Phép chiếu vuông góc và một số ứng dụng

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ LIỄU

PHÉP CHIẾU VNG GĨC VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ LIỄU

PHÉP CHIẾU VNG GĨC VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chun ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ơ❝ ❧ơ❝

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉
✶

✷

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥✳

✹

✶✳✶ ❚❐♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✶✳✶ ❚ỉ ❤ỵ♣ ❧å✐✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✶✳✷ ❚❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✶✳✸ ◆ã♥ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✷ ❍➭♠ ❧å✐✳
✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸

P❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ❧➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✳

✶✽

✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✷ ❍×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❧➟♥ ♠ét sè t❐♣ q✉❡♥ t❤✉é❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
✸

▼ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉✳

✷✽

✸✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤ t❐♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✸✳✷

❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸

✸✳✸ ●✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺

✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

●✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ❧➭ ❜é ♠➠♥ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤✐Ư♥ ➤➵✐✱ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị t❐♣ ❧å✐
✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝ï♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈✃♥ ➤Ị ❧✐➟♥ q✉❛♥✳ ❇é ♠➠♥ ♥➭② ❝ã ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣
tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝đ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ tr♦♥❣ tè✐
➢✉ ❤ã❛✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳✳✳
▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈✃♥ ➤Ị q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ➤ã ❧➭ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉
✈✉➠♥❣ ❣ã❝✳ ➜➞② ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ơ s➽❝ ❜Ð♥ ✈➭ ❦❤➳ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
♥❤✐Ị✉ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛♥ trä♥❣ ♥❤➢ ➜Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ①✃♣ ①Ø t❐♣ ❧å✐✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✈Ị
tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳✳✳◆❤÷♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❞ù❛
✈➭♦ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ t❤➢ê♥❣ ♠❛♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❦✐Õ♥ t❤✐Õt✱ ❣ỵ✐ ♠ë ➤Õ♥ ♥❤✐Ị✉ ✈✃♥ ➤Ị
❦❤➳❝✳
❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ t❐♣ tr ệ trì ị ĩ
ệ tí ❝❤✃t ❝ï♥❣ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉✳ ❉ù❛
✈➭♦ ➤ã✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ t❤✉❐t t♦➳♥ ➤Ĩ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ●✐➯✐ q✉②Õt ợ t t tứ ế tì ú
t ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ r❛ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝❤♦ r✃t ♥❤✐Ị✉ ✈✃♥ ➤Ị ❦❤➳❝✳ ❇ë✐ ✈× ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣
tè✐ ➢✉ ❤ã❛✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈❐t ❧ý t♦➳♥ ✈➭ ♥❤✐Ị✉ ✈✃♥ ➤Ị tr♦♥❣ tế ỹ tt
t tịề ợ t ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ➤ã✳
➜Ị t➭✐ ❜❛♦ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ tr➢í❝ ❤Õt ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭②
♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❈❤ó♥❣ ❧➭ ữ ụ
t ữ ứ ợ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❈❤➢➡♥❣ ✷

❧➭ ♠ét ❝❤➢➡♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣

t➠✐ ❞➭♥❤ ➤Ĩ ♥ã✐ r✐➟♥❣ ✈Ị ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉✳
ệt ú t trì tứ ị ì ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❧➟♥ s✐➟✉
❤é♣✱ ❤×♥❤ ❝➬✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝đ❛

Rn .

❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐Õt r➺♥❣
❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ủ ột ể t ồ ó rỗ tr

Rn

tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❉ù❛ ✈➭♦ ➤ã✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤Ị ❝❐♣ ➤Õ♥ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣

✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❝đ❛ ♥ã✳ ❈ơ t❤Ĩ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈➭♦
❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ị s❛✉✿ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ❝đ❛
❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐✱ ①➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ t tứ ế
ữ ề ợ trì tết ở
ợ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝đ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➟
❉ị♥❣ ▼➢✉✳ ◆❤ê ❚❤➬②✱ t➠✐ ➤➲ ❜➢í❝ ➤➬✉ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈➭ s❛② ♠➟ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ ✈✐Ư❝
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t♦➳♥✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬②✳
➜å♥❣ t❤ê✐ t➠✐ ❝ị♥❣ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲

❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❱✐Ö♥ t♦➳♥
❤ä❝ t tì ú t ợ ữ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈➭ t➵♦
➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝ỉ ✈ị ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐
tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳

❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ◆❣➭②

28 t❤➳♥❣ 09 ♥➝♠ 2009
❍ä❝ ✈✐➟♥

❍♦➭♥❣ ❚❤Þ ▲✐Ơ✉

✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❈❤➢➡♥❣ ✶

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥✳

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ trì ữ ệ tr
tí ồ ❝ï♥❣ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ ♥ã ♥❤➢ t ồ t
ó ồ ồ



ồ

ữ t ợ q✉❡♥ t❤✉é❝ ♠➭ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ♥❤➢ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✱ s✐➟✉
♣❤➻♥❣✳✳✳ ➤Ị✉ ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị t❐♣ ❧å✐ ❝ã ♠ét ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣
❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✳ r ú t trì ị ĩ tí ❝❤✃t ❝đ❛
t❐♣ ❧å✐✱ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ư♥✱ ♥ã♥ ồ


ổ ợ ồ

ị ĩ

ã ột

ờ t

ể ét

ố ➤✐Ĩ♠ ✭✈Ð❝t➡✮

a ✈➭ b tr♦♥❣ Rn ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ t✃t ❝➯

x ∈ Rn ❝ã ❞➵♥❣
{x ∈ Rn | x = (1 − λ)a + λb, λ ∈ R}.

• ▼ét

➤♦➵♥ t❤➻♥❣

➤✐Ĩ♠ ✭✈Ð❝t➡✮

♥è✐ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮

a ✈➭ b tr♦♥❣ Rn ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝

x ∈ Rn ❝ã ❞➵♥❣
{x ∈ Rn | x = (1 − λ)a + λb, 0 ≤ λ ≤ 1} .

✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




ị ĩ

ột t

C Rn ợ ọ ột t❐♣ ❧å✐ ♥Õ✉ C ❝❤ø❛ ♠ä✐

➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ❦ú ❝đ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭

C ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
x ❧➭ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ✭✈Ð❝t➡✮x1 , . . . , xk ♥Õ✉

❚❛ ♥ã✐

k

k
i

i

n

λi x , x ∈ R , λi ≥ 0, ∀i = 1, . . . , k,

x=

λi = 1.

i=1

i=1

✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✮✳ ❚❐♣

▼Ư♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✸✳

C ⊆ Rn

❧➭ ❧å✐ ❦❤✐

C

❧➭ ❧å✐ ❦❤✐

✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã ❝❤ø❛ ♠ä✐ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭✱

✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

k

k
1

∀k ∈ N, ∀λ1 , . . . , λk > 0 :

k

λi xi ∈ C.

λi = 1, ∀x , . . . , x ∈ C ⇒
i=1

i=1

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✿

❙✉② r❛ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐ ø♥❣ ✈í✐

➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✿

k = 2.

❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ sè ➤✐Ó♠✳

k = 1 : ❍✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥✳

k = 2 : ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s✉② r❛ ♥❣❛② tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐
✈➭ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐✳
●✐➯ sư ♠Ư♥❤ ➤Ị ➤ó♥❣ ✈í✐
❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉

k − 1 ➤✐Ĩ♠✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♥ã ➤ó♥❣ ✈í✐ k ➤✐Ĩ♠✳

x ❧➭ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐ ❝đ❛ k ➤✐Ĩ♠ x1 , . . . , xk ∈ C, tø❝ ❧➭ ✿
k

k
i

λi x , λi > 0, ∀i = 1, . . . , k,

x=
i=1

λi = 1.
i=1

k−1

●✐➯ sö

λk > 0, ➤➷t ✿ α =

λi ✳ ❑❤✐ ➤ã 0 < α < 1 ✈➭
i=1

k−1

k−1
i

x=

k

λi x + λk x = α
i=1

❉♦

i=1

λi i
x + λk xk .
α

λi
> 0 ∀i = 1, . . . , k − 1 ✈➭
α
k−1

i=1

λi
=1
α

✺

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




♥➟♥ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❤× ➤✐Ĩ♠
k−1

y=
i=1

❚❛ ❝ã ✿

λi i
x ∈ C.
α
k

x = αy + λk xk . ❉♦ α > 0, λk > 0 ✈➭ α + λk =

λi = 1 ♥➟♥
i=1

x ❧➭ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐ ❝đ❛ y ✈➭ xk ➤Ị✉ t❤✉é❝ C ✳
❱❐②

x ∈ C.

❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐✱ t❛ s✉② r❛ ❧í♣ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ❧➭ ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❣✐❛♦✱
♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ➤➵✐ sè ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ tÝ❝❤ ❉❡❝❛st❡s✳
▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✹✳
tr♦♥❣

Rn ✱ C

✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷✮✳ ◆Õ✉

❧➭ t❐♣ ❧å✐ tr♦♥❣

A, B

❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐

Rm

t❤× ❝➳❝ t❐♣ s❛✉ ❧➭ ❧å✐

A ∩ B = {x | x ∈ A, x ∈ B} ,
αA + βB = {x | x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} ,
A × C = {x ∈ Rm+n | x = (a; c), a ∈ A, c ∈ C} .
✶✳✶✳✷

❚❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ư♥✳

❚r♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥✱ t❛ ➤➲ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈í✐ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✱ ❝➳❝ s✐➟✉
♣❤➻♥❣✳✳✳➜ã ❧➭ ❝➳❝ trờ ợ r ủ t ợ ị ĩ s
ị ĩ

ột t

C ợ ọ t ế ♥ã ❝❤ø❛ ♠ä✐ ➤➢ê♥❣

t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭ ✿

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✻✳

❛✮ ❚❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐✳
❜✮ ▼ä✐ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tr♦♥❣

Rn ➤Ị✉ ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✳

▼Ư♥❤ ➤Ị ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❛ t❤✃② t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➯♥❤ tÞ♥❤ t✐Õ♥ ❝đ❛ ♠ét
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✳

✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✼✳
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐
❣✐❛♥ ❝♦♥

✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✸✮✳ ❚❐♣ M

M = L+a

✈í✐

L

= ∅ ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✈➭

a ∈ M.

❑❤➠♥❣

L ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✿

❑❤✐ ➤ã
❱❐②

●✐➯ sư

M ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ✈➭ a ∈ M ✳

L = M − a ❝❤ø❛ 0 ✈➭ ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✳ ❉♦ ➤ã✱ L ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✳

M = L + a.

➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✿

◆Õ✉

M = L + a ✈í✐ a ∈ M ✱ L ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ t❤×

∀x, y ∈ M, λ ∈ R, t❛ ❝ã✿
(1 − λ)x + λy = a + (1 − λ)(x − a) + λ(y − a).
❉♦

x − a, y − a ∈ L ✈➭ L ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ♥➟♥
(1 − λ)(x − a) + λ(y − a) ∈ L.
=⇒ (1 − λ)x + λy ∈ M.

❱❐②

M ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥

L ë tr➟♥ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ M = L + a ✈➭

M = L + a , tr♦♥❣ ➤ã L, L ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✈➭ a, a ∈ M t❤×
L = M − a = L + a − a = L + (a − a ).
❉♦

a ∈ M = a + L ♥➟♥ a − a ∈ L.
=⇒ L = L + (a − a ) = L.
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥

s♦♥❣

✈í✐ t

L tr ệ ề tr ợ ọ
M

ị ĩ ✶✳✶✳✽✳ ❚❤ø ♥❣✉②➟♥✭

✈í✐ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ s♦♥❣

M ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

❤❛② ❝❤✐Ị✉✮ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥

t❤ø ♥❣✉②➟♥✭

❤❛② ❝❤✐Ị✉✮ ❝đ❛

L s♦♥❣ s♦♥❣

M ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉

❧➭ ❞✐♠M ✳
➜✐Ĩ♠

a ∈ Rn ❧➭ t❐♣ ❛✲ ♣❤✐♥ ❝ã sè ❝❤✐Ị✉ ❜➺♥❣ 0 ❜ë✐ ✈× ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥

s♦♥❣ s♦♥❣ ✈í✐

M = {a} ❧➭ L = {0}✳
✼

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✾✳

M ⊆ Rn

✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✹✮✳ ❇✃t ❦ú ♠ét t❐♣ ❛✲ ♣❤✐♥

❝ã sè ❝❤✐Ò✉ r ➤Ò✉ ❝ã ❞➵♥❣

M = {x ∈ Rn | Ax = b}
❚r♦♥❣ ➤ã✿

A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝✃♣ (m × n), b ∈ Rm

◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ♠ä✐ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝ã ❞➵♥❣ ✭✶✳✶✮ ✈í✐

✈➭

(1.1)
rank A = n − r.

rank A = n − r

➤Ò✉ ❧➭ t❐♣

❛✲♣❤✐♥ ❝ã sè ❝❤✐Ị✉ ❧➭ r✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✿

●✐➯ sư

M ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝ã sè ❝❤✐Ị✉ ❧➭ r ✈➭ M = L + a ✈í✐

a ∈ M ✳ ❱❐② L = M − a ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ ❧➭ r✳
❚❤❡♦ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ r ✲ ❝❤✐Ò✉ ♥➭② ❝ã ❞➵♥❣ ✿

L = {x | Ax = 0}
tr♦♥❣ ➤ã

A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝✃♣ m × n ✈➭ rank A = n − r. ❚õ M = L + a s✉② r❛
M = {x | A(x − a) = 0} = {x | Ax = Aa = b} .

➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✿

◆Õ✉

M ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ✭✶✳✶✮ ✈í✐ a ∈ M ✱ t❛ ❝ã Aa = b✱ ❞♦ ➤ã

M = {x | A(x − a) = 0} = a + L
✈í✐

L = {x | Ax = 0} .

❉♦ r❛♥❦A

= n − r ♥➟♥ L ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝ã sè ❝❤✐Ị✉ r✳

❱❐② ❞✐♠ ▼ ❂ r✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

ã tr Rn t ợ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ã ❞➵♥❣
{x ∈ Rn | a, x = α}
tr♦♥❣ ➤ã ✿
❱Ð❝t➡

a ∈ Rn \ {0} , α ∈ R.

a ë tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈Ð❝t➡ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ❝đ❛ s

ãử ó ột t ợ ó ❞➵♥❣✿
{x | a, x ≤ α} , {x | a, x ≥ α}
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




tr♦♥❣ ➤ã ✿

a ∈ Rn \ {0} , α ∈ R.

ã ử ở ột t ợ ó ❞➵♥❣✿

{x | a, x > α} , {x | a, x < α} .
tr♦♥❣ ➤ã ✿

a ∈ Rn \ {0} , α ∈ R.

◆❤➢ ✈❐② ♠ét s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ❝❤✐❛ ❦❤➠♥❣ r ử ỗ
ử ë ✈Ị ♠ét ♣❤Ý❛ ❝đ❛ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳ ◆Õ✉ ❤❛✐ ♥ư❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♥➭②
➤ã♥❣ t❤× ♣❤➬♥ ❝❤✉♥❣ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ s
ị ĩ

ột t ợ ợ ọ t ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ư♥✱ ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ❣✐❛♦

❝đ❛ ♠ét sè ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ♥ư❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤ã♥❣✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✷✳
tù❛

t➵✐

❈❤♦

x0 ∈ C. ❚❛ ♥ã✐ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ a, x = α ❧➭ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣

x0 ♥Õ✉
a, x0 = α,

❚❛ ♥ã✐

H = x | a, x − x0 ≤ 0 ❧➭ ♥ö❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ tù❛ ❝đ❛ C t➵✐ x0 .

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✸✳

❚❐♣

t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ♥❤á ♥❤✃t ❝❤ø❛
❑❍✿ ❛❢❢

C ⊆ Rn ✱ ❣✐❛♦ ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝❤ø❛ C ❧➭
C ✱ ❣ä✐ ❧➭ ❜❛♦ ❛✲ ♣❤✐♥ ❝đ❛ C

C.

▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✶✹✳

C

a, x ≥ α, ∀x ∈ C.

✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✸✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷ ✮✳ ❇❛♦ ❛✲ ♣❤✐♥ ❝đ❛ t❐♣

❧➭ t❐♣ ❜❛♦ ❣å♠ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝ã ❞➵♥❣

x = λ1 x1 + . . . + λk xk
s❛♦ ❝❤♦

xi ∈ C, λ1 + . . . + λk = 1 ✈➭ k ∈ N.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐➯ sö

❈❤♦

M ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝ã ❞➵♥❣ ✭✶✳✷✮✳

x, y ∈ M. ị ĩ ủ M t ó
k

i xi

x=
i=1
h

y=

àj yj
j=1


S hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



(1.2)


tr♦♥❣ ➤ã

xi ∈ C, ∀i = 1, . . . , k; yj ∈ C, ∀j = 1, . . . , h
k

h

i =
i=1

ì ỗ

àj = 1.
j=1

(0; 1)✱ t❛ ❝ã ✿
k

h
i

z = (1 − α)x + αy =
i=1

❉♦

k

j=1

h

(1 − α)λi +

αµj = (1 − α) + α = 1

i=1

♥➟♥

j=1

z = (1 − α)x + αy ∈ M.

❚õ ➤ã s✉② r❛

M ❧➭ t❐♣ ❛ ✲ ♣❤✐♥ ✱ ❛❢❢C ⊂ M.
k

▼➷t ❦❤➳❝✿ ❉Ơ ❞➭♥❣ t❤✃② r➺♥❣ ♥Õ✉
t❤×

λi xi ✈í✐ xi ∈ C,

i=1

k

λi = 1
i=1

M ❂ ❛❢❢E.

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✺✳

❛❢❢

x =

x ∈ ❛❢❢C. ❉♦ ➤ã M ⊂ ❛❢❢C

❱❐②

µj y j .

(1 − α)λi x +

❈➳❝ ➤✐Ó♠

x1 , . . . , xk ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

➤é❝ ❧❐♣ ❛✲♣❤✐♥

♥Õ✉

x1 , . . . , xk ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ ❧➭ ❦✱ tø❝ ❧➭✱ ♥Õ✉ ❝➳❝ ✈Ð❝ t➡ x1 −xk , . . . , xk−1 −xk

❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳
❍Ö q✉➯ ✶✳✶✳✶✻✳ ❇❛♦ ❧å✐ ❛✲♣❤✐♥
tr♦♥❣

Rn

❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥

▼ä✐ ➤✐Ĩ♠

x∈M

M

❝đ❛ t❐♣

k ➤✐Ĩ♠ ➤é❝ ❧❐♣ ❛✲♣❤✐♥ x1 , . . . , xk

(k − 1)− ❝❤✐Ị✉✳

❝ã t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❞✉② ♥❤✃t ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ✿

k

k
i

x=

λi x ,
i=1

✶✳✶✳✸

λi = 1.
i=1

◆ã♥ ❧å✐✳

❚r♦♥❣ tè✐ ➢✉ ❤ã❛✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ❧ý t❤✉②Õt trß ❝❤➡✐ ✈➭ ♥❤✐Ị✉ ❜é
♠➠♥ t♦➳♥ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❦❤➳❝✱ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ♥ã♥ ❝ã ♠ét ✈❛✐ trß q✉❛♥ trọ
ị ĩ

ột t

C ợ ọ ó ế

x C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ t❛ t❤✃② r➺♥❣ ❣è❝ tä❛ ➤é ❝ã t❤Ó t❤✉é❝ ♥ã♥ ❤♦➷❝ ❦❤➠♥❣
t❤✉é❝ ♥ã♥✳ ❉Ü ♥❤✐➟♥ ♠ét ♥ã♥ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐✳
❱Ý ❞ô

C = {x ∈ R | x = 0}
❧➭ ♠ét ♥ã♥ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧å✐✳
▼ét ♥ã♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ♥❤ä♥ ♥Õ✉ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã
t❛ ♥ã✐ ✵ ❧➭ ➤Ø♥❤ ❝ñ❛ ♥ã♥✳ ▼ét ♥ã♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ ♥Õ✉ ♥ã ➤å♥❣ t❤ê✐ ❧➭
♠ét t❐♣ ❧å✐✳ ◆Õ✉ ♥ã♥ ❧å✐ ♥➭② ❧➵✐ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ư♥ t❤× t❛ ♥ã✐ ♥ã ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐
➤❛ ❞✐Ư♥✳

✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✻✮✳ ▼ét t❐♣

▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✶✽✳

C

❧➭ ♥ã♥ ❧å✐

❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉✿
✭✐✮
✭✐✐✮

λC ⊆ C, ∀λ > 0,
C + C ⊆ C.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

C ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐✳ ❉♦ C ❧➭ ♠ét ♥ã♥✱ ♥➟♥ t❛ ❝ã ✭✐✮✳
1
❉♦ C ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ♥➟♥ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ C t❤× (x + y) ∈ C ✳
2
❱❐② t❤❡♦ ✭✐✮ t❛ ❝ã x + y ∈ C
➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✿

➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✿

●✐➯ sö

●✐➯ sö t❛ ❝ã ✭✐✮ ✈➭ ✭✐✐✮✳

❚õ ✭✐✮ s✉② r❛ ♥❣❛②
❚õ ✭✐✮ s✉② r❛

❱❐②

C ❧➭ ♠ét ♥ã♥✳ ●✐➯ sö x, y ∈ C ✈➭ λ ∈ [ 0, 1] ✳

λx ∈ C ✈➭ (1 − λ)y ∈ C ✳ ❚❤❡♦ ✭✐✐✮ ❝ã λx + (1 − λ)y ∈ C ✳

C ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✾✳

❈❤♦

❣ä✐ ❧➭ ❤➢í♥❣ ❧ï✐ ①❛ ❝đ❛
t❤❡♦ ❤➢í♥❣

C ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ tr♦♥❣ Rn ✳ ▼ét ✈Ð❝ t➡ y = 0 ➤➢ỵ❝

C ✱ ♥Õ✉ ♠ä✐ t✐❛ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ❦ú ❝đ❛ C

y ➤Ị✉ ♥➺♠ trä♥ tr♦♥❣ C ✳ ❚ø❝ ❧➭ ✿ y ❧➭ ❤➢í♥❣ ❧ï✐ ①❛ ❦❤✐ ❝❤Ø ❦❤✐
x + λy ∈ C, ∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0.

❚❐♣ ❤ỵ♣ ❝đ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➢í♥❣ ❧ï✐ ①❛ ❝đ❛
❤ỵ♣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ❧ï✐ ①❛ ❝đ❛

C ❝ï♥❣ ✈í✐ ➤✐Ĩ♠ ❣è❝ ❧➭ re C ✳ ❚❐♣

C✳
✶✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❍✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥ ♥Õ✉
❈❤ó ý ✶✳✶✳✷✵✳

❤á✐ ✈í✐ ♠ä✐

C ❧➭ ♠ét t❐♣ ị tì re C ỉ ồ t ể ố

ế

C t ồ ó tì tr ị ĩ tr t ì ò

x C ỉ ò ỏ ❝❤♦ ♠ét ➤✐Ĩ♠ x ∈ C ✳

▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✷✶✳

✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✼✮✳ ●✐➯ sư

❧å✐ ❧å✐ ➤ã♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã ② ❧➭ ♠ét ❤➢í♥❣ ❧ï✐ ①❛ ❝đ❛

C

C

❧➭ ♠ét t❐♣

❦❤✐ ❝❤Ø ❦❤✐

x + λy ∈ C, ∀λ ≥ 0
✈í✐ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ① ♥➭♦ ➤ã t❤✉é❝
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐➯ sư

C.

x + λy ∈ C, ∀λ ≥ 0 ✈í✐ x ∈ C ✳ ế tì ớ u C

à > 0 C ❧å✐✱ t❛ ❝ã
xλ =
❝❤♦

µ
µ
(x + λy) + (1 −
)u ∈ C.
λ+µ
λ+µ

λ −→ ∞✱ ❞♦ C ➤ã♥❣ ✱ t❛ t❤✃② u + µy ∈ C ✱ ✈í✐ ♠ä✐ u ∈ C ✈➭ µ > 0.

❈❤ó ý ✶✳✶✳✷✷✳
❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✷✸✳

❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣
❚r♦♥❣

C ❦❤➠♥❣ ➤ã♥❣✱ ♠Ư♥❤ ➤Ị tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✳

R2 ❧✃②

C = {x = (x1 , x2 ) | x1 > 0, x2 > 0} ∪ {0} .
❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✱ ✈Ð❝ t➡

y = (0, 1) ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❧➭ ♠ä✐ t✐❛ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ♠ét ➤✐Ĩ♠

0 = x ∈ C t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥➭② ➤Ò✉ ♥➺♠ trä♥ tr♦♥❣ C ✱ ♥❤➢♥❣ ♥Õ✉ ①✉✃t ♣❤➳t tõ
x = 0 t❤× ➤✐Ị✉ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✳
❈❤♦

C ⊆ Rn ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ x ∈ C ✳ ❑ý ❤✐Ö✉
NC (x) = {w | w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} .

❍✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥

0 ∈ NC (x)✳ ❉ï♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❞Ơ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣ NC (x) ❧➭

♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣✳
◆ã♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ♥❣♦➭✐ ❝đ❛
❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ tr♦♥❣ ❝ñ❛

C t➵✐ x✳ ❚❐♣ −NC (x) ➤➢ỵ❝

C t➵✐ x✳

−NC (x) = {w | w, y − x ≥ 0 ∀y ∈ C} .

✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




▼ét ♥ã♥ q✉❛♥ trä♥❣ ❦❤➳❝ ❧➭ ♥ã♥ ➤è✐ ❝ù❝ ➤➢ỵ❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉✿

C ∗ = {w | w, x ≥ 0 ∀x ∈ C} .
➜➞② ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ồ ó ứ ố


C t ồ rỗ x ∈ C ✳ ❚❛ ♥ã✐ d ∈ Rn ❧➭ ♠ét ❤➢í♥❣ ❝❤✃♣

♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❝đ❛

C ♥Õ✉ ∃t0 > 0 s❛♦ ❝❤♦ x + td ∈ C ✈í✐ ♠ä✐ 0 ≤ t ≤ t0 ✳

❚❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➢í♥❣ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ ❝❤ø❛ ❣è❝ ✈➭ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥
❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝✳

❑ý ❤✐Ư✉ ❧➭

FC (x)✳ ◆ã♥ ♥➭② ❝ã t❤Ĩ ❦❤➠♥❣ ➤ã♥❣✱ t✉② ♥❤✐➟♥

♥Õ✉ ❧✃② ❜❛♦ ➤ã♥❣✱ t❛ sÏ ➤➢ỵ❝ ♠ét ♥ã♥ ❦❤➳❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ t✐Õ♣ ①ó❝ ❝đ❛
❑ý ❤✐Ư✉ ♥ã♥ ♥➭② ❧➭

TC (x)✱ t❤× FC (x) = TC (x). ❚õ ➤➞② s✉② r❛

TC (x) = d ∈ Rn | ∃dk → d, ∃tk
▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✷✹✳

C t➵✐ ①✳

0 : x + tk dk ∈ C ∀k .

✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✽✮✳ ◆ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ✈➭

♥ã♥ t✐Õ♣ ①ó❝ ❧➭ ➤è✐ ❝ù❝ ❝đ❛ ♥❤❛✉✳

❉Ơ ❞➭♥❣ s✉② trù❝ t✐Õ♣ tõ ị ĩ
í ụ

sử t ồ

C ợ ở

C = x ∈ Rn | aj , x ≤ bj , j = 1, . . . , m
✈í✐

x ∈ C ✱ ➤➷t
J(x) = j | aj , x = bj

❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ❝❤Ø sè tÝ❝❤ ❝ù❝ t➵✐ ①✳
❑❤✐ ➤ã

TC (x) = x ∈ Rn | aj , x ≤ 0, j ∈ J(x) .
NC (x) ❂ ❝♦♥❡ (aj , j ∈ J(x)) ❂ {y =

λj aj : λj ≥ 0}.
j∈J(x)

✶✳✷

❍➭♠ ❧å✐✳

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ ♣❤ỉ t❤➠♥❣✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈í✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❤➭♠
❧å✐ ♠ét ❝➳❝❤ ❝➡ ❜➯♥✳ ▼ơ❝ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ tỉ♥❣ q✉➳t ✈Ị
❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ♥ã✳

✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❈❤♦ t❐♣

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳

C ⊂ Rn ✈➭ f : C → R

❚❛ sÏ ❦ý ❤✐Ö✉ ✿

dom f = {x ∈ C | f (x) < +∞} ,
epi f = {(x, µ) ∈ C × R | f (x) ≤ µ} .
❈➳❝ t❐♣

dom f ✱ epi f ❧➬♥ ❧➢ỵt ➤➢ỵ❝ ❣ä✐

ề ữ ệ

tr ồ tị ủ




f (x) = +∞ ♥Õ✉ x ∈ C ✱ t❛ ❝ã tể ợ ị tr

t

dom f = {x ∈ Rn | f (x) < +∞} ,
epi f = {(x, à) Rn ì R | f (x) à} .
ớ ế

= 0 tì λf (x) = 0 ✈í✐ ♠ä✐ ①✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✷✳

tr➟♥

❈❤♦

∅ = C ⊆ Rn ❧å✐ ✈➭ f : C → R✳ ❚❛ ♥ã✐ f ❧➭

❤➭♠ ❧å✐

C ♥Õ✉ ❡♣✐f ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ tr♦♥❣ Rn+1 ✳ ❍➭♠ f ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ❧â♠ tr➟♥

C ♥Õ✉ −f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ C.
❙❛✉ ➤➞② ❝❤ñ ②Õ✉ t❛ ①Ðt ❤➭♠

f : Rn → R ∪ {+∞}. ❉Ơ t❤✃② ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

tr➟♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐✿

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
tr♦♥❣ ➤ã

∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1).

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✸✳

❍➭♠

f : Rn → R ∪ {+∞} ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

❧å✐ ❝❤➷t

tr➟♥

C

♥Õ✉

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y)
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
❍➭♠

f : Rn → R ∪ {+∞} ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ♠➵♥❤ tr➟♥ C ✈í✐ ❤Ư sè η > 0 ♥Õ✉

1
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)
2

x−y

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



2


◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷✳✹✳

❉Ơ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ r➺♥❣✱ ❢ ❧å✐ ♠➵♥❤ tr➟♥

❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❤➭♠

1
2

h(.) = f (.) −
❧å✐ tr➟♥

.

C ✈í✐ ❤Ư sè η > 0

2

C✳

❙❛✉ ➤➞②✱ t❛ sÏ ➤Ị ❝❐♣ ➤Õ♥ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ q✉❡♥ t❤✉é❝ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤
♣❤ỉ t❤➠♥❣✳ ➜➞② ❧➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t➢➡♥❣ ➤è✐ tỉ♥❣ q✉➳t tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
✈Ò ❤➭♠ ❧å✐✳ ❈➳❝ ❜✃t tứ ữ trờ ợ r
ủ t t❤ø❝ ♥➭②✳
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❏❡♥s❡♥✿

◆Õ✉ ❢ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ trị ữ tr t ồ

x1 , . . . , xm ∈ C ✈➭ ∀λj ≥ 0 t❤á❛ ♠➲♥

m

C t❤× ∀m ∈ N∗ ✱

λj = 1, t❛ ❝ã✿
j=1

m

m
j

j=1

▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷✳✺✳

λj f (xj ).

λj x ) ≤

f(

j=1

✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✽✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✽✳✶✮✳ ▼ét ❤➭♠

❧➭ ❧å✐ tr➟♥ ❈ ❦❤✐ ❝❤Ø ❦❤✐

f :C →R

∀x, y ∈ C ✱ ∀α > f (x), ∀β > f (y), ∀λ ∈ [ 0, 1] ,

t❛ ❝ã

f (λx + (1 − λ)y ≤ λα + (1 − λ)β.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✿

❈❤ä♥

●✐➯ sư ❢ ❧å✐✳ ❝❤ä♥

x, y, α, β ♥❤➢ ➤➲ ♥➟✉ tr♦♥❣ ♠Ư♥❤ ➤Ị✳

α ∈ (f (x), α) ✈➭ β ∈ (f (y), β). ❱❐② (x, α ), (y, β ) ∈ epi f ✳ ❉♦

epi f ❧å✐ ♥➟♥
((1 − λ)x + λy, (1 − λ)α + λβ ) ∈ epi f.
⇒ f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)α + λβ < (1 − λ)α + λβ.
➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✿

❈❤ä♥

(x, µ), (y, η) ∈ epi f ✈➭ λ ∈ (0, 1). ❱í✐ ♠ä✐ > 0✱ t❛

❝ã✿

f (x) < µ + , f (y) < η + .
✶✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❉♦ ➤ã✿

f [ (1 − λ)α + λβ ] < (1 − λ)(µ + ) + λ(η + ) = (1 − λ)µ + λη + .
⇒ (1 − λ)(x, µ) + λ(y, η) ∈ epi f.
❱❐② ❢ ❧å✐✳
❉➢í✐ ➤➞② ❧➭ ♠ét ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳❝✱ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈Ị ❤➭♠ ❧å✐✱ ❧å✐ ♠➵♥❤ ❞ù❛
✈➭♦ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❤Ư sè ❧å✐✳
❍➭♠

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✻✳

f : Rn → R ∪ {+∞} ✭ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ồ

C Rn ột t ồ rỗ ✈➭ η ❧➭ ♠ét sè t❤ù❝✳ ❚❛ ♥ã✐ η ❧➭ ❤Ư sè ❧å✐
❝đ❛

f tr➟♥ C ✱ ♥Õ✉ ✈í✐ ∀λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C ✱ t❛ ❝ã✿

1
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)
2
❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ ♥Õ✉

x−y

2

.

η = 0 t❤× f ❧å✐ tr➟♥ C ✳ ◆Õ✉ ❢ ❝ã ❤Ư sè ❧å✐ tr➟♥ C ❧➭ η > 0

t❤× ❢ ❧å✐ tr

C ớ ệ số .

ị ĩ

ột

f ợ ❣ä✐ ❧➭ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥Õ✉ dom f = ∅ ✈➭

f (x) > −∞ ✈í✐ ♠ä✐ ①✳
❍➭♠

f ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤ã♥❣ ♥Õ✉ epi f ❧➭ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ Rn+1 .

❈❤ó ý ✶✳✷✳✽✳

❛✮ ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛
➤Þ♥❤ ♥Õ✉ ❜✐Õt
❜✮ ◆Õ✉

epi f ✱ t❛ t❤✃② r➺♥❣ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ➤➢ỵ❝ ①➳❝

epi f.

f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ ♠ét t❐♣ ❧å✐ C t❤× ❝ã t❤Ĩ t❤➳❝ tr✐Ĩ♥ f ❧➟♥ t♦➭♥

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ➤➷t

fe (x) =
❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ fe (x)

+∞

♥Õ✉

x ∈ C.

= f (x) ✈í✐ ∀x ∈ C ✈➭ fe ❧å✐ tr➟♥ Rn ✳ ❍➡♥ ♥÷❛ fe ❧➭ ❝❤Ý♥❤

t❤➢ê♥❣ ❦❤✐ ❝❤Ø ❦❤✐
❝✮ ◆Õ✉

f (x) ♥Õ✉ x ∈ C

f ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣✳ ❚➢➡♥❣ tù fe ➤ã♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ f ➤ã♥❣✳

f ❧å✐ tr➟♥ Rn s✉② r❛ ❞♦♠f ❧å✐✳ ❱× ❞♦♠f ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ tr➟♥ C ❝ñ❛

❡♣✐f ✳

dom f = {x : f (x) < +∞} = {x : ∃µ, (x, µ) ∈ epif } .
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❱❐② ❞♦♠f ❧➭ ➯♥❤ ❝ñ❛ t❐♣ ❧å✐ ❡♣✐f q✉❛ ♠ét ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❉♦ ➤ã✱
❞♦♠f ❧å✐✳
❱Ý ❞ô ✶✳✷✳✾✳

▼ét sè ❤➭♠ ❧å✐

✶✳ ❍➭♠ ❛✲♣❤✐♥✿

f (x) = a, x + α✱ tr♦♥❣ ➤ã a ∈ Rn , α ∈ R✳ ❉Ô

❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣

❑❤✐

f ❧➭ ❤➭♠ ✈õ❛ ❧å✐ ✈õ❛ ❧â♠ tr t

= 0 tì ợ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳

❈❤♦

C = ∅ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐✳

✷✳ ❍➭♠ ❝❤Ø✿ ➜➷t

δC (x) =
❚❛ ♥ã✐ δC ❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø ❝ñ❛

0
♥Õ✉ x ∈ C,
+∞ ♥Õ✉ x ∈ C.

C ✳ ❉♦ C ❧å✐ ♥➟♥ δC ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐✳

✸✳ ❍➭♠ ♠➷t ❝➬✉✿ ❈❤♦

S = {x ∈ Rn |

h : S → R+ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❜✃t ❦ú✳

♥Õ✉

0

f (x) = h(x) ♥Õ✉


+∞ ♥Õ✉

x = 1} ❧➭ ♠ét ♠➷t ❝➬✉ ✈➭

x < 1,
x = 1,
x > 1.

❤➭♠ ♥➭② ➤ù♦❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ♠➷t ❝➬✉✳ ❉Ô t❤✃② r➺♥❣
♠➷❝ ❞ï

f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ Rn ✱

h ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❜✃t ❦ú tr➟♥ ♠➷t ❝➬✉ S ✳

✹✳ ❍➭♠ tù❛✿ ❍➭♠ ❞➢í✐ ➤➞② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❝đ❛

C

SC (y) = sup< y, x >.
x∈C

✺✳ ❍➭♠ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤✿ ❈❤♦

C ❧å✐ ➤ã♥❣✱ ❤➭♠ ❦❤♦➯♥❣ ế t C ợ

ị ĩ ở

dC (x) = min x − y .
y∈C

✻✳ ❍➭♠ ❝❤✉➮♥✿ ●✐➯ sö

x = (x1 , . . . , xn )✳
f (x) = x = max| xi |
i

❤♦➷❝
1

f (x) = x = (x1 2 + . . . + xn 2 ) 2 .
✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❈❤➢➡♥❣ ✷

P❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ❧➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✳

❇➭✐ t♦➳♥ t×♠ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝đ❛ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ①✉è♥❣ t❐♣ ❧å✐ ❝ã ✈❛✐ trß
q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ tè✐ ➢✉ ✈➭ ♥❤✐Ị✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❦❤➳❝ ♥❤➢ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱
❝➞♥ ❜➺♥❣✳✳✳❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❝ã r✃t ♥❤✐Ị✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ♥ã ①✉✃t ❤✐Ư♥ ♥❤➢ ♠ét
❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤ơ tr♦♥❣ r✃t ♥❤✐Ị✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ sè tè✐ ➢✉✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳
➜➞② ❝ò♥❣ ❧➭ ❝➠♥❣ ❝ơ s➽❝ ❜Ð♥ ✈➭ ❦❤➳ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♥❤✐Ị✉ ➤Þ♥❤ ❧ý
q✉❛♥ trä♥❣ ♥❤➢ ➤Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤✱✳✳✳♠➭ t❛ sÏ ①Ðt ë ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ◆❤÷♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ø♥❣

♠✐♥❤ ❞ù❛ tr➟♥ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ t❤➢ê♥❣ ♠❛♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❦✐Õ♥ t❤✐Õt✳

✷✳✶

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✶✳

❈❤♦

C = ∅ ✭❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❧å✐✮ ✈➭ y ❧➭ ♠ét ✈Ð❝✲t➡ ❜✃t

❦ú✱ ➤➷t

dC (y) = inf x − y
x∈C

❚❛ ♥ã✐ dC (y) ❧➭ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ tõ
◆Õ✉ tå♥ t➵✐
✈✉➠♥❣ ❣ã❝

y ➤Õ♥ C ✳

π ∈ C s❛♦ ❝❤♦ dC (y) = π − y

❝đ❛ ② tr➟♥

t❤× t❛ ♥ã✐

π ❧➭

❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉

C ✳ ❚❛ ❦ý ❤✐Ư✉ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ y tr➟♥ C ❧➭ pC (y).

❚❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ sÏ ❦ý ❤✐Ö✉ π
❝➬♥ ♥❤✃♥ ♠➵♥❤ ➤Õ♥ t❐♣ ❝❤✐Õ✉
❈❤ó ý r➺♥❣✱ ♥Õ✉

.

= pC (y) ❤♦➷❝ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❤➡♥ ❧➭ p(y) ♥Õ✉ ❦❤➠♥❣
C✳

y ∈ C t❤× dC (y) = 0. ◆Õ✉ C = ∅ tì dC (y) ữ ì

0 dC (y) y − x

✈í✐ ♠ä✐

x ∈ C.

❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ t❛ t❤✃② r➺♥❣ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ pC (y) ❝đ❛

y tr➟♥ C sÏ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠

✶✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉

1
x−y
2

min

x

◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ✈✐Ư❝ t×♠ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛
t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ❤➭♠ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣

x−y

2

2

|x∈C .

y tr➟♥ C ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ ✈Ị ✈✐Ư❝ t×♠ ❝ù❝

tr➟♥

C✳

ë ♣❤➬♥ ❞➢í✐ ♥➭②✱ t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ◆Õ✉ C ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❦❤➳❝ rỗ tì

ì ế ó ủ ột ể
ệ ề

y ❜✃t ❦ú tr➟♥ C ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t✳

✭ ệ ề

ó rỗ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐

y ∈ Rn , π ∈ C

C

❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐

❤❛✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣

➤➢➡♥❣✿
✭❛✮

π = pC (y),

✭❜✮

y − π ∈ NC (π).

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

(a) ⇒ (b) ▲✃② x ∈ C ✈➭ λ ∈ (0, 1). ➜➷t

xλ = λx + (1 − λ)π.
❉♦

x, π ∈ C ✈➭ C ❧å✐ ♥➟♥ xλ ∈ C ✳ ❍➡♥ ♥÷❛ ❞♦ π ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ y ✱ ♥➟♥

π − y ≤ y − xλ

. ❍❛②
π−y

2

≤

λ(x − π) + (π − y)

❑❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ✈Õ ♣❤➯✐✱ ➢í❝ ❧➢ỵ♥❣ ✈➭ ❝❤✐❛ ❤❛✐ ✈Õ ❝❤♦

λ x−π
➜✐Ị✉ ♥➭② ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐

2

2

.

λ > 0✱ t❛ ❝ã ✿

+ x − π, π − y ≥ 0.

x ∈ C ✈➭ λ ∈ (0, 1). ❉♦ ➤ã ❦❤✐ ❝❤♦ λ → 0, t❛ ➤➢ỵ❝✿
π − y, x − π ≥ 0, ∀x ∈ C.

❚õ ➤ã

y − π, x − π ≤ 0, ∀x ∈ C.

✶✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❱❐②

y − π ∈ NC (π).

(a) ⇒ (b) ❱í✐ ♠ä✐ x ∈ C ❝ã✿
y − π, x − π = y − π, x − y + y − π
y−π

=

2

+ y − π, x − y .

➳♣ ❞ô♥❣ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤② ✲ ❙❝❤✇❛r③✱ t❛ ❝ã✿
y−π

2

≤ y − π, y − x ≤

y−π

.

❚õ ➤ã

y − π, x − π + y − π, y − x =
❉♦

y−π

2

.

y − π ∈ NC (π) ♥➟♥ y − π, x − π ≤ 0, ∀x ∈ C. ❙✉② r❛
y−π

2

≤ y − π, y − x ≤

y−π

.

y−x

.

❍❛②

y − π ≤ y − x , ∀x ∈ C.
❱❐②

π = p(y).

▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✸✳

✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ệ ề

t ồ ó rỗ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐
tr➟♥

C

y ∈ Rn ✱

C ⊂ Rn

❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉

❧➭ ♠ét

pC (y) ❝ñ❛ y

❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❙ù tå♥ t➵✐✿

❉♦

➤ó♥❣ tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲②

x∈C

xk ⊂ C s❛♦ ❝❤♦
lim xk − y

k→∞

❱❐② ❞➲②

♥➟♥ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ❝❐♥ ❞➢í✐

dC (y) = inf x − y

= dC (y) < +∞.

xk ❜Þ ❝❤➷♥✱ ❞♦ ➤ã ♥ã ❝ã ♠ét ❞➲② ❝♦♥ xkj ❤é✐ tơ ➤Õ♥ ♠ét ➤✐Ĩ♠

π ♥➭♦ ➤ã✳ ❉♦ C ➤ã♥❣ ♥➟♥ π ∈ C. ❱❐②
π − y = lim xkj − y
j→∞

= lim xk − y
k→∞

= dC (y).

✷✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❈❤ø♥❣ tá

π ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ y tr➟♥ C ✳

❚Ý♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✿

◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠

π ✈➭ π 1 ➤Ị✉ ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ y tr➟♥

C t❤×
y − π ∈ NC (π), y − π 1 ∈ NC (π 1 ).
❚ø❝ ❧➭

π − y, π 1 − π

≥ 0,

✈➭

π 1 − y, π − π 1 ≥ 0.
❈é♥❣ ❤❛✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② s✉② r❛

π − π 1 ≤ 0 ✈➭ ❞♦ ➤ã π = π 1 .

▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✹✳

✭ ệ ề

rỗ ế

yC

C

t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣

t❤×

pC (y) − y, x − pC (y) = 0
❧➭ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tù❛ ❝ñ❛

C

t➵✐

pC (y) ✈➭ t➳❝❤ ❤➻♥ ② ❦❤á✐ C ✱ tø❝ ❧➭

pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0, ∀x ∈ C
✈➭

pC (y) − y, y − pC (y) < 0.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤❡♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✷✱ t❛ ❝ã

y − pC (y) ∈ NC (pC (y)), ♥➟♥

pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0 ∀x ∈ C.
❱❐②

pC (y) − y, x = pC (y) − y, pC (y) ❧➭ ♠ét s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tù❛ ❝ñ❛ C t➵✐

pC (y). ❙✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ♥➭② t➳❝❤ y ❦❤á✐ C ✈× y = pC (y) ♥➟♥
2

pC (y) − y, y − pC (y) = − pC (y) − y

▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✺✳

✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✺✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✺✳✶✮✳ ❈❤♦

➤ã♥❣✱ ❦❤➳❝ rỗ ó



< 0.

C

ột t ồ

y pC (y) ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉✿

pC (x) − pC (y) ≤ x − y , ∀x, ∀y, ✭tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥✳✮
pC (x) − pC (y), x − y ≥

pC (x) − pC (y)

2

, ✭tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❜ø❝✮✳

✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✭❛✮ ❚❤❡♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✸ ➳♥❤ ①➵
❉♦

x → p(x) ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➽♣ ♥➡✐✳

z − pC (z) ∈ NC (pC (z)), ∀z ♥➟♥ ➳♣ ❞ơ♥❣ ✈í✐ z = x ✈➭ z = y ✱ t❛ ❝ã✿
x − pC (x), pC (y) − pC (x) ≤ 0

✈➭

y − pC (y), pC (x) − pC (y) ≤ 0.
❈é♥❣ ❤❛✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❧➵✐ t❛ ➤➢ỵ❝✿

pC (y) − pC (x), pC (y) − pC (x) + x − y ≤ 0.
❚õ ➤➞② ✈➭ t❤❡♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③✱ s✉② r❛

pC (x) − pC (y) ≤ x − y

.

✭❜✮ ➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❜ø❝✱ ➳♣ ❞ơ♥❣ ✭❛✮ ❧➬♥ ❧➢ỵt ✈í✐ pC (x) ✈➭ pC (y)✱
t❛ ❝ã✿

pC (x) − x, pC (x) − pC (y) ≤ 0.
y − pC (y), pC (x) − pC (y) ≤ 0.
❈é♥❣ ❤❛✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❛ ➤➢ỵ❝

pC (x) − pC (y) + y − x, pC (x) − pC (y)
= pC (x) − pC (y), y − x + pC (x) − pC (y)

2

≤ 0.

❈❤✉②Ó♥ ✈Õ t❛ ❝ã✿

pC (x) − pC (y), x − y ≥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✻✳

▼ét ➤✐Ĩ♠

♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ❝đ❛

pC (x) − pC (y)

2

.

a ∈ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ t➢➡♥❣ ➤è✐ ❝đ❛ C

C t❤❡♦ t➠♣➠ ❝➯♠ s✐♥❤ ❜ë✐ ❛❢❢C ✳

❚❐♣ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ t➢➡♥❣ ➤è✐ ❝đ❛

C ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ r✐C ✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tr➟♥✱ t❛

❝ã✿

ri C = {a ∈ C | ∃B : (a + B) ∩ aff C ⊂ C}
✷✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

tr♦♥❣ ➤ã

B ❧➭ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ♠ë ❝ñ❛ ❣è❝ tä❛ ➤é O✳

❚❛ ❦ý ❤✐Ư✉
t➢➡♥❣ ➤è✐

❝đ❛

C ❧➭ ❜❛♦ ➤ã♥❣ ❝đ❛ C. ❑❤✐ ➤ã t❐♣ ❤ỵ♣ C \ ri C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜✐➟♥
C. ❚❐♣ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

♠ë t➢➡♥❣ ➤è✐

♥Õ✉

C = ri C. ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤

♥❣❤Ü❛✱ ❞Ơ t❤✃② r➺♥❣ ♠ä✐ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ➤Ò✉ ♠ë t➢➡♥❣ ➤è✐✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✶✳✼✳

✶✳ ◆Õ✉ ✐♥tC
✷✳ ❈❤♦

= ∅ t❤× ri C ❂ int C ✳

C ⊆ Rn ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐✳ ❑❤✐ ➤ã a ∈ ri C ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ∀x ∈ aff C,

∃λ > 0 s❛♦
a + (x a) C.

ệ ề
rỗ ✈➭
❝đ❛

x0

tr➟♥

✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✺✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✺✳✹✮✳ ❈❤♦

x0 ∈ ri C.

ọ ì ế ủ

rờ ợ



ột t ❧å✐

C

t➵✐ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉

C.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❛✮ ◆Õ✉

❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tù❛ ❝ñ❛

C

x0 tr➟♥ C ❧➭ p(x0 ). ❳Ðt ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣

int C = ∅. s✉② r❛ int C = ri C. ❱❐② x0 ∈ int C.

x0 ∈ C.

C ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ♥➟♥ t❤❡♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✹ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣
p(x0 ) − x0 , x = p(x0 ) − x0 , p(x0 )

❧➭ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tù❛ ❝ñ❛
❜✮ ◆Õ✉

C t➵✐ p(x0 ) ✈➭ t➳❝❤ ❤➻♥ C ✈➭ x0 ✳

x0 ∈ C.

❑❤✐ ➤ã ❞♦

x0 ∈ int C ♥➟♥ x0 ∈ Rn \ C ✳ ❱× ✈❐② tå♥ t➵✐ ❞➲② xk s❛♦ ❝❤♦

xk → x0 ✈í✐ xk ∈ C ✈í✐ ♠ä✐ ❦✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❞♦ C ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ♥➟♥ ❧➵✐ ➳♣ ❞ơ♥❣
♠Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✹✱ tå♥ t➵✐ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tù❛ ❝đ❛
tr➟♥

C t➵✐ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ p(xk ) ❝đ❛ xk

C ✳ ❚ø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ π k = 0 t❤á❛ ♠➲♥✿
πk , x ≤

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤✉➮♥ ❤ã❛

π k , p(xk ) , ∀x ∈ C.

π k t❛ ❝ã t❤Ó ❝♦✐

π k = 1. ❍➡♥ ♥÷❛✱ B [ 0, 1] ❧➭

t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ Rn ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ ❤é✐ tơ ♥➟♥ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝♦✐ π k

→ π0.

❉♦ ➳♥❤ ①➵ ❝❤✐Õ✉ ❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✱ q✉❛ ❣✐í✐ ❤➵♥ ✈➭ ❝❤ó ý

✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên