Một số tính chất chọn lọc về hệ động lực rời rạc

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN NGUYÊN BÌNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC
VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN NGUYÊN BÌNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC
VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. VŨ NGỌC PHÁT

Thái Nguyên - năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ơ❝ ❧ơ❝
▼ơ❝ ❧ơ❝

✶

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

✷

▼ét sè ❦Ý ❤✐Ư✉ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥

✺

❈❤➢➡♥❣ ✶

❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝

✻

✶✳✶

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ s❛✐ ♣❤➞♥

✶✳✷

✶✳✸

❈❤➢➡♥❣ ✷
✷✳✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

▲ý t❤✉②Õt ỉ♥ ➤Þ♥❤ ▲②❛♣✉♥♦✈

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈➭ ❜ỉ ➤Ị ❜ỉ trỵ

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

ỉ
ỉ

♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❝➳❝ ❤Ư rê✐ r➵❝

♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư rê✐ r➵❝

✷✳✶✳✶

✷✳✶✳✷

✷✳✶✳✸

✷✳✷

ỉ

✷✳✷✳✷

ỉ

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư rê✐ r➵❝ ♣❤✐ t✉②Õ♥

❇➭✐ t♦➳♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳

ỉ

✶✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❝đ❛ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

ị ổ ị ề ữ ệ ó trễ



ự ổ ị ề ữ ủ ệ ó trễ



ự ổ ị ề ữ ổ ị ❜Ị♥ ✈÷♥❣ ❝đ❛ ❤Ư ❝ã trƠ

✈í✐ ♥❤✐Ơ✉ ♣❤✐ t✉②Õ♥

✶✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❤Ư rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã trƠ

♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❝➳❝ ❤Ư rê✐ r➵❝

✷✳✷✳✶

❈❤➢➡♥❣ ✸

æ
æ
æ

✶✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✸✷
✸✷

✸✼

❑Õt ❧✉❐♥

✹✾

❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✺✵

✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ờ ó

ý

tết

ị

tí



ệ

ộ

ự

ột

tr

ữ

ớ

ứ q trọ tr ý tết trì ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ s❛✐ ♣❤➞♥✳

♥❣❤✐➟♥

❚r♦♥❣ ❧ý

t❤✉②Õt ➤ã✱ tÝ♥❤ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t t✐➟✉ ❜✐Ĩ✉✱ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ø♥❣

❞ơ♥❣ tr♦♥❣ t❤ù❝ tÕ✱ ➤➢ỵ❝ q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ữ t ỷ

ợ t ứ từ ❝✉è✐ t❤Õ ❦û ❳■❳ ❜ë✐ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❱✳▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭

➤Õ♥ ♥❛② ➤➲ trë t❤➭♥❤ ♠ét ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ t❤✐Õ✉ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt

❤Ư t❤è♥❣ ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣✳ ❈➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ▲✉❛♣✉♥♦✈ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ❦Õt q✉➯ ✈➭ ý

t➢ë♥❣ ①✉✃t s ó trị ề t ữ ứ s❛✉ ♥➭② ✈➭ ❤➡♥ t❤Õ

♥ã ❝ß♥ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ➤➷t ♥Ị♥ ♠ã♥❣ ❝❤♦ t♦➭♥ ❜é ❧ý t❤✉②Õt ➤Þ♥❤ tÝ♥❤ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣

tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t❤➢ê♥❣✳

❍❛✐ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞♦ ➠♥❣ ➤Ị ①✉✃t ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♠ò

▲②❛♣✉♥♦✈ ✭♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ t❤ø ♥❤✃t✮ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✭♣❤➢➡♥❣

♣❤➳♣ t❤ø ❤❛✐ ❤❛② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ trù❝ t✐Õ♣✮ ✈➱♥ ❧➭ ❤❛✐ ❝➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥ ❝❤Ý♥❤ ❦❤✐

♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ề ổ ị ế ữ ủ tế ỷ ❳❳✱ ❝ï♥❣ ✈í✐ sù ♣❤➳t

tr✐Ĩ♥ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ị♥❣ ❜➽t ➤➬✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ỉ♥ ➤Þ♥❤

❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥✳

❇➭✐ t♦➳♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ệ ề ể

ợ ọ t ổ ị



t

ổ

ị

ệ

rờ

r



ột

tr

trọ tr ý tết ị tí ệ ộ ự

ữ



t

q

t♦➳♥ ♥➭② tõ tr➢í❝ ❝❤♦

➤Õ♥ ♥❛② ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù q✉❛♥ t➞♠ ❝đ❛ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ tr♦♥❣ ✈➭ ♥❣♦➭✐ ♥➢í❝✱

❝ã t❤Ó ❦Ó r❛ ➤➞② ♠ét sè t➳❝ ❣✐➯ ♥❤➢ ▲❛❞❛s✱ ❆❣❛r✇❛❧✱ ●❛❜❛s♦✈ ❛♥❞ ❑✐r✐❧❧♦✈❛✱

▼②s❦✐s✱ ❍♦➭♥❣ ❍÷✉ ➜➢ê♥❣✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❑❤♦❛ ❙➡♥✱ ❱ị ◆❣ä❝ P❤➳t✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❱➝♥

▼✐♥❤✱ ✳✳✳✳

❇è ❝ơ❝ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣ ✈➭ ♣❤➬♥ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✳

❈❤➢➡♥❣ ✶✿ ❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝✳

❈❤➢➡♥❣ ✷✿

ỉ

♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❝➳❝ ❤Ư rê✐ r➵❝✳

✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên






ổ

ị ổ ị ó ề ữ ❤Ư ❝ã trƠ✳

❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ♣❤➢➡♥❣

tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ s❛✐ ♣❤➞♥✱ ♠ét sè ❜ỉ ➤Ị ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛♥ trä♥❣✳

❈❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭

♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❦✐♥❤ ➤✐Ĩ♥ ❝❤♦ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ị♥❣ tr×♥❤

❜➭② ♠ét sè t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ➤➲ ❝ã ➤è✐ ✈í✐ ❤Ư ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥

tÝ♥❤ ❞➵♥❣

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ∈ Z+ ,

✭✶✮

t❤❡♦ ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ▼ét ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

♠❛ tr❐♥ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝ß♥ ❧➵✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❞ù❛ tr➟♥ tÝ♥❤ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ➤➢ỵ❝ ❝đ❛ ❝➷♣

♠❛ tr❐♥ ❤Ư sè

[A, B].

