Giải tích - Chương II

PDF by

18
Chương 2
DÃY VÀ CHUỖI SỐ
Dãy số là hàm số có miền xác đònh là tập

các số nguyên tự nhiên.
Người ta thường dùng dãy số làm mô hình cho các hiện tượng rời rạc. Chẳng
hạn khi người ta đo đạc các đại lượng tại những thời điểm cách đều nhau như
sản lượng hàng năm, chỉ số giá tiêu dùng hàng tháng, kết toán năm ...
1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT
1.1. Đònh nghóa. Dãy số là một ánh xạ từ

vào

liên kết mỗi
∈ n
với
∈ 
n
u
; ký hiệu
()
Φ→
Φ≡

a
n
:
nnu

Khi khảo sát dãy số, người ta thường thay
()
Φan n bằng ký hiệu
a
n
nu
, trong đó biến
∈ n
được gọi là
chỉ số
.
Dãy số còn được ký hiệu bởi
()
∈
n
n
u,
()
n
n
u
,
()
n
u
,
a
n
nu

hay
1
u
,
2
u
, ...
trong đó
n
u
được gọi là
số hạng thứ
n của dãy
()
n
u
và
1
u
là
số hạng đầu
.
Ví dụ 1.
i) Dãy
()
n
u xác đònh bởi
=
n
ua

,
∈

n
, trong đó a là một hằng
số (nghóa là
n
u
không phụ thuộc vào n). Loại dãy này còn được gọi là
dãy
hằng
.
ii) Dãy
()
n
u xác đònh bởi
=
n
un
,
∈ 
n
.
iii) Dãy
()
n
u
xác đònh bởi
=
n

1
u
n
,
∈ n
.
iv) Dãy
()
n
u xác đònh bởi
()
=−
n
n
u1,
∈ 
n
.
v) Dãy
()
n
u xác đònh bởi
(
)
=+
n
1
n
n
u1 ,

∈ 
n
.
vi) Dãy
()
n
u xác đònh bởi
(
)
+
=+
n1
1
n
n
u1 ,
∈ 
n
.
vii) Dãy
()
n
u
cho bởi
=
1
u1
,
=+
2

u11
,
=++
3
u111
, ... . Ta
nói
()
n
u xác đònh bằng quy nạp theo n :
=
1
u1
và với mọi
∈

n
,
+
=+
n1 n
u1u.
PDF by

19
viii) Dãy
()
n
u xác đònh bằng quy nạp theo n :
=

1
u2
và với mọi
∈

n
,
+
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
n
3
n1 n
u
1
uu
2
.
ix)
Lãi kép
: Một lượng vốn C đầu tư với lãi suất i trong n năm với tiền
lời được nhập vào vốn mỗi cuối năm. Giá trò của lượng vốn này vào cuối năm
thứ nhất được ký hiệu là
1
x
, cuối năm thứ hai là
2
x

, ..., cuối năm thứ n là
n
x
.
Ta có

()
=+
1
xC1i;

()
=+
2
2
xC1i;
...

()
−
−
=+
n1
n1
xC1i;

()()
−
=+=+
n

nn1
xx 1iC1i.
và như vậy, ta nhận được dãy số
()
n
x với
()
=+
n
n
xC1i.
x)
Lãi liên tục
: Với 1 đồng vốn đầu tư, xét trường hợp chu kỳ tính lãi
nhập vào vốn giảm dần với lãi suất năm 7%, nửa năm
7
2
%
, quý
7
4
%
, tháng
7
12
%
, tuần
7
52
%

, ngày
7
365
%
... và đặt
1
y
,
2
y
,
4
y
,
12
y
,
52
y
,
365
y
giá trò vốn
thu được vào cuối năm, ta có

=+ =
1
y 1 0,07 1,07
;

()
=+ =
2
0,07
2
2
y 1 1,071225
;

()
=+ ≈
4
0,07
4
4
y 1 1,071859
;

()
=+ ≈
12
0,07
12
12
y 1 1,072290
;

()
=+ ≈
52

0,07
52
52
y 1 1,072458
;

()
=+ ≈
365
0,07
365
365
y 1 1,072501
.
Tổng quát, khi một năm được chia thành n chu kỳ đều nhau với lãi suất
trên mỗi chu kỳ là
7
n
%
và tiền lời được nhập vào vốn sau từng chu kỳ thì giá
trò vốn nhận được cuối năm là
()
=+
n
0,07
n
n
y1
.
PDF by

20
Ta nhận được dãy số
()
n
y.
1.2. Đònh nghóa.
i) Dãy số
()
n
u
được gọi là
tăng
khi
∀∈n
,
+
≤
nn1
uu
và được gọi là
tăng
ngặt
khi
∀∈

n
,
+
<

nn1
uu
.
Dãy số
()
n
u được gọi là
giảm
khi
∀∈

n
,
+
≤
n1 n
uu
và được gọi là
giảm
ngặt
khi
∀∈n
,
+
<
n1 n
uu
.
Một dãy là tăng hay là dãy giảm được gọi là một dãy
đơn điệu

. Tương tự,
một dãy là tăng ngặt hay là dãy giảm ngặt được gọi là dãy
đơn điệu ngặt
.
ii) Dãy số
()
n
u được gọi là
bò chận trên
khi
∃∈A
,
∀∈

n
,
≤
n
uA
,
nghóa là tồn tại số thực A lớn hơn mọi
n
u
. Ta nói A là một
chận trên
của dãy
số
()
n
u.

Dãy số
()
n
u được gọi là
bò chận dưới
khi
∃∈B
,
∀∈

n
,
≥
n
uB
. Ta nói
B là một
chận dưới
của
()
n
u.
Dãy số
()
n
u được gọi là
bò chận
khi nó vừa bò chận trên, vừa bò chận
dưới.
Chẳng hạn, với số thực

>b0
bất kỳ, dãy số
=
n
unb
, với
∈

n
là một
dãy tăng ngặt vì với mọi
∈

n
,
()
+
=+ > =
n1 n
u n 1 b nb u ,
bò chận dưới bởi 0 vì
>
n
u0
, với mọi
∈

n
. Tuy nhiên, nó không bò chận
trên. Để chứng minh điều này, ta dùng phép chứng minh phản chứng. Giả sử

()
n
u bò chận trên với một chận trên là M. Xét các tập con của

,
{ }
=∈

n
A u n và
{ }
=∈∀∈ ≤

n
BM n ,u M.
Dễ thấy rằng chúng là các tập con không rỗng của

và
∀∈ ∈ ≤
xA,yB,xy
.
Do tiền đề đầy đủ của

, tồn tại số thực
α∈

sao cho
∀∈ ∈ ≤α≤
xA,yB,x y
.

Điều này cho thấy
()
+= + ≤α
nb b n 1 b ,
với mọi
∈ n
, và do đó
≤α−nb b
, với mọi
∈

n
.
Điều này cho thấy
α− ∈bB
. Vô lý vì
α− <αb
.
PDF by

21
Do dãy
()
∈

n
nb không là dãy bò chận, nghóa là mọi số thực
∈

a

đều
không là một chận trên của nó, ta được kết quả quan trọng sau
1.3. Đònh lý Archimède.

Cho
>b0
. Ta có
∀∈ ∃∈ >a,n,nab
.
Đặc biệt, bằng cách lấy
=∈ax
bất kỳ,
=>b10
và lấy
=a1
,
=ε>b0

bất kỳ, ta được
1.4. Hệ quả.
i)
∀∈ ∃∈ >x,n,nx
;
ii)
∀ε > ∃ ∈ < ε

1
0, n ,
n
.

Ví dụ 2
. Dãy số
()
n
u
, xác đònh bởi
=
1
n
n
u
, là dãy giảm ngặt và là dãy bò
chận, với 0 là một chận dưới và 1 là một chận trên.
Dãy
()
n
u
, xác đònh bởi
()
=−
n
n
u 1 , không là dãy đơn điệu nhưng là dãy
bò chận với một chận dưới là
−
1 và một chận trên là 1.
2. DÃY HỘI TỤ
2.1. Đònh nghóa.
Dãy số
()

n
u
được gọi là
hội tụ
khi tồn tại số thực a sao cho
khoảng cách giữa
n
u
và a đủ nhỏ khi số nguyên n đủ lớn.
Chẳng hạn, với dãy số
=
1
n
n
u
, bằng cách dùng đònh lý Archimède, ta
chứng minh được rằng khoảng cách giữa
n
u
và số 0,
−=
1
n
n
u0
, sẽ đủ nhỏ
khi n đủ lớn. Do vậy,
()
n
u là dãy hội tụ.

Chính xác hơn,
()
n
u
là dãy hội tụ khi

∃∈ ∀ε> ∃ ∈ ∀ ≥ − <ε

00n
a, 0,n ,nn,ua.
Điều này có nghóa là với mỗi
ε
dương (đủ nhỏ), ta tìm được một số nguyên tự
nhiên
0
n
(có thể thay đổi theo từng
ε
), sao cho với mọi số nguyên n, nếu
≥
0
nn
thì
−<ε
n
u a . Bấy giờ, ta viết
→+∞
=
n
n

lim u a
hay [
→
n
ua
khi
→+∞
n]
Ta còn nói rằng dãy
()
n
u

hội tụ về
a và a được gọi là
giới hạn
của dãy

()
n
u.
Xuất phát từ nhận xét rằng
PDF by

22
i) Nếu
()
n
u
là dãy hội tụ với giới hạn

u
thì dãy
()
n
a
, xác đònh bởi
=−
nn
auu
, cũng là dãy hội tụ và có giới hạn là
0
.
ii) Nếu
()
n
a
và
()
n
b
là các dãy hội tụ với cùng giới hạn là
0
thì các dãy
()
n
u
,
()
n
v

,
()
n
w
, xác đònh bởi
=+
nnn
uab
,
=α
nn
va
(
α∈

cố đònh),
=⋅
nnn
wab
, cũng là các dãy ho65u tụ về
0
.
iii) Nếu
()
n
a
là dãy hội tụ về
0
và
≤

nn
ba
, với mọi
∈ n
, thì dãy
()
n
b

cũng hội tụ về
0
.
ta suy ra kết quả sau
2.2. Mệnh đề.

Nếu
→+∞
=
n
n
lim u u
và
→+∞
=
n
n
lim v v
thì
i)
()

→+∞
+=+
nn
n
lim u v u v
,
ii)
()
→+∞
α=α
n
n
lim u u
, với mọi
α∈

,
iii)
()
→+∞
⋅=⋅
nn
n
lim u v u v
.
iv) Hơn nữa, nếu
≠v0
và
≠
n

v0
, với mọi
∈

n
, thì
→+∞
=
n
n
n
u
u
lim
vv
.
v) Nếu
≤≤
nn n
uvw
, với mọi
∈

n
, và
→+∞ →+∞
==
nn
nn
lim u lim w a

thì
→+∞
=
n
n
lim v a
.
Chứng minh.
Đặt
=−
nn
auu
và
=−
nn
bvv
. Ta được hai dãy
()
n
a và
()
n
b
cùng hội tụ về 0. Ta suy ra
i)
()()
+−+=+→
nn nn
u v u v a b 0 và do đó
+→+

nn
uv uv
.
ii)
α−α=α→
nn
uua0
kéo theo
α→α
n
uu
.
iii)
−= + + →
nn nn n n
uv uv ab ub va 0
cho
→
nn
uv uv
.
iv) Do
−
−=
nnn
nn
uubva
u
vv vv

và với n đủ lớn, ta có thể giả sử
≥
v
n
2
v
, ta suy ra
−≤ − →
n
nn
2
n
u
u2
ub va 0
vv
v
.
PDF by

23
Từ đó suy ra
→
n
n
u
u
vv
khi →+∞n.
v) Do

{ }
−≤ − − ≤ −+ −→
nnnnn
vamaxua,wa uawa0
ta suy ra
→
n
va
khi →+∞n. ª
Áp dụng mệnh đề 2.2, ta nhận được một số dãy hội tụ thường dùng sau
2.3. Đònh lý.
a) Nếu
>p0
thì
→+∞
=
p
n
1
lim 0
n
.
b) Nếu
>p0
thì
→+∞
=
n
n
lim p 1

.
c)
→+∞
=
n
n
lim n 1
.
d) Với mọi
α∈

và
>p0
, ta có
()
α
→+∞
=
+
n
n
n
lim 0
1p
.
e) Nếu
<x1
thì
→+∞
=

n
n
lim x 0
.

Chứng minh.
a) Với mọi
ε>0
, ta có
(
)
ε
−= <ε⇔ >⇔>
ε
1/p
p
1
pp
11 1
0nn
nn
.
Do vậy, ứng với mỗi
ε>0
, ta chọn
∈

0
n
sao cho

(
)
ε
>
1/p
1
0
n (hệ quả
1.4, i)). Khi đó
∀≥
0
nn
,
−<ε
p
1
0
n

nên do đònh nghóa,
→+∞
=
p
1
n
n
lim 0
.
b) Khi
=p1

, =
n
p 1 với mọi n, và do vậy, hiển nhiên
→+∞
=
n
n
lim p 1
.
Khi >p 1, bằng cách đặt
=−≥
n
n
up10
, ta có
()
=
=+ = ≥ =
∑
n
n
kk 1
nnnnnn
k0
p1u Cu Cu nu
.
Do
≤≤→
p
n

n
0 u 0 ta suy ra
→+∞
=
n
n
lim u 0
và do đó
→+∞
=
n
n
lim p 1
.
Khi <<0 p 1 , bằng cách đặt
=>
1
p
q1, ta được
=→
n
1
n
q
p1.
PDF by

24
c) Đặt
=−≥

n
n
xn10. Do
()
()
=
−
=+ = ≥ =
∑
n
n
kk 22 2
nnnnn n
k0
nn 1
n1x Cx Cx x
2
,
với mọi
≥n2
, ta suy ra
≤≤ = →
−
−
n
1/2 1
n
212
0x 0
n1

1
n

khi →+∞n . Từ đó suy ra
→+∞
=
n
n
lim n 1.
d) Chọn
∈

0
k
sao cho
>α
0
k
(hệ quả 1.4, i)). Vì
()
()()( )
=
−− −+
+= ≥ =
∑
00 0
n
n
kk k
0

kk
nn
0
k0
n n 1 n 2 ... n k 1
1p Cp Cp p
k!
,
với mọi
≥
0
nk
, ta suy ra
()
()()( )
αα
≤= ≤
−− −+
+
0
0
n
nk
0
k!
nn
0x
nn 1 n 2...n k 1
p
1p

()()
−α
−
=→
⎛⎞
−− −
⎜⎟
⎝⎠
00
0
0
kk
k1
12
nn n
k!
11
0
pn
11...1

khi →+∞n . Suy ra
()
α
→+∞
=
+
n
n

n
lim 0
1p
.
e) Trường hợp
=x0
thì hiển nhiên. Khi <<0 x 1, bằng cách chọn
∈ p

sao cho
−
=⇔= >
+
1x
1
xp0
1p
x
và dùng d), ta suy ra
()
⎛⎞
−= = = = →
⎜⎟
+
⎝⎠
+
n
0
n
nn

n
1n
x0x x 0
1p
1p

và do đó
→+∞
=
n
n
lim x 0 . ª
Chú ý.
a) Khi
()
n
u
là một dãy hội tụ, giới hạn
∈ a
của nó là duy nhất.
Để chứng minh tính chất này (tính duy nhất của giới hạn), ta chứng minh
rằng nếu dãy
()
n
u có hai giới hạn thì chúng phải bằng nhau.
b) Nếu
()
n
u là một dãy hội tụ với giới hạn
∈


a
thì nó là dãy bò chận,
nghóa là tồn tại
>A 0
sao cho
≤
n
uA
, với mọi
∈ n
.
PDF by

25
Từ đó, bằng suy luận đảo đề, ta suy ra rằng : Nếu
()
n
u là dãy
không
bò
chận thì nó
không
là dãy hội tụ. Ta nói
()
n
u là một dãy
phân kỳ
.
Chẳng hạn, dãy

()
n
u
xác đònh bởi =
2
n
un,
∈ n
, không là dãy bò chận
do với mọi số thực ∈

A , hệ quả 1.4, i) khẳng đònh sự tồn tại số nguyên
∈

0
n
sao cho
>
0
nA
. Khi đó, với mọi
≥
0
nn
, ta có
=≥>
2
n
unnA.
Từ đó, ta kết luận rằng

()
n
u là một dãy phân kỳ.
Nhận xét rằng
n
u
lấy giá trò đủ lớn khi giá trò của n đủ lớn. Dãy như
vậy còn được gọi là “hội tụ” về
+∞
. chính xác hơn, ta có đònh nghóa sau
2.4. Đònh nghóa.
Ta nói dãy
()
n
u tiến về
+∞
khi n tăng ra
+∞
khi
∀> ∃ ∈ ∀≥ >

00n
A 0, n , n n , u A
.
Bấy giớ, ta viết
→+∞
=+∞
n
n
lim u

hay [
→+∞
n
u
khi →+∞n]
Dãy
()
n
u được gọi là tiến về
−∞
khi n tăng ra
+∞
khi
∀< ∃ ∈ ∀≥ <

00n
A 0, n , n n , u A
.
Ký hiệu
→+∞
=−∞
n
n
lim u
hay [
→−∞
n
u
khi
→+∞

n].
2.5. Mệnh đề.

Nếu
→+∞
=
n
n
lim u 0
và
≠
n
u0
,
∀∈

n
, thì
→+∞
=+∞
n
1
u
n
lim
. Hơn
nữa, nếu
>
n
u0

,
∀∈

n
thì
→+∞
=+∞
n
1
u
n
lim
và nếu
<
n
u0
,
∀∈

n
thì
→+∞
=−∞
n
1
u
n
lim
. Ngược lại, nếu
→+∞

=+∞
n
n
lim u
thì
→+∞
=
n
1
u
n
lim 0
.

Chứng minh.
Với mỗi
>A 0
, tồn tại
∈

0
n
sao cho
<
1
n
A
u
và do đó
>

n
1
u
A , với mọi
≥
0
nn
. Điều này chứng tỏ rằng
→+∞
=+∞
n
1
u
n
lim .
Ngược lại, nếu
→+∞
=+∞
n
n
lim u thì ứng với mỗi
ε>
0
, tồn tại
∈

0
n
sao
cho, với mọi

≥
0
nn
, ta có
ε
>
1
n
u
và do đó
<ε
n
1
u
. Điều này có nghóa là
→+∞
=
n
1
u
n
lim 0.