Độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––

LÊ THANH SƠN

ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Thái Nguyên - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan: Bài luận văn tốt nghiệp này là cơng trình nghiên cứu
thực sự của cá nhân tôi, đƣợc thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết,
nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của
GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu đƣợc trình bày trong

luận văn là hồn tồn trung thực và chƣa đƣợc sử dụng để bảo vệ cho một học
vị nào, phần trích dẫn và tài liệu tham khảo đều đƣợc ghi rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày..... tháng ..... năm 2013
Tác giả

Lê Thanh Sơn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, nhân dịp này em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự hƣớng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy giáo, cơ giáo ở Viện Tốn
học và Phịng quản lý đào tạo sau đại học cùng tồn thể các thầy giáo, cô giáo
của trƣờng ĐHSP Thái Nguyên.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng GD&ĐT Sơng Lơ, Trƣờng THCS
Lãng Công đã tạo điều kiện về thời gian để có thể hồn thành luận văn này.
Tơi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên đã chia sẻ cùng tơi những
khó khăn trong những năm tháng học tập xa nhà.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này đƣợc hồn chỉnh hơn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... ii
MỤC LỤC ........................................................................................................ iii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................ 2
3. Bố cục luận văn ............................................................................................. 3
Chƣơng I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 4
1.1. Các không gian thƣờng dùng ..................................................................... 4
1.1.1. Không gian Metric. ................................................................................. 4
1.1.2. Không gian tuyến tính định chuẩn .......................................................... 6
1.1.3. Khơng gian Hilbert .................................................................................. 8
1.1.4. Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phƣơng Hausdoff .......................... 10
1.1.5. Không gian đối ngẫu. ............................................................................ 11
1.2. Ánh xạ đa trị ............................................................................................. 11
1.3. Bài toán tối ƣu. ......................................................................................... 12
1.4. Kết luận .................................................................................................... 14
Chƣơng II. ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN
PHÂN SUY RỘNG ....................................................................................... 15
2.1 Khái niệm cơ bản ...................................................................................... 15
2.2. Các kết quả bổ trợ .................................................................................... 17
2.3. Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ

thuộc tham số .................................................................................................. 19
2.4. Các trƣờng hợp đặc biệt ........................................................................... 32
2.5. Một vài ứng dụng ..................................................................................... 34
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




iv

2.6. Kết luận .................................................................................................... 37
Chƣơng III. TÍNH LIÊN TỤC HOLDER CỦA NGHIỆM BÀI TOÁN
BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ...................................................... 38
3.1. Tính chất liên tục Holder của nghiệm của P  ,   . ................................ 39
3.2. Các kết quả bổ trợ .................................................................................... 41
3.3. Chứng minh định lý 3.1.1 ........................................................................ 48
3.4. Kết luận .................................................................................................... 54
KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 56

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời cách đây hơn 50 năm với các

cơng trình quan trọng của G. Stampacchia, P. hartman, G. Fichera, J. L. Lions
và F. E. Browder. Trong suốt hơn 50 năm qua, lý thuyết này đã thu hút đƣợc
sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc. Có rất nhiều bài báo, rất
nhiều cuốn sách đề cập đến các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng của
chúng. Hiện nay những bài toán phụ thuộc tham số đang đƣợc các nhà toán
học và các nhà khoa học khác quan tâm nghiên cứu rất nhiều và có những ứng
dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực.
Giả sử K là một tập lồi đóng trong khơng gian định chuẩn X ,

f : K  X * là ánh xạ đơn trị từ K vào không gian đối ngẫu X * của X . Bài
tốn “ Tìm x  K sao cho

f  x  , x  x  0 với mọi x  K ” đƣợc gọi là bất

đẳng thức biến phân xác định bởi toán tử f trên tập K . Nếu F : K  2 X là
*

một ánh xạ đa trị từ K vào X * thì bài tốn “ Tìm x  K sao cho tồn tại
x * F  x  thỏa mãn

x* , x  x  0 với mọi x  K ” đƣợc gọi là bất đẳng

thức biến phân suy rộng xác định bởi tập K và toán tử F .
Khi toán tử f  F  phụ thuộc tham số  và tập hạn chế K phụ thuộc
tham số  nào đó thì bài tốn trên đƣợc gọi là bất đẳng thức biến phân phụ
thuộc tham số ( bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, tƣơng
ứng). Ở đây   ,   là cặp tham số của bài toán.
Bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số và bất đẳng thức biến phân
suy rộng phụ thuộc tham số, cùng với các ứng dụng khác nhau của chúng là
nội dung chính của luận văn này. Tƣơng tự nhƣ trong nhiều lĩnh vực toán học

khác, các vấn đề chủ yếu đƣợc nghiên cứu trong lý thuyết bất đẳng thức biến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

phân là sự tồn tại nghiệm, tính liên tục của tập nghiệm theo tham số, và các
thuật tốn tìm nghiệm.
Để tiện theo dõi luận văn này, ta nhắc lại kết quả trong 14 :
Giả sử H là không gian Hilbert thực, M và  là hai tập tham số khác
rỗng lấy trong hai khơng gian định chuẩn nào đó, f : H  M  H là ánh xạ
đơn trị, K :   2 H là ánh xạ đa trị nhận giá trị là các tập lồi, đóng, khác rỗng.
Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số:
Tìm x  K    sao cho

 f  x,   , y  x  0, y  K    ,

 0.1

ở đó   ,    M   là cặp tham số của bài toán và ,  là ký hiệu tích vơ
hƣớng trong H . Với cặp tham số

 ,   M  

cho trƣớc, ta có thể xem

 0.1 nhƣ một bài toán nhiễu của bất đẳng thức biến phân sau đây:
Tìm x  K    sao cho


 f  x,   , y  x  0, y  K    .

 0.2

Giả sử x là một nghiệm của  0.2  . Chúng ta cần biết xem liệu  0.1 có thể
cónghiệm x  x   ,   ở gần x khi   ,   ở gần   ,   hay không, và hàm

x  ,   có dáng điệu nhƣ thế nào. Nói cách khác là ta cần nghiên cứu độ
nhạy của nghiệm x đối với sự thay đổi của   ,   .
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số kết quả về độ
nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có phụ thuộc tham số
trong không gian Banch phản xạ và một số áp dụng để khảo sát độ nhạy
nghiệm của bài tốn quy hoạch lồi phụ thuộc tham số.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây:
Trình bày kiến thức cơ bản.
Trình bày độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng.
Trình bày tính liên tục Holder của nghiệm bài tốn biến phân phụ thuộc
tham số.
3. Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chƣơng.
Chƣơng 1 kiến thức chuẩn bị. Trong đó mục 1.1 trình bày các khơng
gian thƣờng dùng. Mục 1.2 trình bày ánh xạ đa trị. Mục 1.3 nhắc lại bài toán
tối ƣu.
Chƣơng 2 nghiên cứu độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy
rộng. Trong đó, Mục 2.1 trình bày các ký hiệu và khái niệm liên quan đến bất
đẳng thức biến phân. Mục 2.2 trình bày một số sự kiện về toán tử đơn điệu
cực đại. Mục 2.3 thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục tựa Holder của
ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng, Mục 2.4 đề cập tới một
số trƣờng hợp riêng. Mục 2.5 đƣợc dành cho việc áp dụng các kết quả thu
đƣợc trong các mục trƣớc để nghiên cứu độ nhạy nghiệm của bài toán quy
hoạch lồi có tham số.
Chƣơng 3 nghiên cứu các tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder của
nghiệm các bài toán biến phân phụ thuộc tham số. Mục 3.1 trình bày bài tốn
và các bổ đề bổ trợ. Mục 3.2 thiết lập một số kết quả về tính liên tục Lipschitz
và tính đơn điệu mạnh của tốn tử đạo hàm. Mục 3.3 trình bày chứng minh
định lý chính của chƣơng này. Bằng cách sử dụng các kết quả của chƣơng 2
và các mục 3.1 và 3.2, chúng ta có đƣợc kết quả về tính chất liên tục kiểu
Lipschitz-Holder của ánh xạ nghiệm theo tham số.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

Chƣơng I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chƣơng này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản để sử

dụng trong suốt luận văn này.
1.1. Các không gian thƣờng dùng
1.1.1. Không gian Metric.
Định nghĩa 1.1.

 4, p. 33 

Một tập hợp X đƣợc gọi là một không gian

metric nếu: a) Với mỗi cặp phần tử x, y của X đều có xác định, theo một quy
tắc nào đó, một số thực   x, y  ; b) Qui tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau
đây:
1.   x, y   0 nếu x  y ;

  x, y   0 nếu x  y ( tính tự phản xạ),
2.   x, y     y, x  với mọi x, y (tính đối xứng),
3.   x, y     x, z     z, y  với mọi x, y, z (bất đẳng thức tam giác).
Hàm số   x, y  gọi là metric của không gian và cặp  X ,   đƣợc gọi
là khơng gian metric.
Ví dụ. 1) Một tập M bất kỳ của đƣờng thẳng R , có khoảng cách thơng
thƣờng   x, y   x  y (độ dài đoạn nối x và y ), là một không gian metric.
2) Tổng quát hơn, trong không gian k chiều Rk , có thể xác định
khoảng cách giữa hai điểm x  1,2 ,...,k  và y  1,2 ,...,k  là :

  x, y  

k

 
i 1

i

 i 

2

là khơng gian metric.
Trong khơng gian metric, nhờ có khoảng cách, nên có thể định nghĩa:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

1) Sự hội tụ. Ta nói một dãy điểm x1, x2 ,... của một không gian metric

X hội tụ tới điểm x của khơng gian đó nếu lim   xn , x   0 . Ta viết xn  x
n

hoặc lim xn  x , và điểm x gọi là giới hạn của dãy xn  .
2) Lân cận. Một hình cầu tâm a , bán kính r  0  r    , trong một
không gian metric X , là tập: B  a, r    x :   x, a   r .
Hình cầu tâm a , bán kinh r , cũng gọi là một r - lân cận của điểm a và mọi
tập con của X bao hàm một r - lân cận nào đó của điểm a gọi là một lân cận
của điểm a .
Điểm trong: điểm x gọi là một điểm trong của tập A nếu có một lân
cận của x nằm trong tập A .
3) Tập mở. Một tập là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong.