❈❤➢➡♥❣ ✸ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠í✐✳

ë

➤➞② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt ❝➳❝ ❤Ö

rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ✭✉♥❝❡rt❛✐♥✮ ❝ã trÔ

x(k + 1) = (A + Da Fa (k)Ea )x(k)+(B + Db Fb (k)Eb )x(k − h)
+(C + Dc Fc (k)Fc )u(k) k ∈ Z+ ,

✭✷✮

✈➭ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ❦❤➠♥❣ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ❝ã trƠ ✈í✐ ♥❤✐Ơ✉ ♣❤✐ t✉②Õ♥

x(k + 1) =(A + Da Fa (k)Ea )x(k) + (B + Db Fb (k)Eb )x(k − h)
✭✸✮

+ f (k, x(k), x(k − h)), k ∈ Z+ ,
x(k + 1) =(A + Da Fa (k)Ea )x(k) + (B + Db Fb (k)Eb )x(k − h)

+ (C + Dc Fc (k)Ec )u(k) + f (k, x(k), x(k − h), u(k)), k ∈ Z+ ,
✭✹✮

tr♦♥❣

➤ã

x(k) ∈ Rn

❧➭

❜✐Õ♥

tr➵♥❣

A, B, C, Da , Ea , Db , Eb , Dc , Ec
t❤Ý❝❤ ❤ỵ♣✱

Fa (k), Fb (k), Fc (k)

sè ❝❤✐Ị✉ t❤Ý❝❤ ❤ỵ♣ t❤♦➯ ♠➲♥

f (.)

t❤➳✐✱

u(k) ∈ Rm

❧➭

❜✐Õ♥

➤✐Ị✉

❦❤✐Ĩ♥✱

❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝ ✈í✐ sè ❝❤✐Ị✉

❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ❝❤➢❛ ❜✐Õt ✈í✐

Fa (k) ≤ 1,

Fb (k) ≤ 1,

Fc (k) ≤ 1,

❧➭ ❤➭♠ tế

ệ ứ tí ổ ị ó ề ữ ❝đ❛ ❤Ư ✭✹✮ ❧➭ ✈✐Ư❝ ♠ë ré♥❣

♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ỉ♥ ị ề ữ ủ ệ tí ổ ị ❤♦➳ ❜Ị♥ ✈÷♥❣ ❝đ❛

❤Ư ✭✸✮✳ ❑❤ã ❦❤➝♥ ë ➤➞② ❧➭ tì ợ ề ể ợ

u(k) = h(x(k))


S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ể ệ ổ ị ợ ♠➭ ♥❤➢ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ➤✐Ị✉ ♥➭② ❦❤➠♥❣

♣❤➯✐ ❦❤✐ ♥➭♦ ❝ị♥❣ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ➤➢ỵ❝ ✈í✐ ♠ét ❤Ư rê✐ r➵❝ ❝ã trƠ ❜✃t ❦ú✳ ▼➷t ❦❤➳❝

➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤➷t r❛ ❝❤♦ ❤➭♠

f (.)

❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét trë ♥❣➵✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥

❝ø✉✱ ë ➤➞② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ ❣✐➯ t❤✐Õt ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t➝♥❣ tr➢ë♥❣ ❝❤♦

❤Ö ✭✸✮

f (.)

x

+b

y , ∀(k, x, y) ∈ Z+ × Rn × Rn ,

❧➭ ♥❤÷♥❣ sè ❞➢➡♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝✱ ✈➭ tr♦♥❣ ❤Ö ✭✹✮

f (k, x, y, z) ≤ a
a, b, c

tø❝ ❧➭ tr♦♥❣

❧➭ ❤➭♠ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t

f (k, x, y) ≤ a
a, b

f (.),

x

+b

y

+c

f (.)

❧➭ ❤➭♠ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t

z , ∀(k, x, y, z) ∈ Z+ ×Rn ×Rn ×Rm ,

ữ số trớ

ợ t ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝

❝đ❛ ●❙✳❚❙❑❍ ❱ị ◆❣ä❝ P❤➳t✱ ♥❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉

s➽❝ ♥❤✃t ➤è✐ ✈í✐ ❚❤➬②✳

❊♠ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❝đ❛ ➜❍ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✈➭ ❱✐Ư♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲

t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ ❝❛♦ ❤ä❝✳

❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❚r➢ê♥❣ ➜❍ ❑✐♥❤ tÕ

❤ä❝

❝➡

❜➯♥

tr➢ê♥❣

➜❍

❑✐♥❤

tÕ

&

&

◗❚❑❉

◗❚❑❉ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❦❤♦❛ ❑❤♦❛

❚❤➳✐

◆❣✉②➟♥✱

❦❤♦❛

❚♦➳♥

tr➢ê♥❣

➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❦❤♦❛ ❙❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ tr➢ê♥❣ ➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ q✉❛♥

t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✱ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝đ❛

♠×♥❤✳

❳✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝ỉ ✈ị ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣

s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳

✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

▼ét sè ❦Ý ❤✐Ư✉ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥
• Z+

❧➭

❦❤➠♥❣ ➞♠❀

t❐♣

Rn

t✃t

♥Õ✉

❝➳❝

sè

♥❣✉②➟♥

❦❤➠♥❣ é t

é t

ã AT

. ; Rnìr



ã Sp(A)

R+

t❐♣

t✃t

❝➯

❝➳❝

sè

t❤ù❝

n−

❝❤✐Ị✉ ✈í✐ ❦Ý ❤✐Ư✉ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ❧➭

(n × r)

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥

♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠❛ tr❐♥

A = AT ; I

➞♠❀

A;

▼❛ tr❐♥

A

., .

❝❤✐Ị✉✳

➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤è✐ ①ø♥❣

❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥ ✈Þ✳

t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❝đ❛

A.

• λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ Sp(A)}; λmin (A) = min{Reλ : λ ∈
Sp(A)}.
n

• A

❧➭ ❝❤✉➮♥ ❝đ❛ ♠❛ tr

A,

ợ ị ĩ ở

n

A =(

1

|aij |2 ) 2 .

i=1 j=1

ã



tr

A

ợ

ọ

Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn ;
Ax, x ≥ 0, x Rn

ị

tr

Ax, x > 0

A



ợ

ớ



ọ

í

ệ





A 0,

ị



x = 0.


S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



♥Õ✉

♥Õ✉


❈❤➢➡♥❣ ✶
❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝
✶✳✶

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ s❛✐ ♣❤➞♥

❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥

x˙ = f (t, x), t ∈ I = [t0 , t0 + b],
x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0,
tr♦♥❣ ➤ã

f (t, x) : I × D −→ Rn , D = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ a}.

◆❣❤✐Ư♠

✭✐✮

✭✐✐✮

✭✶✳✶✮

x(t)

❝đ❛ ✭✶✳✶✮ ❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ t❤♦➯ ♠➲♥

(t, x(t)) ∈ I × D,
x(t)

t❤♦➯ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮✳

●✐➯ sư ❤➭♠

f (t, x)

❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥

I × D,

❦❤✐ ➤ã ♥❣❤✐Ư♠

x(t)

❝❤♦ ❜ë✐ ❞➵♥❣

tÝ❝❤ ♣❤➞♥ s❛✉

t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❤Ư ✭✶✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣

x˙ = Ax + g(t), t ≥ 0,
✭✶✳✷✮

x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,
✈í✐

A

❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣✱

g(t) : [0, ∞) −→ Rn

❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝❤ø♥❣

♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ ✭✶✳✷✮ ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤② s❛✉

t

x(t) = eA(t−t0 ) x0 +

eA(t−s) g(s)ds.

✭✶✳✸✮

t0

✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




➜è✐ ✈í✐ ❤Ư ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣

x˙ = A(t)x + g(t), t ≥ 0,
x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,
tr♦♥❣ ➤ã

A(t)

❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tơ❝ t❤❡♦

t

✈➭

✭✶✳✹✮

A(t) ≤ m(t),

❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ t❤× ❤Ư ✭✶✳✹✮ ❝ị♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❞✉② ♥❤✃t✳

✈í✐

m(t), g(t)

❧➭ ❝➳❝

◆❣❤✐Ư♠ ♥➭② ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥

q✉❛ ♠❛ tr❐♥ ♥❣❤✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❤Ư t❤✉➬♥ ♥❤✃t

x˙ = A(t)x,

✭✶✳✺✮

❧➭

t

x(t) = Φ(t, t0 )x0 +

Φ(t, s)g(s)ds,
t0

Φ(t, s)
d
(i) Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s,
dt
(ii)Φ(t, t) = I.

tr♦♥❣ ➤ã

❧➭ ♠❛ tr❐♥ ♥❣❤✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❤Ư ✭✶✳✺✮ t❤á❛ ♠➲♥

❇➟♥ ❝➵♥❤ ❝➳❝ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t❛ ❝ị♥❣ ①Ðt ❝➳❝ ❤Ö s❛✐ ♣❤➞♥ t➢➡♥❣

ø♥❣✱ ①Ðt ❤Ö

x(k + 1) = f (k, x(k)), k = 0, 1, 2, ....
tr♦♥❣ ➤ã

f (.) : Z+ × Rn −→ Rn

x(0) = x0

❝❤♦ tr➢í❝✳

✭✶✳✻✮

❑❤✐ ➤ã ✈í✐ tr➵♥❣ t❤➳✐ ❜❛♥ ➤➬✉

❤Ư ❧✉➠♥ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tr✉② ❤å✐

x(1) = f (0, x0 ), x(2) = f (1, f (0, x(0))), ....
❑❤➳❝ ✈í✐ ❤Ư ✈✐ ♣❤➞♥✱ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ✭✶✳✻✮ ❧➭ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❦❤➠♥❣

❝➬♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❧✐➟♥ tơ❝ ❝ị♥❣ ♥❤➢ tÝ♥❤ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝đ❛ ❤➭♠

f (.).

❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❤Ư

✭✶✳✻✮ ❧➭ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞➵♥❣

x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k), k ∈ Z+ ,
t❤× ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉

x(0) = x0

✭✶✳✼✮

t✉ú ý ✈➭ ❞➲②

g = {g(0), g(1), ..., g(k − 1), ...},
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

♥❣❤✐Ư♠

x(k)

t➵✐ ❜➢í❝

k>0

❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤②

k−1

x(k) = F (k, 0)x0 +

F (k, s + 1)g(s),
s=0

tr♦♥❣ ➤ã

F (k, s)

❧➭ ♠❛ tr❐♥ ♥❣❤✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤✉➬♥ ♥❤✃t

x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z+ .
F (k, s)

❚❛ ❝ã t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❝đ❛

♥❤➢ s❛✉

F (k, s) = A(k − 1).A(k − 2)...A(s), k ≥ s ≥ 0, F (k, k) = I.
◆Õ✉

A(.)

❧➭

♠❛

tr❐♥

❤➺♥❣

t❤×

F (k, s) = Ak−s , k ≥ s ≥ 0

✈➭

❦❤✐

➤ã

♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞õ♥❣ ✈í✐ t❤ê✐ ❣✐❛♥ rê✐ r➵❝ ❧➭

k−1
k

Ak−s−1 g(s).

x(k) = A x0 +
s=0

➜Ĩ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ♥❣❤✐Ư♠ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✐ ♣❤➞♥ ♥❣➢ê✐ t❛ t❤➢ê♥❣ ❞ï♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣

t❤ø❝ q✉❛♥ trä♥❣ s❛✉✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶

Z+

✭❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ●r♦♥✇❛❧❧ rê✐ r➵❝ ❬✸❪✮✳

❧➭ ❝➳❝ ❞➲② sè ❦❤➠♥❣ ➞♠✱

❈❤♦

z(k), a(k) : Z+ −→

C ≥ 0 ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

k−1

z(k) ≤ C +

a(s)z(s), k = 1, 2, ..., z(0) ≤ C.
s=0

❑❤✐ ➤ã

k−1

z(k) ≤ C

(1 + a(s)), k = 1, 2, ....
s=0

✶✳✷

▲ý t❤✉②Õt ỉ♥ ➤Þ♥❤ ▲②❛♣✉♥♦✈

❳Ðt ♠ét ❤Ư t❤è♥❣ ♠➠ t➯ ❜ë✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ë tr➟♥✱ ❣✐➯ sư ❤➭♠

sè

f (.)

t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ❧✉➠♥ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✱ ❦❤✐ ➤ã

❞➵♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐

t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




x(t)

ị ĩ

ệ

ị

> 0, t0 0

ế ớ ỗ

s t ỳ ệ

ã


x(t)

ệ

>0

trì

trớ tồ t số

t

ổ ị tệ

y0 − x0 < δ

x(t)

◆❣❤✐Ö♠

tå♥

♣❤➢➡♥❣

y(t) : y(t0 ) = y(0)

❣ä✐ ❧➭

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐

➤ã

❤Ư

✭✶✳✶✮

δ>0

➤➢ỵ❝

❣ä✐

❧➭

ỉ♥

, t0

✭♣❤ơ t❤✉é❝

✮

y0 − x0 < δ

❝đ❛ ❤Ư t❤♦➯ ♠➲♥

y(t) − x(t) < , ∀t ≥ t0 .

t❤× t❛ ➤Ị✉ ❝ã

•

❝đ❛

❝➳❝

❣ä✐

❤➺♥❣

y(t) − x(t) < M e−αt

y(t) − x(t) → 0

tì

ổ ị ũ



số

ớ ọ

ế

, M



ế ó ổ ị ó ột số

ó



s

ổ



ị



t .

tệ



y0 x0

ế



t

<

tì

t t0 .
z = x−y y

◆❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ➤æ✐ ❜✐Õ♥

✭

❧➭ ệ t ỳ

trì ợ ề

z = F (t, z),
F (t, z) = f (t, z + y) − f (t, y), F (t, 0) = 0.

tr♦♥❣ ó

x(t)

ổ ị ủ ệ

tí

ổ

ị

ủ

ệ

0

ủ

ụ tộ

t

ã

ệ

>0
ã

, t0

x0 <



0,



tứ



x(t) <

ị

tệ

ổ

ể



> 0, t0 R+

x0 <

ớ ọ



tì

ế

lim



từ



f (t, 0) = 0, t ∈ R+ .

✮ s❛♦ ❝❤♦ ❜✃t ❦ú ♥❣❤✐Ư♠

t❤×

s❛♦ ❝❤♦ ♥Õ✉

♥ã

t❛

sÏ

①Ðt

❤Ư

❚❛ ♥ã✐

❝❤♦ tr➢í❝✱ tå♥ t➵✐ sè

x(t) : x(t0 ) = x(0)

❝đ❛ ❤Ư

t ≥ t0 .

ỉ♥

➤Þ♥❤

✈➭

t❤➟♠

✈➭♦

➤ã

tå♥

t➵✐

x(t) = 0.

t→∞

❍Ư ✭✶✳✶✮ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ♠ị ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ✈➭ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ❤➺♥❣

sè ❞➢➡♥❣

α, M

s❛♦ ❝❤♦ ♠ä✐ ệ

x(t) < M et

tì

ệ

ệ ổ ị ế ớ ỗ

>0

ó ứ sự

ó ủ ệ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉

✭✶✳✶✮ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ❤Ư ❝ã ♥❣❤✐Ư♠

•

✭✶✳✽✮

✈í✐ ♠ä✐

❝đ❛

(1.1) : x0 < δ

t ≥ t0 .

❚r♦♥❣ ❝➳❝ ị ĩ tr ế

ị tệ ợ ọ

x(t) : x(t0 ) = x0

ụ tộ

t0

tì sự ổ ị ổ

ổ ➤Þ♥❤ ➤Ị✉ ✭ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ➤Ị✉✮✳

❙ù ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ệ rờ r ợ ị ĩ t tự

ét ệ ✭✶✳✻✮ ë

tr➟♥✳

✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✷✳

δ >0 δ

tå♥ t➵✐

✭

x(0) < δ

❍Ư

✭✶✳✻✮

❣ä✐

, k0

♣❤ơ t❤✉é❝

x(k) <

tì

ổ ị ó ột số

ổ ị



ớ

ỗ

s ớ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ư♠

k ≥ k0 .

✈í✐ ♠ä✐

δ>0

♥Õ✉

s❛♦ ❝❤♦

lim

❍Ư ❧➭

x(k)

❝đ❛ ❤Ư ♠➭

ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥

x(k) = 0

t→∞

> 0, k0 ∈ Z+
♥Õ✉ ♥ã

✈í✐ ọ ệ

x(k)

x(0) < .

ý

tết

ị

tí



trì





ó







ủ

ế

ứ tí ổ ị ủ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ã ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ sè ♠ị ▲②❛♣✉♥♦✈

✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞ï♥❣ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✭♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ trù❝ t✐Õ♣✮✳

❚r♦♥❣ ♣❤➵♠

✈✐ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤Ø ♥➟✉ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝❤đ ②Õ✉ ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣

t❤ø ❤❛✐ ▲②❛♣✉♥♦✈✳

P❤➢➡♥❣

♣❤➳♣

t❤ø

❤❛✐

♥❣❤✐➟♥

❝ø✉

sù

ỉ♥

➤Þ♥❤

❧➭

♣❤➢➡♥❣

♣❤➳♣

❞ï♥❣

❤➭♠

▲②❛♣✉♥♦✈✱ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❝❤➢❛ ❝ã ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ tỉ♥❣ q✉➳t ♥➭♦

➤Ĩ t×♠ ợ tt trì

ét ệ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♣❤✐ t✉②Õ♥

t ∈ R+ .

x(t)
˙
= f (x(t)), f (0) = 0,
◆❤➽❝

❧➵✐✱

V (x) ≥ 0

♠ét

❤➭♠

✈í✐ ♠ä✐

x ∈ Rn

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✸✳
❣ä✐ ❧➭

sè

❍➭♠

V (x) : Rn −→ R
✈➭

V (x) = 0

V (x)

✭✐✐✮

✭✐✐✐✮

x = 0.

❧➭ ❧➞♥ ❝❐♥ t✉ú ý ❝ñ❛

V (x)

D.

∂V
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ D.

