Hàm green đa phức và bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampère phức

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
---------------------------------------

LÃ THỊ LỆ HÀ

HÀM GREEN ĐA PHỨC
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI
TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN – 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƢƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................... 5
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới ................................................................................ 5
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại ................................................................ 11
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức .................................................................. 16

CHƢƠNG II: HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET
ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC.......................................... 23
2.1. Đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc. ...................... 24
2.2. Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi. .................................................. 26
2.3. Các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn. ......................... 37
2.4. Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet................................................ 43
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 49

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức đƣợc đặt
nhƣ sau: Cho D  £ n là miền giả lồi chặt,  là độ đo Borel trên D .
Hãy tìm lớp các hàm đa điều hịa dƣới P (D ) thích hợp trên đó tốn tử
Monge-Ampère phức (dd c )n đƣợc xác định tốt sao cho với hàm liên tục
tùy ý h trên D , bài tốn sau có nghiệm duy nhất:

u  P (D )

(dd cu )n  

lim u (z )  h( ),   D
 z 

(I )

Bài toán Dirichlet đối với hàm đa điều hòa dƣới đã đƣợc nghiên
cứu đầu tiên bởi Brememann (1959), ở đó Ơng đã dùng phƣơng pháp
của Perron để giải quyết. Sau đó Bedford và Taylor (1976) đã giới thiệu
toán tử Monge-Ampère phức và giải Bài toán Dirichlet (I) khi

P (D )  P SH (D ) I Lloc
(D ) và độ đo  là liên tục tuyệt đối đối với độ đo

Lebesgue. Từ đó một số tác giả nhƣ U.Cegrell (1984), U.Cegrell và
L.Persson (1992), U.Cegrell và S.Kolodziej (1994), Z.Blocki (1995) đã
cố gắng giải quyết bài tốn bỏ qua tính liên tục của mật độ  .
S.Kolodziej (1996) đã cho điều kiện đủ đối với tính giải đƣợc của bài
tốn Dirichlet đối với tốn tử Monge-Ampère phức trên lớp

P SH (D ) I Lloc
(D ) và giải bài toán Dirichle đối với các độ đo nhƣ thế.

Đối với các độ đo kỳ dị, tính giải đƣợc của bài toán Dirichlet đã đƣợc
giải quyết bởi J.P.Demailly (1987) và P. Lelong (1989).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

Theo hƣớng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài "Hàm Green đa

phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức". Ở đây
chúng tơi sẽ trình bày việc giải bài toán Dirichlet (I) đối với độ đo kỳ dị
 : n ( ) liên kết với hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc trên D .

Đề tài có tính thời sự, đã và đang đƣợc nhiều nhà tốn học trong
và ngồi nƣớc quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả về hàm
Green đa phức và áp dụng để giải bài toán Dirichlet đối với toán tử
Monge-Ampère phức.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của
hàm đa điều hồ dƣới, hàm đa điều hồ dƣới cực đại, tốn tử MongeAmpère.
+ Trình bày một số kết quả về đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hoà
dƣới chấp nhận đƣợc, hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định
lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn.
+ Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử
Monge-Ampère.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phƣơng pháp của giải tích phức kết hợp với các
phƣơng pháp của giải tích hàm hiện đại.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

- Sử dụng các phƣơng pháp của lý thuyết thế vị phức.
- Kế thừa phƣơng pháp và kết quả của Ahmed Zeriahi.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 51 trang, trong đó có phần mở đầu, hai
chƣơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các
tính chất của hàm đa điều hồ dƣới, hàm đa điều hồ dƣới cực đại, tốn
tử Monge-Ampère.
Chƣơng 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả
nghiên cứu về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc,
Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định lý so sánh đối với lớp
các hàm không bị chặn. Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức
và toán tử Monge-Ampère.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt đƣợc.
Bản luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại
học Thái Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến
Bằng. Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn Thầy về sự hƣớng dẫn
hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong q trình học tập, nghiên cứu và
hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban
chủ nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại
học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội
đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong q trình học tập và
nghiên cứu khoa học.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái
Nguyên, Trƣờng THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi về mọi mặt trong q trình học tập và hồn thành bản luận
văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các
bạn học viên để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

CHƢƠNG I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới
1.1.1. Định nghĩa
Cho W là một tập con mở ca Ê n v u : Wđ [- Ơ , ¥ ) là một hàm
nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên
thơng nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hồ dưới nếu với mỗi
a Ỵ W và b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) là điều hồ dưới hoặc trùng - ¥

trên mỗi thành phần của tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W}. Trong trường
hợp này, ta viết u Î P SH (W) . (ở đây P SH (W) là lớp hàm đa điều hoà
dưới trong W).
1.1.2. Định lý
Cho u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hàm nửa liên tục trên và khơng trùng
- ¥

trên bất kỳ thành phần liên thông của WÐ £ n . Khi đó u Ỵ P SH (W)

khi và chỉ khi với mỗi a Ỵ W và b Ỵ £ n sao cho

{a + l b : l Ỵ £ , l £ 1}Ð W,
Ta có
Trong đó

u(a ) £ l(u;a, b) ,
1
l(u ;a, b) =
2p

2p

ị u(a + e b)dt
it

0

Ngồi ra, tính đa điều hồ dưới là một tính chất địa phương.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên từ định nghĩa hàm đa điều hịa
dƣới vì

l(u;a, b) = L (v;0,1) .

