Phương pháp giải bài tập lượng giác

Các dạng bt ph ơng trình l ợng giác
Loại 1. Bin lun theo k
1. sin (cosx) = 1
2. cos(8sinx) = -1
3. tan(cosx ) = cot( sinx)
4. cos(sinx) = cos(3sinx)
5. tan( cosx) = tan(2 cosx)
6. sinx
2
=
1
2
8. cot(x
2
+ 4x + 3) = cot6
9. Tỡm nghim dng nh nht ca pt
cos
22
)1(cos
+=
xx

10. Tỡm nghim dng nh nht ca pt
sin
)2(sin
22
xxx
+=

11. Tỡm nghim dng nh nht ca pt
cos

0sin)2/12(
22
=+
xxx

Loại 2. Cụng thc h bc
1. 4cos
2
(2x - 1) = 1
2. 2sin
2
(x + 1) = 1
3. cos
2
3x + sin
2
4x = 1
4. sin(1 - x) =
2
3

5. 2cosx + 1 = 0
6. tan
2
(2x
3

) = 2
7. cos
2

(x
5

) = sin
2
(2x +
4
5

)
Loại 3. Cụng thc cng, bin i
1. sin2x + cos2x =
2
sin3x
2. cos3x sinx =
3
(cosx sin3x )
3.
05cos
2
1
5sin
2
3
)3
2
cos(
=++
xxx

4. sin3x =
2
cos(x /5) + cos3x
5. sin(x + /4) + cos(x + /4) =
2
cos7x
6. Tỡm tt c cỏc nghim x
);
2
3
(



ca pt: sinxcos
8

+ cosxsin
8

=
1
2
Loại 4. Bi toỏn bin lun theo m
1. Gii v bin lun
2sin(1-2x) = m
2. 3cos
2
3x = m
3. sin3x + cos3x = m

4. m.sin
2
2x + cos4x = m
5. Gii v bin lun
sin2x 2m = (6m + 7)sin2x
6. Gii v bin lun
(3m + 5).sin(x + /2) = (2m + 3)cosx -m
7. Gii v bin lun
cos3x + m 5 = (3- 2m)cos3x
8. Cho pt sin
4
x + cos
4
x = m
a) Xỏc nh m pt cú nghim
b) Gii pt vi m = ắ
Loại 5. Tng hp
1. cos
2
2x sin
2
8x = sin(
x10
2
17
+

)
2. sin
2

3x cos
2
4x = sin
2
5x cos
2
6x
3.
x
x
x
cos2
sin1
2sin
=
+
4.
xxx 4sin
2
2sin
1
cos
1
=+
5. Tỡm tt c cỏc nghim x
)3;
2
(

ca pt:
sin(2x +
)
2
7
cos(3)
2
5


x
= 1 + 2sinx
6. Gii pt:
4sin
3
xcos3x +4cos
3
xsin3x + 3
3
cos4x = 3
7.
)
8
(cos2)
8
cos()
8
sin(32
2

+
xxx

=
x))
3
x)cos(-
3
cos(x(sin43
2
+++

8. 4sin
3
2x + 6sin
2
x = 3
9. Tỡm nghim nguyờn ca pt:
1)80016093(
8
cos
2
=

++
xxx

Dạng 2: Ph ơng trình bậc nhất, bậc hai và bậc cao đối với một hàm số
l ợng giác
1
1/
2cos2x - 4cosx =1
sinx 0






2/ 4sin
3
x + 3
2
sin2x = 8sinx
3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/
1-5sinx + 2cosx = 0
cosx 0

5/ Cho 3sin
3
x - 3cos
2
x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) và cos
2
x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2)
Tìm n
0
của (1) đồng thời là n
0
của (2) ( nghiệm chung sinx =
1
3
)
6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx +
3
cotx
- 2 = 0
b /
2
4
cos x
+ tanx = 7 c

/

sin
6
x + cos

4
x = cos2x
8/ sin(
5
2x +
2
) - 3cos(
7
2
x


) = 1 + 2sinx
9/
2
sin x -2sinx +2 = 2sinx -1
10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0
11/ tanx + cotx = 4 12/
2 4
sin 2x +4cos 2x -1
= 0
2sinxcosx
13/
sin 1 cos 0x x+ + =
14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0
15/
2 4
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos

x x x
x
+
=
16/ 2cosx -
sinx
= 1
17.
4 4
1
sin x cos x
2
+ =
18.
4 4
sin x cos x cos2x+ =
19.
4 4
x
4 4
1
sin x sin


+
ữ

+ =
20.
2 2 2

2 2 3
sin x sin x sin x
3 3 2

ữ ữ


+ + + =
21.
( )
6 6 4 4
5
sin x cos x sin x cos x
6
+ = +
22.
6 6
1
2
sin x cos x sin x cos x 0+ + =
23.
4 4 4 4
4sin x cos x sin x cos 4x+ = +
24.
( )
24 4 2
1
2
sin x cos x sin xcos x sinxcosx+ = +
25.

3 3
2
cos xcos3x sin xsin3x=
4
+
25.
3 3 3
cos 4x cos xcos3x sin xsin3x= +
Dạng 3: Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng:
2. Ph ơng pháp:
Đăc
biệt :
2
a.sinx b.cosx c+ =
Cách 1: asinx + bcosx = c
Đặt cosx=
2 2
a
a +b
; sinx=
2 2
b
a + b
2 2
a + b sin(x +) = c

Cách 2:
b
a sinx + cosx = c

a



Đặt
b
= tan a sinx +cosx.tan = c
a



c
sin(x +) = cos
a

Cách 3: Đặt
x
t = tan
2
ta có
2
2 2
2t 1- t
sinx = ; cosx =
1+ t 1+ t
2
(b+c)t -2at -b +c = 0

Chú ý: Điều kiện PT có nghiệm:
2 2 2

a + b c

1.
2.
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x x x

= =
m
3.

sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )
3 6
giải phơng trình:
1.
3 cos x sin x 2 =
, 2.
cosx 3 sin x 1
=
3.
3
3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x
= +
, 4.
4 4
1
sin x cos (x )
4 4

+ + =
5.
3(1 cos2 )
cos
2sin

=
x
x
x
, 6.
2
1
sin 2 sin
2
+ =x x

7.
1
3sinx +cosx =
cosx
8.
tan 3cot 4(sin 3cos )
= +
x x x x

9.
cos7x - 3sin7x + 2 = 0
;
2 6

x ( ; )
5 7

10. 2sin15x +
3
cos5x + sin5x = 0 (4)
2.
6
11. sinx +3cosx + = 6
4sinx +3cosx +1
12.
1
3sinx +cosx = 3+
3sinx +cosx +1

13. ( cos2x -
3
sin2x) -
3
sinx cosx + 4 = 0 14.
2
cosx - 2sinx.cosx
= 3
2cos x +sinx -1

15.
2
1+cosx +cos2x + cos3x 2
= (3- 3sinx)
2cos x +cosx -1 3

16.
cos7x sin 5x 3(cos5x sin 7x)
=
17. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b.
1 cosx
y
sinx cos x 2

=
+ +
c.
2 cosx
y
sinx cos x 2
+
=
+

Dạng 4: Ph ơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng:
2. Ph ơng pháp:
Giải ph-
ơng
trình
1. 3sin
2
x -
3
sinxcos

x+ 2cos
2
x
cosx=2
2. 4
sin
2
x + 3
3
sinxcosx - 2cos
2
x=4
3. 3 sin
2
x+5 cos
2
x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin
3
x + cosx = 0
5. 2 sin
2
x + 6sinxcosx + 2(1 +
3
)cos
2
x 5 -
3
= 0
6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx sinx = 0
8. tanxsin

2
x - 2sin
2
x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos
4
x - 4sin
2
xcos
2
x + sin
4
x = 0
3
2 2
3 2 2
a.sinx b.cosx 0 (1)
a.sin x b.sinx cosx c.cos x d (2)
a.sin x b.sin x cosx c.sinx cos x d.sinx e.cosx 0 (3)
+ =
+ + =
+ + + + =
Đẳng cấp bậc 2: asin
2
x + bsinx.cosx + c cos
2
x = 0
Cách 1: Thử với cosx = 0; với cosx

0, chia 2 vế cho cos
2

x ta đợc:
atan
2
x + btanx + c = d(tan
2
x + 1)
Cách 2: áp dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin
3
x + bcos
3
x + c(sinx + cosx) = 0
Hoặc asin
3
x + b.cos
3
x + csin
2
xcosx + dsinxcos
2
x = 0
Xét cos
3
x = 0 và cosx

0, chia 2 vế cho cos
3
x ta đợc phơng trình bậc 3 đối với tanx
10. 4cos
3

x + 2sin
3
x - 3sinx = 0 11. 2cos
3
x = sin3x
12. cos
3
x - sin
3
x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
14. sin
3
(x -

/4) =
2
sinx
Dạng 5: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng:
2. Ph ơng pháp:
1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx cosx 1)
3.
sin2x 2 sin x 1
4

ữ

+ =
3.
tanx 2 2sinx 1 =
1. 1 + tanx = 2sinx +
1
cos x
2. sin x + cosx=
1
tanx
-
1
cot x

3. sin
3
x + cos
3
x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin
3
x+ cos
3
x = sin2x
5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6.
2
sin2x(sin x + cosx) = 2
7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8.
2
(sin x + cosx) = tanx + cotx
9. 1 + sin
3

2x + cos
3
2

x =
3
2
sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
11.* cos
4
x + sin
4
x - 2(1 - sin
2
xcos
2
x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12.
sin cos 4sin 2 1x x x
+ =
13. sinxcosx +
sinx + cosx
= 1
14. cosx +
1
cosx
+ sinx +
1
sinx
=

10
3

Dạng 6: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
Giải phơng trình
1/ sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x 2/ cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x = 3/2
3/ sin
2
x + sin
2
3x - 3cos
2
2x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin
2

(
5x
+
4 2
) - 2cos
2
9
2
x
5/ cos
4
x 5sin
4
x = 1 6/ 4sin
3
x - 1 = 3 -
3
cos3x
7/ sin
2
2x + sin
2
4x = sin
2
6x 8/ sin
2
x = cos
2
2x + cos
2

3x
9/ (sin
2
2x + cos
4
2x - 1):
sinxcosx
= 0 10/ 2cos
2
2x + cos2x = 4 sin
2
2xcos
2
x
11/ sin
3
xcos3x +cos
3
xsin3x=sin
3
4x 12/ 8cos
3
(x +

3
) = cos3x
4
( )
( )
a sinx cos x b.sin x cosx c

a sinx cosx b.sin xcosx c




+ + =
+ =
* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx
t 2


at + b
2
t -1
2
= c

bt
2
+ 2at 2c b = 0
* a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x - cosx
t 2

at + b
2
1- t
2
= c

bt

2
- 2at + 2c b = 0
Công thức hạ bậc 2 cos
2
x =
1 cos2
2
x
+
; sin
2
x=
1-cos2x
2
Công thức hạ bậc 3 cos
3
x=
3cosx + cos3x
4
; sin
3
x=
3sinx -sin3x
4
13/
sin5x
5sinx
= 1 14/ cos7x + sin
2
2x = cos

2
2x - cosx 15/
sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x = 3/2 16/ 3cos4x – 2cos
2
3x =1
17/ sin
2
4

x+ sin
2
3x= cos
2
2x+ cos
2
x víi
x (0;π)∈
18/ sin
2
4x - cos
2
6x = sin(
10,5π +10x
) víi

π
x (0; )
2
∈

19/ 4sin
3
xcos3x + 4cos
3
x sin3x + 3
3
cos4x = 3
20/ cos4xsinx - sin
2
2x = 4sin
2
(
4 2
x
π
−
) -
7
2
víi
x -1
< 3
21/ 2cos
3
2x - 4cos3xcos

3
x + cos6x - 4sin3xsin
3
x = 0
22/ cos10x + 2cos
2
4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos
2
3x
D¹ng 7: Ph ¬ng tr×nh l îng gi¸c bËc cao

Gi¶i ph¬ng tr×nh
1. sin
4
2
x
+cos
4
2
x
=1-2sinx 2. cos
3
x-sin
3
x=cos
2
x-sin
2
x
3. cos

3
x+ sin
3
x= cos2x 4.
4 4
sin x +cos x 1
= (tanx +cotx)
sin2x 2

5. cos
6
x - sin
6
x =
13
8
cos
2
2x 6. sin
4
x + cos
4
x =
7π π
cot(x + )cot( -x)
8 3 6
7. cos
6
x + sin
6

x = 2(cos
8
x + sin
8
x) 8. cos
3
x + sin
3
x = cosx – sinx
9. cos
6
x + sin
6
x = cos4x
10. sinx + sin
2
x + sin
3
x + sin
4
x = cosx + cos
2
x + cos
3
x + cos
4
x
11. cos
8
x + sin

8
x =
1
8
12. (sinx + 3)sin
4
x
2
- (sinx + 3)sin
2
x
2
+ 1 = 0
D¹ng 8: Ph ¬ng tr×nh l îng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0
1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin
3
x + 2cosx – 2 + sin
2
x = 0
5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/
3
2
sin2x +
2
cos
2
x +
6
cosx = 0

7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
8/
sin3 sin5
3 5
x x
=
9/ 2cos2x - 8cosx + 7 =
1
cosx

10/ cos
8
x + sin
8
x = 2(cos
10
x + sin
10
x) +
5
4
cos2x
11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
13/ sin
2
x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
14/ 2sin3x -
1
sinx

= 2cos3x +
1
cosx

15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx -
1
cosx
) = 0
16/ cos
3
x + cos
2
x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos
3
x + sinx = 0
18/ sin2x = 1+
2
cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x =
2
1-cos2x
sin 2x

5
* a
3
±
b
3
=(a
±

b)(a
2
m
ab + b
2
) * a
8
+ b
8
= ( a
4
+ b
4
)
2
- 2a
4
b
4
* a
4
- b
4
= ( a
2
+ b
2
)(a
2
- b

2
) * a
6
±
b
6
= ( a
2
±
b
2
)( a
4
m
a
2
b
2
+ b
4
)