Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CƠNG NGHỆ THƠNG TIN

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU
CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Hà Nội – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ
CƠNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CƠNG NGHỆ THƠNG TIN

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU
CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH

Chun ngành: Tốn học tính tốn
Mã số: 62.46.30.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. GS.TS. Nguyễn Bường
2. TS. Nguyễn Công Điều

Hà Nội – 2014


Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1. Hệ phương trình tốn tử đặt không chỉnh

6
15

1.1.

Không gian Hilbert và không gian Banach . . . . . . . .

15

1.2.

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . .

21

1.2.1.

Khái niệm về bài tốn đặt chỉnh và khơng chỉnh

1.2.2.

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương
trình với tốn tử liên tục và đóng yếu . . . . . .

1.2.3.

22

Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho
phương trình tốn tử U − đơn điệu . . . . . . .

1.3.

21

27

Hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh và phương
pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.

Bài tốn dẫn đến hệ phương trình tốn tử đặt

không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2.

28

28

Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với
tốn tử liên tục và đóng yếu . . . . . . . . . . .

35

Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử liên
tục và đóng yếu

42

2.1.

Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải . . . . . . . .

42

2.2.

Phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải
và nhiễu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

48


2.3.

2.4.

Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn
tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Một số kết quả tính tốn . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.4.1.

Quy tắc dừng lặp và kết quả tính tốn cho hệ
phương trình tốn tử tuyến tính . . . . . . . . .

2.4.2.

65

Kết quả tính tốn cho hệ phương trình tốn tử
phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Chương 3. Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi
tuyến với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên
không gian Banach
3.1.

81

Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử
U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach 81

3.2.

Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh . . . . .

89

3.3.

Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . .

97

3.4.

Một số kết quả tính tốn . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Cơng Điều.
Các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa
từng được cơng bố trong các cơng trình của người khác.
Nghiên cứu sinh

Nguyễn Đình Dũng

3


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin thuộc
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn của
GS.TS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều. Tác giả xin bày tỏ
lịng biết ơn tới các thầy cơ giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin đã
tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận án
tại Viện, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. Nguyễn
Bường và TS. Nguyễn Cơng Điều, những người thầy đã tận tình hướng
dẫn và cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả có thể hồn thành
luận án đúng thời hạn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo thuộc Đại học Thái
Nguyên và Ban Đào tạo - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt
nhất cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh.
Xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh và bạn bè đồng

nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học
tập, nghiên cứu và làm luận án tại Viện Cơng nghệ Thơng tin.
Nghiên cứu sinh

Nguyễn Đình Dũng

4


MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Rn

Không gian Ơcơlit n-chiều.

X∗

Không gian liên hợp của không gian Banach X.

A∗ : Y ∗ → X ∗ Toán tử đối ngẫu của tốn tử A : X → Y .
H

Khơng gian Hilbert.

I

Tốn tử đơn vị.

D(A)

Miền xác định của toán tử A.

R(A)

Miền ảnh của toán tử A.

A−1

Toán tử ngược của toán tử A.

A (x)

Đạo hàm Fréchet của toán tử A tại điểm x.

x, y

Tích vơ hướng của x và y trong khơng gian Hilbert.

x

Chuẩn của x trong không gian X.

X

ρX (x, y)

Metric của x và y trong không gian X.

a∼b

a tương đương với b.

C[a, b]

Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b].

∅

Tập rỗng.

xn

x

Dãy xn hội tụ yếu tới x.

xn → x

Dãy xn hội mạnh tới x.

θ

Phần tử không trong không gian Banach.

S(x∗ , r)

Hình cầu mở tâm x∗ bán kính r trong không gian Banach .

N (A)

Không gian không điểm của toán tử A.

5


Mở đầu

Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài
tốn mà nghiệm khơng ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu
đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của
bài tốn), thậm chí cịn làm cho bài tốn trở lên vơ nghiệm. Lớp các
bài tốn trên được gọi là lớp bài tốn khơng chính qui hay bài tốn đặt
khơng chỉnh.
Khái niệm bài tốn đặt chỉnh được Hadamard,J. [45] đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic. Xét bài tốn tìm nghiệm của phương trình
A(x) = f,

(1)

ở đây, A là tốn tử từ không gian metric X vào không gian metric Y .
Theo Hadamard bài tốn (1) được gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các
điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Phương trình (1) có nghiệm x0 với mọi f ∈ Y ;
2. Nghiệm x0 được xác định một cách duy nhất;
3. Nghiệm x0 phụ thuộc liên tục vào f .
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa
mãn cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm.
6

Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính tốn các bài tốn thực
tế bằng máy tính ln xảy ra q trình làm trịn số. Chính sự làm trịn
đó dẫn đến những sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì
bài tốn (1) được gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh. Do lớp bài tốn đặt
khơng chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thu
hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như
V. K. Ivanov, M. M. Lavrentiev, A. N. Tikhonov...Một số nhà toán học
Việt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết
các bài tốn đặt khơng chỉnh như: P. K. Anh, Ng. Bường, Đ. N. Hào,
Đ. Đ. Trọng...
Để giải số bài toán đặt khơng chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đưa về
bài tốn đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trong
một tập compact lồi M và ảnh A(M ) = N , sao cho khi f xấp xỉ bởi
fδ ∈ N ta vẫn có nghiệm xδ thỏa mãn Axδ ∈ N . Do số liệu xấp xỉ là số
liệu khơng chính xác, nên có thể xấp xỉ fδ lại khơng nằm vào tập A(M ).
Khi đó, phương trình A(x) = fδ khơng có nghiệm theo nghĩa thơng
thường. Để khắc phục tình trạng này, Ivanov,V.K. (xem [51], [52]) đã
đưa ra khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1). Theo Ivanov phần tử
x˜ ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf ρY (A(x), f ) được gọi là tựa nghiệm
x∈M

của (1) trên tập M , trong trường hợp M là tập compact của X, thì với
mọi f ∈ Y bao giờ cũng tồn tại tựa nghiệm. Nếu f ∈ A(M ) thì tựa
nghiệm chính là nghiệm thơng thường. Tựa nghiệm cũng như nghiệm
thơng thường có thể khơng duy nhất.
Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi khơng nằm trong A(M )
7

cũng được Lavrentiev, M.M. [60] nghiên cứu. Tư tưởng phương pháp mà
Lavrentiev đề xuất là thay phương trình (1) bằng phương trình xấp xỉ
giải được với mọi vế phải và nghiệm của phương trình xấp xỉ phụ thuộc
liên tục vào vế phải.
Năm 1963, Tikhonov, A. N. (xem [75], [76], [77]) đưa ra một hướng
mới giải quyết bài tốn (1), đó là việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc
tham số
M α [x, fδ ] = ρ2 (A(x), fδ ) + αψ(x),

(2)

ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X, α là tham số
hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α(δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta có
α(δ) → 0 và điểm cực tiểu xδα của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm của
bài toán (1).
Đối với bài toán (1), khi A : H → H là một tốn tử liên tục và đóng
yếu, Engl, H.W. [42] đã xét dạng cụ thể của (2) là
M α [x, fδ ] = Ax − fδ

2

+α x

2

(3)

và chứng minh được bài tốn (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào fδ
và hội tụ về nghiệm của (1) khi fδ → f .

Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu và hemi liên tục từ không
gian Bannach X vào X ∗ , Alber,Ya.I.[5] đã xây dựng phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình
A(x) + αU s (x) = fδ ,

(4)

ở đây, U s là toán tử đối ngẫu tổng quát của X, tức là U s : X → X ∗ ,
thỏa mãn điều kiện
U s (x), x = x

U s (x) , U s (x) = x
8

s−1

, s ≥ 2.


Trong vài năm gần đây, do nhu cầu thực tế người ta đã xét mở rộng
bài toán (1) cho một họ hữu hạn phương trình đặt khơng chỉnh (xem
[22], [39], [46]), tức là tìm nghiệm x0 , sao cho
Aj (x0 ) = fj , j = 1, 2, ..., N,

(5)

ở đây, Aj : X → Yj , X và Yj là các khơng gian Hilbert. Hệ phương trình
(5) có thể đưa về một phương trình
A(x) = f,

(6)

ở đây, A : X → Y xác định bởi A(x) = (A1 (x), A2 (x), ..., AN (x)),
Y := Y1 × Y2 × ... × YN và f = (f1 , f2 , ..., fN ). Có thể coi (6) như là
trường hợp riêng của (5) khi N = 1. Tuy nhiên, (5) có lợi hơn (6) ở chỗ
(5) đề cập riêng rẽ từng tính chất của (Aj , fj ), cịn (6) cho ta tính chất
chung của (Aj , fj ) và nghiệm của (6) phải thỏa mãn các tọa độ giống
nhau.
Năm 2007, Haltmeier,M. [46] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiến
Landweber - Kaczmarz tìm nghiệm hiệu chỉnh lặp cho hệ (5) khi fj
δ

δ

được xấp xỉ bởi fj j , fj j − fj

≤ δj , j = 1, 2, .., N , bao gồm phương

pháp lặp xoay vòng Landweber - Kaczmarz (lLK) và phương pháp lặp
nhúng Landweber - Kaczmarz (eLK) đồng thời được ứng dụng để hiệu
chỉnh cho một số bài toán như bài toán ngược đối với thiết bị bán dẫn,
bài toán chụp cắt lớp bằng nhiệt...
Năm 2008, Hein,T. [48] đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệ
phương trình với tốn tử liên tục và đóng yếu dựa trên bài tốn cực tiểu
phiếm hàm ổn định khơng âm và nửa liên tục dưới yếu
δ

min{J(x) : Aj (x) − fj j ≤ δj , j = 1, .., N }.
x∈D

9

(7)


Dựa trên khoảng cách Bregman D(xδ , x0 ) := J(xδ )−J(x0 )− J (x0 ), xδ −
x0 , Hein đã đưa ra các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
xδ về nghiệm x0 của hệ khi bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán
tử Aj , j = 1, 2, ..., N .
Năm 2011, Cezaro,A.D. [38] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiến
Tikhonov với các toán tử Aj liên tục, khả vi Fréchet trên miền đóng yếu
Dj , bao gồm phương pháp lặp Tikhonov - Kaczmarz (iTK) và phương
pháp lặp xoay vòng Tikhonov - Kaczmarz (L - iTK). Phương pháp
này được xây dựng dựa trên cơ sở của phương pháp lặp LevenbergMarquardt-Kaczmarz [15] và phương pháp lặp cải tiến Landweber Kaczmarz [46].
Cách tiếp cận theo phương pháp lặp xoay vòng và phương pháp đưa
về khơng gian tích thực hiện rất phức tạp khi N lớn. Cụ thể, khi xét sự
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ cũng như đánh giá tốc
độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh theo các cách tiếp cận này đòi hỏi phải
thỏa mãn ba điều kiện đặt lên từng toán tử Aj , bao gồm điều kiện khả
vi Fréchet với các đạo hàm Fréchet giới nội đều trong lân cận nghiệm
của (5), điều kiện nón tiếp tuyến cục bộ và điều kiện nguồn trên nghiệm
của (5) (xem [38]). Vì vậy, việc nới lỏng các điều kiện lên các toán tử là
một trong các mục tiêu của luận án. Cụ thể, liệu có thể xây dựng được
phương pháp hiệu chỉnh khác mà sự hội tụ cũng như đánh giá tốc độ
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh chỉ cần dựa vào điều kiện của một toán tử
hay không?
Trong trường hợp Aj là các dưới vi phân của các phiếm hàm lồi trên
không gian Banach X, Buong,Ng. [22] đã xây dựng phương pháp hiệu
10

