Mối tương quan thực nghiệm giữa chu kỳ dao động riêng và số tầng của nhà cao tầng

LỜI CAM ĐOAN
Tên tơi là:

Nguyễn Đồn Kh

Sinh ngày:

02/02/1992

Q qn:

Thanh Oai - Hà Nội

Nơi công tác: Công ty cổ kiến trúc và xây dựng Aicovina.
Tôi xin cam đoan Luận văn tốt nghiệp cao học ngành kỹ thuật xây dựng cơng trình dân
dụng và công nghiệp với đề tài: “Mối tương quan thực nghiệm giữa chu kỳ dao động
riêng và số tầng của nhà cao tầng” là luận văn do cá nhân tôi thực hiện. Các kết quả
nghiên cứu tuân thủ theo tiêu chuẩn Việt Nam và các văn bản pháp luật hiện hành. Kết
quả nghiên cứu khơng sao chép bất kì tài liệu nào khác.
Hà Nội, ngày ….. tháng 1 năm 2019
Tác giả luận văn

Nguyễn Đoàn Khuê

i


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện Luận văn Thạc sỹ, tôi đã nhận được
sự giúp đỡ, tạo điều kiện nhiệt tình và quý báu của nhiều cá nhân và tập thể.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Anh Dũng đã

tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình nghiên cứu, hồn thành luận văn này. Tôi
xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khác trong Khoa, Bộ môn Xây dựng dân dụng
và công nghiệp đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt quá
trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các anh em, bạn bè, đồng nghiệp thuộc lớp cao học
23XDDD21 đã giúp tơi tìm kiếm, cung cấp tài liệu tham khảo, số liệu tính tốn để
hồn thành luận văn này.
Mặc dù tơi đã rất cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả sự nhiệt tình và năng lực của
mình, tuy nhiên do trình độ có hạn nên khơng thể tránh khỏi những thiếu sót hoặc có
những phần nghiên cứu chưa sâu. Rất mong nhận được sự chỉ bảo và thông cảm của
các Thầy cô.
Tôi xin trân trọng cảm ơn !
Hà Nội, ngày ….. tháng 1 năm 2019
Tác giả luận văn

Nguyễn Đoàn Khuê

ii


MỤC LỤC
DANH MỤC HÌNH VẼ ................................................................................................. V
DANH MỤC BẢNG BIỂU ......................................................................................... VII
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG, PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠNG
TRÌNH. ............................................................................................................................3
1.1. Các khái niệm cơ bản ...............................................................................................3
1.2. Phản ứng cơng trình một bậc tự do. .........................................................................4
1.2.1. Mơ hình tính tốn và phương trình chuyển động ..................................................4
1.2.2. Dao động tư do ......................................................................................................5

1.2.3. Các đặc điểm động lực của nhà cao tầng. ...........................................................14
Kết luận chương 1 .........................................................................................................18
CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CHU KỲ DAO ĐỘNG RIÊNG
TRONG THỰC HÀNH THIẾT KẾ VÀ MỐI LIÊN HỆ CỦA PHƯƠNG PHÁP TÍNH
VỚI SỐ TẦNG CỦA NHÀ CAO TẦNG .....................................................................19
2.1. Các phương pháp xác định chu kỳ dao động riêng của nhà cao tầng trong thực
hành thiết kế...................................................................................................................19
2.1.1. Xác định chu kỳ dao động riêng cơ bản (T1) của nhà cao tầng theo công thức
thực nghiệm. ..................................................................................................................20
2.1.2. Xác định chu kỳ dao động riêng của nhà cao tầng theo các chương trình phần
mềm máy tính. ...............................................................................................................23
2.2. Mối liên hệ giữa phương pháp tính và số tầng của nhà nhiều tầng ........................29
2.2.1. Các ví dụ tính tốn ...............................................................................................29
2.2.2. Phân tích kết quả và đánh giá kết quả. ................................................................37
Kết luận chương 2 .........................................................................................................39
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN TẢI
TRỌNG ĐỘNG ĐẤT PHÙ HỢP DỰA TRÊN MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA CHU KỲ
DAO ĐỘNG RIÊNG VÀ SỐ TẦNG CỦA NHÀ CAO TẦNG. ..................................40
3.1. Các phương pháp xác định tải trọng động đất. .......................................................40
3.1.1. Phương pháp tĩnh lực ngang tương đương ..........................................................41
iii


3.1.2. Phương pháp phổ phản ứng ................................................................................. 44
3.2. So sánh, phân tích tính đúng đắn của hai phương pháp tính toán tải trọng động đất
dựa trên mối tương quan giữa số tầng và chu kỳ dao động riêng. ................................ 48
3.2.1. Tính tốn tải trọng động đất bằng phương pháp tĩnh lực ngang tương đương. .. 49
3.2.2. Tính tốn tải trọng động đất bằng phương pháp phổ phản ứng. ......................... 62
3.2.3. So sánh kết quả tính tốn..................................................................................... 76
3.3. Nhận xét đánh giá. .................................................................................................. 88

Kết luận chương 3 ......................................................................................................... 89
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................................... 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 92

iv


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Hệ kết cấu một bậc tự do động chịu tác động động đất ..................................4
Hình 1.2: Dao động tự do của hệ một BTDĐ khơng có lực cản .....................................6
Hình 1.3. Phản ứng của hệ kết cấu trong trường hợp cản tới hạn và cản lớn ................9
Hình 1.4. Dao động tự do có lực cản của kết cấu một BTDĐ.......................................11
Hình 1.5: Hệ kết cấu nhiều bậc tự do động chịu tác động động đất..............................14
Hình 2.1: Menu khai báo vật liệu trong Sap2000..........................................................27
Hình 2.2: Menu khai báo tiết diện phần tử thanh trong Sap2000 .................................27
Hình 2.3: Menu khai báo tiết diện phần tử tấm, vỏ trong Sap2000 ..............................28
Hình 2.4: Menu khai báo khối lượng tham gia dao động trong Sap2000 .....................29
Hình 2.5: Kết quả phân tích chu kỳ dao động riêng cơng trình (1) theo Sap2000 ........31
Hình 2.6: Kết quả phân tích chu kỳ dao động riêng cơng trình (2) theo Sap2000 ........33
Hình 2.7: Kết quả phân tích chu kỳ dao động riêng cơng trình (3) theo Sap2000 ........35
Hình 2.8: Kết quả phân tích chu kỳ dao động riêng cơng trình (4) theo Sap2000 ........37
Hình 3.1. Đồ thị minh hạo về cánh xây dựng phổ phản ứng .........................................45
Hình 3.2. Mơ hình tổng thể cơng trình (1) ....................................................................49
Hình 3.3. Khai báo loại tải trọng ...................................................................................51
Hình 3.4. Khai báo tải trọng động đất theo TCVN 9386:2012 trên cơ sở tiêu chuẩn
EC8 2004 .......................................................................................................................51
Hình 3.5: Khai báo khối luợng riêng đối với bê tơng....................................................52
Hình 3.6. Khai báo khối lượng tham gia dao động. ......................................................52
Hình 3.7. Mơ hình tổng thể cơng trình (2) ....................................................................55
Hình 3.8. Mơ hình tổng thể cơng trình (3) ....................................................................58

Hình 3.9. Biểu đồ phổ phản ứng thiết kế Sd (m/s2) - T (s) ..........................................64
Hình 3.10. Khai báo số mode dao động ........................................................................65
Hinh 3.11. Khai báo phổ phản ứng thiết kế. .................................................................66
Hình 3.12. Định nghĩa trường hợp tải trọng động đất ...................................................67
Hình 3.13. Biểu đồ so sánh lực cắt VX tại các tầng – Cơng trình (2) ...........................77
Hình 3.14. Biểu đồ so sánh mô men MY tại các tầng – Cơng trình (2) ........................77
Hình 3.15. Biểu đồ so sánh lực cắt VY tại các tầng – Cơng trình (2) ...........................79
v


Hình 3.16. Biểu đồ so sánh mơ men MX tại các tầng – Cơng trình (2) ........................ 79
Hình 3.17. Biểu đồ so sánh lực cắt VX tại các tầng – Cơng trình (1) ........................... 81
Hình 3.18. Biểu đồ so sánh mơ men MY tại các tầng – Cơng trình (1) ........................ 81
Hình 3.19. Biểu đồ so sánh lực cắt VY tại các tầng – Cơng trình (1) ........................... 83
Hình 3.20. Biểu đồ so sánh mô men MX tại các tầng – Cơng trình (1) ........................ 83
Hình 3.21. Biểu đồ so sánh lực cắt VX tại các tầng – Cơng trình (3) ........................... 85
Hình 3.22. Biểu đồ so sánh mơmen MY tại các tầng – Cơng trình (3) ......................... 85
Hình 3.23. Biểu đồ so sánh lực cắt VY tại các tầng – Cơng trình (3) ........................... 87
Hình 3.24. Biểu đồ so sánh mơmen MX tại các tầng – Cơng trình (3) ......................... 87

vi


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1. Hệ số phần cản tới hạn v ...............................................................................13
Bảng 2.1. Công thức thực nhiệm chu kỳ dao động riêng T1.........................................22
Bảng 2.2. Các lớp vật liệu cấu tạo sàn...........................................................................24
Bảng 2.3. Giá trị 2,i đối với nhà ..................................................................................25
Bảng 2.4. Giá trị của  để tính tốn Ei ........................................................................26
Bảng 2.5. Tính tốn chu kỳ theo cơng thức thực nhiệm cơng trình (1).........................30

Bảng 2.6. Tính tốn chu kỳ theo cơng thức thực nhiệm cơng trình (2).........................32
Bảng 2.7. Tính tốn chu kỳ theo cơng thức thực nhiệm cơng trình (3).........................34
Bảng 2.8. Tính tốn chu kỳ theo cơng thức thực nhiệm cơng trình (4).........................36
Bảng 3.1. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDX (1) - theo phương pháp
tĩnh lực ngang tương đương. .........................................................................................53
Bảng 3.2. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDY (1) - theo phương pháp
tĩnh lực ngang tương đương. .........................................................................................54
Bảng 3.3. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDX (2) - theo phương pháp
tĩnh lực ngang tương đương. .........................................................................................56
Bảng 3.4. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDY (2) - theo phương pháp
tĩnh lực ngang tương đương. .........................................................................................57
Bảng 3.5. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDX (3) - theo phương pháp
tĩnh lực ngang tương đương. .........................................................................................59
Bảng 3.6. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDY (3) - theo phương pháp
tĩnh lực ngang tương đương. .........................................................................................60
Bảng 3.7. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDX (1) - theo phương pháp
phổ phản ứng. ................................................................................................................70
Bảng 3.8. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDY (1) - theo phương pháp
phổ phản ứng. ................................................................................................................71
Bảng 3.9. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDX (2) - theo phương pháp
phổ phản ứng. ................................................................................................................72
Bảng 3.10. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDY (2) - theo phương pháp
phổ phản ứng. ................................................................................................................73
vii


Bảng 3.11. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDX (3) - theo phương pháp
phổ phản ứng. ................................................................................................................ 74
Bảng 3.12. Nội lực phân phối tại các tầng của tải trọng DDY (3) - theo phương pháp
phổ phản ứng. ................................................................................................................ 75

Bảng 3.13. Bảng so sánh nội lực tải trọng DDX – Cơng trình (2) ................................ 76
Bảng 3.14. Bảng so sánh nội lực tải trọng DDY – Cơng trình (2) ................................ 78
Bảng 3.15. Bảng so sánh nội lực tải trọng DDX – Cơng trình (1) ................................ 80
Bảng 3.16. Bảng so sánh nội lực tải trọng DDY – Cơng trình (1) ................................ 82
Bảng 3.17. Bảng so sánh nội lực tải trọng DDX – Cơng trình (3) ................................ 84
Bảng 3.18. Bảng so sánh nội lực tải trọng DDY – Cơng trình (3) ................................ 86

viii


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Theo bản đồ phân vùng động đất lãnh thổ Việt Nam do Viện Vật lý Địa cầu lập và
được nghiệm thu năm 2005 thì ở nước ta một số vùng thuộc lãnh thổ phía Bắc có khả
năng xảy ra động đất cấp 8 theo MSK, và chấn động do động đất gây ra tại một số địa
điểm vùng Tây Bắc có thể đạt tới cấp 9, còn đại bộ phận lãnh thổ Việt Nam có thể xảy
ra động đất vừa và nhỏ. Do vậy thiết kế kháng chấn cho các cơng trình nằm trong vùng
chịu ảnh hưởng động đất ở Việt Nam là rất cần thiết.
Năm 2006 Bộ xây dựng đã bản hành tiêu chuẩn thiết kế cơng trình chịu động đất 3752006 và đến năm 2012 đã sửa đổi bổ xung thành TCVN: 9386-2012 – Thiết kế cơng
trình chịu động đất. Tuy nhiên phần lớn kỹ sữ Việt Nam hiện nay còn gặp khó khăn
khi phân tích tính tốn động học, xác định chu kỳ dao động riêng của nhà cao tầng và
lựa chọn áp dụng các phương pháp tính tốn kháng chấn theo TCVN: 9386-2012 khi
áp dụng vào các cơng trình cụ thể.
Hơn nữa chu kỳ dao động và các đặc tính động lực học khác của cơng trình là những
yếu tố quan trọng khi xác định lực động đất tác dụng lên kết cấu. Trong một số phạm
vi cho phép của chu kỳ dao động riêng giá trị lực động đất phụ thuộc vào chu kỳ dao
động riêng của công trình. Vì vậy việc xác định chu kỳ dao động riêng và các đặc tính
động học của nhà cao tầng – phân tích lựa chọn phương pháp tính tốn kháng chấn
phù hợp là bước quan trọng trong tính tốn kháng chấn và là một vấn đề mang tính cấp
thiết.

2. Mục đích của đề tài
Đưa ra mối tương quan thực nghiệm giữa chu kỳ dao động riêng và số tầng của nhà
cao tầng.
3. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
- Đối tượng NC: Các cơng trình nhà ở cao tầng.
- Phạm vi NC: Mối quan hệ giữa dao động riêng của nhà và số tầng.
1


4. Kết quả dự kiến đạt được
Đưa ra mối tương quan thực nghiệm giữa chu kỳ dao động riêng và số tầng của cơng
trình, đánh giá và kiến nghị sử dụng phương pháp tính tốn xác định tải trọng động đất
phù hợp.

2


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG, PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC
CƠNG TRÌNH.
1.1. Các khái niệm cơ bản
Dao động là chuyển động có giới hạn trong khơng gian, lặp đi lặp lại nhiều lần quanh
vị trí cân bằng. Các cơng trình xây dựng, do khối lượng và tính đàn hồi nên có thể thực
hiện các chuyển động dưới tác dụng của ngoại lực. Nếu chuyển động của cơng trình
được lặp lại sau một khoảng thời gian nhất định được gọi là chuyển động dao động,
hay gọi tắt là dao động.
Dao động cơ học là một biến thiên liên tục giữa động năng và thế năng. Tùy theo sự
phân bố khối lượng trên hệ, cấu tạo và khích thước của hệ, tính chất của các loại tải
trọng và các tác dụng bên ngồi, ảnh hưởng và sự tương tác của mơi trường dao động,
cũng như sự làm việc của hệ v.v.. mà người ta có rất nhiều cách phân loại khác nhau.
Dao động của cơng trình dưới tác dụng của ngoại lực là đối tượng nghiên cứu của môn

học động lực học cơng trình. Tuy nhiên trong đề tài nghiên cứu này, ta chỉ giới hạn
ngoại lực tác động vào cơng trình là lực động đất.
Tác dụng của động đất lên công trình xây dựng được hiểu là sự chuyển động kéo theo
của cơng trình khi mặt đất chuyển động hỗn loạn theo thời gian. Khi cơng trình chuyển
động sẽ xuất hiện các lực quán tính, mà người ta thường gọi là lực động đất. Khi có
lực động đất tác dụng, cơng trình sẽ xuất hiện các phản ứng động lực (chuyển vị, vận
tốc, gia tốc, ứng suất, biến dạng…) hay gọi tắt là phản ứng.
Đánh giá một cách chính xác phản ứng của cơng trình dưới tác dụng của động đất là
một cơng việc hết sức phức tạp, vì có q nhiều yếu tố ảnh hưởng đến nó: ngồi các
yếu tố ghi trên bản đồ vi địa chấn, cần phải kể đến độ sâu chấn tiêu H, tâm cự D, tiêu
cự ∆, loại vật liệu xây dựng và tính chất cơ lý của nó, hình dáng và cấu tạo, sự phân bổ
khối lượng trong từng loại cơng trình, tầm quan trọng của cơng trình, trình độ thi cơng
và hàng loạt yếu tố ngẫu nhiên khác. Nhưng cho đến nay, trong tất cả các tiêu chuẩn
kháng chấn trên thế giới, người ta mới chỉ đề cập đến một số yếu tố kể trên, trong đó
lại có một số tham số cũng chỉ mới được quan tâm về mặt định tính. Với cách tiếp cận

3


vấn đề như trên, trong các phần trình bày tiếp theo ta chỉ đề cập tính chất của vật liệu
tuân theo các định luật cổ điển và chỉ nghiên cứu chuyển vị nhỏ quanh vị trí cân bằng
ổn định.
1.2. Phản ứng cơng trình một bậc tự do.
1.2.1. Mơ hình tính tốn và phương trình chuyển động
Nhiều cơng trình như nhà ở một tầng, nhà công nghiệp… trọng lượng của cột và phần
bao che xung quanh thường được bỏ qua vì trọng lượng này nhỏ hơn nhiều so với
trọng lượng mái che. Trong trường hợp trọng lượng cột và phần bao che xung quanh
khá lớn thì cần kể đến một phần trọng lượng của nó theo nguyên tắc tổ hợp tải trọng.
Những cơng trình như trên đều có thể đưa về mơ hình với một thanh ngang mang khối
lượng và hai cột không trọng lượng chịu uốn (h.1-1,a). Nếu bỏ qua chuyển vị xoay và

chuyển vị thẳng đứng của thanh ngang (điều này phù hợp với tải trọng động đất), có
thể biểu diễn cơng trình bằng hệ một bậc tự do. Để đơn giản, có thể thay sơ đồ trên
bằng một thanh đàn hồi đầu ngàm vào nền đất và đầu tự do có gắn khối lượng m (h. 11, b). Khi động đất xảy ra, được biểu diễn bằng hàm gia tốc x0(t) của nền đất, khối
lượng m chỉ thực hiện một di chuyển tịnh tiến ngang và giá đỡ chỉ chịu uốn. Kết quả,
các cơng trình một tầng được đưa về bài toán xét dao động của hệ đàn hồi một bậc tự
do chịu tác dụng của động đất. [1]

Hình 1.1: Hệ kết cấu một bậc tự do động chịu tác động động đất

4


Khi động đất xảy ra, nền đất di chuyển x0(t), khối lượng m di chuyển tương đối x(t),
thì phương trình dao động của cơng trình sẽ là.
m [ 0(t) +
hay

+ c (t) + kx(t) = 0

m (t) + c (t) + kx(t) = -m 0(t) (1-1)

Trong đó:
m [ 0(t) +

- lực quán tính của khối lượng m;

c - hệ số cản nhớt của thanh đàn hồi, đặc trưng cho phần tiêu hao và phần tán
năng lượng;
c (t) - lực cản nhớt
k - hệ số độ cứng của thanh đàn hồi;

kx(t) - lực đàn hồi.
Các đại lượng m, c và k là các đặc trưng riêng của cơng trình và được giả thiết là các
hằng số trong thời gian dao động. Trong thời gian xảy ra động đất, khối lượng m tích
luỹ động năng, thanh đàn hồi với độ cứng k tích luỹ thế năng, lực cản làm tiêu hao
năng lượng, còn thành phần –m 0(t) ở về phải của (1-1) đóng vai trị lực kích động
cung cấp năng lượng cho cơng trình.
1.2.2. Dao động tư do
Dao động tự do của hệ kết cấu là dao động sinh ra bởi một tác động bất kỳ trên hệ kết
cấu rồi cất đi tức thời. Nói cách khác, dao động xẩy ra sau khi nguyên nhân làm cho hệ
kết cấu ra khỏi trạng thái dừng biến mất. Phản ứng của dao động tự do rất quan trọng
trong việc xác định một đặc tính cơ bản của hệ kết cấu, đó là chu kỳ dao động riêng.[2]
a) Hệ kết cấu khơng có lực cản
Trong trường hợp này c = 0, nên từ phương trình (1-1) ta viết được phương trình
chuyển động của hệ kết cấu như sau:
m (t) + kx(t) = 0
Nếu đặt:

5

(1-2)


2β =
 =

k
m

(*)

Phương trình chuyển động của hệ kết cấu sẽ có dạng như sau:
2

+

x(t) = 0

(1-3)

Phương trình (2) có nghiệm tổng quát sau:
x(t) = Acos

+ Bsin

(1-4)

Các hằng số phân tích A và B được xác định từ các điều kiện ban đầu của hệ kết cấu.
Giả thiết rằng tại thời điểm t = 0, hệ kết cấu có chuyển vị ban đầu x0 và vận tốc ban
đầu

0.

Ta có:
A = X0
B=

(1-5)

Do đó nghiệm tổng qt của phương trình (1-3) sẽ có dạng:
x(t) = x0cos

(1-6) (hình 1-2)

+

Ta nhận thấy rằng dao động tự do khơng có lực cản là dao động thường cun và kéo
dài vơ hạn. Ở hình 1.2, T là chu kỳ dao động riêng hoặc chu kỳ dao động tự nhiên của
hệ kết cấu, biểu thị khoảng thời gian cần thiết (s – giây) để thực hiện một dao động
tồn phần:

T=

= 2π

=

(1-7)

Hình 1.2: Dao động tự do của hệ một BTDĐ khơng có lực cản
6


Trong biểu thức trên, f là tần số riêng hoặc tần số tự nhiên của hệ kết cấu, biểu diễn số
lần dao động trong một giây. Tần số riêng của hệ dao động cịn có tên là tần số vịng
do tính tương tự động với vận tốc vịng.
Như vậy các tính chất cơ bản của hệ kết cấu T,

và f chỉ phụ thuộc vào khối lượng và

độ cứng của nó. Nếu hai hệ kết cấu có cùng khối lượng nhưng khác nhau về độ cứng,

thì hệ nào có độ cứng lớn hơn sẽ có chu kỳ riêng ngắn hơn và tần số riêng lớn hơn.
Ngược lại, nếu hai hệ kết cấu có cùng độ cứng nhưng khối lượng khác nhau, thì hệ nào
có khối lượng lớn hơn sẽ có chu kỳ riêng dài hơn và tần số riêng nhỏ hơn.[2]
b) Hệ kết cấu có lực cản
Trong thực tế, một hệ kết cấu dao động tự do thường có lực cản và biên độ dao động
giảm dần theo thời gian. Có nhiều loại lực cản khác nhau:
- Lực cản nhớt, khi lực cản tỷ lệ thuận với tốc độ;
- Lực cản ma sát, khi lực cản là một hằng số;
- Lực cản trễ, khi lực cản tỷ lệ thuận với biên độ chuyển động.
Như phần trên đã đề cập tới, do tính thuận lợi và “đẹp đẽ” khi biểu diễn dưới dạng một
biểu thức tốn học nên trong tính tốn kết cấu người ta thường sử dụng lực cản nhớt.
Trong trường hợp này, phương trình chuyển động của hệ có một BTDĐ khi dao động
tự do với lực cản sẽ có dạng sau:
m (t) + c (t) + kx(t) = 0

(1-8)

hoặc:
(t) + 2β (t) +

2

x(t) = 0

(1-9)

Nghiệm của phương trình (1-9) có dạng:
x(t) = Aeλ1t + Beλ2t

(1-10)

Trong đó
λ1.2 = -β ±

(1-11)

Tuỳ thuộc vào trị số của biểu thức dưới dấu căn thức của biểu thức (1-11) mà ta sẽ gặp
một trong 3 trường hợp sau:
7


* TH1: Trường hợp cản tới hạn.
Trị số của hệ cản làm cho biểu thức dưới dấu căn thức bằng không được gọi là hệ số
cản tới hạn và ký hiệu bằng cth. Như vậy với điều kiện:

β2 Ta có:

2

=0

βth =

Trong trường hợp này, nếu xét tới biểu thức của hệ số β cho ở biểu thức (*) ta được:
=
Do đó:
Cth = 2m

=2

=

(1-12)

Ta thấy rằng hệ số cản tới hạn là một đặc tính riêng của hệ dao động và được biểu diễn
qua các thành phần đặc trưng của nó (k, m).
Tỷ số giữa hệ số cản thực tế và hệ số cản tới hạn được gọi là phần cản tới hạn hoặc độ
cản tới hạn:
V=

(1-13)

hoặc:
V=

=

=

(1-14)

Hệ số phần cản tới hạn v được sử dụng rộng rãi trong động lực học cơng trình, đặc biệt
trong địa chấn học cơng trình. Khác với hệ số c, hệ số v là một đại lượng không thứ
nguyên và biểu thị một cách rất trực giác khả năng giảm chấn của một cơng trình xây
dựng khi chịu tác động động.
Như vậy, trong trường hợp cản tới hạn, do: β = βth =
β = βth =

; c = cth hoặc v = 1

nên biểu thức (1-11) trở thành:

8

(1-15)


λ1.2 = -β = -v = Từ đó nghiệm (1-10) sẽ có dạng rút gọn sau:
x(t) = eβt(A + Bt)

(1-16)

Trong biểu thức trên, các hằng số tích phân A và B được xác định từ các điều kiện ban
đầu:
Khi:

t=0

x(0) = x0

và

(0) =

0

(1-17)

Từ đó suy ra:
A = x0

;

B=

0

+ x0

(1-18)

Do đó:
x(t) = e𝝎t x0 + (

0

+

x0)t

(1-19)

Phương trình (1-16) cho thấy chuyển động của hệ kết cấu ứng với trường hợp này
không tuần hồn (hình 1.3, đường cong a) và hệ kết cấu mất đặc tính dao động.

Hình 1.3. Phản ứng của hệ kết cấu trong trường hợp cản tới hạn và cản lớn
9


* TH2: Trường hợp cản lớn

Nếu hệ số cản thực tế lớn hơn hệ số cản tới hạn c > cth ta nói rằng hệ kết cấu có lực cản
lớn. Như vậy trong trường hợp này:
β>
còn các nghiệm

1 và

và v > 1

λ2 là số thực và âm.

Với điều kiện trên, nghiệm của phương trình (1-9) sẽ có dạng sau:
x(t) = e-βt(Ae

+ Be-

)

(1-20)

Trong đó các hằng số A và B được xác định từ các điều kiện ban đầu (1-17)

A=

B=Cũng giống như trường hợp trước, chuyển động của hệ kết cấu khơng có tính tuần
hồn (hình 1.3, đường cong b), nghĩa là khi bị đẩy khỏi vị trí cân bằng hệ kết cấu trở
về vị trí ban đầu mà khơng có dao động. Trong tính tốn các cơng trình xây dựng, cả
hai trường hợp trên đều khơng có ý nghĩa quan trọng.
* TH3: Trường hợp lực cản nhỏ
ở trường hợp thứ ba này c < cth (v < 1 và β <

)

Biểu thức (10) có dạng:
1.2

Trong đó

c

c

(1-21)

biểu thị tần số riêng của hệ dao động khi xét tới ảnh hưởng

=

của lực cản, còn i =

= -β ± i

.

Trong trường hợp này nghiệm của phương trình (1-9) sẽ có dạng:
10


x(t) = e-βt(A

+B

)

(1-22)

Khai triển các hàm số mũ, đồng thời sử dụng các biểu thức của Euler, ta có thể viết
nghiệm (21) dưới dạng đơn giản hơn như sau:
x(t) = e-βt(C1sin

ct

+ C2cos

ct)

(1-23)

hoặc dưới dạng rút gọn sau:
x(t) = Ae-βtsin(

ct

+ )

(1-24)

Trong đó:
A=

tg =

Các hằng số C1 và C2 được xác định từ các điều kiện ban đầu (1-17):
C1 =

;

C 2 = x0

Từ các hằng thức trên ta có thể xác định được các hằng số A và

. Nghiệm của

phương trình chuyển động (1-9) sẽ có dạng sau:
x(t) =

sin

ct

(1-25)

Hình 1.4. biểu diễn phương trình chuyển động (1-24). Đây là dao động điều hồ có tần
số

và biên độ Ae-βt giảm dần với cấp số mũ theo thời gian.

Hình 1.4. Dao động tự do có lực cản của kết cấu một BTDĐ
11

Chu kỳ dao động riêng của hệ dao động tự do có lực cản được xác định từ biểu thức
sau:
TC =
Trong đó T =

=

=

(1-26)

là chu kỳ riêng của hệ khơng có lực cản, cịn

là tần số vịng của

hệ có lực cản:
=

(v < 1)

(1-27)

Tần số riêng của hệ có lực cản được xác định theo biểu thức sau:
fC =

=

=f

(1-28)

Trong thực tế, đa số các cơng trình xây dựng đều có v

0,1 nên ta có thể bỏ qua ảnh

hưởng của lực cản tới các trị số riêng của hệ, nghĩa là có thể xem:
;

TC

và

fC = f

f

Biết hình dạng chuyển động của một hệ có lực cản ta có thể dùng các biên dộ kế tiếp
nhau của dao động để xác định độ cản, tức là độ tắt dần của dao động. Độ cản được
xác định thông qua khái niệm lượng giảm lôga của dao động.
Theo định nghĩa, lượng giảm lôga của dao động là logarit tự nhiên của tỷ số giữa hai
biên độ kế tiếp nhau trong phạm vi một chu kỳ. Xét hai biên độ kế tiếp của dao động
cho ở hình 1.4, theo phương trình (1-24) ta có:
Xn = A

;

Xn+1 = A

Như vậy lượng giảm lôga sẽ là:

= ln

= ln

= ln

= βTC

(1-29)

Thay β và TC từ các biểu thức (1-14) và (1-26) vào biểu thức (1-29) ta sẽ được biểu
thức sau:
=

(1-30)

12


Hoặc:
2 v

(1-31)

Từ biểu thức trên ta có thể xác định được trị số của phần cản tới hạn dùng trong tính
tốn động lực các cơng trình xây dựng:
v=

(1-32)

Ở các hệ kết cấu có lực cản, hệ số v phụ thuộc chủ yếu vào loại kết cấu và tính chất vật
liệu dùng để thi cơng nó. Hệ số này được xác định bằng phương pháp thực nghiệm. Ví
dụ, ta có thể dùng các đồ thị dao động ghi được khi thí nghiệm cơng trình để xác định
lượng giảm lơga theo biểu thức gần đúng sau:
=

(1-33)

Bảng sau đây cho một số các trị số v của các kết cấu và nền đất thường gặp.
Bảng 1.1. Hệ số phần cản tới hạn v
Loại kết cấu

TT

Phần cản tới hạn v

1

Kết cầu bê tông cốt thép liền khối

0.02 – 0.14

2

Kết cấu gạch đá hoặc đúc sẵn

0.06 – 0.18

3

Kết cấu nhà công nghiệp bằng thép

0.02 – 0.06

4

Cầu bê tông cố thép

0.03 – 0.16

5

Cầu thép

0.02 – 0.08

6

Các kết cấu khối lớn

0.05 – 0.10

7

Nền đất móng

0.06 – 0.40

8

Cát nén chặt

0.1

13


1.2.3. Các đặc điểm động lực của nhà cao tầng
Để xác định phản ứng động lực của cơng trình nhiều tầng chịu tác dụng động đất, ta
đưa chúng về hệ có có hữu hạn bậc tự do. Một cơng trình có thể chuyển thành hệ dao
động có hữu hạn bậc tự do khi khối lượng của nó có thể tập trung tại một số tiết diện
nhất định mà không làm ảnh hưởng lớn đến tính chất làm việc so với hệ thực. Căn cứ
theo nguyên tắc trên đây, chúng ta có thể chuyển sơ đồ tính tốn của nhà nhiều tầng về
hệ có hữu hạn bậc tự do bằng cách tập trung khối lượng về các mức bản sàn (h-1.5,a).
Nếu giả thiết các dầm ngang và bản sàn là tuyệt đối cứng và bỏ qua các chuyển vị
xoay của nó trong mặt phẳng thẳng đứng, đồng thời xem nền đất là tuyệt đối cứng,
chúng ta có hệ dao động n bậc tự do theo phương ngang. Bỏ qua biến dạng dọc của cột
(điều này rất phù hợp với các quan sát sau các trận động đất), độ cứng của công trình
được xác định qua độ cứng chống uốn của cột. Cơ chế tiêu hao và phân tán năng lượng
trong dao động được biểu diễn qua hệ số cản nhớt của cột.
Trên hình 1.5, b biểu diễn một sơ đồ tính khác cho cơng trình nhiều tầng. Về ý nghĩa
cơ học, cách biểu diễn ở sơ đồ tính hình 1.5, a và hình 1.5, b là tương đương nhau. Để
đơn giản, sau đây sẽ dùng sơ đồ tính ở hình 1.5, b.
Để thành lập phương trình dao động của cơng trình, có thể dùng phương pháp lực
(phương pháp ma trận mềm) hay phương pháp chuyển vị (phương pháp ma trận cứng)
trong cơ học kết cấu. Sau đây, sẽ xây dựng phương trình dao động của cơng trình
nhiều bậc tự do theo phương pháp chuyển vị, bằng cách viết các phương trình điều
kiện trên cơ sở biểu diễn sự cân bằng động của cơng trình theo bậc tự do.[1]

Hình 1.5: Hệ kết cấu nhiều bậc tự do động chịu tác động động đất

14


Dưới tác dụng của một xung ban đầu, hệ sẽ dao động theo phương ngang và tại thời
điểm bất kỳ các khối lượng m1, m2 .....mn sẽ thực hiện các chuyển vị x1(t), x2(t).....xn(t).
Giả sử cho tất cả các khối lượng mk(k = 1,2, ..., n) chịu liên kết theo phương bậc tự do
(h 1.5; c), rồi lần lượt giải phóng liên kết thứ k và cho mk chuyển vị xk(t) thì trong các
liên kết j cịn lại sẽ xuất hiện các phản lực liên kết Rjk do chuyển vị xk(t) sinh ra, còn tại
k sẽ xuất hiện lực quán tính:
= -mkxk(t)

(1-34)

Như vậy phản lực tồn phần tại liên kết k sẽ bằng
Rk = -

+

(1-35)

Trong đó Rkj, như đã biết trong cơ học kết cấu, được biểu diễn qua hệ số độ cứng rkj
của liên kết k khi cho liên kết j (j = 1,2, ..., n) chuyển đơn vị và theo định lý MaxwellBetti rjk = rkj:
Rkj = rkjxj(t)
Cuối cùng ta có:
Rk = -

+

xj(t)

(1-36)

Nhưng do hệ thực hiện dao động theo phương ngang nên các liên kết thêm vào là
khơng có và Rk phải bằng khơng.
-

+

xj(t) = 0

(1-37)

Điều kiện (1-37) được viết cho tất cả các liên kết (k = 1,2, ..., n) và chú ý đến biểu
thức lực qn tính (1-34), ta thu được hệ phương trình biểu diễn dao động tự do của hệ
cơng trình n bậc tự do.
m1

+

(t) +

(t) + ... +

(t) = 0;

m2

+

(t) +

(t) + ... +

(t) = 0;

………………………………………………….}
15

(1-38)


mn

+

(t) +

(t) + ... +

(t) = 0.

Hệ phương trình vi phân (1-38) được viết gọn lại dưới dạng ma trận
[M] { } + [K] {x} = { }

(1-39)

Trong đó:
[M] – Ma trận khối lượng hay ma trận quán tính;
[K] – Ma trận độ cứng;
{ } – Ma trận cột chuyển vị;

{x} – Ma trận cột gia tốc.

[M] =

;

{x} =

(1-40)

[K] =

{ }=

Nghiệm của (1-39) được cho dưới dạng
{x} = {A}sin(
Trong đó {A} – ma trận cột biên độ dao động riêng

{A} =

16

(1-41)


Thay (1-41) vào đạo hàm cấp hai của nó theo thời gian vào (1-39) ta có phương trình
([K] -

[M]){A} = {0}

(1-42)

Vì {A} biểu diễn biên độ dao động của các khối lượng mk phải khác không, nên rút ra
dt([K] -

[M]) = 0

Biểu thức (1-43) là phương trình tần số dao động riêng
43) sẽ được đa thức bậc n của

<

<…<

Khi biết tần số dao động riêng

của cơng trình.Khai triển (1-

và khi giải ra sẽ có n nghiệm thực, dương và phân

biệt biểu diễn các tần số dao động riêng
thứ tự từ nhỏ đến lớn

(1-43)

(i = 1,2, … , n). Sắp xếp các tần số này theo
.

, chu kỳ dao động riêng Ti(i = 1,2, … , n) sẽ được xác

định theo công thức:
Ti =

(1-44)

và T1 được gội là tần số cơ bản và chu kỳ dao động cơ bản. Còn các

>

và Ti

< T1 được gọi là tần số và chu kỳ dao động hạng cao.
Ứng với tần số dao động riêng

, cơng trình sẽ thực hiện một dạng dao động riêng,

mà sau đây ta gọi là dạng dao động chính thứ i. Một cơng trình có n bậc tự do sẽ có n
tần số dao động riêng và tương ứng sẽ có n dạng dao động chính.
Để xác định biên độ {A} của dạng dao động chính thứ i, ta thay

vừa tìm được vào

phương trình (1-42)
([K] -

[M]){A}i = {0}

(1-45)

Trong đó {A}i - biên độ dao động trong dạng chính thứ i.

Nếu ký hiệu

ki

là toạ độ của khối lượng mk trong dạng dao động chính thứ i
17