Các tính chất của nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯƠNG THANH HẢI

CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI DẠNG BẢO TỒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun, năm 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯƠNG THANH HẢI

CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI DẠNG BẢO TỒN

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên, năm 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa
từng được công bố trong bất kỳ một cơng trình của tác giả nào khác.
Thái Ngun, tháng 4 năm 2013
Tác giả
Lương Thanh Hải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS. TS Hà
Tiến Ngoạn, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tơi trong
suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng
các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19,
các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tơi trong
q trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân ln
khuyến khích động viên tơi trong suốt q trình học cao học và viết Luận
văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Tơi mong nhận được những ý kiến đóng góp của q thầy
cơ và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013
Tác giả
Lương Thanh Hải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỞ ĐẦU

i
1

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Định lý Liouville và bất dẳng thức Harnack
1.4 Không gian W 1,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Không gian C α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2 CÁC ĐÁNH GIÁ CỦA MOSER-HARNACK
2.1 Các định nghĩa, định lý và bổ đề có liên quan . . . . . . . .
2.2 Đánh giá Morser đối với nghiệm dưới yếu và nghiệm trên yếu
2.3 Các định lý kiểu Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Các định lý kiểu Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
8
11
13
21
30
30
34
41
42

3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỘ TRƠN CỦA NGHIỆM
43
3.1 Tính liên tục Holder của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Tính liên tục Holder của đạo hàm cấp 1 của nghiệm . . . . 46
Kết luận

54

TÀI LIỆU THAM KHẢO

55

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn Luận văn
Đối với phương trình tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn, nghiệm thường
được xét theo nghĩa yếu, tức là thuộc không gian W 1,2 (Ω) mà chỉ có đạo
hàm đến cấp hai bình phương khả tích và thỏa mãn đẳng thức tích phân.
Tuy nhiên, người ta phát hiện ra rằng những nghiệm yếu như vậy lại có
độ trơn nhất định, tức là nó cùng với các đạo hàm cấp một của nó thuộc
lớp liên tục Holder C α (Ω).
2. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp các kết quả cổ điển đối với hàm điều hòa trên, hàm điều hòa
dưới và mở rộng các kết quả đó cho nghiệm trên và nghiệm dưới yếu của
lớp phương trình dạng bảo tồn.
3. Mục đích của Luận văn
Mục đích của Luận văn là trình bày lý thuyết về các tính chất định tính
và độ trơn của nghiệm yếu của lớp các phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai dạng bảo tồn, trong đó các hệ số của phương trình chỉ cần đòi
hỏi thỏa mãn điều kiện elliptic và là các hàm đo được và bị chặn.
4. Nội dung của Luận văn
Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận
và tài liệu tham khảo.
Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu các kết
quả chính của Luận văn. Trước hết ta định nghĩa hàm điều hịa, sau đó

đưa ra một số tính chất của hàm điều hịa, trình bày các kết quả cổ điển
của hàm điều hòa như các định lý trung bình, định lý Harnack, định lý
Liouville và các đành giá theo chuẩn Holder của nghiệm và các đạo hàm
cấp một, cấp hai của nó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

Chương 2: Trình bày các đánh giá Morser đối với nghiệm trên và nghiệm
dưới của các phương trình dạng bảo tồn và trình bày các định lý kiểu
Harnack và Liouville.
Chương 3: Trình bày các kết quả về độ trơn đối với nghiệm yếu của
phương trình dạng bảo tồn trong đó có các đánh giá theo chuẩn Holder
đối với nghiệm và các đạo hàm cấp một của nó. Nội dung chính của Luận
văn được viết dựa theo Chương 1, Chương 10 và Chương 11 của tài liệu
[1].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Hàm điều hòa

Định nghĩa 1.1.1. Một hàm u ∈ C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa (trong
d

Ω) nếu ∆u = 0, trong đó ∆u = ∑ uxj xj , Ω ⊂ Rd .
j =1

Chú ý : Tập hợp các hàm điều hòa trong Ω là một khơng gian vector.
Một số ví dụ về hàm điều hòa:
(1) Trong Rd , tất cả những hàm hằng, hàm affin tuyến tính đều là hàm
điều hịa.
(2) Hàm đa thức bậc hai sau đây cũng là hàm điều hòa

u(x) = (x1 )2 − (x2 )2 với x = (x1 , ..., xd ) ∈ Rd .
(3) Cho x, y ∈ Rd với x ≠ y, ta đặt
⎧
⎪
⎪
Γ(x, y ) ∶= Γ(∣x − y ∣) ∶= ⎨
⎪
⎪
⎩

1
2π

log ∣x − y ∣
với d = 2
1
2−d với d > 2,
d(2−d)ωd ∣x − y ∣

(1.1)

ở đây ωd là thể tích của hình cầu đơn vị B (0, 1) ⊂ Rd .
Khi đó với mỗi y cố định và y ≠ x, Γ(x, y ) là hàm điều hòa theo x. Thật
vậy,
∂
1
Γ
(
x,
y
)
=
(xi − y i )∣x − y ∣−d ,
i
∂x
dwd