Điều kiện đủ. Giả sử a Ỵ W, b Ỵ £ n và xét
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

U = {l Ỵ £ : a + l b Î W}

Khi đó U là tập mở trên £ . Đặt v (l ) = u (a + l b), l Ỵ U . Cần chứng
minh v (l

) là điều hòa dƣới trên U . Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu

l 0 Ỵ U tồn tại r > 0 sao cho với 0 £ r < r thì

1
v (l 0 ) £
2p

2p

ò v(l

0

+ re i q )d q

0

Từ a + l 0b Ỵ U nếu có r > 0 sao cho khi l < r thì a + l 0b + l b Ỵ W.
Với 0 £ r < r ta có {a + l 0b + l rb : l £ 1}Ð W. Do đó từ giả thiết
1
u (a + l 0b) £
2p
1
Vậy v (l 0 ) £
2p

2p

ò u(a + l

b + rbe i q )d q

0

0

2p

ò v(l

0

+ re i q )d q , đó là điều phải chứng minh.

0

Một số tính chất quan trọng của hàm đa điều hồ dƣới có thể đƣợc
suy ra từ kết quả tiếp theo. Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp của các hàm điều
hồ dƣới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho các hàm đa điều hồ dưới.
1.1.3. Định lý
Cho WÐ £ n là một tập mở và u Ỵ P SH (W) . Nếu e > 0 sao cho
We := z ẻ W: d (z , ả W) > e ạ ặ, thỡ u * c e é C ¥ Ç P SH (We )  Hơn nữa,

{

}

u * c e đơn điệu giảm khi e ¯ 0 , và lim u * c e (z ) = u(z ) vi mi z ẻ W.
eđ 0

nh lý sau õy, mơ tả tính đa điều hịa dƣới của u qua đạo hàm
theo nghĩa phân bố và cần dùng cho việc chứng tỏ dd cu là dịng dƣơng
đóng song bậc (1,1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

1.1.4. Định lý
Giả sử W là tập mở trong £ n .
(i) Nếu u, v Ỵ P SH (W) thì max {u, v } Ỵ P SH (W) và nếu a , b ³ 0 thì
a u + b v Î P SH(W) . Nghĩa là P SH(W) là nón lồi.

(ii) Nếu {u j }

j³ 1

Ð P SH (W) là dãy giảm thì u = lim u j hoặc là hàm đa

điều hịa dưới trên W hoặc bằng - ¥ .
(iii) Nếu dãy {u j } Ð P SH(W) là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của
W tới hm u : Wđ Ă thỡ u ẻ P SH (W) .

(iv) Giả sử {u a } Ð P SH(W) sao cho u = sup {u a : a Ỵ I } là bị chặn
I
trên địa phương. Khi đó chính quy hóa nửa liên tục trên u * Ỵ P SH(W) .
Chứng minh. Các khẳng định (i), (ii), (iii) suy ra từ định nghĩa hàm đa
điều hòa dƣới và định lý hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dƣới
dấu tích phân trong trƣờng hợp dãy hội tụ đều. Ta chứng minh (iv). Chỉ
cần chứng tỏ a Î W, b Î £ n sao cho {a + l b : l Ỵ £ , l £ 1}Ð W thì
1
u (a ) £
2p
*

2p

ị u (a + e
*

iq

b)d q

0

Dễ thấy với mọi z Ỵ W, b Ỵ £ n sao cho {z + l b, l £ 1}Ð W ta có
1
u (z ) £
2p

2p

ị u (z + e
*

iq

b)d q

0

Với a Ỵ W, chọn dãy {z n } Ð W sao cho z n ® a và u (z n ) ® u * (a ). Từ

{z + l b, l

}

{

}

£ 1 Ð W nên với n đủ lớn z n + l b, l £ 1 Ð W. Khi đó

1
u (z n ) £
2p

2p

ị u (z
*

n

+ e i qb)d q .

0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

Bổ đề Fatou cho ta
1
u (a ) = lim sup u (z n ) £
n
2p
*

2p

ò lim sup u (z
*

n

0

1
£
2p

n

+ e i qb)d q

2p

ò u (a + e
*

iq

b)d q .

0

1.1.5. Mệnh đề

Giả sử WÐ £ n là tập mở, w Ð W là tập con mở thực sự, khác rỗng
của W. Giả sử u Ỵ P SH (W) , v Ỵ P SH(w) và lim sup x ® y v (x ) Ê v (y ) vi
mi y ẻ ả w Ç W. Khi đó hàm
íï max {u, v } trong w
w = ïì
ïï u
trong W\ w
ỵ

là hàm đa điều hịa dưới trên W.
Chứng minh. Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W. Chỉ cần chứng tỏ
nếu a Ỵ W, b Ỵ £ n sao cho {a + l b, l £ r }Ð W thì
1
w (a ) £
2p

2p

ị w (a + re b)d q
iq

0

Với a Ỵ w , b Ỵ £ n , chọn r > 0 đủ bé để {a + l b, l £ r }Ð w . Khi đó
1
u (a ) £
2p
1
v (a ) £
2p

1
Từ đó w (a ) £
2p

2p

2p

1
ị u a + re b d q £ 2p
0

ò w (a + re b)d q

2p

2p

(

)

iq

1
v
a
+
re
b

d
q
£
ò
2p
0

(

iq

)

iq

0

ò w (a + re b)d q
iq

0

2p

ò w (a + re b)d q .
iq

0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9

Chứng minh tƣơng tự cho trƣờng hợp a Ỵ W\ wW, ở đó wW là bao đóng
của w lấy trong W. Ch cn xột trng hp a ẻ wW ầ W. Khi đó
w (a ) = u (a ). Vậy

1
w (a ) = u (a ) £
2p

2p

1
ò u a + re b d q £ 2p
0

(

iq

)

2p

ò w (a + re b)d q .
iq

0

Mệnh đề đƣợc chứng minh.
Vì hàm đa điều hồ dƣới là điều hồ dƣới nên ta có
1.1.6. Mệnh đề
Nếu u, v Ỵ P SH (W) và u = v (tương ứng u ³ v ) hầu khắp nơi trên
W, thì u = v (tương ứng u ³ v ) trên W.

1.1.7. Hệ quả
Nếu u Ỵ P SH(W) thì e u Ỵ P SH(W) . Nếu u Ỵ P SH(W) , u ³ 0 và
a ³ 1 thì u a Ỵ P SH(W) .

1.1.8. Mệnh đề (Ngun lý cực đại)
Giả sử D là một miền trong £ n và u Ỵ P SH(D ) , u º/ const . Khi
đó u khơng đạt cực đại tồn thể trên D . Hơn nữa nếu D là bị chặn thì
với mọi z Ỵ D ta có

{

}

u (z ) < sup lim sup u (z ) .
wẻ ả D

D' zđ w

Chng minh. Giả sử z 0 Ỵ D sao cho u (z 0 ) = max {u (z ) : z Ỵ D }. Đặt

(

)

D0 = u - 1 u (z 0 ) . Khi ú ặ ạ D0 é D . Gi s a ẻ D0 ầ D . Khi ú
u (z 0 ) = lim sup u (z ) £ lim sup u (z ) = u (a ) £ u (z 0 )
D0 ' z ® a

D' z® a

Do a Ỵ D0 và D0 đóng trong D . Nếu a Ỵ D0 , với mọi b Ỵ £ n , chọn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10

{

}

r > 0 sao cho a + l b : l £ r Ð D . Khi đó

1
u (z 0 ) = u (a ) £
2p

2p

ò u (a + re b)d q £ u (z )

iq

0

0

Từ đó do tính nửa liên tục trên của u suy ra u = u (z 0 ) trên một lân cận
của a . Vậy D0 là mở và do đó D0 = D . Điều này kéo theo u = u (z 0 )
trên D và mâu thuẫn giả thiết.
1.1.9. Định lý
Giả sử D Ð W là một miền và F Ð D là tập đóng sao cho với mỗi
a Ỵ F tồn tại một lân cận mở, liên thông U a Ð D và hàm va Ỵ P SH(U a ) ,

va º/ - Ơ

v F ầU a = {z ẻ U a : va (z ) = - ¥ }. Giả sử u Ỵ P SH(D \ F )

là hàm bị chặn địa phương trên D . Khi đó hàm
íï u (z )
ï
u%(z ) = ïì
ïï lim sup u (y )
ïỵ D \ F ' y đ z

zẻ D\F
zẻ F

l hm a điều hịa dưới trên D .
Chứng minh. Bởi tính đa điều hịa dƣới là tính địa phƣơng nên có thể coi

{

F = x Ỵ D : v (x ) = - Ơ

} vi v ẻ

P SH(D ) v v < 0 . Với e > 0 , đặt

íï u + ev
u e = ùỡ
ùù - Ơ
ợ

t rờn D \ F
t rên

F

Khi đó u e Ỵ P SH(D ) với mọi e > 0 và sup {u e : e > 0} = u trên D \ F .
*

Hơn nữa (sup {u e : e > 0}) = u% trên D . Vậy u%Ỵ P SH (D ) .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

1.1.10. nh lý
Cho dóy {u j }j ẻ Ơ é P SH (W) bị chặn đều địa phương trong WÐ £ n .
Giả sử
lim sup u j (z ) £ M
jđ Ơ

vi mi z ẻ W v mt hng s M nào đó. Khi đó với mỗi e > 0 và mỗi
tập compact K Ð W tồn tại một số tự nhiên j 0 sao cho, với j ³ j 0 ,
sup u j (z ) £ M + e .
zỴ K

1.1.11. Định lý
Cho W là một tập con mở của £ n và
F = {z Ỵ W: v(z ) = - ¥ }

là một tập con đóng của W ở đây v Ỵ P SH (W) . Nếu u Î P SH (W\ F ) là
bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi

íï
u (z )
ïï
u (z ) = ỡ lim sup u (y )
ùù y đ z
ùùợ y Ï F

(z Ỵ W\ F )
(z Ỵ F )

là đa điều hoà dưới trong W. Nếu u là đa điều hồ và bị chặn trong
W\ F , thì u là đa điều hồ trong W. Nếu W là liên thơng, thì W\ F cũng

liên thơng.
1.2. Hàm đa điều hồ dƣới cực đại
1.2.1. Định nghĩa
Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® ¡ là hàm đa điều
hồ dưới. Ta nói rằng u là cực đại (hoặc cực trị) nếu với mỗi tập con

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên
G sao cho v Î P SH (G ) và v £ u trên ¶ G , đều có v £ u trong G.

Ký hiệu M P SH (W) là họ tất cả các hàm đa điều hoà dƣới cực đại trên W.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tƣơng đƣơng của
tính cực đại.
1.2.2. Mệnh đề
Cho WÐ £ n là tập mở và u : W® ¡ là hàm đa điều hồ dưới. Khi
đó các khẳng định sau là tương đương:
(i ) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và với mỗi

hàm v Ỵ P SH (W) , nếu lim inf(u (z ) - v(z )) 0, vi mi x ẻ ả G , thỡ
zđ x

u ³ v trong G ;

(ii ) Nếu v Ỵ P SH (W) và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact
K Ð W sao cho u - v ³ - e trong W\ K , thì u ³ v trong W;

(iii ) Nếu v Ỵ P SH (W) , G là một tập con mở compact tương đối

của W, và u ³ v trên ¶ G thì u ³ v trong G ;
(iv ) Nếu v Ỵ P SH (W) , G là một tập con mở compact tương đối của

W, và lim inf(u (z ) - v(z )) 0, vi mi x ẻ ả G , thì u ³ v trong G ;
z® x

(v ) u là hàm cực đại.

Chứng minh. (i ) Þ (ii ) : Cho v là một hàm đa điều hoà dƣới có tính chất:
với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u - v ³ - e trong
W\ K . Giả sử rằng u(a ) - v(a ) = h < 0 tại một điểm a Ỵ W. Bao đóng

của tập hợp

{

E = z Ỵ W: u (z ) < v(z ) +
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

h
2

}

13

là tập con compact của W. Bởi vậy có thể tìm đƣợc tập mở G chứa E và
compact tƣơng đối trong G . Theo (i ) ta có u ³ v +

h
trong G , điều đó
2

mâu thuẫn với a Ỵ E .
Phần còn lại đƣợc suy ra từ khẳng định: hàm
íï max {u (z ), v(z )}
w(z ) = ïì
ïï
u (z )
ợ

(z ẻ G )
(z ẻ W\ G )

l a điều hoà dƣới trong W theo các giả thiết (iii ) , (iv) , (v ) , và (i ) .
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một lớp quan trọng các hàm cực đại
liên tục.
Trƣớc hết, chúng ta cần một số định nghĩa. Cho W là một miền bị
chặn trong Ê n v f ẻ C (ả W) . Bài tốn Dirichlet suy rộng là tìm một hàm
nửa liên tục trên u : W® ¡ sao cho u W Î M P SH (W) và u ¶ W º f .
Cho W là miền bị chặn trong £ n v f ẻ C (ả W) . Ta s ký hiệu
U (W, f ) là họ của tất cả các hàm u Ỵ P SH (W) sao cho u * £ f trên ¶ W,

trong đó
u * (z ) = lim sup u ( w) vi mi z ẻ W.
wđ z
wỴ W

Đặt
y W, f (z ) = sup {u(z ) : u Ỵ U (W, f )},

zỴ W

hàm y W, f (z ) đƣợc gọi là hàm Perron – Bremermann đối với W và f ;
hàm này đƣợc Bremermann (1959) nghiên cứu và nó là một hàm Perron
cổ điển đƣợc sử dụng trong lý thuyết thế vị (thực) (Hayman và Kennedy
1976).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng y W, f (z ) nghiệm của bài toán
Dirichlet suy rộng khi W là một hình cầu Euclid.
1.2.3. Định lý
Cho f Ỵ C (¶ B ) , trong đó B = B (a, r ) là một hình cầu mở trong
£ n . Khi đó hàm y xác định bởi

