LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP SỐ PHỨC

SỐ PHỨC
1) Tập hợp số phức :
£
2) Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R, I là đơn vị ảo, i
2
= -1); a là phần thực, b là phần ảo.
• zlà số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0
• z là số ảo ⇔ phần thực của z bằng 0.
3) Hai số phức bằng nhau :
a + bi = c + di ⇔
a c
b d
=


=

4) Biểu diễn hình học của số phức : Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi vecto
u
r
=(a ; b) trong mp(Oxy) (hay mặt phẳng phức).
5) Cộng trừ số phức :
• (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
6) Số đối : Số đối của z = a + bi là – z = - a – bi
z biểu diễn bởi vecto
u
r
, z’ biểu diễn bởi vecto
'u
ur

thì :
• z + z’ biểu diễn bởi
u
r
+
'u
ur
• z – z’ biểu diễn bởi
u
r
-
'u
ur
7) Nhân hai số phức :
(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
8) Số phức liên hợp : Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z a bi= −
; ' ' ; ' . 'z z z z z z zz z z= + = + =
z là số thực ⇔ z =
z
; z là số ảo ⇔ z = -
z
9) Môđun của số phức :
• Cho số phức z = a + bi, môđun của số phức z là
2 2
z a b z z OM= + = =
uuuur
•
0z ≥
với mọi z∈C,

0 0z z= ⇔ =
•
' . ' , ' 'zz z z z z z z= + ≤ +
với mọi z, z’ thuộc C.
10) Chia hai số phức :
• Số phức nghịch đảo cuae z (z ≠ 0) :
1
2
z
z
z
−
=
• Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) :
1
2
' '. '.
'.
z z z z z
z z
z
z z
z
−
= = =
• Với z ≠ 0,
'
' .
z
w z w z

z
= ⇔ =
•
'
' ' '
,
z
z z z
z z z
z
 
= =
 ÷
 
BÀI TẬP :
1) Tìm các số thực x và y biết :
a) (2x + 3y + 1) + (- x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3)i
b) 2x + 1 + (1 – 2y)i = 2 – x + (3y – 2)i
c) x + 2y + (2x – y)i = 2x + y + (x + 2y)i
d) 4x + 3 + (3y – 2)i = y +1 + (x – 3)i
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm taaph hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện :
a) Phần thực của z bằng phần ảo của nó
b) Phần thực của z là số đối của phần ảo của nó
c) Phần ảo của z bằng 2 lần phần thực của cộng với 1
d) Tổng bình phương của phần thực và phần ảo của z bằng 1, phần thực của z không âm
e)
1z ≤
và phần ảo của z thuộc đoạn
1 1
;

2 2
 
−
 
 
f) Phần thực của z thuộc khoảng (-1 ; 2)
g) Phần ảo của z thuộc đoạn [1 ; 3]
h) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2 ; 2]
i)
1z =
j)
1 2z< ≤
k)
1z =
và phần ảo của z bằng 1
3) Tính
z
với :
a) z = 1 – 3i b) z = -2 + i
3
c) z = -5 d) z = i
3
4) Tính :
a) (1 + i)
10
b) (3 – 4i)
2
c) (2 + 3i)
3
d) [(4+5i) – (4 +3i)]

5
e) (1 + i)
2006
f) (1 – i)
2006
g)
3
1 3
2 2
i
 
− +
 ÷
 
d)
3
1 3
2 2
i
 
+
 ÷
 
5) Phân tích thành nhân tử trên tập số phức :
a) u
2
+ v
2
b) u
4

– v
4
6) Tính :
a)
(3 2 )(1 3 )
(2 )
1 3
i i
i
i
+ −
+ −
+
b)
(2 ) (1 )(4 3 )
3 2
i i i
i
+ + + −
+
c)
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
i
i
− +
+ −
−