Những vấn đề cần thiết giúp dạy học hiệu quả toán chứng minh trong chương trình Toán 9

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010 - 2011
I. MỞ ĐẦU:
1. Cơ sở và lí do chọn đề tài:
Trong q trình dạy học bộ mơn Tốn ở bậc THCS, đặc biệt là chương trình Tốn
lớp 9 hiện hành; việc thực hiện đúng quy trình một bài tốn chứng minh là một việc
làm hết sức quan trọng và cần thiết, góp phần giúp cho học sinh ln có được cảm
giác, trực giác tốn học tốt. Đặc biệt là rèn luyện tư duy logic, lý luận chặt chẽ, khả
năng sáng tạo và trí thơng minh khi giải bài tốn chứng minh, nhất là chứng minh
một bài tốn hình học.
Tuy nhiên, khi tiến hành giải một bài tốn chứng minh, chúng ta thường dễ mắc
phải một số sai lầm, ngộ nhận trong các bước suy luận logic, nhầm lẫn giữa suy luận
và suy diễn, giữa kiểm tra mệnh đề và chứng minh mệnh đề; đơn thuần chỉ sử dụng
phương pháp chứng minh trực tiếp, chưa đào sâu các phương pháp chứng minh độc
đáo khác, thậm chí nhiều khi còn áp đặt và cứng nhắc khi giải tốn chứng minh,….
Từ những cơ sở lí luận và nhận thức nêu trên, bản thân ln cố gắng tìm tòi và
nghiên cứu tài liệu, tích lũy nhiều kinh nghiệm trong q trình dạy học để viết nên
một Sáng kiến kinh nghiệm có đề tài: “ Những vấn đề cần thiết giúp dạy học hiệu
quả tốn chứng minh trong chương trình Tốn 9 ”. Với mục đích đưa ra được
những vấn đề cần thiết và then chốt nhất; nhằm xây dựng những giải pháp thiết thực
và hữu hiệu để việc giảng dạy dạng tốn chứng minh ở lớp 9 đi đúng hướng, góp
phần nâng cao chất lượng bộ mơn trong từng học kì và năm học.
2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
a/ Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh khối 9 Trường THCS Đại Đồng:
b/ Phạm vi nghiên cứu:
- Các tiết dạy theo thời khóa biểu chính khóa và Tự chọn.
- Các bài tốn chứng minh trong nội vi chương trình lớp 9 và Tốn THCS.
- Tham khảo các tài liệu như: Sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu chỉ đạo về
chuẩn kiến thức của Bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xun,…
- Thực hiện các tiết chun đề trong tổ chun mơn để đúc rút kinh nghiệm.
- Tập trung nghiên cứu về khái niệm, u cầu, phân tích và các phương pháp chứng

Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010 - 2011
minh. Đi sâu nghiên cứu về phương pháp phân tích đi lên, chứng minh bằng phương
pháp phản chứng.
3. Kế hoạch nghiên cứu:
a/ Nghiên cứu tài liệu:
Để thực hiện đề tài này, xun suốt trong những năm học qua, tơi đã tích cực
tham khảo và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh
nghiệm, nghiên cứu các bài tốn chứng minh có trong chương trình Tốn THCS nói
chung và chương trình Tốn 9 nói riêng; chắt góp những nội dung, những kinh
nghiệm quan trọng về việc giải tốn chứng minh, lập kế hoạch trình bày Sáng kiến
kinh nghiệm một cách hợp lí và có trình tự.
b/ Nghiên cứu thực tế:
- Trải qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn tốn 9, bản thân đã đúc rút được nhiều kinh
nghiệm từ đồng nghiệp, từ thực tế trên lớp về việc dạy học các bài tốn chứng minh,
ghi chép lại những điều cần thiết để làm sao tiết dạy sau thực hiện tốt hơn, hiệu quả
hơn tiết dạy trước.
- Với những tiết dạy có dạng tốn chứng minh, tơi thường xun thăm dò, tìm hiểu
mức độ nắm bắt và vận dụng giải tốn của học sinh, điều chỉnh cách dạy cho đúng
hướng và hợp lí hơn.
- Thực hiện chun đề về dạy bài tốn chứng minh trong tổ chun mơn, nhằm
thể nghiệm đề tài qua thực tiễn và tranh thủ tiếp thu những ý kiến đóng góp
của giáo viên bộ mơn trong tổ.
4. Phương pháp:
-Phối kết hợp nhiều phương pháp trong q trình nghiên cứu như:chứng minh,gợi
mở,đàm thoại, thuyết trình,đặt, nêu và giải quyết vấn đề.
-Sử dụng sách giáo khoa ,các tài liệu tham khảo,cùng với việc kết hợp khảo sát
chất lượng học tập thực tế của học sinh qua các phiếu thăm dò,các bài kiểm tra.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Để thể hiện tốt và có hiệu quả việc giảng dạy bài tốn chứng minh, chúng ta cần

trang bị cho mình những vấn đề cần thiết sau:
1. Khái niệm chứng minh:
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010 - 2011
Một phép chứng minh là một dãy hữu hạn các mệnh đề
A ,A ,.....,A
n
1 2
. Trong đó
mỗi một
k
A (k n)≤
hoặc là một tiên đề, hoặc là một giả thiết, hoặc là một định lí đã
biết, hoặc là một mệnh đề được suy ra từ một hoặc một số các mệnh đề khác bằng
suy luận hợp logic. Mệnh đề
A
n
được gọi là mệnh đề cần chứng minh.
Có rất nhiều soạn giả đã khái niệm chứng minh như sau: “Chứng minh là q
trình suy nghĩ để xác định rằng: phán đốn nào đó là đúng, bằng cách dựa vào những
phán đốn khác đã được thừa nhận là đúng” – Hồng Chúng (Mấy vấn đề logic trong
giảng dạy Tốn học. NXB Giáo dục, 1962); hoặc “Chứng minh là thao tác logic dùng
để lập luận tính chân thực của phán đốn nào đó nhờ các phán đốn chân thực khác
có mối liên hệ hữu cơ với phán đốn ấy” – Vương Tất Đạt (Logic học. Sách bồi
dưỡng thường xun chu kỳ 1997 – 2000).
Ta cần lưu ý rằng: Trong Tốn học, vấn đề kiểm tra, thực nghiệm và vấn đề
chứng minh tuy rằng có một sự liên hệ nào đó nhưng lại là hai vấn đề khác nhau hồn
tồn. Bởi vậy, khi chứng minh định lí hay chứng minh một bài tốn thì phải dùng suy
luận, khơng dùng thực nghiệm (thực nghiệm chỉ giúp phát hiện cách chứng minh).
2. Các u cầu của một chứng minh:

Bất kì một chứng minh nào cũng gồm có 3 phần:
 Luận đề: Mệnh đề cần chứng minh.
 Luận cứ: Các mệnh đề đúng đã biết như tiên đề, định nghĩa, định lí,….
 Luận chứng: Các quy tắc kết luận logic.
Mỗi một chứng minh phải đạt 3 u cầu sau:
 u cầu 1: Luận cứ phải chân thực. Những tiền đề dùng trong chứng minh phải
đúng đắn.
 u cầu 2: Luận chứng phải chặt chẽ. Các phép suy luận dùng trong chứng minh
phải là các phép suy luận hợp logic.
 u cầu 3: Khơng được đánh tráo luận đề. Khơng được thay thế mệnh đề cần
chứng minh bằng những mệnh đề khơng tương đương với nó.
Sau đây là một số ví dụ về những sai lầm do vi phạm những u cầu cần thiết khi
thực hiện một chứng minh:
 Ví dụ 1: (Sai lầm do vi phạm u cầu 1)
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
h
a
c
b
CHB
A
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010 - 2011
Bài tập 16/trang 12 – SGK lớp 9, tập 1: Chứng minh “Con muỗi nặng bằng con
voi” sau đây:
Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:
2 2 2 2
m V V m+ = +
Cộng cả hai vế với
−
2mV, ta có:

( ) ( )
2 2 2 2
m 2mV V V 2mV m
2 2
hay: m V V m
− + = − +
− = −
Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:
( ) ( )
2 2
m V V m .− = −
Do đó:
m V V m− = −
Từ đó ta có: 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)
Sai lầm trong chứng minh trên đây là do ngộ nhận, đưa vào ứng dụng một mệnh
đề sai, đó là:
2
A A=
, dẫn đến sai lầm cho rằng:
( ) ( )
2 2
m V V m− = −
nên có được
m V V m− = −
(!)
 Ví dụ 2: (Sai lầm do vi phạm u cầu 2)
Chứng minh định lí 4/trang 67 – SGK lớp 9, tập 1: “Trong một tam giác vng,
nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo
của bình phương hai cạnh góc vng”.
Một cách chứng minh sai:

Ta có:
Do (2) đúng nên (1) đúng. Vậy định lí đã được chứng minh.
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
(1)
h b c
1 b c
h b c
b c h b c
a h b c
ah bc (2

)
= +
+
⇒ =
⇒ + =
⇒ =
⇒ =
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010 - 2011
Sai lầm trong chứng minh này là sai lầm về luận chứng, suy luận khơng hợp logic, vi
phạm quy tắc Modusponens:
A B,A
B

⇒
(A kéo theo B, A đúng thì B đúng), ở đây lại
dùng quy tắc sai:
A B,B
A
⇒
(A kéo theo B, B đúng thì A đúng), đó là một sai lầm rất
phổ biến đối với học sinh chúng ta hiện nay; bởi vậy giáo viên phải thường xun
uốn nắn, sửa sai cho học sinh trong từng tiết dạy. (để cách chứng minh trên trở thành
đúng, ta có thể thay dấu
" "⇒
bằng dấu
" "⇔
hoặc chứng minh như SGK lớp 9, tập
1/trang 67).
 Ví dụ 3: (Sai lầm do vi phạm u cầu 3)
Giải phương trình:
Giải:
Phương trình (2) có 2 nghiệm là:
1 2
x 1; x 3= =
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là:
1 2
x 1; x 3= =
Sai lầm trong bài làm này là người giải đã đưa vào các bước biến đổi khơng
tương đương, do khơng đặt điều kiện của phương trình. Tức là người giải đã tùy tiện
chứng minh phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương
với nhau, dẫn đến phương trình đã cho dư nghiệm. Để khắc phục sai sót này, giáo
viên tập cho học sinh có thói quen thử lại nghiệm sau khi giải xong phương trình, nhờ
đó học sinh sẽ phát hiện ra mình đã qn đặt điều kiện của bài.

3. Phân tích một chứng minh:
Để thực hiện tốt một chứng minh thì việc đi phân tích chứng minh đó
đóng một vai trò khá quan trọng. Ta có thể hiểu rằng: phân tích một chứng
minh là chỉ ra được trong phép chứng minh này, chúng ta sẽ sử dụng
những
mệnh đề nào, những phép suy luận nào? Thường ta phân tích một
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
2
2
2
2 2
2
2
x 3x 6 1
(1)
x 9 x 3
x 3x 6 x 3
(1)
x 9 x 9
x 3x 6 x 3
x 4x 3 0

( )

2
− +
=
− −
− + +
⇔ =

− −
⇔ − + = +
⇔ − + =
↓
↓
↓
↓
GT A

A
1

A
2


A
n

KL B
M
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010 - 2011
chứng minh bằng hai phương pháp:
 Phương pháp1:
Khai thác triệt để giả thiết bài tốn, liệt kê cụ thể các vấn đề cần
thiết cho chứng minh. Có thể nắm bắt cách phân tích này bằng sơ đồ bên:
( có A ắt có A
1
, có A
1

ắt có A
2
, ….., có A
n-1
ắt có A
n
, có A
n
ắt có B tức là
có được điều cần phải chứng minh )
 Phương pháp 2:
Phân tích đi lên từ kết luận của bài tốn (cách phân tích này rất hay
và quan trọng, giúp cho học sinh hiểu được mối quan hệ logic giữa điều
cần phải chứng minh và điều cần để chứng minh, phát triển tư duy suy luận,
óc sáng tạo và chủ động cao khi giải một bài tốn chứng minh.
Tuy nhiên khơng phải chứng minh nào cũng dùng phương pháp này được).
Sơ đồ bên là sơ đồ của mơt phân tích đi lên:
( Muốn chứng minh được B thì cần phải chứng minh được B
1
,
muốn chứng minh được B
1
thì cần phải chứng minh được B
2
, …
muốn chứng minh được B
n-1
thì cần phải chứng minh được B
n
,

muốn chứng minh được B
n
thì cần có GT A )
Dựa vào hai cách phân tích trên đây, giáo viên cho học sinh trình bày lại hồn
chỉnh bài tốn chứng minh, bằng cách bổ túc những cơ sở, luận cứ và các thuật ngữ
thường dùng như: “Ta có”, “Ta lại có”, “Vì”, “Bởi vì”, “Do đó”, “Nên”, “Cho nên”,
“Mà”, “Mặt khác”, “Hay”, “Suy ra”, “Tức là”, “Vậy”,….
Cùng một chứng minh, nhưng có thể có nhiều cách phân tích khác nhau. Cho nên
cứ sau mỗi phân tích giáo viên nhắc học sinh phải tự đặt ra câu hỏi là: có còn cách
phân tích nào khác nữa khơng? Nhờ vậy chúng ta sẽ tìm ra được nhiều cách chứng
minh khác nhau, trên cơ sở đó giáo viên chọn lựa ra cách chứng minh phù hợp nhất
với thực lực của lớp để giải cho học sinh.
 Ví dụ 1:
Khi giải bài tập 22/trang 76 – SGK lớp 9, tập 2:
“Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (M khác A và B). Vẽ tiếp tuyến
của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta ln có:
MA
2
= MB.MC”.
Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
↓
↓
↓
↓
KL B

B
1

B

2


B
n

GT A
M
O
B
M
C
A
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2010 - 2011
a) Phân tích theo phương pháp 1: (Khai thác giả thiết bài tốn)
Giáo viên cho học sinh đọc kỹ đề, chú ý kết luận của bài: MA
2
= MB.MC; rồi có
thể lập luận rằng: đây là dạng chứng minh hệ thức tích, nên ta thường dùng phương
pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng (đặc biệt là trường hợp góc góc), hoặc là
dùng các hệ thức lượng trong tam giác vng để giải. Từ đó giáo viên cho học sinh
vẽ hình, định hướng cách giải theo lập luận trên.
 Hướng dẫn học sinh thực hiện chứng minh trên bằng phương pháp chứng minh hai
tam giác đồng dạng:

2
Xét AMB và CMA

Ta có: ............?

AMB CMA

Ta có tỉ lệ thức:......?

MA MB.MC(đpcm)
∆ ∆
↓
↓
∆ ∆
↓
↓
=
:
 Hướng dẫn học sinh thực hiện chứng minh đã cho bằng phương pháp dùng các hệ
thức lượng trong tam giác vng:



Giáo viên: Đào Tuấn Sỹ – THCS Đại Đồng
∆
↓
↓
→ = +
↓ ↓
2 2 2
Xét ABC

Ta có:......... ?

1 1 1

AM là đường cao
AM AB AC

1
Suy ra:.........?
AM
= +
↓ ↓
= ⇔
↓
2
2
1 1
BM.BC BN.BC

MA MB.MC(đpcm) ......................?

=
2
MA MB.MC(đpcm)