de cuong hky1 toan CB 11(10-11)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN-CB LỚP 11
NĂM HỌC 2010-2011
Vấn đề 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (dùng cho trắc nghiệm)
1/ Hàm số y = sinx: Tập xác định D = R; tập giá trị
1, 1T
 
= −
 
; hàm lẻ, chu kỳ
0
2T =
π
.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = sin(f(x)) xác định
( )f x⇔
xác định
2/ Hàm số y = cosx: Tập xác định D = R; Tập giá trị
1, 1T
 
= −
 
; hàm chẵn, chu kỳ
0
2T =

π
.
* y = cos(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = cos(f(x)) xác định
( )f x⇔
xác định.
3/ Hàm số y = tanx: Tập xác định
\ ,
2
D R k k Z
 
= + ∈
 
 
π
π
; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T =
π
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T

a
=
π
* y = tan(f(x)) xác định
( )f x⇔

( )
2
k k Z≠ + ∈
π
π
4/ Hàm số y = cotx: Tập xác định
{ }
\ ,D R k k Z= ∈
π
; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T =
π
.
* y = cot(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = cot(f(x)) xác định
( ) ( )f x k k Z⇔ ≠ ∈
π
.

5/ Nhận xét: y = f
1
(x) có chu kỳ T
1
; y = f
2
(x) có chu kỳ T
2
Thì hàm số
1 2
( ) ( )y f x f x= ±
có chu kỳ T
0
là bội chung nhỏ nhất của T
1
và T
2
.
Bài tập (luyện tập để chọn đáp án đúng trong câu trắc nghiệm)
Baøi 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
a)
2
sin
1
x
y
x
 
=
 ÷

−
 
b)
siny x=
c)
2 siny x= −
d)
2
1 cosy x= −
e)
1
sin 1
y
x
=
+
f)
tan
6
y x
 
= −
 ÷
 
π
Baøi 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y =
2sin 1
4
x

 
+ +
 ÷
 
π
b)
2 cos 1 3y x= + −
c)
siny x=
d)
2
4sin 4sin 3y x x= − +
e)
2
cos 2sin 2y x x= + +
f)
4 2
sin 2cos 1y x x= − +
Baøi 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:
a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx
d) y = tanx + cotx e) y = sin
4
x f) y = sinx.cosx
Baøi 4. Tìm chu kỳ của hàm số:
a)
sin2y x=
b)
cos
3
x

y =
c)
2
siny x=
d) sin2 cos
2
x
y x= + e)
tan cot3y x x= +
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
1) sinu = a (1)
• Nếu
1a >
, pt (1) vô nghiệm
• Nếu
1a ≤
, pt (1) có nghiệm
đặt a = sinα ⇔ α = arcsina
Pt (1) ⇔ sinu = sinα ⇔
u k2
u k2
= α + π


= π − α + π


Đặc biệt : * sinu = 0
u k⇔ = π

* sinu = 1
u k2
2
π
⇔ = + π
* sinu = −1
u k2
2
π
⇔ = − + π
2) cosu = a (2)
• Nếu
1a >
, pt (1) vô nghiệm
• Nếu
1a ≤
, pt (1) có nghiệm
đặt a = cosα ⇔ α = arccosa
Pt (2) ⇔ cosu = cosα ⇔
u k2
u k2
= α + π


= −α + π


Đặc biệt : * cosu = 0
u k
2

π
⇔ = + π
* cosu = 1
u k2⇔ = π
* cosu = −1
u k2⇔ = π + π
3) tanu = a (3)
Đặt a = tanα ⇔ α = arctana (
u k
2
π
≠ + π
)
Pt (3) ⇔ tanu = tanα
u k⇔ = α + π
Đặc biệt : * tanu = 0
u k⇔ = π
* tanu = 1
u k
4
π
⇔ = + π
* tanu = −1
u k
4
π
⇔ = − + π
4) cotu = a (4)
Đặt a = cotα ⇔ α = arccota (
u k≠ π

)
Pt (3) ⇔ cotu = cotα
u k⇔ = α + π
Đặc biệt : * cotu = 0
u k
2
π
⇔ = + π
* cotu = 1
u k
4
π
⇔ = + π
* cotu = −1
u k
4
π
⇔ = − + π
Dạng 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI
sinu và cosu
Là pt dạng : asinu + bcosu = c (1) (a
2
+ b
2
≠ 0)
Cách giải
* Nếu a
2
+ b
2

– c
2
< 0, pt (1) vô nghiệm
* Nếu a
2
+ b
2
- c
2
≥ 0, pt (1) có nghiệm
Chia 2 vế pt cho
2 2
a b+
và biến đổi về dạng
Pt (1) ⇔ sin(u + α) = sinϕ ( pt cơ bản)
Với
2 2
a
cos
a b
= α
+
,
2 2
b
sin
a b
= α
+
,

