Bài 9: Đối ngẫu của bài toán

Bài 9
F(x) = 2x
1
- 3x
2
+ x
3
→ max G(x)=-f(x)= -2x
1
+ 3x
2
- x
3
→ min
x
1
+2x
2
+2x
3
≤ 30 x
1
+2x
2
+2x
3
+ x
4
= 30
x
1

+ 2x
2
+2x
3
= 25 x
1
+ 2x
2
+2x
3
= 25
2x
1
+ x
2
+ x
3
≥ 40 2x
1
+ x
2
+ x
3
– x
5
= 40
x
j
≥ 0(j=1,2,3) x
j

≥ 0(j=1,2,3); x
4,
x
5
≥ 0
G(x)=-f(x)= -2x
1
+ 3x
2
- x
3
+Mx
6
+Mx
7
→ min
x
1
+2x
2
+2x
3
+ x
4
= 30 Đây là bài toán dạng chuẩn
x
1
+ 2x
2
+2x

3
+ x
6
= 25 trong đó: x
4,
x
5
là biến phụ
2x
1
+ x
2
+ x
3
– x
5
+ x
7
= 40 x
6
,x
7
là ẩn giả
x
j
≥ 0(j=1,2,3); x
4,
x
5,
x

6
,x
7
≥ 0
Hệ số ACB P.án (-2)X
1
(3)X
2
(-1)X
3
(0)X
4
(0)X
5
0 X
4
30 1 2 2 1 0
M X
6
25 1 2 2 0 0
M X
7
40 [2] 1 1 0 -1
F(X) 0 2 -3 1 0 0
65M 3M 3M 3M 0M -M
Do tồn tại giá trị ∆>0 nên chưa có PATƯ
Cột có giá trị lơ
́
n nhất ư
́

ng vơ
́
i x
1
. vậy biến đưa vào là x
1
Hàng có giá trị lamda nhỏ nhất ư
́
ng vơ
́
i cột là hàng 3, ta thay x
1
vào x
7
trong bảng sau
Hệ số ACB P.án (-2)X
1
(3)X
2
(-1)X
3
(0)X
4
(0)X
5
0 X
4
10 0 0 3/2 1 1/2
M X
6

5 0 3/2 [3/2] 0 1/2
-2 X
1
20 1 ½ ½ 0 -1/2
F(X) -40 0 -4 0 0 -1
5M 0M 3/2M 3/2M 0M 1/2M
Do tồn tại giá trị ∆>0 nên chưa có PATƯ
Cột có giá trị lơ
́
n nhất ư
́
ng vơ
́
i x
3
. vậy biến đưa vào là x
3
Hàng có giá trị lamda nhỏ nhất ư
́
ng vơ
́
i cột là hàng 2, ta thay x
3
vào x
6
trong bảng sau
Hệ số ACB P.án (-2)X
1
(3)X
2

(-1)X
3
(0)X
4
(0)X
5
0 X
4
5 0 -3/2 0 1 0
-1 X
3
10/3 0 1 1 0 [1/3]
-2 X
1
15 1 0 0 0 -2/3
F(X) -100/3 0 -4 0 0 1
Do tồn tại giá trị ∆>0 nên chưa có PATƯ
Cột có giá trị lơ
́
n nhất ư
́
ng vơ
́
i x
5
. vậy biến đưa vào là x
5
Hàng có giá trị lamda nhỏ nhất ư
́
ng vơ

́
i cột là hàng 2, ta thay x
5
vào x
3
trong bảng sau
Hệ số ACB P.án (-2)X
1
(3)X
2
(-1)X
3
(0)X
4
(0)X
5
0 X
4
5 0 -3/2 0 1 0
0 X
5
10 0 3 3 0 1
-2 X
1
65/3 1 2 2 0 0
F(X) -130/3 0 -7 -5 0 0
PATƯ của bài toán là (65/3,0,0,5,10,0,0). Với G(x)= -130/3
Giá trị hàm mục tiêu đạt được là như vậy, bài toán xuất phát có giá trị là 130/3
ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN:
F(x) = 2x

1
- 3x
2
+ x
3
→ max f(y)= 30y
1
+ 25y
2
+40y
3
→ min
x
1
+2x
2
+2x
3
≤ 30 y
1
+y
2
+2y
3
≥ 2
x
1
+ 2x
2
+2x

3
= 25 2y
1
+ 2y
2
+y
3
≥ -3
2x
1
+ x
2
+ x
3
≥ 40 2y
1
+ 2y
2
+ y
3
≥ 1
x
j
≥ 0(j=1,2,3) y
1
≤ 0,y
2
tùy ý,y
3
≥0

Các cặp đối ngẫu:
x
1
+2x
2
+2x
3
≤ 30 y
1
≤ 0
x
1
+ 2x
2
+2x
3
= 25 y
2
tùy ý
2x
1
+ x
2
+ x
3
≥ 40 y
3
≥0
x
1

≥ 0 y
1
+y
2
+2y
3
≥ 2
x
2
≥ 0 2y
1
+ 2y
2
+y
3
≥ -3
x
3
≥ 0 2y
1
+ 2y
2
+ y
3
≥ 1