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

ta có

∂2
1
{∣x − y ∣2 δij − d(xi − y i )(xj − y j )}∣x − y ∣−d−2 .
Γ
(
x,
y
)
=
i
j
∂x ∂x
dwd
Vì vậy Γ là hàm điều hịa trong Rd ∣{y }.
Định lý 1.1.2. (Công thức Poisson)([1]).
Giả sử u(x) là hàm điều hịa trong hình cầu

B (x0 , r) = {x ∈ Rd ∶ ∣x − x0 ∣} ≤ r.
Khi đó ta có cơng thức Poisson sau đây

u(y ) =

R2 − ∣y − x0 ∣2
dωd r

∫

∂B (x0 ,r)

u(x)
do(x), ∀y ∈ B (x0 , r),
∣x − y ∣d

(1.2)

trong đó do(x) là phần tử diện tích trên mặt cầu ∂B (x0 , r).
Định lý 1.1.3. (Cơng thức giá trị trung bình)
Một hàm liên tục u ∶ Ω → R là hàm điều hòa khi và chỉ khi mọi hình cầu
B (x0 , r) ⊂ Ω, ta có các cơng thức giá trị trung bình sau đây

u(x0 ) = S (u, x0 , r) ∶=

1
dωd rd−1

∫

u(x)do(x),

(1.3)

u(x)dx.

(1.4)

∂B (x0 ,r)

và

u(x0 ) = K (u, x0 , r) ∶=

1
ωd r d ∫

B (x0 ,r)

Chứng minh. ′′ ⇒′′ Giả sử u là hàm điều hịa, khi đó (1.3) suy ra từ công
thức Poison (1.2).
Thật vậy, trong (1.2) khi lấy y = x0 ta có

u(x0 ) =

r2
dωd r

∫

∂B (x0 ,r)

=

1
dωd rd−1

u(x)
do(x)
rd

∫

u(x)do(x).

∂B (x0 ,r)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

Cơng thức (1.3) cịn có thể chứng minh bằng cách khác sau đây.
Giả sử u ∈ C 2 (B (y, r)), 0 < < r, khi đó
∂u
∫B (y, ) ∆u(x)dx = ∫∂B (y, ) ∂ν (x)do(x)
∂u
=∫
(y + ω ) d−1 dω
∂B (0,1) ∂
x−y
trong tọa độ cực ω =
d−1

=

d−1

=

= dωd
Nếu u là hàm điều hịa thì

∂
∂

∂
∂

u(y + ω )dω

∫
∂B (0,1)

∂
(
∂
d−1

1−d

u(x)do(x))

∫

∂B (y, )

∂

S (u, y, ).
∂

(1.5)

S (u, y, ) = 0 và S (u, y, ) là hằng số. Vì

u(y ) = lim S (u, y, ),

(1.6)

→0

nên ta suy ra (1.3).
Ta sẽ chứng minh (1.4). Thật vậy, từ các định nghĩa S (u, x0 , ) và K (u, x0 , r)
và dx = d−1 d do(x) ta có
r

d
K (u, x0 , r) = d ∫ S (u, x0 , )
r

d−1

d = u(x0 ).

(1.7)

0

′′

⇐′′ Giả sử (1.3) đúng với mọi x0 ∈ Ω và r > 0 sao cho B (x0 , r) ⊂ Ω. Trước
tiên ta chứng tỏ rằng u trơn. Ta đặt
⎧
⎪
⎪ cd exp ( t21−1 ) khi 0 ≤ t < 1
(t) ∶= ⎨
⎪
khi t ∉ [0, 1)
⎪
⎩0
Ở đây hằng số cd được chọn sao cho
(∣x∣)dx = 1,

∫
Rd

(∣x∣) là khả vi vô hạn theo x. Cho f ∈ L1 (Ω), B (y, r) ⊂ Ω, ta xét

fr (y ) ∶=

1
rd ∫
Ω

(

∣y − x ∣
)f (x)dx.

r

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(1.8)


6

Khi đó fr là khả vi vơ hạn theo y . Thật vậy từ (1.3) ta có

1
ur (y ) = d ∫
r

r

∫

0 ∂B (y,s))
r

=

1
rd ∫

s

( )u(x)do(x)ds
r

s
( )dωd sd−1 S (u, y, s)ds
r

0

1

(σ )dωd σ d−1 dσ

= u(y ) ∫
0

= u(y ) ∫

(∣x∣)dx

B (0,1)

= u(y ).
Như vậy ta cũng có ur (x) = u(x), chứng minh được rằng B (x, r) ⊂ Ω. Vì
vậy u cũng khả vi vơ hạn. Ta xét
∫

∆u(x)dx = dωd

B (y, )

d−1

∂
S (u, y, ).
∂

(1.9)

Do S (u, x0 , ) là hằng số theo và vế phải của (1.9) triệt tiêu tất cả các
biến y và với B (y, ) ⊂ Ω. Vì vậy

∆u(y ) = 0, y ∈ Ω,
và u là hàm điều hòa.
Bổ đề 1.1.4. (Bổ đề Weyl) Giả sử u ∶ Ω → R là đo được và khả tích địa
phương trong Ω. Giả sử với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω),
∫ u(x)∆ϕ(x)dx = 0.
Ω

Khi đó u là hàm điều hịa và do đó là trơn vô hạn.
Chứng minh. Ta xét ur (x) =
Cho ϕ ∈

C0∞

1
rd

∣y −x∣
∫ ( r )u(y )dy.

Ω

và r < dist(supp(ϕ), ∂Ω), với suppϕ = {x ∶ ϕ(x) ≠ 0}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

Ta có

1
∫ ur (x)∆ϕ(x)dx = ∫ rd ∫
Ω

Ω

(

Ω

∣y − x∣
)u(y )dy∆ϕ(x)dx
r

= ∫ u(y )∆ϕr (y )dy
Ω

= 0.
Từ cách xác định r ta suy ra khi ur là trơn thì
∞
∫ ∆ur (x)ϕ(x)dx = 0, với mọi ϕ ∈ C0 (Ωr ),

Ω

với Ωr ∶= {x ∈ Ω ∶ dist(x, ∂Ω) > r}.
Vì vậy,

∆ur = 0 trong Ωr .
Do đó ur là hàm điều hòa trong Ωr . Ta xét R > 0 và 0 < r ≤ 12 R. Khi đó
ur thỏa mãn giá trị trung bình trên mọi hình cầu tâm trong Ωr , bán kính
≤ 21 R. Khi đó

1
∫ ∣ur (y )∣dy ≤ ∫ rd ∫

Ωr

Ω

Ωr

(

∣x − y ∣
)∣u(x)∣dxdy
r

≤ ∫ ∣u(x)∣dx.
Ω

Khi ur thỏa mãn tính chất giá trị trung bình trên mọi hình cầu bán kính
1
2 R, suy ra ur bị chặn đều (cố định R và giả sử r → 0). Hơn nữa, vì
∣ur (x1 ) − ur (x2 )∣ ≤

1 2 d
( )
ωd R

∣ur (x)∣dx

∫

B (x1 , R2 )∖B (x2 , R2 )∪B (x2 , R2 )∖B (x1 , R2 )

≤

1 2 d
R
R
( ) sup ∣ur ∣2V ol(B (x1 , ) ∖ B (x2 , )),
ωd R
2
2

ur cũng liên tục đồng bậc. Vì vậy, theo Định lý Aszela Ascoli khi r → 0 ta

được một dãy con hội tụ đều về hàm liên tục v . Ta phải có v = u, vì u là
hàm khả tích địa phương trong L1 (Ω), với mọi x ∈ Ω, lim ur (x) = u(x). Vì
r→0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

vậy u là liên tục, và vì tất cả ur thỏa mãn tính chất giá trị trung bình nên
u cũng thỏa mãn tính chất đó. Từ Định lý 1.1.3 ta suy ra u là hàm điều
hòa.

1.2

Hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 1.2.1. a, Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ X (với
f (x) < ∞), nếu với ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho

f (x) − ε ≤ f (y ), ∀y ∈ U.
b, Nếu f (x) = +∞, thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu ∀N > 0,
tồn tại lân cận U của x sao cho

f (y ) ≥ N, ∀y ∈ U.
Định nghĩa 1.2.2. a, Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ X (với
f (x) < +∞), nếu với ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho

f (y ) ≤ f (x) + ε, ∀y ∈ U.
b, Nếu f (x) = −∞, thì f được gọi là nửa liên tục trên tại x nếu ∀N > 0,
tồn tại lân cận U của x sao cho

f (y ) ≤ −N, ∀y ∈ U.
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử v ∶ Ω → [−∞, ∞) là nửa liên tục trên nhưng
không đồng nhất bằng −∞. Hàm v được gọi là hàm điều hòa dưới nếu mọi
′
miền con Ω′ ⊂⊂ Ω và mọi hàm điều hòa u ∶ Ω′ → R ( u ∈ C 0 (Ω ) ∩ C 2 (Ω′ ))
với v ≤ u trên ∂Ω′ ta có v ≤ u trên Ω.
Một hàm w ∶ Ω → (−∞, ∞], nửa liên tục dưới, w không đồng nhất bằng ∞,
được gọi là hàm điều hòa trên nếu -w là hàm điều hòa dưới.
Định lý 1.2.4. Một hàm v ∶ Ω → (−∞, ∞], (nửa liên tục trên, khơng đồng
nhất −∞) là hàm điều hịa dưới khi và chỉ khi mọi hình cầu
B (x0 , r) ⊂ Ω và
v (x0 ) ≤ S (v, x0 , r),
(1.10)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

hoặc tương đương, nếu mọi hình cầu

v (x0 ) ≤ K (v, x0 , r),

(1.11)

trong đó S (v, x0 , r) và K (v, x0 , r) được xác định trong (1.3) và (1.4).
Chứng minh. ′′ ⇒ ” Vì v là nửa liên tục trên nên tồn tại (vn )n∈N tăng
của hàm liên tục v = lim vn , do đó, với mọi u tồn tại hàm điều hịa
n∈N

un ∶ B (x0 , r) → R,
với

un ∖ ∂B (x0 , r) = vn ∖ ∂B (x0 , r) (≥ v ∖ ∂B (x0 , r)).
Vì vậy

S (un , x0 , r) = S (vn , x0 , r).
Vì v là hàm điều hòa dưới và un là hàm điều hòa, ta được

v (x0 ) ≤ un (x0 ) = S (un , x0 , r) = S (vn , x0 , r).
Cho n → ∞ thu được (1.10).
” ⇐ ” Để chứng minh chiều ngược lại ta sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.5. Giả sử v thỏa mãn (1.10) hoặc (1.11) với mọi hình cầu
B (x0 , r) ⊂ Ω. Khi đó v cũng thỏa mãn nguyên lý cực đại, nghĩa là nếu tồn
tai x0 ∈ Ω với

v (x0 ) = sup v (x),
x ∈Ω

thì v là hằng số. Hay nếu Ω bị chặn và v ∈ C 0 (Ω), thì v (x) ≤ max v (y ), ∀x ∈
y ∈∂Ω

Ω.
Chứng minh. Giả sử

v (x0 ) = sup v (x) =∶ M.
x ∈Ω

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10

Vì vậy

ΩM ∶= {y ∈ Ω ∶ v (y ) = M } ≠ ∅.
Giả sử y ∈ ΩM , B (y, r) ⊂ Ω, khi đó (1.10) kéo theo (1.11), trong trường
hợp này ta áp dụng (1.11) thu được

0 = v (y ) − M ≤

1
(v (x) − M )dx.
ωd r d ∫

(1.12)

B (y,r)

Vì M = sup v , ln có v (x) ≤ M và v (x) = M với mọi x ∈ B (y, r). Vì
vậy ΩM cũng chứa y , B (y, r) ⊂ Ω. Do đó nó phải trùng với Ω vì Ω là liên
thơng. Do đó u(x) = M, ∀x ∈ Ω.

Bây giờ ta dễ dàng chứng minh chiều ngược lại, giả sử u thỏa mãn điều
kiện trong Định nghĩa 1.2.3. Khi đó v − u cũng thỏa mãn đánh giá về giá
trị trung bình, do nguyên lý cực đại nên v ≤ u trong Ω′ nếu v ≤ u trên
∂Ω′ .
Hệ quả 1.2.6. Một hàm v thuộc lớp C 2 (Ω) là hàm điều hòa dưới nếu
∆v ≥ 0 trong Ω.
Chứng minh. Giả sử B (y, r) ⊂ Ω, 0 <

0≤ ∫

∆v (x)dx = dωd

B (y, )

< r. Khi đó từ (1.5) ta có
d−1

∂
S (v, y, ).
∂

Lấy tích phân bất đẳng thức này, S (v, y, ) ≤ S (v, y, r), 0 <
trái dần tới v (y ) khi → 0, ta được:

< r, và vì vế

v (y ) ≤ S (v, y, r).
Theo Định lý 1.2.4 thì v là hàm điều hòa dưới.
Ngược lại, giả sử ∆v (y ) < 0. Vì v ∈ C 2 (Ω), ta có thể tìm một hình cầu
B (y, r) ⊂ Ω, với ∆v < 0 trên B (y, r). Áp dụng phần trước để chứng minh

cho −v sẽ được
v (y ) > S (v, y, r),
và v khơng thể là hàm điều hịa dưới.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

Một số ví dụ về hàm điều hịa dưới:
(1) Giả sử d ≥ 2. Ta tính

∆∣x∣α = (dα + α(α − 2))∣x∣α−2
= α(d + α − 2)∣x∣α−2 ≥ 0.
Vì vậy ∣x∣α là hàm điều hòa dưới với α ≤ 2 − d.
(2) Giả sử u ∶ Ω → R là hàm điều hòa nhận giá trị dương, β ≥ 1. Khi đó
d

∆u = ∑(βuβ −1 uxi xi + β (β − 1)uβ −2 uxi uxi )
β

i=1
d

= ∑ β (β − 1)uβ −2 uxi uxi
i=1

d

= β (β − 1)uβ −2 ∑ u2xi ≥ 0,
i=1

vì u là hàm điều hịa, u nhận giá trị dương và β ≥ 1, suy ra uβ là hàm điều
hòa dưới.
(3) Giả sử u ∶ Ω → R là hàm điều hịa dương. Khi đó
d

d
uxi xi uxi uxi
uxi uxi
∆ log u = ∑ (
−
)
=
−
,
∑
2
u
u2
i=1
i=1 u

vì u là hàm điều hịa, do đó log u là hàm điều hòa trên và − log u là hàm
điều hòa dưới.

1.3

Định lý Liouville và bất dẳng thức Harnack

Định lý 1.3.1. (Định lý Liouville)
Giả sử u ∶ Rd → R là hàm điều hịa và bị chặn trên tồn Rd . Khi đó u là
hằng số.
Chứng minh. Cho x1 , x2 ∈ Rd , theo (1.4) với ∀r > 0,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

u(x1 ) − u(x2 ) =

1
(
ωd r d ∫

u(x)dx − ∫

B (x1 ,r)

=

1
(
ωd r d

u(x)dx)

B (x2 ,r)

u(x)dx −

∫

B (x1 ,r)∖B (x2 ,r)

∫

u(x)dx).

B (x2 ,r)∖B (x1 ,r)

Theo giả thiết
∣u(x) ≤ M ∣,
và cho r → ∞,
1
V
ωd rd

ol(B (x1 , r) ∖ B (x2 , r)) → 0.

Điều này kéo theo vế phải của biểu thức trên hội tụ đến 0 khi r → ∞.
Vì vậy, ta có u(x1 ) = u(x2 ). Do x1 , x2 là tùy ý nên u là hằng số.
Định lý 1.3.2. (Bất đẳng thức Harnack) Giả sử u ∶ Ω → R là hàm
điều hòa và khơng âm. Khi đó với mọi miền con Ω′ ⊂⊂ Ω, tồn tại một hằng
số c = c(d, Ω, Ω′ ) sao cho

sup u ≤ c inf′ u.
Ω′

Ω

Chứng minh. Trước tiên ta xét trường hợp đặc biệt Ω′ = B (x0 , r)), cho
B (x0 , 4r) ⊂ Ω. Giả sử y1 , y2 ∈ B (x0 , r). từ (1.4) ta có

u(y1 ) =

1
ωd r d ∫

u(y )dy

B (y1 ,r)

≤

1
ωd r d

u(y )dy

∫

B (x0 ,2r)

vì u ≥ 0 và B (y1 , r) ⊂ B (x0 , 2r)

=

3d
ωd (3r)d

∫

3d
ωd (3r)d

∫

u(y )dy

B (x0 ,2r)

≤

u(y )dy

B (y0 ,3r)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13

vì u ≥ 0 và B (x0 , 2r) ⊂ B (y2 , 3r)

= 3d u(y2 ),
và do đó,

sup u ≤ 3d inf u,

B (x0 ,r)

B (x0 ,r)

như vậy Định lý được chứng minh trong trường hợp đặc biệt.
Vì miền con Ω′ ⊂⊂ Ω là tùy ý nên ta chọn r > 0 với

r < 41 dist(Ω′ , ∂Ω).
Vì Ω′ là bị chặn và liên thông nên tồn tại m ∈ N sao cho hai điểm bất kỳ
y1 , y2 ∈ Ω′ là liên thông trong Ω′ bởi một đường cong mà có thể bị phủ
ở hầu hết m cầu bán kính r với tâm trong Ω′ . Hợp thành của tất cả bất
đẳng thức trên cho những hình cầu đó ta được,

u(y1 ) ≤ 3md u(y2 ).
Bất đẳng thức được chứng minh với c = 3md .

1.4

Không gian W 1,2 (Ω)

Định nghĩa 1.4.1. Cho Ω ⊂ Rd là mở và u(x) ∈ L1loc (Ω), hàm v (x) ∈
L1loc (Ω) được gọi là đạo hàm riêng yếu của hàm u(x) theo biến xi nếu với
∀ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) ta có
∫ v (x)ϕ(x)dx = − ∫ u(x)ϕxi (x)dx.
Ω

(1.13)

Ω

Bổ đề 1.4.2. ([1]) Giả sử u ∈ L1loc (Ω) và tồn tại v = Di u. Nếu dist(x, ∂Ω) >
h, ta có

Di (uh (x)) = (Di u)h (x).
Định lý 1.4.3. ([1]) Giả sử u, v ∈ L2 (Ω). Khi đó v = Di u nếu tồn tại một
dãy (un ) ⊂ C ∞ (Ω) với

un → u,

∂
un → v trong L2 (Ω′ ),
∂xi

với mọi Ω′ ⊂⊂ Ω.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

Định nghĩa 1.4.4. (Định nghĩa không gian Sobolev W 1,2 (Ω))
Không gian Sobolev W 1,2 (Ω) là không gian của những hàm u ∈ L2 (Ω) mà
có đạo hàm uxi (i = 1, ..., d) thuộc lớp L2 (Ω).

Trong không gian W 1,2 (Ω) ta định nghĩa tích vơ hướng
d

(u, v )

W 1,2 (Ω)

∶= ∫ uv + ∑ ∫ Di uDi v.
i=1 Ω

Ω

Và một chuẩn
1
2
∥u∥W 1,2 (Ω) ∶= (u, u)W
1,2 (Ω) .

Ta cũng có thể định nghĩa W 1,2 (Ω) là bao đóng của C ∞ (Ω) đối với chuẩn
∥.∥W 1,2 và W01,2 (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) đối với chuẩn này.
Hệ quả 1.4.5. Không gian W 1,2 (Ω) là đầy đủ đối với ∥.∥W 1,2 và do đó nó
cũng là khơng gian Hilbert. Khơng gian C ∞ (Ω) là trù mật trong W 1,2 (Ω).
Chứng minh. Giả sử (un )n∈N là một dãy Cauchy trong W 1,2 (Ω). Khi đó
(un )n∈N , (Di un )n∈N (i = 1, ..., d) là dãy Cauchy trong L2 (Ω). Vì L2 (Ω) là
đầy đủ nên tồn tại u, v i ∈ L2 (Ω) với

un → u, Di un → vi trongL2 (Ω) (i = 1, ..., d).
Cho φ ∈ C01 (Ω), ta có
∫ Di un φ = − ∫ un Di φ,
ta thấy vế trái hội tụ đến ∫ v i φ, vế phải hội tụ đến − ∫ uDi φ. Do đó

Di u = v i , vì vậy u ∈ W 1,2 (Ω). Điều này chứng tỏ tính đầy đủ của nó.
Để chứng minh W 1,2 (Ω) là bao đóng của C (Ω), ta cần kiểm tra khơng
gian C ∞ (Ω) ∩ W 1,2 (Ω) là trù mật trong W 1,2 (Ω). Cho n ∈ N, ta đặt

1
Ωn ∶= {x ∈ Ω ∶ ∥x∥ < n, dist(x, ∂Ω) > },
n
với Ω0 ∶= Ω−1 ∶= φ. Vì vậy,

Ωn ⊂⊂ Ωn+1 và ⋃ Ωn = Ω.
n∈N

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15

Ta giả sử {ϕj }j ∈N là sự phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ {Ωn+1 ∖ Ωn−1 }
của Ω.
Giả sử u ∈ W 1,2 (Ω).
Từ Định lý 1.4.3 với mọi ε > 0 ta có thể tìm một số dương hn với mọi n ∈ N
sao cho
hn ≤ dist(Ωn , ∂Ωn+1 ),
ε
∥(ϕn u)hn − ϕn u∥ 1,2 < n .
W (Ω)
2
Vì ϕn là sự phân hoạch đơn vị, trên Ω′ ⊂⊂ Ω, tại một số hữu hạn hàm trơn

(ϕn u)hn là khác không.
̃ ∶= ∑(ϕn u)hn ∈ C ∞ (Ω).
u
n

Ta có
̃∥
∥u − u
ta thấy với mỗi u ∈

W 1,2 (Ω)

W 1,2 (Ω)

≤ ∑ ∥(ϕn u)hn − ϕn u∥ < ε,
n

có thể xấp xỉ bằng các hàm thuộc C ∞ .

Ta có ví dụ sau:
cho Ω = (−1, 1) ⊂ R

u(x) ∶= ∣x∣,
trong trường hợp u ∈ W 1,2 (−1, 1) và
⎧
⎪
⎪ 1 khi 0 < x < 1
Du(x) = ⎨
⎪
⎪

⎩ −1 khi −1 < x < 0 .
Suy ra Du(x) = signx.
Thật vậy,
0

1

1

∀φ ∈ C01 ((−1, 1)), ∫ −φ(x)dx + ∫ φ(x)dx = − ∫ φ′ (x).∣x∣dx,
−1

0

−1

do đó thỏa mãn (1.13)
Bổ đề 1.4.6. Giả sử Ω0 ⊂⊂ Ω, g ∈ W 1,2 (Ω), u ∈ W 1,2 (Ω0 ), u−g ∈ W01,2 (Ω0 ).
Khi đó
⎧
⎪
⎪ u(x) khi x ∈ Ω0
v (x) ∶= ⎨
⎪
⎪
⎩ g (x) khi x ∈ Ω ∖ Ω0 ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16

là được chứa trong W 1,2 (Ω), và
⎧
⎪
⎪ Di u(x) khi x ∈ Ω0
Di v (x) = ⎨
⎪
⎪
⎩ Di g (x) khi x ∈ Ω ∖ Ω0 . .
Chứng minh. Từ Hệ quả 1.4.5, tồn tại gn ∈ C ∞ (Ω), un ∈ C ∞ (Ω0 ) với

gn → g trong W 1,2 (Ω),
un → u trong W 1,2 (Ω0 ),
un − gn = 0 trong ∂Ω0 .

(1.14)

Ta đặt
⎧
⎪
⎪ Di un (x) khi x ∈ Ω0
∶= ⎨
⎪
⎪
⎩ Di gn (x) khi x ∈ Ω ∖ Ω0 ,
⎧
⎪ un (x) khi x ∈ Ω0
⎪

vn (x) ∶= ⎨
⎪
⎪
⎩ gn (x) khi x ∈ Ω ∖ Ω0 ,
⎧
⎪ Di u(x) khi x ∈ Ω0
⎪
i
ω (x) ∶= ⎨
⎪
⎪
⎩ Di g (x) khi x ∈ Ω ∖ Ω0 .

ωni (x)

Cho ϕ ∈ C01 (Ω), ta có
i
i
i
∫ ϕwn = ∫ ϕwn + ∫ ϕwn
Ω

Ω∖Ω0

Ω0

= ∫ ϕDi un + ∫ ϕDi gn
Ω∖Ω0

Ω0

= − ∫ un Di ϕ − ∫ gn Di ϕ
Ω∖Ω0

Ω0

= − ∫ vn Di ϕ.
Ω

Từ (1.14) cho n → ∞,
i
∫ ϕwn → ∫ ϕDi u + ∫ ϕDi g,
Ω

Ω∖Ω0

Ω0

∫ vn Di ϕ → ∫ vDi ϕ.
Ω

Ω

Bổ đề được chứng minh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17

Bổ đề 1.4.7. Cho u ∈ W 1,2 (Ω), f ∈ C 1 (R), giả sử

sup ∣f ′ (y )∣ < ∞.
y ∈R

Khi đó f ○ u ∈ W 1,2 (Ω) và đạo hàm yếu thỏa mãn D(f ○ u) = f ′ (u)Du.
Chứng minh. Giả sử un ∈ C ∞ (Ω), un → u trong W 1,2 (Ω), cho n → ∞.
Khi đó
2
′2
2
∫ ∣f (un ) − f (u)∣ dx ≤ sup ∣f ∣ ∫ ∣un − u∣ dx → 0,
Ω

Ω

và
′
′
2
′2
2
∫ ∣f (un )Dun − f (u)Du∣ dx ≤2 sup ∣f ∣ ∫ ∣Dun − Du∣ dx

Ω

Ω

+ 2 ∫ ∣f ′ (un ) − f ′ (u)∣2 ∣Du∣2 dx.
Từ kết quả đã biết về L2 -hàm, sau khi chọn một dãy con un hội tụ theo
từng điểm hầu khắp nơi tới u trong Ω. Vì f ′ là liên tục nên f ′ (un ) cũng
hội tụ hầu khắp nới đến f ′ (u) và vì f ′ cũng bị chặn nên tích phân trên
cũng hội tụ tới 0 khi n → ∞ (theo Định lý Lebesgue trên miền hội tụ trội).
Vì vậy
f (un ) → f (u) trong L2 (Ω),
và

D(f (un )) = f ′ (un )Dun → f ′ (u)Du trong L2 (Ω)
và do đó f ○ u ∈ W 1,2 (Ω) và D(f ○ u) = f ′ (u)Du.
Hệ quả 1.4.8. : Nếu u ∈ W 1,2 (Ω) thì ∣u∣ ∈ W 1,2 (Ω) và D∣u∣ = signu.Du.
1

Chứng minh. Ta xét fε (u) ∶= (u2 + ε2 ) 2 − ε, áp dụng Bổ đề 1.4.7 và ví dụ
sau Hệ quả 1.4.5 ở trên, cho ε → 0 ta được điều phải chứng minh.
Định lý 1.4.9. (Bất đẳng thức Poincaré) Cho u ∈ W01,2 (Ω) ta có
1

∣Ω∣ d
∥u∥L2 (Ω) ≤ ( ) ∥Du∥L2 (Ω) ,
(1.15)
ωd
ở đây ∣Ω∣ ký hiệu là độ đo (Lebesgue) của Ω và ωd là thể tích của hình cầu
đơn vị trong Rd . Cụ thể, với u ∈ W01,2 (Ω) ta có
1

⎛
∣Ω∣ d ⎞
∥u∥W 1,2 (Ω) ≤ 1 + ( ) ∥Du∥L2 (Ω) .

ωd ⎠
⎝

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

Chứng minh. Giả sử u ∈ C01 (Ω); ta đặt u(x) = 0 với x ∈ Rd ∖ Ω.
Cho ω ∈ Rd với ∣ω ∣ = 1, theo Định lý cơ bản của phép tính lấy tích phân
dọc theo tia {rω ∶ 0 ≤ r < ∞} ta được
∞

u(x) = − ∫
0

∂
u(x + rω )dr.
∂r

Lấy tích phân đối với ω , như chứng minh của Định lý 1.1.3 ta có
∞

1
∂
u(x) = −
u(x + rω )dωdr
∫

∫
dωd
∂r
0 ∣ω ∣=1
∞

=−

1
dωd ∫

1 ∂u

∫

0 ∂B (x,r)

rd−1 ∂ν

(z )dσ (z )dr

(1.16)

d
1
∂
xi − y i
1
u
(

y
)
dy,
=−
∑
dωd ∫ ∣x − y ∣d−1 i=1 ∂y i
∣x − y ∣
Ω

và vì vậy theo bất đẳng thức Schwarz
∣u(x)∣ ≤

1
1
∣Du(y )∣dy.
∫
dωd
∣x − y ∣d−1

(1.17)

Ω

Bây giờ ta cần chứng minh Bổ đề sau
Bổ đề 1.4.10. Cho f ∈ L1 (Ω), 0 < µ ≤ 1, giả sử
(Vµ f )(x) ∶= ∫ ∣x − y ∣d(µ−1) f (y )dy.
Ω

Khi đó
∥Vµ f ∥L2 (Ω) ≤

1 1−µ µ
ω ∣Ω∣ ∥f ∥L2 (Ω) .
µ d

Chứng minh. Đặt B (x, R) ∶= {y ∈ Rd ∶ ∣x − y ∣ ≤ R}. Giả sử R được chọn
sao cho ∣Ω∣ = ∣B (x, R)∣ = ωd Rd . Vì
∣Ω ∖ (Ω ∩ B (x, R))∣ = ∣B (x, R) ∖ (Ω ∩ B (x, R))∣,
và
∣x − y ∣d(µ−1) ≤ Rd(µ−1) với ∣x − y ∣ ≥ R,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19

∣x − y ∣d(µ−1) ≤ Rd(µ−1) với ∣x − y ∣ ≤ R,
kéo theo
d(µ−1)
dy ≤ ∫
∫ ∣x − y ∣

∣x − y ∣d(µ−1) dy =

B (x,R)

Ω

1
1
ωd Rdµ = ωd1−µ ∣Ω∣µ .
µ
µ

(1.18)

Ta viết
∣x − y ∣d(µ−1) ∣f (y )∣ = (∣x − y ∣ 2 (µ−1) )(∣x − y ∣ 2 (µ−1) ∣f (y )∣),
d

d

áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta được
∣(Vµ f )(x)∣ ≤ ∫ ∣x − y ∣d(µ−1) ∣f (y )∣dy
Ω

≤ ( ∫ ∣x − y ∣

d(µ−1)

1
2

dy ) ( ∫ ∣x − y ∣

Ω

d(µ−1)

2

1
2

∣f (y )∣ dy ) ,

Ω

và do đó

1 1−µ µ
2
d(µ−1)
∣f (y )∣2 dydx
∫ ∣Vµ f (x)∣ dx ≤ µ ωd ∣Ω∣ ∫ ∫ ∣x − y ∣
Ω

Ω

Ω

2

1
≤ ( ωd1−µ ∣Ω∣µ ) ∫ ∣f (y )∣2 dy.
µ
Ω

Bằng cách hốn vị tích phân đối với x và y và áp dụng (1.18) ta được điều
phải chứng minh
Bây giờ ta tiếp tục chứng minh Định lý 1.4.9, áp dụng Bổ đề 1.4.10 với
µ = d1 và f = ∣Du∣ để được vế phải của (1.17), ta được (1.15) với u ∈ C01 (Ω).
Từ định nghĩa của W01,2 (Ω), nó chứa C01 (Ω) như một khơng gian con trù
mật, ta có thể thay thế u trong W 1,2 - chuẩn bởi dãy (un )n∈N ⊂ C01 (Ω). Vì
vậy, un hội tụ tới u trong L2 và Dun hội tụ đến u.
Do đó, bất đẳng thức (1.15) được chứng minh.
Định lý 1.4.11. Giả sử Ω ∈ Rd là tập mở và bị chặn. Khi đó W01,2 (Ω) là
nhúng compact trong L2 (Ω), tức là, mọi dãy (un )n∈N ⊂ W01,2 (Ω) với
∥un ∥W 1,2 (Ω) ≤ c0

(1.19)

chứa một dãy con hội tụ trong L2 (Ω).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




20

Chứng minh. Ta tìm một hàm ωn,ε ∈ C 1 (Ω) với mọi ε > 0, với
ε
∥un − ωn,ε ∥W 1,2 (Ω) < ,
2

(1.20)

và
∥ωn,ε ∥W 1,2 (Ω) ≤ c1

(1.21)

(c1 phụ thuộc vào ε nhưng không phụ thuộc vào n). Theo Định lý Aszela
- Ascoli, (ωn,ε )n∈N chứa một dãy con hội tụ đều, do đó nó cũng nằm trong
L2 . Khi điều này đúng với mọi ε > 0, ta sử dụng tới Định lý về tập con
compact của không gian mêtric để khẳng định rằng bao đóng của (un )n∈N
là compact trong L2 (Ω) và vì vậy nó chứa một dãy con hội tụ. (Tập con
của không gian mêtric là compact nếu nó đầy đủ và hồn tồn bị chặn,
tức là, nếu mọi ε < 0, nó được chứa trong hợp của hữu hạn những hình
cầu bán kính ε.)
Áp dụng kết quả trên cho (bao đóng) của dãy (ωn,ε )n∈N , ta suy ra tồn
tại hữu hạn zν , ν = 1, ..., N trong L2 (Ω) sao cho với mọi n ∈ N,
ε
∥ωn,ε − zν ∥L2 (Ω) < , ν ∈ {1, ..., N }
(1.22)
2
Do đó, từ (1.20) và (1.22), mọi n ∈ N,
∥un − zν ∥L2 (Ω) < ε.
Khi điều này đúng với mọi ε, dãy (un )n∈N là hồn tồn bị chặn và bao
đóng của nó là compact trong L2 (Ω), ta muốn có một dãy con hội tụ
trong L2 (Ω).Để xây dựng ωn,ε , trước tiên theo định nghĩa của W01,2 (Ω)
tồn tại ωn ∈ C01 (Ω) với
ε
(1.23)
∥un − ωn ∥W 1,2 (Ω) < .
4
Theo (1.19) ta có

∥un ∥W 1,2 (Ω) ≤ c′0 .

(1.24)

Ta xác định ωn,ε với tham biến h = h(ε) để xác định dãy con như sau:

ωn,ε (x) =

1
hd ∫
Ω

(

x−y
)ωn (y )dy.
h

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên