Sử dụng mô hình hóa để phát triển nhận thức của học sinh về mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.34 MB, 108 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
PHẠM THỊ MAI
SỬ DỤNG MƠ HÌNH HĨA ĐỂ PHÁT TRIỂN NHẬN THỨC CỦA
HỌC SINH VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƢ PHẠM TỐN HỌC
Hà Nội – 2018
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
SỬ DỤNG MƠ HÌNH HĨA ĐỂ PHÁT TRIỂN NHẬN THỨC CỦA
HỌC SINH VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƢ PHẠM TỐN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Thạc Sĩ Đào Thị Hoa Mai
Sinh viên thực hiện khóa luận: Phạm Thị Mai
Hà Nội – 2018
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Đào Thị Hoa Mai.
Cô đã dành những thời gian quý báu của mình để hƣớng dẫn và giúp đỡ em trong
suốt quá trình làm khóa luận tốt nghiệp.
Tiếp thep, em muốn gửi lời cảm ơn đến Khoa Sƣ phạm, Trƣờng Đại học Giáo
dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện cho em trong suốt q trình học tập
và làm khóa luận tốt nghiệp.
Bên cạnh đó, em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trƣờng Trung học
phổ thông Kim Liên, cô giáo Phạm Hải Anh và tập thể lớp 12A8 đã giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực nghiệm sƣ phạm.
Dù đã rất cố gắng song khóa luận cũng khơng thể tránh khỏi những thiếu sót,
em rất mong nhận đƣợc sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.
Hà Nội, ngày 18 tháng 05 năm 2018
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Mai
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt
Viết đầy đủ
GV
giáo viên
HS
học sinh
THPT
trung học phổ thông
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................................ 4
1.1. Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn ................................................................ 4
1.1.1. Tốn học có nguồn gốc thực tiễn .................................................................... 4
1.1.2. Ứng dụng của toán học trong thực tiễn ........................................................... 5
1.2. Mơ hình và mơ hình hóa tốn học ......................................................................... 7
1.2.1. Khái niệm mơ hình .......................................................................................... 7
1.2.2. Mơ hình tốn học ............................................................................................. 9
1.2.3. Mơ hình hóa tốn học .................................................................................... 11
1.3. Q trình mơ hình hóa tốn học .......................................................................... 13
1.3.1. Q trình mơ hình hóa tốn học .................................................................... 13
1.3.2. Các bƣớc của q trình mơ hình hóa tốn học .............................................. 15
1.4. Vai trị của mơ hình hóa trong dạy học toán........................................................ 19
1.5. Thực tế của việc vận dụng mơ hình hóa trong dạy học mơn tốn ở trƣờng THPT
.................................................................................................................................... 22
CHƢƠNG 2: THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC TRONG DẠY
HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM LỚP 12 ......................................... 24
2.1. Nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chƣơng trình tốn THPT ... 24
2.2. Xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm có thể sử dụng mơ hình
hóa tốn học ................................................................................................................ 25
2.2.1. Một số tiêu chí xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm có thể
sử dụng mơ hình hóa tốn học................................................................................. 25
2.2.2. Hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm có thể sử dụng mơ hình hóa tốn
học ........................................................................................................................... 26
2.3. Thiết kế hoạt động mơ hình hóa tốn học một số bài toán về ứng dụng đạo hàm
.................................................................................................................................... 32
2.3.1. Các bƣớc mơ hình hóa một số bài tốn về ứng dụng đạo hàm ..................... 32
2.3.2. Thiết kế hoạt động mơ hình hóa tốn học một số bài toán về ứng dụng đạo
hàm .......................................................................................................................... 33
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................. 67
3.1. Mục đích thực nghiệm ......................................................................................... 67
3.2. Nội dung thực nghiệm ......................................................................................... 67
3.3. Tổ chức thực nghiệm ........................................................................................... 67
3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm.................................................................................. 67
3.3.2. Tiến trình thực nghiệm .................................................................................. 67
Mơ tả diễn biến các tiết dạy thực nghiệm ............................................................... 68
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................................ 83
1. Kết luận ................................................................................................................... 83
2. Khuyến nghị ............................................................................................................ 84
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 85
PHỤ LỤC ....................................................................................................................... 88
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con ngƣời và đƣợc
ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế, xã hội, công nghệ,
an ninh quốc phòng,… Với vai trò đặc biệt quan trọng, Tốn học trở thành cơng cụ
thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần to lớn trong việc thúc đẩy sự phát
triển của xã hội. Do đó, nâng cao nhận thức của HS về mối quan hệ giữa toán học và
thực tiễn là việc làm vô cùng cần thiết.
Để theo kịp sự phát triển của kinh tế, khoa học, kỹ thuật, con ngƣời cần đƣợc
trang bị những kiến thức, kỹ năng để có thể vận dụng những tri thức toán học vào
giải quyết các vấn đề do thực tiễn đặt ra. Vì thế trong dạy học tốn ở trƣờng THPT,
GV cần chú trọng khai thác mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn, nhằm giúp HS
nâng cao ý thức vận dụng toán học vào đời sống, đáp ứng đƣợc những yêu cầu phát
triển của đất nƣớc.
Mặc dù hiện này việc tăng cƣờng rèn luyện cho HS ứng dụng toán học vào
thực tiễn đƣợc coi là một trong những quan điểm chỉ đạo xun suốt tồn bộ q
trình dạy học tốn ở trƣờng trung học phổ thơng, tuy nhiên trên thực tế vấn đề này
vẫn chƣa đƣợc quan tâm một cách đúng mức. Sách giáo khoa mơn tốn và các tài
liệu tham khảo về toán thƣờng chỉ tập trung khai thác những vấn đề thuần túy tốn
học mà ít quan tâm tới những ứng dụng của toán trong đời sống. Khơng chỉ thế, q
trình kiểm tra đánh giá vẫn chƣa thực sự chú trọng đến năng lực vận dụng toán học
vào thực tiễn của HS, bằng chứng là trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông
hay các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, các bài tốn có nội dung thực tiễn
rất ít khi đƣợc đề cập đến. Điều này khiến cho việc dạy học tốn ở trƣờng phổ thơng
rơi vào tình trạng thiên nhiều về lý thuyết, coi nhẹ việc thực hành cũng nhƣ khơng
đánh giá đúng các ứng dụng của tốn học vào đời sống. Vì thế, yêu cầu đặt ra là cần
1
phải có những cơng cụ, phƣơng pháp để khắc phục tình trạng dạy và học tốn xa rời
cuộc sống.
Ở trƣờng phổ thơng, mơ hình sử dụng trong dạy học tốn có thể là hình vẽ,
bảng biểu, hàm số, đồ thị, phƣơng trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tƣợng hoặc mơ hình ảo
trên máy tính điện tử (Van Den Heuvel-Panhuizen, 2003; Van de Walle, 2004;
Ifenthaler, Pirnay-Dummer & Spector, 2008). Sử dụng mơ hình hóa trong dạy học
tốn giúp HS tích cực, chủ động khám phá các tình huống thực tiễn thơng qua ngơn
ngữ tốn học, góp phần tạo động cơ, hứng thú học tập cho HS. Q trình mơ hình
hóa các tình huống thực tiễn đóng vai trị quan trọng trong việc làm rõ mối quan hệ
giữa thực tiễn với các kiến thức toán học trong sách giáo khoa.
Từ những lý do trên, em đã chọn đề tài nghiên cứu của khóa luận là: “Sử
dụng mơ hình hóa để phát triển nhận thức của học sinh về mối quan hệ giữa
Toán học và thực tiễn”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là sử dụng mơ hình hóa trong dạy học mơn
Tốn, giúp HS vận dụng đƣợc các kiến thức toán học để giải quyết một số bài tốn
có nội dung thực tiễn. Từ đó, phát triển nhận thức của HS về mối quan hệ giữa Toán
học và thực tiễn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-
Làm rõ tầm quan trọng của việc giúp HS thấy đƣợc mối liên hệ giữa Tốn
học và thực tiễn.
-
Làm rõ vai trị của phƣơng pháp mơ hình hóa trong dạy học Tốn.
-
Tìm hiểu thực tế của việc sử dụng phƣơng pháp mơ hình hóa trong dạy Tốn
ở trƣờng phổ thơng.
-
Thiết kế một số hoạt động mơ hình hóa trong dạy học mơn Tốn.
2
-
Thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của việc sử dụng
mơ hình hóa để phát triển nhận thức của HS về mối quan hệ giữa Toán học và thực
tiễn.
4. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
-
Đối tƣợng nghiên cứu: Mơ hình hóa trong dạy học mơn Tốn ở THPT.
-
Khách thể nghiên cứu: Nội dung ứng dụng đạo hàm.
5. Phạm vi nghiên cứu
-
Nghiên cứu việc sử dụng mơ hình hóa tốn học vào việc dạy học nội dung
ứng dụng đạo hàm.
-
Đối tƣợng thực nghiệm: HS lớp 12A8 trƣờng THPT Kim Liên
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
-
Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu trong và ngoài
nƣớc về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.
-
Phƣơng pháp điều tra, quan sát: Quan sát, điều tra thực trạng về việc sử dụng
phƣơng pháp mơ hình hóa trong dạy học mơn Tốn ở trƣờng THPT.
-
Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại trƣờng
THPT để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu đƣợc đề
xuất.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngồi phần lời cảm ơn, mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo,
phụ lục, khóa luận gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Thiết kế hoạt động mơ hình hóa tốn học trong dạy học nội dung
ứng dụng của đạo hàm lớp 12
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm
3
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Mối quan hệ giữa tốn học và thực tiễn
1.1.1. Tốn học có nguồn gốc thực tiễn
Nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự phát triển toán học. Những kiến thức
toán học đầu tiên về số học, hình học, tam giác lƣợng,... đều xuất phát từ đời sống
thực tiễn, từ nhu cầu tìm tịi và khám phá của con ngƣời. Số tự nhiên ra đời do nhu
cầu đếm. Hình học xuất hiện ở Ai Cập do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau mỗi trận
lụt bên bờ sơng Nile (hình học tiếng Hy Lạp là sự đo đất). Ngành hàng hải đòi hỏi
những kiến thức về thiên văn, tuy nhiên bộ môn này lại cần những kiến thức liên
quan tới lƣợng giác, do đó lƣợng giác ra đời và phát triển.
Ở thế kỷ 18, mục đích chủ yếu của tốn học là giải quyết các yêu cầu của cơ
học. Đến nửa đầu thế kỷ 19, kỹ thuật cơ khí phát triển dựa vào động cơ hơi nƣớc.
Nhu cầu nâng cao năng suất máy thúc đẩy vật lý phát triển mạnh mẽ. Tuy nhiên vật
lý và tốn học lại có mối liên hệ mật thiết với nhau, do đó tốn học cần phát triển để
giải quyết những vấn đề về nhiệt, điện động, quang, đàn hồi, từ trƣờng của trái đất...
Nhờ đó nhiều kết quả quan trọng về giải tích, phƣơng trình vi phân, phƣơng trình
đạo hàm riêng, hàm phức, đại số... đƣợc bổ sung thêm vào kho tàng toán học. Ở thời
kỳ Phục hƣng, hội hoạ và kiến trúc đặc biệt quan tâm đến phƣơng pháp vẽ phối
cảnh, do đó mơn hình học xạ ảnh ra đời. Những bài tốn mới của thiên văn, cơ học,
trắc địa và các khoa học khác ở thời kỳ này cũng là một trong những yếu tố thúc đẩy
sự phát triển toán học. Tới cuối thế kỷ 19, do nhu cầu của nội bộ toán học là xây
dựng cơ sở cho giải tích nên lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời và phát triển. Lý
thuyết tập hợp có thể coi là lý thuyết nền tảng của tốn học, ngơn ngữ của nó đƣợc
dùng trong định nghĩa của hầu hết các đối tƣợng toán học. Các khái niệm lý thuyết
tập hợp là phần kiến thức cơ sở, đƣợc giảng dạy nhiều trong cả chƣơng trình phổ
4
thông và đại học. Nhờ lý thuyết này mà ngƣời ta có thể xây dựng phƣơng pháp xử lý
mới đối với toán học là phƣơng pháp tiên đề trừu tƣợng. Với quan điểm của lý
thuyết tập hợp và phƣơng pháp tiên đề trừu tƣợng, nhiều bộ mơn tốn học hiện đại
ra đời nhƣ lý thuyết hàm số thực, đại số trừu tƣợng, tô pô trừu tƣợng v.v....
Trong mấy chục năm trở lại đây, kỹ thuật từ cơ khí hố lên tự động hoá ra đời
và phát triển là một trong những nguyên nhân dẫn tới sự ra đời của nhiều ngành tốn
học mới nhƣ lý thuyết các chƣơng trình tốn học, lý thuyết máy tự động, lý thuyết
độ tin cậy,... Sự phát minh ra máy tính điện tử thúc đẩy mạnh mẽ q trình tự động
hố nền sản xuất hiện đại. Để phục vụ cho máy tính điện tử có lý thuyết lập chƣơng
trình, lý thuyết Angorit, giải tích số,...
Gần đây, do nhu cầu thực tiễn của sự phát triển khoa học mà các ngành giao
thoa giữa toán học và các khoa học khác nhƣ ngơn ngữ tốn, kinh tế toán, sinh vật
toán ra đời, đánh dấu một bƣớc tiến mới trong quan hệ giữa toán học và các ngành
khoa học khác.
Tóm lại, nhu cầu thực tiễn là nguyên nhân quyết định sự phát triển của toán
học. Từ thời Ơclid đến nay, trải qua hơn 20 thế kỷ, toán học đã trở thành một khoa
học rất trừu tƣợng, những tác dụng của nó đối với hoạt động thực tiễn của con ngƣời
ngày càng to lớn vì tốn học ln dựa vào thực tiễn, lấy thực tiễn là nguồn động lực
mạnh mẽ và mục tiêu phục vụ cuối cùng [9, tr. 2].
1.1.2. Ứng dụng của toán học trong thực tiễn
Toán học là ngành khoa học nghiên cứu trừu tƣợng về những chủ đề nhƣ:
lƣợng (các con số), cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Đó cũng chính là
ngun nhân khiến cho toán học đƣợc ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực nhƣ
khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, kinh tế, kỹ thuật, vật lý, hóa học, cơ học, thiên
văn học, quân sự,…
Nhiều thành tựu của khoa học kỹ thuật xuất phát từ cơ sở những tiến bộ của
vật lý và cơ học, tuy nhiên ngành này lại có quan hệ mật thiết với tốn học. Nhờ có
5
cơng cụ tốn học mà Leverier và Adam (thế kỷ 19), Loren (thế kỷ 20) đã xác định
đƣợc trên lý thuyết sự tồn tại của hai hành tinh mới là Hải Vƣơng Tinh và Diêm
Vƣơng tinh. Lý thuyết này đã đƣợc kiểm chứng bằng quan sát thiên văn sau đó.
Khơng chỉ thế, bằng việc áp dụng phƣơng pháp vật lý toán, Macxoen cũng đã xác
định đƣợc sự tồn tại của áp lực ánh sáng. Kết quả này về sau đã đƣợc Lêbedép xác
nhận thông qua thực nghiệm.
Các kết quả của tốn học về hình học phi Ơclid, đại số, hàm phức, hàm thực,
phƣơng trình vi phân, xác suất thơng kê,... góp phần quan trọng trong việc tạo ra các
thành tựu to lớn nhƣ năng lƣợng nguyên tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện,... Lý
thuyết về các dạng không gian của khơng gian hình học đƣợc áp dụng trong điện
động học và điện kỹ thuật. Những định lý tổng quát của hàm phức là cơ sở của lý
thuyết thủy động học và khí động học - hai ngành lý thuyết cơ sở của kỹ thuật hàng
hải và hàng không.
Bên cạnh đó, tốn học cịn đƣợc ứng dụng rộng rãi trong ngành tự động hóa.
Việc thiết kế và sử dụng các máy tự động, các hệ thống điều khiển và liên lạc đều
dựa trên những thành tựu của logic tốn, thơng tin học, đại số, lý thuyết độ tin cậy...
Nhiều phƣơng pháp và mơ hình tốn học là cơ sở của các hệ thống tự động điều
khiển. Thơng qua mơ hình tốn học, ngƣời ta có thể nghiên cứu những q trình xảy
ra hàng năm thậm chí hàng trăm năm chỉ trong vài giờ hoặc nghiên cứu những q
trình khơng thể làm thí nghiệm trên vật thực, từ đó rút ra các kết luận.
Mối quan hệ mật thiết giữa toán học và thực tiễn còn đƣợc thể hiện trong lĩnh
vực tổ chức và quản lý sản xuất. Trƣớc một vấn đề, có thể có rất nhiều phƣơng án
giải quyết tuy nhiên phƣơng án nào mới là tối ƣu nhất. Vận trù học chính là ngành
khoa học nghiên cứu về việc tìm lời giải tối ƣu hoặc gần tối ƣu cho những vấn đề
phức tạp ấy. Ngành khoa học này sử dụng các cơng cụ tốn học nhƣ: thống kê, lý
thuyết xác suất, lý thuyết trị chơi, lý thuyết đồ thị, mơ hình tốn học và mơ phỏng...
6
Đặc biệt, tốn học đóng vai trị quan trọng trong các ngành hoá học và sinh
học. Hai ngành này sử dụng nhiều kết quả của các ngành toán học hiện đại nhƣ tơ
pơ, máy tính điện tử. Nhờ có cơng cụ tốn học, ngƣời ta có thể dự đốn đƣợc tính
chất của các hợp chất, cơ cấu hoạt động của hệ thần kinh... Trong lĩnh vực y học,
ngƣời ta có thể cải tiến phƣơng pháp chuẩn đốn bệnh cho chính xác hơn bằng việc
ứng dụng phƣơng pháp thống kê và máy tính điện tử.
Ở những nƣớc tiên tiến, các phƣơng pháp của toán học nhƣ thống kê, logic
toán, lý thuyết thông tin... không những đƣợc sử dụng rộng rãi trong cơng tác thƣ
viện nhằm mục đích nâng cao hiệu quả phục vụ và tính khoa học của ngành mà nó
cịn đƣợc ứng dụng hiệu quả trong công tác điều tra xã hội học để nghiên cứu tâm
lý, thị hiếu của khách hàng trong các ngành văn hố xã hội.
Tóm lại, tốn học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng nhƣ trong sự phát
triển của các ngành khoa học kỹ thuật. Việc vận dụng toán học vào thực tiễn thực
chất là vận dụng toán học để giải quyết những tình huống thực tế, tức là sử dụng
những cơng cụ, phƣơng pháp tốn học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể
nhằm tìm ra một phần tử chƣa biết nào đó hoặc biến đổi, sắp xếp những yếu tố trong
khách thể, nhằm đạt một mục đích đề ra.
1.2. Mơ hình và mơ hình hóa tốn học
1.2.1. Khái niệm mơ hình
Có rất nhiều định nghĩa khác nhau về mơ hình, trong đó có thể kể tới một số
định nghĩa sau đây:
- Khách thể M là mơ hình của khách thể A đối với một hệ thống S các đặc
trƣng nào đó, nếu M đƣợc xây dựng hoặc chọn để bắt chƣớc A theo những đặc trƣng
đó [10, tr.107].
- Mơ hình là một “vật” hay “hệ thống” đóng vai trị đại diện hoặc vật thay
thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu [11, tr.175].
7
- Mơ hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa đƣợc thiết kế để mô tả
cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tƣợng, một hệ thống hay một khái niệm
[20].
- Mơ hình là một hệ thống đƣợc hình dung trong óc hoặc đƣợc thực hiện
bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tƣợng nghiên cứu [15, tr.347].
Tóm lại, mơ hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tƣợng (vật gốc)
nhằm hƣớng tới mục đích nhất định nào đó.
Nhƣ vậy, mơ hình có một số đặc trƣng sau đây:
- Mơ hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mơ hình phải
bảo tồn đƣợc các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con
ngƣời quan niệm). Bởi vậy, mơ hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mơ
hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hồn tồn về mặt cấu
trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho
phép con ngƣời xây dựng những mơ hình đơn giản hơn vật gốc, giúp cho quá trình
nghiên cứu trở nên dễ dàng. Iu. M. Xviregiev cho rằng: “Mơ hình bao giờ cũng
“nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mơ tả”, theo ơng: “mơ hình có thể là thơ thiển và
chƣa hồn thiện, song nó phải xét đến mọi khía cạnh chính của thực tế, những khía
cạnh mà chúng ta quan tâm tới”. Tuy nhiên khơng phải lúc nào mơ hình cũng đơn
giản hơn thực tế. Ngày nay, cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con ngƣời
sử dụng nhiều phƣơng tiện hiện đại để mô phỏng đối tƣợng nghiên cứu, cho nên mơ
hình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo đƣợc những hiện tƣợng
có thể xảy ra trong thực tiễn.
- Đứng về mặt nhận thức, mơ hình là sản phẩm của q trình tƣ duy, nó ra
đời nhờ q trình trừu tƣợng hóa của ít nhiều các đối tƣợng cụ thể. Trong q trình
trừu tƣợng hóa, con ngƣời đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại
những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tƣợng nghiên cứu đã đƣợc lí
tƣởng hóa. Bởi vậy, mơ hình mang tính lí tƣởng, tính chất này cho phép con ngƣời
8
sáng tạo ra trên đó những yếu tố chƣa hề có trong thực tiễn. Điều này đã làm cho
phƣơng pháp mơ hình hóa có tính chất cách mạng, có tính phát triển. Do đó, q
trình xây dựng mơ hình là một q trình nhận thức khoa học tích cực.
- Mơ hình khơng thể thay thế hồn tồn vật gốc. Một mơ hình chỉ phản ánh
một phần nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vật hiện tƣợng phức tạp, ngƣời
ta dùng nhiều mơ hình để mơ tả chúng. Tuy nhiên việc lắp ráp chúng lại để có một
sự đánh giá tổng quát về đối tƣợng ban đầu không phải là một việc đơn giản.
- Thực tiễn cuộc sống ln vận động và biến đổi, bởi vậy mơ hình khơng
phải là cái bất biến. Phát triển mơ hình ở mức độ thấp lên mức độ cao đòi hỏi phải
phát hiện đƣợc những quy luật, tính chất chung của các nhóm mơ hình các q trình
cụ thể, trong đó mơ hình tổng qt hơn phải tƣơng thích với các mơ hình cụ thể
trƣớc đó. Một mơ hình có thể là chƣa thành cơng về nhiều phƣơng diện nhƣng nó
vẫn có vai trị quan trọng trong việc phán đốn tình huống thực tiễn [4, tr. 12-13].
Mơ hình đƣợc mơ tả nhƣ một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy
đƣợc các đặc điểm đặc trƣng của các vật thể thực tế (Mason & Davis ,1991). Thơng
qua mơ hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tƣợng mà khơng
cần đến vật thật. Tuy nhiên, điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của ngƣời thiết kế mơ
hình và bối cảnh áp dụng của mơ hình đó (Swetz & Hatler, 1991; Verschaffel,
2002). Ngày nay, dƣới sự phát triển nhƣ vũ bão của khoa học, việc áp dụng công
nghệ thông tin vào dạy học dƣới sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học chính là điều
kiện thuận lợi giúp áp dụng mơ hình hóa vào dạy học thành cơng.
1.2.2. Mơ hình tốn học
Dƣới đây là hai định nghĩa về mơ hình tốn học:
- Mơ hình tốn học là một cấu trúc tốn học (đồ thị, bảng biểu, phƣơng trình,
hệ phƣơng trình, biểu thức đại số, hàm số,…) gồm các kí hiệu và các quan hệ tốn
học biểu diễn, mơ tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tƣợng hay một đối
tƣợng thực đƣợc nghiên cứu [20].
9
- Một mơ hình tốn học là một biểu diễn cho các phần quan trọng của một hệ
thống có sẵn (hoặc sắp đƣợc xây dựng) với mục đích biểu diễn tri thức về hệ thống
đó dƣới dạng có thể dùng đƣợc (Eykhoff, 1974).
Nhƣ vậy, mơ hình tốn học là một mơ hình trừu tƣợng sử dụng ngơn ngữ tốn
học để mơ tả hiện thực khách quan, đây chính là điểm đặc biệt khiến cho nó ƣu việt
hơn các mơ hình của các khoa học khác. Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Mơ
hình tốn học khác các mơ hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc
tính về “chất” mà chỉ cần một ngơn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những
quan hệ số lƣợng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lƣợng khác”.
Ví dụ về mơ hình tốn học
Mơ hình tốn đƣợc sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và
chuyên ngành kỹ thuật (ví dụ: vật lí, sinh học, kĩ thuật điện tử) và trong cả các ngành
khoa học xã hội (ví dụ: kinh tế, xã hội học và khoa học chính trị).
Trong sinh học: Mơ hình phát triển Malthus, hay cịn gọi là mơ hình phát
triển hàm mũ đơn giản là một mơ hình mơ tả sự tăng trƣởng dân số theo hàm mũ
dựa trên sự bất biến của tỉ lệ gia tăng dân số r .
Giả sử P0 là dân số tại thời điểm ban đầu. Khi đó, dân số sau một khoảng
thời gian t đƣợc tính bởi cơng thức: P(t ) P0 .e rt thể hiện dân số có xu hƣớng tăng
theo cấp số nhân.
Trong cơ học cổ điển: Mơ hình dao động của dây; mơ hình chuyển động
của tên lửa; mơ hình chuyển động của tàu ngầm... Một dạng đặc biệt của dao động
có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa. Về mặt động
học dao động điều hòa đƣợc miêu tả bởi hệ thức:
q A sin(kt )
Ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn
làm gốc toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía
10
và đƣợc gọi là biên độ dao động; (kt ) là argument của sin gọi là pha dao động;
là pha ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan
với chu kỳ T bởi hệ thức:
k
2
(rad / s)
T
Số lần dao động trong một đơn vị thời gian đƣợc tính theo cơng thức:
f
1 T
T 2
Trong khoa học máy tính: các mơ hình kiến trúc mạng, mơ hình dữ liệu,
mơ hình tốn trong đồ họa máy tính,…
Trong điện tử: mơ hình quang phổ, mơ hình năng lƣợng,…
1.2.3. Mơ hình hóa tốn học
Mơ hình hóa tốn học trong giáo dục chính thức xuất hiện đầu tiên tại hội
nghị của Freudenthal năm 1968 [19], tại đây rất nhiều vấn đề liên quan đến mơ hình
hóa đã đƣợc các nhà tốn học đặt ra: Tại sao nhiều HS khơng thể sử dụng kiến thức
tốn đã học để giải quyết các vấn đề thực tế mặc dù đạt đƣợc kết quả xuất sắc về
môn học này (Siller)? Dạy tốn nhƣ thế nào để HS có thể áp dụng tốn vào những
tình huống đơn giản của cuộc sống (Klamkin)... Mối liên hệ giữa tốn và mơ hình
hóa tiếp tục đƣợc đề cập đến tại hội nghị các nƣớc nói tiếng Đức (1977) – bao gồm
các thảo luận về những khía cạnh của tốn học ứng dụng trong giáo dục. Một dấu
mốc quan trọng trong việc giới thiệu mơ hình hóa tốn học vào nhà trƣờng là nghiên
cứu của Pollak năm 1979: “Ảnh hƣởng của toán học lên các môn học khác ở nhà
trƣờng”. Theo ông, giáo dục tốn phải có trách nhiệm dạy cho HS cách sử dụng tốn
trong cuộc sống hàng ngày. Từ đó, dạy và học mơ hình hóa trong nhà trƣờng trở
thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi tồn cầu. Ví dụ:
11
- Nghiên cứu của PISA, chƣơng trình đánh giá HS quốc tế (Programme for
International Student Assessment), nhấn mạnh mục đích của giáo dục toán là phát
triển khả năng HS sử dụng toán trong cuộc sống hiện tại và tƣơng lai.
- Hội nghị quốc tế về dạy mơ hình hóa và áp dụng toán ICTMA
(InternationalConferences on the Teaching of Mathematical Modelling and
Applications) tổ chức 2 năm một lần với mục đích thúc đẩy ứng dụng và mơ hình
hóa trong tất cả các lĩnh vực của giáo dục tốn.
Xu hƣớng đƣa mơ hình hóa tốn học vào chƣơng trình, sách giáo khoa với
các mức độ khác nhau ngày càng gia tăng. Chẳng hạn ở Đức, Hà Lan, Úc, Mĩ, mơ
hình hóa tốn học là một trong những năng lực bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc
gia về mơn tốn. Ở Singapore, mơ hình hóa tốn học đƣợc đƣa vào chƣơng trình
tốn năm 2003 với mục đích nhấn mạnh tầm quan trọng của mơ hình hóa trong việc
học tốn cũng nhƣ đáp ứng các thách thức của thế kỉ XXI... Các nhiệm vụ mơ hình
hóa tốn học thƣờng u cầu HS phát triển một mơ hình của mình và khám phá để
đáp ứng những yêu cầu nào đó, cung cấp cơ hội để HS phát triển kĩ năng giải quyết
vấn đề [1, tr.116].
Hiện nay, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mỗi tác giả lựa chọn mà có rất
nhiều định nghĩa khác nhau mơ tả khái niệm Mơ hình hóa tốn học đƣợc chia sẻ
trong lĩnh vực giáo dục toán học. Sau đây là một số định nghĩa:
- Mơ hình hóa tốn học là sự giải thích tốn học cho một hệ thống tốn học
hay ngồi tốn học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà ngƣời ta đặt ra trên hệ thống
này (Theo từ điển bách khoa tồn thƣ).
- Mơ hình hóa tốn học là q trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một
vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mơ hình tốn học, thể hiện và
đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mơ hình nếu cách giải quyết
khơng phù hợp (Edwards và Hamson, 2001).
12
-
Mơ hình hóa tốn học là thuật ngữ đƣợc sử dụng để chỉ quá trình giải
quyết những vấn đề thực tế bằng cơng cụ tốn học [14].
- Mơ hình hóa tốn học là q trình thành lập và cải thiện một mơ hình tốn
học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn [18].
Mơ hình hóa tốn học là một hoạt động phức tạp, vì thế nó khơng chỉ địi hỏi
HS phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực tốn học mà cịn phải có sự
am hiểu về tình huống thực tế cần xem xét. Thơng qua mơ hình hóa tốn học, HS
học cách lựa chọn và áp dụng một loạt các kiểu dữ liệu, các phƣơng pháp và cơng cụ
tốn học phù hợp để giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn, từ đó giúp HS thấy
đƣợc tính hữu ích của toán học trong thực tiễn đồng thời phát triển nhận thức của
HS về mối quan hệ giữa toán học với cuộc sống, với môi trƣờng xung quanh cũng
nhƣ các ngành khoa học khác.
Ở trƣờng phổ thông, cách tiếp cận đƣa các hoạt động mơ hình hóa giúp HS
hiểu sâu, nhớ lâu các khái niệm tốn học, hệ thống hóa đƣợc các ý tƣởng toán học
và nắm đƣợc cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tƣởng đó thơng qua việc
diễn tả các vấn đề thực tiễn bằng ngôn ngữ toán học. Cách tiếp cận này giúp việc
học Toán của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, HS nhận ra rằng tốn học
khơng chỉ là một ngành khoa học mà nó cịn là một phần của lịch sử văn hóa lồi
ngƣời, từ đó tạo động cơ và niềm say mê học tập mơn Tốn cho HS.
1.3. Q trình mơ hình hóa tốn học
1.3.1. Q trình mơ hình hóa tốn học
Q trình mơ hình hóa là một quá trình lặp gồm nhiều giai đoạn, từ tình
huống thực tiễn ban đầu, sau đó trải qua các giai đoạn để cuối cùng tìm ra đƣợc
phƣơng án giải quyết cho tình huống thực tiễn đó. Q trình mơ hình hóa tốn học
sử dụng các cơng cụ tốn học nhƣ cơng thức, thuật tốn, phƣơng trình, hệ phƣơng
trình, bảng biểu, biểu tƣợng, đồ thị, kí hiệu để giải quyết các vấn đề thực tế. Có rất
nhiều sơ đồ mơ tả q trình mơ hình hóa nhƣ các sơ đồ của Pollak, Blum, Kaiser
13
[17] hay Stillman & Galbraith [21]. Khóa luận này trình bày q trình mơ hình hóa
tốn học theo quan điểm của Swetz & Hartzler (1991). Theo đó, q trình mơ hình
hóa gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây:
* Giai đoạn 1: Quan sát hiện tƣợng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát
hiện các yếu tố (tham số) quan trọng có ảnh hƣởng đến vấn đề thực tiễn.
* Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài tốn
sử dụng ngơn ngữ Tốn học. Từ đó thiết lập mơ hình Tốn học tƣơng ứng.
* Giai đoạn 3: Áp dụng các phƣơng pháp và cơng cụ Tốn học phù hợp để
mơ hình hóa bài tốn và phân tích mơ hình đó.
* Giai đoạn 4: Thơng báo kết quả, đối chiếu mơ hình với thực tiễn và đƣa ra
kết luận.
Q trình mơ hình hóa giúp HS rèn luyện những kĩ năng toán học cần thiết đồng
thời phát triển các năng lực toán học của HS nhƣ suy luận, sáng tạo, giải quyết vấn đề.
Quá trình mơ hình hóa đƣợc xem là khép kín vì nó đƣợc dùng để mơ tả các tình huống
nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại đƣợc dùng để giải thích và cải thiện các vấn
đề trong thực tiễn. Có thể cụ thể q trình mơ hình hóa bằng sơ đồ dƣới đây:
Sơ đồ: 1.1. Q trình mơ hình hóa
Tình huống
thực tiễn
Quan sát, hiểu và xây
dựng mơ hình
Phân
tích
Áp
dụng
Kết luận,
thơng báo
Mơ hình
tốn học
Hiểu và thơng dịch
14
Kết luận
tốn học
1.3.2. Các bước của q trình mơ hình hóa tốn học
Q trình mơ hình hóa tốn học bao gồm 4 bƣớc: tốn học hóa, giải bài tốn,
thơng hiểu bài tốn, đối chiếu thực tế [18].
Sơ đồ: 1.2. Q trình mơ hình hóa tốn học
Vấn đề thực tế
Tốn học hóa:
- Hiểu vấn đề
Mơ hình tốn học
- Đặt giả thiết để đơn giản hóa vấn đề
- Miêu tả vấn đề dƣới dạng toán học
Giải pháp toán học
Giải bài toán:
- Giải quyết các vấn đề toán học bằng
cách sử dụng phƣơng pháp và cơng cụ
Giải pháp thực tế
thích hợp, bao gồm cả cơng nghệ thơng
tin
Giải pháp chấp
nhận được
khơng?
No
Thơng hiểu bài tốn:
- Giải thích lời giải toán học trên cơ sở
bản chất của vấn đề
Yes
Đối chiếu thực tế:
Chấp nhận giải pháp
pháp
- Xem xét các giả định, hạn chế của mơ
hình tốn học và các giải pháp
- Xem xét các phƣơng pháp và các công
cụ tốn học đã sử dụng
- Cải tiến mơ hình tốn học đã có
Nguồn: [18, tr.250]
15
Bƣớc 1: Tốn học hóa
Tốn học hóa là q trình chuyển đổi từ vấn đề thực sang vấn đề tốn học
bằng cách thiết lập một mơ hình tốn học. Để làm đƣợc điều này, HS phải hiểu vấn
đề, nghiên cứu thông tin đƣợc cho, loại bỏ các yếu tố không cần thiết, đƣa ra các giả
thuyết phù hợp và đơn giản hóa vấn đề với một giả thuyết có thể đƣợc giải quyết. Ở
bƣớc này, HS cần xác định các khái niệm toán học, các biến và biểu diễn vấn đề
dƣới dạng tốn học, thiết lập một mơ hình tốn nhƣ hình vẽ, đồ thị, hàm số hoặc hệ
các phƣơng trình...
Bƣớc 2: Giải bài tốn
Ở bƣớc này, HS cần lựa chọn, sử dụng các phƣơng pháp và công cụ tốn học
thích hợp để giải quyết các vấn đề, sau khi đã xây dựng các vấn đề toán học. HS có
thể sử dụng các phần mềm máy tính để phân tích dữ liệu, thực hiện tính tốn phức
tạp. Sản phẩm cuối cùng của HS trong bƣớc này là một giái pháp tốn học.
Bƣớc 3: Thơng hiểu bài tốn
Hiểu lời giải của bài tốn đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán ban
đầu). Hiểu đƣợc ý nghĩa lời giải của bài tốn trong thực tiễn, trong đó cần nhận ra
những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các tình huống
thực tiễn.
Bƣớc 4: Đối chiếu thực tế
Xem xét lại các giả thuyết và hạn chế của mơ hình, các phƣơng pháp tốn học
và các công cụ đƣợc sử dụng để giải quyết vấn đề, điều này có thể dẫn đến một sự
cải tiến trong mơ hình cũng nhƣ giải pháp. Ví dụ, khi xem xét lại mơ hình và những
kiến thức tốn học đã sử dụng, HS có thể xem xét sử dụng một phƣơng pháp hoặc
công cụ khác nếu giải pháp thu đƣợc là khơng chấp nhận đƣợc.
Ví dụ 1.1: Trong một thành phố, có một cơng viên và một bãi đất trống.
Hằng ngày, mọi ngƣời có thể đạp xe qua cơng viên sau đó đỗ xe lại và đi bộ đến bến
16
xe buýt để tới chỗ làm việc. Để đảm bảo an tồn trong cơng viên, Ủy ban nhân dân
thành phố muốn xây dựng một đƣờng đi riêng dành cho xe đạp và một bãi để xe để
hành khách có thể gửi xe trƣớc khi họ đi bộ đến bến xe buýt. Hãy làm việc theo
nhóm và chuẩn bị một đề xuất cho Ủy ban nhân dân thành phố xem xét.
Phân tích
Đây là vấn đề thực tế và HS có thể làm việc theo nhóm về vấn đề này. GV có
thể sử dụng các bức ảnh để cho thấy tình hình thực tế hiện tại hoặc một viễn cảnh có
thể xảy ra trong quá khứ dẫn đến việc cần thiết phải xây dựng lối đi dành riêng cho
xe đạp và bãi để xe đạp. Thông qua nhiệm vụ xây dựng mô hình này, HS đƣợc cung
cấp một số hiểu biết về cách thức xác định vị trí các cơ sở hạ tầng ở một thành phố,
xác định mục tiêu thiết kế và kiến thức toán học cần thiết. Các yếu tố của q trình
mơ hình thể hiện trong sơ đồ đƣợc giải thích chi tiết.
Tiến trình hoạt động
Bước 1: Tốn học hóa
-
Để hiểu đƣợc vấn đề, HS có thể sử dụng một sơ đồ hoặc vẽ một bản phác
thảo để biểu diễn cho tình huống
-
HS lập giả thuyết và thu thập thêm thơng tin nhƣ: kích thƣớc cơng viên
và khoảng đất trống, vận tốc trung bình của ngƣời đi bộ và xe đạp, giới hạn vận tốc
xe đạp trong công viên, mục tiêu thiết kế (đƣờng đi ngắn nhất, thời gian tối
thiểu,…).
- Xác định các khái niệm toán học liên quan trƣớc khi xây dựng các mơ hình
này. Trong trƣờng hợp này, vấn đề liên quan đến khái niệm khoảng cách, tốc độ và
thời gian.
- Việc xây dựng các mô hình tốn học sẽ phụ thuộc vào các giả thiết đặt ra.
Ví dụ, nếu HS sử dụng thời gian tối thiểu là mục tiêu thiết kế thì biểu thức biểu thị
cho thời gian đƣợc mô tả nhƣ sau:
17
Tổng thời gian di chuyển: T = Khoảng cách đi trong công viên/vận tốc xe đạp
+ Khoảng cách đi trong khoảng đất trống/vận tốc đi bộ
Hình sau thể hiện sơ đồ phác hoạ có thể biểu diễn cho các sơ đồ với những
giả định sau:
- Công viên và mảnh đất có dạng hình chữ nhật
- Kích thƣớc và tốc độ dựa trên thông tin từ internet
- Mục tiêu thiết kế: Thời gian tối thiểu
Hình: 1.3. Sơ đồ phác thảo tình huống thực tiễn
Bước 2: Giải bài toán
- HS sử dụng các phần mềm hình học động GSP để di chuyển điểm F đến các
vị trí khác nhau và đo khoảng cách, lập bảng quan sát và xác định vị trí của điểm F
sao cho thời gian đi là ngắn nhất.
- HS có thể lập biểu thức của khoảng cách nhƣ một hàm số theo thời gian dựa
vào định lý Pitago nhƣ sau:
1502 (100 x) 2
2502 x 2
T
5
1
Trong đó x là khoảng cách QF
HS có thể sử dụng phần mềm vẽ đồ thị để giúp họ tìm giá trị của x , tƣơng
ứng với giá trị tối thiểu của T .
Bước 3: Thơng hiểu bài tốn
18
- HS cần biết rằng giá trị x biểu thị vị trí của bãi gửi xe đạp, AF biểu thị cho
đƣờng đi xe đạp, CF biểu thị cho đƣờng đi bộ.
Bước 4: Đối chiếu thực tế
- Sau khi xác định đƣợc vị trí bãi để xe đạp, HS cần kiểm tra lại tính khả thi
của việc xây dựng bãi để xe và tìm hiểu các khó khăn khác.
- Xem xét lại các giả thuyết:
+ Nếu cơng viên có dạng hình trịn thì sao? Nếu cơng viên hay khu đất
trống là các đa giác khơng đều? Có phƣơng pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các
trƣờng hợp? Làm thế nào để Ủy ban nhân dân thành phố thấy cần thiết phải làm điều
đó?
+ Giải pháp nào đáp ứng nguyện vọng của ngƣời dân (thời gian hay
khoảng cách?).
- Công việc này thực sự có thể đƣợc thực hiện bằng các phƣơng pháp khác
nhau. HS có thể suy nghĩ về bài toán mà họ đã sử dụng để giải quyết các vấn đề và
liệu có những phần mềm mạnh hơn có thể đƣợc sử dụng để giải quyết vấn đề này
hay khơng?
- HS có thể đƣợc khuyến khích để kết nối mơn học của mình với các mơ học
khác (Ví dụ: việc sử dụng định luật Snell trong Vật lý, nhờ đó mà đƣờng đi nhanh
hơn tuân theo định luật khúc xạ).
Nhƣ vậy thơng qua bài tốn trên, GV tập cho HS tham gia các hoạt động mơ
hình hóa trên máy tính để dự đốn, tìm cách giải quyết vấn đề và đƣa ra ý tƣởng
chứng minh cho bài toán. Từ đó, giúp HS phát triển kĩ năng giao tiếp, tƣ duy và giải
quyết các vấn đề về giao thông trong thực tế cuộc sống.
1.4. Vai trị của mơ hình hóa trong dạy học tốn
Việc sử dụng mơ hình hóa toán học giúp HS giải quyết các bài toán thực tiễn
bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phƣơng pháp tốn học phù hợp, từ đó
giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học đồng thời cho HS thấy đƣợc
19
