Giải tích - Chương I

PDF by 1

Chương 1
TẬP HP CÁC SỐ THỰC
Để khảo sát hàm số thực theo một biến số thực, nghóa là để khảo sát các ánh xạ
→ f:D
, trong đó D là một tập
con không rỗng của

, ta cần nắm vững các tính chất căn bản của tập

các số thực.
Do đó, trong phần 1, chúng ta giới thiệu tập

thông qua một hệ thống các tiên đề. Từ các tiên đề, ta chứng minh
được các tính chất thường dùng trên tập số thực để từ đó xây dựng được hai cặp hàm sơ cấp cơ bản : hàm lũy thừa / căn
thức và hàm mũ / lôgarít. Một số khái niệm khác liên quan đến khoảng, lân cận, các hàm sơ cấp cơ bản ... cũng được giới
thiệu một cách có hệ thống trong phần 2 nhằm cung cấp các công cụ cần thiết trong việc khảo sát các hàm số trong suốt
phần còn lại của giáo trình.
1. TẬP

CÁC SỐ THỰC
Tập các số thực, trên đó có trang bò hai phép toán, phép cộng và phép nhân, và một quan hệ thứ tự, ký hiệu
()
+⋅≤ ,,,
, thỏa các tiên đề sau, trong đó a, b, c là các số thực bất kỳ,
1.1. Tiên đề cho các phép toán
i) các phép toán đều có tính
giao hoán
:
+=+abba

;
⋅=⋅ab ba

ii) các phép toán đều có tính
kết hợp
:
()()
++=++abc abc;
()()
⋅⋅=⋅⋅abc abc
iii) phép cộng có
phần tử trung hòa
, ký hiệu 0 và phép nhân có
phần tử trung hòa
, ký hiệu 1 :
+=a0a
;
⋅=a1 a
.
iv) mọi số thực x đều có
số đối
, ký hiệu
−x
, và mọi số thực
≠x0
đều có
số nghòch đảo
, ký hiệu
−1
x

:
()
+− =
xx0
;
−
⋅=
1
xx 1
.
PDF by 2

v) phép nhân có tính
phân bố
đối với phép cộng :
()
+= +ab c ab ac
.
1.2. Tiên đề cho quan hệ thứ tự
vi) quan hệ thứ tự có tính
phản xạ
:
≤aa

vii) quan hệ thứ tự có tính
phản đối xứng
: nếu
≤ab
và
≤ba

thì
=ab

viii) quan hệ thứ tự có tính
bắc cầu
(
truyền
) : nếu
≤ab
và
≤bc
thì
≤ac

ix) quan hệ thứ tự có tính
toàn phần
: hoặc
≤ab
, hoặc
≤ba

x) quan hệ thứ tự
bền đối với phép cộng
: nếu
≤ab
thì
+≤ +acbc

xi) quan hệ thứ tự
bền đối với phép nhân các số dương

: nếu
≤ab
và
≤0c
thì
≤ac bc
. ª
Từ các tính chất nêu trên người ta suy ra mọi tính chất còn lại về phép toán cũng như quan hệ thứ tự trên tập các
số thực. Ta liệt kê một số tính chất thường dùng sau
xii)
⋅=a0 0
;
()
−⋅=−1a a;
xiii) nếu
=ab 0
thì
=a0
hay
=b0
;
xiv)
Phép trừ
: phương trình
+=xa b
có nghiệm duy nhất
()
=+− ≡−xb a ba;
xv)
Phép chia

: phương trình
⋅=ax b
, với
≠a0
, có nghiệm duy nhất
−
=⋅ ≡
1
b
xba
a
.
Ngoài ra, do các phép toán đều có tính kết hợp, ta có thể đònh nghóa
tổng
cũng như
tích một số hữu hạn
các số thực.
1.3. Đònh nghóa.
Với dãy các số thực
1
a
,
2
a
, ...,
n
a
, ... Tổng n số hạng đầu của dãy này,
++++
012 n

a a a ... a
, được viết
tắt bằng ký hiệu
∑
như sau
=
+++ =
∑
n
12 n k
k1
aa...a a
PDF by 3

(đọc là “tổng các
k
a
từ =k 1 đến =kn”).
Trong cách viết này, chỉ số k của
k
a
được gọi là
chỉ số câm
, việc lựa chọn ký tự cho chỉ số câm không làm ảnh
hưởng đến giá trò của tổng. Chẳng hạn
===
===++
∑∑∑
333
kij123

k1 i1 j1
aaaaaa
Hơn nữa, ta có thể thay đổi vùng giá trò của các chỉ số với điều kiện duy nhất là giá trò chỉ số đầu phải nhỏ hơn hay
bằng giá trò của chỉ số cuối. Chẳng hạn
=
=+++
∑
5
k2345
k2
aaaaa

nhưng ký hiệu
=
∑
2
k5 k
a không được xác đònh.
Tương tự, ta viết
=
⋅⋅⋅ =
∏
n
12 n k
k1
a a ... a a

(đọc là “tích các
k
a

từ
=k1
đến
=kn
”).
Ví dụ 1.
=
=+++ + =
∑
n
k1
k 1 2 3 ... n tổng n số nguyên tự nhiên đầu tiên;
=
=+ + + +
∑
n
k1
111 1
1...
k23n
;
PDF by 4

=
=++ + +
∑
n
k2n
k0
q1qq...q

, với quy ước =
0
q 1 và =
1
qq;
=
+=++++ +=
∑
n
k0
(2k 1) 1 3 5 ... (2n 1)
tổng +n 1 số nguyên lẻ đầu tiên;
=
=⋅⋅⋅ ⋅ ≡
∏
n
k1
k 1 2 3 ... n n!
(đọc là “n giai thừa”);
=
=⋅⋅⋅ ⋅≡
∏
1442 4 43
n
n
n lần
k1
x xxx...x x
.
Chú ý :

Tổng hữu hạn
=
∑
n
k
k1
a và tích hữu hạn
=
∏
n
k
k1
a
được đònh nghóa bằng quy nạp trên n như sau :
Với =n1, đặt
=
=
∑
1
k1
k1
aa;
=
=
∏
1
k1
k1
aa
và

+
+
==
=+
∑∑
n1 n
kkn1
k1 k1
a a a và
+
+
==
⎛⎞
⎜⎟
=⋅
⎜⎟
⎝⎠
∏∏
n1 n
kkn1
k1 k1
aaa
.
Chẳng hạn, ta có
=
==
∑
0
k0
k0

qq1
và
+
+
==
=+
∑∑
n1 n
kkn1
k0 k0
qqq
.
Đặc biệt,
PDF by 5

=
==
∏
1
k1
1! k 1

và
() () ()
+
==
⎛⎞
⎜⎟
+= = +=⋅+
⎜⎟

⎝⎠
∏∏
n1 n
k1 k1
n1! k kn1 n!n1
,
=
==
∏
1
1
k1
xxx

và
+
+
==
⎛⎞
⎜⎟
== =⋅
⎜⎟
⎝⎠
∏∏
n1 n
n1 n
k1 k1
xxxxxx
.
Nhắc lại rằng ta có quy ước

=0! 1
và =
0
x 1, với mọi
∈ x
,
và với mọi
∈

n
,
=
k 0,1,..., n
, ta đònh nghóa
()
=
−
k
n
n!
C
k! n k !
.
1.4. Mệnh đề.
i) Nếu
λ
là số thực độc lập với các chỉ số của tổng hữu hạn, ta có
=
λ= λ
∑

n
k1
n
;
==
λ=λ
∑ ∑
nn
kk
k1 k1
aa

PDF by 6

ii)
()
===
+= +
∑ ∑∑
nnn
kk k k
k1 k1 k1
ab a b;
()
===
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⋅=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

∏∏∏
nnn
kk k k
k1 k1 k1
ab a b

iii)
===
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎣⎦
∑ ∑∑
2
nnn
kik
k1 i1k1
aaa

iv) Với
()
=
=
ij
i 1,2,...,n
j 1,2,...,m
a
là họ gồm
×nm

số thực, ta có
== ==
=
∑∑∑∑
nm mn
ij ij
i1j1 j1i1
aa

v) ==
0n
nn
CC1, với mọi
∈

n
và
−
+
+=
kk1k
nn n1
C C C , với mọi
∈

n
và
=k 1,2,...,n
.
Chứng minh.

Chú ý rằng tổng cũng như tích hữu hạn được đònh nghóa bằng quy nạp trên n. Do vậy, một cách tự nhiên
là ta chứng minh các tính chất trên bằng quy nạp. Chẳng hạn, với đẳng thức iii), khi =n1, ta có
===
⎡⎤
⎢⎥
==
⎢⎥
⎣⎦
∑∑∑
2
111
2
kik1
k1 i1k1
aaaa,
nghóa là đẳng thức iii) đúng khi
=n1
.
Giả sử đẳng thức iii) đúng với một
∈

n
, nghóa là

== =
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎣⎦

∑∑∑
2
nn n
ik k
i1k1 k1
aa a .
Khi đó, ta có
PDF by 7

++ +
+
== = =
⎛⎞
⎜⎟
=+
⎜⎟
⎝⎠
∑∑ ∑ ∑
n1n1 n1 n
ik ik in1
i1k1 i1 k1
aa aa aa


++++
== =
⎛⎞
⎜⎟
=+++
⎜⎟

⎝⎠
∑∑ ∑
nn n
ik in1 n1k n1n1
i1 k1 k1
aa aa a a a a


++ +
== = =
=+++
∑∑ ∑ ∑
nn n n
2
ik n1 i n1 k n1
i1k1 i1 k1
aa a a a a a

+
++
==
⎡⎤
⎢⎥
=+ +
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
2
n1 n
2

kn1kn1
k1 k1
a2a aa


+
+
==
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=+=
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
∑∑
22
nn1
kn1 k
k1 k1
aa a,
nghóa là đẳng thức iii) cũng đúng cho +n 1 . Vậy do phép chứng minh quy nạp, đẳng thức iii) đúng với mọi
∈

n
.
Chứng minh các đẳng thức còn lại được coi như bài tập. ª
1.5. Đònh lý.

Với
∈ a, b
và

∈

n
, ta có
i) Công thức khai triển nhò thức Newton
()
−
=
+=
∑
n
n
knkk
n
k0
ab Ca b

ii)
()
−−
=
−=−
∑
n
nn nkk1
k1
ab ab ab

Chứng minh.
i) Quy nạp trên n. Khi =n 1 , đẳng thức

PDF by 8

()
−− −
=
+=+= + =
∑
n
1
0010 1111 k k1k
11 1
k0
ab abCab Cab Cab

đúng. Giả sử đẳng thức i) đúng với một
∈ n
, nghóa là
()
−
=
+=
∑
n
n
knkk
n
k0
ab Ca b
.
Khi đó, ta có

() ()()()
+
−
=
+=++=+
∑
n
n1 n
knkk
n
k0
ab abab ab Ca b


()
(
−−
=+ + ++
0n00 1n11
nn
a b C a b C a b ...

()
−−
−−−
⎞
++
⎟
⎠
nn1

n1 n1 n nn n
nn
Ca b Ca b

()
+− −
+− +− − −
=+++ +
n1 n1
0 n100 1 n111 n1 n1
nn n
Ca b Ca b ... C a b

+− − + − +
++++
nn1nn 0n001 1n111
nnn
Ca b Ca b Ca b

()
−−
−−+−+
++ +
nn1
n1 n11 nnn n1
nn
... C a b C a b

(
)

+− +−
=++ ++
0n100 1 0 n111
nnn
C a b C C a b ...

(
)
−+− −+
++ +
nn1n1nnnnnn1
nn n
CC a bCab

+− +−
++
=+++
0n100 1n111
n1 n1
C a b C a b ...

()
+− +
+− + +
++
++
n1 n1
nn1nn n1 n1
n1 n1
Ca b Ca b

PDF by 9


+
+−
+
=
=
∑
n1
kn1kk
n1
k0
Ca b
,
nghóa là đẳng thức i) cũng đúng cho
+n1
.
ii)
()
−−
=
−=
∑
n
nkk1
k1
ab a b

()

(
−− − −
=− + ++
n111 n221
aba b a b ...

()()
−− −−
−−
⎞
++
⎟
⎠
nn1 n11
nnn1
ab ab

−−−
=+ ++ +
nn1 2n2 n1
aab...ab ab


(
)
−− −
−+ +++
n1 n2 2 n1 n
a b a b ... ab b

=−
nn
ab
. ª
Bằng cách viết
()
−=+−a b a b và
()
+=−−
n
nnn
a b a b khi n là số nguyên lẻ, ta được
1.6. Hệ quả.

Với
∈

a, b
và
∈

n
, ta có
i)
() ()
−
=
−= −
∑
n

nk
knkk
n
k0
ab 1Ca b
.
ii) Khi
n
là số lẻ, ta có
()()
−
−−
=
+=+ −
∑
n
k1
nn nkk1
k0
ab ab 1 ab
.

1.7. Đònh lý.
i) Bất đẳng thức Cauchy : Với
∈

a, b ,
≥
a, b 0 , ta có