Phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn differential algebraic equations and implivit difference equations

N Ộ I DUNG

I.

Lời nói đẩu

tr. 1-2

II.

Tóm tắt kết quả nghiên cứu của đề tài

tr. 3-14

III.

Tài liệu tham khảo

tr. 15

IV.

Báo cáo kết quả thực hiện đề tài NCKH bằng tiếng
V iệt

tr. 16-18

V.

Báo cáo kết quả thực hiện đề íàỉ NCKH bằng tiếng

Anh

tr. 19-21

VI.

Tóm tắt các cơng trình NCKH liên quan đến đế tài

tr. 22-27

VII. Phụ lục: Các bài báo liên quan đến đề tài

tr. 28-104

VIII. Tóm tắt luận án tiến sĩ

tr. 105-109

IX.

tr. 110-111

Phiếu đăng ký kết quả nghiên cứu KH-CN


Phẩn I

Phương trình vi phân - đại số (PTVP - ĐS) và phương trình sai phân ẩn (PTSP ẩn)
là những vấn đề thời sự của Toán học ứng dụng, thu hút được sự quan lâm ciia nhiều
nhà khoa học (xem [1. 10, 14] và các lài liệu liên quan). Phirtttig I rì nil vi phím (lại

số xuất hiện lio n g nhiều vấn dề thực tế, từ những hài toán diều khiên hê dộng lực
có làng hu Ọc, m ộl số hài toán cùa kỹ ih u ậ l diện và cơng nghệ lu KÍ line (lén |ilm o iiịỉ
pháp IIứa lờ i tạc g ià i phương trình dao hàm liê n g , phương 1lìn h ill 11 gọn lio n g hài

tốn nhiễu kì dị. v.v...
Tính khơng chính của các hài tốn Cauchy và hài tốn hiên dối với P rV P -Đ S
như sự không tổn lại hoặc không duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc không liên lục của
nghiệm vào các dữ liệu v.v...làm cho việc nghiên cứu dịnh tính và giái gần đúng
PTVP-ĐS trở nên khó kliãn hơn nhưng cũng hấp dãn các nhà khoa hoc hơn.
Đ ến nay dã có hàng ngàn cóng (rình nghiên cứu về PTVP-O S. lộp trung vào một
số vấn (lổ sau:

1.

XAy dựng k liiíi niCm chí sơ' của PTVP-ĐS. Chỉ sơ' của !yrV IM )S (lo mức

độ iTÍn cùa phương trìn h cíĩn g như sự nhạy cảm của nghiệm Ihco Cík' (lữ liệ-ti han drill.

Nhiều khái niệm chỉ số (lã dược thiết lẠp. như chỉ số loàn cục (global index), chí sị
kha qui (Im c la lìility index), chỉ số nhiều (p e rtu b a lio n index), v.v... M ố i lien liệ lìiứa
các k liá i niỌm chỉ sơ cũng nhu lín h giải ikrực cùa hài tcnín C a u cliv VÌI lìĩii to iíii biên

clio PTVP-ĐS trong nhiều trường hợp khá lổng quái dã dược nghiên cứu.
2.
Sir (lụng cơng cụ hình học nhiều nhà khoa học đã coi IT V P -Đ S Iilur I T V I ’
(lên (la tạp và đã thu dược một số kết quả hước (lầu về dántỉ (liêu nghic-in cùa
IT V P -D S
3.

Phương pliáp tu vốn tính lioíí và tựa tuyến tính hná lổ n g qi cũng (liKíc

m ội sỏ nhà lốn học khai lliác dê nghiên cứu hài lốn hiên (lói với n v p - ix s phi
[uyên.
4.

M ộ l sô phương pháp sô quen biết đỏi với lyr v p thường tlươc MỊihicn cứu áp

dụng clio PTVP-ĐS, như các phương pháp luyến tính một hước và ti;i bước (cliíi yêu
là phương pháp rin) dể g iài hài loán CaucliỴ. phương pháp brill và hắn lió i. phương

pháp sai phân hữu hạn, phương pháp c o llo i ation giải hài toán hiên cho IT V P -Đ S .
Phương trình sai phân ẩn xì hiện Irong nhiều bài lốn lluix lê. nhu

111ó

hình kin h

tố đa thành p liíin cua L e o n tie v hay m ơ hình Leslie vổ sự lãng I rường thì 11 sơ. các hài
tốn dicu khiên (ối ưu rời rạc v.v... M ặt khác nhiều PTSP fill là lie (|iiá cua vice lị i

rục liố IT V M X S .
L ý tliu yê t IT S P rin tuyến tính với hệ số háng dã clirợc xây ilu iiị! k liii hồn c 1111111

và lìm được nhiều ứng dụng trong lý thuyết diều khiển lõi ưu m i lac. Tuy nliiOn có
rAt ÍI kêì t|u;i đã b ic l về tr r s p ẩn luyến lín h khơng dừng \à l r I SP ân phi HiyOn (xem
[II).

Tù năm IW 7 dẽii nay seniiiui các phương pháp g iải phương liìn h vi p11ãn ịiõ m

CỈS Phạm K ỳ Anh. (ÌS Nguyền ỉlĩrii C òn” . 1’tìS Nguyễn llữ u Dư. I S v n Moinifi I .inh

c ù n g c á c n g h iê n c ứ u s in h v à h ọ c v ic n c a o h ọ c . d ã têip ĩ r u n g m i l i i i ’ 11 c ứ u I 11ÚI s ú v á n


2
đề vể PTVP-ĐS và PTSP ẩn. Những kết quả chính mà các thành viên semina dã thu
dược IÌI (xem [2-5J, [12], [16]):
1.
Thiết lẠp dược diều kiện giíti (Urợc và giải (lirợc tltiv nliAt nghiện) t ho hài
toán hiên nhiều điểm dối với IT V P -Đ S chi' số ỉ trong các Irirờiig hơp chính qui VÌI
khơng chính qui.
2.
Sir dụng các phương pháp bấn bội, lẠp bội, chính lạp tie giúi hài loiín hiên
cho H VP-ĐS tựa tuyến tính.
3.
Thiết lập cơng thức hán kính ổn dịnh cho PTVP-ĐS tun tính hệ sỏ hàng.
4.
Đề xuâl khái niệm chỉ số cho PTSP ẩn luyến tính, khơng (lùníí. Nghiên
cứu lính giỉii dirựơc và giái dược tluy nhất của bài loán hicn Iihicu (liếm cho IT S I’
ẩn tuyến tính chí số 1.
Trong khn khổ tie lài này, Inrớc hết chứng tôi nghiên cứu (láiiịỉ (liộii liỌm cẠ11
và hán kính oil định của hệ nhiễu kì dị của PTVP-t),S. Chúng lơi tin chứng ló riiniỉ
hán kính ổn (lịnh của liệ nhiễu kì dị hội lụ đến m inim um tua hiín kính ổn định cua
họ lim gọn các "hiến chậm " và hệ lớp hiên "n lu in h " khi lliiim sị (

• 0 Ticp ilico,

môi liên hệ giữa n VP-ĐS và PTSPiiii, 111:ậII (lược: lừ việc lờ i lịic hoá H V P -Đ S liiMig
sơ tlổ Euler dã diuíc lliic l lập. Sụ hội lụ cua nghiệm cùa hài loàn C aucliv VÌ1 hài tốn
biên hai diem cho lr rs p All tới Ii” hiệm cũa các hài toán lươn Lĩ ứng cho IT V P -Đ S khi
hước lưới drill clí'11 khơng (lã (lược c liiliifi minh. Kèì <111.'i liny kliiMií' (lịnh lính (liìiiy

đắn cún h iió iii’ M illion cứu về phương Irìn li Síú phân ẩn iln các tliìm li \ it’ll dí’ tíú tiê 11
liim li. l ính J'.iiii (luơi/ và giíii < I in < lu \ nhỉil (Hii 1'I SI’ ;m lu.i liiy i ’ 11 linh O ÌIIỊ’ (lukhán s;íl. T ilin g MỈ1II1 2()mới. Nghiên CIÍ1I líiili ổn dinh và sụ hoi lụ cua plién lặp ấn. <11lin *1 lói <1.-1 Iliiĩ'1 lỉìp
dược m õ i lic n hệ giữa sự h ộ i lụ ciịa p h u n iig và |]ộ i (LI toàn cục n ia p h r p I;1|1 ã 11 M ó t

d icu kiện đu dế phép lặp ẩn liộ i lụ (lịa phương cũng (liiov chứng m ini),

lii'p llicc).

c h ú n g lỏ i d ii m ỏ KHU’ k liiíi n iệ m c h i so c h o p h U d iitỉ l iì n li sai |'h;m ail I>hị l i i v ĩ n \ à (!;ĩ

lliiê l l;)p tínli g iiii (luuv duy nliiìl cua bai luiín giá trị han dấu <.tn 1 I’ 1SI’ an phi lin e n
chí sơ ỉ. M ỏl ihànli vjen khác cua cỉc lài. TS V ĩi Ilm tỉ Linh ( n 11 tỉ (líĩ (lc xiúit kliííi
11 iỌm c;ìp liên hợp cho ÌT V IM X S và (l,ì fh irn ji (ó nmj.! kh;íi niOm mói nãy phù hop
với khái niệm cặp Mên hơp cho PTVP Ihưịníi. Đã cluing tó i;mu. c :íc phirniig trình vi
phàn lliừa kị \'à phuơiiịi (lình vi phàn CƠI lõi cùa một cặp lien li(í|i hai phirctno trình
vi phím đại sơ là liên hợp llieo nghía lliơng linking.
TĨI11 lại tie lìii Q T -03-02 dã cho mội bức In in li hồn llúcn hơn

vẽ phiro'Mg (m ill

vị pliíìn dại sỏ VÌI ir rs p ẩn cũng nlur mối liên hệ giữa clúniíỉ.
T rong quá Irin h Ihực hiện dể tài này. chúng tói dã nhân dược sự dộng viên cổ vũ

của các bộ phạn cluíc năng. Nhân dịp Iiàv. cluing tơi xin chím ihànli cám (ill Klii
Tím - Cơ - T ill học. Phịng Khoa học - Cơng nghệ, 'I rường Đ II K 1 I I N . Bail KIkm
học - Cõng nựliệ, D IIỌ C ÌIIN (lã 1 .1(1 nmi tlicu kiệ‘ 11 lliuận lơi (lr (lr 1,11 í.) I (H-02 ílnoc
lim lliìinh (liìiiị1. hạn
I là nơi, Iigíiv 12 lining 12 niim 2004

Clm liì d i tìii ỤT-íM -02
c.s TSK1I Phạiìi K y Anh.


3
Phẩn II

N ộ i d u n g ch ín h
Trong phần này chúng lơi trình bày các kết quả chính mà đc lài QT-03-02 dã thu
dược. Chứng m inh chi tiết các kết quà này xin xem các hài báo (rong phán phụ lục.
§1 Bán kính ổn định cùa hệ nhiễu kì dị
Khống hơn một thập kí trớ lại (.lây, dã có nhiều cơng trình ntỉliiC’ 11 á m lính ổn
dịnh vững cíia các hệ động lực lờ i rạc và liên tục. Khái niệm bán kính ổn (lịnh (1ế
xuâì bới llenrichsen và Pritchard cho phương trình vi pliân luyến lính hệ số hãng clíì
được m ớ rộng cho m ộl sơ' lớp phương trình vi, sai phân Ihường và n vP -Đ S cũng
Iilur PTSP ẩn (xem [11-13]).
Xét hệ nhiễu kì dị suy rộng:

~ '4 n í/M - A\2V2

Í^ iiỊ/i
ự l ĩ n y '2

Irong dó PJị, €

--

^21

A jj € K " ' * ' ,J, 7’, I

I I

Wi + A 22Ị/2

1 ,2 ,K — R hoặc 1 ’ CỊM ( -■ (I là lliiiin

số bé. Ta ln già thiết ma trận E \ i và A 22 khơng suy hiến cịn h \>2 LĨ ihế suy hiún.
Hệ (1.1) có lliể coi như trường hợp tổng quát của bài tốn nhiễu kì (lị. vì khi
khơng suy biến, ta có hệ nhiễu kì dị thơng thường:

Ị !/[
f V'i

A 11.V1 -f y\nV2
— Ả n y\ + Ay>}-ịì

với Ầ,J - /í’,,
/, / -- ỉ , â
2.
1lệ (1.1) có thể viết dưới dạng khối:
E ,ỉ/ — A y

(E ll

....

,,on* 1,0 E’ ■= ( I)

I)

A _ (^ 1 1

\

eÈ-iì) ’

~ [2

^ l'A

1.2
-

_

f !l\ \

Z ) ; à ■" - Q

■

Trước hếl la nliăc lại mội số khái niệm. Cho hai ma Irận hang
/1 < \K." ", Irn iiịỉ
(ló m;i liịin
có lilt* suy hiên. T il nói cliù in nia Irím
.1) III rliín íi qtii IKII lổn liii
A F c sao cho (k-M A
/1) / 0. Khi (ló tồn tụi t ; k ma IrẠn khm ụ’ suy Him 11 \ a
7' sao cho

E -

Irong (lú /,, \ à /,,

II

(í;

'à

là các ma Irận dơn vị kích thước /;

lương ứng cịn /V IÌI mội
□ l i sỏ cùa cạp ma 1lận
ì i k I }

« ) 7' '

'
'n

v;i <11

I ) ■ ỉ I!

rì

nia Irận luỹ lin ii Cííp /,• lúc là V/ /.• V'
r 1\;i V '
C).

{/? ,/1 } dược d ịn li ngliìít h;u>ghâc luv litili < m Y Iliv lii

/’■. 1*1 )0 cùa Irùni ma Irận { /-’,/1 } là lộp hợp


4
ơ ( E , A ) = {A 6 c : đ e l(A E - /1)

0}

Ta nói hệ phương Irình
Fạ ị ' =-

€ [:r0,o o )

l.:{

ổn dịnh liện cân nếu với mọi ỊỊ/o £ R '\ lổn tụi cặp hai số dương ( r , n ) sao cho nghiệm
của bài loán giá (rị ban dầu

ỊE y '

- Á y,

|H y ( r o ) ~ y o )

ĩ

(. ' i n . -X. I

=0

tổn tại duy nhất và có ước lượng ||ỉ/(:í')lỉ ^ H|Jri?/()|k-,,í:r~'T" \ :r ^ 'n
^y. ỉ’
là một ma trận chiêu dược chọn 111Ộ1 cách thích hợp. V í dll lie’ll i n t l .1}
I,
ta có Ihê lấy r
ỉ - Q, trong dó (.} là phép chiếu lêu K cr/'.’. song song với
s -

{ z £: lfí" : A z <- Im /v’ }. N lnr dã biết hệ (1.3) ổn (lịn h Item Ciìn khi vì\ c h i khi

f l( /i,/l) c C .
Giá sử hệ (1.3)

(111

clịnli liêm cận. Ta xét hệ có nhiễu cấu Irúc
ẺV -

(/1 + Ổ A C ) y ,

1.1

tiong đó n € 1K” X)’ và c a K '/x " là các ma hân dã cho, A p IK/'"'' 1à nhiều hâl
còn / i A ( ' là nhiều cấu tl úc (nhiều mội số phàn tử ciui /1).
Đặt M r

(lịnh

chùm ma trân { / V , /4 ! D A ( '} không ổn (lịnh hoặckh õiiịi

{ A r K ' " r' :

chính (ỊIIĨ }. K hi ció bán kính hội lụ của hệ (1.3) là
7’k — inf'll/ \ II : A (= lijc .
Bán kính ổn clịnh pluíc cùa hệ (1.3) xác tlịn li hải cơng 111ức san:
r r — {.‘'U p,e,R||ơ ( .‘ì ) l| }
trong đó C ( s )

1,

C { s E — A ) ~ r l ì là hàm chuyền của (1.3).

Có lliể clning m inh đưực rằng, nếu in d {E , A } < 1 tliì

> 0

Từ nay vể sau, ta ln giả lliic t

sau:

hệ (1.1) cócác tính chủt

i. E \ I , A 22 không suy hiên
ii. in tl{/■-’.>.>. A j> \ —■ /. < I
iii. rr( h T>, A '2 2 ), rr{ I - 11 , A

11

— A ị' 2 ẢJ -2 A-Ji) c. c

Định lý 1.1 'lo n tạ i f > 0 sctn cli() hệ ( I I ) on (lịnh tiậ iì t ận với mọi

r'

Chứng m inh ( I . I ) qui về việc chứng ló n( E ,. A ) khi r tlú nhó. Oi'in vớir i I <

|ỉ), í Ị.

\ r >)

và o ( E \ \ , A \ \ - A ị ỉ A ^-2 A'2ì).

'Ill XÓI các ma tIỘ11 chuyền cỉia

(I I) cũng Iilnr cua lie các hién clinm và hê các

biên Iihanli:
(/,(/) -

ĩ) , Ụ ) \ r , ( n « p ; u

Cr's(t) -

!) I C ị i r : v

- .\,(D)

- ,ĩ)

1n ụ )

'Í ỉ . í n
và


5

G VƠ ) - ( 'Á lK n I r o n g d ó À - /1|1 h j4 ia (íf£2 ạ L- v4M ) '/Ỉ2 i;Ổ , = B | 4 A v iự t E - u - A-a)
C ị ( C -i{tfE -n _ - A - n ) " xM \ \ D , = ('-ỉỤcE-2 2 - / W ’ tfa- Các ma trộn/ì. / ) . ( " . I>
nhận được từ À f , B f l C f, D f tương ứng bằng cách cho (
— 0.
Định lý 1.2.

Bán kính ơn đinh n ia hệ ( ỉ . ỉ ) k lii f
r € ( r)

đủ

bé dược cho hới ( õiif>

lluh

{s u p (p,R| | ơ , ( 0 | | }

K lii ( — 0 bán kính (hì (lịnh d id lie //í/í ÍỊỌ/I là
rs -

{su p ,c ,:E|Ị(7.s'(f)||}~\

C uối CÍIIIự, bán kính ổn (tịnh cùa liệ lớp hiến nhanh fFJti!/')

\> ỉ'h

x‘ ì< ‘ tị1'!'

hài
r F - { sup,f-,rBII r //. (/) II}

KOI I|tui chính của mục íịl (lưực phái biêu như sau:
Định lý 1.3.

lim ,

I

T/í/ /í{ 7's-, 7 /.}

Đ ịnh lý 1.3 mớ rộng một kết quả luơng ứng cùa V.Dragan. khi K II

K r,

I

Hơn nữa chúng minh định lý 1.3 lại dơn giản hơn râl nliiều chứng minh cùa cùa
V.Diagíin, Kỹ tlmậl sử dụng trong tillin g minh định lý 1.3 có 11lổ áp (lụ iiị! cho biú
tốn tổng quát hơn:

{!■: I (,.)!/'

AỊ/,

Irong dó Lj , /■’, A là các ma trận dã cho và E có lliê suy liiõn.

§2.

M ỏ i liên hệ giữa PTVP-ĐS và PTSP ẩn.

Trước hêì ta nhắc lại khái niệm chí sơ' cua PTVP-ĐS. Theo C ìiiepcnlm ” v;i M ã r/.
IT V P -Đ S lu yen tính khơng dừng

A ị l Ị r ' i lìd ỵ .r
trong đó

A, ì ì f - f

R

./(/;.

t e ./

ị/„. 7 ’|,

2.1

T" X"' ) và (Ị G ("(./, K ” ’ ) đã cho. có chí so]néu:

i. Tồn lại phcp chiếu Q e c l (./, I R ™ ) lên K er A {t), lức là Q - í/) - Q (ỉ). lin Ợ Í/) K e i-4 (/), V/ f ./.

ii. M il l lã 11 Cí(f)
T iorni
(lược duy

A ịi) [ ì ì ( l) ( J ( t ) không suy hiên V/ •- ./

I l(í| . kli niệm in s i’ rin clií sơ I (lã clirợc (lề xuũt. Tính

(luoc

và liiiii

Iihíìl cú;ihài lốn "iá liị him drill \'ÌI bìu loiín Hiên nliKU (licm cho IM.SI’ i'm

chí sỏ I (lã đirơc kháo sál.


6

Nhằm chứng tỏ khái niệm chỉ số của PTSP ẩn dưa ra là liựp lý, Irong mục này
chúng tôi sẽ chứng mình rằng nếu rời rạc PTVP-ĐS chỉ
số1 (2.1)
bàng phương pháp
Euler hiện, ta sẽ thu được PTSP ẩn chỉ số I. Hơn nữa, nghiệm cùa hỉii Inán Cauchy
và bài toán biên nhiều điểm cúa PTSP rill này sẽ hội tụ lới nghiệm cua các bài lốn
C auchy VÌI hài tốn hicn (Ương ứng cho IT V P -Đ S .

Giả sứ PTVP-ĐS (2.1) có chí số I. K hi dó rankv4(/) = r, ( I
V
III). Xci

k liiii liiể ti kì tlị A ( l)
11(1 )5J(/) V 1( I ), Mong tlú giá ihiél
c;ic m;i liiìn liu v giai)
I ! e ( ' ( . / , V e r l ( . / , R m xm ) còn r,(t.) e

là ma liiìn ilừ ím g

chéo với các giá trị kì dị ơ ịự .) ^ ..... ^ (7, (7) > 0 nằm trên dường chéo cliín li. Dặt
Q (t) = V ( t ) Q * V 1 ịt.) trong dó Q *
d i a g ( 0 , r ) thì Q (t) là phép chiêu ươn
lên K e r /l(/). Mơn nữa ma trận G (1 , t ) : A ịt )
khi T > 0 (111 bé. k liú iig
suy biến và ||G’ ' ( / , t ) | | ^ c/ t .
Clio N là một số nguyên dương. ĐẠI r
dổu ./ thìm li

N

cloạn con | / „ , / „ I I ],

( T - 1 ị))/N là bước lưới t ua phim hoiich
(), Ã7 - 1, lio n g dó

II

A Ụ n );U „

ọ ụ „y ,v „r=

I

vụ„)-u„

/(I I

III.

K í hiệu .1,,

*'■ (/„)

[n

i),K)

và V. 1 - I V
Xct lược dồ Euler hiện giải PTVP-ĐS (2.1)
A „ = •r ,, + -1 ~ - -

I iì„.v .„ -

f/„

(7* = Ĩ Ũ T l )

2.2

T

liay

A „ t „

I I -

(A „

-

t B „ ) x u

I

TtỊ„

( 71 -

0 , /V

ì).

Đ ịn h [ý san cliìy chứng ló sự lương lliíc li giữa các khái niệm chí số I c lio r r V Í M ) S

và PTS1> án.
Định lý 2.1. Phương pháp Enlei hiện áp

chilly cho P ỉ \ l J-ỉ)S liiy ru lin li

( lu ,\ị /

dẫn tic'll PTSP an luyến tính ch i sò ị

Chứng minh chilli tv 2.1 qui vé kiểm Ira lính khong SLIV hiùii cua mil Irạn( ' n i l

A „ -I- ( Ạ , - T ÌÌ„ ) V „

ịQ * V 'Ị với r > 0 dù

) :

bé.

Định lý 2.2. J}hn'(fin> pháp E uier hiện úp (lụitíỊ <ltt> hài tpán f>icĩ trị htui ilàn liị i với

m

r-Đ S tun lính ch ỉ số ì là hội III.
Tiếp theo la quan tàm đến bài loán biên hai (liếm cho ỉy[ V I ’-ĐS (2.1). tức là lìm

nghiệm của IM V P -Đ S (2.1 ) tlio ả mãn d ie II k ic ii h iõii

I C r >■{ !') Im ng

dó

] lộ lờ i rac

•) f \ R " ' , ( \ u C t

lu ơ n g ỨHị>
A „.I

€

lit c á c

v e c tơ và

'ĩ~■'

).
m a lậ m ch o m ine .

k h i áp tỉỊ111Ịi c ó n g thức lũ ile ! h ten IÌI
„ , 1-

( A „ ■- T Ỉ Ỉ u ) . r „

I

T<1„

[n -

(),

N

i)

2 .

I


7
Như đã biết, hài toán biên hai diêm (2.1), (2.3) giải được duy níúU với mọi
C iJ j R ’" ) và 7 6 Im (C u ,C y ) nếu và chỉ nếu ma trận bắn D ■- Í.'()A'(/(|) I (
thoả mãn các tính chất

<1

7 ■A’ (7')

IiruD = I m ( f ' 0 , C 'r)

Ker£> = K ei\4 (/.());

^

2(y

lio n g dó X ( l ) là ma HỘI! nghiệm cơ him của hệ
A { t ) X ' -I 11(1.)X -

P ( t 0) ( X ( t 0) ~ ỉ )

0;

0.

Trong k lii tló llieo [4], bài toán rời IỊIC (2.4). (2.5) giải dược tkiV nliAI khi và chi khi

d im (K e r(/)(T ), C’i Ọ/v- I )) — 1 1 1 ,
trong dó

D (t )

-

còn M Ỉ , " \ ( t )
/],. i ( t ) : - ỉ

C nX n {T )

I ( V-Vyv(^), Ã '„ ( r ) -

1 i;:=ỘC7;; •, k( r ) l ỉ „
\ '„

1v

A . , , À ' w( r ) :

(n -

, ,(r)

2.7
ỉ \ ,/1/':V' , ( r }

Ũ V Ị;/I„(r)

j Q „ C n ' ( r ) / ? „ ( r ) và C „ ( t )

A „ I (A „

ĩ /ỉ,,;

,t„

rli„)\'n

Có nhiều ví dụ chứng tỏ diếu kiện (2.fi) khơng suy ra điểu kiện (2.7), nói cách khííc
bài lốn biêu hai clicm cho PTVP-ĐS có thể giải dược cliiv nliíil nhm iịi hài lốn lịi
rạc lương ứng lại vỏ nghiệm hoặc võ số nghiệm. Để khắc phục lình Irạ iiịi I1ÌIV, la XĨI
bài tốn m ớ rộng gồm các phương tlình (2.4), (2.5) và hệ thức
/ l/ v r /v II ■" ỉ 3w { t ):i /V I Í//V.

Ta nói bài lốn hiên

111Ở

'2.H

rộng (2.41. (2,5). (2.8) giải cliiực duy nhài llicn X ! I thànli

phíỉii drill, nêu với mọi dãy vcclơ {r/„};T 0 Vil va: lơ -)
Im (r >
nghiệm i
Hơn nữa N I 1 thành pliiin drill
là xác ilịn li duy I l l i c i t .

nghĩa là nếu { ■ „ , , } » " là nghiệm khác của (2.4), (2.5), (2.8) ihì :/■„ - Ị/„
(n
(), Ã').
Đãt D ( t ) :

(n -

f ’[,A '„ ( r ) I C r X N ( j ), trong dó X ( , ( r ) :r= / \ j; , Y „ ( r )

l , N ) CÒM M„ -

p„

, - TỈ \ ,Ỡ „ ' B,

( n - 0, N - 1 ) .

I/U „
/ ’„ :

/

,

\

,ợ <

Tương lự như hài toán biên hai điểm cho Pỉ VP-ĐS, ta có
Định lý 2.3.

llitìnlt p h ầ n

Bài tốn m ờ rộ/ìíỊ (2.4), (2.5), ị 2.8) g iả i (lược duy nhất ihco /V I 1

(h iu k h i

rờ

(lu

khi ma

Hận

hắn

K e i\D ( r ) = K e r/l(7 o );

ỉ

) ( t )

ih o ti m ã n

l m / J ( r ) --

lá í

thru

kiện

sau

V)

Kêì C|ná chính cùa mục này cỏ thê phát hiếu như sau.
Định lý 2.4.

( ỉ i á .sii h à i t o á n

birn

hai diem

vế phải r/ 6 C'(./, R m ) vtì -) F lm(C
ii Với
A; I I

r

0

, ( V)

( 2 . 1 ì, ( 2 . 3 ) ỉ i i ì i i t l i í ự c ( l u v I i l h i ì V ò I m o i

Khi

- 0 (hí nhò, b à i m án Itìó' rộn.i> (2 .4 ì.

thành /i/ith i thin

ii/ 1’h ư ơ iiịị p h á p I'lt lc i' l i i i ’ii liộ i lụ, tức là

(2.1S) íịìtu ihíCi

9

Un := a J i n G - ' l l + 0n\\VnV ^ Q „ G - l \\ < 1,

:ỉ (i

thì b ài tốn Cauchy ( .ỉ.Iị, (3.3) tỊÍải dược duy nhát.
Kết luận của định lý 3.1 cịn đúng, nếu (hay vì điều kiện (3.ÍĨ) ta ỊỊĨii Ihièl
In 1 •— ■(
V.T,;/ e R " ',v à

ơy

n m x {n ri||PnG - l ||,/?„||K,V;;i+ ,Ọ n G '-, ||} < u »

2

0

).

Trong ihực lế, biết /().T0 -- / ’ I :/•(), la di tìm 11,1 — l\)X ị và
ợ ]./■„. Nói chung,
biốl II.,,
ị , ta sỗ lìm />„ VÌ1 7/„.| I II- Nhu vậy liẽn mỏi
bước, la mắc licii loại sai số: sai số các dữ liệu (do u „ línti clirực [!ần (lúng ớ Iniớc
Irước) và sai sỏ lính lốn khi lìm v„ VÌI Í/,M |. Đ ịnh lý sau d;ìy chim h;io (!c (Illicit Idán
xấp xí cho la kết quá dáng tin cây.
Định lý 3.2. ( lid sử PTSP (ill (3.2) có chỉ sỏ / , CỊIÌ hàm sị liitiíi lìiiĩii (ỉicn k iậ ì
(3.4),(3.5). Hơn nữa, í>iả sử các diêu kiện sau được Iìi>liiệm dim Ị ’
i/ M a trận J - l ’„ v ^ . | ợ „ ( 7 „ 1/ j „ bị chận dền, tức là
l|/ - V „ V Ị v iQ „ G - ' ĩ ì n II < c

iiỉ C hiidiì (lia ma trận

1Ỉ3„ bị chặn tiền h(ỉi liằnạ \ÍI n liii lum I ,
II I »(',) 1ftn II ^ c5[) < 1

iii / Các liệ sơ' f í T1,/?„ đủ

nhó Síio clio
- n ị, \ \ v „ v ; Ị '+ i Q „ G - x\ \ ^ u j <

I,

(1 — lơ) 1I I I I (bin' ll 'I C ịỉ „ ) ^ í | < 1 — A(). \'ủ

(1 —Lư) 1II\ V'h I Q1,Cn 1||(rV>u + O V) ^ ( \ ■
K h i (tó cho lì trớr sai sơ ( > 0,
lập

đ ê

tìm

{ 7 „ } ( ? í 5? 0 )

s a o

c h o

l à H Ị Ị l i i c m (IÚIH> ( l í d h à i t o á n C

ciik

la có llìê thự< lìicn một số hữu liợn cóc hunt
||J „ — .r „ II <

f(iI

>

0 ),

im iìf>

(ló

} in

>-

0)

Ii ỵ ( 3 . 1 ) , ( 3 . 3 ) .

Rây g iờ la chuyển sang trường hợp lổng quát hơn khi phần chính tuyến lính (3.2)
ỉà lựa chi sị' I. Sứ (lụng định

lý điểm bấl clộna Brouwer, chúng la sẽ lliiê l lập lính

giíii dIIơc ciìii hìii lín CíUicliy (3.1), (3.3).
Định lý 3.3.
r„

[n

> 0).

( ì n i . \ ừ p l n i ' o ' Uf i II ì n h

I'ic p th e o , lià n t SƠ

( 3 . 2 ) lí) t ự a ( l u

/,)(//,-'■)

,\ò

I . Ill'll m i l l

hhn> IHit'mil
I I /„ ÍÍ , C ) I | <

v n i Ml '

ì „

,I

th o r i HKĨH ( / it 'l l h 'O i ( i . - l l \ () t h r u k i r n

I M c ir

I '


10

trtìH Ịịd ó a „, bn , (■„, ưn,
T r o n g tr ư ờ n g h ợ p , f l „ -

ỉ

là các hằHiị sô'không ủm và, ()„ :
la ỊỊÍCỈ ìh iế t th ê m r ằ n iỊ

ịn „

I

I im . r ịi ',,, /(,,} V 1.
'II ■ I.

K h i (lõ b à i

tốn Cauchy (3.1), (J.J) có nghiệm.

§4.

Về sự hội tụ và ổn định của phép lặp ẩn

Trong mục này chúng tôi trình bày một số kết quá về sự hội lụ lồn cục cũa các
lỊiiá Irình lặp ẩn

X-ỊỊ

ỉ

( ./ TỊ , X /I I ) y

ỉ. ]

tới tập nghiêm cùa phương trình

X — T (:r, r ) .

1.2

Xél phương trình tốn tử (4.2), trong đó T : X XX —> X làtốn lử khơng
luyến tính và { X , d ) là không gian metric.

Định nghĩa

4 .1 . D ã y

{:/■„}, n ^ {)

i>ọi l à i / n ỹ d ạ o c h ấ p I i h ậ n (ỈIÍỢC c ú a

n liíil lliiê l

(-4 ! ) M i d i p h d l

lử a G X liế n :í'n -- (V và
thoa’ mãn p illio n ạ trình (4.1) với m ọi II . l ập í lít (Ịttỹ
dạo nhu' vậy (tược kỷ hiện là ./(n ).
Giã sử với mồi c € X cố định, lẠp các nghiệm của phương (rình r '/'(;/■, í , ).
ký
hiệu là ICI, khác rỗng và giới nội. Tệp các Iigliiệm của plurơtig (lình (4.2) cũng giá
thiết là khác lỏng và được ký hiệu là F { T ) . M iển hội lụ cùa quá Irìn li lặp (4.1) (lược
xác định như sau:

C {T )

{n t X : 3 { í ,,} e J { ( \ ) j i ( ị x „ \ , F { T ) } -> 0, as II ->

trong đó ị1(A, l ĩ )
supr,e /lr/(a, D). với các tập giới nội .4, n c X .
Định nghĩa 4.2. Quá lì ình lập (4,1) Itội lụ toàn (lie , liến c ự r )
X . Quá trình này

l() h ộ i III <Jịa p h n 'o iii’ . lic it 3c > 0 : F, - {.r E X : d { : r , F { T ) ) ■- < Ị c ( ' { ' ! ) .
Định nghĩa 4.3. Qttá H ình (4.1) là ơn (linh ilơ ì vói xâp .xi han \ n rit

Vf > 0 3Ỗ = ỗ{f,:!•") > 0 : y.r €
V {.r„ } G ./(.7°), V {//„} e ./(./■)
Định

/ỉ(Ị:r„Ị; Ị.VmI) <

f: V/ỉ.

1.

nghĩa 4.4. Quá liỉ iì lì (4 .ì ) là lựa ơìì (lịììli d ơi với xãp x ỉ han (ÌUIÍ ./■" (- A
vv

- 0 -Ifl

í ( f , . r (l) > 0 : v.r c- n ( . r '\ , ỉ ) ,

V ị ! / , , } e ./(.<■), VAr > 0 3 /I ^ / / ( ( , {;/■„}, {.//„}) ặ N

Ọiìíi (rìnli (2.1) là
xílp xí han ctíìn r n

011

licit

- >

/í(|.r„ |. |//„| >

<

clịnli (tựa ổn (tịnh) nếu I1Ó ổn d ịn li (lựa ổn định) (loi vói moi
V.

Định lý 4 .1 . ( ! i ( i s ử q u á n ì ỉ i h ( 2 . 1 ) l à ô n ( t i n h i r o n g k h ô n g g i a n m c h t t h e n i h o i ì ị i
(A' (!) ì i o ậ i lự<i ò n t l ị n l i I r o i i í ỉ k l ì ô n x f>i<m m e t r i c l i e n ihơiì'i> ( I i r ứ n x ị . x . i l ) . K i l l (l ó
phép lặp (ill (2.1) lìội III lồn cục khi và ch i kh i nó hội III (lid phtinux
Định lý 4 .2 . ( ' h o t o á n 111 T : X X X - 4 ) . I r m i ạ ( l ó X v à } li) ( á i kli f' nii’ iỊÌtm
Iỉơ ik h I i , U k Í vi lic it IIK tlico biên lliứ Itlnĩì IIODỊỊ X và lirn lụt l.iỊìst lìil then h if ii


llìử h ai trong hình cán m ở Ì3{{), /?). Hơn nữa, giả sứ V.T € X V// e. /ỉ((>. /?)
IITX'/:,//) - 7 ’(.r, ỷ)|| ^ Lịl.y - ỹ||, iro n y đỏ D ịT là đạo hàm F r c d ic l í ú a T llir o
biên tltứ nluĩl. Tiếp theo, ÍỊÌỎ xử lập ( ức điểm bất dộnịị F ( l ') lừ k liị iìi’ in itỊì \ù

F ( T ) c ỈJ ((ì,r), IIon g dó V < R /2 . N ếii

7

L < 1 thì q trình lặp (4.1) là hồn

lồn xác dinh vờ hội tụ địa phtỉơng.
Trong cơng trình [8 ]. chúng tơi đã xây dựng một sơ' ví dụ về các quá Ilìn h lặp
ẩn ổn định, tựa ổn dịnh và hội lụ địa phương.

§5.

Về phương trình sai phan íín phi tuyến chỉ sỏ' I

Trong hài |9 |, cluing tỏi (tể xuftt khái niệm chỉ số cho phương trình s;ii plúin fill
phi luyến VỈI đ iứ ng minh mội sô clịni) lý tồn tại duy Iiliâì nghiệm cho bìii loan giá
trị han (lilti đui với phương liìn h Siù phan ÍỈI1 phi tuyến chỉ sô I. Ciiii sú A,, VỈI N,i
là hai khơn g gian con ciia K " ' có cùng số d iic u III

/(I

< r ■ III

I). ( io i ợ ,,

là hai phcp th iế u bâì kỳ lên N „ và Nự tương úng. K hi (ló. la có khai Iriển

và

Q n - V nQ V „ 1 và Q ịị = V pQ V ịị

Irong dó Q ■--- d ia g (r

'la Xíìy dựng lốn lử Hỏi hai không gian con N n và N:j (gọi lắt là loán lử nối)
QnH - K Q V ,, '■ Đễ Ihíìy:
Qn/I - Q n Q itịi - Q n /iQ li —

1“

K> l

1Q ,v.

X él phương Hình sai phân ẩn tuyến tính:

A nx n + 1 f B „:r„ ■= 7 „,
trong đó A , „ B „ €

(n > 0).

(ru )

e K " ’ là các dữ liệu đã cho. Giả sú rank/!,, = r ị 1 < r <

m — 1) với mọi V > 0. Gọi Q „ là một loán tử chiếu lên Kcr/1,,,
triể n Q „ V „Q Y U \ (u Ị> 0). Để xác ctịnli la c1ặt A

VỊ). N lui vậy toán (ừ nối Q „ - \ „ : - V’„

và r _ i
mọi

11

I

Aị )\ Q

1

ọ ,, vn xcl k liiii

I :Qị ũ / ’

[ :

/

0

1 hồn lồn xácíliiili cho

> 0.

Lemma 5.1 M (t H ận c „ :-= A „ ^ I3 „Q n - ị „ khôiiỊi suy biên khi vù c h i khi

s „ n Kcr,4„..i = {()},
lro/n> dó, ftln x nhít iritử n t’ hop l yr \ r~l>s,

s„

( r..2)

{ í 6 IR’" : l i n i

Im .l,, Ị.

Hệ quả 5.2. T ilth Uit'>ni> suy hiến cùa (!,, klỉõ iìí’ pìuỊ tluiọc vàn ( th li rlìo n hxín tứ
nị i,
(!„

lức
:

là

/ 1„

urn
I

(),,

I,,

:

/ í „ ợ „

] „

và (ì,,

\

I

Q V „
:

/ 1„

1 UI
I

H „< ỉ„

\ ’n
ị,„

1 ilti

x i

l ù (!<">}’ t h ờ i s u y h i n t

hot

III'I

linth

"liu

klinnự

suy hiến.
Hệ quả 5.2 cho phép chúng la dua m khái niệm chỉ số sau tlâv cho pluionu liì iili sai
pliAn án. hồn lồn tương tự nhu khái niệm chi sò cho l yI V IM )S :
Định nghĩa

5.1. PTSP ân (5.1) có c h i sò I licit với mọi II ^ 0


12

u rank Ạ , — r
m G „ := A „ + D nQ „. J „

không suy biển.

Sự khác biệt lớn Iiliâì giữa PTVT-ĐS và lr rs p ẩn là ử chỗ clũim ma tlận {. !( /) . /? (/)}
Irong trường hợp P rV P -Đ S luôn có chỉ số 1, trong khi dó chùm Ilia tlận { .
lỉ„ \
(rong Iruờng hợp PTSP án không nhất thiết có chỉ số I. Chính điều này làm cho k
quả vể IT S P ẩn có vẻ ngồi khơng giống những kết quả lưưng ứng Irong IT V P -Đ S .
1
^ 0). Bằng một kỹ tliuậl phân lã. ta có lliẽ dưa
Đặl u „
PTSP Án (5.1) về hệ phương Irìn li sai phân Ihường và mội làng bu óc (hũ so :

ll„ I I I I l ỉ n 11II
'V - K i . I

I ’n(ì li* <h>,

(r>•’ )

'( Q n<ỉn '< b , - Q nG ^ I Ì nu n)

(r,.i)

Từ day,
+ vn = (J — Q „

•Ỉ:T1 —

13„)ìi.„ + Q n-

lf/"

( r*-r>)

Như vây, bài tốn giá trị ban đầu: Tìm nghiệm cùa.PTSP ẩn chỉ số I (5.1) Ihoii diều
kiện đầu:

PqTd = p„

(r,.{ i)

là giái dược duy nhai.
Xcl l)Ọ IT S I’ íỉn phi luyến:

/„(■<■„ n ,:r„) - (),(■/» ỉ> 0).

(r,.7)

trong dó f „ :— > IR'" là những hàm -veciơ dã clio.
Định nghĩa 5.2. PTSP (5.7) có chỉ sổ ì nếu:
i l Hàm sị' /’„ khá vị liên tục, lĩơn nữa

K c r^ ệ 1(?y,.r) — A?„ ,d im À r„ — n i~ r , \ / i ) 'ỹ 0, V / / , ;X G R " \ trong tló ]

ii/ M a trận G „
à cỉâv

con

N

—

7^'

/v „;

V

\ ‘\ ù Q . . \

< 111

I.

(?; ặ 0), k lw itfi MIỴ h im ,

(?/, :r) +
I —

r

-■ Q ị ị \

còn

Q „ - ị „ là íc á n

n ì n ị i h a i khòiỊỊ.ỉ

iịian

N „ _ ị,N n.

Đê liệu phát biểu các kêì qua liếp theo, ta giả llìiố t cluiẩn Irong p.’” là F.uclicf.
Định lý 5.3. Giá sử phương trình (5.7) có chỉ sơ I, Hon nũiĩ. ỳ à sử lằnỊ>
I

K

'

„

^

tro lly (ló ( \ „ j ị , ỉ? 0 , >
phif<m\> t r ì n h

(5 .7 )

-I / i l k l l -t T n < E

0 là

th o ii (Hờn k iệ n

vác hằììỊ> srì.
(5 .6 ) là

\> iái

Định lý 5.4. ( tia sữ
./•) — //„(//, .r) I h , r )
il Ị/„(//,./') khá vi hen tục. hon nữa

l m;V // ;> I),

K h i dó hủi tốn lìm ni>liicntr nc iiii
c liiự c l i n y

i i Ih ì i .

tìmả niiĩn các ỉìtru kiện

K c r— - ( / / , . r) — Ar„;c iim /V „ •- m - r, Vn > 0; V:r, Ịị <- ỈỈJ:’"
i)ìj
■


!3
ii/ G n{ ỵ , x ) = ^ { y , x ) + ^ ( y , : i : ) Q , ( n

\\Gn ' ( y , x ) \ \

< 7 t,, Vn z (),Vt/,.r e R

> 0), có /ỉ^/í/c/í dáo g iớ i nịi. tức lù

.

iiiỉ h n(y, x ) -■ h „ { P „ y , .■/.■), Vtỉ ỉ? (),V //,;r e R " ’
/ r / ||/i„(ĩ/,.i:) - /)„(?;, Ẽ)II ^ L„(||?y - y ||2 + ||.T - x ||2) 1/a; Vn ^ 0, V//, r , //, ./■ ẹ Hỉ"’ .
K h i đó, nếu 7 „ L u < 1/ \/2 , Vn ^ 0, //?/ hài toán Cauchy (5.7), (5.6) có nghiệm tlny
nhá).
Hệ quả 5.5 G iả SỪ f „ { y , '■!'■) — A „ y I- D „:r t h ,,( y ,r ) với
h „ : R " ’ X R "' — > R ’1' tlioci mãn các dỉều kiện san:

A „. I ì „ c IF'"'’ " ’ vờ

iỉ ra n k/l,, = r, còn ma trận G „ - A „ I B „ Q I, i „ khơìiỊ’ suy h irii vứi m ọi II
(lây Q „ I „ lờ toán tử nối K c r/t„ j rà K e i/I,, , A . I
/1().
iiỉ
khá vi lir a lục, ho’n Iiilti

■ 0, ờ

K e r /l„ c Ke i Ạ"( i i , r).v.'» -ĩ () ,V f/,r t= Iff'".

II/i,.(//,./■)

K h i (ló nếu
§6.

M / / - Í:)ll ^ ^ Á \\v ■■ //II2 I II-'1 - . r | H l/-’ ;V7i ^ l),V í/, ./•,//, .r r IF:’".
'II < l/ v / 2 , thì bài tốn C aitclix (5.7),(5.6) ịịiá i thi'o’1 tliiv nhai

c ’ạI> liOn hợp của hai phương trìiili vi phan dại số

Xct 1TVP-Đ S luyến lính lluián Iiliấl

A {D :v)

\ B .r ^ 0

( f l. ll

và phương trình liên hợp của nó

ir ( A 'r )

I IV .r - 0

((. :M

với các hệ sỏ u i lương lin'd). Cìiii sử các phương trình ((í. I )-(6.2) 111 kIKI hÌLH U ia cliibk')
với chỉ sô không quá 2. Trong hài [ 171. các tác giả dã thiết lập điều kiện dè những
phương liin h vi phân tliira kê f 1nhcrcnl ODEs) cùa (6.1). (6.2) là liên hợp. liế p llico.
CÍÍC lác giá dã mù tà ciíc cặp cơ sớ trong khơng gian hâl hiến. Irong (ỉó các phươni!
trình vi phân CƠI lõi (Essentially unde!lying ODEs) cùa cặp liên hop 2 IT V P -Đ S
(6.1), (6.2) là liên hợp llieo nghía thơng thng. Đ ịị với một lớp các hài lốn lu liên

hợp hì nil Ihúc, các lác giá tlã \;íc ilịn li những diều kiện bièn cho hài tdíín bicn lu
liên tiợp (lối với lie Ila m illo n ia n CỐI lõi.

Iị 7.

Kc( liiiỊn.

l r r V [ ’ - f ) S \'á I ’ I SI’ All XLUÌI l i i ê i i l i o i m n l i i c i i \ All do tflire lõ. I l u ll k I ĩ (>I I !_! c h ín h L u;i

các hài lốn bicn clio PI V p-D S \ à I ’TS I’ â11 là ihácii thức lớn clcuiụ ilin i là dón<_! Iu<
lliiic (l;ì\ ciíc nhà khon hoc lap Im n o n u 11 i I -] 1 (.1111. D c liii O T - í) í- í P (t;i Iliu m (lutK m ill
s ố kôl q u á \ v liiíu k í n h o i l clịn h n ì a ho 111tic II k i (lị ( ;í(

p'| V I ’ l> s . ú

k l i í i i ÌIÌCIII c ;ip


M
liôn liự p hai r i ' V I ’ -DS, VC IT S I’ iỉn lựa luyến lín h và chí sỏ cùa r i s i ’ ;'in phi Iu y c ii.

vể mối liên hệ giữa PTVP-ĐS VÌ1 PTSI’ Án cíing nhu về sự rill dị nil và hơi lu ciìii phóp
lặp íín. Các kết q này giúp chúng ta hiểu sAu hơn VC PTVIMXS . KI SI’ ;in VÌI moi
lien l)Ọ qua lại cúII chúng. Nlùcu kêl t|Uii cùa tie tài này CỊM có the liq i lục pli;il liic n .
Nhóm nghiên cứu của dề tài đã nhạn được các kết quá mới VC han kính (in (lịiili cùa
hơ khơng dừng, cúa hệ có chậm. Đã lliu (lược một số kcl quá bail dâu vồ phương
trình sai phan ẩn nhạn được từ việc l ời rạc hóa phương Irình vi phân thio hà 111 riêng
-đại số (Partial D ifTcrential-A lgebiaic Eijuations-PDARs).
Các kèì q chính cùa dề tài dã dược trình bày trong 6 hài báo khoa học. } hài
đã dược đãng và nhạn đãng trong các lạp chí quốc lế (Systems and Control Lellcrs.

Advances in Difference Equations, A pplied Numerical Melhods) 3 bài (lược (lfm« Iren
2 lạp chí Tốn học hàng đẩu của V iệl Nam (A cla Math. V iel. VÌI Vietnam I. M a lli).
Các kết quả liê n đểu (lược lliố n g kê Hong M athem atical R eview s và tlê n M iilh S e iN e l.


15

Phẩn III

T à i liệu tham kìưìo
!. R. p. Agarw al, Difference equations and inequalities. Theory, liu ’ihixls, Iiin l
applications., Marcel Dekker Ins. ,2000
2. P. K. 'Anh, M u ltip o in t boundary-value nroblcms for transferable c lillc rc iitia l algebraic equations. I - Linear case. Vietnam J. M ath. 25(4) (1997) 347 - 358.
3. P. K. A n il. M u ltip o in t boundary-value problems for transferable (tiN crcnlial algebraic equations. IĨ - Quasilinear case. Vietnam J. M ath. 26(4) ( l c)98) 337 - .^49.
4. P. K . A n il and L. c . L o i, O n m u ltip o in t boundary-value pi'ohlem s lo r liiic .il'

im p lic it noil-autonomous systems o f difference equations, Vietnam
(2001) 281-286.

M dih. 2() (3)

5. P. K . A n h and N. V. N g lii, O il lin e a r regular M PB VPs fo r l) A ! 's . 1 K 'lih u ii .1

Math. 28(2) (2000) 183 -188.
6. P. K . A n il, N. II. Du and L. c . L n i, C onnections between im p liiil (lilĨL-iriR X'
equations and cli(ÍC lcntiai - algebraic equations. A d d M a tli. Viet.

2(X 1)(2 0 (M p 3 -6 y .

7. I’ K. A n h , II. T. N. Yen and T. Ọ. Bi nil. O il quasi linear im p lic il ( lillc tv iK c

equations, Vietnam ./. M a ilt. 32(1) (2004) 75-85.
8. I’.K. Anh and T.Ọ. B ilili, S lahitily and convergence o f im p licit iteration processes.

Vietnam ./. M ath. 32(4) (2004) 467-473.
9. P. K . A n il and H. T. N. Yen , On (lie s o lv a b ility (>r iiiilia l-v n h ic problem s

loi

nonlinear im p licit difference equations, Advances ill Difference I'.f/Itaiioiis 2004:3
(2004) 195-200.
10. K. li. Brcium, s. L. Campbell and L. R. Pelzold, N u m erical solution <>j !\ Ts

ill DAEs,

North Holland, New York. Amsterdam. London, 1989.

11. V. D ragitn. The a s y n ilo lic behavior o f the s ta b ility radius fo r ;i s in g u la rly

perturbed lineal syslcm, hit. J. Rcbnsl Nnnl. Contr.

8 (19()8) 817 - X2<).

12. N. II. Dll, D. T. Lien, and V. II. L in li, On complex stability radii Ini im p lic il
discrete lim e systems, Vietnam ./. M a ilt. 31(4) (2003) 475-488.
13. N. II. Du and V II. L ilih , Im p lic it - system approach to the lo lx is i s ia h ilily I
a chiss o f singularly pci (111 bed linear systems, Systems and C o n tro l /.r//f7 v54(2()(l I )
33-41.
14. E. Ciiiepentiog, R. Mar?., DAEs am i llie ir num erical Iictiim e n i. I'cuhncr Tc\

ta il M iiilic n iiin l iSVV. le u liner, Leipzig. l l)H6.
15. I). I lim it hscn, A. I. Pi i Ic hard. Si a hi lily
radiiol lin ciii systems. S w h in s

C o n tro l I.('tiers. 7 (l9 8 fi). 4 - 10.
16. L. c . Loi. N. II. Du and p. K. A n il. O il linear im p lic it non-iuiiniiom ous svsk-ins
o f clifTei’ence ecjuatioiis. ./ D iffcrcn. /•>/. Appì X (5) (2002) 10X5-1105.
17. K . Balia. V I I .

LJnli, A d jo in t pairs of (lirfe re n tia l-a liz e h n iic ec|u;ilions and

Ham iltonian systems, accepted lo r publication in A pplied Niufi( i i( ( il M u llit Iiitilit s


MẢ SỐ: QT 03-02

Hà Nội, ngày 18 tháng 12 năm 2004

BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC
HIỆN
ĐỂ TÀI NCKH
•
■
CẤP ĐẠI HỌC QUỐC GIA 2003-2004

1. Tên để tài (hoặc dự án):
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN-ĐẠI SỐ V À PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÁN Ẩ n
(D iffe re n tia l-A lg e b ra ic E q u a tio n s a n d Im p lic it D iffe re n c e E q u a tio n s )

2. Mã số:

QT 03-02

3. Cơ quan chủ tri để tài (hoặc dự án):
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội
4. Số cán bộ tham gia
Tên các cán bộ phối hợp nghiên cứu:
•
•

PG S TS
TS

N g ũ y ễ n Hữu DƯ
V ũ H o à n g L inh

•

T h S Lê C ô n g Lợi, T h S Đ à o T h ị L iê n , T h S N g u y ễ n V ă n M in h ,

•

T h S T rầ n Q u ố c B ình, T h S N g u yễ n V ă n N ghi.

•

N C S Hà T h ị N g ọ c Y ế n , H V C H N g u y ễ n T ru n g Hiếu.

5. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
•

Tính bán kính ổn định phức của hệ nhiễu kỳ dị. Chứng tỏ rằng giới hạn của
bán kính ổn định phức của hệ này khi tham số bé dần tới không !à giá trị nhỏ
nhất giữa bán kính ổn định của hệ thu gọn các "biến chậm " và bán kính ổn
định của hệ các lớp biên "nhanh".

•

Thiết lập sự tương thích giữa khái niệm chỉ số của PTVP-ĐS và PTSP ẩn thu
được từ việc rời rạc hóa PTVP-ĐS nói trên bằng sơ đổ Euler. Chứng minh SƯ
hội tụ nghiệm của bài toán Cauchy và bài toán biên nhiểu điểm của PTSP ẩn
tới nghiệm của các bài toán tương ứng cho PTVP-ĐS khi bước lưới dẩn tới
khơng.

•

Sử dụng ngun lý điểm bất động Banach và Schauder, thiết lâp tính giải
đươc và giải được duy nhấỉ của bài tốn Cauchy cho PTSP ẩn tựa tun tính
với phẩn chinh tuyến tính nó chỉ sổ I hoặc tựa chỉ sơ I

•

Nghiên cứu tính ổn định và sụ hội tụ của phép lặp ẩn. Đã chứng tỏ rằng nêu
phép ỉặp ẩn ổn định (tựa ổn định) trong không gian metric liên thông (lién


thòng đường) thl từ sự hội tụ địa phương suy ra sự hội lụ toàn cục. Một đieu
kiện đủ để phép lặp ẩn hội tụ địa phương đã được thiết lập
•

Đưa ra khái niệm chỉ số cho phương trinh sai

phân ẩn phi tuyến. Thiẻp

tính giải được của bài tốn giá trị ban đầu cho phương trinh sai phản ãn phi
tuyến chỉ số 1 Kết quả này mở rộng các kết quả tương ứng đã biết cùa p K
Anh, N.H. DƯ, L.c. Lợi.
•

Nghiên cứu phương trinh vi phân

đại số tuỵẽn tinh thuàn nhát c.lii so khonq

quá 2. Đưa ra khái niệm phương trinh vi phân đại số lién hơp. C luing Ininh
rằng các phương trinh vi phân thừa kế (inherent ODEs) vã phương trình VI
phản cốt lồi (underlying ODEs) của một cặp liên hợp hai phương trinh vi phan
đại số là liên hợp theo nghĩa thông thường.
6. Các kết quả đạt dược:
Vể N C K H
Đã hoàn thành 6 bài báo khoa học, trong đó có 3 bài được đăng hoặc nhản dãny tií?n
các tạp chí quốc tế, 3 bài đăng trên tạp chí quốc gia:
•

01 bài báo ( Systems & Control Letters, 2005, V.54, 33-41) về sư ổn dinh tiêm
cận vả bán kính ổn định của hệ nhiễu kì dị của PTVP-ĐS.

•

01 bài báo (Acta Mathematica Vietnamica, 2004, V ol.29, N 1. pp. 23-39) vế múi

•

01 bài báo { Vietnam Journal of Mathematics. 2004, Vol. 32, N.1, pp. 75-85) ve

liên hệ giữa PTVP-ĐS và PTSP ẩn.
PTSP ẩn tưa tuyến tính.
•

01 bài báo ( Vietnam Journal of Mathematics, 2004, Vol 32, N 4, 1-7) vê sư on
định và hội tụ của phép lăp ẩn.

•

01 bài báo (Advances in Difference Equations, 2004, N 3, 195-200) vẻ phương
trinh sai phân ẩn phi tuyến chỉ số 1.

•

01 bài báo (Applied Numerical Methods) về khái niệm cặp liên hợp các phuơng
trình vi phân đại sơ.

v ể Đào tạo
Có 03 NCS (rực tiếp tham gia nghiên cứu nhứng vấn đề của Đé tai OT 03-02 Tronq
đó NCS Lê Công Lơi đã bảo vệ thành cõng luân án tiến sĩ với đề tài
phân ẩn tuyến tính khơng dừng chỉ sổ 1

Phương trình

NCS Trần Quốc Binh đá homt thanh luan ;in

"Phép lặp ẩn va điểm bât động của ánh xạ hai nhóm biến" Víi fJ.] báo cao két q liKin
án tại Sominoi cú:] Bỏ mơn Giải tích thuộc Khoa Toán-Cơ-Tin hoc. TniiJny D H K IIIN .
ĐHQGHN
7. T in h h in h kỉnh tê của để tài:
Năm 2003
a) Số tiến được cấp:

15000.OOOđ

b) Tình hình chi tiêu
•

Vât tư văn phịng:

283.000đ

•

Thơng tin liên lac:

234 OOOđ

•

Hội nghi:

•

Th chun gia trong nước va hỗ trợ NCS

2 8 no OOOđ
9.600 OOOđ

1


•

Chỉ phí nghiệp vụ chun mơn của ngành:

•

Hỗ trợ đào tạo và NCKH:

1,633.000đ
450 OOOđ

Tổng cộng:

15.000.000d

Năm 2004
c)

Số tiền được cấp:

20.000.000đ

d) Tinh hình chi tiêu
Vật tư văn phịng:

1,500.000đ

Thơng tin liên lạc:

500.000Ơ

Hội nghị:

2.000.000đ

Cơng tác phí:

2.000.000đ

Thuê chuyên gia trong nước và hỗ trợ NCS

10.000.000d

Chi phí nghiệp vụ chun mơn của ngành:

2.400.OOOđ

Hỗ trợ đào tạo và NCKH:
Quản lý cấp cd sở:

Tổng cộng:

Xác nhận của Khoa Tốn-Cơ-Tin học

p ír i TS

800.000đ
800 OOOđ

-Đũ-Õ V a t D

20.000.000đ

Chủ nhiệm Đề tài

ÍỈS T S K II Phạm Kv A

ĩ
Xác nhận của T rư ờ n g ĐH K hoa h ọ c Tự nh iê n


R E P O R T O N P R O J E C T Q T -0 3 -0 2

I.
II.

T itle o f P roject: D iffe re n tia l-A lg e b ra ic E quations and Im p lic it
D iffe re n c e E quations
P ro je c t’ s code: Q T 03-02

II I.

Head o f Research G roup: P rof. DSc. Pham

K y Anh

IV . P articipants:
Assoc. Prof. N guyen H u ll D ll, D r. V u H oang L in li, M S c. Le C on g L o i,
M S c. D ao T h i L ie n , M S c. N guyen V an M in li, M S c. I ran Ọ uoc B in h ,
M S c. N gu ye n V an N g h i, BSc. Ha T ill N go c Y en, BSc. N guyen T rillin ,
H ieu.
V.
T arget and C ontents
The P roject studies the robust s ta b ility o f d iffe re n tia l-a lg e b ra ic equations
(D A E s ), the s o lv a b ility o f im p lic it d iffe re n ce equations (ID E s ), the
convergence and s ta b ility o f im p lic it ite ra tiv e processes, a c rite rio n fo r a
p a ir o f lin e a r hom ogeneous D A H s to be a d jo in t one. The m ain results of
this p ro je ct can he sum m arized as fo llo w s :
-

A fo rm u la lo r the co m p le x s ta b ility ratlins o f Í1 class o f s in g u la rly
perturbed systems o f lin e a r D A E s is obtained, ll is proved that w hen
the sm all param eter ill the leading term , w h ic h in general m ay he
degenerated, tends to zero, the s ta b ility radius fo r s in g u la rly perturbed
systems tends to the sm allest value o f the s ta b ility radius fo r the
“ reduced s lo w system s” and that fo r the “ fast boundary layer system ” .

-

The c o m p a tib ility o f the index n o tion s fo r lin e a r
ID E s

obtained

established.

-

The

via the d is c re tiza tio n
convergence

of

by

the

so lu tio n s

D A I'S and lh a l lo r
lu ile r

of

the

m ethod,

C auchy

is

and

m u ltip o in t b o u n d a ry-valu e problem s fo r ID E s to so lu tio n s o f the
co rresp o n d in g problem s fo r D A E s is revealed.
The s o lv a b ility
o f the C auchy pro ble m s fo r q u a s ilin e a r IDP.S,
in v o lv in g

index

I o r q im s i-in d c x

I

p rin c ip a l

lin e a r

pints,

is

established.
- The g lo b a l convergence o f lo c a lly co n verg e n t and stable (q uasistable) im p lic it iterations in connected (p a lh w is e -c o n n e cle d ) m e tric
spaces are obtained. A s u ffic ie n t c o n d itio n fo r the local convergence
o f im p lic it ite ra tion processes is also given.
-

A natural d e fin itio n o f index fo r a class o f n o n lin e a r ID I'S is proposed.
Some existence theorem s fo r in itia l-v a lu e

p roblem s

fo r

in d e x - !

n o n lin e a r ID ỈỈS are proved.
-

A c rite rio n en surin g the inherent O D iis and the u n d e rly in u ( ) l) [ - s ()l
th e p a ir 1)1'lin e a r h o m o iie n e o u s D A LỈS to be a d jo in t is e s ta b lis h e d .


VI.

Resum e o f main results.

a. Research a c tiv itie s : 3 papers have been published o r accepted fo r
p u b lic a tio n
papers

in

have

inte rna tio n al
been

na m ely, V ie tn a m

V ie tn a m ic a :

m athem atical

published

in

national

journals, w h ile

3 other

m athem atical

journals,

Journal o f M athem atics and A cta

M a th e m atics

•

N .M . Du and V .H . L in h , Im p lic it-s y s te m approach lo the robust lo r
a class o f s in g u la rly perturbed systems, System s & C o n tro l
L e tte rs, 54 (2 0 05 ), 33-41.

•

P.K. A n h , N .H . Du and L .c . L o i, C onnection between im p lic it
d iffe re n c e equations and d iffe re n tia l-a lg e b ra ic equations, A c ta
M a th e m a fic a V ie tn a m ìc a , 29( 1)(2 00 4 ), 23-39.

•

P.K. A n h , H .T .N . Yen and T .ọ . B in h , On q u a si-lin e a r im p lic it

V ie tn a m J o u r n a l o f M a th e m a tic s , 3 2 (1 )

d iffe re n c e equations,
(2 0 0 4 ), 75-85.
•

P.K . A n il and T.Q . B in h , S ta b ility and convergence o f im p lic it
ite ra tio n processes, V ie tn a m J o u r n o I o f M a th e m a tic s , 3 2 (4)
(2 0 0 4 ), 467-473.

•

P .K. A n il and H .T .N . Yen, On the s o lv a b ility o f in itia l-v a lu e
problem s

fo r

im p lic it

d iffe re n ce

equations.

A d va n ce s

in

D iffe re n c e E q u a tio n s , 3 (2 0 04 ), 195-200.
•

K . B a lia and V .H . L in h , A d jo in t pairs o f d iiT cre n lia l-a lg e b ra ic
equal ions

and

H a m ilto n ia n

systems,

to

appear

A p p lie d

in

N u n te ric a f M a th e m a tic s .
A ll papers are review ed by the A m e rica ! M a th e m atica l R e vie w and
M a th S c iN e t.
b. T ra in in g a c tiv itie s :
d ire c tio n

o f the

4

PhD.

Project

students

ỌT

03-02,

have
i.e.

been
on

w o rk in g

im p lic it

in

the

d iffe re n c e

equations, im p lic it iterations and the robust s ta b ility o f D A lis . 3 o f
them are fin a n c ia lly supported by Ihe P ro je ct. One P hD student has
siicce siL illy

defended

his thesis and

obtained

llic

d o cto r degree.

A n o th e r p h t). student has com pleted and subm itted his thesis. The
th ird PhD. student are co-a utho r o f 2 papers published ill n a tional and
in te rn a tio n a l jo u rn a ls .
Besides a sem inar on D A E s and ID E S supported by the P roject lias
atlm clecl m anv undergraduate, m aster and P hỉ), students.
V II.

Finance
The P ro ịccl w as lin n n c iiilly supported by llic V N l Ỉ I I w ith a to la l grant
o f 35 .0 0 0.00 0 V N D fo r 2 years. This sum was d c lix e rc d as fo llo w s :


Y e a r 2003
S upport fo r s c ie n tific research
C o m m u n ica tio n s

9 .6 0 0 .0 00 V N D
23 4.0 00 V N D

S u p po rt fo r sem inars and s c ie n tific a c tiv itie s

2 .800.000 V N D

B o o ks, p h o to co p ie d m aterials, U S B

1.633.000 V N D

S tationery and others

283.000 V N D

S upport fo r tra in in g & research a c tiv itie s

450.000 V N D

T o ta l

15.000.000 V N D

Y ear 2004
Support fo r s c ie n tific research
C o m m u n ica tio n s

10.000.000 V N D
500.000 V N D

S upport fo r sem inars and s c ie n tific a c tiv itie s

2.000.000 V N Ỉ)

Books, photocopied m aterials, U S B

2.400.000 V N D

S tationery and others
S upport fo r tra in in g & research a c tiv itie s

1.500.000 V N D
800.000 V N D

Transport, accom odations

2.000.000 V N D

A d m in is ta tiv e w orks
T otal
H anoi, D ecem ber, 12, 2004
Head o f Project

Prof. DSc. PI 1Ỉ1in K y A n il

800.000 V N D
2 0 .000.000 V N D

TĨM TẮT CÁC CƠNG TRÌNH NGHIÊN c ứ u KHOA HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỂ TÀI QT 03-02

Ngành: Toán học;

Chuyên ngành Toán học úng dụng

1. Tên bải báo: Phương pháp tiếp cận hệ ẩn tới tính ổn định vững cho một lứp các hệ
tuyến tính nhiễu kỳ dị.
2. Họ vả tên cá c tá c giả của c ô n g trin h : Nguyễn Hữu Dư và Vũ Hoàng Linh
3. Năm xu ấ t bản: 2005, V. 54, 33-41.

4. Tên tạp chí: Systems & Control Letters
5. Tóm tắ t c ô n g trin h b ằn g tiê n g V iệ t: 1 rong bài báo này SƯ ổn đinh tiệm cán va bati
kính ổn định phức của hệ nhiễu kỳ dị các phương trình vi phân đại số đá dược kháo sát
Đã chứng lỏ rằng giới hạn của bán kinh ổn định cho hệ nhiễu ky dị ấn, khi tlicim sị trony
số hạng cả tiến tới khơng, bằng giá trị nhỏ nhất giữa bán kính ổn định cùa ho thu yon
các biến "chậm" và bán kính ổn định của hệ các lớp biên "nhanh ..
6. Tiếng Anh
+ Title: Implicit-System Approach to the Robust stability for a Class of Singularly
Perturbed Systems.
+ Journal: S yste m s Ẵ C o n tro l L e tte rs, 54 (2005), 33-41.
+ Summary: In this paper the asymptotic stability and the complex stability radius
of a class of singularly perturbed system s of linear differential-algebraic
equations are studied. It is proved that when the small parameter ill the lending
term tends to zero, the stability radius for singularly perturbed systems tends to
the smallest value of the stability radius for the "reduced slow system ” and that
for the "fast boundary layer system".
Người khai

Pham Ky Anh


TĨM TẮT CÁC CƠNG TRÌNH NGHIÊN cứu KHOA HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỂ TÀI QT 03-02

Ngành: Toán học;

Chuyên ngành: Toán ứng dụng.

1. Tên bải b áo : Mối liên hệ giữa phương trình sai phân ẩn và phương trình vi phân-đại
số.

2. Họ và tên (các) tác giả của công trinh: Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Hữu D ư ,
Lê Công Lợi.

3. Năm xuất bản: 2004, Vol. 29, N.1, pp. 23-39.
4. Tên tạp chí: Acta Mathematica Vietnamica.
5. Tóm tắt cơng trinh bằng tiếng Việt:
Trong bài này sự tương thích giữa các khái niệm chỉ số của PTVP-ĐS và PTSP ẩn thu
được từ việc rời rạc hố PTVP-ĐS nói trên bằng sơ đổ Euler đã được thiết lập. Sự hội tụ
của nghiệm của bài toán Cauchy và bài toán biên nhiểu điểm của PTSP ẩn tới nghiệm
của các bài toán tương ứng cho PTVP-ĐS khi bước lưói dẩn tới khơng đã được chứng
minh.

6. Tiếng Anh
+ Title: Connections between implicit difference equations and differentialalgebraic equations.
+ Journal: A c ta M a th e m a tica V ietnam ica.
+ Volum e: 2004, Vol. 29. N.1. pp. 23-39.
+ Sum m ary: III this paper, the com patibility of the index notion for linear DAEs

and that o f IDEs obtained via the discretization by the Euler method is
established. The convergence of solutions o f the Cauchy and m ultipoint
boundary-value problems for IDEs to solutions of the corresponding problem s for
DAEs is proved.
Người khai

Phạm Kỳ Anh


TĨM TẮT CÁC CƠNG TRÌNH NGHIÊN c ứ u KHOA HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỂ TÀI QT 03-02

Ngành: Toán học;

Chuyên ngành : Toán ứng dụng

1. Tên bài báo: v ề phương trình sai phân ẩn tựa tuyến tính
2. Họ và tên các tác giả của cơng trình: Phạm Kỳ Anh, Hà Thị Ngọc Yến,
và Trần Q uốc Bình

3. Năm xuất bản: 2004, Vol. 32, N.1, pp. 75-85.
4. Tên tạp chí: Vietnam Journal o f Mathematics
5. Tóm tắt cơng trinh bằng tiếng Việt: Bài báo đề cập đến tính giải được và nghiệm
xấp xỉ của bài toán giá trị ban đầu cho hệ phương trình sai phân ẩn tựa tuyến tính. Nhờ
có phẩn tuyến tính là chỉ số 1 hoặc tựa chỉ số 1 mà hệ vơ hạn các phương trình có thể
phân rã thành các cặp phương trình, s ử dụng định lý điểm bất động Banach hoặc
Schauder có thể chứng minh tính giải được hoặc giải được duy nhất của bài tốn nói
6. Tiếng Anh
+ Title: On Q uasi-linear Implicit Difference Equations
+ Journal: V ie tn a m J o u rn a l o f M a th e m a tics, 2004, Vol. 32, N 1, pp 75-85

+ Summary: This paper concerns with the solvability and approxim ate solution of
a class o f quasi-linear difference equations. Thanks to the index-1 {quasi-index1) property of linear parts, the initial infinite system can be decom posed into
subsystem s consisting of couples o f equations. Then the Banach's and
Brouwer's fixed point theorem s have been applied to ensure the unique
solvability (solvability) o f the IVP for quasi-finear im plicit difference equations.
Người khai

Phạm Kỳ Anh