íï y B , f (z ) (z Ỵ B )
y (z ) = ùỡ
ùù f (z ) (z ẻ ả B )

ùợ

l mt nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập B và hàm f .
Hơn nữa, y là liên tục.
Chứng minh. Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả thiết rằng
a = 0 . Giả sử h là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với B và
f . Vì hàm đa điều hồ dƣới là điều hồ dƣới, nên suy ra y B , f £ h trong

B theo nguyên lý cực đại đối với những hàm điều hoà dƣới. Do h liên

tục trong B , nên ta có ( y B , f )* £ h trong B . Đặc biệt, điều đó có nghĩa là
( y B , f )* Ỵ U (B , f ) và nhƣ vậy ( y B , f )* y trong B ị y ẻ P SH (B ) . Để

hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng
minh ( y B , f )* ³ f trên ¶ B . Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn:

lim inf y B , f (z ) ³ f (z 0 ) vi z 0 ẻ ả B tựy ý .
zđ z
zẻ B

0

Tht vy, ly z 0 ẻ ả B v e > 0 . Chứng minh sẽ đƣợc hoàn thành nếu ta
có thể tìm đƣợc một hàm liên tục v : B đ Ă sao cho v B ẻ U (B , f ) và
v(z 0 ) = f (z 0 ) - e . Điều đó có thể đạt đƣợc bằng cách định nghĩa
v(z ) = c éëRe z , z 0 - r 2 ù
û+ f (z 0 ) - e,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15

trong đó c > 0 là hằng số, đƣợc chọn để v £ f trên ¶ B . (Chú ý rằng
biểu thức trong những dấu móc vng là âm trên B \ {z 0 }).
Từ đó với mỗi z 0 Ỵ ¶ B , ta có lim y (z ) = y (z 0 ) , tức là y liên tc ti
z đ z0
zẻ B

mi im biờn. Tớnh cc i của y là hiển nhiên. Thật vậy, nếu G là
một tập con mở compact tƣơng đối của B , v : G đ [- Ơ , Ơ ) l na liên
tục trên, v G Ỵ P SH (W) và v £ y trên ¶ G , thì hàm
íï max {v, y }
V = ùỡ
ùù
y
ùợ

zẻG
zẻ B\G

thuc U (B , f ) suy ra V £ y . Đặc biệt, v £ y trong G . (điều phải
chứng minh)
Để chứng minh rằng y là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên
tục dƣới. Thật vậy, lấy e > 0 . Khi ¶ B là compact, y

B

= f là liên tục

r
2

đều. Điều đó kết hợp với lim y (z ) = y (z 0 ) suy ra tồn tại d = (0, ) sao
z đ z0
zẻ B

cho nu z ẻ B , w ẻ ả B , v z - w < 3d , thì y (z ) - y (w) <

e
.
2

Với y Ỵ B (0, d) , đặt
íï max {y (z ), y (z + y ) - e} (z Ỵ B Ç (- y + B )
ï
H y (z ) = ïì
ïï
y (z )
(z Ỵ B \ (- y + B )
ùợ

Ta s chng minh rng H y B ẻ U (B , f ) . Thật vậy vì
B (0, r - d) Ð B Ç (- y + B ) = B (0, r ) Ç B (- y, r )

nên H y Ỵ PS H( B(0, r- d ) ) là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dƣới.
Mặt khác, H y = y trong B \ B (0, r - 2d) . Thật vậy, theo định nghĩa
H y (z ) ta có H y (z ) = y (z ), z Ỵ B \ (- y + B ) .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

Nu z ẻ (B ầ (- y + B )) \ B (0, r - 2d) , thì ta chọn z 0 ẻ ả B sao cho
z - z 0 < 2d . Ta có z + y - z 0 < 3d và do đó theo (11),

y (z ) - y (z 0 ) <
Nhƣ vậy

e
2

và

y (z ) ³ y (z + y ) - e

y (z + y ) - y (z 0 ) <

Þ H y (z ) = y (z )

e
.
2

ị H y ẻ PSH (B ) v

H y = f trờn ả B ị H y ẻ U (B , f ) ị H y £ y .

Từ đó nếu z , w Ỵ B và z - w < d , thì
y (z ) ³ H w- z (z ) ³ y (z + w - z ) - e = y (w) - e .

Vậy y là nửa liên tục dƣới. (điều phải chƣ́ng minh).
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho u là đa điều hoà dƣới trên miền WÐ £ n . Nếu u Ỵ C 2 (W) thì
tốn tử:
c

n

(dd u )

é ¶u ù
ú
:= (dd u ) Ù ... Ù (dd u ) = 4 n !det êê
dV
ú
1444444442 444444443
¶
z
¶
z
ê
ú
j
k
n

ë
û1£ j ,k £ n
c

c

n

với dV là yếu có thể tích trong C n gọi là tốn tử Monge-Ampère. Tốn
tử này có thể xem nhƣ độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0(W) trên W.
c n
ò j (dd u )

C 0 (W) ' j a

W

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dƣới bị
chặn địa phƣơng trên W thì tồn tại dãy un n1  P H S     C  sao cho
un  u và

 dd u   hội tụ yếu tới độ đo Radon  trên W tức là:
n

c

n

lim ò j (dd cun ) =

n

n

ò j d m, " j

W

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun

Ỵ C 0 (W)

W




17

Hơn nữa  không phụ thuộc vào việc chọn dãy un  nhƣ trên ta ký hiệu:
(dd c u )n = m

và gọi là toán tử Monge-Ampère của u .
1.3.1 Mnh
Nu y ẻ C (Ơp, p) l (p, p )-dạng lớp C ¥ trên tập mở WÐ £ n và T là

(q, q)-dòng với p + q = n -

(

y Ù dd cT

1 thì

n

) - dd y ÙT
c

(

)

= d y Ù d cT - d c y ÙT .

Chứng minh. Ta có

(

)

d y Ù d cT - d c y ÙT = d y Ù d cT + y Ù dd cT - dd c y ÙT + d c y Ù dT

Nhƣng p + q + 1 = n nên
d y Ù d cT = i (¶ y + ¶ y ) Ù (¶ T - ¶ T )
= i (¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T + ¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T )
= i (¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T ) = - d c y Ù dT

(

)

Do đó d y Ù d cT - d c y ÙT = y Ù dd cT - dd c y ÙT .
Từ mệnh đề trên và dùng cơng thức Stokes đối với dịng ta có: nếu T là

(q, q)-dịng
(n -

trên

tập

q - 1, n - q - 1)-dạng

ò y Ù dd T - ò dd y T
c

W

m

c

W

=

Wé Ê n

lp C Ơ

v

y ẻ C 0,Ơ n - q- 1,n - q- 1 (W)
(
)

với hệ số trong

ò d (y Ù d T c

d c y ÙT

D(W)

là
thì

)

W

=

ị y Ùd T c

d c y ÙT = 0

¶W

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

ò y Ùdd T = ò dd y ÙT

Vậy dd cT , y =

c

W

= T , dd c y

c

(*)

W

Giả sử T là dịng dƣơng có bậc (q, q) trên tập m Wé Ê n v
Ơ
loc

u ẻ P SH (W) ầ L

(W). Khi ú T

=

ồ

J ,K

T JK

ổi ữ
ửq
ỗỗ ữ dz dz vi T
l
JK
ữ
K
ữ J
ỗố2 ứ

cỏc o phc trờn W. Vy t u ẻ P SH (W) ầ LƠloc (W) nên u là hàm khả
tích đối với các T J K . Do ú uT =

ồ

J ,K

uT JK

ổi ữ
ửq

ỗỗ ữ dz dz l (q, q )ữ
K
ữ J
ỗố2 ứ

dũng vi hệ số độ đo. Ta đƣa ra định nghĩa sau:
dd cu ÙT = dd c (uT )

Từ (*) ta có

ị dd u ÙT Ù y
c

= dd cu ÙT , y = dd c (uT ), y = uT , dd c y

W

=

ị uT

Ù dd c y

W

đúng cho mọi y Ỵ C 0,¥ (n - q- 1,n - q- 1) (W).
1.3.2. Mệnh đề
Nếu T là (q, q)-dịng dương, đóng thì dd cu ÙT là (q + 1, q + 1)dòng dương, úng vi mi u ẻ P SH (W) ầ L1loc (W).
Chứng minh. Ta chứng minh dd cu ÙT là (q + 1, q + 1)-dịng dƣơng, đóng.

(

) (
) (
)
¶ (dd u ÙT ) = ¶ (dd u ÙT ) = 0 . Chỉ cần chứng minh ¶ (dd u ÙT ) = 0 .
Tƣơng tự ta cũng có ¶ (dd u ÙT ) = 0 . Lấy y Ỵ C 0,¥ (n - q- 1,n - q- 2) (W). Khi đó
Ta có d dd cu ÙT = ¶ dd cu ÙT + ¶ dd cu ÙT . Ta chỉ cần chứng minh
c

c

c

c

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19

(

)

2q + 3

dd cu ÙT , ¶ y = (- 1)

2q + 3

uT , 2i ¶ ¶ (¶ y ) = 0 .

¶ dd cu ÙT , y = (- 1)
= (- 1)

2q + 3

uT , dd c (¶ y )

Bây giờ ta chứng minh dd cu ÙT là dƣơng. Giả sử u £ M . Khi đó với
e > 0 đủ bé, u e £ M , u e = u * c e . Bởi định lý hội tụ bị chặn của

Lebesgue u eT hội tụ yếu tới uT . Do đó dd c (u eT ) hội tụ yếu tới
dd c (uT ) vì với mọi y Î C 0,¥ (n - q- 1,n - q- 1) (W) ta có
dd c (u eT ), y = u eT , dd c y ® uT , dd c y = dd c (uT ), y

Nhƣng do u e là hàm trơn trên W nên dd c (u eT ) = dd cu e ÙT theo nghĩa thông
thƣờng. Nhƣng u e ẻ P SH (We ) ầ C Ơ (We ) nên dd cu e là (1,1)-dòng thực
dƣơng. Vậy dd cu e ÙT ³ 0 . Vậy dd cu ÙT là (q + 1, q + 1)-dịng dƣơng.
Do đó bằng quy nạp ta có thể xác định (p + q, p + q )-dịng dƣơng, đóng
dd cu1 Ù ... Ù dd cu p ÙT ,
¥
với u1, u2,..., u p Ỵ P SH (W) Ç Lloc
(W)và T là (q, q)-dịng dƣơng, đóng,

p + q £ n . Đặc biệt nếu T = dd cv , v Ỵ P SH (W) Ç L¥loc (W) thì ta xác định

đƣợc (p + 1, p + 1)-dịng dƣơng, đóng
dd cu1 Ù ... Ù dd cu p Ù dd cv .

Trƣờng hợp nếu u Ỵ P SH (W) Ç L1loc (W) thì dd cu là (1,1)-dịng dƣơng,

(

đóng. Do đó xác định đƣợc dd cu

n

)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

là (n , n )-dịng dƣơng, đóng trên W.



20

(

Vậy dd cu

n

)

là độ đo Borel chính quy trên W. Sau này do bất đẳng thức

(

Chern-Levine-Nirenberg, dd cu

(

n

)

là độ đo Radon trên W vì với mọi tập

con compact K trong W ta có dd cu

n

) (K ) < + ¥

.

1.3.3. Mệnh đề
Giả sử {mj } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÐ ¡

n

hội tụ

yếu tới độ đo Radon m . Khi đó
a) Nếu G Ð W là tập mở thì m(G ) £ lim inf j ® ¥ mj (G ).

b) Nếu K Ð W là tập compact thỡ m(K ) lim sup j đ Ơ mj (K ).
c) Nếu E compact tương đối trong W sao cho m(¶ E ) = 0 thì
m(E ) = lim j đ Ơ mj (E ).

Chng minh.
a) Ta cú m(G ) = sup {m(K ) : K Ð G }. Giả sử K Ð G là tập compact.
Lấy j Î C 0 (G ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó
m(K ) Ê m(j ) = lim j đ Ơ mj (j ) Ê lim inf mj (G ).
jđ Ơ

T ú

m(G ) Ê lim inf mj (G ) .
jđ Ơ

b) Ta cú m(K ) = inf {m(V ) : V É K ,V Ð W là tËp më }. Giả sử V là một
lân cận mở của K và j Ỵ C 0 (V ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó
m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K )
jđ Ơ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

jđ Ơ




21

T ú

m(K ) lim sup mj (K ).
jđ Ơ

c) Viết E = int E È ¶ E . Khi đó
m(E ) = m(int E ) £ lim inf mj (int E ) Ê lim inf mj (E )
jđ Ơ

jđ ¥

Mặt khác
m(E ) ³ lim sup mj (E ) ³ lim sup mj (E ) .
jđ Ơ

jđ Ơ

T ú
m(E ) lim sup mj (E ).
jđ Ơ

Vy
m(E ) = lim mj (E ).
jđ Ơ

1.3.4. Mnh
Gi s Wé Ê n là miền bị chặn và u, v Ỵ P SH (W) ầ LƠloc (W) sao cho
u, v Ê 0 trờn W v lim z đ ả Wu (z ) = 0 . Giả sử T là (n - 1, n - 1)-dịng

dương, đóng trên W. Khi đó

ị vdd u ÙT
c

£

W

ị udd v ÙT
c

.

W

Đặc biệt, nếu lim v (z ) = 0 thỡ
zđ ảW

ũ vdd u T
c

W

=

ũ udd v T .
c

W

Chng minh. Chú ý rằng dd cu ÙT và dd cv ÙT là các độ đo Borel dƣơng

trên W. Với e > 0 , đặt u e = max {u, - e}. Khi đó u e < 0 và là hàm đa
điều hòa dƣới trên W và u e tăng tới 0 khi e giảm về 0. Từ định lý hội tụ
đơn điệu Lebesgue ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




22

ò udd v ÙT
c

= lim ò (u - u e )dd cv ÙT
e® 0

W

W

c
ị (u - u e )dd v ÙT

và

= lim ò (u - u e ) * c 1dd cv ÙT .
e® 0

W

j

W

Do lim u e (z ) = 0 nên {u - u e ¹ 0} là tp compact tng i trong W.
zđ ảW

Ly min W' é W sao cho {u - u e ¹ 0}Ð W' Ð W. Khi đó với j đủ lớn,

(u -

u e ) * c 1 ẻ C 0Ơ (W) v t (3.1.2) ta cú
j

ổ
ử
ữ
ỗỗ
ũ (u - u e )* c 1dd v T = ũ vdd ỗỗỗ(u - u e )* c 1 ữữữữT
ố
j
jứ
W
W
ổ
ử
ổ
ử
ữ
ỗ

cỗ
c
ữ
ữ
ỗỗ(u - u ) * c ữ
= ũ vdd ỗỗ(u - u e ) * c 1 ữ

T
+
vdd
T
ữ
e
1
ũ
ữ
ữ
ỗỗ
ỗỗ
ữ
ữ
ố
ố
jứ
jứ
W'
W\ W'
c

c

ổ
ử
ổ
ử
ữ
ữ
ỗỗ
cỗ
ữ
ữ
ỗ
= ũ vdd ỗu * c 1 ữ

T
vdd
u
*
c
ữ
(
)
ỗ
e
1
ũ
ữ
ữT
ỗỗ
ỗ

ữ
ữ
ố
ốỗ
jứ
jứ
W'
W'
ổ
ử
ữ
cỗ
ữ
ũ vdd ççu * c 1 ÷
ÙT .
÷
çç
÷
è
jø
W'
ỉ
ư
ỉ
ư
÷
ç
cç
c
÷

÷
ççu * c T ÷
Nhƣng dd ỗỗu * c 1 ữ
hi t yu ti dd cu T . Khi ú

T
=
dd
ữ
1
ữ
ữ
ỗỗ
ỗ
ữ
ữ
ố
ốỗ
jứ
j ứ
ổ
ử
ữ
cỗ
ữ
ỗ
vdd ỗu * c 1 ữ
T hi t yu ti vdd cu T . Vy
ữ
ỗỗ

ữ
ố
jứ
ổ
ử
ữ
c
cỗ
ữ
ỗ
inf ũ vdd ỗu * c 1 ữ
T Ê ũ (u - u e )dd cv ÙT .
ò' vdd u ÙT Ê jlim
ữ
ỗỗ
đƠ
ữ
ố
jứ
W
W'
W'
T ú cho e ] 0 ta c
c

ũ vdd u ÙT
c

W'
'

£

ò vdd u ÙT
c

.

W

Cho W Z W ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




23

CHƢƠNG II

HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET
ĐỐI VỚI TỐN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC
Chƣơng này trình bày các kết quả về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa
điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc, Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi,
các định lý so sánh đối với lớp các hàm khơng bị chặn. Giải bài tốn
Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử Monge-Ampère.
Trƣớc tiên chúng ta nhắc lại một số khái niệm cần thiết sẽ sử dụng
ở đây: Giả sử D là một tập con mở của £ n và kí hiệu P SH (D ) là nón
các hàm đa điều hịa dƣới u : D ® éêë- ¥ , + ¥

)

trên D khác - ¥

trên

thành phần bất kì của D . Giả sử u Ỵ P SH (D ) , cho a Ỵ D và
0 < r < da := dist a; £ n \ D , đặt

(

)

M u (a, r ) :=

ò u (a + r  )d ( ),
 =1

trong đó d ( ) là độ đo diện tích đƣợc chuẩn hóa trên mặt cầu đơn vị
của £ n . Ta đã biết rằng hàm r a M u (a, r ) là tăng và lồi theo log r . Khi
đó giới hạn sau tồn tại:
 (u ;a ) := lim

r ® 0+

M u (a, r )
log r

Theo [Ki], giới hạn này trùng với định nghĩa sau [L]:
 (u ;a ) := lim

r ® 0+

 u (B (a, r ))
2n - 2 r 2n - 2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

,

(*)