Tài liệu hướng dẫn giải một số bài tập giải tích nhiều biến số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI
Bộ mơn giải tích
*************

tµi liƯu
h−íng dÉn giảI một số bài tập
giảI tích nhiều biến số
(Ti liu lưu hành nội bộ)

Hµ NéI –Tháng 3 năm 2008


LỜI NĨI ĐẦU
Trong q trình đổi mới giảng dạy theo tín chỉ của Trường Đại học Thủy lợi, khi
làm quen với các giáo trình tiên tiến của thế giới có thể xuất hiện những khó khăn đối với
các sinh viên không chỉ về kiến thức mà đôi khi cả về phương pháp học. Thơng qua việc
học giáo trình giải tích nhiều biến số của MIT đã khẳng định những khó khăn trên là có
thật. Để tháo gỡ phần nào những khó khăn này và tạo điều kiện cho sinh viên học tập đạt
kết quả tốt, Bộ mơn Giải tích đã đầu tư thời gian và công sức để biên soạn “Tài liệu hướng
dẫn giải một số bài tập” trong giáo trình Giải tích nhiều biến số của Simmon. Cuốn tài liệu
này giúp sinh viên tháo gỡ một phần khó khăn trong việc tìm ra lời giải bài tốn, tuyệt
nhiên khơng phải là đáp án hoàn chỉnh cho từng dạng bài tốn cũng như khơng thể thay thế
cho giờ bài tập trên lớp. Hy vọng cuốn tài liệu này sẽ đáp ứng một phần nguyện vọng học
tốt của sinh viên.
Thời gian hồn thành tài liệu được khơng nhiều nên có thể không tránh khỏi những
sơ xuất, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc.
Mọi ý kiến xin gửi về:
Bộ mơn Giải tích - Trường đại học Thủy Lợi Hà Nội
E.mail: (hoặc )

Hà Nội, tháng 3 năm 2008

PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo


Hướng dẫn giải từng mục
PGS.TS. Phó Đức Anh : Mục 17.4, 18.5, 18.6, 18.7
TS.

Nguyễn Hữu Thọ: Mục 19.1, 19.2

Ths.

Nguyễn Thị Vân: Mục 19.3, 19.5, 19.6

Ths.

Phan Thanh Lương: Mục 19.7, 19.8

Ths.

Nguyễn Quý Lăng: Mục 19.9, 19.10, 20.1

Ths. NCS. Trịnh Tuân: Mục 20.2, 20.4
Ths.

Đào Tấn Quy: Mục 20.3, 20.5, 20.8

Ths.

Phan Thị Thanh Huyền: Mục 20.6, 20.7, 21.1

Ths.

Nguyễn Đức Hậu: Mục 21.2, 21.3

Ths.

Lê Thị Minh Hải: Mục A22, A23


MỤC LỤC
17.4. Giải tích hàm số véc tơ một biến………...……………… …………….1
18.5. Mặt trụ. Mặt trụ tròn xoay ……………………………………………...2
18.6. Mặt bậc hai …………………………………………………………......5
18.7. Hệ tọa độ cầu. Hệ tọa độ trụ ……………………………………………9
19.1. Hàm số nhiều biến ……………………………………………...…… 11
19.2 Đạo hàm riêng ………………………………………………………...15
19.3. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong ………………………………..…

20

19.5. Đạo hàm theo hướng và Gradient …………………………..……… 23
19.6. Quy tắc dây chuyền đối với đạo hàm riêng ……………………. … …26
19.7. Bài toán giái trị cực đại và cực tiểu …………………………………...31
19.8. Cực trị có điều kiện. Nhân tử Largrange …………………………... ..38
19.9. Phương trình Laplace. Phương trình truyền nhiệt.
Phương trình truyến sóng ……………………………………………..

44

19.10. Đạo hàm hàm Nn ……………………………………………………...48
20.1 Tính thể tích bằng tích phân lặp ……………………………………

50

20.2. Tích phân bội hai và tích phân lặp . ………………………...……….. 54
20.3 Ứng dụng vật lý của tích phân bội hai ………………...………… . 56
20.4. Tích phân bội hai trong toạ độ cực …………………………………..58
20.5. Tích phân bội ba ………………………………………………………65
20.6. Tọa độ trụ ………………………………………...………………… .70
20.7. Tọa độ cầu. Lực hấp dẫn …………………...……………………… ..75
20.8. Diện tích của mặt cong ……………………………………………….78
21.1. Tích phân đường trong mặt phẳng …………………………………...82
21.2. Sự không phụ thuộc vào đường. Trường bảo toàn ……………………87
21.3. Định lý Green. ……………………………………………………….90
A22. Tích phân mặt và định lý phân nhánh ……………………………….96
A23. Định lý Stoke. ………………………………………………………..98
Phụ lục: Đính chính một số lỗi in ấn trong giải tích nhiều biến số………

102


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
17.4. GIẢI TÍCH CỦA HÀM VÉC TƠ MỘT BIẾN
1.

Hãy miêu tả hình học quỹ tích điểm cuối của R nếu R = A + tB, nếu cả A và B

không bằng 0 và B không song song với A. Hãy vẽ hình đó.
HD: Gọi tọa độ A(xA; yA ); B(xB; yB ); R(x; y ), thế thì: x = xA + txB; y = yA + tyB. Quỹ tích
điểm cuối của R là một đường thẳng ∆ có phương trình x = xA + txB; y = yA + tyB (t∈ℜ là
tham số). (Bạn đọc tự vẽ hình.)
2.

Tính vị trí quỹ tích của R nếu R = ati + b(1-t)j trong đó a và b là các hằng số khác

khơng?
3.

Chứng minh quỹ tích điểm đầu cuả R = ti + (mt+b)j là đường y=mx+b.

HD: Áp dụng kết quả bài tập1, ta có: x = t; y = b + tm (t∈ℜ là tham số). Khử t đi sẽ có y =
mx+b (Đường thẳng có hệ số góc m và đi qua điểm (0; b).
4.

Tìm quỹ tích điểm cuối của R = (1+t)i + (t2+2t+3)j ?

Trong bài tập từ 5 đến 9, R là vị trí của một điểm chuyển động tại thời điểm t. Trong mỗi
trường hợp hãy tính vận tốc, gia tốc và tốc độ.
5.
HD:

R = (t2+1)i+(t-1)j
Ta có: x(t) = (t2+1); y(t) = (t–1) (t∈ℜ là tham số).

Vectơ vận tốc: V = dR/dt = 2ti + j. Vectơ gia tốc A = V’ = dV/dt = 2i. Tốc độ tại thời
điểm t là: 1 + 4t 2 .
6.

R = –t2i + t2j

7.

R = ti + (t3-3t)j

ĐS: Vectơ vận tốc: V = dR/dt = i + 3(t2 –1)j. Vectơ gia tốc A = V’ = dV/dt = 6tj. Tốc độ
tại thời điểm t là: 1 + 9(t 2 − 1) 2 .
8.

R = (cos2t)i + (sint)j

9.

R = (tant)i + (sec t)j

ĐS: Vectơ vận tốc: V = dR/dt = sec2t( i + sint j). Vectơ gia tốc A = V’ = dV/dt = 6tj. Tốc
độ tại thời điểm t là:
v = sec 2 t 1 + sin 2 t .
10.

Nếu véc tơ vị trí của một hạt chuyển động là R = (acoskt)i + (bsinkt)j, trong đó a,b,k

là các hằng số dương thì vật chuyển động trên ellip: x2/a2+y2/b2=1. Chứng minh rằng a = –
k2R và miêu tả lực F tạo ra chuyển động này.

1

B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
11.

Nếu gia tốc của một hạt chuyển động là a = aj, trong đó a là một hằng số khơng đổi,

tìm R thơng qua hai tích phân kế tiếp theo t và chứng minh quỹ đạo của hạt là một
parabola; một đường thẳng hoặc một điểm đơn.
HD: Ta có v = at.j + v0, R = (at2/2).j + v0t + R0. Khi đó: x = vx.t +Rx ; y = at2/2 + vy.t +Ry,
trong đó : (vx, vy) = v và (Rx, Ry) = R. Khử t trong hai phương trình trên, ta sẽ có hệ thức
giữa y và x. Trường hợp vx = 0, hạt sẽ chuyển động theo một đường thẳng vng góc với
trục x. Trường hợp a = 0, hạt cũng chuyển động theo một đường thẳng. Trường hợp a = 0,
vx = vy =0, hạt đứng yên, các trường hợp khác còn lại hạt chuyển động theo một đường pa
ra bôn.
12.

Nếu một hạt chuyển động khơng có lực tác động, nghĩa là a = 0, chứng minh rằng

vật đó chuyển động với vận tốc không đổi theo một đường thẳng. Đây là định luật thứ nhất
về chuyển động của Newton.
18.5. MẶT TRỤ VÀ MẶT TRỤ TRỊN XOAY

Vẽ mặt trụ của các phương trình trong các bài tập từ 1 dến 8. Gọi tên chúng nếu đã có
tên từ trước.
1.

y = x2 .

HD: Mặt trụ parabôlic, các đường sinh thẳng đứng (song song hoặc trùng với Oz). Giao với

(xOy) theo đường (P): y = x 2 (Bạn đọc tự vẽ hình.)
2.

y 2 + 4 z 2 = 16

3.

x = sin y .

HD: Mặt trụ có các đường sinh thẳng đứng (song song hoặc trùng với Oz). Giao với (xOy)
theo đường hình sin: x = sin y . (Bạn đọc tự vẽ hình.)
4.

xz = 4

5.

x + 3z = 6 .

HD: Mặt phẳng song song với trục Oy, chứa hai điểm (6; 0; 0) và (0; 0;2). (Bạn đọc tự vẽ
hình.)
6.

x2 + z 2 = 9

7.

x = tan y, −

π

2

< y<

π
2

2


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

HD: Mặt trụ có các đường sinh thẳng đứng (song song hoặc trùng với Oz). Giao với (xOy)
theo đường: x = tan y, −

π
2

< y<

π
2

. (Bạn đọc tự vẽ hình.)

8.

y = ex

9.

Các đường sinh của mặt trụ song song với trục y. Giao của chúng với mặt phẳng xz

là đường trịn với tâm (0,0,a) và bán kính a. Vẽ mặt trụ và tìm phương trình của nó.
HD: Mặt trụ có phương trình: x2 + (z–a)2 = a2. (Bạn đọc tự vẽ hình.)
10.

Các đường sinh của mặt trụ song song với trục x. Giao của chúng với mặt phẳng xz

là một parabol với đỉnh tại (0,0,0) và tiêu điểm (0,0,-p). Vẽ mặt trụ và tìm phương trình của
nó.
2

11.

Tìm phương trình của mặt trịn xoay tạo ra khi quay đường cong z = e − y quanh:

(a)

trục z

(b)

trục y

HD: Giải tương tự theo cách làm trong ví dụ 3, trang 44. a) Thay y2 trong phương trình
đường cong đã cho bởi: x2 + y2. Phương trình mặt trịn xoay là: z = e − ( x

2

+ y2 )

. b) Thay z trong

phương trình đường cong đã cho bởi: ± x 2 + z 2 , sau đó bình phương hai vế. Phương trình
2

mặt trịn xoay là: x 2 + z 2 = e −2 y .
12.

Tìm phương trình của mặt tròn xoay tạo ra khi quay đường tròn

( y − b) 2 + z 2 = a 2 (a < b) quanh:

(a)

trục z

(b)

trục y

Vẽ cả hai trường hợp.
13.

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình của mặt trịn xoay tạo ra khi quay

đường cong cho trước quanh trục xác định, và vẽ các mặt cong:

(a)

y = z 2 , trục y.

(b)

HD: Mặt parabơlơít trịn xoay có trục y, giao với (yOz) là (P1): y = z 2 ; giao với

(xOz) là (P2): y = x 2 . Phương trình mặt là: y = x 2 + z 2 .
(c)

9 x 2 + 4 y 2 = 36 , trục y.

3


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
(d)

HD: 9 x 2 + 4 y 2 = 36 là phương trình của một đường ellip nằm trong mặt phẳng xy,

có độ dài hai bán trục a = 2; b = 3. Khi quay quanh trục y, đường ellip tạo nên một mặt
ellipxơit trịn xoay:

x2 y 2 z 2
+
+ = 1.
4

9
4

(e)

z = 4 − x 2 , trục z.

(f)

HD: z = 4 − x 2 là phương trình của một đường parabơn nằm trong mặt phẳng xz, có

đỉnh tại (0; 0; 4) và quay bề lõm xuống dưới. Khi quay quanh trục z, đường parabôn này
tạo nên một mặt parabơlơit trịn xoay: z = 4 − ( x 2 + y 2 )
(g)

x = y 2 , trục x.

(h)

HD: x = y 2 là phương trình của một đường parabơn nằm trong mặt phẳng xy, có

đỉnh tại (0; 0) và nhận trục x làm trục đối xứng. Khi quay quanh trục x, đường parabôn này
tạo nên một mặt parabơlơit trịn xoay: x = y 2 + z 2 .
14.

Hướng bất kì trong khơng gian khơng song song với mặt phẳng xy có thể đặc trương

bởi véc tơ V = ai + bj+k (Tại sao?). Nếu một đường cong C trong mặt phẳng xy có phương
trình f(x, y) = 0; hãy chỉ ra rằng phương trình mặt trụ sinh bởi một đường thẳng chuyển
động nhưng luôn song song với V và cắt C ( Hình 18.31) là

f ( x − az , y − bz ) = 0

Chú ý. Viết phương trình đối xứng của đường thẳng đi qua điểm (x0, y0, 0) trên C và song
song với V.

Hình 18.31
15.

Tìm phương trình mặt trụ sinh bởi một đường thẳng tựa vào đường tròn

x 2 + y 2 = 6 x nằm trong mặt phẳng xy và dịch chuyển song song với véc tơ V = 2i +3j +k.

HD: Dùng kết quả bài tập 15 với a = 2; b = 3 và f(x, y) = x 2 + y 2 − 6 x

4


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

ĐS: f(x –2z; y –3z) = (x –2z)2 + (y –3z)2 – 6(x–2z) = 0 hay là: x2 + y2 +13z2 – 4xz – 6yz –
6x +12z = 0.
16.

Tìm phương trình mặt trụ sinh bởi một đường thẳng cắt parabol y = x 2 , nằm trong

mặt phẳng xy và đường thẳng này chuyển động song song với véc tơ V = –2i –3j +5k.
18.6. MẶT BẬC HAI
Vẽ và xác định các mặt cong trong các bài tập từ 1÷14

1.

2 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16 ;

HD: Đưa về (E):

x2 y 2 z 2
+
+ = 1 là một mặt ellipsoit có ba bán trục là a = 2 2 ; b = 4; c =
8 16 4

2. (Các bạn tự vẽ hình)
2.

z 2 = 4( x 2 + y 2 )

3.

z = 4( x 2 + y 2 )

HD: Giao của mặt cong với (yOz) là (P): z = 4y2; với (xOz) là (P’): z = 4x2; Đây là mặt
parabơlơít trịn xoay, tiếp xúc với (xOy) tại gốc O(0;0;0). Giao tuyến giữa mặt cong và mặt
phẳng z = a2 (a>0) là một đường trịn tâm I(0;0; a2) bán kính a/2, nằm trong mặt phẳng song
song với (xOy). (Bạn đọc tự vẽ hình.)
4.

x2 − 4 y2 + z2 = 4

5.

− 4 x 2 + y 2 − 9 z 2 = 36

HD: Giao của mặt cong với (yOz) là (H): y2/36–z2/9 = 1; với (xOy) là (H): y2/36–x2/9 = 1;
với (xOz) là tập rỗng. Đây là mặt hypecbơlơít hai tầng khơng trịn xoay, có trục y, mặt này
khơng có điểm chung với (xOz). Giao tuyến giữa mặt cong và mặt phẳng y = a (|a| ≥ 6) là
một đường ellip có tâm nằm trên trục y, hai trục đối xứng lần lượt song song với trục x và
trục z. Độ dài các bán trục theo x và theo y lần lượt là:
vẽ hình.)
6.

z = 4 − 2x2 − 3 y 2

7.

z = x2 − 2 y2

5

a 2 − 36 / 2; a 2 − 36 / 3. (Bạn đọc tự


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

HD: Mặt kẻ parabơlơít hypecbơlic. Giao của mặt này với (yOz) là (P): z = –2y2; với (xOz)
là (P): z = x2; với (xOy) là hai đường thẳng y = ±x/ 2 (Xem hình vẽ với trục x hướng từ
trái qua phải, trục y hướng từ ngoài vào trong, trục z thẳng đứng, hướng
lên.)
8.

x 2 = y 2 + 4z 2

9.

x2 − 4 y 2 − 4z 2 = 4

HD: Mặt cong không giao với (yOz) (tức là mặt phẳng x = 0); Giao với (xOz) theo
hypécbôn (H1): x2– 4z2 = 4; với (xOy) là (H2): x2– 4y2 = 4; Đây là mặt Hypecbơlơít 2 tầng
trịn xoay (nhận trục z làm trục đối xứng).
10.

x 2 + 9 y 2 − 4 z 2 = 36

11.

36 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36

HD: Đưa về (E):

x2 y 2 z 2
+
+ = 1 là một mặt ellipsoit có ba bán trục là a = 1 ; b = 3; c = 2.
1
9
4

(Các bạn tự vẽ hình)
12.

y = 1− x2 − 2 y 2

13.

z + 4x2 = y 2

HD: Mặt kẻ (Parabơlơít Hypecbơlic). Giao tuyến với mặt phẳng xy là cặp đường thẳng: y =
± 2x; với mặt phẳng xz là parabôn: z = –4x2; với mặt phẳng yz là một parabôn: z = y2. Bạn
đọc tự vẽ hình dựa trên hình 18.37 trang 50 với b = 1; a = –4.
14.

x2 + y 2 − z 2 − 2x − 4 y + 1 = 0

15.

Tìm giao điểm của đường thẳng

x−6 y +2 z −2
x2 y2 z2
=
=
với ellipsoid
+
+
=1
3
−6
4
81 36 9

HD: Chuyển phương trình đường thẳng về dạng tham số: x = 6 + 3t; y = –2 – 6t; z = 2 + 4t;
Thế vào phương trình mặt ellipsoid sẽ được: t = 0 và t = –1. Tìm được hai giao điểm: M1(6;
–2; 2) và M2(3; 4; –2).
16.

Chỉ ra rằng mặt phẳng 2x–2z–y=10 giao với paraboloid 2 z =

duy nhất và tìm điểm đó
17.

6

x2 y2
+
tại một điểm
9
4


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

(a)

Xét ellipsoid

x2 y2 z 2
+
+

= 1 và tìm diện tích A(k) của thiết diện hình ellip trong
a 2 b2 c2

mặt phẳng nằm ngang z = k. Gợi ý: πAB là diện tích của 1 elip với các bán trục AB
(b)

Sử dụng cơng thức tìm được ở (a) để tìm thể tích của ellipsoid bằng tích phân

HD: a) Thiết diện là một hình ellip có đường biên:
là: A = a 1 −

x2 y2
k2
+
=
1
−
. Hai bán trục của ellip
a2 b2
c2

k2
k2
k2
;
B
=
b
1
−

.
Như
vậy,
A(k)
=
πAB
=
π
ab
(1
−
).
c2
c2
c2
c

4
b) Do tính đối xứng, V = 2 ∫ A(k )dk = π abc .
3
0

18.

Cho eliptic paraboloid z = ax 2 + by 2 và sử dụng tích phân để chỉ ra rằng thể tích của

phần cắt bởi mặt phẳng z=k với k (+) bằng một nửa diện tích đáy nhân với chiều cao của
nó.
19.

Chỉ ra rằng hình chiếu trên mặt phẳng xy của giao tuyến hai mặt cong
z = 1 − x 2 và z = x 2 + y 2 là 1 elip, gợi ý: Tính z từ các phương trình trên

HD: 1– x2 = x2 + y2 tương đương với: 2x2 + y2 = 1, chiếu xuống mặt (xOy) sẽ có đường
(E)

x2 y 2
+
= 1 . (Bạn đọc tự vẽ (E) này.)
1
1
2

20.

Chỉ ra rằng hình chiếu trên mặt phẳng yz của giao tuyến của mặt phẳng x=2y và

paraboloid x = y 2 + z 2 là một đường trịn
21.

Chỉ ra rằng hình chiếu trên mặt phẳng xy của giao tuyến của các paraboloid

z = 3 x 2 + 5 y 2 ; z = 8 − 5 x 2 − 3 y 2 là một đường tròn

HD: 3x2 + 5y2 = 8 – 5x2 – 3y2 tương đương với: x2 + y2 = 1, chiếu xuống mặt (xOy) sẽ có
đường trịn tâm O(0; 0) bán kính R = 1.
22.

Cho hai phương trình x 2 + 3 y 2 − z 2 + 3x = 0 và 2 x 2 + 6 y 2 − 2 z 2 − 4 y = 3 tạo thành

một hệ với giao của chúng là một đường cong không gian. Chỉ ra rằng đường cong này nằm
trong một mặt phẳng, gợi ý: Chiếu xuống từng mặt phẳng toạ độ
23.

Sử dụng phương pháp trong mục 15.6 để tìm bản chất của đồ thị z = xy, vẽ mặt

cong.
HD: Thực hiện phép quay hệ trục (xOyz) quanh Oz một góc π/4 để thành (x’Oy’z’). Phép
biến đổi tương ứng là: x = (x’– y’)/ 2 ; y = (x’+ y’)/ 2 ; z = z’. Khi đó phương trình mặt
7


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

cong sẽ là: 2z’ = x’2 – y’2. Mặt cong có dạng parabơlơit hypécbơlic (Xem hình 18.37 trang
50).
Mặt kẻ là mặt cong S có tính chất tại mỗi điểm P trên S có một đường thẳng đi qua P và
nằm trên S. Tất cả mặt nón, mặt trụ, hypelboloid một tầng, hypelbol paraboloid đều là các
mặt kẻ, trong đó ellipsoid hipelboloid 2 tầng elliptic paraboloid thì khơng.
24.

Chỉ ra rằng hypelboloid một tầng x 2 + y 2 − z 2 = 1 là một mặt kẻ, kéo theo

(a)

Giao của mặt cong trong mặt phẳng xy là đường trịn C có phương trình x 2 + y 2 = 1 .

Cho P0 = (x0,y0,0) là 1 điểm trên C. Chỉ ra rằng đường thẳng L có phương trình x=x0+y0t,

y=y0-x0t, z=t đi qua P0 và nằm trên mặt cong
(b)

Giả sử P=(x,y,z) là một điểm tuỳ ý trên mặt cong, chỉ ra rằng đường thẳng L trong

phần (a) đi qua P với một điểm thích hợp P0= (x0,y0,0). Vì vậy khi P0 dịch chuyển theo C thì
đường thẳng L xác định mặt cong*
25.

Chỉ ra rằng mặt parabôlôit hypécbôlic z = − x 2 + y 2 là một mặt kẻ bằng cách

chứng tỏ rằng: nếu P0 = ( x0 , y0 , y02 − x02 ) là một điểm bất kỳ trên mặt này thì đường thẳng
x = x0 + t , y = y0 + t , z = ( y02 − x02 ) + 2( y0 − x0 )t

đi qua P0 và nằm hoàn toàn trên mặt cong.
HD: Cho t = 0 sẽ thấy: x = x0 ; y = y0 ; z = ( y02 − x02 ) nghĩa là đường thẳng đi qua P0. Hơn nữa,
ta có y 2 − x 2 = ( y0 + t ) 2 − ( x0 + t )2 = ( y02 − x02 ) + 2( y0 − x0 )t = z với mọi t bất kỳ, tức là đường
thẳng nằm trọn trên mặt cong.
Hai họ đường thẳng tạo thành mặt kẻ hai lần trong bài tập 25 và 26 được chỉ ra trong Hình
18.38

Hình 18.38

Mặt kẻ hai lần

8


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
•

Họ đường thẳng x = x0 + y0t , y = y0 − x0t , z = −t cũng bao phủ hoàn toàn mặt cong

nên hypelboloid một tầng được gọi là mặt kẻ 2 lần.
•

Họ đường thẳng x = x0 + t , y = y0 + t , z = ( y02 − x02 ) + 2( y0 − x0 )t cũng bao phủ hoàn

toàn mặt cong nên hypelbol paraboloid cũng là mặt kẻ 2 lần.
18.7 HỆ TỌA ĐỘ CẦU. HỆ TỌA ĐỘ TRỤ
1.

Tìm toạ độ trụ của các điểm có toạ độ vng góc sau:

(a)

( 2,2,-1)

π
ĐS: (2 2, , −1)
4

(b)

(1, − 3 ,7)

π
ĐS: (2, − , 7)

3

(c)

(3, 3, 2)

π
ĐS: (2 3, , 2)
6

(d)

(3,6,5)

ĐS: (3 5; tan −1 2;5)

2.

Tìm tọa độ vng góc của các điểm có toạ độ trụ sau:

(a)

( 2,

(b)

( 3,

(c)

(1,1,1)

(d)

(2,

3.

Tìm tọa độ cầu của các điểm có toạ độ vng góc sau:

(a)

(1,1, 6 )

π π
ĐS: (2 2, , )
6 4

(b)

(1,−1,− 6 )

ĐS: (2 2,

(c)

(1,1, 2 )

π π
ĐS: (2, , )

4 4

(d)

(0,−1, 3 )

π π
ĐS: (2, , − )
6 2

4.

Tìm tọa độ vng góc của các điểm có toạ độ cầu sau:

(a)

(3,

π
3

π
4

,−2)

5π
,11)
6

,π )

5π π
,− )
6
4

π π

, )
2 2

9


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

π

,π )

(b)

(4,

(c)

(4, , )

3 3

(d)

(4,

2

π π

2π π
, )
3 3

Trong các bài tập từ 5 đến 11, tìm phương trình toạ độ trụ cho các mặt cong có phương
trình toạ độ vng góc cho trước. Vẽ các mặt cong đó.
5.

x 2 + y 2 + z 2 = 16

ĐS: Mặt cầu tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = 4, có phương

trình trong hệ tọa độ trụ là: r2 + z2 =16. (Bạn đọc tự vẽ hình.)
6.

x2 + y 2 = 6z

7.

x2 + y2 = z 2

ĐS: Mặt nón trịn xoay có đỉnh tại gốc tọa độ, nhận trục z làm

trục đối xứng, có phương trình trong hệ tọa độ trụ là: r2 = z2. (Bạn đọc tự vẽ hình.)
8.

x2 − y2 = 3

9.

x2 + y2 − 2 y = 0

ĐS: Mặt trụ tròn xoay chứa trục z và các đường sinh đều

vng góc với mặt phẳng (xy), có đường chuNn là đường trịn nằm trong mp(xy) tâm (0,1)
bán kính 1, có phương trình trong hệ tọa độ trụ là: r = 2sinθ. (Bạn đọc tự vẽ hình.)
10.

x2 + y 2 − 4x = 0

11.

x2 + y2 = 9

ĐS: Mặt trụ tròn xoay, nhận trục z làm trục đối xứng, có

đường chuNn là đường trịn nằm trong mp(xy) tâm (0,0) bán kính 3, có phương trình trong
hệ tọa độ trụ là: r = 3. (Bạn đọc tự vẽ hình.)
12.

Tìm phương trình toạ độ trụ cho các mặt cong có phương trình toạ độ vng góc là

z 2 ( x 2 − y 2 ) = 4 xy .

Trong các bài tập từ 13 đến 18, tìm phương trình theo toạ độ cầu cho các mặt cong có
phương trình theo toạ độ vng góc cho trước. Vẽ các mặt cong đó.
13.

x 2 + y 2 + z 2 = 16

ĐS: Mặt cầu tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = 4, có

phương trình trong hệ tọa độ cầu là: ρ = 4. (Bạn đọc tự vẽ hình.)
14.

x2 + y 2 + z 2 + 4z = 0

15.

x2 + y 2 + z 2 − 6z = 0

ĐS: Mặt cầu tâm tại (0, 0, 3), bán kính R = 3, tiếp xúc

với mặt phẳng xy tại gốc tọa độ và có phương trình trong hệ tọa độ cầu là: ρ = 6cosφ . (Bạn
đọc tự vẽ hình.)

10


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
16.

x2 + y2 = 9

17.

z = 4 − x2 − y2

ĐS: Mặt parabơlơít trịn xoay có đỉnh tại (0, 0, 4), giao

với mặt phẳng xy là đường trịn tâm O, bán kính R = 2, giao với mặt phẳng yz là parabôn:
z = 4 – y2, giao với mặt phẳng xz là parabôn: z = 4 – x2 và có phương trình trong hệ tọa độ
cầu là: ρ2 sin2φ + ρcosφ = 4. (Bạn đọc tự vẽ hình.)
18.

( x 2 + y 2 + z 2 )3 = ( x 2 + y 2 ) 2

19.1. HÀM NHIỀU BIẾN
Tìm miền xác định
1.

f ( x, y ) =

xy
y − 2x

Hướng dẫn:
+Hàm số xác định ⇔ y − 2 x ≠ 0 ⇔ y ≠ 2 x

+ Mô tả: MXĐ là phần mặt phẳng xy trừ đi đường thẳng y = 2 x
3.

f ( x, y ) = xy

Hướng dẫn:
+ Hàm số xác định ⇔ xy ≠ 0 tức là x và y cùng dấu
+ Mô tả: MXĐ là miền góc phần tư (I) và (III) kể cảc các trục tọa độ

5. f ( x, y ) = ln( y − 3x )
Hướng dẫn:
+ Hàm số xác định ⇔ y − 3x > 0 ⇔ y > 3 x
+ Mơ tả: MXĐ là miền mặt phẳng xy nằm hồn tồn phía trên đường thẳng y = 3x

7.

f ( x, y , z ) =

1
2

x + y2 + z2

Hướng dẫn:
+ Hàm số xác định ⇔ x 2 + y 2 + z 2 > 0 , tức là x, y và z không đồng thời băng 0.
+ MXĐ là phần khơng gian xyz khơng tính gốc tọa độ.

9.

f ( x, y , z ) = 16 − x 2 − y 2 − z 2

Hướng dẫn:

11


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

+ Hàm số xác định ⇔ 16 − x 2 − y 2 − z 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 .
+ Mô tả: MXĐ là những điểm nằm bên trong khối cầu x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 (kể cả bề mặt)

11.

1
f ( x, y , z ) = xy ln z + 3 tan z
2

Hướng dẫn:

z > 0
+ Hàm số xác định ⇔  1
.
π
z
≠
+
k
π

⇔
z
≠
π
+
k
2
π
,
k
∈
»
 2
2
+ Mô tả: MXĐ là phần không gian nằm hồn tồn phía trên mặt phẳng xOy trừ đi những
điểm thuộc các mặt phẳng z = π + k π, k = 1, 2,3,...
13. Chỉ ra rằng hàm số được định nghĩa bởi
 xy

f ( x, y ) =  x 2 + y 2
0


( x, y ) ≠ (0,0)
( x, y ) = (0,0)

liên tục tại gốc toạ độ. Gợi ý: Sử dụng x = r cos θ , y = r sin θ

chuyển về hệ toạ độ cực.

Hướng dẫn:

 x = rcosϕ
+ Đặt 
 y = r sin ϕ

,

ta thấy rằng ( x, y ) → 0 ⇔ r → 0

 r 2 sin ϕcosϕ
, r≠0

+ Khi đó f ( r ) = 
r

r=0
0 ,

, dễ thấy lim f ( r ) = 0 = f (0) . Vậy hàm số
r →0

liên tục tại (0,0).

Trong các bài tập sau hãy biểu diễn các hàm bằng cách vẽ một số đường mức cố
gắng hình dung mặt cong từ đồ thị trắc địa
15. z = x 2 + 2 y 2
Hướng dẫn:
+ Với mỗi c, đường mức x 2 + 2 y 2 = c là
- Ellip có trục lớn thuộc trục x nếu c > 0

- tập rổng nếu c < 0

12


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
- điểm gốc nếu c = 0.

+ Bản đồ trắc địa: Với c > 0, tập hợp tất cả các đường mức chính là bản đồ trắc địa
+ Mặt cong giao với mặt xz theo giao tuyến là đường Parabol z = x 2 (bề lõm quay theo
chiều dương trục z), giao với mặt yz theo giao tuyến là đường Parabol z = 2 y 2 (bề lõm
quay theo chiều dương trục z).
+ Như vậy mặt cong là parabiloid elliptic.
17. z = x − y
Hướng dẫn:
+ Với mỗi c đường mức x − y = c là đường thẳng:
- đi qua (|c| ; 0) ; (0, -|c|) nếu c > 0
- đi qua (- |c| ; 0) ; (0, |c|) nếu c < 0
- phân giác x - y=0 (phân giác (I) của mặt xy).
+ Bản đồ trắc địa: tập hợp tất cả các đường mức chính là bản đồ trắc địa
+ Mặt đã cho là mặt phẳng chứa đường phân giác (I) của mặt xy có hướng đi lên theo
hướng dương trục x, đi xuống theo hướng ngược lại.
19. z = x 2 − y
Hướng dẫn:
+ Với mỗi c đường mức y = x 2 + c là Parabol nhận trục y là trục đối xứng, bề lõm quay
lên trên:
- đỉnh nằm phía trên trục x khi c > 0.
- đỉnh nằm phía dưới trục x khi c < 0.

- đỉnh nằm ngay trên trục x khi c = 0.
+ Bản đồ trắc địa: tập hợp tất cả các đường mức chính là bản đồ trắc địa
+ Mặt cong giao với mặt yz theo giao tuyến y+z=0 : là phân giác (II) của mặt phẳng yz)
+ Mặt cong giao với mặt xz theo giao tuyến là Parabol z = x 2 .
+ Vậy mặt đã cho là mặt trụ Parabolic có đường sinh cùng phương với đường phân giác
(II) của mặt yz, mặt đó được tạo bởi các đường thẳng cùng phương với đường sinh và tựa
trên đường Parabol y = x 2 (Parabol này nằm trong mặt phẳng xy) .
21. z =

y
x

Hướng dẫn:

13


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

+ Với mỗi c đường mức

y
= c là :
x

- đường thẳng y = cx ( x ≠ 0 ) thuộc góc phần tư (I) và (III) nếu c > 0
- đường thẳng y = cx ( x ≠ 0 ) thuộc góc phần tư (II) và (IV) nếu c < 0
- là trục hoành x (trừ điểm gốc) khi c = 0.

+ Bản đồ trắc địa: tập hợp tất cả các đường mức chính là bản đồ trắc địa
+ Khi ta đi

trên mặt cong bắt đầu từ điểm rất gần gốc tọa độ theo đường xoắn ốc

ngược chiều kim đồng hồ và khi x, y chạy trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba thì mặt
cong có hướng đi lên và nằm ở phía trên mặt phằng xy ; cịn khi x, y chạy trong góc phần
tư thứ hai và thứ tư, còn ta di chuyển trên mặt cong từ điểm rất gần gốc tọa độ cùng chiều
kim đồng hồ thì mặt cong có hướng đi xuống đồng thời nằm ở phía dưới mặt phẳng xy. Chú
ý rằng mặt cong khơng có điểm nào thuộc mặt phẳng yz.

23 . z = x 2 − y 2
Hướng dẫn:
+ Với mỗi c, đường mức là
- Hypecbol vuông với tiêu điểm thuộc trục x nếu c > 0.
- Hypecbol vuông với tiêu điểm thuộc trục y nếu c < 0.
- Là hai đường thẳng y = ± x nếu c = 0.
+ Bản đồ trắc địa: tập hợp tất cả các đường mức chính là bản đồ trắc địa
+ Mặt cong giao với mặt xz theo giao tuyến là Parabol z = x 2
+ Mặt cong giao với mặt yz theo giao tuyến là Parabol z = − y 2 .
+ Nhận thấy: Trong tất cảc các mặt phẳng x=k (song song với mặt phẳng yz) các giao
tuyến là các Parabol có bề lõm theo hướng âm của trục z và các đỉnh của chúng tựa trên
Parabol z = x 2 . Càng gần gốc tọa độ mặt cong tăng theo x và giảm theo y (Ta sẽ đi trên

mặt cong có hướng đi lên khi rời gốc theo hướng dương hoặc hướng âm của trục x, và có
hướng xuống dưới khi rời gốc theo hướng dương hoặc âm của trục y,) . Vậy mặt cong là
mặt yên ngựa (Paraboloid Hyperbolic) và gốc tọa độ là điểm yên ngựa của mặt đó.
Vẽ một vài mặt mức rồi từ đó xác định hướng khi giá trị của hàm số tăng
25.

x2 y 2 z 2
f ( x, y , z ) =
+
+
4
9 16

14


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
Hướng dẫn:

x2 y 2 z 2
+
+
= c là mặt Ellipsoid khi c > 0, là tập rỗng khi
4
9 16

+Với mỗi c, mặt mức

c < 0 , là điểm gốc toạ độ khi c = 0 . Khi c > 0 và tăng dần thì mặt Ellipsoid nở dần ra.
+ Vậy khi c thay đổi ta chỉ loại bỏ duy nhất gốc O.

27.

f ( x, y , z ) = 2 x − 5 y + 3 z

Hướng dẫn:
+ Với mỗi c mặt mức là mặt phẳng 2 x − 5 y + 3z = c .
+ Giả sử c1 < c2 < c3 thì mặt tương ứng với c1 nằm phía dưới mặt tương ứng với c2 ,

mặt tương ứng với c2 nằm phía dưới mặt tương ứng với c3 .

19.2. ĐẠO HÀM RIÊNG
Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm hai biến số
1. z = 2 x + 3 y
Hướng dẫn:

∂z
= 2,
∂x
3. z =

∂z
= 3,
∂y

2 y2
3x + 1

Hướng dẫn:

∂z
−6 y 2
=
,

∂x (3 x + 1) 2

4y
∂z
=
,
∂y 3x + 1

5. z = x 2 sin y
Hướng dẫn:

∂z
= 2 x.sin y,
∂x

∂z
= x 2 cos y
∂y

7. z = x tan 2 y + y tan 3 x
Hướng dẫn:

∂z
= tan 2 y + 3 y.sec 2 3x,
∂x

∂z
= 2 x.sec 2 2 y + tan 3x,
∂y

9. z = cos(3 x − y )

15


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
Hướng dẫn:

∂z
= −3.sin(3x − y ),
∂x

∂z
= sin(3x − y ),
∂y

11. z = e x sin y
Hướng dẫn:

∂z
= e x .sin y,
∂x
13.

∂z
= e x .cos y,
∂y

z = e y ln x 2

Hướng dẫn:

∂z 2.e y
=
,
∂x
x

∂z
= e y ln x 2 ,
∂y

15. w = x 2 y 5 z 7 ,
Hướng dẫn:

∂w
= 2 x. y 5 z 7 ,
∂x
17. w = x ln

∂w
= 5x2 y 4 z 7
∂y

,

∂w
= 7 x2 y5 z 6

∂z

y
,
z

Hướng dẫn:

∂w
y
= ln ,
∂x
x

∂w x
=
∂y y

,

∂w − x
=
∂z
z

19. Xét mặt cong z = 2 x 2 + y 2 .
Mặt phẳng y=3 cắt mặt cong theo một đường cong. Tìm phương trình đường thẳng

(a)

tiếp xúc với đường cong tại x=2.
Mặt phẳng x=2 cắt mặt cong theo một đường cong. Tìm phương trình đường thẳng

(b)

tiếp xúc cho đường cong tại y=3.

Hướng dẫn:

 y = 3
a) + Phương trình giao tuyến 
2
 z = 2 x + 9

+ Hệ số góc của của tiếp tuyến tại x = 2 (trong mặt phẳng y = 3 ) là:

k=

∂z
∂x

= 4x
(2,3)

=8
(2,3)

16

B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

y = 3
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 
 z = 8( x − 2) + z (2,3) = 8 x + 1

b)

 x = 2
+ Phương trình giao tuyến 
2
 z = y + 8

+ Hệ số góc của của tiếp tuyến tại y = 3 (trong mặt phẳng x = 2 ) là:

k=

∂z
∂x

= 2y
(2,3)

=6
(2,3)

x = 2
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 

 z = 6( y − 3) + z (2,3) = 6 y − 1

21. Chỉ ra rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình x
a) z =

∂z
∂z
+y
=0
∂x
∂y

x
;
y

Hướng dẫn:
+

∂z 1
= ,
∂x y

∂z − x
=
∂y y 2

+ Thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh
b) z =

x
;
x+ y

Hướng dẫn:
+

∂z
y
=
,
∂x ( x + y ) 2

∂z
−x
=
∂y ( x + y ) 2

+ Thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh
2 y2
c) z = ln 2 ;
x

Hướng dẫn:

17


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

+

∂z −2
=
,
∂x
x

∂z 2
=
∂y y

+ Thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh
xy 2
;
d) z = 3
x + y3

∂z y 5 − 2 x3 y 2
+
=
,
∂x ( x3 + y 3 ) 2

∂z 2 x 4 y − xy 4
=
∂y ( x3 + y 3 ) 2

+ Thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh

23. Nếu z = x5 − 2 x 4 y + 5 x 2 y 3 chỉ ra rằng x

∂z
∂z
+y
= 5z
∂x
∂y

Hướng dẫn:
+

∂z
= 5 x 4 − 8 x3 y + 10 xy 3 ,
∂x

∂z
= −2 x 4 + 15 x 2 y 2
∂y

+ Thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh

Kiểm tra lại
25.

∂2 z
∂2 z
=

∂y∂x ∂x∂y

z = ln( x + 5 y )

Hướng dẫn:

∂z
1
+
=
,
∂x x + 5 y
+

∂z
5
=
,
∂y x + 5 y

∂2 z
−5
=
∂y∂x ( x + 5 y ) 2
∂2 z
−5
=
∂x∂y ( x + 5 y ) 2

+ Ta được điều cần chứng minh

27.

z = f ( x) g ( y )

Hướng dẫn:

∂z
= f '( x).g ( y ),
∂x

∂2 z
= f '( x).g '( y )
∂y∂x

∂z
+
= f ( x).g '( y ),
∂y

∂2 z
= f '( x).g ( y )
∂x∂y

+

+ Ta được điều cần chứng minh

18

B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

29. Chỉ ra rằng mỗi hàm số sau thỏa mãn phương trình Laplace
Hướng dẫn:
f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 )

a)

+

∂f
2x
= 2
,
∂x x + y 2

∂2 f

+

∂f
2y
= 2
,
∂y x + y 2

∂2 f

∂x 2

∂y 2

2( y 2 − x 2 )

=

=

( x 2 + y 2 )2
2( x 2 − y 2 )
( x2 + y 2 )2

+ Thay vào phương trình ta được điều cần chứng minh
f ( x, y ) = e x sin y

b)

+

∂f
= e x sin y ,
∂x

∂2 f

+

∂f
= e x cos y,
∂y

∂2 f

∂x

∂y

2

= e x sin y

= −e x sin y

2

+ Thay vào phương trình ta được điều cần chứng minh
f ( x, y ) = e −3 x cos 3 y

c)

∂f
+
= −3e −3 x cos3 y ,
∂y

∂2 f

∂f
= −3e−3 x sin 3 y,
∂y

∂2 f

+

∂y

∂y

2

2

= 9e −3 x cos3 y
= −9e−3 x cos3 y

+ Thay vào phương trình ta được điều cần chứng minh
d) f ( x, y ) = tan −1

y
x

+

∂f
−y
= 2

,
∂x x + y 2

∂2 f

+

∂f
x
= 2
,
∂y x + y 2

∂2 f

∂x

∂y

2

2

=

=

−2 xy
2

( x + y 2 )2
2 xy
2

( x + y 2 )2

+ Thay vào phương trình ta được điều cần chứng minh

19

∂2 f
∂x 2

+

∂2 f
∂y 2

=0


B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

 ∂f
2
 ∂x = 3 y − 2 xcosy
 ∂f
 = 6 xy + x 2 sin y + 2

 ∂y

31. Tìm hàm f ( x, y ) sao cho

(1)

Hướng dẫn:
+ Lấy nguyên hàm

∂f
theo biến x ta có
∂x

f ( x, y ) = ∫ (3 y 2 − 2 xcosy)dx = 3xy 2 − x 2 cos y + g ( y ) (*)
+ Lấy đạo hàm hai vế của (*) theo biến y ta có

∂f
= 6 xy + x 2 sin y + g '( y )
∂y

(2)

+ Từ (1) và (2) suy ra g '( y ) = 2 ⇒ g ( y ) = 2 y + C
+ Vậy hàm số cần tìm là:

f ( x, y ) = 3 xy 2 − x 2 cos y + 2 y + C

19.3. MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CONG
Trong các bài tập 1 đến 10, tìm mặt phẳng tiếp xúc với các mặt cong cho trước tại các điểm
tương ứng.

1. z = ( x 2 + y 2 )2 ,

(1,2,25)

Hướng dẫn : dùng công thức (4)
+) z x' = 4 x(x 2 + y 2 ) , z 'y = 4 y (x 2 + y 2 )
+) z x' (1 , 2) = 20 , z 'y (1 , 2) = 40
+) Tiếp diện mặt cong tại (1 , 2 , 25) là
z − 25 = 20( x − 1) + 40( y − 2)

3. z = sin x + sin 2 y + sin 3( x + y ),

⇔ 20 x + 40 y − z − 75 = 0

(0, 0, 0)

Hướng dẫn
+) z x' = cos x + 3. cos 3( x + y )

z 'y = 2. cos 2 y + 3. cos 3( x + y )

+) z x' (0 , 0) = 4 , z 'y (0 , 0) = 5
+) Tiếp diện mặt cong tại (0 , 0 , 0) là
z − 0 = 4( x − 0 ) + 5( y − 0)

⇔ 4x + 5 y − z − 9 = 0

20

B mụn gii tớch -đại học thủy lợi

Bi tp: GII TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ
5. z = x 2 − 2 y 2 ,

(3, 2,1)

Hướng dẫn
+) z x' = 2 x , z 'y = − 4 y
+) z x' (3 , 2) = 6 , z 'y (3 , 2) = − 8
+) Tiếp diện mặt cong tại (3 , 2 , 1) là
z − 1 = 6( x − 3) − 8( y − 2)

7. z = e y cos x,

⇔ 6x − 8 y − z − 1 = 0

(0, 0,1)

Hướng dẫn
+) z x' = − e y . sin x , z 'y = e y . cos x
+) z x' (0 , 0) = 0 , z 'y (0 , 0) = 1
+) Tiếp diện mặt cong tại (0 , 0 , 1) là
z − 1 = 0( x − 0) + 1( y − 0)

9. xy 2 + yz 2 + zx 2 = 25,

⇔ y − z +1 = 0

(1,2,3)

Hướng dẫn
+) Đạo hàm 2 vế phương trình theo biến x:

y 2 + 2 y.z.z x' + z x' .x 2 + 2 zx = 0

+) Thay x = 1 , y = 2 , z = 3 vào phương trình

⇒ z x' (1 , 2 ) = −

+) Đạo hàm 2 vế phương trình theo biến y:

2 xy + z 2 + 2 y.z.z 'y + z 'y .x 2 = 0

+) Thay x = 1 , y = 2 , z = 3 vào phương trình

⇒ z 'y (1 , 2) = − 1

10
13

+) Tiếp diện mặt cong tại (1 , 2 , 3) là
z −3 = −

10
(x − 1) − 1( y − 2 )
13

⇔ 10 x + 13 y + 13 z − 75 = 0

11. Cho P0 = ( x0 , y0 , z0 ) với z0 >0 là một điểm trên mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . Chỉ ra rằng
mặt phẳng tiếp xúc tại điểm này vng góc với véc tơ bán kính tại điểm đó, đồng thuận với

định nghĩa được đưa ra trong hình học.
Hướng dẫn
+)

2 x + 2 z.z x' = 0

2 y + 2 z.z 'y = 0

+) Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại ( x o , y o , z o ) , z o' > 0 là

21