Đại số hiện đại lưu hành nội bộ

SZF.-TSEN

HU

BẠI Sớ HIỆN BAI
I


■■x■
\.

■' ^ ỉ - '

•*
.,ii?.:!.'•'?•'.•>^'•i”
"V ' •
'V ;

'-N-.í

7^

1

S2E-TSEN

ị

HU

V

;

<^O AN

ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI
•

*•

THWíHỄjL.%0CTflnÌiO
=sNA-N04- '
Vọ

r»UHGj.;;.i i'it ó ii/( •.'..-••fu VIỆN

T À I L IỆ U THAM KH ẪO
( L ư u hành n ội b ộ )

p


»

,Ị|Ỉ

■ ^ ' V' K:^ ■

' ■■ ■■
-

'',

•

í^

,•;

■• I

ỉ-

'h-,.

, í

■/ly-"
ỂỂ''''•
i;‘

„

i f '
/

{M

ỉ

/ ■.

'‘■:ỳỊ

-•-.V

*■
ír
r-

i■'c.

-r •" ■ '^■ '■ ^ , 'C'
’. ■,áí ' ■ ....í^Ịíí.•'C
■

•■
■#'

.

í

.ẳ'

,.

i' :
>-v
'■r-. \

L

\

1

s

TỰA
ị
Đại số trừu tượng ngày nay đã được đưa vào chương trinh chỉnh thức của
đa a i số trường đại học. Nó đã trở thành một bộ phận chủ yếu trong việc đào tạo
cácÌQc nhà tốn học. Cuốn sách này nhằm cung cấp một tài liệu giảo khoa một học
kỳ ỳ / hay hai quý
đại s 6 trừu tượng cho năm cuối của bậc đại học cũng nhtt
nătăắm đầu của bậc- trên đại học. Mục đích của nó là trình bày một cách cỏ hệ
,thốiỄổng và tương đối thong thả các vấn đề chủ yếu của đại số trừu tượng cho các
họiọọc sinh cỏ ít nhất trình độ tốn học vững chắc ở hai, ba năm đầu bậc đại học.
Ngíggồi sổ học về các số thực ra, nó khổng địi hỏi một sự hiếu biết đặc biệt nào
v ề ề ì tốn học.
Bốn chương đàu có thế dùng làm tài liệu giáo khoa cho một giáo trình vè
lÝ t thuyết nhổm dạy trong một quý, hoặc một học kỳ, nếu bơ sung thêm một it.
•ơ í ' đây chủng tơi nhẫn mạnh vào cảc nhỏm Aben hơn là các nhóm phép thế hữu
bạiạin. Ngồi các tài liệu ít nhỉ^u cỏ tính chất tiêu Ỹbuần của lỷ thuyết nhóm, chúng
tơiMi đâ trinh bày một cách sơ cấp cảc dãy khớp, cảc nbóm địng điều, các Uch
tertmxơ và cầc nhóm địng cấu.
Chương năm dành cho việc nghiên cứu một cách cồ đọng về vành, mièn
ngtgỊuyên và trường. Chương sảu trình bày lý thuyết sơ cẩp về môđun vồ đại số
dẫầin đỂỊi phép dựng đại sổ tenxơ, đại số ngoài, và đại số đối xứng của một mổđun
đãâi cho. Trong chương cuối, chúng tôi đưa học sinh vào khái niệm tương đối

mởcâri về phạm trù và hàm tử, là một khải niệm đă trở thành chủ ýếu troníỉ nhièu
ngigiành tốn học.
Vi những lý do sư phạm, sau khi cân nhắc kỹ, chúng tôi đã trích bỏ đi một
s 6 6 . vấn đề thơng thường của đại sổ trừu tượìig, đáng chú ỷ nhất là đại sổ tuyến
tlnmh và lý thuyết Galoa. Đại 8Ổ tuyến tính bị bỏ đi là vì hiện nay nó thường
đuurợc dạy hoặc như một giáo trinh rỉêng biệt hoặc như một bộ phận của một
gừiẩo trinh hai năm về tíỉih tốn. Mặt khảc, lỷ thuyết Galoa cũng bị bỏ đi là vi
thheo ỷ tác giả, do tính chất sâu sắc của iió, nỏ thuộc vào quỷ cuối của một giáo
trìrình một năm hơn là thuộc vào hai quỷ đầu.
Về nguyên tắc cbúng tôi đã không tránb những sự lặp lại. Trái lại, chúng
tỏơì lặp lại một cách có cân nhắc những phảt biếu quan trọng về những đối tiíợng
khhác nhau, chừng nào chúng cỏ liên quan mật thiết vởi nhau. Chẳng hạn, ý
trrung tâm vê một đại số phố dụng nhờ một tam giác giao hoán đã được lặp lại
trcong các định nghĩa của nửa nhỏm tự do, nhóm tự do, nhóm Aben tự do, mổđun
tựự do, tích tenxơ, đại sổ tenxơ, đại số ngồi và đại sơ đối xứng. Trong một sách
gÌỊÌáo khoa- sơ cấp như sảch này, sự lặp lại các khái niệm cơ bản \ à các phép
diỊựng cơ bẳn làm tăng thêm niềm tin và tỉnh chủ động của người học sinh.


Gác bài tập & cuối mỗi mục đS được lựa chọn cần thận đề ngựời học*sinh.
giỏi có tliẾ được thử thách nhiều, đặng tham gia xa hơn nữa vào sự_,phát triễn
của lý thuyết, trong lúc các học sinh khác vẫn được thỏa mẵn về sự trinh bày
dễ dàng, chi tiết trong bài học.
Thư mục ở cuối sách liệt kê các sách tham lịhảo ở những' trỉnh độ khác
■nhau đế nghiên cửu xa thêm cuág như lấy thêm những thí dụ và bài tập, Một
vài chỉ dẫn vè thư mục này đã được nêu lên trong bài học bằng tên và số trong
cảc dẩu mỏc. Các chú dẫn thông thừờng được cho dưới dạng (IV, 5.1) trong đó
IV thay cho chương IV và 5.1 cho số hiệu của mệnh đề trong chương đó.
Một danh sách ohững ký hiệu đặc biệt và cácb viết tẳt được dùng trong sácit
này đi kèm ngay sau lời tựa. Trong sách này chúng tôi đã thừa nhận một sổ kỷ

hiệu khác vởi kỷ hiệu thồng thường của lỷ thuyết tập hợp, chẳng hạn □ dùng
đế chỉ tập rỗng và A \ B đẽ chĩ hiệu tập hợp, thường vẫn được ký hiệu lả A — B.
Chúng tôi đã dùng ký hiệu II đê chỉ sự chấm dứt
một phép chửng m inh...
Sze —Tsen Hu


V
CÃC KÝ HIỆU VÀ CẢCH VIỂT TẲT ĐẶC BIỆT
kéo theo
bị kẻo theo bỏri
chấm dứt một phép chửng minh
11
tập bợp sao cho
là một phần tử của
€
không phải là một phần tử của
tập rỗng
0
bị chứa trong
c
chứa
/
>
hợp
r\
giao
hiện tập hựp
\
khoẳng đan vỊ đóng

ĩ
phần bù của A đối vởi X
C x(A )
Y hàm f từ X tởi Y
f(A )
ảnh của tập hợp A dưởi f
ảnh ngược của tập hợp B
f-»(B)
các hợp thành của f và g
fog
sự thu hẹp của f trên A
f 1A
aSlb
a nẳm trong quan hệ 91. với b
a~b
a tưưug đương vởi b
tập thương của X trên ~
X /~
X đẳng cẩu vởi Ý
X*«Y
X/A
nhóm thương.
của X trên A
tồng trực tiếp của A và B
A©B
A(8 )B
tích tenxơ của A và B
tích tenxơ trên R
A,(8 )rB
đại số ngoài của M trên R

E r (M)
S r (M)
đại sổ đối xứag của M trẻn R
T r (M)
đại sổ tenxơ của M trên R
Coim
đối ảnh
Cokerđối hạt nbân
bậc
,deg
dim
số chiều
Hom
nhỏm các đòng cấn
ỉm
ảnh
Ker
hạt nhâu


ì^-:

'ì ị

CHƯƠNG I
T Ậ P H Ợ P , HÀM VÀ QUAN H Ệ
-4

Trong chương mỏr đầu này của cuổn sảch, ckúng tơi trình bày một cảch sa
lược vè tập bợp, hàm và quan hệ, nbẳm mục đich ữ ư ởc hết đê đưậ vào cách

ký hiệu về sau này sẽ được sử dụng. Đẽ tránh cho độc giả một sự cố gắng khôug
cần thiết, n ội dung của vấn đề sẽ được trình bày ở mức độ thấp nhầt có thê
được và trong một phạm vi giới hạn đến tối thiêu. Nỏi riêng ra, chúng tổi sẽ
không thảo luận về cảc dạng khác nhau của tiên đề chọn và về sự tương đương
của chúng. Trên* thực tế, tiên đề này được sử dụng trong sách chỉ dưới dạng
ngây thơ củà nỏ nhằm cho phép làm một sổ khỏng hạn chế những sự lựa chọn.

1. TẬP HỢP
Ta sẽ trinh bày lý thuyết sơ cấp về tập hợp theo một quan điễm ngây thơ.
Một tập hợ p được quan niệm một cách trực quan như là một sự tụ tập những
vật hoặc là được liệt kê ra hoặc là được xác định nhờ có một Unh chẩt chung
nào đỏ. Đây khơng phải là một định nghĩa, vi danh từ a tụ tập í đồng nghĩa với
dauh từ « tập bợp ». Trong sách này, có khi ta cũng dùng những danh từ đồng
nghĩa khác nhự « họ », « hệ », v.v... Các thí dụ sau đây sẽ giúp cho hiêu rõ hơn
y nghla trực quan của danh từ khổ&g đinh nghĩa í y .
(a) Tập hợp cảc học sinh trong một lởp.
(b) Tập hợp cảc lớp trong một trường.
(c) Tập hợp N tất cồ các sổ tự nbiên, tức là các số nguyên dường.
(d) Tập hợp z tất cả cảc số nguyên dương, âm hoặc bẳng 0.
(e) Tập hợp R tất cả các s5^ thực.
Các kỷ hiệu dùng cho các tập hợp đặc biệt nêu lên trong ba thí dụ cuổi sẽ
được sử dụng trong suốt giảo trình này.
Các vật trong một tập hợp X gọi là các phần tử, hoặc là các điềm của X.
Chủng có thế là các vật cụ thê hoặc các khái niệm trừu tượng ta sẽ dùng ký
hiệu 6 đẽ thay cho câu nói « là một phần tử của ». Vậy ký hiệu
X€ X
đọc là « X là một phần tử của X ì> hoặc c z thuộc X ì>. Phủ định của X ^ X sS
được ký hiệu bỏi

Xảc định một tập. hợp là xác định các phần tử của nó. Nỏi cách khác, một
tập hợp X là xác định nếu và chỉ nếu ta có th^ nói một vật bất kỳ X đã cho có
thuộc X hay không. Thttờng thường các phần tử của một tập hợp X được xác
định bằng một tính chất cbung nào đó. Chẳng hạn, nếu p(x) là một mệnh đề đă
cho về vật X, thi ta viết
_
x =
íx |
p(x)}
đê nói rẳng X là lập hợp tất cả cảc vật X sao cho Inệnh đề p(x) là đúng.
Một tập hợp gọi là rỗng nếu và chỉ nếu nỏ khơng có phần tử nào. Tập hợp
rỗng sẽ được kỷ hiệu bởi □ . Vậy X =5, 0 đọc là X là rỗng.
Một tập hợp X gọi là một đơn tử nếu và chỉ nếu nỏ cỏ một và chỉ một
phàn tử. Nếu phần tử duy nhấí của một đơn tử X là X, thi ta viết
x = w .
Vi những lý do lơgích, ta cần phân biệt giữa một vật X và tập hợp
Tuy nhiên, đê cho tiện, ta sẽ thường dùng cùng một ký hiệu X cho mọi vật X và
một đơn tử -Ịx} gằn đúng vật ấy.
Một cách tổng quát hơn, nếu Xi, Xj,
Xn là những vật đã cho, tỊiì

X = '{xi, X2» •••» Xn}’
là ký hiệu của tập hợp X gịm các vật Xi, X2. •••»
làm phần tử,
Giả sử A và B là hai tập hợp đã cho. Nếu mọi phần tử ộủa A đèu thuộc B,
thì ta nói rằng A bị chửa trong B, hoặc B chứa A và ta viết
A c B, B :) A,
trong đó kỷ hiệu c gọi ỉà bao hàm. Trong trường hợp này, A gọi là một tập
con của B. Trong cảc tập hợp ở các thí dụ (c) — (e) trơn đây, ta cỏ

N c z c R.
Nếu A c B và B c A thì ta nói rằng A và B bẳng nhau, và ta viết
A = B.
Nỏi cảch khác, hai tập hợp là bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng các
phan tử. Nếu Á c B và A ^ B, thì A gọi là một tập con thực sự cua B.
Các tập con của một tập hợp X đã cho thường được xảc định bẳng cách
ẩn định thêm những điều kiện cho cảc phàn tử của X. Chẳng hạn, nếu p(x) lả
một inệnh đê đã cho về phàn tử X của X, thi
{x € X I p(x)f

^

là tập c o a của X gồm tất cả các phần tử X của X sao cho p(x) là đúng. Theo cách
này, ta cố thê xác định /choảng đóng đơn vị I các số thực bởi cống thức
I = {t€R !
Cỏ nhiêu cách đê lập cảc tập mởi từ cảc tập cũ, Ba phép sau đây là cơ
bản. H ợp A w B được định nghĩa là tập hợp gồm các vật X thuộc ít nhẫt một
trong các lập A và B. Giao A A B được định ngỈỊĨa là tập hợp gòm các vật X
thuộc cả A lẫn B. Hiệu A \ B được định nghĩa là tập hợp gốm các vật X thuộc
A nhưng không thuộc B. Cảc định ngbĩa đỏ có thễ phát biêu dưới dạng các
đẳng thức sa u ;
r

■'


Av/B = {x I X ^ A hoặc X ^
Ar\B =
1 X 6 A và X c B},
A \ B = |x I X ^ A và xẹỀ Bf.

Định lý 1.1. Với các tập hợp tùy ỷ A ,B ,C vá X, các luật sau đ ág có hiệu l ạ c r
(1.1.1) Cảc luật giao hoán:
A u B = B u A,
A r\ B = B A A.
(1.1.2) Các ỉuột kết h ợ p:
A V (B V/C) = jfẠ V B) wC.
A A (B A C) = (A A B) a C.
(1.1.3) Các luật phân phôi;
A
(B V C) = (A A B) V (A A C),
A U(B n C) = (A u B) A (AV C).
(1.1.4) Cảc công thức Đờ Moócgâng:
X \ (A w B) = (X \ A) A (X \ B),
X \ (A A B) = (X \ A) V (X \ B).
Các phẻp chửng minh của các luật trên là tức khắc và do đỏ sẽ dành c h o
độc giả, xem như những bài tập. 'Đế nêu lên một thi dụ minh họa, ta sẽ c h ử n g
minh đẳng thức cuối của công thức Đờ Moỏcgăng như sau.
Phép chứng minh một đẳng thức về tập hợp thường tách ra làm hai phần,
(ỉ) Phép chứng minh bao hám thức 1
X \ (A A B ),c (X \ A) w (X \ B):
Giả sử X là một phần tử tùy ý của X \ (A
B). Thế thi, theo định nghĩa c ủ a
hiệu, ta cỏX ^ X và X ^ A A B. Điều cuối này kéo theo rằngX ^ A hoặc X ^ BVỉ X € X,X ^ Akéo theo x ^ X \ A v à x ^ B kéo theo X ^ X \ B. Do đỏ ta c 6
X c X \ A hoặc X ^ X \ B ; nỏĩ cách khác, Xphảilà một pbần tử của tập họrp
(X \ A) V (X \ B). Ị|
(ii) Phép chứng minh bao hàm thức
(X \

A) w (X \ B) c X \ (A A B ):

Giả sử X là một phàn tử tùy ỷ của (X \ Ạ) v ( X
X ^ X \ B. Nếu X ệ X \ A, thi X ^
và X cp A.
nên ta suy ra từ đỏ rằng X ^ X \ (A
B).
Tương tự, ta có thẽ chứng minh rằng X^ X
X € X \ (A A H). II
Hai tập hợp A và B gọi là rờ i rọc nếu và chĩ
hợp trải lại chúng gợi là gặp nhau.
Khải niệm hợp và giao cỏ Ihê mở rộng cho
bhư sau. Nếu o ỉà một bọ tập hợp, thi

\ B). Th€ thì X ^ X \ A h o ặ c
Vi X ^ A kẻo theo X gỀ A r\ B ,
\

B cũng kéo theo

nếu A n B = □ ; trong trư ờ n g
một số bất kỳ những tập hgrp

w X = {x I X ^ X vởi một X nào đỏ 6
A X = /x I X ^ X với mỗi X ^

ị.


Ta cỏ thề thử nghiệm rằng các luật trong định lý 1 .1 cũng cỏ hiệu ỉực cho
một sổ bất kỳ «ảc tập hợp.
Nếu A là một tẬp con của một lập X, thì hiệu X \ A gọi là phăn bù của A

đổi với X. Ta viết
CxA = X \ A .
Nếu A cũng là một tập cou của một tập hợp khác Y, thi CxA và CyA là những
tập hợp khảc nhau. Nếu trong một tinh hỉnh uào đỏ, ta chỉ xét các tập con của
m ộl tập hợp c 6 định X, thi ta viết CA Ihay cho CxA.
*

BÀI TẬP
IA. Chửng minh tất cả các công thức trong định lý 1. 1 (kê cả các công
thức Đờ Mịócgăng).
IB. Thử
(a)
(b)
(c)
(d)

nghiệm các quan hệ sau cho các tập hợp tùy ý A vệ B :
□ c A,
A c A,
A w □ = A,
A A □ = □,

(e) A n A = A = A w A,
(f)
IC. Thiết
(a)
(b>
, (c)

A n B c A c A w B.

lập
Nếu
Nếu
Nếu

ID. Chứng
tùy ý A và B :
(a) A
(b) A
(c) A

các mệnh đề sau
A c B và B c c,
A c c và B c c ,
A :> c và B :> c ,

cho cảc
thì A c
thì A w
thì A A

tập hợp lùy ý A, B, c :
c,
B c
c,
B D
c.

minh rằng ba mệnh đề sau là tương đương, đổi với các tập họp

c B,
w B = B,
n B = A.

IE. Chứng minh các tinh chất sau của các tập cou của một tập hợp cố định X :
(a) cx- = □ ,
(b) C ũ = X,
(c) A w ỌA = X,
(d) A n CA = □ ,
(e) CCA = A. _
.
(f) C(A w B) = CA A CB,
(g) C(A A B) = CA w CB. ,
•
(h) C (A \B ) = B u C A ,
(i) Nều A Ú B = X và A a B = D, thì B = CA,
(j) Nếu A c B thi CB c CA.
I F. Thử nghiệm các đẳng thức sau vởi các tập hợp tùy ý A, B, G :

(ạ) A \(Ã \B ) = AĂR,
(b) A A ( B \C ) = (A A B) \ (A A C),


mer^ '<■ '■

•------ -------- ------- ^------------ 7--------

t

(d) ( A \ C ) u ( B \ C ) = ( A v B ) \ C ,

(e) ( A \ B ) w ( B \ A ) = (A w B ) \ ( A n B ) .
(f) A w ( B \ A ) = AwB,
(g) A r ^ (B \A ) = a .

.

.

2. HÀM

iị

>

Giả sử X và Y là hai tập hợp đã cho. Ta gọi là một hám f : X -> Ytừ X vào
Y
một quy tắc cho ứng vởi mỗi phân tử X của X một phần
tử duynhất f(x )
của Y.
Thi dụ í . Xét tập hợp N tất cả các số tự nhiên và tập hợp Zp tất cả các síS
ngun khơng âm nhô hơn một số nguyên dương đã cho p. Với niọj X ^ N , ta
hãy chia X cho p, và được m ột dư f(x). Sổ f(x) này nằm trong Zp. Tương ứng
X
f(x) xác địph một hàm f : N -> Zp.
Thi dạ 2. Xét phương trình y = x 2. Với mỗi sổ thực X ^ R, y = X® cững là
một số thực. Do đó, tương ứng X -v X® xác định một hàm f :
R -»■ Rtừ R vào

^ A gọi là ảnh của A dướỉ hàm f và được ký hiệu là f(A ):
^

h

.

f(A) = { f(x) ^ Y. I X ^ A

Nói riêng ra, ảnh f(X) của toàn thê nguồn X của f gọi tắt là ảnh của f và
được kỷ hiệu là Im(f).
Định lỹ 2 . 1 . Với bất kỳ hai tập con A và B nào cảa nguòn X cảù m ột hàm
Ị:

y , t a đầu có
{2.1.1)
(2.Í.2)

f(A
= f (A) V f (B),
f { A r . B ) c f { A ) r ^ f{ D ).

Các phép chửng m inh của (2.14) và (2.1.2), xin dànb cho độc giả, x«m n h ư
những bài tập^ Độc giả cũng có thẽ dễ dàng mở rộng cảc điẽm trên cho m ột số
bất kỳ những tập con của nguồn X.
Hai vế của bao hàm thức (2.1.2) không phải bao giờ cũng bẳng nhau, đ ièn
này cỏ thế thông qua thí dụ sau. Giả sử
X = { a, b [, A = j a
B = { b
Y = { y ^
và giả sử f : X ->■ Y là hàm duy nhẩt. Thế thì ta có
f(A A
B) = f (□ ) = □ ,

f ( A ) A f ( B ) = Y.
Nếu f(X) = Y, thì ta nói rẳng f : X -*■ Y là. niột hàm từ Xlẻn Ỵ ; ta cũ n g
sẽ thường nói rằng hàm f : X -*• Y là tơán ánh. Vậy f : X -> Y làtoàn ảnh n ế n
10


■Ĩ-'

vả chỉ nếu, với mọi điêm y trong Y,. có It nhất một điễm X trong X sao cho
f ( x ) = y. Hàm trong thí dụ 1 là tồn ánh, cịn trong thí dụ 2 thi khơng phải là
tồn ảnh.
Nếu f(X) chỉ gồm có một điếm y của Y, thi ta nói rẳng f : X -> Y là một
hàm không đbi từ X vào Y. Nếu X là khơng rỗng thỉ, với mọi y ^ Y, có một
hàm không đôi duy nhất fy : X -> Y sao cho fy(X) = y.
Với mọi tập con B của Y, tập con của X gồm các điêm X ^ X sao cho
f(x )^ B gọi là ảnh ngược của B dưởi hàm f : X ->■ Y và được kỷ hiệu là
(B).

ngược
vào ản„
_____ ^___________ _________
_____ „ ____
Định lý 2.2 Y ởi bẫl kỳ hai tập con A và B nào câa đích Y của một hàm
f : X-^Y, ta đều có
(2.2.Í)
f-i(A w
w
(2.2.2)
f-^ (A r^ B ) = f - i ( A ) A
(2.2.3)

f - i ( A \ B ) = f-^ (A ) \ r X B ) .
Các phép chửng minh của (2.2.1) — (2.2.3) xin dành cho độc giả, xem như
những bài tập. Độc giả cũng c/ỏ thễ dễ dàng mỏr rộng hai đẳng thức đàu cho một
s 6 bất kỳ những tập con của đích Y.
So sảnh các mệnh đê (2.1) và (2.2), ta nhận thẩy rằng các ảnh ngược cỏ phàn
dễ sử dụng hơn các ảnh. Điều này giải thích tại sa o ‘khải niệm ảnh ngược lại
được sử dụng nhiều hơn khái niệm ảnh.
Nếu A và B là những tập con rời rạc của Y, thi từ (2.2.2) suy ra rẫmg các
ảnh ngược f~*CA) và
cũng là rời rạc. Nói riêng ra, các ảnh ngược của các
điêm khác nhau của Y là rời rạc.
Một hàm f : X -> Y gọi là mội đổi một hoặc là đơ n ánh nếu và chỉ nếu, vởi
mọi điêm y 6 Y, ảnh ngược f“ *(y) hoặc là rỗng hoặc là một đơn tử. Vậy f là
đ ư i i á u h u ế u vồ c b l u ế u c á c â u l i c ủ u củ c điêiH k h á c u h u u c ủ a X là k h á c u ỉ i a u . Đ è .

nêu lên một thỉ dụ vỉ hàm đơn ảnh, ta hãy xét trường hợp X c Y. Thế thi hàm
i: X ->Y xảc định bởi i(x) = X ^ Y với mọi X
gọi lầ hàm bao của X vào Y.
Đề chi rằng i : X ^ Y là hàm b a i, ta viết

i : X c Y.
D ĩ nhién rằng mọi hàm bao đều là đơn ảnh.
Một hàm í: X
Y vừa là tồn ánh vừa là đơn ảnh gọi là một hàm song ánh.
Nếu f : X -» Y là song ánh, thi, với mọi y ^ Y ảnh ngự ạc f~*(y) bao giờ cũng là một
đcm tử, tức là một điẽm của X; tương ứng y -> f~*(y) x^c định một hàm
g : Y —>• X, gọi là hàm ngược của f và có thẽ ký hiệu bởi
f - i : Y -> X.
Ta có thễ dễ dàng nhận thẩy rẳng
cũng là song ánh. Đẽ nêu lên một thí dụ

về hàm song ánh, ta xét hàm bao i: X c X của X vào chinh nó. Hàm bao đặc
biệt > gọi là hàm đồng nhất trên X. Với trường hợp đặc biệt nàỵ, ta có i~* = i.
11

1


'ị

Hai hàm f và g gọi là khả hợp nếu và chĩ nếu đich của í' bẵng ngu của
g, tức là

X i Y Ẵz.
Trong trường hợp này, tá xác định một hàm o : X -> z bẳug cách cho ứng
với mỗi điếm X của X điẽm
d)(x) = g [f(x)]
của tập hợp z. Hàm 0 đỏ gọi là cải h ợ p thành của f và g và được ký hiệu là
0 = 'g o f:X -> Z .

Định lý 2.3. NếuCp = gof là cải h ợp thành của các hàm f : X->Y và g : Y - * Z ,
thì ta có
(2.3.1)
= 9 ư (^ )]
mọi A c X ,
(2.3.2)
ị - Ý C ) = H [9
)] vói mọi C C Y .
Các phép chửng m inh của (2.3.1) và (2.3.2)
đều dành cho độc giả, xem n h ư
những bài tập.

Từ (2.3) suy ra rẳng cái hợp thành của những hàm toàn ảnh là toàn ánh và
cải hợp thành của các hàm đ on ánh là đơn ánh. Đảo đề một phần của định lý
trèn là định lý sau, mà sau này ta sẽ thường sử dụng.
Định lỹ 2.4. Nếu ( p = - g o f lá cái h ợ p thành của các hàm f : X ->y và g : Y -^ Z ,
ihì các mệnh đề sau là đ ú n g ;
(2A.1)
(2.4.2)

>

Nếu ộ là toàn ánh, thi g cũng vậy.
Nếu ộ là đơ n áiứi, thì f cũng vậy.

Chứng minh. Giả s(r rằng (ị) là tồn ánh. Thè' thì (ị)(X )= z theo địuh ngh ĩa.
Theo (2.3.1), ta có

z = cb(X) = g [Í(X)] c g(Y) c z.

Từ đó suy ra rằug g(Y) = z và do đỏ g là toàn ánh. Điều này chứng m inh (2.4.1).
Giả aử bây giờ cp là đơn,ánh. Giả sử a và b là hai điêm trong X sao cbo
ĩ(a)
i'(b). ThẾ Ihì ta c6
cí,(a) = g[f(a)] = g[f(b)] = ộ (b ). .
Vì ộ là đơn ảnh, nên ta suy ra được a = b. Đi^u này chứng minh (2.*4.2).
Giả sử f : X-í-Y là một
hàm đã cho và A là một tập con của X.
righĩa một hàm g : A-í-Y bẫng cách đặt g(x) = f(x) vởi mọi X^A. Hàm g
là Cái thu hẹp của hàm f đă cho vào tập con A, và được ký hiệu là
g = f I A. ,
Nếu g = f I A, thì hàm f : X->Y gọi là cải m ở rộng cùa hàm g :

hợp X. Trong trường hợp này, ta được một tam giác

12

II
Tađịiỉh
đó gọi

A-»-Y trên tập


các taàm, trong đỏ h : A c X là hàm bao. Quan
chât giao hoán của tam giác, tức là

hệ g = f IA tương đương với tính

g = foh.
Trong lúc chỉ có một cái thu hẹp của một hàm đã cho f : X—vY vào.ưiột
tập con đã cho Ả của X, thì các mỏf rộng của một hàm đã cho g : A—Í-Y trên một
tập X chửa A thường là cỏ nhiều. Chẳng hạn, giả sử y là một điêm tùy ỷ trong
Y, thế thì hàm Cy: X-^Y xác định bỏfi
^

/ \ _ ị
ey(x)=Jy;

(nếu*x ^ A)
(nếux€X\A)

là một mở rộng của hàm đỏ cho g ; A—>Y trên tập hợp X,

Bịnh nghĩa của hàm 0y : X—>-Y cho trên đây là m ột trường hợp đặc biệt của
phép dựng .các hàm tb hợp. Giả sử F là một họ đã cho những tập con của một
tập hợp' X. Ta giả thiết, rằng p" phả X, tửc là, X bằng hợp của các tập trong F,
và giả thiết rẳng, với mỗi A ^ F , ta đã cho một hàm
: A->Y. Vậy, ta được
một họ
(t> = { f ^ ị Ấ e F \
những hàm chỉ số hóa bởi cảc phàn tử của họ F. Họ F các hàm gọi là khỗ hợp
nếu va chỉ nếu, với’ bất kỳ hai tập A, B nào é
các hàm
: A -> Y và fu:
Ý
đều phù hợp trèn giao A A B, tửc l à ,

f A I A A B = f B I A n B.
1
p

Nếu họ (Ị) cảc hàm là khả hợp, thi o xác định một cách duy nhất một
hàm f : X ^ Y cho bằng cách lấy f(x) = fA(x) nếu X^ A ^ F. Hàm
f đó gọi là
hàm tò hợp của họ Đẽ kết thúc mục này, ta sẽ cho vài thi dụ nữa về các hàm loại đặc biệt.
Thi dụ 3. Một hàm f : N
X từ tập hợp N các số tự nhiên vào một tập hợp
X đẵ cho gọi là m ột dãy (điẽm) trong X. Với mỗi n ^ N ảnh Xn = f(n) gọi là
hạng iỉr ihứ n của dãy f. Thổng thường, dãy f đircrc viết dưới dạng
f = ^Xl,

Xj|,

Nói riêng ra, nế« X là tập hợp R cảc sổ thực, thi f gọi là một dãy số; nếu
X là tập z cảc s 6 nguyên, thi f gọi là một dãy số ngun.
Thí dạ i . Giả sử X là một tập hợp đã cho. Vởi m ột tập con tùy ý A của X,
ta định nghĩa một hàm Xa : X
R bằng cách lây
y

_ Ị 1,
j 0,

(nếu X c A)
(nếu X ^ X \ A ) .

Hàm Xa này gọi là hàm đặc trưng của tập con A trong X.
Thí dụ 5. Giả sử 2^ là tập hợp tắt cả các tập con của một tập hợp đã cho X.
Xét một hàm tùy ý f : M
2^ từ một tập hợp M vào 2^. Với mỗi phần tử a ^ M,
ảnh Ea = f(a) là một lập con của X. Thông thường,hàm f được viết dưới dạng
\

■

f = { E « C^Xl
13


p 1 l

V *

nỏ gọi ià một ÍIỌ ờhi số lìóa nhíhỉg iạp bợp vởi M là tập hợp các chỉ số. N ỏi riêng
rav nếu M là tập hợp N các số tự nhiên, thi f gọi là một dãy những t ậ p hợp*
ệ

BÀI TẬP
2A. Chứng m inh các định lý (2.1), (2.2) và (2.3).
2 B. Thiết lập các quan hệ sau cho một hàm bất kỳ f : X
Y
và B c Ỵ :
.
(a) f-*|f(A)]
A.
(b) f[f->(B)] c B.
(c). f O í\A ) :> f (X )\f(A )
(d) f-i< Y \B ) = X \ f - i ( B )
(e) f[A A
= f(A) n B.
2 C. Chứng minh 1’ẳng một hàm f ; X -»■ Y là song ánh nếu và chí
hàm g, h: Y -^ X sao cho các cải hợp thành gof và foh là các hàm
thẹo thử tự trên X và Y. Trong trường hợp ấy g = f - i
h.
2 D. Chứng m inh'rẳng phép hợp thành là kết hợp, tức là với các
f :X
Y, g : Y ^
và h : z
w , ta cỏ

với A c X

nếu cỏ hai
đòng nhất
hàm tùy ý

ho(gof) = (hog)of.
Do đó ta có thẽ kỷ hiệu hàm hợp thành bồi hogof.
2 E. Thử nghiệm các đẳng thức sau \ ề các hàm đặc trưng của cảc tập co n
của X tại một điễm X của X :
(® )

^ A V /b W

(c)

=

X

a

(

x

)X

=

X

a

(

x

)

b

+

(

).

x

X

b

(

x

)

-

X

a

(

x

)

Z

b

(

x

),

~ ^ b( x)].

2 F. Nếu f : X -* Y là một hàm và {Ea I a ^ M} là một họ chỉ sổ hỏa n h ữ n g
tập con của Y, thi hai đẳng thức sau ỉà đ ú n g:

3.

TÍCH ĐẾCẢC

"

*

Xét một họ chĩ số hỏa tùy ỷ những tập hợp

,

V = -{Xi* I

^ M\

và gọi X là hợp của các tập horp X (1 vởi tất cả các (X ^ M.
Ta gọi là tich Đècác của họ ' ĩ cảc tập hợp Xp, tập hợp
ỉ'

T: M- >X
sao cho f(i*) 6 Xịí. Tích Đềcảc của họ "¥ được kỷ hiệu là
>
14


- r ---------------- ---------------------- • • -—^

■ '1

n L rièng ra, nếu M gòm a số tự nhiên đàu, thi một điềm ỉ' trong o chủ
yếu là một^bộ n sắp thứ tự (xi, Xg,
X n ) , vởi Xị = f(i) với mọi i = 1, 2, .... n.
Trong trường hợp này, tích Đềcác của họ '¥ được ký hiệu là •

o = Xi X X^-X ... X x„.
Nếu Xu = □ vởi một |1 nào đỏ ^ M, thi ta có thê dễ dàng nhận thấy rằng
tích Đềcảc o là rỗng; trong trường
hợp trảilại
tacỏ o □ . Sau đây, ta sẽ
luôn luôn giả thiết rằng X [1
□ với mọi ịX ^ M.
Với m ỗi n ^ M, xét hàm
Pi.: 4) — X
xác định bỏi P[j.(f) = f( JX) với mọi f ^ o . Theo tiên đễ chọn, Pi» là toàn ảnh vởi
mọi fX ^ M. Ta sẽ gọi Pn là phép chiếu của tích Đềcác lên tập hợp tọa độ thử ụ. X(1.
Nếu mỗi phần tử
của họ
đều bẳng một tập X đã cho, thỉ tích Đècảc
o của họ 'ĩ. sẽ gọi là /ũ// thừa Đècác bậc M của tập hợp X, và được kỷ hiệu là
d> = x « .

Do đỏ, X** là tập hạp tẵt cả các hàm từ M vào X. Nói riêng ra, nếu M gồm n s ố
tự nhiên đầu 1 ,.... n, thi 0 gọi là ỈŨỊ/ thừa Đềcác bậc n của tập hợp X và được
ký hiệu là
Vậy X” làtập.Ịiợp' lất cả các b ộ n (x i,.... x„)với
Giả sử rằng M
□ và xét hàm
d: X -> X“

X ị^ X v ở i mọi

i = 1,

xảc định bẳng cách lấy d(x) ^ X“ là hàm không đôi
[d(x)](M) = X
vởi mọi X ^ X. Dĩ nhiên rẳng hàm d là đơn ánh. Nỏ gọi là phép nhúng chéo
của tập hợp X vào iũy thừa ĐẾcác X“.
Bây giờ ta hãy xét một họ chỉ s5 hóa cho một cảch tùy ý
hàm
=

Yp I n 6 M}.

, Ta ký hiệu
^
Ta định nghĩa một hàm

, 'ỉ' =
H:
¥

như sa u : Với một điềm tù y ý f Ể o , H(f) ^ ¥ được xác định là hàm H(f): M
cho bỏri

Y

[H(f)] (fX)= h,[f(n)]
vởi mọi
^ M. Đê dẫn chửng cho định nghĩa này, ta đê ý rằng, với mỗi
^ M,
í ( |i ) là một điẽm của Xịi và do đó hn[f(fi)] là m ột điễm hoàn toàn xác định của
Yịa. Hàm H : o -> 'P đó gọi là tích Đècác của họ Ọẽ các hàm và được ký hiệu là

Nỏi riêng ra, nếu M gồm n số tự nhiên đầu, thi tích Đềcác của h ọ ^ được ký
hiệu bởi
H = b i X h í X ' . . . X h„.
15


FT

Nếu X|* = X vởi mọi |X ^ M, thi o = X“ và phép nbủng chẻo được x á i địnỉi,
Hàm hạp thành
h = Hod : X ->
của cảc hàm d và H trong sơ đồ sau
<1

H

■ sẽ gọi là iich Đềcảc thu hẹp của họ
gg = {ht*: X -> Yt. I n 6 M}.

.

Khi khơng có điều hàm hị nào đáng ngại, thì hàm h đó cũng gọi là tích
Đềcảc của họ ^ và cũng được ký hiệu là

BÀI TẬP
3A. Chửng minh rằng nếu A c X và B c Y thì
(a) A X B c X X Y.

(b) (XX Y) \ (A X 13) = [(X\A) XY] V [X X (Y\B)].
3B. Chửng minh rẳng nếu A c X , B c Y , C c X , v ^ D c Y , tbì

(a) (A X B) A (C X D) = (A a C) X (B a D).
(b)(A X B )w (C X D) c (AwC) X (BwD).
Cho một thí dụ chứng tồ rằng hai vế của (t>) là khỏng bằng nhau.
3C. Xét hàm 6 : X* ->
xác định bỏfi
e(a,b) = (b,a) với mọiđiêm (a,b) của
bình phugơng Đềcác X*. Thử nghiệm rằng
6od = d,
trong đó d í X->X* là phẻp nhúng chẻo. Mở rộng sự kiện này cho một lũy thừ a
Đềcảc tùy ý X“ . •
3 D. Xét tỉch Đềcác nbững
tập hợp và các phép chiếu của nỏ
Chửng minh rằng tích Đềcác thu hẹp của họ { Pnl
hàm đồng nhẵt
trèn <Ị).
3 E. x ẻ t phép nhúng chéo d : X -> X “ và các phép chiếu P n : X“
X
của một lũy thừa Đècảc X“. Chứng minh rằng hàm hợp thành
Ppod: x - > x
là hàm đòng nhẫt trên X với mọi n ^ M.
3 F. Giả thiết rẳng tập hợp X gòm các sổ nguyên 0 và 1. Định nghĩa một hàm
p. 2m_^X“
từ tập hợp 2“ tẩt cả các tập con của tập hợp M vào lữy thừa Đècác X” như sau :
vởi mỗi tập con s của M, lấy |ì(S) là hàm đặQ trưng của tập hợp s , tức là
P(S) = Xs í M —»■ X.
Chứng minh rẳng hàm p là song ánh. Điều này giải thích ý nghĩa của ký h iệu
cô điẽn 2“ cho tập hợp tất cả các tậỊỈ con của một tập M đã cho.
16

3C. Định ugbĩạ một bàm
e:

x« X

M

X

bằng cách lăy ẹ (f, [1 ) = f(ji) với mỗi ịi.^ M và mỗi f ^ X“ . Hàm e nàv gọi
là sự định giá của lữy thừa ĐỄcảc X“ . Vởi mọi
M đã cho thử nghiệm rẳng

^

Pi.(f) = e (f,n )
YỞi mọi f ^ X^*. Do đó, e cỏ thê xem như cảc phép chiếu cùng tụ tập lại.

4.QỤAN HỆ
Ta gọi là một quan hệ trong một tập hợp đã cho X, một tập con 91 của bình
phương Đềcác X* của X.
Giả sử 91 là một quan hệ tùy ý cho trong một tập hợp X và xét bất kj’ hai
điếm a và b nào của X. Nếu phần tử (a, b) của X'-* nẳm trong 91, thi ta nói rằng
a nằm trong quan hệ 9Ị với b, và ta viết
a9lb.
Quan hệ 51 gọi là phẩn xạ nếu và chỉ nếu ta cỏ a9la với
mọi a ^ X. Quan
hệ 91 gọi là đối xứng nếu và chĩ nếu, với bất kỳ hai điêm a và b nào trong X,
a9lb kéo theo b9la. Quan hệ 91 gọi là bắc cầu nếu và chỉ nếu, với các điẽni tù}’

ý a, b, c trong X, a®,b và b9lc kéo theo a 6lc , Một quan hệ tương đư ơ n g trong một
tập hợp X là một quan hệ 91 trong X có ba tính chất phản xạ, đối xứng vá bắc
cầu. Các quan hệ tương đương, theo thường lệ, được ký hiệu là
Giả sử ~ là một quan hệ tương đương tùy ý cho trong một tập hợp X. Vởi
bất kỳ hai điềm' a và b nào, ta nói rằng a là íirơng ^ương với b nếu và chỉ nếu
a ~ b . Với mọi a ế X, giả sử C(a) là tập con của X gồm tát cả các điếm X ^ x sao
cho a ~ X:
C(a) = -Ịx ^ X I a ~ x }.
Vì ~ là phân xạ, nên ta có a ^ c (a).
Bò dè 4.1. Với bất kỳ hai điềm a và b nào, ta đèu có hoặc là C(a) r\ C(b) — □
hoặc là C(a) = C(b).
Chứng minh. Giả thiết rẳng C(a)
C(b) =h Ta sẽ chứng minh rẳníí C(a) =
= C(b). Gọi c là một điếm chung cho C(a) và C(b).
Đề chửng minh C(a) c C(b), giả sử X là một phần tử tùy ý trong C(a). Thế
Ihi theo định nghĩa của C(a), ta có a ~ X, vi c là một điêm chung của C(a) và
C(b), nên ta cỏ a ~ c, b ~ c. Vi ~ là đối xứng, nên ta được
X.
Vi ~ là bắc cầu, nên đièu này kéo theo b ~ X và do đó X ^ C(b). Điều đó
chửng minh rằng C(a) c C(b).
Tương tự, ta có thê chứng minh rầng C(b) c C(a). Vậy, ta cỏ C(a) = C(b). II
Vậy các tập hợp {C(a) I a ^
khác nhau là rời rạc. Chúng gọi là các
lớp tương đương củạ ~ trong tập hợp X, và tập hạp C(a^ gọi là lớp iương
đươhg của a c X đối với quan hệ tương đư(mg
y !■!' 'í n tio c G^HÀ NỘI 'I*
2»s
ŨHGĨẦMTH&iGĩlH.THƯVlầN
^

ir -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------T” 7V7
/
■

................................................. ..........................................................
........ ( _
Một sự chia lớp của một tập hợp X là một họ ÍP những tập con không rông
rời rạc của X sao. cho hợp của tất cả các phàn tử của 9 là tập hợp X. Vi
a ^ C(a) vởi mọi a ^ X nên ta suy ra rằng họ Q tất cả các lớp tương đươD^
của ~ trong X là một sự chia lớp cùa X. Tập hợp Q đó gọi là lộp thương của
N X trên quan hệ tương đương ~ và được kỷ kiệu là
^

Q= X/~.
Thi dụ í . Giả sử p là một aố nguyên dương đã cho, địnb -ngbĩa một quan
hệ ~ trong tập hợp z tất cả các sổ nguyên bằng cách đặt a ~ b nếu và chi
nếu b — a chia hết cho p.
Ta có thê dễ dàng thử nghiệm rằng quan hệ ~ đỏ trong z là phản xạ, đối
xứng và bắc cầu và do đó nó là một quan hệ tương đương, quau bệ này
thứờng được gọi là đồng dư m od p. Tập thương z/-^ gÒm p lOrp tinrng đương
khác nhau, cụ thế là ,
C(0). C (l).......C(p - 1).
Thí dụ 2. Định nghĩa m ột quan hệ ~ trong tập hợp R tất cả c^c số thực
bằng cách lấv a ~ b nếu và chĩ nếu b — a là một số nguyên. Ta có thê dễ
dàng thử nghiệm rằng ~ là phản xạ, đổi xứng và bắc cằu và do đó nỏ là một
quan hệ tơơng đương trong R. Các lởp tương đương R / ~ gọi là các sổ thực
mod í.
Một thứ tự bộ phận trong một tập hợp X là một quan hệ bắc càu trong X.
Thí dạ 3. Xét tập hợp X = 2“ tất cả các tập con của một tập hợp đă cho M.

Giả sử A và B là hai phần tử bất kỳ của X. Vì đó là những tập con của M nên
câu hỏi A c B hay khổng là có nghĩa. Bao hàm thứ c rõ ràiỊg là một quan hộ
bắc cầu trong X và do đó nó là một thứ tự bộ. phận.
Thì dụ 4. Xét tập hạp N tất câ các số tự nhiên và định nghĩa một quan hệ
< bằng cách đặt a < b Hếu và chĩ nếu b — a nẳm trong N. Ta cỏ thê dễ dàng
thử nghiệm rằng ■<; là bắc cầu và do đỏ nó là một thứ tir bộ phận trong N. Thứ
tự bộ phận < gọi là thứ tự thông thường trong N.
Một thứ tự tuyến tinh trong một tập hợp^ X là một thứ tự bộ phận < trong
X, thỏa mãn hai điỄu kiện s a u :
( 1) Vởi băt kỳ hai phàn tử a và b nảo của X, a (2) Nếu a và b là hai phàn tử phân biệt bất kỳ của X, thì ta cỏ a < b
hoặc b < a.
Chẳng hạn thứ tự thông thưởng < trong N Irong thí dụ 4 ỉà một thứ tự tuyến
tinh, cịn bao hàm thức c trong thí dụ 3 thì khơng phải là một thứ tự tuyến
tỉnh trong X = 2“ trong trưởng hợp mà M chửa nhièu hơn một phằn tử.
Giả sử X là một tập hợp đâ cho với một thử tự tuyến tính < . X gọi là sầp
thứ tự iốt nếu và chỉ nếu m ọi tập con khổng rỗng s của X đèu cỏ một phần tử
bé nhỊíi, tức là một phần tử a ^ s thỏa mãn a < b vởi mọi phàn tử b ^ s khác a.
Chẳag hạn, tập bợp N tất cả các số tự nhiẻn là sắp thư tự tốt bởi tbứ tự thồiỊg
thường.


T vT T

BÀI TẬP
4A. Giả s ử x ià tập hợp tăt cả các ugười. Nghiên cửu các quan hệ sau đây
ưong K đối yới tỉnh pbản xạ, tính đối xứng và tính bẳc cầu. Xét xem các quan
bệ nào là quan hệ tương đương boặc thứ tự bộ phận trong X:
(a) Kết hổn Ỹởi,
(b) Nhièu tuồi hơn,

(c) Cùng giới với,
(dị Là con của.
4B. Chứng minb rằag một quan bệ 91 tùy ỷ cho trong một tập hợp X là một
quan hệ tương đương trong X nếu và chỉ nếu có một sự chia lớp 9 của X sao cho
9 , = \J

I A ^ íPf.

4C. Cải đảo ngược của một quaiịi hệ 91 troag X, ký hiệu là
agbĩa bởi
91-1 _
b) 6
I (b, a) €

được định

Cải đảo ngược của quan hệ c trong thi dụ 3 là quan hệ > trong X = 2^, nó
cũng là một quan hệ thứ tự bộ phận. Cái đảo ngược của quan hệ < troiig thí
dạ 4 là cái > . thơug thường, nó cũug là một quan hệ thứ tự luyến tính Irong N ;
nhưng N khòng được sắp thứ tự t6 t bởi
Chứng minh các mệnh đẾ sa u :
(a)
(b) % là đối xứng nếu và chỉ nếu
= 91.
4D. Hợp thành %oé của hai quan hệ 91 và c5 đã cho trong một tập hợp X được
định nghĩa như s a u : Yới bất kỳ hai điếm a và b nào của X, (a, b) ệ X‘'^ nẳm
trong 9locí nếu và chỉ nếu có một X trong X sao cho (a, x) c
và (x, b) ^ cí.
Chửng minh các đẳng thức sa u :
(a) (% oé)-^= c5-» a - i .

(b)

a o ( J o 7 ) -■= ( 9l o c í ) o J .

1»