chỉnh dựa vào việc giải phương trình
N

αµj Ahj (x) + αU (x) = θ,

(8)

j=1

µ1 = 0 < µj < µj+1 < 1, j = 2, .., N − 1,
ở đây, U (x) là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào X ∗ , tức là U (x) =
U 2 (x).
Khi Aj : H → H là các toán tử đơn điệu và h-liên tục, Buong,Ng.,
Thuy,Ng.T.T. [34] đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc khơng
tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán
Aj (x) = θ, j = 1, 2, ..., N,

(9)

bằng sơ đồ lặp
N

x

(k+1)

(k)

=x

αkj Aj (x(k) ) + αkN +1 (x(k) − x∗ ) ,

− βk

(10)

j=1

ở đây, xấp xỉ đầu x(0) và x∗ là phần tử trong không gian H và αk , βk là
các dãy số dương.
Hệ (9) cũng được Anh,Ph.K., Chung,C.V. [7] xét đến khi Aj : H → H
có tính chất ngược đơn điệu mạnh bằng phương pháp hiệu chỉnh lặp song
song. Các kết quả đạt được của phương pháp cho nghiệm hiệu chỉnh hội
tụ về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất.
Một câu hỏi đặt ra là, khi Aj là các toán tử U − đơn điệu liệu có thể
xây dựng được các phương pháp hiệu chỉnh giống như (8) hay không?
Trong luận án này, chúng tôi đề cập đến hai vấn đề nêu trên. Cụ thể,
đối với vấn đề thứ nhất, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh
N

Aj (x) − fjδ

2

+ α x − x∗

j=1

11

2

→ min,
X

(11)


mà tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá chỉ dựa trên điều
kiện của một toán tử A1 . Trong trường hợp các toán tử Aj : X → X
là U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên khơng gian Banach phản xạ
và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tôi đưa ra phương pháp
hiệu chỉnh hệ phương trình (5) dựa vào việc giải phương trình
N

A1 (x) + α

µ
˜

(Aj (x) − fjδ ) + α(x − x∗ ) = f1δ

(12)

j=2

và đưa ra cách chọn tham số α = α(δ), ở đây, µ
˜ ∈ (0, 1) là hằng số cố
định. Theo phương pháp này, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được

đánh giá mà chỉ cần dựa vào điều kiện đặt lên một toán tử A1 .
Các kết quả đạt được trong luận án này là kết quả trong quá trình
học tập và nghiên cứu tại Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm
Khoa học và Cơng nghệ Việt Nam. Ngồi phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu được trình bày thành ba
chương. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian Hilbert
và khơng gian Banach, về bài tốn đặt khơng chỉnh, từ đó giới thiệu
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với tốn tử liên tục
và đóng yếu và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương
trình với tốn tử U − đơn điệu. Trên cơ sở hiệu chỉnh cho phương trình,
chương này cịn giới thiệu bài tốn dẫn đến hệ phương trình tốn tử đặt
khơng chỉnh và các phương pháp hiệu chỉnh. Chương 2 giới thiệu các kết
quả đạt được khi xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình
với các tốn tử có tính chất liên tục và đóng yếu, đồng thời các kết quả
số được thực hiện nhằm khẳng định tính đúng đắn của phương pháp.
Cuối cùng, chương 3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương
trình phi tuyến đối với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên
12


khơng gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Các cơng trình đã cơng bố có liên quan đến luận án:
[1] Buong,Ng., Dung,N.D. (2009), Regularization for a Common Solution of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int. Journal of Math.
Analysis, 3(34), 1693 - 1699.
[2] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution
of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings, Applied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788.
[3] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution
of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings with
perturbative data, Thainguyen University Journal of Science and Technology, 83(7), 73 - 79.
[4] Buong,Ng., Dung,N.D. (2012), Convergence Rates in Regularization

for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Mathematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310.
[5] Buong,Ng., Dung,N.D. (2013), Regularization for a common solution
of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving Lipschitz
continuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo
Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông
tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012.
[6] Buong,Ng., Dung,N.D. (2014), A regularized parameter choice in regularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations
involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Zh. Vychisl. Mat.
i Mat. Fiziki, 54(3), 397 - 406.

13


Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:
- Hội thảo Tối ưu và Tính tốn khoa học lần thứ VIII, Ba vì, 2022/4/2010.
- Hội thảo Quốc gia lần thứ XIII về một số vấn đề chọn lọc của Công
nghệ Thông tin và Truyền thông, "Các công nghệ tính tốn hiện đại",
Hưng n, 19-20/8/2010.
- Hội nghị khoa học kỷ niệm 35 năm ngày thành lập Viện Công nghệ
Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Hà Nội,
26/12/2011.
- Hội thảo Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công
nghệ Thông tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012.
- Hội thảo Tối ưu và Tính tốn khoa học lần thứ XI, Ba vì, 2427/4/2013.
- Đại hội Tốn học Việt Nam lần thứ VIII, Nha Trang, 10-14/08/2013.
- Các buổi Seminar khoa học của Phịng Thống kê - Tính tốn và ứng
dụng, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam.

14

Chương 1
Hệ phương trình tốn tử đặt khơng
chỉnh
Chương này gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản
trong không gian Hilbert và không gian Banach. Mục 1.2 giới thiệu khái
niệm bài tốn đặt khơng chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
cho phương trình với tốn tử liên tục và đóng yếu cùng với phương
pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với tốn tử U −
đơn điệu. Trong mục 1.3, chúng tơi giới thiệu hệ phương trình đặt khơng
chỉnh, các bài tốn dẫn về hệ phương trình đặt không chỉnh và một số
phương pháp hiệu chỉnh cho hệ bài tốn này.

1.1.

Khơng gian Hilbert và khơng gian Banach

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm được sử dụng
trong các chương sau (xem [3], [6], [18], [21], [44], [49], [53], [64]).
Định nghĩa 1.1 Khơng gian tuyến tính X được gọi là khơng gian tiền
Hilbert hay cịn gọi là khơng gian có tích vơ hướng, nếu trên X xác định
một hàm thực hai biến, ký hiệu là x, y và được gọi là tích vơ hướng
của x và y nếu thỏa mãn điều kiện sau:
• Với mọi x, y ∈ X, x, y = y, x ;
• Với mọi x, y, z ∈ X, x + y, z = x, z + y, z ;
15


• Với mọi x, y ∈ X và số thực β bất kỳ βx, y = β x, y ;

• Với mọi x ∈ X, x, x ≥ 0 và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Với hàm x = x, x

1/2

thì X trở thành một khơng gian định chuẩn.

Khơng gian với tích vơ hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Không gian định chuẩn X được gọi là khơng gian Banach, nếu nó là
khơng gian đủ.
Cho x và y thuộc khơng gian tích vơ hướng X, khi đó ta có các quy
tắc sau:
• Bất đẳng thức tam giác: x + y ≤ x + y ;
• Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: | x, y | ≤ x y ;
• Quy tắc hình bình hành: x + y

2

+ x−y

2

=2 x

2

+ 2 y 2.

Định nghĩa 1.2 Trong khơng gian Banach X, tốn tử đa trị U : X →
∗

2X được gọi là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc nếu
U (x) = {u(x) ∈ X ∗ : x, u(x) = x

u(x) , u(x) = x }.

Định nghĩa 1.3 Toán tử A : X → X được gọi là
• U − đơn điệu trên X, nếu tồn tại u(x − y) ∈ U (x − y) sao cho
A(x) − A(y), u(x − y) ≥ 0 với ∀x, y ∈ X.
• U − đơn điệu mạnh trên X với hằng số α, nếu tồn tại một hằng số
α > 0 sao cho
A(x) − A(y), u(x − y) ≥ α x − y 2 , ∀x, y ∈ X.

16


• Ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ trên X, nếu tồn tại một
hằng số dương λ sao cho
A(x) − A(y), u(x − y) ≥ λ A(x) − A(y) 2 , ∀x, y ∈ X,
• m− U − đơn điệu trong X, nếu A là U − đơn điệu và R(A+λI) = X,
∀λ > 0.
• Liên tục Lipschitz trên X, nếu
A(x) − A(y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ X,
ở đây, L là hằng số dương. Khi L = 1 thì A được gọi là tốn tử khơng
giãn. Dễ thấy, nếu A là tốn tử ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ
thì A là liên tục Lipschitz với hằng số 1/λ.
Định nghĩa 1.4 (xem [18]) Toán tử T được gọi là giả co chặt trên không
gian Banach X, nếu tồn tại λ ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
T x − T y, u(x − y) ≤ x − y

2

− λ x − y − (T x − T y) 2 ,

hay có thể viết dưới dạng
(I − T )x − (I − T )y, u(x − y) ≥ λ (I − T )x − (I − T )y 2 .
Do đó, I − T là ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ. Nếu λ = 0, thì
T được gọi là giả co. Nếu T là giả co, thì A := I − T là U − đơn điệu,
và ngược lại, nếu A là U − đơn điệu thì T = I − A là giả co.
Định nghĩa 1.5 Cho X là khơng gian tuyến tính định chuẩn và
S(0, 1) := {x ∈ X : x = 1} .
17


Khơng gian X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux, nếu giới hạn
lim
t→0

x + ty − x
t

tồn tại với mọi x, y ∈ S(0, 1). Khơng gian X có chuẩn khả vi Gâteaux
đều nếu giới hạn trên hội tụ đều với mọi x ∈ S(0, 1). Không gian X
được gọi là lồi chặt nếu ∀x, y ∈ S(0, 1) với x = y, ta có
(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.6 Tập S trong không gian Banach X được gọi là một
tập lồi, nếu với mọi x, y ∈ S thì {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]} ⊆ S. Nếu
S là tập lồi đóng và S = ∅ thì ∀x ∈ X tồn tại duy nhất một phần tử
x∗ ∈ S sao cho
x − x∗ = inf x − y .

y∈S

Định nghĩa 1.7 Phiếm hàm ϕ(x) với x ∈ X được gọi là lồi, nếu
ϕ(αx + (1 − α)y) ≤ αϕ(x) + (1 − α)ϕ(y), ∀α ∈ [0, 1], x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.8 (xem [3]) Cho không gian Banach
∞

và chuẩn a

trên

∞

∞

∞

với (a1 , a2 , ...) ∈

= supi∈N |ai | và µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục

. Ký hiệu µk (ak ) := µ((a1 , a2 , ...)), khi đó µ được gọi là giới hạn

Banach nếu µ thỏa mãn µ = µk (1) = 1 và µk (ak+1 ) = µk (ak ) với
(a1 , a2 , ...) ∈

∞

.

Với giới hạn Banach µ, ta có
lim inf ak ≤ µk (ak ) ≤ lim sup ak
k→∞

với mọi (a1 , a2 , ...) ∈

∞

k→∞

. Nếu a = (a1 , a2 , ...) ∈

∞

, b = (b1 , b2 , ...) ∈

∞

và ak → c (ak − bk → 0, khi k → ∞), ta có µk (ak ) = µ(a) = c (µk (ak ) =
µk (bk )).
18


Định nghĩa 1.9 Cho X là khơng gian Banach, tốn tử A với miền xác
định D(A) ⊆ X và miền ảnh R(A) nằm trong X ∗ .
• Tốn tử A được gọi là đơn điệu nếu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈
D(A). A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi
x = y.
• Tốn tử A được gọi là d-đơn điệu, nếu tồn tại một hàm không
âm d(t), không giảm với t ≥ 0, d(0) = 0 và thỏa mãn tính chất

∀x, y ∈ D(A)
A(x) − A(y), x − y ≥ (d ( x ) − d ( y )) ( x − y ) .
• Tốn tử A được gọi là đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm không
âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và
A(x) − A(y), x − y ≥ δ ( x − y ) , ∀x, y ∈ D(A).
Nếu δ(t) = cA t2 , cA > 0 thì tốn tử A được gọi là tốn tử đơn điệu
mạnh.
• Tốn tử A được gọi là có tính chất bức, nếu
lim

x →+∞

A(x), x
= +∞.
x

Định nghĩa 1.10 Cho X, Y là hai không gian Banach. Toán tử A :
X → Y được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại tốn tử
tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho
lim

h →0

A(x + h) − A(x) − T (h)
= 0,
h

T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x và ký hiệu A (x).
19

Định nghĩa 1.11 Cho X là không gian Banach bất kỳ, ∂ϕ được gọi là
dưới vi phân của hàm ϕ và được xác định bởi
∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X ∗ : ϕ(y) − ϕ(x) ≥ x∗ , y − x , ∀y ∈ X} .
Ta có mối liên hệ giữa tính lồi đều của một phiếm hàm và tính đơn
điệu đều của dưới vi phân của nó như sau:
Nếu ϕ là một phiếm hàm lồi đều xác định trên không gian Banach
phản xạ X thì ∂ϕ là một tốn tử đơn điệu đều. Nếu D(ϕ) ≡ X thì ∂ϕ
cịn là một toán tử h-liên tục tại mọi điểm x ∈ X , tức là:
lim∂ϕ(x + ty) = ∂ϕ(x), ∀x, y ∈ X.
t→0

Đây cũng là khái niệm về tính h-liên tục cho một toán tử A bất kỳ.
Định nghĩa 1.12 Trong không gian Banach X, dãy {xn } được gọi là
một dãy cực tiểu hóa cho bài tốn: Tìm x0 ∈ X sao cho f (x0 ) = inf f (x),
x∈X

nếu limn→∞ f (xn ) = f (x0 ). Điều này tương đương với
∀ε > 0 ∃N (ε) : ∀n > N (ε), f (x0 ) − ε ≤ f (xn ) ≤ f (x0 ) + ε.
Định nghĩa 1.13 Trong không gian Banach X, dãy {xn } ⊂ X được gọi
là hội tụ yếu tới x ∈ X, nếu với mọi x∗ ∈ X ∗ ta có
lim xn , x∗ = x, x∗ .

n→∞

Dãy hội tụ yếu được ký hiệu: xn

x khi n → ∞. {xn } ⊂ X được gọi là

hội tụ mạnh tới x ∈ X nếu nó hội tụ theo chuẩn, tức là xn − x → 0

khi n → ∞.
Định nghĩa 1.14 Phiếm hàm ϕ(x) xác định trên không gian Banach
X được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại điểm x0 , nếu ∀ {xn } : xn
20

x0 ⇒


ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ). Phiếm hàm ϕ(x) được gọi là nửa liên tục dưới
yếu, nếu nó nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm trong miền xác định của
nó.
Trên đây là các khái niệm, định nghĩa được sử dụng trong các mục
và các chương sau. Mục tiếp theo, chúng tơi trình bày các phương pháp
hiệu chỉnh cho phương trình với tốn tử có tính chất liên tục và đóng
yếu, tốn tử có tính chất U − đơn điệu.

1.2.

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

1.2.1.

Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và khơng chỉnh

Khái niệm Bài tốn đặt chỉnh được Hadamard,J. (xem [45], [65]) đưa
ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của
các phương trình eliptic cũng như parabolic.
Xét bài tốn Cauchy đối với phương trình Laplace
∂ 2 un ∂ 2 un
+

= 0, −∞ < x < ∞, 0 < y,
∂x2
∂y 2
un (x, 0) = n−2 sin nx, −∞ < x < ∞,
∂un
(x, 0) = n−1 sin nx, −∞ < x < ∞.
∂y
Bài toán này có nghiệm duy nhất là un (x, y) = n−2 eny sin nx, ở bài
toán này ta dễ thấy un (x, 0),

∂un
∂y (x, 0)

→ 0 khi n → ∞, trong khi đó

un (x, y) → ∞ khi n → ∞ với mọi y > 0.
Việc tìm nghiệm của phương trình tốn tử
Ax = f, f ∈ Y

21

(1.1)


cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f , có nghĩa là x = R(f ). Ta sẽ coi
nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian
X và Y với các độ đo tương ứng là ρX (x1 , x2 ) và ρY (f1 , f2 ), x1 , x2 ∈
X, f1 , f2 ∈ Y .
Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài tốn. Khi
đó, bài tốn tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không

gian (X, Y ), nếu với mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ(ε) > 0, sao
cho từ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) cho ta ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ở đây
x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ); x1 , x2 ∈ X; f1 , f2 ∈ Y.
Bài tốn tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt
chỉnh trên cặp khơng gian metric (X, Y ), nếu có:
1. Với mọi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;
2. Nghiệm x được xác định một cách duy nhất;
3. Bài toán tìm nghiệm ổn định trên cặp khơng gian (X, Y ).
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên khơng thỏa mãn thì bài tốn
được gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh, đơi khi cịn gọi là bài tốn khơng
chính quy, hay bài tốn thiết lập khơng đúng đắn.
1.2.2.

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình
với tốn tử liên tục và đóng yếu

• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với tốn tử
tuyến tính liên tục (xem [1])

22


Xét bài tốn tìm nghiệm x0 của phương trình (1.1), ở đây, A là tốn
tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert
Y và được xấp xỉ bởi tốn tử tuyến tính liên tục Ah
A − Ah ≤ h, h > 0, h → 0,

(1.2)

vế phải f được xấp xỉ bởi fδ

f − fδ ≤ δ.

(1.3)

Việc xấp xỉ nghiệm cho bài toán (1.1) được thay bởi bài toán cực tiểu
phiếm hàm
M α [x] = Ah x − fδ

2

+ α x 2,

(1.4)

ở đây, α > 0 là tham số hiệu chỉnh. Dễ thấy phiếm hàm M α [x] hai lần
khả vi theo Fréchet và
(M α [x]) = 2(A∗h Ah x − A∗h fδ + αx),
(M α [x]) x, x ≥ 2α x 2 .
Vì vậy, phiếm hàm M α [x] lồi mạnh, cho nên nó đạt cực tiểu trên một
η(h,δ)

tập đóng D bất kỳ tại một điểm duy nhất xα
η(h,δ)

Phần tử cực tiểu xα

(xem [80]).

có thể tìm bằng phương pháp đường dốc nhất,

phương pháp Gradient liên hợp giải bài tốn cực tiểu phiếm hàm có ràng
buộc nếu D = X hoặc không ràng buộc nếu D = X (xem [43], [55], [67],
η(h,δ)

[80]). Vì M α [x] là phiếm hàm lồi, nên điều kiện cần và đủ để xα
điểm cực tiểu của phiếm hàm lồi là (xem [14], [41])
(M α [xη(h,δ)
]) , x − xη(h,δ)
≥ 0, ∀x ∈ D.
α
α
η(h,δ)

Nếu xα

là điểm trong của D thì điều kiện này là
(M α [xη(h,δ)
]) = 0,
α
23

làm