2 2
c
sin
a b
= ϕ
+
Dạng 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI
MỘT HSLG
Là phương trình có một trong các dạng sau :
* asin
2
x + bsinx + c = 0 (1)
* acos
2
x + bcosx + c = 0 (2)
* atan
2
x + btanx + c = 0 (3)
* acot
2
x + bcotx + c = 0 (4)
Cách giải:
• đặt t = sinx, t= cosx, t = tanx, t = cotx
• Giải pt bậc hai theo t
Chú ý: pt (1) và (2) có nghiệm khi
1t ≤
Dạng 4. PHƯƠNG TRÌNH
asin
2
x + bsinx.cosx + c.cos

2
x = d
Cách giải:
Cách 1:
+) cosx = 0
x k
2
π
⇔ = + π
là nghiệm của pt không ?
+) cosx ≠ 0
x k
2
π
⇔ ≠ + π
, chia hai vế pt cho cos
2
x ta
có pt bậc hai theo tanx
Cách 2:
Dùng công thức hạ bậc sin
2
x =
1 cos2
2
x−
, sinx.cosx
=
sin 2
2

x
, cos
2
x =
1 cos 2
2
x+
biến đổi về dạng
Asin2x + Bcos2x = C
Dạng 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Chú ý :
• Khi giải pt cần phải thuộc công thức lượng
giác
• Tập luyện nhiều mới định hướng cho cách
giải ngắn nhất.
Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) sin3x =
1
2
2) sin(2x - 3) = sin(x + 1)
3) tan(x + 60
o
) = -
3
4) sin3x = cos4x
5) cot
5
7
x

π
 
−
 ÷
 
=
1
3
6) tan3x.tanx = 1
7) sin2x = sin
3
4
x
π
 
+
 ÷
 
8) sin(2x + 50
o
) = cos(x + 120
o
)
9) tan
4
x
π
 
+
 ÷

 
= - cot
2
3
x
π
 
−
 ÷
 
10) 3tan
2
20
3
o
x
 
−
 ÷
 
+
3
= 0
11) sin(2x - 10
o
) =
1
2
với -120
o

< x < 90
o
12) cos(2x + 1) =
2
2
với - π < x < π
Bài 2. Giải các phương trình:
1) 2sin
2
x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin
2
x + 4cosx - 1 = 0
5) cot
2
x - 4cotx + 3 = 0 6) cos
2
2x + sin2x + 1 = 0
7) sin
2
2x - 2cos
2
x +
3
4
= 0 8) 4cos
2
x - 2(
3
- 1)cosx +
3

= 0
9) tan
4
x + 4tan
2
x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x =
2
3) 2sin
4
x
π
 
+
 ÷
 
+ sin
4
x
π
 
−
 ÷
 
=
3 2
2
4)
2

3cos + 4sinx + = 3
3cos + 4sinx - 6
x
x
5) 2sin17x +
3
cos5x + sin5x = 0 6) cos7x - sin5x =
3
(cos5x - sin7x)
Bài 4. Giải các phương trình
1) sin
2
x - 10sinxcosx + 21cos
2
x = 0 2) cos
2
x - 3sinxcosx + 1 = 0
3) cos
2
x - sin
2
x -
3
sin2x = 1 4) 3sin
2
x + 8sinxcosx + (8
3
- 9)cos
2
x = 0

5) 4sin
2
x + 3
3
sin2x - 2cos
2
x = 4 6) cos
2
2x - 7sin4x + 3sin
2
2x = 3
Bài 5. Giải các phương trình:
1) sin
2
x + sin
2
2x = sin
2
3x 2) sin
4
x + cos
4
x =
1
2
3) (2sinx + 1)
2
- (2sinx + 1)(sinx -
3
2

) = 0 4) sinx + sin2x + sin3x = 0
5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 6) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
7) cos2x.cos5x = cos7x 8) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
9) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 10) cos7x + sin
2
2x = cos
2
2x - cosx
Bài 6. Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos
3
x + sin
3
x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3
3
(sinx + cosx) + 5 = 0
7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x +
2
sin(x - 45
o
) = 1
Vấn đề 3. ĐẠI SỐ TỔ HỢP,NHỊ THỨC NEWTON VÀ XÁC SUẤT
I/ ĐẠI SỐ TỔ HỢP, NHỊ THỨC NEWTON
LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Quy tắc cộng:
Có n
1
cách chọn đối tượng A

1
.
n
2
cách chọn đối tượng A
2
.
A
1
∩ A
2
= ∅
⇒ Có n
1
+ n
2
cách chọn một trong các đối tượng
A
1
, A
2
.
2) Quy tắc nhân:
Có n
1
cách chọn đối tượng A
1
.Ứng với mỗi
cách chọn A
1

, có n
2
cách chọn đối tượng A
2
.
⇒ Có n
1
.n
2
cách chọn dãy đối tượng A
1
, A
2
.
3) Hoán vị:
− Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị
của n phần tử.
− Số hoán vị: P
n
= n!.
4) Chỉnh hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤
n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp
chập k của n phần tử.
− Số các chỉnh hợp:
k
n
n!
A
(n k)!

