

    

a b, * ,c d  ac bc d, 

    

, a b, , ,c d X .

Chứng minh (X, *) là nhóm.”

hờ a thự h ệm là 15 phút và
thự h ệm đượ t ế hà h sa kh s h
viên đượ tra bị phươ thứ khắ phụ
dướ dạ bà ả

Sau khi sinh viên làm bài, chúng tôi
th sả phẩm ồm bà làm và ấ háp
ủa s h v ê để ó thể q a sát đượ á
kỹ th ật ả ụ thể và h t ết

3.2.Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm này nhằm kiểm chứng
tính thỏa đá ủa giả thuyết nghiên cứu.
Chúng tôi kỳ vọng sinh viên sẽ vận dụng
hiệu quả phươ thức khắc phục trên, từ đó
trá h được sai lầm khi tìm và chứng minh
phần tử ơ bản trong cấu trúc nhóm.

3.3.Kỹ thuật giải mong đợi

- Kỹ thuật 1: sử dụng quy trình kiểm chứng
tồn tại phần tử trung lập, phần tử đ i xứ được
đề xuất tro phươ thức khắc phục.

- Kỹ thuật 2: chứng minh mệ h đề P P1, 2

tro sơ đồ suy luận logic của phần tử trung
lập, phần tử đ i xứng là các mệ h đề đú .

3.4.Kết quả thực nghiệm

- Kỹ thuật 1 là a đoạn kiểm chứng
tồn tại phần tử trung lập, phần tử đ i xứng
thô q a phươ trì h ả định. Kỹ thuật
“Đạt” khi thỏa mãn các yêu cầu:

+ Thiết lập đú phươ trì h ả định.
+ Giả đú h ệm (duy nhất) của
phươ trình giả định.

a đâ là một trong s các bài giải
“Đạt” ủa sinh viên trong giấy nháp:

</div>

Sai lầm về phương diện suy luận logic thông qua cấu trúc đại số: Nguyên nhân và phương thức khắc phục

<b> </b>

<b> </b>

...

<i>P</i>

   

<i>P</i>

<i>P</i>

<i>P</i>

<i>P</i>

<i>P</i>

<i>P</i>

<i>P</i>

<i>P</i>

<i>P</i>

  

<i>P</i>

...

<i>P</i>

<i>P P</i>

, ,...,

<i>P</i>

<i>P</i>

<i>P</i>

<i>P</i>

<i>P</i>

 

<i>e</i>

<i>X ex</i>

:

  

<i>x</i>

,

<i>x</i>

<i>X</i>

<i>x</i>

  

<i>X</i>

,

<i>x</i>

'

<i>X x x</i>

: '



<i>e</i>

<i>P</i>

 

<i>e</i>

<i>X xe</i>

:

  

<i>x</i>

,

<i>x</i>

<i>X</i>

<i>x</i>



<i>X</i>

,

 

<i>x</i>

'

<i>X xx</i>

:

'



<i>e</i>

<i>P</i>

<i>X</i>

<i>e</i>

<i>x</i>

'

<i>x</i>

'

<i>P</i>

<i>P</i>

'

<i>P</i>

'

<i>e</i>