4) Tập đóng. Một tập là đóng nếu mọi điểm khơng thuộc nó đều là
điểm trong của phần bù của nó.
Bốn khái niệm trên có mối quan hệ mật thiết với nhau: ba khái niệm
còn lại đều suy ra từ một khái niệm cho trƣớc và chúng cùng sinh ra trên tập

X một cấu trúc, cấu trúc này đƣợc gọi là cấu trúc tôpô.
Dãy

xn   X

đƣợc gọi là dãy Cauchy nếu   xn , xm   0 khi

n, m   . Không gian metric mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ thì đƣợc gọi là
khơng gian metric đủ.
Bao đóng: Giả sử A là tập con của X . Giao của tất cả các tập hợp
đóng chứa A gọi là bao đóng của tập hợp A và ký hiệu A .
Từ định nghĩa lân cận ta có các định nghĩa sau: Với a  X ,   0,   X .
Tập: B(a,  )  x  X :  (a, x)   , gọi là hình cầu mở tâm a , bán kính  .
Tập: B (a,  )   x  X :  (a, x)    , gọi là hình cầu đóng tâm a , bán kính  .
Hình cầu đợn vị đóng trong X đƣợc ký hiệu B X .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

5) Ánh xạ liên tục. Cho hai không gian metric X và Y (metric trên X
ký hiệu là  X , metric trên Y ký hiệu là Y ). Một ánh xạ f từ X vào Y gọi
là liên tục tại điểm x0  X nếu

  0    0 x  X  :
 X  x, x0     Y  f  x  , f  x0     .
Ánh xạ f đƣợc gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x  X . Ta
thấy định nghĩa này cũng tƣơng đƣơng với định nghĩa qua khái niệm hội tu,
tập đóng, tập mở. Ví dụ f liên tục tại x0 khi và chỉ khi mọi xn  x0 thì

f  xn   f  x0  .
Trong khơng gian metric ta cũng có khái niệm khoảng cách Hausdoff
giữa hai tập hợp: Cho một tập A trong không gian metric  X ,   . Với mỗi
điểm x  X ta đặt   x, A  inf   x, y  : y  A và gọi   x, A là khoảng
cách từ điểm x đến tập A . Hiển nhiên   x, A  0 khi và chỉ khi có một dãy

yn  A sao cho   x, yn  

  x, A  0

đồng

nghĩa

1
 n  1,2,... tức là sao cho yn  x . Do đó
n
với

x A

(bao

đóng

của

A ).

Tập

A   x  X :   x, A     gồm những điểm cách tập A không quá  , gọi là

 - bao của A . Nếu A, B là hai tập trong không gian metric  X ,   thì
B  A có nghĩa là mọi điểm của B đều cách A không quá  . Khi ấy số

d  A, B   inf   0: A  B , B  A ,
gọi là khoảng cách Hausdoff giữa hai tập A và B .
1.1.2. Khơng gian tuyến tính định chuẩn
Trong mục 1.1.1 ta thấy trong không gian metric ta đã nghiên cứu các
vấn đề liên quan tới khoảng cách nhƣ sự hội tụ và tính liên tục. Trong giải tích
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

còn nhiều vấn đề khác liên quan tới các phép tính tuyến tính: cộng hai phần tử
với nhau và nhân một phần tử với một số. Để nghiên cứu vấn đề này, ta đƣa
vào khái niệm không gian véc tơ.
Định nghĩa 1.2.

 4, p.180  Một tập

X đƣợc gọi là một không gian vectơ

nếu: a) Ứng với mỗi cặp phần tử x, y của X ta có, theo một quy tắc nào đó,
một phần tử của X , gọi là tổng của x với y , và đƣợc ký hiệu x  y ; ứng với
mỗi phần tử x  X và mỗi số thực  ta có, theo một quy tắc nào đó, một
phần tử của X gọi là tích của x với  và đƣợc ký hiệu  x .
b) Các qui tắc nói trên thỏa mãn 8 điều kiện sau đây:
1) x  y  y  x .
2)  x  y   z  x   y  z  .
3) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x  0  x, x  X .
4) Ứng với mỗi phần tử x  X ta có một phần tử  x  X sao cho

x   x  0 .
5) 1  x  x .
6)    x     x

 , 

là những số bất kỳ ).

7)     x   x   x .
8)   x  y    x   y .
Định nghĩa 1.3.

 4, p.186  Cho

X là một khơng gian tuyến tính trên

trƣờng K , chuẩn trên X là hàm số: . : X  R  thoả mãn:
1) x  0 , x  0  x  0 .
2)  x   x , với mọi   K .
3) x  y  x  y , với mọi x , y  X .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

Khi đó  đƣợc gọi là một chuẩn trên X và ( X , . ) đƣợc gọi là không gian
tuyến tính định chuẩn.
Giả sử X và Y là hai khơng gian tuyến tính định chuẩn, một tốn tử A
từ X vào Y gọi là liên tục nếu xn  x0 luôn luôn kéo theo Axn  Ax0 . Ta có,
một tốn tử tuyến tính A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
Vì không gian định chuẩn là trƣờng hợp riêng của không gian metric,
trong mục 1.1.1 ta đã nghiên cứu về sự hội tụ trong không gian metric, vậy sự
hội tụ trong không gian định chuẩn nhƣ thế nào? Trong không gian véc tơ X
ta xác định một chuẩn, nghĩa là ứng với mỗi phần tử x một số x  0 thỏa
mãn ba điều kiện trên, thì ta biến nó thành một không gian metric, với metric:

  x, y   x  y .
Khi đó ta phát biểu theo chuẩn sẽ có một số kết quả sau:
1) xn  x0 , có nghĩa là xn  x0  0 .
2) Nếu xn  x0 thì x n  x0 , nói khác đi, chuẩn x là một hàm liên
tục của x .
3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: Nếu x n hội tụ thì

 k n 

xn  k .

4) Nếu xn  x0 , yn  y0 thì xn  yn  x0  y 0 . Nếu xn  x0 ,  n   0 ,
thì  n xn  0 x0 . Nói khác đi là các phép tốn x  y và  x là liên tục. Ta nói
rằng cấu trúc đại số tƣơng thích với cấu trúc tơpơ.
1.1.3. Khơng gian Hilbert
Định nghĩa 1.4.

 4, p. 315  Một không gian vectơ thực

X đƣợc gọi

là không gian tiền Hilbert, nếu trong đó có xác định một hàm hai biến  x, y  ,
gọi là tích vơ hƣớng của hai vectơ  x, y  , ký hiệu là .,. với các tính chất
1) x, y  y, x .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

2) x  y, z  x, z  y, z .
3)  x, y   x, y với mọi số thực  .
4) x, x  0 nếu x  0 ; x, x  0 nếu x  0 .
Hơn nữa ta chứng minh đƣợc x, x  x , tức là x 
2

x, x xác

định một chuẩn trong khơng gian X , nói cách khác khơng gian tiền Hilbert
định nghĩa nhƣ trên là một không gian định chuẩn và do đó cũng là một
khơng gian metric.
Mặt khác ta chứng minh đƣợc tích vơ hƣớng x, y là một hàm liên tục
đối với x và y .
Một không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert.
Trên khơng gian Hilbert ta có: Với mỗi vectơ a cố định thuộc một
không gian Hilbert X , hệ thức

f  x   a, x ,
xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f  x  trên khơng gian X , với

f  a .
Ngƣợc lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f  x  nào trên một khơng
gian Hilbert X cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dƣới dạng

f  x   a, x ,
trong đó a là một vectơ của X thỏa mãn f  a .
Từ trên ta cũng có kết quả sau: Mỗi tốn tử tuyến tính liên tục A trong
không gian Hilbert X xác định theo f  x, y   Ax, y một phiếm hàm song
tuyến tính liên tục f  x, y  nghiệm đúng f  A . Ngƣợc lại bất kỳ phiếm
hàm song tuyến tính liên tục f  x, y  nào trên X cũng có thể biểu diễn một

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
cách duy nhất dƣới dạng f  x, y   Ax, y trong đó A là một tốn tử tuyến
tính liên tục trên X thỏa mãn f  A .
1.1.4. Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phƣơng Hausdoff
Định nghĩa 1.5.

 4, p. 372  Cho một tập

X bất kỳ. Ta nói một họ

T những tập con của X là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên X
nếu:

i  Hai tập 0 và
 ii 

X đều thuộc họ T .

T kín đối với phép giao hữu hạn, tức là, giao của một số hữu hạn

tập thuộc họ T thì cũng thuộc họ đó.

 iii 

T kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là, hợp của một số bất kỳ (hữu

hạn hay vô hạn) tập thuộc họ T thì cũng thuộc họ đó.
Một tập X , cùng với một tôpô T trên X , gọi là khơng gian tơpơ  X ,T  .
Vì họ các tập mở trong một không gian metric thỏa mãn các điều kiện
trên, nên các không gian metric đều là không gian tôpô.

Lân cận. Lân cận của một điểm x trong một không gian tôpô X là bất
cứ tập hợp nào bao hàm một tập mở chứa x . Nói cách khác V là lân cận của

x nếu có một tập mở G sao cho x  G  V .
Tập đóng. Một tập là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của nó.
Ánh xạ liên tục. Cho X , Y là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f từ

X vào Y đƣợc gọi là liên tục tại x0 , nếu với mọi lân cận U y0 của điểm

y0  f  x0  đều có một lân cận Vx0 của điểm

x0 sao cho f  Vx0   U y0 ,

nghĩa là: x Vx0  f  x  U y0 . Ánh xạ f đƣợc gọi là liên tục nếu nó liên tục
tại mọi x  X .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

Không gian Hausdoff: Không gian tôpô ( X , T ) đƣợc gọi là T2 không gian ( không gian Hausdoff) nếu với hai điểm x1  x2 , x1, x2  X luôn
tồn tại hai tập mở U ,V  T sao cho: x1 U , x2 V và U  V  0 .
1.1.5. Không gian đối ngẫu.

 4, p. 404 

Khi X là một không gian vec tơ tơ pơ thì tập hợp các phiếm hàm tuyến

tính liên tục trên X gọi là không gian đối ngẫu của X và đƣợc ký hiệu X * .
Đó là một khơng gian véc tơ với các phép tốn tự nhiên:

 f1  f 2  x   f1  x   f 2  x  ,
 f1  x    f1  x .
Nếu X là khơng gian định chuẩn thì ta có thể đƣa vào trong X * một
chuẩn để nó biến thành một không gian định chuẩn đủ ( Banach).
Với X là khơng gian Banach, có khơng gian đối ngẫu là X * , gọi X **
là không gian đối ngẫu của X * . Trong trƣờng hợp X  X ** thì X đƣợc gọi là
khơng gian Banach phản xạ.
1.2. Ánh xạ đa trị
Ta có: 2Y là ký hiệu họ các tập con của tập Y .
Định nghĩa 1.6. Cho X , Y là các tập hợp, F : X  Y đƣợc gọi là ánh xạ
đa trị nếu F chuyển x  X thành một tập hợp F  x   Y , F  x  là ảnh của x .
Ta có: 1) A  X , F  A  F  X  , x  A , là ảnh của tập hợp A .
2) y  Y , F 1  y    x  X : y  F  y  là tiền ảnh của y .
3) B  Y , F 1  B   F 1  y   X , y  B là tiền ảnh của B .
4) Dom F   x  X : F  x   0  là miền định nghĩa của F .
5) Graf F   x, y   X  Y : y  F  x  đồ thị của F .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

Từ định nghĩa 1.6 ta có định nghĩa ánh xạ đa trị đóng nhƣ sau: Cho

X , Y là các không gian tô pô, F : X  2Y , ký hiệu là ánh xạ đa trị từ X  Y .

Nếu Graf F  X  Y là tập đóng thì F đƣợc gọi là ánh xạ đa trị đóng

 ( xn , yn )  Graf F ,( xn , yn )  ( x, y)  ( x, y)  Graf F tức là
yn  Graf F ( xn )  y  F ( x) .
Ta xét tính liên tục của ánh xạ đa trị: Cho F : X  2Y là ánh xạ đa trị,
ta nói rằng:

i 

F là nửa liên tục trên tại x  dom F nếu B là tập mở trong

Y , F ( x)  B thì tồn tại lân cận U x của x : F  x  B, x U .

 ii 

F là nửa liên tục dƣới tại x  dom F nếu B là tập mở,

B  F ( x)  0 thì tồn tại lân cận U x của x : B  F  x  0,
 x U x  domF .

Tính Lipshitz. Cho X là khơng gian định chuẩn. Ta nói rằng f là
hàm Lipshitz trên tập D  X , nếu tồn tại l  0 sao cho:

f  x   f  x  l x  x , với mọi x, x  D .
Hơn thế nữa: 1) Hàm f đƣợc gọi là Lipshitz địa phƣơng tại x  X , nếu
tồn tại số   0 sao cho f là hàm Lipshitz trên hình cầu B  x,    D .
2) Hàm f đƣợc gọi là Lipshitz địa phƣơng trên tập D ,
nếu nó Lipshitz địa phƣơng tại mọi điểm của D .
1.3. Bài toán tối ƣu.

 3, p.10 

Cho D là một tập khác rỗng của khơng gian X . Bài tốn: Tìm điểm

x0  D thỏa mãn

F  x0   F  x  , với mọi x  D ,
ta viết
F  x0   min F  x  .
xD

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13

và gọi x0 là nghiệm tối ƣu toàn cục của bài tốn . Và, nếu tìm đƣợc điểm

x0  D sao cho tồn tại lân cận U của x0 để

F  x0   F  x  , với mọi x U  D ,bài toán đƣợc gọi là bài toán
tối ƣu địa phƣơng và x0 đƣợc gọi là nghiệm tối ƣu địa phƣơng của bài toán .
Trong lý thuyết tối ƣu tổng quát, ta cũng cần lƣu ý rằng, bài tốn trên
có liên quan mật thiết với một số bài toán khác dƣới đây:
1. Bài toán điểm cân bằng
Cho D là tập con khác rỗng của không gian X , f : D  D  R . Tìm
x  D sao cho: f  x , y   0, x  D.

2. Bài toán bất đẳng thức biến phân
Gọi X * là không gian đối ngẫu của X . Nếu x  X , f  X * , ta định
nghĩa x, f  f  x  , là giá trị của f tại x . Cho D  X là tập hợp lồi, đóng,
khác rỗng. Cho ánh xạ A : D  X * , : D  R   . Tìm u  D sao cho
A  u  , v  u    v     u   0 , với mọi v  D .

3. Bài tốn điểm bất động
Cho X là khơng gian Hilbert, D  X là tập hợp con khác rỗng,
T : D  D là ánh xạ đơn trị. Tìm x  D sao cho: T  x   x .

4. Bài toán cân bằng Nash
Cho Di  X i , i  I là các tập con khác rỗng trong X i (với I là tập hữu
hạn các phần tử, i  I , X i là những không gian). Đặt D   D i và xét các
iI

hàm fi : D  R . Với mỗi x   xi iI  D , ta đặt xi   x j 
. Tìm
jI , j  i
x   xi iI  D

sao cho : fi  x   fi  x i , yi  , yi  Di .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

5. Bài toán điểm yên ngựa
Cho

D1, D2  X

 x1, x2   D1  D2

và

và  : D1  D2  R .

 x1, x2 

Tìm

  x1, y2     x1, x2     y1, x2 

,

sao
với

cho
mọi

 y1, y2   D1D2 .
6. Bài tốn bù
Cho C là nón lồi, đóng trong X . Gọi C * là nón cực của C . Xét ánh xạ
T : C  C * , với X * là không gian tô pô đối ngẫu của X . Tìm x  X sao cho

x  C ,T  x   C * , T  x  , x  0 .

7. Bài toán tựa tối ƣu loại I
Cho K là tập hợp khác rỗng của khơng gian Y nào đó,

S : D  K  2D , T : D  K  2K là các ánh xạ đa trị, F : K  D  D  R là
hàm số. Tìm điểm  x , y   D  K sao cho
1) x  S  x , y  ,
2) y T  x , y  ,
3) F  y , x , x   min F  y , x , x  .
xS  x , y 

8. Bài toán tựa tối ƣu loại II
Tiếp theo cho Si : D  2D ,i  1,2, T : D  2K là các ánh xạ đa trị,
F : K  D  D  R là hàm số. Tìm điểm  x , y   D  K sao cho

1) x  S1  x  ,
2) F  y, x , x   F  y, x , x  x  S2  x  , y T  x , x  .
1.4. Kết luận
Trong chƣơng 1 ta đã nhắc lại các kiến thức cơ bản về các không gian
thƣờng dùng, ánh xạ đa trị và bài toán tối ƣu, những kiến thức này sẽ đƣợc sử
dụng nhiều trong chƣơng 2 và chƣơng 3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15

Chƣơng II
ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN SUY RỘNG.

Trong chƣơng này chúng ta sẽ thiết lập một số kết quả về độ nhạy
nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có tham số trong khơng gian
Banach phản xạ.
Vì hệ điều kiện cần cực trị bậc nhất của một bài tốn tối ƣu bất kỳ có
thể viết dƣới dạng một bất đẳng thức biến phân hoặc bất đẳng thức biến phân
suy rộng nên hầu hết các kết quả về bất đẳng thức biến phân và bất đẳng thức
biến phân suy rộng đều có ứng dụng trong tối ƣu hố. Nói riêng ra, các kết
quả về tính ổn định và độ nhạy nghiệm của các bất đẳng thức biến phân suy
rộng có những hệ quả trực tiếp đối với ánh xạ nghiệm của các bài tốn quy
hoạch lồi có tham số.
2.1 Khái niệm cơ bản
Ta ký hiệu X là không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu
X * . Chuẩn trong X và trong X * đều đƣợc ký hiệu bởi . . Ta nhắc lại một

số khái niệm cơ bản sau:
Khoảng cách từ điểm z  X đến A đƣợc định nghĩa bằng công thức

d  z, A  inf  z  x : x  A  . Theo quy ƣớc inf 0    và A  0  0 .
Tập lồi: Tập hợp A  X đƣợc gọi là tập lồi nếu với mọi

x1, x2  A, t 0,1, thì tx1  1  t  x2  A .
Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ x*  X * đƣợc gọi là véc tơ pháp tuyến của
tập lồi A tại x nếu thoả mãn:

x* , x  x  0 , với mọi x  A .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16

Nón pháp tuyến: Nón pháp tuyến của tập K tại x đƣợc định nghĩa bởi
công thức
 x*  X * : x* , y  x  0
N K  x  : 
0

y  K  ,

xK
x  K.

,

 2.1

Hàm lồi: Cho X là không gian lồi địa phƣơng, D  X , f : D  R   ,
ta có: epif =  x,r   D  R : f  x   r  . Hàm f đƣợc gọi là lồi, nếu epi f là
tập lồi trong khơng gian tích X  R .
Dƣới vi phân: Cho  : X  R  là một hàm lồi và x  X sao cho

  x    . Dƣới vi phân của  tại x đƣợc ký hiệu bởi   x  và đƣợc xác
định bởi công thức :
  x    x*  X * :   y     x   x* , y  x

y  X .

 2.2

Giả sử F : X  2 X là một ánh xạ đa trị, bất đẳng thức biến phân suy rộng,
*

xác định bởi ánh xạ F và tập lồi K là bài tốn tìm x  K thoả mãn bao hàm

0  F  x   N K  x .

thức:

 2.3

Từ công thức  2.1 suy ra rằng x  X thoả mãn  2.3 khi và chỉ khi x  K
và tồn tại x*  F  x  sao cho

x* , y  x  0 với mọi y  K .

Nếu F  x    f  x   , trong đó f : X  X * là ánh xạ đơn trị, thì  2.3

0  f  x   NK  x 

trở thành:

 2.4

và bài toán tƣơng ứng gọi là bất đẳng thức biến phân xác định bởi ánh xạ f
và K .
Giả sử

 ,d 

và

M ,d 

là các không gian metric. Giả sử

x0  X ,  0 và 0  M . Giả sử F : X  M  2 X , K :   2 X là hai ánh xạ
*

đa trị. Ta luôn giả sử rằng K  nhận giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Bài tốn tìm

x  x   ,   thoả mãn bao hàm thức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




17

 2.5

0  F  x,    N K    x  ,

trong đó   ,    M   là một cặp tham số, đƣợc gọi là bất đẳng thức biến
phân suy rộng phụ thuộc tham số. Lƣu ý rằng x  X thoả mãn  2.5 khi và
chỉ khi x  K    và tồn tại x*  F  x,   sao cho

x* , y  x  0 với mọi

y  K   .
2.2. Các kết quả bổ trợ
Để tiện theo dõi ta nhắc lại: Cho G : X  2 X là ánh xạ đa trị. Các tập
*

domG :  x  X : G  x   0  và graf G :   x, x*   X  X * : x*  G  x   ,
tƣơng ứng đựơc gọi là miền hữu hiệu và đồ thị của G .
Định nghĩa 2.1.1. Ánh xạ G đƣợc gọi là nửa liên tục dƣới theo nghĩa
Hausdoff tại x0  X nếu với mỗi   0 tồn tại một lân cận U của x0 trong X
sao cho G  x0   G  x    BX * với mọi x U , trong đó
BX * :  x*  X * : x*  1  .

Định nghĩa 2.1.2. Ánh xạ G đƣợc gọi là đê-mi liên tục tại x0  X nếu với
mỗi tập mở V  X * trong tô pô yếu

*

của X * thoả mãn G  x0   V tồn tại

một lân cận U của x0 trong X sao cho G  x   V với mọi x U . Ánh xạ G
đƣợc gọi là hê mi liên tục tại x0  X nếu, với mọi v  X , t 0,1 và với mọi
tập mở yếu

*

V  X * thoả mãn G  tx0   1  t

v   V ,

tồn tại   0 sao

cho G  tx0  1  t  v   V với mọi t 0,1 mà 1  t   .
Định nghĩa 2.1.3.
nếu với mọi



 13, p.852  

Ánh xạ G : X  2 X đƣợc gọi là đơn điệu
*

x1 , x1*  ,  x2 , x2*   gr G ta có
x2*  x1* , x2  x1  0 .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

Ta nói G là đơn điệu cực đại nếu G là đơn điệu và không tồn tại ánh xạ đơn
điệu G: X  2 X sao cho gr G là tập con thực sự của gr G .
*

Hai bổ đề sau cho phép ta kiểm tra tính đơn điệu cực đại của một ánh
xạ đa trị.
Bổ đề 2.2.1. Giả sử G : X  2 X là một toán tử đơn điệu, hê-mi liên tục. Nếu
*

U  dom G là tập hợp sao cho với mọi x U ta có G  x  là tập lồi đóng thì

khi đó G là đê- mi liên tục tại mỗi điểm x0 U .
Bổ đề 2.2.2. Giả sử G : X  2 X là một toán tử đơn điệu, đê-mi liên tục. Nếu
*

với mọi x  X tập G  x  là lồi đóng thì G là tốn tử đơn điệu cực đại.
Bổ đề sau cho ta tiêu chuẩn để kiểm tra tính đơn điệu cực đại của tổng
hai tốn tử đơn điệu cực đại.
Bổ đề 2.2.3.

 R.T .Rockafellar 1970;13, Theorem 32.I   Nếu G1 , G2 : X  2 X

*

là các toán tử đơn điệu cực đại thoả mãn điều kiện int  domG1   domG2  0 ,
trong đó int D ký hiệu phần trong tơpơ của tập D , thì khi đó tổng
G1  G2 : X  2 X , xác định bởi công thức  G1  G2  x   G1  x   G2  x  , cũng
*

là toán tử đơn điệu cực đại.
Bổ đề sau đây là một trong những kết quả chính của lý thuyết toán tử
đơn điệu cực đại.
Bổ đề 2.2.4.

 13, Corollary 35  Nếu G : X  2 X

*

là đơn điệu cực đại và

domG là bị chặn thì G là tồn ánh, nghĩa là U xX G  x   X * .

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ cần các khái niệm về tính đơn điệu
chặt và đơn điệu đều ( theo hàm cỡ  ) của ánh xạ đa trị G : X  2 X .
*

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19

Định nghĩa 2.2.4. Ánh xạ G : X  2 X đƣợc gọi là đơn điệu chặt nếu cho bất
*

kỳ



x1 , x1*  ,  x2 , x2*   gr G , x1  x2 , ta có

x2*  x1* , x2  x1  0 .

Nhận xét rằng nếu F : X  2 X là đơn điệu chặt thì bài tốn  2.3 có
*

nhiều nhất một nghiệm. Thực vậy, giả sử rằng x1 , x2  K là hai nghiệm của

bài tốn  2.3 . Khi đó tồn tại x1*  F  x1  , x2*  F  x2  thoả mãn
x1* , x2  x1  0, x2* , x1  x2  0 .
x2*  x1* , x2  x1  0 . Do tính đơn điệu của F , ta có

Do đó

x2*  x1* , x2  x1  0 . Vì vậy

x2*  x1* , x2  x1  0 . Từ tính đơn điệu chặt của

F ta suy ra x1  x2 .
Định nghĩa 2.2.5. Giả sử  là một hàm số không giảm trên R  t  R : t  0
sao cho   t   0 với mọi t  0 . Ánh xạ G đƣợc gọi là  - đơn điệu đều nếu
với mọi



x1 , x1*   gr G ta có
x2*  x1* , x2  x1    x2  x1



x2  x1 .

 2.6

Nếu   t    t  ,   0 , thì  2.6  trở thành

x2*  x1* , x2  x1   x2  x1 .
2

 2.7 

Trong trƣờng hợp này G đƣợc gọi là đơn điệu mạnh.
2.3. Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng
phụ thuộc tham số
Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số dạng  2.5 , trong đó

F  x,   , K    , M ,  đƣợc định nghĩa nhƣ trong mục 2.1. Giả sử

 x0 , 0 , 0  

X  M   là bộ ba thoả mãn điều kiện:
0  F  x0 , 0   N K 0   x0 .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 2.8



20
Kết quả đầu tiên của chúng ta về độ nhạy nghiệm của bài toán  2.5
đối với sự thay đổi của cặp tham số   ,   đƣợc phát biểu nhƣ sau:
Định lý 2.3.1. Giả sử rằng các điều kiện sau đây đƣợc thoả mãn:

 a1  Với mọi   M , F ,   là toán tử đơn điệu cực đại;
 a2  Tồn tại lân cận U
Nếu



của x0 sao cho với mọi   0 tồn tại   0 để:

x1 , x1*  ,  x2 , x2*   gr F ,     U  X *

x2  x1   , thì

 a3  Tồn

 với   M

nào đó, và

x2*  x1* , x2  x1   ;

tại lân cận U  của x0 , lân cận W của  0 và hằng số   0

sao cho F  x,    0 với mọi  x,   U   W ,

 2.9

sup x* : x*  F  x,   , x U ,   W    ,

và với mọi x U , F  x,  là nửa liên tục dƣới theo nghĩa Hausdoff tại
mọi điểm   W ;

 a4 

Tồn tại hàm số  :R  R thoả mãn lim   t   0 , lân cận U 

t 0

của x0 và lân cận V của 0 sao cho
K      U   K       d   ,    B X với mọi  ,   V .

 2.10

 của  , lân cận V của  sao cho với
Khi đó tồn tại lân cận W
0
0
  V tồn tại duy nhất nghiệm x  x   ,   U của bất đẳng thức
 ,    W

biến phân suy rộng sau

0  F  x,    N K     x .

 2.11

  V .
Hơn nữa, x  0 ,    x0 , và hàm   ,    x   ,   là liên tục trên W
Các nhận xét sau đây giúp ta hiểu rõ hơn các giả thiết  a1    a4  .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên