Hiệu ứng sinh đa exciton trong pin mặt trời chấm lượng tử

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
--------------------------------

KIỀU THỊ QUYÊN

HIỆU ỨNG SINH ĐA EXCITON TRONG PIN
MẶT TRỜI CHẤM LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hà Nội – 2007


2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
--------------------------------

KIỀU THỊ QUYÊN

HIỆU ỨNG SINH ĐA EXCITON TRONG PIN
MẶT TRỜI CHẤM LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Công nghệ nanô
Mã số:

LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS. Nguyễn Văn Hiệu

Hà Nội – 2007


5

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU.………………………………………………………………… 2
Chƣơng 1: PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG TỬ HỐ TRONG LÍ THUYẾT HỆ
NHIỀU HẠT. LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN……................................................. 3
1.1 Phƣơng pháp lƣợng tử hóa trong lí thuyết hệ nhiều hạt….................... 3
1.1.1 Lƣợng tử hóa trƣờng điện từ…………………………………….. 3
1.1.2 Lƣợng tử hóa trƣờng vơ hƣớng………………………….............. 5
1.1.3 Lƣợng tử hóa trƣờng spinơ………………………………………. 7
1.2 Lí thuyết nhiễu loạn ………………………………………..………… 9
1.2.1 Hamiltơn tƣơng tác và biểu diễn tƣơng tác ……………………… 9
1.2.2 Ma trận tán xạ ………………………………………………….. 11
Chƣơng 2: YẾU TỐ MA TRẬN CỦA QUÁ TRÌNH SINH ĐA EXCITON
TRONG CHẤM LƢỢNG TỬ BÁN DẪN KHI HẤP THỤ MỘT PHOTON …14
2.1. Phép gần đúng bậc một …………………………..…..…………….. 16
2.2. Phép gần đúng bậc hai …………………………...…..…………….. 17
2.3. Phép gần đúng bậc ba ……………………………………………… 18

2.4. Phép gần đúng bậc bốn……………………………………………... 34
2.5. Phép gần đúng bậc năm ……………………………………………. 35
Chƣơng 3: XÁC SUẤT CỦA CÁC Q TRÌNH SINH ĐA EXCITON ……..44
3.1 Q trình sinh một exciton …………………………………………. 44
3.2 Quá trình sinh hai exciton ……………………………………........... 46
3.3 Quá trình sinh ra ba exciton ................................................................ 48
KẾT LUẬN..……………………………………….………………….............. 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO…...…………………………..…………….............. 53


6

MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây khoa học kĩ thuật và cơng nghệ trên thế giới
ngày càng có nhiều bƣớc tiến nhảy vọt, nhiều vật liệu mới, nhiều hiện tƣợng mới
đƣợc tìm thấy bằng con đƣờng thực nghiệm và lí thuyết. Hiệu ứng sinh exciton
trong bán dẫn khối đã đƣợc nghiên cứu từ rất lâu song quá trình sinh nhiều
exciton chƣa đƣợc chú trọng mà ngƣời ta mới chỉ nghiên cứu sự sinh biexciton
khi hấp thụ một photon, trong chấm lƣợng tử do các mức năng lƣợng là gián
đoạn nên xác suất sinh đa exciton từ việc hấp thụ một photon tăng lên so với bán
dẫn khối. Hơn nữa, vì ánh sáng mặt trời có dải phổ rộng cho nên khi hấp thụ ánh
sáng mặt trời có thể đồng thời xảy ra quá trình sinh nhiều exciton.
Hiệu ứng sinh đa exciton trong pin mặt trời chấm lƣợng tử đã đƣợc nhóm
các nhà nghiên cứu của Mĩ tìm thấy bằng thực nghiệm vào năm 2005. Vì vậy,
yêu cầu đặt ra là phải xây dựng một mơ hình lí thuyết để so sánh.
Vì vậy trong luận văn thạc sĩ này tơi xin trình bày hiệu ứng sinh đa exciton
trong pin mặt trời chấm lƣợng tử bằng lí thuyết thơng qua thuyết lƣợng tử hóa
lần hai của hệ nhiều hạt và lí thuyết nhiễu loạn.
Phƣơng pháp nghiên cứu đó là dựa vào thuyết lƣợng tử hóa lần hai của hệ
nhiều hạt để viết hàm sóng của điện tử trong bán dẫn chấm lƣợng tử, hàm sóng

của trƣờng điện từ, sử dụng tính chất của các toán tử sinh và toán tử hủy hạt
trong tính tốn. Dựa vào lí thuyết nhiễu loạn để viết Hamilton tƣơng tác giữa
trƣờng điện từ và trƣờng spinơ, tính yếu tố ma trận, tính xác suất xảy ra của quá
trình sinh đa exciton khi hệ điện tử trong chấm lƣợng tử bán dẫn khi bị kích
thích bởi một photon và bị kích thích bởi ánh sáng mặt trời là một dịng photon
có năng lƣợng thay đổi liên tục từ vùng tử ngoại đến vùng hồng ngoại.


7

Chƣơng 1: PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG TỬ HỐ TRONG LÍ THUYẾT HỆ
NHIỀU HẠT.
1.1 Phƣơng pháp lƣợng tử hóa trong lí thuyết hệ nhiều hạt
1.1.1 Lƣợng tử hóa trƣờng điện từ [1]
Hệ phƣơng trình Maxwell cho các cƣờng độ điện trƣờng và từ trƣờng có
dạng:

divH  0,
H
rotE 
 0,
t
E
rotH 
 j,
t
divE   .

(1.1)

Ta biểu diễn vectơ cƣờng độ điện trƣờng và từ trƣờng qua thế vectơ A và
thế vô hƣớng

 nhƣ sau:

H  rotA
E   grad 

(1.2)

A
t

(1.3)

Xét trƣờng điện từ trong chân không, tức là đặt

j  0,   0 . Vì

A,  khơng đƣợc xác định đơn giá nên ta chọn chúng sao cho nó thỏa mãn điều
kiện Lorentz và trong chân khơng   0 khi đó

divA  0 .

Vectơ cƣờng độ

điện trƣờng và từ trƣờng biểu diễn qua chúng nhƣ sau:

A
t

H  rotA
E

(1.4)

Các sóng phẳng đơn sắc dạng tổng quát có dạng

Ai  ai cos[ (t  nr )   i ]  ai sos(t  kr   i )

k  . n

(1.5)
(1.6)

Ở đây ta đƣa thêm vào thành phần phức:

i   i exp[i(t  kr)]
trong đó

(1.7)


8

1
2

 i  ai exp( i ), ai  0

(1.8)

Khi chuẩn hóa trong hình hộp chữ nhật V và sử dụng điều kiện biên tuần
hồn ta có thế vectơ chuẩn hóa nhƣ sau:

1
 vk exp[ i(t  kr)], v  1,2.
V

vk 

(1.9)

với các điều kiện chuẩn hóa:

 vk  v 'k   vv '

(1.10)



(1.11)


v 'k '

vk dr 3   vv ' kk '

V

Thành phần thực của thế vectơ sẽ là

A    

Khai triển cƣờng độ điện trƣờng và từ trƣờng nhƣ sau:

E    q (t )e (r )

(1.12)

H   p (t )h (r )

(1.13)





Năng lƣợng toàn phần của trƣờng điện từ sẽ là:

1
1
2
2
3
(
E

H
)
d

r

( p2  2 q2 )


2
2 



(1.14)

Từ các công thức ở trên ta dễ dàng rút ra đƣợc

q 


p



p



và
q

(1.15)

Hai phƣơng trình trên hồn tồn có thể biến đổi về dạng của hệ phƣơng
trình Maxwell, nghĩa là các phƣơng trình của trƣờng điện từ có thể đƣợc biểu
diễn dƣới dạng các phƣơng trình Hamilton nếu coi q và p nhƣ là tọa độ và
xung lƣợng suy rộng cịn năng lƣợng tồn phần H nhƣ là Hamilton.
Khi lƣợng tử hóa trƣờng điện từ ta thay thế tọa độ và xung lƣợng suy rộng
bằng các toán tử và chúng thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

qˆ





, qˆ   0,

pˆ





, pˆ   0,

qˆ





, pˆ   i ij

(1.16)


9

Năng lƣợng toàn phần, xung lƣợng toàn phần, và các đại lƣợng vật lí khác
của trƣờng điện từ cũng trở thành các toán tử. Hệ thức của Hamilton trƣờng điện
từ là:

1
Hˆ   ( pˆ 2  2 qˆ2 )
2 

(1.17)

Thế vectơ của trƣờng điện từ xét trong không gian hữu hạn thể tích V có
dạng:

ˆ  1

V

 2 cˆ
1

vk

 vk exp[ i(t  kr)]  cˆvk  vk exp[i(t  kr)]

vk

(1.18)
Trong đó các tốn tử

cˆvk , cˆvk là các tốn tử hủy photon và sinh photon.

1.1.2 Lƣợng tử hóa trƣờng vô hƣớng [1]
Xét trƣờng vô hƣớng

 (r , t ) . Hamiltonian là:

2
H    (r , t ) [
 V (r )]. (r , t )dr 3
2m


Giả sử có một hệ đủ

(1.19)

 i (r ) các nghiệm trực giao chuẩn hóa của phƣơng

trình Schrodinger

2
[
 V (r )]. i (r )   i i (r )
2m

Trƣờng

 (r , t )

có thể khai triển theo hệ đủ các hàm sóng

(1.20)

 i (r )

 (r , t )    i (t )i (r )

(1.21)

i

Thay khai triển này vào vế phải của (1.19) ta có:

 2

H    i (t ) *  j (t )   i (r ) * 
 V (r ) i (r )d 3 r
i, j
 2m

=

 (t ) * 
i

i, j

j

(t ) j   i (r ) *  j (r )d 3 r

Nghĩa là:

H    i i (t ) *  i (t )
i

(1.22)


10

Đặt:

i 

1
2 i



( i qi  ip i ) ,  i 

1
( i qi  ipi )
2 i

(1.23)

Ta thu đƣợc:

H
Vì các hàm sóng

1
( pi2   i2 qi2 )

2 i

(1.24)

i (r ) ở vế phải của phƣơng trình (1.21) thỏa mãn phƣơng

trình Schodinger (1.20) cho nên từ phƣơng trình Schodinger của trƣờng

 (r , t ) :
 (r , t )
2
i
 [
 V (r )] (r , t )
t
2m

(1.25)

Ta suy ra phƣơng trình vi phân đối với các hệ số khai triển  i (t )

d i (t )
  i i (t )
(1.26)
dt
Thay vào đây biểu thức (1.23) biểu diễn  i qua p i và q i ta thu đƣợc hệ
.

i i (t )  i

phƣơng trình đối với các hàm thực q i và p i

q i  pi , p i   i 2 qi

(1.27)

Mặt khác công thức (1.24) cho ta

H
 pi ,
pi

H
2
  i qi
qi

So sánh hệ thức này với các phƣơng trình (1.27), ta thu đƣợc phƣơng trình
Hamilton đối với q i và p i

qi 

H
H

p


i
pi ,
qi

(1.28)

Nhƣ vậy các đại lƣợng p i và q i có thể đƣợc coi nhƣ xung lƣợng và toạ độ
suy rộng của trƣờng vô hƣớng

 (r , t ) . Phƣơng trình Schodinger của trƣờng

này tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình Hamiltơn. Nói cách khác phƣơng trình
của trƣờng vơ hƣớng cũng có thể đƣợc viết dƣới dạng tƣơng tự nhƣ các phƣơng


11

trình của cơ học cổ điển hoặc nhƣ các phƣơng trình của trƣờng điện từ. Vì thế ta
có thể lƣợng tử hố trƣờng vơ hƣớng theo cách chúng ta đã lƣợng tử hoá các hệ
cơ học và trƣờng điện từ.
Khi lƣợng tử hố trƣờng vơ hƣớng ta thay toạ độ và xung lƣợng suy rộng

q i và p i bằng các toán tử tự liên hợp qˆi (t ) và pˆ i (t ) thoả mãn các hệ thức giao
hoán:

[qˆi (t ), qˆ j (t )]  [ pˆ i (t ), pˆ j (t )]  0 và [qˆi , pˆ j ]  i ij

(1.29)

Các hệ số khai triển  i (t ) trong (1.21) cũng trở thành toán tử ˆ i (t ) . Thay


cho các đại lƣợng  i (t ) liên hợp phức với  i (t ) ta có tốn tử ˆ i (t ) liên hợp

phức với ˆ i (t ) . Ta có hệ thức

ˆ i 

1
1

( i qˆi  ipˆ i ), ˆ i 
( i qˆi  ipˆ i )
2 i
2 i

(1.30)

Từ hệ thức này ta suy ra các hệ thức giao hoán sau đây

ˆ (t ),ˆ (t )  ˆ (t ) ,ˆ (t )   0

ˆ (t ),ˆ (t )   


i

j

i

j

i





j

(1.31)

ij

Toán tử Hamiltonian của trƣờng có dạng

ˆ    iˆ i (t )  ˆ i (t ).


(1.32)

i

Khi lƣợng tử hố thì cơng thức các tốn tử trƣờng (1.21) có dạng:

ˆ (r , t )  ˆ i (t )i (r ), ˆ (r , t )   ˆ i (t )  i (r )
i

i

1.1.3 Lƣợng tử hóa trƣờng spinơ [1]
Các phƣơng trình của trƣờng spinơ cổ điển có dạng hồn tồn giống nhƣ
phƣơng trình của trƣờng vơ hƣớng cổ điển. Điểm khác nhau chủ yếu của hai
trƣờng này là các tính chất biến đổi của chúng trong phép quay của không gian.
Trƣờng vơ hƣớng có một thành phần và bất biến đối với phép quay r  r ' còn
trƣờng spinơ thì có hai thành phần và sau mỗi phép quay thì mỗi thành phần đều
trở thành tổ hợp tuyến tính của cả hai. Vì các phƣơng trình của các trƣờng vô
hƣớng và trƣờng spinơ cũng nhƣ biểu thức của các đại lƣợng của chúng có dạng
gần nhƣ giống nhau cho nên khi khảo sát trƣờng spinơ và lƣợng tử hóa nó ta có
thể sử dụng các kết quả đã thu đƣợc của trƣờng vô hƣớng, tuy nhiên cần chú ý


12

các hạt của trƣờng vô hƣớng tuân theo thống kê Bose-Einstein, còn các hạt trong
trƣờng spinơ tuân theo thống kê Fecmi-Dirac, các tốn tử trƣờng vơ hƣớng giao
hốn với nhau cịn các tốn tử trƣờng spinơ là các tốn tử phản giao hốn.
Tƣơng tự nhƣ trƣờng vơ hƣớng, Hamiltonian của trƣờng spinơ lƣợng tử

ˆ (r , t )

có dạng:


Hˆ  ˆ (r , t )  [
 V (r )].ˆ (r , t )dr 3
(1.33)
2m
1
Thế năng V (r ) có thể chứa toán tử spin của hạt s   .
2
Giả sử  i (r ) là hệ đủ các nghiệm trực giao chuẩn hóa của phƣơng trình
2

2
[
 V (r )]. i (r )   i i (r )
2m

(1.34)

Ta khai triển toán tử trƣờng ˆ (r , t ) theo hệ đủ  i (r )

ˆ (r , t )   aˆi exp( i i t ) i (r ),
i

ˆ (r , t )   aˆi  exp(i i t ) i (r )


(1.35)

i

Hamilton đƣợc biểu diễn qua toán tử aˆ i và


aˆi


Hˆ    i aˆ i aˆ i

(1.36)

i

Toán tử aˆ i và


aˆi thỏa mãn hệ thức phản giao hoán:

aˆ , aˆ   aˆ
i

j


i

, aˆ j



 0, aˆ , aˆ  


i

j

ij

.

Toán tử trƣờng ˆ (r , t ) và toán tử liên hợp hermitic của nó

(1.37)

ˆ (r , t )  thỏa

mãn phƣơng trình Heisenberg

ˆ (r , t )
ˆ (r , t ) 
ˆ
i
 [ H ,ˆ (r , t )],  i
 [ Hˆ ,ˆ (r , t )  ]
t
t

(1.38)

và các hệ thức phản giao hoán

ˆ (r, t ),ˆ  (r ' , t ' )  ˆ (r, t ) ,ˆ  (r ' , t ' )   0,
ˆ (r, t ),ˆ  (r ' , t ' )    (r, r ' , t  t ' ),  ,   1,2.










(1.39)


13

1.2 Lí thuyết nhiễu loạn
1.2.1 Hamiltơn tƣơng tác và biểu diễn tƣơng tác [1]
Hamilton của trƣờng spinơ tự do trong lí thuyết lƣợng tử hóa lần hai có
dạng:


Hˆ  ˆ (r , t )  [
 V (r )].ˆ (r , t )dr 3
2m
2

(1.40)

Nếu xét đến hệ các hạt mà trong đó có sự tƣơng tác theo từng cặp giữa các
hạt trong hệ, khi đó Hamiltơn tồn phần của hệ gồm hai thành phần

Hˆ  Hˆ o  Hˆ int

(1.41)

Trong đó Hˆ o là Hamiltơn của trƣờng tự do có dạng nhƣ biểu thức (1.40)
còn Hˆ int là Hamiltơn tƣơng tác của trƣờng.
Hamlitơn tƣơng tác giữa trƣờng vô hƣớng tự liên hợp và trƣờng spinơ có
dạng :

Hˆ int  g ˆ ˆ ˆ d 3 r

(1.42)

Hamiltơn tƣơng tác giữa trƣờng spinơ và trƣờng điện từ có dạng :


ie ˆ 
e2 ˆ 2 
3
ˆ
H int   Aˆ (  )ˆ d r 
A ˆ ˆ d 3 r  e  Aˆ oˆ ˆ d 3 r

m

2m
(1.43)
e
ˆ ˆ ˆ d 3 r.

H
2m 
Trong phép gần đúng bậc một ta chỉ xét đến số hạng thứ nhất trong
Hamiltơn tƣơng tác giữa hai trƣờng.


ie ˆ 
ˆ
ˆ
H int   A (  )ˆ d 3r
m

(1.44)

Khi khảo sát các trƣờng tự do ta đã đƣa vào biểu diễn Heisenberg và biểu
diễn Schodinger. Trong biểu diễn Heisenberg các vectơ trạng thái không phụ
thuộc thời gian cịn sự thay đổi của các tốn tử trƣờng theo thời gian đƣợc xác
định bởi phƣơng trình chuyển động Heisenberg. Ngƣợc lại trong biểu diễn
Schodinger các tốn tử khơng thay đổi theo thời gian, còn sự phụ thuộc của
vectơ trạng thái theo thời gian đƣợc xác định bởi phƣơng trình Schodinger.


14

Tƣơng tự nhƣ vậy ta định nghĩa biểu diễn Heisenberg và biểu diễn Schodinger

của trƣờng tƣơng tác. Các toán tử trƣờng, Hamiltonian và vectơ trạng thái trong
biểu diễn Heisenberg kí hiệu là

 H , H , AH , H H ,  H cịn trong biểu diễn

Schodinger chúng đƣợc kí hiệu là

S , S , AS , H S ,  S . Ta có các phƣơng trình

sau:

 H

 H H ,  H ,  H  H H , H 
t
t
AH
d H

 H H , AH ,
 0,
t
dt








 S
 S

 0,
 0,

t
t

AS
d S
 0, i
 H S  S , H S  H H .
t
dt


(1.45)

(1.46)

Hai biểu diễn này liên hệ với nhau qua biểu thức:

 S  exp( iH H t ) H exp(iH H t ), 
 S  exp( iH H t ) H exp(iH H t ), 
AS  exp( iH H t ) AH exp(iH H t ),
 S  exp( iH H t ) H .






(1.47)

Ngồi hai biểu diễn trên cịn một biểu diễn trung gian thứ ba rất tiện lợi cho
việc khảo sát tƣơng tác giữa các trƣờng bằng phƣơng pháp lí thuyết nhiễu loạn
gọi là biểu diễn tƣơng tác. Các toán tử trƣờng, Hamiltonian và vectơ trạng thái

ˆ , Hˆ ,  . Biểu diễn này liên hệ với
trong biểu diễn tƣơng tác kí hiệu là ˆ ,ˆ , A
biểu diễn Schodinger qua hệ thức sau:

ˆ  exp(iHˆ ot ) S exp( iHˆ ot ),
ˆ  exp(iHˆ ot ) S exp( iHˆ ot ),

Aˆ  exp(iHˆ o t ) AS exp( iHˆ o t ),
Hˆ int  exp(iHˆ o )( H int ) S exp( iHˆ o t ),
Hˆ o  ( H o ) S ,   exp(iHˆ o t ) S .









(1.48)

Trong biểu diễn tƣơng tác các toán tử trƣờng và các vectơ trạng thái thỏa
mãn hệ thức:


15

ˆ

t
Aˆ


t


Hˆ ,ˆ ,
Hˆ , Aˆ ,
o

o



ˆ
 Hˆ o ,ˆ
t
d ˆ
 H int,
dt











(1.49)

Nhƣ vậy trong biểu diễn tƣơng tác các toán tử trƣờng thỏa mãn các biểu
thức tƣơng tự nhƣ phƣơng trình của các trƣờng tự do, do đó trong biểu diễn
tƣơng tác ta cũng có thể viết các tốn tử trƣờng dƣới dạng khai triển theo các
toán tử sinh hạt và hủy hạt, trong biểu diễn này các vectơ trạng thái thỏa mãn
các phƣơng trình tƣơng tự nhƣ trong biểu diễn Schodinger nhƣng ở vế phải thay
cho Hamiltơn toàn phần ta có Hamiltơn tƣơng tác.
1.2.2 Ma trận tán xạ [1]
Trong biểu diễn tƣơng tác sự thay đổi vectơ trạng thái theo thời gian đƣợc
xác định theo phƣơng trình:

i

d
 Hˆ int 
dt

(1.50)

Giả sử biết trƣớc vectơ trạng thái tại thời điểm đầu t o , vì phƣơng trình trên
tuyến tính nên ta có thể viết:

(t )  S (t , t o )(t o )

(1.51)

Trong đó S (t , t o ) là tốn tử tuyến tính. Ta có

S (to , to )  1

(1.52)

Từ phƣơng trình (1.50) ta có

dS (t , t o )
 iHˆ int (t ) S (t , t o )
dt

(1.53)

Ta suy ra
t

S (t , t o )  1  i  Hˆ int (t1 ) S (t1 , t o )dt1
to

Áp dụng phƣơng pháp gần đúng liên tiếp ta có:

(1.54)

16
t

S (t , to )  1  i  Hˆ int (t1 )dt1  (i )
to
t

t

t1

to

to

to

t1

t

2

 dt  dt Hˆ
1

to

2

int

(t1 ) Hˆ int (t 2 ) S (t 2 , to )  .....

to
t

tn 1

to

to

1  i  Hˆ int (t1 )dt1  (i ) 2  dt1  dt 2 Hˆ int (t1 ) Hˆ int (t 2 )  ...  (i ) n  dt1...  dt n
Hˆ int (t1 )...Hˆ int (t n )  ...

Nhƣ vậy toán tử unita S (t , t o ) có thể đƣợc viết dƣới dạng một chuỗi


S (t , to )   S ( n ) (t , to )
n 0

(1.55)

Trong đó

S ( 0) (t , to )  1
t

S (t , to )  i  Hˆ int (t1 )dt1
(1)

to

…………..
tn 1

t

S

(n)

(t , to )  (i)

n

 dt ...  dt Hˆ
1

n

to

int

(t1 ).....Hˆ int (t n ).

to

Nếu Hamiltơn tƣơng tác là nhỏ thì trong biểu thức (1.55) ta chỉ cần xét vaif
số hạng bậc thấp, phƣơng pháp gần đúng này để tính S (t , t o ) gọi là phƣơng
pháp lí thuyết nhiễu loạn.
Sử dụng khái niệm T- tích có thể chứng minh đƣợc rằng

(i) n
(t , to ) 
dt1... T [ Hˆ int (t1 ).....Hˆ int (t n )]dt1...dtn .

n! to
to
t

S

( n)

t

(1.56)

Khi khảo sát các quá trình tán xạ ta xét sự thay đổi của hệ từ thời điểm đầu

t o   đến thời điểm cuối t   toán tử S (,) gọi là ma trận tán xạ
và đƣợc kí hiệu là

(i) n
S 

dt1... T [ Hˆ int (t1 ).....Hˆ int (tn )]dt1...dtn .

n! to
n 0
to


t

t

(1.57)


17

Giả sử trạng thái đầu của hệ kí hiệu là  i cịn trạng thái cuối của hệ kí hiệu
là  f  S i . Ta kí hiệu hệ đủ các vectơ trạng thái của trƣờng tự do là  n , ta
có thể khai triển

 f   cn  n , cn   n ,  f
n

Do đó có thể xem nhƣ các hệ số

cn

2

nhƣ là xác suất phát hiện nó trong

trạng thái  n . Vì vậy xác suất của quá trình hệ chuyển từ trạng thái đầu

 i sang trạng thái cuối  f là
Wi  f  c f

2

  f , S i

2

(1.58)

Để tìm đƣợc xác suất của quá trình tán xạ trên cần phải tìm yếu tố ma trận
của quá trình tán xạ S:

Si f   f , S i

(1.59)

Chƣơng tiếp theo ta sẽ vận dụng lí thuyết nhiễu loạn và lí thuyết lƣợng tử
hóa trong kí thuyết hệ nhiều hạt để xét quá trình tán xạ sinh ra các exciton của
chấm bán dẫn lƣợng tử khi hấp thụ một photon.


18

Chƣơng 2: YẾU TỐ MA TRẬN CỦA QUÁ TRÌNH SINH ĐA EXCITON
TRONG CHẤM LƢỢNG TỬ BÁN DẪN KHI HẤP THỤ MỘT PHOTON

Trong chƣơng này ta sẽ vận dụng các kiến thức về lƣợng tử hóa lần hai của
hệ nhiều hạt, lí thuyết nhiễu loạn để tính yếu tố ma trận trong quá trình sinh đa
exciton trong bán dẫn chấm lƣợng tử khi đƣợc kích thích bởi một photon.
Ta kí hiệu các hàm sóng của điện tử trong vùng dẫn:


1 ipr c 
U (r ) 
e  w (r ) là hàm sóng liên tục của electron ở lớp ngồi
V
c
p

vùng dẫn.




U ic (r )  ui (r ) c (r ) là hàm sóng gián đoạn của electron ở trong chấm








c
c
c

lƣợng tử ở vùng dẫn với  (r ) là hàm tuần hoàn  (r )   (r  R) .

Các hàm sóng của điện tử trong vùng hóa trị:


1 iqr v 
V (r ) 
e  w (r ) là hàm sóng liên tục của điện tử ở lớp ngồi vùng
V
v
q

hóa trị.


 
V jv (r )  v j (r ) v (r )

là hàm sóng gián đoạn của điện tử trong chấm lƣợng

v 
v 
v 
tử ở trong vùng hóa trị với  (r ) là hàm tuần hoàn  (r )   (r  R) .
Theo thuyết lƣợng tử hóa lần hai trong hình thức luận điện tử- lỗ trống các


toán tử sinh và hủy điện tử kí hiệu là eˆ và

ˆ

hiệu là h

eˆ . Tốn tử sinh và hủy lỗ trống kí

ˆ
và h . Các tốn tử này thỏa mãn tính chất phản giao hốn:



 eˆ , eˆ    eˆ
i

j



i

, eˆ j

i

j

eˆ , eˆ   hˆ , hˆ


i

j



  hˆ , hˆ   hˆ
 


i

ij

Kí hiệu các tốn tử trƣờng là:

j

i






, hˆ j  0

(2.1)


19







ˆ(r ,t)   eˆα .u(r ).eiE t   hˆ  .v(r ).e
α

α

iEβ t

(2.2)

β







ˆ(r ,t)   eˆα  .u(r ).eiE t   hˆ .v(r ).e
α

α

 iEβ t

(2.3)

β



u(r ), v(r ) của điện tử và lỗ trống có thể là hàm liên tục có

Các hàm sóng

dạng hàm mũ hoặc là hàm gián đoạn tùy thuộc vào trạng thái của điện tử và lỗ
trống.
Toán tử thế vectơ của trƣờng điện từ:

ˆ 
1
A(r , t ) 
V
Trong đó



 i (t kr )    i (t kr )
1

aˆk . k .e
 ak . k .e
2 k




k,



(2.4)

aˆ k và aˆ k + là toán tử hủy và sinh photon thỏa mãn các hệ thức

giao hoán:


[aˆ k , aˆ k ' ' ]  [aˆ k , aˆ k ' ' ]  0

[aˆ k , aˆ k ' ' ]   kk '  '

(2.5)

Hamiltơn tƣơng tác giữa hệ các điện tử trong chấm lƣợng tử và trƣờng điện
từ:

     ˆ 
e
Hˆ int   dr .ˆ (r , t ) .Pˆ (r , t ). A(r , t )
m

(2.6)



Sˆ   Sˆ ( n )

Ma trận tán xạ:

(2.7)

n 0

(o)
Với Sˆ  1


Sˆ (1)  i  dt.Hˆ int (t )

(2.8)



Sˆ

( 2)

(i) 2

2

(i)3
( 3)
ˆ
S 
3!





 dt  dt .T [ Hˆ
1

2









int

(t1 ) Hˆ int (t 2 )]



 dt  dt  dt .T [ Hˆ
1



2



3



……………………………..

int

(t1 ) Hˆ int (t 2 ) Hˆ int (t3 )]

(2.9)

(2.10)


20

Ta sẽ tính các yếu tố ma trận của sự sinh ra một cặp điện tử- lỗ trống, hai
cặp điện tử- lỗ trống, ba cặp điện tử- lỗ trống…của chấm lƣợng tử bán dẫn trong
trƣờng hợp đƣợc kích thích bởi một photon.

2.1 Phép gần đúng bậc 1
Ma trận tán xạ có dạng:


Sˆ (1)  i  dt. Hˆ int (t )


Yếu tố ma trận trong phép gần đúng bậc 1: <F|S(1)|I>

(2.11)



Trong đó trạng thái đầu |I>= aˆ k |  g  là trạng thái một photon tác
dụng lên trạng thái cơ bản của hệ điện tử.
Ta quan tâm đến trạng thái cuối |F> gồm các exciton có thể là một cặp, hai
cặp, ba cặp… điện tử- lỗ trống.
Thay biểu thức của

Sˆ (1) trong (2.8) vào (2.11) kết hợp với (2.6) ta đƣợc:



    ˆ 
 ie

(1)
ˆ

ˆ
ˆ
ˆ
 F | S | I 
dt
d
r


F
|

(
r
,
t
)
.
P

(
r
,
t
).
A
(
r
,
t
)
|
a
| g 
k
m  

(2.12)



Vì |F> không chứa phôtôn nên : F aˆk  aˆk F  0
Mặt khác ta có: aˆ k |  g  eˆ |  g  hˆ |  g  0
Do đó ta có:


   
 ie
1
1   i (t kr )
(1)
ˆ
ˆ
ˆ
 F | S | I 
dt dr .  F | (r , t ) .P (r , t ) |  g  . .
. .e
m  
V 2k k





(2.13)


Vì ˆ (r , t ) chứa một toán tử sinh điện tử, ˆ (r , t ) chứa một toán tử sinh

lỗ trống cho nên trong phép gần đúng bậc 1. |F> tối đa chỉ chứa một cặp điện tử


- lỗ trống. Giả sử | F  eˆ hˆ |  g  khi đó yếu tố ma trận trong phép gần

đúng bậc một sẽ là:


21

 F | Sˆ



   iE t   iE t 1
 ie
1  i (t kr )
| I 
dt dr .u (r ) .e .Pv(r ).e .
.
. .e
m  
V 2k k
    
2 
. ( E  E  ) .
. k . dr .u (r ) .Pv(r ).eikr
(2.14)
2

(1)

 ie
m V

Vậy để yếu tố ma trận khác khơng thì E  E    nghĩa là tổng năng
lƣợng của điện tử và lỗ trống phải bằng đúng năng lƣợng của phôtôn. Biểu thức
này thể hiện định luật bảo toàn năng lƣợng.
Ta sẽ biểu diễn quá trình tán xạ bằng đồ thị Feymann
Biểu diễn trạng thái đầu của điện tử bằng đƣờng liền nét nhƣ sau:
Biểu diễn trạng thái cuối của điện tử bằng đƣờng sau:
Biểu diễn trạng thái đầu của lỗ trống bằng đƣờng đứt nét nhƣ sau:
Biểu diễn trạng thái cuối của lỗ trống bằng đƣờng sau:
Hàm nối của hai toán tử trƣờng spinơ đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
Biểu diễn trạng thái đầu của photon bằng đƣờng lƣợn sóng nhƣ sau:
Biểu diễn trạng thái cuối của photon bằng đƣờng sau:
Hàm nối của hai toán tử trƣờng điện từ đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
Đồ thị Feymann trong trƣờng hợp này có dạng:

2.2 Phép gần đúng bậc hai
Ma trận tán xạ có dạng:


22

Sˆ

( 2)

(i) 2

2





 dt  dt .T [ Hˆ
1



2

int

(t1 ) Hˆ int (t 2 )]



ˆ ( 2) I
Yếu tố ma trận trong phép gần đúng bậc 2: F S
Thay biểu thức của


Sˆ ( 2) trong (2.9) vào (2.15)

(2.15)

kết hợp với (2.6) ta đƣợc:



(i) 2
ˆ
ˆ (t ) Hˆ (t )] | aˆ   |  
 F | S | I 
dt
dt
.

F
|
T
[
H
1
2
int 1
int 2
g
k
2  
( 2)

(2.16)

Vì tốn tử trƣờng spinơ và toán tử trƣờng điện từ giao hoán với nhau nên


 
   

e2

ˆ
ˆ
T [ H int (t1 ).H int (t 2 )]  2  dr1  dr2 .T [ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t 2 ) .P2
ˆ 
ˆm

ˆ (r2 , t 2 )].T [ A(r1 , t1 ). A(r2 , t 2 )]
(2.17)
ˆ 
ˆ 

Xét sự tác động của T [ A(r1 , t1 ). A(r2 , t2 )] lên aˆ k |  g 
Theo định lý Wich T-tích của các tốn tử trƣờng có thể đƣợc viết dƣới dạng
tổng của tất cả các N-tích có thể có do vậy ta có:

ˆ 
ˆ 
ˆ 
ˆ 
ˆ 
ˆ 
T [ A(r1 , t1 ). A(r2 , t2 )] = : A(r1 , t1 ). A(r2 , t 2 ) : + : A(r1 , t1 ). A(r2 , t2 ) :

(2.18)

Số hạng thứ hai là một hàm nối do vậy khơng chứa các tốn tử khi tác dụng




lên aˆ k |  g  sẽ vẫn cho aˆ k |  g  . Khi đó yếu tố ma trận tƣơng ứng với
số hạng này sẽ bằng không bởi vì |F> khơng chứa phơtơn do đó


Số hạng thứ nhất là N-tích của hai toán tử trƣờng điện từ, ta áp dụng tính
chất của tốn tử sinh và hủy photon:


[aˆ k , aˆ k ' ' ]  [aˆ k , aˆ k ' ' ]  0

[aˆ k , aˆ k ' ' ]   kk '  '

Do vậy ta có thể đổi chỗ các tốn tử để tốn tử sinh photon đứng bên trái


toán tử hủy photon. Sử dụng trƣờng hợp này cũng bằng không.
Nhƣ vậy trong phép gần đúng bậc hai, yếu tố ma trận sẽ bằng khơng vì vậy
khơng cho đóng góp vào sự sinh ra exciton.


23

2.3 Phép gần đúng bậc ba
Ma trận tán xạ có dạng:

(i)3
( 3)
ˆ
S 
3!







 dt  dt  dt .T [ Hˆ
1



2



3

int

(t1 ) Hˆ int (t 2 ) Hˆ int (t3 )]



( 3)
Yếu tố ma trận trong phép gần đúng bậc 3: F Sˆ I

Thay biểu thức của


(2.19)

Sˆ (3) trong (2.10) vào (2.11) kết hợp với (2.6) ta đƣợc:




(i) 3
ˆ
ˆ int (t ) Hˆ int (t ) Hˆ int (t )] | aˆ k   |  
 F | S | I 
dt
dt
dt
.

F
|
T
[
H
1

2
3
1
2
3
g
3!   
( 3)

(2.20)
Do sự giao hoán của toán tử trƣờng spinơ và trƣờng điện từ ta có:
3
 
 


e

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
T [ H int (t1 ).H int (t 2 ) H int (t3 )]  3  dr1  dr2 . dr3 .T [ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).
m
ˆ 
ˆ 
ˆ 
 






ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 (r2 , t 2 ) .P2 (r2 , t 2 ) (r3 , t3 ) .P3 (r3 , t3 )].T [ A(r1 , t1 ). A(r2 , t 2 ). A(r3 , t3 )]

ˆ 
ˆ 
ˆ 

T
[
A
(
r
,
t
).
A
(
r
,
t
).
A
(r3 , t3 )] lên aˆ k |  g 
Xét sự tác động của

1 1
2 2

(2.21)

Tƣơng tự phép gần đúng bậc hai ta viết T-tích dƣới dạng tổng các N-tích có
thể có:

ˆ 
ˆ 
ˆ 
ˆ 
ˆ 
ˆ 
T [ A(r1 , t1 ). A(r2 , t2 ). A(r3 , t3 )] = : A(r1 , t1 ). A(r2 , t2 ). A(r3 , t3 ) : +

ˆ 
ˆ 
ˆ 
ˆ 
ˆ 
ˆ 
+ : A(r1 , t1 ). A(r2 , t2 ). A(r3 , t3 ) : + : A(r1 , t1 ). A(r2 , t2 ). A(r3 , t3 ) : +
ˆ 
ˆ 
ˆ 
+ : A(r1 , t1 ). A(r2 , t2 ). A(r3 , t3 ) :

(2.22)

Theo định nghĩa của N- tích thì trong biểu thức của N- tích các toán tử sinh
và hủy hạt sẽ sắp xếp sao cho toán tử sinh hạt đứng bên trái toán tử hủy hạt vì
thế số hạng đầu tiên trong biểu thức trên sẽ khơng cho đóng góp vào yếu tố ma


trận vì chứa một tốn tử hủy photon mới cho đóng góp.
Ta có:


24

ˆ 
ˆ 
A(r1 , t1 ). A(r2 , t 2 ) = Dc (r1  r2 , t1  t2 )



1
(2 )

4

e

i[ k ( r1 r2 )k0 ( t1 t2 )]

.Dc (k , k0 ).d 3 kdk0

(2.23)

Nhƣ vậy:

(i)3 e3
( 3)
ˆ
| F | S | I 
3! m3
















dt
d
r
dt
d
r

dt
d
r
 1  1  2  2  3  3.  F | .

 
 
   




T [ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 ) .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 )].
 

1
1
i (1t1 k 1 r1 )
c
| g  .
[ D (r2  r3 , t2  t3 ).
. k 1 1 .e
 D c (r3  r1 , t3  t1 ).
V
2k1
 
 


1

1
i (3t3 k 3 r3 )
i (2t2 k 2  2 )
c
. k 2  2 .e
 D (r1  r2 , t1  t2 ).
. k 3  3 .e
]
2k 2
2k 3

(2.24)
Nếu phá ngoặc vng trong biểu thức trên thì vế phải của biểu thức trên
gồm ba số hạng, nếu thay thế

r2  r3 , t 2  t3 , r3  r1 , t3  t1 , r1  r2 , t1  t2 ,

thì ba số hạng trên giống hệt nhau. Vì vậy:

ie 3
( 3)
ˆ
| F | S | I 
2m 3















dt
d
r
dt
d
r
1
1
2
    2


dt
d
r
3
  3.  F | .

 
 
 




T [ˆ (r1 , t1 )  .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 )  .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 )  .P3ˆ (r3 , t3 )].  g
 

1
1
i (1t1 k 1 r1 )
c
.
D (r2  r3 , t2  t3 ).
. k 1 1 .e
V
2k1

(2.25)

Áp dụng định lí Wich ta viết T- tích ở trên dƣới dạng tổng của các N-tích
có thể có:

 
 
   




T [ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 ) .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 )]. 

 
 
   




:ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 ) .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) : 


25

 
 
 



:ˆ (r1 , t1 )  .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 )  .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 )  .P3ˆ (r3 , t3 ) : 

 
 
   




:ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 ) .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) : 



  







ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
: (r1 , t1 ) .P1. (r1 , t1 ). (r2 , t2 ) .P2 . (r2 , t2 ) (r3 , t3 ) .P3.ˆ (r3 , t3 ) : 
 
 
   




ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
: (r1 , t1 ) .P1 (r1 , t1 ). (r2 , t2 ) .P2 (r2 , t2 ) (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) : 
 
 
 




:ˆ (r1 , t1 )  .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 )  .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 )  .P3ˆ (r3 , t3 ) : 
 
 
   




:ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 ) .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) : 
 
 
   




ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
: (r1 , t1 ) .P1 (r1 , t1 ). (r2 , t2 ) .P2 (r2 , t2 ) (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) : 
 
 
   





:ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 ) .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) : 

 
 
   




:ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 ) .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) : 
 
 
 



:ˆ (r1 , t1 )  .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 )  .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 )  .P3ˆ (r3 , t3 ) : 
 
 
   




:ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 ) .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) : 

 
 

   




ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
: (r1 , t1 ) .P1 (r1 , t1 ). (r2 , t2 ) .P2 (r2 , t2 ) (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) : 
 
 
 



:ˆ (r1 , t1 )  .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 )  .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 )  .P3ˆ (r3 , t3 ) : 
 
 
   




:ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 ) .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) : 
 
 
 




:ˆ (r1 , t1 )  .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 )  .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 )  .P3ˆ (r3 , t3 ) : 


26

 
 
 






:ˆ (r1 , t1 ) .P1ˆ (r1 , t1 ).ˆ (r2 , t2 ) .P2ˆ (r2 , t2 )ˆ (r3 , t3 ) .P3ˆ (r3 , t3 ) :
(2.26)

Vế phải của biểu thức trên có 18 số hạng gồm 1 số hạng không chứa hàm
nối, 6 số hạng chứa một hàm nối, 9 số hạng chứa hai hàm nối và 2 số hạng chứa
ba hàm nối.



Vì trong ˆ (r , t )  chứa một toán tử sinh điện tử, ˆ (r , t ) chứa một tốn tử

sinh lỗ trống cho nên T- tích ở trên chứa nhiều nhất tích của ba cặp tốn tử



eˆ hˆ . Vì thế |F> có thể là 3 cặp exciton tƣơng ứng với số hạng không chứa

hàm nối, 2 cặp exciton tƣơng ứng với số hạng chứa một hàm nối hoặc 1 cặp
exciton tƣơng ứng với số hạng chứa ba hàm nối.
Ta sẽ xét từng trƣờng hợp cụ thể
ˆ 
ˆ 
ˆ 
2.3.1 Trường hợp |F> là ba exciton | F  eˆ 1 h 1 eˆ 2 h 2 eˆ 3 h 3 |  g 

Sử dụng biểu thức của toán tử trƣờng (2.2), (2.3) và kết hợp với tính chất
của tốn tử sinh và tốn tử hủy điện tử, toán tử sinh và toán tử hủy lỗ trống (2.1),
ta có:








   iE 1t1
ie 3
( 3)
ˆ
| F | S | I 
dt
d
r
dt

d
r
dt
d
r
.
1
1
2
2 
3
3 .u ( r1 ) .e
2m3    

  iE  1t1

 

 iE t

P1v(r1 ).e
.u (r2 ) .eiE 2 t 2 .P2v(r2 ).e  2 2 .u ( r3 ) .eiE 3t 3 .P3v(r3 ).
1
1
1
iE t
i [ k ( r1  r2 )  k 0 ( t1  t 2 )]
3
e 3 3.
e

.
D
(
k
,
k
).
d
kdk
.
c
0
0
4 

)
V (2
2

k1
 

 i (1t1  k1 r1 )
 k  .e
1

1

Suy ra:

(2.27)


27
3
e
| F | Sˆ | I 

.
.
.
3 ( E 1  E 1 1 ) ( E 2  E 2 k0 ) ( E 3  E 3  k0 )
4 V m



   
   
   
d
r
d
r
d
r
.
u
(
r
)

.
P
v
(
r
).
u
(
r
)
.
P
v
(
r
).
u
(
r
3 ) .P3v(r3 ).
 1 2  3 1 1 1 2 2 2

i

( 3)

. Dc (k , k0 ).d kdk0
3

1   ik1r1 ik ( r2 r3 )

. k  .e .e
2k1 1 1

(2.28)

Nhận xét: để yếu tố ma trận khác khơng ta phải có




 )
1 1

(E

E

(E

E

(E

E

1
2
3

0

k )
2 0

k )
3 0

E

0



0

E

α1

E

α2

E

α3

β1

E

E

ω  0
1

(2.29)

k 0
β2
0
β3

k 0
0

Điều này không thể xảy ra vì nếu cộng phƣơng trình thứ hai và thứ ba ta
đƣợc: E 2  E  2  E 3  E  3  0 nghĩa là tổng năng lƣợng của hai cặp
exciton bằng không, điều này khơng đúng hay hệ phƣơng trình này khơng đƣợc
thỏa mãn. Nhƣ vậy yếu tố ma trận ứng với trƣờng hợp gồm ba exciton bằng
không, nghĩa là trong phép gần đúng bậc ba không cho ba exciton.
ˆ 
ˆ 
2.3.2 Trường hợp |F> gồm hai exciton | F  eˆ 1 h 1 eˆ 2 h 2 |  g 

Trƣớc hết ta tính hàm nối của hai tốn tử trƣờng:







ˆ (r1 , t1 )    eˆ 1 .u (r1 ) .eiE t   hˆ 1v(r1 ) .e
11

1

 iE 1t1

1





ˆ(r2 ,t 2 )   eˆα 2 .u(r2 ).e iE
α2

α 2t2

 iE t

  hˆ 2 .v(r2 ).e  2 2
β2

Hàm nối của hai toán tử trƣờng đƣợc tính theo cơng thức:








ˆ (r1 , t1 )  ˆ (r2 , t 2 ) = T[ˆ (r1 , t1 )  ˆ (r2 , t 2 ) ] - : ˆ (r1 , t1 )  ˆ (r2 , t 2 ) : (2.30)
Ta có:



ˆ (r1 , t1 )  ˆ (r2 , t 2 )
nếu t1 > t2
(2.31)

 
- ˆ (r2 , t 2 ) ˆ (r1 , t1 )
nếu t1 < t2
   iE 1t1 iE 2t2

  
ˆ
ˆ
e
.
e
.
u
(
r
.e

ˆ

ˆ
1 ) .u ( r2 ).e
:  (r1 , t1 )  (r2 , t 2 ) : =   1  2





T[ˆ (r1 , t1 ) ˆ (r2 , t 2 ) ] =

 1, 2