∂x

❣ä✐ ❧➭

❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❤➷t

♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭ t❤➟♠

✈➭♦ ➤ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ư♥ ✭✐✐✐✮ ❧➭ t❤ù❝ sù ➞♠ ✈í✐ ♠ä✐

♠ét ❧➞♥ ❝❐♥

✭✐✈✮

0,

❧➭ ❤➭♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳

Df V (x) :=

❍➭♠

❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

♥Õ✉

♥Õ✉

❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥

V (x)

❤➭♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣

V (x) : D ⊆ Rn −→ R, D

❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝ñ❛ ❤Ö ✭✶✳✾✮

✭✐✮

❧➭

✭✶✳✾✮

0

x

♥➺♠ ♥❣♦➭✐

♥➭♦ ➤ã✱ tø❝ ❧➭✿

∃c > 0 : Df V (x) ≤ −c

x , x ∈ D\{0}.

➜Þ♥❤ ❧ý ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ➤Ĩ ❤Ư ✭✶✳✾✮ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥✳

✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ị ý



ế ệ ó tì ổ ị ữ

ế ó t tì ệ ổ ị tệ ề
í ụ

ét ệ trì ✈✐ ♣❤➞♥

x˙1 = −2x31 + 2x2 , t ≥ 0,
x˙2 = −x1 − x32 .
▲✃② ❤➭♠

V (x) = x21 + 2x22 ,

t❛ ❝ã

Df V (x) = 2x1 x˙1 + 4x2 x˙2
= 2x1 (−2x31 + 2x2 ) + 4x2 (−x1 − x32 )
= −4(x41 + x42 ).
❉♦ ➤ã

✶✳✸

Df V (x) ≤ −4

x

4

<0

✈í✐

x=0

♥➟♥ ❤Ư ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥✳

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈➭ ❜ỉ ề ổ trợ

ổ ề

I + AB

sử

A, B

ị t❤×

❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣

(n × n)

❝❤✐Ị✉✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉

I + BA ị ữ

(I + BA)1 = I − B(I + AB)−1 A.
➜✐Ị✉ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ❝ị♥❣ ➤ó♥❣✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐➯ sư

I + AB

❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤✱ ❦❤✐ ➤ã

BA =B(I + AB)−1 (I + AB)A = B(I + AB)−1 A + B(I + AB)−1 ABA
=B(I + AB)−1 A(I + BA).
❱❐② t❛ ❝ã

(I + BA)−1 = I − B(I + AB)−1 A.
❈❤✐Ị✉ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➭♥ t♦➭♥ t➢➡♥❣ tù✳

❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✷✳

●✐➯ sư

A, B, C

tr

(n ì n)

ề

B

ị ó t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉✿

✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



❦❤➯


✭✐✮

B + AC

✭✐✐✮ ◆Õ✉

❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

B + AC

I + CB −1 A ❧➭ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳

❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t❤×

(B + AC)−1 = B −1 − B −1 A(I + CB −1 A)−1 CB −1 .
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✭✐✮ ❱×

B + AC = (I + ACB −1 )B
I + CB −1 A

❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✶ t❛ ❝ã

✭✐✐✮ ➜➷t

D = I + CB −1 A

♥➟♥

I + ACB −1

❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✱ t❤❡♦

❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳

t❤×

CB −1 A = D − I,

t❛ ❝ã

(B + AC)(B −1 − B −1 AD−1 CB −1 ) = (I + ACB −1 )(I − AD−1 CB −1 )
= (I + ACB −1 )(I − AD−1 CB −1 )
= I + ACB −1 − AD−1 CB −1 − A(CB −1 A)D−1 CB −1
= I + A(I − D−1 )CB −1 − A(D − I)D−1 CB −1
= I.

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸✳

❈➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣

A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳

✭✐✮
✭✐✐✮

∃c > 0, Ax, x ≥ c

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✹

x

2

, ∀x ∈ Rn .

✭❙②❧✈❡st❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭❬✻❪✮✮✳

▼❛ tr❐♥

A − (n × n) ❝❤✐Ò✉ ❧➭ ①➳❝

det(Di ) > 0, i = 1, 2, ..., n

➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ♥Õ✉

✈➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➞♠ ♥Õ✉

(−1)i det(Di ) > 0, i = 1, 2, ..., n tr♦♥❣ ➤ã


D1 = a11 , D2 =

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✺✳

a11 a12
a21 a22


a11 a12 a13
, D3 =  a21 a22 a23  , ..., Dn = A.
a31 a32 a33

❬✻❪ ▼ét ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✭➞♠✮ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø

❦❤✐ ♥ã ❝ã t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❞➢➡♥❣ ✭➞♠✮✳
❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✻✳

❈❤♦

❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥

A

❝ét

j

A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❦❤è✐ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ❦❤✐ ➤ã tÝ♥❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➞♠ ✭❞➢➡♥❣✮

sÏ ❦❤➠♥❣ t❤❛② ➤ỉ✐ ❦❤✐ t ị ợt ố ột

ố

i

ớ ố

i ✈í✐ ❦❤è✐ ❤➭♥❣ j.
✶✷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
❑❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t t❛ ❝♦✐

i < j.

●✐➯ sö ♠❛ tr❐♥ ❦❤è✐ ➤è✐ ①ø♥❣

A

❝ã ❞➵♥❣ ❞➵♥❣



A11
A
 21
· · ·


A
A =  i1
· · ·

 Aj1

· · ·
An1

A12
A22
···
Ai2
···
Aj2
···
An2

· · · A1i
· · · A2i
···
· · · Aii

···
· · · Aji
···
· · · Ani

❙❛✉ ❦❤✐ ❤♦➳♥ ✈Þ ❧➬♥ ❧ù➡t ❦❤è✐ ❝ét

❤➭♥❣

j,

♠❛ tr❐♥

A

i



A11
A
 21
· · ·


A
A =  j1
· · ·

 Ai1


· · ·
An1

A12
A22
···
Aj2
···
Ai2
···
An2

✈í✐ ❦❤è✐ ❝ét

A

trë t❤➭♥❤ ♠❛ tr❐♥


· · · A1n
· · · A2n 

··· 


· · · Ain 
.
··· 


· · · Ajn 

··· 
· · · Ann

· · · A1j
· · · A2j
···
· · · Aij
···
· · · Ajj
···
· · · Anj

j

✈➭ ❦❤è✐ ❤➭♥❣

i

✈í✐ ❦❤è✐

❝ã ❞➵♥❣

· · · A1j
· · · A2j
···
· · · Ajj
···
· · · Aij

···
· · · Anj


· · · A1n
· · · A2n 

··· 


· · · Ajn 
.
··· 

· · · Ain 

··· 
· · · Ann

· · · A1i
· · · A2i
···
· · · Aji
···
· · · Aii
···
· · · Ani

➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜ỉ ➤Ị t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ①➳❝ ị ủ

A

tr ố



A

t

t sử

A.

ì



A

♠❛ tr❐♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➞♠✱

❧➭ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❝đ❛

A.

❝ï♥❣ sè ❝❤✐Ị✉ ✈í✐

A

♥➟♥

λ

❧➭ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ♥➭♦ ➤ã ❝đ❛

det(A − λI) = 0, I

❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥ ✈Þ

❚❤❡♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ➤Þ♥❤ t❤ø❝ t❛ ❝ã

det(A − λI) = 0 ⇔ det(A − λI) = 0.
➜✐Ị✉ ➤ã ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ♥Õ✉

r✐➟♥❣ ❝đ❛

❝ã

λ < 0,

A.

ì

A



trị r ủ

A

tì ó ũ trÞ

❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➞♠ ♥➟♥ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✺ t❛

tø❝ ❧➭ ♠ä✐ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❝đ❛

A

❧➭ tr

A

ị

ề ợ ợ ứ ♠✐♥❤ ❤♦➭♥ t♦➭♥ t➢➡♥❣ tù✳

✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✼

❝❤✐Ị✉✱

✭❙❝❤✉r ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t ❧❡♠♠❛ ❬✶✺❪✮✳

❱í✐ ♠ä✐ ♠❛ tr❐♥

P − (n × n)

M − (n × m) ❝❤✐Ị✉ ✈➭ ♠❛ tr ố ứ ị Q (m ì m)

❝❤✐Ị✉✱ t❛ ❝ã

❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✽

❦❤✐ ❞ã

P MT
M −Q
✭

AT P A

❬✻❪✮✳

❈❤♦

< 0 ⇔ P + M T Q−1 M < 0.

P Rnìn

tr ố ứ ị

ũ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ♠❛ tr

A Rnìn .
ổ ề

ợ





E, H



F

tr❐♥ t❤ù❝ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ t❤Ý❝❤

F T F ≤ I. ❑❤✐ ➤ã ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✿
EF H T + HF T E T ≤ EE T +

−1

HH T ,

> 0.

✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

❈❤➢➡♥❣ ✷

ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❝➳❝ ❤Ư rê✐ r➵❝
ỉ

✷✳✶

✷✳✶✳✶

♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư rê✐ r➵❝

ỉ

♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

❳Ðt ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z+ .
❱í✐

x(0) = x0

✭✷✳✶✮

t❤× ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭✷✳✶✮ ❝❤♦ ❜ë✐

x(k) = Ak x0 .

➜Ĩ

x(k) → 0

A =q<1
ị ý







k

Ak 0



t

ị

k ,

ĩ

ổ

ị

tệ



tì



➤ã t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳

❍Ư ✭✷✳✶✮ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥

s❛✉ ①➯② r❛
✭✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét sè
✭✐✐✮|

q : 0 < q < 1 s❛♦ ❝❤♦

A = q < 1.

λ |< 1 ✈í✐ ♠ä✐ λ ∈ Sp(A).

❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣

x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z+ .
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✷

✭❬✸❪✮✳

➜è✐ ✈í✐ ❤Ư ✷✳✷ t❛ ❝ã ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤

✭✐✮ ❍Ư ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐
♠ä✐

✭✷✳✷✮

q ∈ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦

A(k) ≤ q

k ∈ Z+ .
✶✺

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



✈í✐


✭✐✐✮ ◆Õ✉

A(k) = A+C(k) tr♦♥❣ ➤ã A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭

❦❤✐ ➤ã ❤Ư sÏ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✈í✐
❱Ý ❞ơ ✷✳✶✳✸✳

C(k) ≤ a,

a ➤đ ♥❤á✳

❳Ðt ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

1
1
x(k) +
yk ,
2(k + 1)
4(k + 1)
1

y(k + 1) = −
yk , k ∈ Z+ ,
2(k + 1)


x(k + 1) =

tr♦♥❣ ➤ã


1
1

1)  .
A(k) =  2(k + 1) 4(k +

1
0

−
2(k + 1)
3
3
A(k) =
≤ =q<1
4(k + 1)
4


❉Ơ t❤✃②

✷✳✶✳✷

ỉ

♥➟♥ ❤Ư ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥✳

♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư rê✐ r➵❝ ♣❤✐ t✉②Õ♥

➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✹

✭➜Þ♥❤ ❧ý ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❤♦ ❤Ư rê✐ r➵❝✮✳

❳Ðt ❤Ư rê✐ r➵❝

x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z+ .
◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➭♠ sè
✭✐✮
✭✐✐✮

✭✷✳✸✮

V (x) : Rn → R t❤♦➯ ♠➲♥✿

∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1

x(k)

2

≤ V (x) ≤ λ2

x(k)

2

.

∃λ3 > 0 : ∆V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) ≤ −λ3

x((k))

2

,

k = 0, 1, 2, ..., ♠ä✐ ♥❣❤✐Ư♠ x(k) ❝đ❛ ❤Ư ✭✷✳✸✮✳
❑❤✐ ➤ã ❤Ư ✷✳✸ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥✳
❍Ư q✉➯ ✷✳✶✳✺✳

❳Ðt ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z+ .
◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤❛✐ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣

✭✷✳✹✮

P, Q s❛♦ ❝❤♦

AT P A − P + Q = 0,
t❤× ệ trì ổ ị tệ


S húa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❳Ðt

❤➭♠

V (x) = x(k)T P x(k).

sè

(i)

❞➢➡♥❣ ♥➟♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥

❉♦

P

❧➭

♠❛

tr❐♥

➤è✐

①ø♥❣

①➳❝

➤Þ♥❤

❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✹ ➤➢➡♥❣ ♥❤✐➟♥ t❤♦➯ ♠➲♥✳

▼➷t ❦❤➳❝ t❛ ❝ã

V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) = x(k + 1)T P x(k + 1) − x(k)T P x(k)
= x(k)T AT P Ax(k) − x(k)T P x(k) = x(k)T (AT P A − P )x(k)
= −x(k)T Qx(k) ≤ −λmax (Q)

x(k)

2

.

❱❐② t❛ ❝ã ➤✐Ị✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❱Ý ❞ơ ✷✳✶✳✻✳

❳Ðt ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤



x(k + 1) = − 1 x(k) + 1 y(k), k ∈ Z+ ,
2
8
1
1

y(k + 1) = x(k) − y(k),
2
4
tr♦♥❣ ➤ã




1 1
 −

A =  12 81  .

−
2
4
▲✃② ♠❛ tr❐♥

4 0
.
0 6

P =
❘â r➭♥❣

P >0

T

A PA =

✈➭

3 − 45
, Q = P − AT P A =
5
9
− 4 16

1
5
4

5
4
119
16

> 0,

❞♦ ➤ã ❤Ư tr➟♥ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥✳

➜è✐ ✈í✐ ❤Ư ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣ ❝ã ♥❤✐Ơ✉ ♣❤✐ t✉②Õ♥ t❛ ó ị ý s

ị ý

ét ệ trì

x(k + 1) = A(k)x + g(k, x), k ∈ Z+ .

✭✷✳✺✮

●✐➯ sö
✭✐✮ ❚å♥ t➵✐
✭✐✐✮

q ∈ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦

g(k, x) ≤ L(k)

A(k) ≤ q, ∀k ∈ Z+ .

x , ∀k ∈ Z+

✈í✐

lim supL(k) = 0.

k→∞

❑❤✐ ➤ã ❤Ư ✭✷✳✺✮ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥✳

✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
◆❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ✭✷✳✺✮ ❧➭

k−1

x(k) = F (k, 0)x0 +

F (k, s + 1)g(s, x(s)),
s=0

tr♦♥❣ ➤ã

F (k, s)

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❤Ư t✉②Õ♥ tÝ♥❤

x(k + 1) = A(k)x(k).

❚õ ➤ã t❛ ❝ã ➤➳♥❤ ❣✐➳

k−1

x(k)

≤ F (x, 0)x0

+

F (k, s + 1)g(s, x(s))
s=0

k−1

≤ qk

x0

q k−s−1 L(s)

+

x(s)

.

s=0
❙ư ❞ơ♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ●r♦♥✇❛❧❧ rê✐ r➵❝ t❛ ➤➢ỵ❝

k−1

x(k) ≤ x0

(q + L(s)).
s=0

▼➷t ❦❤➳❝ ✈×

lim supL(k) = 0

✈➭

k→∞
♠ét sè

N >0

q < 1,

♥➟♥ ❝ã ♠ét sè

>0

➤đ ♥❤á ✈➭

➤đ ❧í♥ s❛♦ ❝❤♦

q + L(k) < q + , ∀k > N.
❉♦ ➤ã✱

(q + L(0))(q + L(N − 1))(q + )k−N , ∀k > N.

x(k) ≤ x0
❚õ ó s r



ổ

x(k) 0



k .

ị ý ợ ứ ♠✐♥❤✳

♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❤Ư rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã trƠ

❳Ðt ❤Ư rê✐ r➵❝ ❝ã trƠ

x(k + 1) = Ax(k) + Bx(k − h), k ∈ Z+ ,
tr♦♥❣ ➤ã

x(.) ∈ Rn , A, B

❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣✱

h≥0

✭✷✳✻✮

❝❤♦ tr➢í❝✱ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜❛♥

➤➬✉ ❝đ❛ ❤Ư ❧➭

x(0) = x(−1) = ... = x(−h) = x0 .
✶✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ớ ỗ

k

ợ tr ồ từ

ị ĩ

x0

kh

ớ trớ ➤ã✳

❍Ư ✭✷✳✻✮ ❣ä✐ ❧➭

h≥0

♥Õ✉ ✈í✐ ❜✃t ❦ú

❝❤♦ tr➢í❝ ❤Ư ❧✉➠♥ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤✱ ♥❣❤✐Ư♠ ë ❜➢í❝

ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ➤é ❝❤❐♠

♥➭♦ t❤× ❤Ư ❝ị♥❣ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥✳

➜Ĩ ➤➡♥ ❣✐➯♥ t❛ ✈➱♥ ♥ã✐ ❤Ư ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ t❤❛② ❝❤♦ ♥ã✐ ❤Ư ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠

❝❐♥ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ➤é ❝❤❐♠✳

➜Þ♥❤ ❧ý ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ➤Ĩ ❤Ư

✭✷✳✻✮ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✾✳

❬✶✹❪ ❍Ư ✭✷✳✻✮ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥

s❛✉ ➤➞② ①➯② r❛
✭✐✮ ❚å♥ t➵✐ ❤❛✐ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣

X(P ) B T P A
AT P B −W

tr♦♥❣ ➤ã

s❛♦ ❝❤♦

< 0,

✭✷✳✼✮

X(P ) = AT P A + W + B T P B − P.

✭✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ❤❛✐ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣

X(Π) AT ΠB
B T ΠA −Z
tr♦♥❣ ➤ã

P, W

Π, Z

s❛♦ ❝❤♦

< 0,

✭✷✳✽✮

X(Π) = B T ΠB + Z + AT ΠA − Π.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❳Ðt ❤➭♠

k−1
T

xi (k)T Qxi (k),

Vk (x) = x(k) P x(k) +
i=k−h
❝❤♦ ❤Ư ✭✷✳✻✮✳

❉ä❝ t❤❡♦ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ö ✭✷✳✻✮ t❛ ❝ã

Vk =Vk+1 (x) − Vk (x)
=x(k + 1)T P x(k + 1) + x(k)T Qx(k) − x(k)T P x(k) − x(k − h)T Qx(k − h)
=[x(k)T AT + x(k − h)T B T ]P [Ax(k) + Bx(k − h)]
+ x(k)T Qx(k) − x(k)T P x(k) − x(k − h)T Qx(k − h)
✶✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




=x(k)T [AT P A + Q − P ]x(k) + 2x(k)T AT P Bx(k − h)
T

✭✷✳✾✮

T

+ x(k − h) [B P B − Q]x(k − h).

✭✐✮ ➜➢❛ ✭✷✳✾✮ ✈Ò ❞➵♥❣ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ s❛✉

∆Vk = − [M x(k − h) + N x(k)]T [M x(k − h) + N x(k)]
+ x(k)T [N T N + AT P A + Q − P ]x(k)
= − x(k − h)T M T M x(k − h) − 2x(k)T N T M x(k − h)

✭✷✳✶✵✮

+ x(k)T [AT P A + Q − P ]x(k).
➜å♥❣ ♥❤✃t ✭✷✳✶✵✮ ✈➭ ✭✷✳✾✮ t❛ ➤➢ỵ❝

M T M = Q − B T P B,
N T M = −AT P B.
➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ ❝ã ♠❛ tr❐♥

M

❧➭

Q − B T P B > 0.

✭✷✳✶✶✮

❑❤✐ ➤ã

1

M = [Q − B T P B] 2
✈➭

1

N = −[Q − B T P B]− 2 B T P A.
❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✹✱ ❤Ư ✭✷✳✻✮ sÏ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ ❝ã ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✷✳✶✶✮

✈➭

N T N + AT P A + Q − P < 0,

✭✷✳✶✷✮

tø❝ ❧➭

AT P B[Q − B T P B]−1 B T P A + AT P A + Q − P < 0.
➜➷t

W = Q − BT P B

t❤×

Q = W + B T P B,

t❛ ❝ã

AT P BW −1 B T P A + AT P A + W + B T P B − P < 0.
❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✭✶✳✸✳✼✮ t❛ ❝ã ➤✐Ị✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✷✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✭✐✐✮ ◆Õ✉ ➤➢❛ ✭✷✳✾✮ ✈Ò ❞➵♥❣ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ s❛✉

ˆ x(k − h) + N
ˆ x(k)]T [M
ˆ x(k − h) + N
ˆ x(k)]
Vk = − [M
ˆ TM
ˆ + B T P B − Q]x(k − h)
+ x(k − h)T [M
ˆTM
ˆ x(k − h) − x(k)T N
ˆTN
ˆ x(k)
= − 2x(k)T N
+ x(k − h)T B T P Bx(k − h).
❇➺♥❣ ❧ý ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù t❛ ❝ị♥❣ ❝ã ➤✐Ị✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❱Ý ❞ơ ✷✳✶✳✶✵✳

❳Ðt ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

x(k + 1) = − 41 x(k) + 41 x(k − h) + 14 y(k − h),
y(k + 1) = 41 x(k) + 14 y(k) + 14 y(k − h),
tr♦♥❣ ➤ã

− 41 0

A=

1
4

1
4

,B =

1
4

0

1
4
1
4

.

▲✃②

16 0
,Q =
0 16

P =

râ r➭♥❣

P, Q

2 1
,
1 6

❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✈➭

BT P B =

1 1
.
1 2

❑❤✐ ➤ã

W = Q − BT P B =

1 0
0 4

> 0.

❚õ ➤ã t❛ ①➳❝ ị ợ

1

M =W2 =

1
1 0
, N = W 2 B T P A =
0 2

1 0
.
0 − 12

❚❛ ❝ã

N T N + AT P A + Q − P =
❱❐② tå♥ t➵✐ ♠❛ tr❐♥

P, W

−11 2
2 − 35
4

< 0.

t❤♦➯ ♠➲♥ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➟♥ ❤Ư ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥✳

✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

❍Ư q✉➯ ✷✳✶✳✶✶✳

❍Ư ✷✳✻ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ♥Õ✉ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ①➯②

r❛✿
✭✐✮ ❚å♥ t➵✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣

P, R, Λ, Ω ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣

❤Ư

AT Λ−1 A + Ω + R = P,
BΩ−1 B T + Λ = P −1 .
✭✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣

✭✷✳✶✸✮

Π, S, Γ, Σ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣

❤Ư

B T Σ−1 B + Γ + S = Π,
✭✷✳✶✹✮

AΓ−1 AT + Σ = Π−1 .
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
✭✐✮ ❚õ ✭✐✮ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✾ t❛ ❝ã ❤Ư ✷✳✻ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ♥Õ✉

X(P ) B T P A

AT P B −W
tr♦♥❣ ➤ã

< 0,

X(P ) = AT P A + W + B T P B − P.

❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✼ ➤✐Ị✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

AT [P BW −1 B T P + P ]A + [W + B T P B] − P < 0.
❚ø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣

R

s❛♦ ❝❤♦

AT [P BW −1 B T P + P ] + [W + B T P B] + R = P.
❑ý ❤✐Ö✉

Λ−1 = P BW −1 B T P + P,

✭✷✳✶✺✮

✈➭ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✷ t❛ ➤➢ỵ❝

Λ = P −1 − B[W + B T P B]−1 B T .

✭✷✳✶✻✮

❑ý ❤✐Ö✉

Ω = W + B T P B,
t❤×

AT Λ−1 A + Ω + R = P.
✷✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❚õ ✭✷✳✶✻✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝

BΩ−1 B T + Λ = P −1 .
✭✐✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ✭✐✮ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ sư ❞ơ♥❣ ✭✐✐✮ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✾ ✈í✐

✈✐Ư❝ ➤➷t

Σ−1 = Π + ΠAZ −1 AT Π,
✈➭

Γ = Z + AT ΠA.
❈❤ó ý r➺♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤ỉ✐

Z = AT ΠBW −1 B T ΠA.
❞➢➡♥❣

P, W

❞➢➡♥❣

Π, Z

P = Π, W = B T P AZ −1 AT P B

t❤× ❝ã ♥❣❛②

❉♦ ➤ã ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ị

ể ú tì ũ tồ t tr ố ứ ị

ể ú ợ

ệ q✉➯ ✷✳✶✳✶✷✳

❍Ư ✷✳✻ ❧➭ ỉ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ư♠ ❝❐♥ ♥Õ✉

tå♥ t➵✐ ❤❛✐ sè ❞➢➡♥❣

p, q

A ❤♦➷❝ B

❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ✈➭

s❛♦ ❝❤♦

1 1
+ =1
p q

✈➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣

X, Q

✭✷✳✶✼✮

t❤♦➯ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ▲②❛✲

♣✉♥♦✈ tỉ♥❣ q✉➳t

pAT XA + qB T XB + Q = X.

✭✷✳✶✽✮

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐➯ sö

B

❧➭ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳ ❘â r➭♥❣ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ s❛✉ ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣

1
P = X, R = Q, Λ = X −1 , Ω = qB T XB.
p
❚õ ✭✷✳✶✽✮ t❛ ❝ã

AT Λ−1 A + Ω + R = P.
❉♦

B

❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ♥➟♥

1
X = (B T )−1 ΩB −1
q
✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên