Kỹ thuật nguội Chương 2 : Lấy dấu

38
Chơng 2: Lấy dấu
1. Thế no gọi l lấy dấu ? Mục đích l gì ?
Trớc khi gia công chi tiết (phôi) hoặc trong quá trình gia công (bán thnh phẩm
), căn cứ vo bản vẽ, dùng dụng cụ lấy dấu để vạch dấu cần thiết trên chi tiết, thể hiện
vị trí v giới hạn cần gia công trên chi tiết. Công việc đó gọi l lấy dấu. Mục đích chủ
yếu của lấy dấu l: Thứ nhất: Căn cứ vo bản vẽ v yêu cầu công nghệ xác định d
lợng các bề mặt gia công v vị trí tơng hỗ giữa các lỗ, bánh răng, gờ lồi bề mặt v.v..
để lm chỗ dựa gia công hoặc hiệu chỉnh sau ny; Thứ hai: Có thể kiểm tra trớc khi
gia công đối với phôi vầ tiến hnh diều chỉnh v phân phối ton diện đối với lợng d
gia công, để kịp thời loại bỏ sản phẩm sơ chế không đủ quy cách, tránh lãng phí thời
gian: Thứ ba: Xác định vị trí cắt lấy vật liệu ở trên tấm vật liệu, bố trí hợp lý, tiết
kiệm. Tóm lại lấy dấu chính xác sẽ có tác dụng quan trọng đến chất lợng sản phẩm,
nâng cao hiệu suất công tác, tiết kiệm thời gian v vật liệu.
2. Sử dụng chủ yếu những dụng cụ no khi lấy dấu ?
Hình c
Hình d
Hình a
Hình b
Hình e
Hình 2-1:Các dụng cụ bổ trợ

39
Căn cứ vo công dụng,dụng cụ lấy dấu có thể chia ra dụng cụ cơ chuẩn, dụng cụ
đo đặt đỡ, dụng cụ trực tiếp vạch dấu v dụng cụ bổ trợ. Dụng cụ cơ chuẩn nh hình
2-1 thể hiện. Trong đó, hình (a) l bn máp (còn gọi bn phẳng ), lm bằng gang đúc,
bề mặt của nó đợc bo tinh hoặc gia công cạo gọt, l mặt phẳng cơ chuẩn khi lấy
dấu. Hình (b) l hộp góc vuông (còn gọi l hộp đệm), vật liệu v yêu cầu gia công
của nó giống nh hộp vuông. Khi vạch dấu chi tiết lớn, trớc tiên điều chỉnh tốt vị trí
hộp góc vuông, sau đó cho mặt đáy đĩa vạch dấu áp sát vo mặt vuông góc của hộp

góc vuông l có thể vạch đợng thẳng đứng trên chi tiết, chứ không cần lật chi tiết.
Hộp góc vuông còn có thể dùng để đệm nâng cao đĩa vạch dấu hoặc thớc chiều cao.
Hình (c) l thớc phẳng hình chữ I, lm bằng gang, qua bo gọt thnh, hai mặt lân cạn
C
Hình 2-2 : Dụng cụ đo
(a)

40
của nó vuông góc với nhau (trừ 2 dầu). Nó phối hợp với hộp góc vuông, dựng để vạch
dấu chi tiết lớn. Hình (d) lầ khối chữ V. Khối chữ V cỡ nhỏ thờng dùng thép các bon
vừa qua bo, tôi mi m thnh, thông thờng dùng để kê đỡ chi tiết dạng trục. Cố định
chi tiết lên khối chữ V, dùng cách lật khối chữ V, có thể vạch đờng trên chiều vuông
góc với nhau.Hình (e) l dỡng thông thờng lm bằng tôn mỏng dùng để vạch dấu
hng loạt hoặc các chi tiết phức tạp trớc khi lấy dấu ngời ta phải chế tạo ra một loại
dỡng thích hợp
Dụng cụ đo nh hình (2-2) thể hiện. Trong đó, hình (a) l thớc đo độ cao, gồm
giá thớc v thớc thép thẳng tạo thnh, chủ yếu dùng để xác định độ cao đầu kim
của đĩa vạch dấu khi lấy dấu, nhằm khống chế vị trí kích thớc của đờng vạch. Hình
(b) l thớc vuông góc (còn gọi l thớc góc ) tác dụng chủ yếu của nó l vạch đờng
thẳng đứng của mặt chuẩn (hoặc đờng chuẩn ) khi lấy dấu vật khối, thờng dùng
thớc góc vuông để xác định quan hệ vuông góc giữa một mặt chuẩn hoặc đờng
chuẩn no đó của chi tiết với mặt phẳng ngang. Hình (c) l thớc đo cao du tiêu, phía
trớc chân cặp du tiêu l mũi vạch dấu chính xác. Khi vạch (0) của du tiêu đối chuẩn
với vạch (0) của thớc chính, mũi (dao ) vạch vừa ngang bằng với mặt đáy của thớc.
Hình (d ) l bộ đo góc, có thể dùng để hiệu chỉnh góc độ của mặt chuẩn hoặc
đờng chuẩn no đó của chi tiết với mặt bn phẳng. Khi lấy dấu mặt phẳng, có thể
dùng để vạch đờng thẳng tạo thnh một góc nhất định với mặt (hoặc đờng) chuẩn.
Hình : 2-3

41

H×nh :2-4 Dông cô trùc tݪp v¹ch dÊu

42
Dụng cụ đặt đỡ nh hình 2-4 thể hiện. Trong đó hình (a) l tấm đệm có thể điều
chỉnh góc độ, có thể dùng để trực tiếp đặt đỡ chi tiết dạng vuông hoặc qua khối chữ
V, hộp vuông gián tiếp đặt đỡ chi tiết dạng trục, dạng đĩa để lấy dấu góc. Hình (b)l
cái kích đơn giản, trong quá trình điều chỉnh vị trí cao thấp, chi tiết dễ khập khiểng,
thờng dùng để đặt đỡ chi tiết dạng phôi
Hình (c) l loại kích thờng dùng, thông qua xoay đai ốc để thay đổi độ cao của
trục vít. Hình (d) l xích hình chữ V có thể dùng đặt đỡ chi tiết dạng trục. Hình (e) l
dụng cụ đặt đỡ dạng bánh lăn, thay đổi vị trí tơng đối của hai giá a theo rãnh then b
để có thể thích ứng với yêu cầu đặt đỡ chi tiết đờng kính khác nhau. loại dụng cụ ny
dùng để dặt đỡ chi tiết dạng trục cỡ lớn.
Dụng cụ trực tiếp vạch dầu nh hình 2-3 thể hiện. Trong đó, hình (a) l compa
vạch dấu lm bằng thép công cụ, chủ yếu dùng để vạch đờng tròn, cung tròn, lấy
kích thớc, chia góc đều nhau hoặc đoạn thẳng bằng nhau. Mũi vạch của chân compa,
đợc tôi cứng (hoặc hn nối một mẩu
hợp kim cứng), trớc khi sử dụng cần
phải mi sắc. Hình (b) l compa du
tiêu có thể điều chỉnh tuơng đồi chính
xác khoảng cách giữa hai chân
compa, trong đó, một chân có thể
điều chỉnh cao thấp, thích hợp để
vạch đờng tròn hoặc cung tròn có
bán kính tơng dối lớn hay vạch dấu
mặt bậc thang. Hình (c) l compa
chuyên dùng. Nó giống nh compa
du tiêu, có thể lợi dụng lỗ có sẵn trên
linh kiện lm tâm để vạch đờng tròn
hoặc cung đồng tâm, cũng có thể lấy

dấu trên mặt bậc thang. Hình (d) l
mũi vạch, l dụng cụ trực tiếp vạch
dấu cơ bản nhất, có thể lm bằng dây
thép 3.5mm tôi cứng đầu nhọn, cũng
có thể hn nối thép gió hoặc hợp kim
cứng vo đầu nhọn. Hình (e) l đĩa
vạch dấu phổ thông, tuy nó không
tiện điều chỉnh nh thớc đo du tiêu,
nhng có u điểm độ chịu lực tốt, đờng vạch sâu, rõ, cho nên ứng dụng rộng dãi.
Dụng cụ bổ trợ nh hình 2-5 thể hiện. Trong đó, hình (a) l giá trung tâm thờng
dùng để lấy dấu lỗ có đờng kính tơng đối lớn. Cách dùng l đặt giá trung tâm vo
trong lỗ chi tiết sao cho mặt phẳng tâm của nó nằm cùng mặt phẳng với mặt đầu lỗ
Hình:2-5:Dụng cụ bổ
trợ
m
ũi
dây
nilo
đầ
u
d

43
chi tiết. Tâm đờng tròn tìm đợc sẽ vạch trong mặt phẳng tâm của giá trung tâm.
Hình (b) l con dọi, tác dụng của nó tơng tự nh thớc góc vuông, có thể dùng lấy
dấu chi tiết lớn. Hình (c) l kép chữ C, tác dụng chủ yếu của nó l cố định chi tiết vo
hộp vuông hoặc tấm góc vuông. Ngoi ra còn có đột tâm. v.v...
3 .Chất bôi quét thờng dùng để vạch dấu có những loại no ?
Để nét dấu rõ rng, dễ phân biệt, trớc khi vạch dấu phải quét chất bôi quét lên vị trí
cần vạch dầu. Chất bôi thờng dùng có các loại sau:

3.1. Chất bôi nớc vôi, dùng để bôi lên mặt vật liệu phôi, nó đợc nấu bằng nhựa đo
hoặc keo da lợn, sau đó cho nớc vôi trắng vo đảo đều l thnh.
3.2. Chất bôi mầu sẫm, dùng để bôi bề mặt sau khi gia công thô hoặc gia công tinh,
nó l hỗn hợp giữa sơn (3-5%) ho tan trong cồn (93%), sau đó cho thêm 2~4 % chất
mầu sẫm (nh mầu tím nhạt, xanh sẫm, xanh lục, v.v..).
3.3. Chất bôi đồng sunfát dùng để bôi bề mặt còn phải gia công tinh. Nó đợc pha chế
bằng đồng sunfát trộn với nớc, Một ít axit sulfuaric.
Trớc khi sử dụng các chất bôi, cần lm sạch bề mặt chi tiết, chất bôi cố gắng bôi vo
bộ phận cần vạch dấu, phải bôi mỏng v đều.
4 . Trớc khi lấy dấu cần phải lm công việc chuẩn bị no ?
Công việc chuẩn bị phải lm tốt trớc khi lấy dấu: Một l nắm chắc bản vẽ v
ti liệu công nghệ, phân tích kĩ yêu cầu cụ thể ở các công đoạn sau. Hai l tiến hnh
kiểm tra sơ bộ bên ngoi đối với đối tợng lấy dấu, xem có khiếm khuyết gì rõ rệt
không. Ba l đối với chi tiết phôi đúc, cần lm sạch cát khuôn, loại bỏ bavia v lỗ đậu.
Bốn l cần loại bỏ lớp oxi hoá đối với phôi rèn v phôi cán. Năm l đối với bán thnh
phẩm, cần loại bỏ xơ xớc trên mặt chuẩn, lm sạch chất bẩn v chất rỉ do để lâu
ngy. Sáu l kiểm tra dụng cụ lấy dấu phải sử dụng, đòi hỏi sạch, chuẩn xác, không
khiếm khuyết. Bẩy l khảo sát phơng án lấy dấu, trong đó bao gồm nội dung chọn
chuẩn, các bớc v nội dung lấy dấu cùng dụng cụ cần thiết, dụng cụ cẩu chuyển v
biện pháp an ton.
5. Chọn chuẩn lấy dấu nh thế no ?
Khi vạch đờng, cần phải chọn mặt hoặc đờng no đó lm điểm xuất phát hoặc
căn cứ để lấy dấu. Đó chính l chuẩn lấy dấu. Chuẩn lấy dấu phải căn cứ vo tình hình
cụ thể, tuân thủ theo nguyên tắc sau đây để chọn chuẩn:
5.1. Chuẩn lấy dấu cần cố gắng thống nhất với chuẩn thiết kế.

44
5.2. Chọn cạnh, mặt đã qua gia công tinh có độ tinh xác gia công cao nhất hoặc
đờng đối xứng với cạnh, mặt, đòng tròn ngoi lỗ, rãnh v gờ lồi có yêu cầu phối
lắp.

5.3. Chọn cạnh tơng đối di hoặc đờng đối xứng của hai cạnh hoặc mặt tơng đối
lớn hoặc đờng đối xứng của hai mặt.
5.4. Đờng tâm của đòng tròn ngoi lớn.
5.5. Cạnh, mặt hoặc đờng tròn ngoi đễ đặt đỡ.
5.6. Khi lấy dấu bổ xung phải lấy đờng cũ hoặc chỗ gá lắp có chỗ liên quan lm
chuẩn
Ngoi ra, khi chọn chuẩn lấy dấu trên vật liệu tấm mỏng, cần xét tới tiết kiệm vật liệu,
cắt xả vật liệu, v các yêu cầu cụ thể về chiều cán uốn vật liệu trong ti liệu công
nghệ. Khi lấy dấu cần phải tính tới d lợng gia công của các bộ phận, bảo đảm chọn
điểm chiếu cố ton diện.
6 . Thế no l lấy dấu mặt phẳng v lấy dấu vật khối?
Tất cả các dấu vạch đợc vạch ra đều nằm cùng một mặt phẳng trên chi tiết gọi l
vạch dấu mặt phẳng, nh lấy dấu chi tiết dạng tấm đều thuộc loại ny. Chi tiết thờng
gặp phần lớn đều l khối hình học không gian. Nếu cùng lúc lấy dấu trên các bề mặt
khác nhau của chi tiết, gọi l lấy dấu vật khối. Trong vạch dấu vật khối bao gồm
phơng pháp vạch dấu trên nhiều mặt phẳng, cho nên vạch dấu mặt phẳng l cơ sở lấy
dấu vật khối.
7.Lm thế no vạch đờng song song ?
Phơng pháp chủ yếu vạch đờng song song gồm một số cách sau:
7.1. Dùng đĩac vạch dấu để kẻ đờng song song lấy độ cao cần thiết của dĩa vạch đấu,
tiến hnh vạch dấu cho chi tiết trên bn phẳng, bn máp vạch các đờng song song v
song song với mặt phẳng bn máp.
7.2 Dùng compa cặp kẻ đờng song song. Nh
hình 2-6 thể hiện, dùng compa cặp
chuyển động theo mặt cạnh của chi tiết đã gia công l có thể vạch ra đờng song song
với cạnh đó.
7.3. Dùng thớc góc vuông kẻ đòng song song. Nh hình 2-7 thể hiện, di chuyển
thớc góc vuông theo mặt cạnh đã gia công của chi tiêt, dùng mũi vạch để vạch các
đờng song song với nhau.

45
7.4. Dùng thớc thẳng kẻ đờng song song. Nh hình 2-8 thể hiện lấy mặt cạnh đã gia
công lm chuẩn dùng thớc thẳng lấy kích thớc giống nhau ở hai điểm A, B, vạch
dấu, đờng thẳng nối vạch dấu sẽ song song với mặt cạnh đó .
7.5. Dùng compa kẻ đờng song song. Nh hình 2-9 thể hiện, lấy hai điểm A, B trên
đờng thẳng đã biết lm tâm, dùng bán kính giống nhau vẽ cung ngắn, v dùng thớc
thẳng kẻ hai đờng tiếp tuyến ngoi của hai cung, đờng thẳng đó sẽ song song với
đờng thẳng đã biết.
Hình 2-6 Dùng
compa cặp kẻ đờng
thẳng song song
Hình 2-7 Dùng thớc ke
kẻ đờng thẳng song song
A
B
Hình2-8:Dùng thớc thẳng kẻ đờng song
song
B
A
hình 2-9: Dùng compa kẻ đờng song song

46
7.6. Qua một điểm bên ngoi, kẻ đờng song song. Nh hình (a) trong hình 2-10 thể
hiện, lấy điểm đã biết P lm tâm, điều chỉnh khoảng cách đã biết giữa hai chân compa
l R sao cho nó cắt đờng thẳng đã biết ở A v B. Trên đờng thẳng AB lấy điểm K
thích hợp lm tâm, vẫn dùng R lm bán kính để vạch một cung. Đờng thẳng qua
điểm P tiếp tuyến với cung đó l đờng thẳng song song cần tìm. lấy độ di R thích
hợp lm bán kính vẽ một cung, đoạn cung đõ cắt đờng thẳng AB đã biết tại điểm C.
Lại lấy điểm C lm tâm, R lm bán kính vẽ cung, cắt ab ở điểm D. Sau đó vẫn lấy C
lm tâm, PD lm bán kính vẽ cung, cắt cung tròn thứ nhất ở E, nối PE, đợc đờng

song song cần tìm
8. Lm thế no kẻ đờng vuông góc ?
Phơng pháp chủ yếu kẻ dờng vuông góc
có:
8.1. Dùng thớc góc vuông kẻ đờng vuông
góc. Các đờng kẻ thể hiện trong hình 2-7 đều
vuông góc với mặt chuẩn (đế thớc góc vuông
tựa sát vo mặt cạnh lm việc).
8.2. Dùng compa kẻ đờng vuông góc. Nh
hình 2-11 thể hiện, lấy hai điểm A,B trên đờng
thẳng lm tâm, vẽ cung với bán kính R độ di
thích hợp cắt nhau ở hai điểm C,D. Nối C với D
ta đợc hai đờng thẳng AB, CD vuông góc với
nhau.
a
R
p
k
B
R
A
E
D
A
C
R
R
B
R
1

p
Hình:2-10:Kẻ đờng song song qua điểm cho trớc
D
C
A
B
Hình:2-11Dùng compa kẻ
đ
ờng thẳng đứng

47
8.3. Qua điểm đã biết P, vẽ đờng vuông góc với đờng thẳng ab đã biết.
Nh hình 2-12 (a) thể hiện, lấy một điểm A bất kì trên đờng thẳng ab, nối AP, rồi
lần lợt lấy A,P lm tâm vẽ cung với bán kính có độ di thích hợp, cắt nhau đợc
điểm B v C, đờng thẳng BC nối giữa B vơi C cắt đờng thẳng AP ở điểm O, lại lấy
điểm O lm vẽ cung với bán kính có độ di OA , cắt đờng thẳng A

, đờng thẳng nối
liền PA

vuông góc với đờng thẳng ab. Hình 2-12(b) thể hiện, lấy điểm C bất kì ở
ngoi đờng thẳng lm tâm, vẽ cung với bán CP, khiến nó cắt đờng thẳng ab A. Nối
AC rồi kéo di cắt cung ở A

; đờng thẳng nối A với P ta đợc đờng thẳng vuông
góc với đờng thẳng ab. Hình (c) thể hiện, lấy điểm P lm tâm ,vẽ cung với bán kính
bất kì cắt đờng thẳng ab ở A v`B, lại lần lợt lấy A,B lm tâm, vẽ cung với bán kính
có độ di thích hợp cắt nhau ở C, đờng thẳng nối liền C với P sẽ vuông góc vơi
đờng thẳng ab. Hình (d) thể hiện, lấy điểm P lm tâm vẽ đờng tròn với bán kính có
độ di thích hợp, cắt đờng thẳng ab ở điểm A, B; Lại lấy điểm A, B lm tâm với

bán kính r có độ di thích hợp cắt ở điểm C. Đờng thẳng nối P với C vuông góc với
đờng thẳng ab
9. Lm thế no dựng đờng cạnh của góc ?
Có mấy phơng pháp vẽ đờng c
Hình 2-13: Dùng thớc đo góc bán
nguyệt vẽ đờng cạnh vuông góc
Hình d
Hình c
Hình b
Hình a
r
r
O
C
P
b
a
C
B
A
b
a
P
P
A
'
A
C
b
a

A
'
O
C
B
A
a
b
p
Hình 2-12: Qua điểm P đã biết , dựng đờng
vuông góc với ab

48
9.1. Dùng thớc góc vạn năng (bộ đo góc )vẽ đờng cạnh của góc. Điều chỉnh v cố
định thớc góc vạn năng ở góc cần thiết, cạnh trong thân thớc sát vo cạnh chuẩn
của chi tiết , dùng mũi vạch kẻ đờng theo cạnh thớc di động (du tiêu ). Nếu lấy
đờng thẳng lm chuẩn, cạnh trong của thớc nhằm đúng đờng thẳng, lúc đó du tiêu
lơ lửng, cho nên phảidùng một dụng cụ phẳng thẳng cặp sát cạnh du tiêu, mũi vạch kẻ
đờng theo dụng cụ phẳng thẳng.
9.2. Dùng thớc đo góc bán nguyệt để kẻ đờng cạnh của góc. Nh hình 2-13 thể
hiện tâm của thớc đo góc bán nguyệt nhằm đúng điểm 0, đòng thẳng đáy của thớc
góc, nhằm đúng đờng AB của chi tiết, điểm D chỉ thị độ góc cần thiết, dùng mũi
vạch vạch vết ngắn. Nối đờng OD, chính l đờng cạnh của góc cần vẽ.
9.3. Tra bảng hm số lợng giác để vẽ đờng cạnh của góc. Ví dụ, tại điểm C trên
đờng thẳng AB, kẻ đờng thẳng CD, sao cho < DCA=24
0
, nh hình 2-14. Phơng
pháp cụ thể l: Trớc tiên tra bảng hm số lợng giác, biết tg24
0
=0.445, sau đó lấy

CE =100mm , qua điểm E vẽ đờng EG vuông góc với AB ,dùng compa lấy
EF = 44.5mm (0.445
100u
). Đờng CF chính l đờng tạo thnh góc 24
0
với AB
9.4. Tra bảng chiều di dây cung để kể đờng cạnh của góc. Hình 2-15 thể hiện tại
điểm C trên đờng thẳng AB kẻ đờng CD, sao cho nhỏ hơn DCA =24
0
phơng pháp
cụ thể l, trớc tiên tra bảng chiều di dây cung (xem bảng 2-1) đợc biết chiều di
dây cung của góc tâm 24
0
l 0.416. Lại lấy điểm C lm tâm, vẽ cung với bán kính
100mm để nó cắt đòng thẳng AB tại điểm E. Sau đó lấy điểm E lm tâm, vẽ cung
với bán kính 41.6 mm (0.416
100u
) cắt cung trớc tại điểm F. Nối CF,đợc đờng
cạnh của góc cần vẽ
E
F
D
A
G
D
F
E
Hình 2-14:Sử dụng hm số lợng giác vẽ đờngcạnh của góc Hình 2-15
A

49
10. Lm sao chia đờng thẳng cung tròn v góc đã biết thnh hai phần bằng
nhau ?
Chia đờng thẳng đã biết thnh hai phần bằng nhau nh hình 2-16 (a). Phơng
pháp l: Lần lợt lấy điểm hai đầu đờng thẳng ab đã biết lm tâm , vẽ cung với bán
kính có dộ di >1/2 ab, cắt ở điểm C v D, nối CD đờng thẳng CD cắt đờng ab tại
điểm E chính l điểm chia hai phần bằng nhau đờng thẳng ab. Lợi dụng phơng
pháp tong tự cũng có thể chia
cung tròn đã biết thầnh hai phần
bằng nhau, nh hình 2-16 (b) thể
hiện.
Chia góc đã biết thnh hai
phn bằng nhau, nh hình (2-16
c). Phơng pháp l: Trớc tiên
lấy điểm B lm tâm, vẽ cung với
bán kính bất kỳ, lần lợt cắt hai
cung của góc ở hai điểm D, E.
Lại lần lợt lấy D,E lm tâm vẽ
cung với bán kính có độ di lớn
hơn 1/2 khoảng cách DE, cắt
nhau ở điểm F. Đờng thẳng nối
DF chính l đờng chia góc đã
biết thnh hai phần bằng nhau.
Bảng 2-1 : Bảng chiều di dây cung
đơn vị góc tâm : độ
Góc
tâm
Chiều
di
dây

cung
Chiề
u di
dây
cung
Góc
tâm
Chiều
di
dây
cung
Góc
tâm
Chiề
u di
dây
cung
Góc
tâm
Chiề
u di
dây
cung
Góc
tâm
Chiề
u di
dây
cung
Góc

tâm
1 0.017 16 0.278 31 0.534 46 0.781 61 1.015 76 1.231
2 0.035 17 0.296 32 0.531 47 0.797 62 1.030 77 1.245
3 0.052 18 0.313 33 0.568 48 0.813 63 1.045 78 1.259
4 0.070 19 0.330 34 0.585 49 0.829 64 1.060 79 1.272
5 0.081 20 0.347 35 0.601 50 0.845 65 1.675 80 1.286
6 0.105 21 0.364 36 0.618 51 0.861 66 1.684 81 1.299
D
C
B
A
A
E
F
C
D
B
B
A
D
C
Hình 2-16: Chia đờng thẳng , cung tròn v góc đã
biết thnh 2 phần bằng nhau

50
7 0.112 22 0.382 37 0.635 52 0.877 67 1.104 82 1.312
8 0.139 23 0.399 38 0.651 53 0.892 68 1.118 83 1.325
9 0.157 24 0.416 39 0.668 54 0.908 69 1.133 84 1.338
10 0.174 25 0.433 40 0.684 55 0.923 70 1.147 85 1.357
11 0.192 26 0.450 41 0.700 56 0.939 71 1.161 86 1.369

12 0.209 27 0.467 42 0.717 57 0.954 72 1.176 87 1.377
13 0.226 28 0.484 43 0.733 58 0.970 73 1.190 88 1.389
14 0.244 29 0.501 44 0.749 59 0.985 74 1.204 89 1.402
15 0.261 30 0.518 45 0.765 60 1.000 75 1.217 90 1.414
11 Lm sao để kẻ cạnh của góc 30
0
, 45
0
, 60
0
?
Nh hình 2-17 thể hiện, lấy điểm O trên
đờng thẳng ab lm tâm, vẽ cung với bán kính R
bất kì, cắt ab ở điểm A lấy điểm A lm tâm, vẽ
cung với bán kính R, cắt cung thứ nhất ở điểm B,
nối A với B ta đợc góc <AOB = 60
0
. Sau đó lần
lợt lấy A, B l tâm vẽ cung với bán kính R
1
bất
kì, cắt nhau ở điểm C, đờng thẳng nối OC cắt
cung AB ở D, góc < AOD = 30
0
. Sau cùng lần
lợt lấy điểm D, B lm tâm vẽ cung với bán kính
R
2
, cắt nhau ở điểm E, nối OE, góc < AOE = 45
0

(45
0
cũng có thể tìm đợc bằng
phơng pháp chia hai góc vuông ).
12. Lm thế no vẽ cung tròn tiếp tuyến với hai đờng thẳng ?
Có những phơng pháp vẽ cung tròn tiếp tuyến với hai đờng thẳng nh sau :
12.1. Cung tròn tiếp tuyến với hai góc nhọn hoặc tù, nh hình 2-18 (a,b) thể
hiện. Trớc tiên kẻ đờng thẳng song song với ab, sao cho khoảng cách giữa chúng
với nhau bằng R. Dùng phơng pháp tơng tự vẽ đờng song song với bc. Rồi lấy
điểm cắt nhau O của hai đờng lm tâm, vẽ cung với bán kính R, tiếp điểm l f v g.
12.2. Cung tiếp tuyến với hai cạnh góc vuông, nh hình 2-18 (c) thể hiện. Lấy R
lm bán kính, b lm tâm, vẽ cung cắt ba, bc ở điểm d v e.Lần lợt lấy d, e lm tâm,
R lm bán kính, vẽ cung cắt nhau ở điểm O. Điểm ny l tâm cần tìm, d v e. Lần
lợt lấy d,e lm tâm, R lm bán kính, vẽ cung cắt nhau ở điểm O. Điểm O ny l tâm
cần tìm, d v e l tiếp điểm.
E
D
C
B
b
a
A
O
Hinh 2-17

51
12.3. Cung tiếp tuyến với hai đờng thẳng song song nh hình 2-18 (d) thể hiện.
Đờng đối xứng ab,cd song song với nhau, qua điểm O dựng đờng vuông góc v
đờng song song với hai đờng song song ab, cd v lần lợt cắt b,d. Lại lấy O lm
tâm, Ob (hoặc Od) lm bán kính, dựng cung tròn tiếp tuyến với ab,cd điểm tiếp tuyến

l b,d.
13 Lm thế no dựng cung tròn với bán kính đã biết sao cho nó tiếp xúc với
hai cung tròn đã biết?
Phân tích vấn đề, ta thấy sau khi dựng hình sẽ có một đờng cong do ba đoạn
cung tròn nối liền nhau. Căn cứ vo tâm của ba đoạn cung tròn v sự khác nhau về vị
trí tơng đối của đờng cong nói trên sẽ có ba tình hình sau đây:
13.1. Tâm của ba cung đã biết nằm cùng một bên của đờng cong còn tâm của cung
cần tìm nằm ở bên kia của đờng cong. Với tình hình ấy, cần căn cứ vo phơng
pháp nh hình 2-19 (a) thể hiện để dựng hình. Trong hình, cung với tâm O
1
bán kính
R
1
v cung với tâm O
2
bán kính R
2
đều đã biết; Bây giờ phải dựng cung với bán kính
R
3
sao cho nó tiếp xúc với hai cung đã biết. Cách lm cụ thể l, trớc tiên dựng cung
với tâm O
1
bán kính (R
1
+R
3
) sau đó dựng cung O
2
với bán kính (R

2
+R
3
), sau đó lấy
điểm giao nhau của hai cung O
3
l tâm, dựng cung với bán kính R
3
cung ny sẽ tiếp
xúc với hai cung đã biết.
13.2. Tâm của cung cần tìm v tâm 2 cung đã biết nằm cùng một phía của
đờng cong. Lúc đó, cách dựng hình nh hình 2-19 (b), lần lợt lây O
1
v O
2
lm
tâm, lấy
Hình 2-18: Dựng cung tiếp tuyến với cung v đờng thẳng đã biết

52
(R
3
-R
1
), (R
3
-R
2
) lm bán kính để dựng cung tiếp đó lấy giao điểm O
3

hai cung lm
tâm, R
3
lm bán kính đẻ dựng cung, cung ny sẽ tiếp tuyến với hai cung đã biêt.
13.3. Tâm của cung cần tìm nằm cùng một bên với tâm của một cung đã biêt, còn tâm
của một cung đã biết khác lại nằm bên kia của đờng cong. Trờng hợp ny, phơng
pháp ny dựng hình nh hình 2-19 (c ) thể hiện. Truớc tiên dựng cung với tâm o
1
bán
kính (R
3
- R
1
), sau đó lây O
2
lm tâm, (R
3
+R
2
) lm bán kính dựng cung, sau cùng lấy
giao điểm O
3
của hai tâm lm tâm, R
3
lm bán kính, dựng cung, cung ny sẽ tiếp
tuyến với hai cung đã biết
14. Lm thế no dùng bán kính đã biết để dựng cung sao cho tiếp xúc với
một cung v một đờng thẳng cho trớc?
Nh hình 2-20 thể hiện, cung với tâm O bán kính R v đờng thẳng ab đều đã biết,
bây giờ cần dựng cung tiếp xúc với cung v đờng thẳng đã cho, bán kính của cung

cần dụng l R
1
. Cách lm cụ thể l: Trớc tiên kẻ đờng thẳng song song v cách ab,
một khoảng l R
1
, sau đó lây O lm tâm, (R
1
+R) lm bán kính, dựng cung cắt đờng
Hình 2-19 : Dùng bán kính đã biết dựng cung tiếp xúc với hai cung đã
biết

53
song song ở O
1
cuối cùng lấy O
1
lm tâm, R
1
lm bán kính dựng cung, cung ny
chính l cung cần tìm
15. Lm thế no chia đều chu vi hình tròn ?
Có hai cách chia đều chu vi hình tròn: Dựng hình v tính toán. Khi số phần bằng
nhau tơng đối ít nh 3,4,5,6 phần thì nói chung dùng phong pháp dựng hình nh
hình 2-21 thể hiện. Cách chia chu vi hình tròn thnh 3 phần bằng nhau nh hình (a)
thể hiện lấy A lm tâm, OA lm bán kính dựng cung cắt chu vi hình tròn ở hai điểm
C, D hai điểm đó cùng với điểm B l 3 điểm chia chu vi hình tròn thnh 3 phần bẳng
nhau. Cách chu vi hình tròn thnh 4 phần bằng nhau nh hình (b) thể hiện: Qua tâm O
kẻ hai đơng thẳng AC v BD vuông góc với nhau, đợc các điểm A,B,C,D, chính l
điểm phân chia chu vi hình tròn thnh 4 phần bằng nhau. cách chia chu vi hình tròn
thnh 5 phần bằng nhau nh hình (c) thể hiện. Qua tâm O kẻ đờng thẳng AB,v CD

vuông góc với nhau, rồi lấy điểm giữa E của OA lm tâm, EC lm bán kính, cắt lấy
điểm f trên OB, độ di của CF chính l độ di dây cung chia chu vi hình tròn thnh 5
phần bằng nhau. Cách chia chu vi hình tròn thnh 6 phần bằng nhau nh hình (d ) thể
hiện: Chiều di dây cung giữa hai điểm lân cận chia chu vi hình tròn thnh 6 phần
bằng nhau vừa bằng bán kính của đờng tròn ấy, cho nên dùng bán kính của đờng
tròn cắt lấy 6 điểm A,B,C,D,E, trên chu vi chính l các điểm chia chu vi thnh 6 phần
bằng nhau.
Trong thực tế, còn thờng dùng cách tra bảng để chia chu vi hình tròn thnh các
phần bằng nhau. Hệ số chia đều chu vi hình tròn nh bảng (2-2) thể hiện
Tiếp điểm
R
1
b
a
O
1
R
1
R+R
1
R
O
Hình 2-20: Dựng cung tiếp tuyến với cung v đờng thẳng đã biết