=
−
5) Tổ hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n)
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
− Số các tổ hợp:
k
n
n!
C
k!(n k)!
=
−
− Hai tính chất
k n k
n n
C C
−
=

k 1 k k
n 1 n 1 n
C C C
−
− −
+ =
6) Nhị thức Newton

n
n k n k k

n
k 0
0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n
n n n n
(a b) C a b
C a C a b C a b ... C b
−
=
− −
+ =
= + + + +
∑
− Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
− Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng
bằng n
− Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng
đầu và cuối thì bằng nhau
− Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):

k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
− Đặc biệt:
n 0 1 2 2 n n
n n n n
(1 x) C xC x C ... x C+ = + + + +
⇒

0 1
... 2
n n
n n n
C C C+ + + =

n 0 1 2 2 n n n
n n n n
(1 x) C xC x C ... ( 1) x C− = − + + + −

⇒

0 1
... ( 1) 0
n n
n n n
C C C− + + − =
Bài tập
Bài 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5, có thể lập được bào nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
Bài 2. Dùng 5 chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm 5 chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Bắt dầu bởi chữ số 2.
b. Bắt đầu bởi chữ số 36
c. Bắt đầu bởi chữ số 482
Bài 3. Dùng 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Có bao nhiêu số như vậy
b. Có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 1
Bài 4. Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất
thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài 5. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số thiết
lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa.

Bài 6. Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 4 chữ số khác nhau.
Bài 7.
a. Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt.
b. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
Bài 8. Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho
5?
Bài 9. Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người. Tìm
số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ?
Bài 10. Một nhóm học sinh gồm 10 người, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 hoc
sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau?
Bài 11. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chon ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ
hộp đó.Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số viên bi lấy ra không đủ 3 màu?
Bài 12. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị
sinh viên của trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộ lớp?
Bài 13. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho:
1. Có đúng 2 người nam trong 5 người đó
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó
Bài 14. Một lớp học có 40 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chia:
1. Thành 4 tổ mỗi tổ có 10 học sinh.
2. Thành 4 tổ mỗi tổ có 10 học sinh và có một tổ trưởng
Bài 15. Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viên muốn chọn 3 học sinh xếp vào bàn ghế của lớp,
trong đó có ít nhất 1 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 16. Giải các phương trình sau :
a.
3 1
5=
n n
C C
b.

1 2 3
2 2 2 7+ + =
n n n
C C C n
c.
6 5 4
+ =
n n n
A A A
d.
2 2
2
2 78+ =
x x
A A
e.
1 1
7 7 7
2
n n n
C C C
− +
= +
f.
2 2
2
2 78+ =
x x
A A
g.

2 2
1 2
3 4
+
+ =
n n
C nP A
h.
79
12
1
=−
−
nn
CA
Bài 17. Cho biết trong khai triển
n
x
x
3
2
1
 
+
 ÷
 
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba
bằng 11. Tìm hệ số của
x
2

.
Bài 18. Cho biết trong khai triển
2
1
,
n
x
x
 
+
 ÷
 
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46.
Tìm hạng tử không chứa x.
Bài 19. Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển
2
2
3
n
x
 
−
 ÷
 
là 97. Tìm hạng tử
của khai triển chứa x
4
.
Bài 20. Tìm hệ số của số hạng chứa
x

26
trong khai triển
n
x
x
7
4
1
 
+
 ÷
 
, biết rằng:
n
n n n
C C C
1 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1
+ + +
+ + + = −
.
Bài 21. Tìm hệ số của số hạng chứa
x
10
trong khai triển
n
x(2 )+
, biết rằng:
n n n n

n n n n
C C C C
0 0 1 1 2 2
3 3 3 ... ( 1) 2048
− −
− + − + − =
II. XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Biến cố
• Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A ⊂ Ω.
• Biến cố không: ∅ • Biến cố chắc chắn: Ω
• Biến cố đối của A:
\A A=
Ω
• Hợp hai biến cố: A ∪ B • Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B)
• Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅
• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất