Phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc độ hình học cho học sinh lớp 12 trường THPT bình xuyên

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Số phức là một nội dung quan trọng được đưa vào cuối chương trình
Giải tích 12 với mục đích kết thúc việc giới thiệu hệ thống các tập hợp số cho
học sinh: số tự nhiên, số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ, số thực, số phức.
Những năm gần đây, đề thi Đại học – Cao đẳng thường có những bài toán số
phức với đủ các mức độ nhận biết – thông hiểu – vận dụng và vận dụng cao. Do
đó, việc dạy học giải bài tốn này cũng là một trong những nội dung ôn thi
THPT Quốc Gia của các trường THPT. Tuy nhiên, do thời lượng dạy học nội
dung này không nhiều nên đa phần giáo viên chưa quan tâm đến việc phát triển
nhiều phương pháp giải toán cho học sinh. Trong các phương pháp giải toán số
phức, nếu tiếp cận bài tốn dưới góc độ hình học ta có thể tìm được những lời
giải hay và hiệu quả cho bài tốn đó.
Vì vậy, tác giả chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là “Phát triển năng lực
giải bài tốn số phức dưới góc độ Hình học cho học sinh lớp 12 trường THPT
Bình Xuyên”.
2. Tên sáng kiến
Phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc độ Hình học cho học
sinh lớp 12 trường THPT Bình Xuyên.
3. Tác giả sáng kiến
Họ và tên: Đào Thùy Linh
Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên
Số điện thoại: 0914262612 Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Bà Đào Thùy Linh - GV Toán trường THPT Bình Xuyên.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Sáng kiến được áp dụng trong lĩnh vực dạy học bộ mơn Tốn: cụ thể là
dạy học giải bài tập toán học. Sáng kiến được đưa ra nhằm giải quyết vấn đề
phát triển năng lực giải bài tập toán học cho học sinh.
1

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Ngày 06 tháng 04 năm 2019.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
7.1. Về nội dung của sáng kiến
Ngoài các phần: mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, sáng
kiến kinh ngiệm gồm ba chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Phát triển năng lực giải bài tốn số phức dưới góc độ Hình học
cho học sinh lớp 12 trường THPT Bình Xuyên.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Phát triển năng lực giải bài tập toán học
1.1.1. Năng lực giải bài tập toán học
Theo Trần Thúc Trình, năng lực là đặc điểm cá nhân của con người đáp
ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hồn thành hiệu quả loại hoạt động đó.
Năng lực tốn học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc
điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và tạo
điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương
đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.
Năng lực giải bài tập toán học là khả năng áp dụng áp dụng tiến trình thực
hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, địi hỏi khả năng tư duy
tích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện.
Giải bài tập toán học vừa là mục đích vừa là phương tiện của việc dạy học
mơn Tốn. Thơng qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất
định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện những hoạt động toán học phức hợp,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn học, những hoạt động trí tuệ chung
và những hoạt động ngơn ngữ. Nhờ q trình tập luyện ấy mà năng lực giải bài

tập tốn học của học sinh được hình thành và phát triển.
2


Năng lực giải toán bao gồm các thành phần: năng lực phân tích tổng hợp,
năng lực khái qt hóa, năng lực suy luận logic, năng lực rút gọn quá trình suy
luận, năng lực tìm ra lời giải hay,... Các năng lực thành phần này thường được
thể hiện qua các phương diện sau:
-

Một là: biết nhìn nhận, hiểu bài tốn.

-

Hai là: biết định hướng giải bài tập toán một cách rõ ràng.

-

Ba là: biết trình bày lời giải bài tốn một cách chính xác

-

Bốn là: biết phân tích lời giải bài toán.

Cũng như năng lực giải bài tập toán học, năng lực giải bài tập số phức
được xem như khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được lựa chọn
vào hoạt động giải bài tập số phức. Ở đây, ta có thể hiểu năng lực giải bài tập số
phức không chỉ giới hạn ở khả năng giải quyết những bài tốn về số phức mà
cịn ở cả khả năng biết sử dụng số phức như một công cụ giải toán.
1.1.2. Phát triển năng lực giải bài tập toán cho học sinh

Năng lực giải toán bao gồm các thành phần: năng lực phân tích tổng hợp,
năng lực khái qt hóa, năng lực suy luận logic, năng lực rút gọn quá trình suy
luận, năng lực tìm ra lời giải hay,... Các năng lực thành phần này thường được
thể hiện qua các phương diện sau:
-

Một là: biết nhìn nhận, hiểu bài tốn.

-

Hai là: biết định hướng giải bài tập toán một cách rõ ràng.

-

Ba là: biết trình bày lời giải bài tốn một cách chính xác

-

Bốn là: biết phân tích lời giải bài tốn.
Từ đó, để học sinh có được năng lực giải tốn và phát triển năng lực ấy thì

người thầy cần cho học sinh tập luyện những hoạt động trí tuệ nhằm rèn luyện tư
duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa, tư duy thuật
giải, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo,... Theo định hướng đổi mới
phương pháp dạy học thì các loại hình tư duy này được rèn luyện qua bốn bước
giải toán của G.Polya dưới tác động của các biện pháp hoạt động hóa người học.
Một số hoạt động để GV cho HS tập luyện nhằm phát triển năng lực
giải toán theo bốn bước giải toán của G.Polya gồm:

3

- Hoạt động phân tích đề bài, tìm tịi suy đoán, phát biểu bài toán theo
nhiều cách khác nhau hay tìm sự liên quan giữa các bài tốn.
- Hoạt động tiếp cận những tri thức phương pháp giải toán và thực hiện
các thao tác như: quy lạ về quen, phân chia trường hợp,…
- Hoạt động luyện tập trình bày lời giải một bài tốn từ cách giải tìm
được; hoạt động theo dõi lời giải cho trước để đánh giá lời giải đó, tìm sai lầm
và sửa chữa sai lầm nếu có.
- Hoạt động tư duy bao gồm: lật ngược vấn đề, khái quát hoá, đặc biệt
hoá bài toán, khai thác các lời giải của bài toán để đề xuất những bài tốn mới
hoặc tìm hướng giải cho những bài tốn khác, giải bài toán theo nhiều cách
khác nhau…
1.1.3. Đề xuất các biện pháp phát triển năng lực giải toán cho học sinh
Thầy cô giáo cần trang bị đầy đủ các tri thức về phương pháp giải toán
cho HS bao gồm: quy trình giải tốn theo 4 bước của G.Polya và những tri thức
phương pháp về nội dung toán học cụ thể. Đặc biệt, đối với những bài tốn chưa
có hoặc khơng có thuật giải: GV thường thơng qua dạy HS giải một số bài toán
cụ thể mà dần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới kĩ thuật giải một lớp
các bài tốn có dạng quen thuộc.
Học sinh phải được rèn luyện thường xun kĩ năng giải tốn thơng qua
củng cố, luyện tập giải các bài toán trong từng dạng hoặc cùng sử dụng một
phương pháp giải theo các mức độ năng lực tăng dần: nhận biết, thông hiểu, vận
dụng và vận dụng cao .
1.2. Bài tập toán và dạy học giải bài tập tốn
1.2.1. Vai trị của bài tập trong q trình dạy học.
Bài tập tốn học có vai trò là giá mang hoạt động của HS. Khi giải bài tập,
HS phải thực hiện những hoạt động bao gồm: nhận dạng thể hiện, những hoạt
động toán học phức tạp, những hoạt động phổ biến trong toán học, những hoạt
động trí tuệ chung và hoạt động ngơn ngữ.

Trong dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau về phương
pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội dụng
4


mới, củng cố kiến thức ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức, giúp GV nắm bắt
được thông tin hai chiều trong quá trình dạy và học.
1.2.2. Phương pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya về cách thức giải toán, phương pháp chung để giải bài tốn gồm 4 bước:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

Bước 3: Trình bày lời giải

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

1.2.3. Những yêu cầu của một lời giải bài toán
Một lời giải bài toán cần thỏa mãn các yếu tố: kết quả đúng kể cả các
bước trung gian; lập luận chặt chẽ; lời giải đầy đủ; ngơn ngữ chính xác; trình
bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. Nếu bài tốn có nhiều cách giải thì lời giải trình
bày theo cách ngắn gọn, hợp lý.
1.3. Mục tiêu của phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc độ
Hình học cho học sinh
a) Về kiến thức:
- Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan.
- Các phép toán về số phức: cộng, trừ, nhân, chia; các phép toán về liên hợp của
một số phức và modun của số phức.
- Tri thức phương pháp giải bài tốn tìm điểm biểu diễn của một số phức, tìm tập

hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước và bài tốn tìm
GTLN –NN của biểu thức số phức nhờ cơng cụ hình học.
b) Về kĩ năng:
Rèn luyện kĩ năng giải toán số phức gồm:
- Giải bài toán điểm biểu diễn của một số phức.
- Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước .
- Giải bài toán min – max biểu thức số phức nhờ cơng cụ hình học.
c) Về tư duy, thái độ:
- Phát triển tư duy logic, tư duy sáng tạo.
- Phát triển năng lực sử dụng hình học vào giải bài tập số phức.
- Tính cẩn thận, chính xác và tính thẩm mĩ.
5


Chương 2: Phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc độ Hình học
cho học sinh lớp 12 trường THPT Bình Xuyên.
2.1. Lý thuyết
2.1.1. Kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa số phức:
+ Dạng đại số:

z = a + bi , ( a, b

Các kết quả: Cho số phức z = a + bi , (a, b

R, i2 = - 1).
R), ta có:

+ Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i.
+ Môđun của số phức : | z|

a2

b2 .

+ Số phức liên hợp : z a bi .
+ Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) là : M(a ; b).
+ Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng
tương ứng bằng nhau.
b) Các phép toán đối với số phức
Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ và
nhân các số thực với chú ý i2 = - 1.
 Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
z
z

z'
z'

( a a ') (b b ')i
.
( a a ') (b b ')i

 Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
zz '

aa ' bb ' (ab ' a ' b)i .

 Phép chia hai số phức
Phép chia số phức z1 cho số phức z2 được thực hiện theo quy tắc sau :
z1

z1 .z2

z2

z2 .z2

z1 .z2
| z2 |2

Chú ý : Tất cả các tính chất mà đúng với phép tốn trên các số thực thì
cũng đúng trên các số phức.
 Liên hợp của số phức

6


z1

z2

z2 , z1 .z2

z1

z1
z2

z1 .z2 ,

z1
z2

.

c) Phương trình bậc hai với hệ số thực.
* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có

=b2 – 4ac.

+ Nếu

> 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x1,2

+ Nếu

= 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =

+ Nếu

< 0, PT có 2 nghiệm phức x1,2

b
2a

b
.

2a

b

i | |
.
2a

* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0.
Khi b chẵn có b’ = b/2 ;

2

' =b’ – ac.
b'

+ Nếu

' > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x1,2

+ Nếu

' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =

b'
.
a

+ Nếu

' < 0, PT có 2 nghiệm phức x1,2

b ' i | '|
.
a

'
a

.

2.1.2. Các phép toán về modun của số phức.
Cho các số phức z , z ' và M , N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z , z ' . Ta
có:
1) z

z.

2) zz

z .

2

3) z.z '
4)

z . z' .

z

z
z'

5) z

z'

,z'

0.

OM .

6) z z '

MN .

7


2OI , với I là trung điểm của đoạn thẳng MN.

7) z z '

2.2. Giải bài toán số phức dưới góc độ hình học
2.2.1. Bài tốn về điểm biểu diễn số phức
Cách giải: Số phức z

a

bi ,(a, b

) có điểm biểu diễn trong mặt

phẳng phức là M(a; b).
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số
phức
A. z
B. z 1 2i .
2 i.
C. z
D. z 1 2i .
2 i.
Lời giải
Điểm M( 2;1) biểu diễn số phức z

2

y
M

1

2

O

x

i . Chọn A.

Câu 2: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z a bi
( a, b
, ab 0 ), M là điểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. M đối xứng với M qua Oy .
B. M đối xứng với M qua Ox .
C. M đối xứng với M qua đường thẳng y

x.

D. M đối xứng với M qua O .
Lời giải
Ta có M là điểm biễu diễn cho số phức z
đối xứng với M qua Ox . Đáp án B

a bi

M (a; b) nên M

Câu 3: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức cho số phức z.
Biết OM = 5. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng
A. z

5.

B. z

C. zz

5.

D. z

2

5.

y
M

5.

Lời giải
z

OM

O

x

5 nên chọn đáp án A.

Mức độ 2: Thơng hiểu
Câu 4: Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z

(2 3i)(4 i)

.
3 2i
8


A.

1; 4 .

B. 1; 4 .

C. 1; 4 .

D.

1; 4

Lời giải
Ta có z

(2 3i)(4 i)
3 2i

5 14i
3 2i

(5 14i)(3 2i)
13

13 52i

13

1 4i .

Do đó điểm biểu diễn cho số phức z có tọa độ ( 1; 4) . Đáp án A.
Câu 5: Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
z1 1 2i ; z2 5 i . Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. 5

26 .

B. 5 .

Ta có: A(1; 2) , B(5; 1)

C. 25 .

D. 37 .

Lời giải
AB 5 . Đáp án B.

Câu 6: Cho bốn điểm M , N , P , Q là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ
tự biểu diễn các số i , 2 i , 5 , 1 4i . Hỏi điểm nào là trọng tâm của tam giác
tạo bởi ba điểm còn lại?
A. M .

B. N .

C. P .

D. Q .

Lời giải
Tọa độ các điểm: M(0; 1) , N(2;1) , P(5; 0) , Q(1; 4) .
0

Dễ thấy

5 1
2
3
nên N là trọng tâm của tam giác MPQ . Chọn
1 0 4
1
3

B.
Câu 7: Cho M, M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z 0
và z '

1 i
z . Hỏi tam giác OMM’ là tam giác gì?
2

A. Tam giác đều.

B. Tam giác tù có góc nhỏ hơn 600.

C. Tam giác nhọn.

D. Tam giác vng cân.

Phân tích: Ở bài tốn này, nếu đặt z = a + bi (a, b
M(a;b) biểu diễn cho số phức z. Do z '

R) thi điểm

1 i
z nên ta tính được tọa độ M’ biểu
2

diễn cho z’. Tuy nhiên, tính tốn đại số như vậy rất dài nên ta có các cách sau
giải bài tốn này:
Lời giải
Cách 1: Ta có
9


;

1 i
z
2

OM '

2
z ; MM '
2

OM

z

Do z

0 nên tam giác OMM’ vuông cân tại M’.

1 i
z
2

z' z

2
z ..
2

Cách 2: Làm thủ thuật trắc nghiệm.
Thử chọn z 1

1 i
2

z'

1 1
M(1; 0), M '( ; ).
2 2

Dễ có OMM’ vng cân tại M’. Chọn D
Mức độ 3: Vận dụng
Câu 8: Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1
z3

2 , z2

4i ,

4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tính diện tích tam giác ABC.

2

A. 8 .

B. 2 .

C. 6 .

D. 4 .

Phân tích: Trong bài tốn này, việc gắn hình học vào bài tốn số phức là
bắt buộc khi cần tính yếu tố diện tích của một tam giác thơng qua nhận dạng tam
giác đó.
Lời giải
Ta có A(2; 0) , B(0; 4) , C(2; 4) suy ra AC (0; 4) ; BC (2; 0)
Do
S

đó

ABC

tam

giác

ABC

là

tam

1
CA.CB
2

1
.4.2
2

4 . Đáp án D.

giác

vuông

tại

AC.BC
C.

Suy

0.

ra

Với ý tưởng tương tự, tăng cường thêm mức độ, ta có bài tốn sau:
Câu 9: Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D lần lượt là các điểm biểu diễn số
phức z1

1 i , z2

1 2i , z3

2 i , z4

3i . Gọi S là diện tích tứ giác ABCD .

19
.
2

C. S

Tính S .
A. S

17
.
2

B. S

23
.
2

D. S

21
.
2

Lời giải
Ta có z1
z4

3i

1 i

A( 1;1) , z2

1 2i

B(1; 2) , z3

2 i

C(2; 1) ,

D(0; 3) .

10


AC

trình AC : 2 x 1

(2; 3) là véc tơ pháp tuyến của AC , phương

13 , n

AC

(3; 2)

3 y 1

0

2x

0.

3y 1

y
B

2
A

1
1

1 O

x

2

1

C

3 D

Khoảng cách từ B đến AC là:
d( B; AC )

2

3.2 1

7

13

S

13

1
d( B; AC ).AC
2

1
7
. 13.
2
13

7
.
2

1
.d( D; AC ).AC
2

1 10
.
. 13
2 13

5.

ABC

Khoảng cách từ D đến AC là:
d( D; AC )

Vậy S S

0 9 1

10

13
S

ABC

S

13
7
2

ADC

ADC

17
. Đáp án A.

2

5

Mức độ 4: Vận dụng cao
Câu 10: Cho số phức z , biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức
z ; iz và z

i z tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 . Mơ đun của

số phức z bằng
A. 2 3 .

B. 3 2 .

C. 6 .

D. 9 .

Phân tích: Việc dùng cơng cụ hình học ở bài tốn này thể hiện ở ràng
buộc diện tích cho trước. HS phải biết đưa ràng buộc đó về biểu thức tính mơ
đun của z.
Lời giải
Gọi z a bi , a, b
.
Ta có: iz ai b , z i z

a

bi b

ai

a b

a

b i

Ta gọi A(a, b) , B( b, a) , C(a b, a b) nên AB( b a, a b) , AC( b, a) .
Vậy S

1
AB, AC
2

1
2

a2

b2

1 2
(a
2

b2 )

18

a2

b2

6 . Đáp án C.
11


Câu 11: Trong mặt phẳng phức, cho M, M’ theo thứ tự là các điểm biểu diễn số
phức z 0 và z’. Biết rằng tam giác OMM’ vuông cân tại M’ (O là gốc tọa độ).
z'
thỏa mãn tính chất nào sau đây?
z

Hỏi phần ảo k của
A. k

2.

C. 0

k

B. 0 k 1 .
D. k 1 hoăc k

1.

2

Phân tích: Câu hỏi của bài tốn này khiến HS khơng thực hiện được các
cách giải trong câu 10 nên mức độ tăng cao hơn nhiều. Tuy nhiên, dấu hiệu sử
dụng cơng cụ hình học ở đây thể hiện ở chỗ

z'
z

OM '
OM

2.

Lời giải:
Giả sử z '

nên nếu tam giác OMM’ là tam giác vuông cân tại M’ thì:

z

OM

2OM '

OM

2 MM '

Đặt

x

z
z

2 z' z

1 x

1
2

y2
2

y2

2
21

z
z

1

1
2

.

, ta có:

yi x , y

x2

2 z'

x
1
2

y

1
x
2 và
1
y
2

1
2
1
2

1 i
. Chọn C.
2

2.2.2. Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải cơ bản:
- Đặt z

x

yi x , y

. Khi đó điểm M(x;y) biểu diễn cho số phức z.

- Biến đổi đại số các điều kiện ở từng bài, thu được ràng buộc giữa x và y.
- Dựa vào kiến thức hình giải tích trong mặt phẳng để kết luận về tập hợp
điểm M.
Các loại quỹ tích cơ bản:
a) Loại 1: Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng
Cách giải 1: Sử dụng phương pháp giải cơ bản trên.
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuần ảo là?
12


A. Tia.

C. Đường thẳng.

B. Parabol.

D. Đường trịn.

Phân tích: Dựa vào định nghĩa số thuần ảo, tức là số phức có phần thực

bằng 0 nên HS dễ dàng chọn đáp án C.
Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 2i là?
A. Trục hoành.

B. Đường thẳng x = 1.

C. Đường thẳng x = 2.

D. Đường thẳng y = 1.

Phân tích: Trong bài toán này, HS sử dụng cách giải cơ bản ở mức độ
đơn giản để chỉ ra tính chất của điểm biểu diễn cho số phức z.
Lời giải
Đặt z

x

yi x , y

 z = x – yi, do đó z z 2i

y

1 . Đáp án D.

Tăng cường các bước tính tốn, ta có mức độ 3 của bài tốn này như sau:
Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
z thoả mãn điều kiện z z 3

4.

A. Đường trịn tâm I(-3;0), bán kính bằng 2. B. Đường thẳng x
C. Hai đường thẳng.

1
.
2

D. Elip.
Lời giải

Xét hệ thức: |z + z +3|=4 (1)
Đặt z

x

yi x , y

 z = x – yi, do đó

(1)  |(x+yi)+(x-yi)+3|=4

 |2x+3|=4 

x

1
2

x

7
2

. Vậy tập hợp tất cả các

điểm M là hai đường thẳng song song với trục tung: x =

1
và x =
2

7
. Đáp án C.
2

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn (1 z)2 là số thực. Tập hợp các điểm M biểu
diễn số phức z là?
A. Hai đường thẳng.

B. Parabol. C. Đoạn thẳng.

D. Đường tròn.

Hướng dẫn giải

13

Gọi z
(1 z)2

x

. Khi đó, ta có

yi x , y
yi)2

(1 x

( x 1)2

y2

2( x 1)yi .

y 0
.
x 1 0

Do (1 z)2 là số thực nên 2( x 1)y 0

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hai đường thẳng
x 1

0 và y

0 . Đáp án A.

Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 5: Cho S là tập các số thực m để phương trình z2 2z 1 m 0 có
nghiệm phức mà điểm biểu diễn của nghiệm đó nằm trên đường trịn
tâm O(0;0), bán kính bằng 2 đơn vị. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
A.

3.

B. 6 .

C. 10.

D. 7.

Phân tích: Bài tốn này trở nên khó hơn khi HS phải biết phân chia
trường hợp của tham số để tìm ra phần thực, phần ảo của z .
Lời giải
Ta có:

m, P

1 m.

Trường hợp 1 :

0

m

0.

Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực: z 1

m hoặc z

+ Với z 1

m . Suy ra: 1

m

2

m

1 (nhận).

+ Với z 1

m . Suy ra: 1

m

2

m

9 (nhận).

Trường hợp 2 :

0

m

1

m.

0.

Vì đây là phương trình hệ số thực có

0 nên phương trình có hai

nghiệm phức là liên hợp của nhau. Do đó:
z

2

z.z

4

P

4

1 m

4

m

3 (nhận).

Vậy m { 3;1; 9}. Chọn D.
Cách 2: Sử dụng phương pháp khác
Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất
z

z1

z

z2 hoặc những tính chất đưa được về nó.

14


Cách giải:
-

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B, C... lần lượt biểu diễn

cho các số phức liên quan z1 , z2 , z3 ...
-

Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C...

-

Kết luận về tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất z z1

z

z2 là đường

trung trực của AB .
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z i

z 2 . Tập hợp các điểm M biểu diễn

số phức z là?
A. Hai đường thẳng.

B. Parabol.

C. Một đường thẳng.

D. Đường tròn.
Hướng dẫn giải

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A(0;1), B(2; 0) biểu diễn
cho các số phức z1

i , z2

2 . Ta có: z i

z 2

AM

BM .

Suy ra tập hợp M là đường trung trực của AB. Chọn C.
Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn: z 1

z 2

3i . Tập hợp các điểm biểu diễn

số phức z là
A. Đường tròn tâm I(1; 2) , bán kính R 1 .
B. Đường thẳng có phương trình 2x 6 y 12 0 .
C. Đường thẳng có phương trình x 3y 6 0 .
D. Đường thẳng có phương trình x 5y 6 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B biểu diễn cho các số
phức z1 1, z2 2 3i . Ta có:
z 1

z 2

3i

AM

BM . Suy ra tập hợp M là đường trung trực của AB.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương
trình x 3y 6 0 . Đáp án C.
Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 3: Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z 2 i
z 3i là đường thẳng có phương trình:
15


A. y

x 1.

C. y

B. y

x 1.

x 1.

D. y

x 1.

Phân tích: Dấu hiệu nhận biết trong bài này được tăng cường hơn thêm
1 bước đưa về dạng z z1 z z2 từ ràng buộc z 2 i z 3i .
Lời giải
Cách 1:
Từ z x yi , x, y

z

Do đó x yi 2 i
(x

2)2

1)2

(y

x

yi.

x

yi

3i

x2

(y

3)2

i

z

(x

2) ( y

4x

2y

1)i

5

6y

x (y

3)i

9

x 1.

y

Cách 2:
z

2

i

z

3i

z

2

3i

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A( 2; 1), B(0; 3) biểu
diễn cho các số phức z1
2 i , z2
3i . Ta có:
Suy ra tập hợp M là đường trung trực của AB có phương trình y

x 1.

Chọn đáp án D
Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 4: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

z 1
z i

z 3i
z i

1?

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
Phân tích: Để giải được bài toán này, nếu biến đổi đại số thơng thường,
học sinh sẽ khó đưa được từng ràng buộc về để tìm số lượng số phức z. Do đó,
HS cần biết các phép tốn về mơ đun của số phức để đưa các dữ kiện đó về dạng
z

z1

z

z2 .

Lời giải
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm
A(1; 0), B(0;1), C(0; 3), D(0; 1) biểu diễn cho các số phức
z1 1, z2 i , z3 3i , z4
i . Ta có:
Gọi số phức z a bi với a, b

Ta có

z 1
z i

1

z 1

.

z i nên M di động trên đường trung trực của

AB có phương trình x – y =0.
z 3i
z i

1

z 3i

z

i nên M di động trên đường trung trực của CD

có phương trình y =1. Dễ thấy hai đường trung trực trên cắt nhau.
16


Vậy có 1 số phức thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn B.

Ý tưởng tương tự, ta có bài tốn sau:
Câu 5: Cho số phức z a bi , a, b
P

a

thỏa mãn

z 1
z

i

1 và

z 3i
z i

1 . Tính

b.

A. P 7 .

B. P

1.

C. P 1 .

D. P 2 .

Lời giải
Ta có:
z 3i
z i

z 1
z

1

z 1

z 3i

z

i

1

Từ (1) và (2) ta có

a
b

z i
i

a 1 bi

a (b 3)i

1
. Vậy P
1

a (b 1)i

a (b 1)i

2a 2b
b

0 (1).

1 (2).

2 . Chọn D.

b) Loại 2: Quỹ tích điểm biểu diễn là đường trịn
Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất
z

z'

R, R

0 hoặc những tính chất đưa được về nó.

Cách giải
-

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B, C... biểu diễn cho các

số phức liên quan zA , zB , zC ...
-

Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C...

-

Kết luận về tập hợp điểm M thỏa mãn z z '

R, R

0 là đường tròn

tâm I, bán kính R, I là điểm biểu diễn cho số phức z’.
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z 3 4i
A. Một đường tròn.
C. Một đường parabol.

5 là:

B. Một đường thẳng.
D. Một đường Elip.
Lời giải

Chọn A
Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn tâm I(3; 4) , bán kính
R 5.
Mức độ 2: Thơng hiểu.
17


Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i

5 và M( x; y) là điểm biểu diễn số

phức z . Quỹ tích M là đường trịn có phương trình nào sau đây?
A. ( x 1)2 ( y 2)2 25 .
B. ( x 1)2 ( y 2)2 25 .
C. ( x 1)2 ( y 2)2

D. ( x 1)2 ( y 2)2

5.

5.

Lời giải
Ta có z 1 2i

5

x 1 ( y 2)i

5 nên ( x 1)2

Vậy điểm M thuộc đường tròn ( x 1)2 ( y 2)2

( y 2)2

25 .

25 . Đáp án B.

Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 3: Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z 2 i

z

z'

4

là đường trịn có tâm I và bán kính R lần lượt là:
A. I( 2; 1) ; R 4 . B. I( 2; 1) ; R 2 .
C. I(2; 1) ; R 4 .
D. I(2; 1) ; R 2 .
Phân tích: Bài tốn này có dấu hiệu đưa về ràng buộc
R, R 0 thông qua biến đổi mô đun của số phức.
Lời giải
Chọn A
Gọi số phức z

x

iy x, y

Ta có:
z

2 i

4

(x

2) ( y 1)i

4 nên ( x

2)2

(y

1)2

16

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
z

2 i

4 là đường trịn có tâm I( 2; 1) và có bán kính R

4.

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z thỏa mãn z 1 2i

3.

Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w z(1 i) là đường tròn
A. Tâm I(3; 1) , R 3 2 .

B. Tâm I( 3;1) , R 3 .

C. Tâm I( 3;1) , R 3 2 .

D. Tâm I(3; 1) , R 3 .

Phân tích: Để giải bài tốn này cần đưa về ràng buộc
w w'

R, R

0 thông qua biến đổi mô đun của số phức.

Lời giải
Ta có z 1 2i

3

z(1 i) ( 1 2i)(1 i)

31 i

w 3

i

3 2.

18


Giả sử w

x

( x 3)2

yi ( x, y

1)2

(y

)

x 3 (y

1)i

I(3; 1) , R

18

3 2
3 2 . Chọn A.

18

z

Câu 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

z i

3 là đường nào?

A. Một đường thẳng.

B. Một đường parabol.

C. Một đường tròn.

D. Một đường elip.
Lời giải

Chọn C
Gọi z x yi , x , y
z

3

z

y2

9 x2

z i

x2

.

3z i

x

( y 1)2

yi

3x

yi i

8 x2

8y2

18 y

9

x2

y2

3 x2

0

x2

y2

( y 1)2

9
y
4

9
8

0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn.
Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 6: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
sau: z 10 2i

z

2 14i và z 1 10i

B. Khơng.

A. Hai.

5?

C. Một.

D. Vơ số.

Phân tích: Nếu như ở câu 5, sử dụng hình học và đại số có vai trị tương
đương thì ở câu 6 này việc sử dụng cơng cụ hình học mang lại hiệu quả cao hơn.
Dấu hiệu sự dụng hình học thể hiện rõ ở 2 dữ kiện đã cho của bài toán.
Hướng dẫn giải
Cách 1: biến đổi đại số.
Từ giả thiết z 10 2i
24a

Ta có: z 1 10i
25 2
b
9

z

2 14i

32b 96

(a 1)2

5

100
b 100
3

0

0

b

a

(a 10)2

2)2

(a

2)2

(b 14)2

4
b 4
3

(b 10)2
6,a

(b

25

4
( b 5)2
3

b2

20b 100

25

4 .Vậy có một số phức thỏa mãn. Chọn C.

Cách 2: sử dụng hình học giải tích

19


z 10

2i

2 14i nên điểm M biểu diễn số phức z di động trên

z

đường thẳng

: 3x 4 y

0 là trung trực của A(10; 2), B( 2;14) .

12

5 nên điểm M biểu diễn số phức z di động trên đường tròn

z 1 10i
( I ; R) với I(1;10), R

5.

Do d( I ; ) 5 nên đường thẳng ( ) tiếp xúc với đường tròn ( I ; R) I ; R .
Vậy có một số phức thỏa mãn.
Câu 7: Gọi ( H ) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa 1

z 1

2

trong mặt phẳng phức. Tính diện tích hình ( H ) .

A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn B
Đặt z

yi , z 1

x

x 1

( x 1)2

yi

Do
1

y2 .

đó
z 1

2

1 ( x 1)2

1

( x 1)2

y2

4.

y2

2

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là
hình phẳng nằm trong đường trịn tâm I(1; 0) bán
kính R 2 và nằm ngồi đường trịn I(1; 0) bán
kính r 1 . Vậy diện tích hình phẳng S
Câu 8:

.22

.12

3 .

Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 3i
đồng thời z1 z2

w

z1

5,

8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường trịn có phương trình

nào dưới đây?
A. x

5
2

2

C. ( x 10)

y

2

3
2

2

( y 6)

2

9
.
4

16 .

B. ( x 10)2 ( y 6)2
D. x

5
2

2

y

3
2

36 .

2

9.

20

Phân tích: Trong bài tốn này, dấu hiệu sử dụng hình học thể hiện rõ ở
các ràng buộc z 5 3i
cho

5 , z1

z2

8 và w

z2 trong đó điểm biểu diễn

z1

w
là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm biểu diễn cho z1 , z2 .
2

Lời giải
Gọi A , B , M là các điểm biểu diễn của z1 , z2 , w . Khi đó A , B thuộc
đường trịn C : ( x 5)2 ( y 3)2

25 và AB

z1

z2

8. C

có tâm I(5; 3) và

bán kính R 5 , gọi T là trung điểm của AB khi đó T là trung điểm của OM và
IT

IA2

TA2

3.

Gọi J là điểm đối xứng của O qua I suy
ra J(10; 6) và IT là đường trung bình của
tam giác OJM , do đó JM 2IT

6.

Vậy M thuộc đường trịn tâm J bán kính bằng 6
và có phương trình ( x 10)2 ( y 6)2

36 .

c) Loại 3: Một số quỹ tích khác
Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn 2|z-i|=|z- z +2i|. Tập hợp điểm biểu diễn cho z
là đường nào?
A. Một đường thẳng.

B. Một đường parabol.

C. Một đường tròn.

D. Một đường elip.
Lời giải

Đặt z

x

yi , x , y

 z = x – yi. Khi đó: (3)  |x+(y-1)i| = |(x+y)i|

 x2+(y-1)2 = (x+y)2 x2 – 4y = 0  y =
Vậy tập hợp các điểm M là parabol y =
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2

x2
.
4

x2
. Chọn B.
4
z

2

5 . Tập hợp điểm biểu diễn cho

z là đường nào?

A. Một đường thẳng.

B. Một đường parabol.

C. Một đường tròn.

D. Một đường elip.
21


Lời giải
Chọn D
Gọi M( x; y) , F1 ( 2; 0) , F1 (2; 0) biểu diễn cho số phức z , 2 , 2 .
Ta có: MF1 MF2

5.

Vậy M chạy trên Elip có trục lớn 2a 5 , trục nhỏ 2b 2

25
4

4

3.

2.2.3. Giải bài toán min – max trên tập số phức.
Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất

z z1
z z2 , z z ' R, R 0 hoặc những tính chất đưa được về các tính
chất đó.
Cách giải
- Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B, C... lần lượt biểu diễn
cho các số phức liên quan z1 , z2 , z3 ...
-

Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C...

- Kết luận về giá trị min – max nhờ sử dụng các kết quả sau:
1) Nếu điểm M di động trên đường thẳng
thì z z1 min d A; .
2) Nếu điểm M di động trên đường tròn
z

z1 max

IA

I; R

thì z z1 min

IA R

và

R.

Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên trục hồnh. Tìm giá trị nhỏ
nhất của z  (1  i) .
A.1.

B.2.

C. 2 .

Lời giải
Gọi M , A là điểm biểu diễn số phức z , z1

D. 0.

1 i . Khi đó:

A(1;1), z  (1  i)  MA nên z  (1  i) min  d ( A; Ox)  1 . Chọn A.

Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2: Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4i
nhỏ nhất là:
A. z
1 i.

B. z

2

2i .

z 2i . Số phức z có mơđun

C. z 2 2i .

D. z 3 2i .

Lời giải
22


Cách 1:
Gọi M, A, B là điểm biểu diễn số phức z , z1
Ta có: z 2 4i

z 2i

của AB có phương trình
Khi đó z min

2

4i , z2

2i .

MB . Tập hợp M là đường trung trực

MA

: x y 4 0.

OMmin

2 2 và khi đó OM vng góc với

d(O; )

.

Do đó tọa độ M 2; 2 . Vậy z 2 2i .
Cách 2: pp đại số.
Đặt z a bi ( a , b
(a 2) (b 4)i

). Khi đó z 2 4i
(a 2)2

a (b 2)i

z 2i

(b 4)2

a2

(b 2)2

4 a.

b

Khi đó:
a2

z

b2

a2

(4 a)2

a
b

Đẳng thức xảy ra

2a 2

2(a 2)2

8a 16

2
. Vậy z
2

2 2.

2i . Chọn C.

2

Câu 3: Xét các số phức z thỏa điều kiện z 3 2i
z

8

5 . Giá trị lớn nhất của

1 i là?

A. 5 .

B. 15 .

C. 10 .

D. 20 .

Lời giải
Chọn A
Gọi
M , I(3; 2), A( 1;1)
z , z1 3 2i , z2
1 i.

là

Ta có z 3 2i

5

kính R 5 .
Khi đó z 1 i

MA nên z

MI

điểm

biểu

diễn

số

phức

5 . Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán

1 i max

IA

R

10 . Chọn C.

Mức độ 3: Vận dụng.

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 2z 3 4i

10 . Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó M m bằng:
A. 5 .
B. 15 .
C. 10 .
D. 20 .
Phân tích: Mức độ biến đổi ở bài toán này tăng cường hơn khi đưa dữ
kiện cho là 2z 3 4i 10 về z z ' R, R 0 .
Lời giải
Chọn C
23


Ta có: 2z 3 4i

3
2

z

10

thỏa đề là đường trịn tâm I
m IO R
M IO R

Khi đó:

5 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức

2i

3
; 2 , bán kính R
2

M m

5.

10 .

2R

Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 5: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 5

5, z2

1 3i

z2

3 6i . Giá

trị nhỏ nhất của z1 z2 là:
A.

5
.
2

B.

7
.
2

C.

1
.
2

D.

3
.
2

Phân tích: Các giả thiết trong bài toán này yêu cầu HS có cái nhìn tồn
diện hơn khi sử dụng cơng cụ hình học nhờ các dấu hiệu z z1 z z2 ,
z z'

R, R

0 và tính z1

z2 .

Lời giải
Chọn A
Giả sử z1

a1

, z2

b1i a1 , b1

a2

.

b2 i a2 , b2

Ta có
z1

5

5 nên tập hợp các điểm A biểu diễn cho số phức z1 là

đường trịn C có tâm là điểm I( 5; 0) và bán kính R 5 .
z2

1 3i

z2

3 6i nên tập hợp các điểm B biểu diễn cho số phức

z2 là đường thẳng

: 8x

Khi đó, ta có z1 z2
Suy ra z1 z2 min

6 y 35

0.

AB .

ABmin

d( I ; ) R

Vậy giá trị nhỏ nhất của z1 z2 là

8.

5

6.0 35

82

62

5

5
.
2

5
.
2

Tăng cường biến đổi các ràng buộc, ta có các bài toán sau:
Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 2i
nhất của biểu thức P
A. 13 1 .

z

z 4i và z 3 3i

1 . Giá trị lớn

2 là:

B. 10 1 .

C. 13 .

D. 10 .

24


Lời giải
Chọn C
Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z ta có:
z 2i

x2

z 4i

y

( y 2)2

3 ; z 3 3i

x2

( y 4)2 .

điểm M nằm

1

trên đường tròn tâm I(3; 3) và bán kính

bằng 1. Biểu thức P

z 2

AM

trong đó A(2; 0) , theo hình vẽ thì giá
trị lớn nhất của P
M

z 2 đạt được khi

(4; 3) nên max P

13 .

AM

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn
w 2 3i

z 1 i

2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z

1 , số phức

w

thỏa mãn

w.

A. 13 3 .

B. 17 3 .

C. 17 3 .

D. 13 3 .
Lời giải

Chọn B
Gọi M( x; y) biểu diễn số phức z
có tâm I1 (1;1) , bán kính R1

iy thì M thuộc đường trịn (C1 )

1.

N( x ; y ) biểu diễn số phức w

tâm I 2 (2; 3) , bán kính R2

x

x

iy thì N thuộc đường trịn (C2 ) có

2 . Giá trị nhỏ nhất của z

w chính là giá

trị nhỏ nhất của đoạn MN .
Ta có I1I 2
MNmin

I1 I 2

1; 4
I1 I 2

R1

R2

R1

17
17

R2

(C1 ) và (C2 ) ở ngoài nhau.

3

Câu 8: Cho số phức z và w thỏa mãn z w 3 4i và z w
lớn nhất của biểu thức T

A. max T
C. max T

176 .
4.

z

9 . Tìm giá trị

w.

B. max T 14 .
D. max T

106 .

25