Tương đương morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN GIANG NAM

TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH
VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN GIANG NAM

TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH
VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 62.46.05.01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TUYẾN
2. PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG

VINH - 2011


i

Mục lục

Lời cam đoan

iii

Lời cảm ơn

iv

Mở đầu
1
Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1

2

Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3

Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4

Phạm vi nghiên cứu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

5

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

6

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

7

Tổng quan và cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

7.1

Tổng quan luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

7.2

Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 1.

TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA

11

1.1

Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2
1.3

Vật sinh xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tương đương Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18
26

1.4

Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Chương 2.

BẤT BIẾN MORITA VÀ ÁP DỤNG

35

2.1

Nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hốn lũy đẳng . . . . .

35

2.2

Bất biến Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.4

Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55


ii

Chương 3.

TÍNH ĐƠN CỦA MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH

56

3.1

Nửa vành được sắp thứ tự dàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.2

Nửa vành nửa đơn cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.3

Nửa vành đầy đủ khơng có tương đẳng khơng tầm thường . . .

68

3.4

Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Chương 4.

ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA NỬA VÀNH

83

4.1

Nửa vành nửa đơn và nửa vành cô lập

. . . . . . . . . . . . . .

83

4.2

Nửa vành nửa đơn cộng chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

4.3

Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

Kết luận của Luận án

102

Các cơng trình liên quan đến Luận án

103

Tài liệu tham khảo

104


iii

Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung
với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các
kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai cơng bố
trong bất kỳ một cơng trình nào khác.
Trần Giang Nam

iv

Lời cảm ơn
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và đầy trách nhiệm
của PGS. TSKH. Nguyễn Xuân Tuyến và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin
bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến với thầy Nguyễn Xuân Tuyến và thầy
Ngô Sỹ Tùng.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS. Yefim Katsov, Department of Mathematics
and Computer Science Hanover College, Hanover, IN 47243-0890, USA vì sự
cộng tác viết bài báo chung và giúp đỡ to lớn trong trao đổi tài liệu, thảo luận
những bài tốn có liên quan.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn ti TS. Jens Zumbrăagel, Claude Shannon Institute,
University College Dublin, Ireland vì sự cộng tác viết bài báo chung.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS. TSKH. Ngô Việt Trung, GS. TSKH. Nguyễn
Tự Cường, GS. TSKH. Lê Tuấn Hoa và PGS. TSKH. Phùng Hồ Hải, đã tạo
điều kiện cho tác giả học tập tại viện Toán học Hà Nội.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán học và Khoa Sau đại học - Trường
Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình làm nghiên
cứu sinh.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và Khoa
Tốn học - Trường Đại học Đồng Tháp nói riêng, nơi tác giả đã công tác và
giảng dạy từ năm 2007 tới nay.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sự giúp đở của các bạn, anh trong Seminar Lý
thuyết vành và môđun tại Trường Đại học Vinh, do PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng chủ
trì.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn bè thân hữu ln động viên và
khích lệ tác giả học tập và hoàn thành luận án.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến Bố, Mẹ, hai em và
những người thân của minh luôn yêu thương, cổ vũ, động viên, chăm lo chu đáo

để tác giả an tâm học tập và nghiên cứu.
Trần Giang Nam


1

Mở đầu
1

Lý do chọn đề tài

Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver [52] vào nằm 1934, là tổng
quát hóa khái niệm vành khơng giao hốn theo nghĩa khơng địi hỏi tính đối xứng
của phép cộng. Kể từ đó, nửa vành được quan tâm nghiên cứu cả về phương
diện lý thuyết lẫn áp dụng. Nhiều tính chất và áp dụng của nửa vành đã được
trình bày trong một số tài liệu như [17], [18], [21].
Luận án này quan tâm đến khái niệm nửa vành như là một tổng quát hóa
khái niệm vành có đơn vị khơng giao hốn theo nghĩa nói trên.
Một phương pháp để nghiên cứu đối tượng tốn học là người ta tìm cách đưa
nó về các đối tượng khác dễ hơn và nghiên cứu các đối tượng này. Chẳng hạn, để
nghiên cứu các hình hình học người ta thường cắt chúng bởi các siêu phẳng và
nghiên cứu các siêu diện. Điều này cũng được tiến hành một cách tương tự cho
các nửa vành, ở đây các siêu phẳng được thay thế bằng các quan hệ tương đẳng
và các siêu diện chính là các nửa vành thương tương ứng. Với mỗi nửa vành R,
luôn tồn tại một tương đẳng ρ trên R sao cho nửa vành thương R/ρ là khơng
có tương đẳng khơng tầm thường (hoặc là tương đẳng-đơn); nghĩa là, R/ρ chỉ
có hai tương đẳng tầm thường. Do đó, theo một nghĩa nào đó, nghiên cứu nửa
vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường giúp ta hiểu một phần nào cấu
trúc của nửa vành R.
Lưu ý rằng với mỗi tương đẳng ρ trên nửa vành R, lớp tương đương 0ρ của

phần tử 0 theo quan hệ ρ, là một iđêan của R; ngược lại, với mỗi iđêan I của R,
nó cảm sinh một tương đẳng Bourne ≡I trên R. Nói cách khác, ta có hai tương
ứng ρ −→ 0ρ và I −→ ≡I lần lượt là ánh xạ từ tập các tương đẳng trên R đến
tập các iđêan của R và ngược lại. Từ đây, theo một nghĩa nào đó, ta cũng có
thể hiểu được nửa vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường R thơng qua
việc nghiên cứu dàn các iđêan của nó; chẳng hạn, khi R là một vành, hai ánh
xạ trên là các song ánh (chúng là các ánh xạ ngược của nhau), do đó, vành R là
khơng có tương đẳng khơng tầm thường nếu và chỉ nếu 0 và R chỉ là hai iđêan
của nó (khi đó, R được gọi là vành đơn). Khẳng định này nói chung khơng cịn
đúng cho các nửa vành. Vì thế, nửa vành chỉ chứa các iđêan tầm thường, được
gọi là khơng có iđêan khơng tầm thường, hay là iđêan-đơn.


2

Cấu trúc của các nửa vành giao hốn khơng có tương đẳng và iđêan không
tầm thường đã được mô tả. Cụ thể, năm 1988, Sidney S. Mitchell - Paul B.
Fenoglio chứng minh được rằng các nửa vành giao hốn khơng có tương đẳng
khơng tầm thường chỉ là các trường, hoặc là nửa vành Boole B := {0, 1} ([44,
Theorem 3.2]); dễ dàng thấy rằng các nửa vành giao hốn khơng có iđêan khơng
tầm thường chỉ là các nửa trường. Gần đây, năm 2001, R. El Bashir - J. Hurt - A.
Janˇcaˇrík - T. Kepka đã mở rộng hai kết quả trên cho nửa vành giao hốn khơng
địi hỏi phần tử không và phần tử đơn vị (xem [4, Theorem 10.1 và Theorem
11.2]). Xin nói thêm, các tính khơng có tương đẳng, iđêan khơng tầm thường
của nửa vành giao hốn khơng địi hỏi phần tử khơng và phần tử đơn vị vẫn còn
được quan tâm bởi một số tác giả, chẳng hạn [26], [27], [29], [28],...
Việc nghiên cứu cấu trúc của các nửa vành khơng giao hốn khơng có tương
đẳng và iđêan khơng tầm thường là khó khăn hơn. Đối với nửa vành khơng có
tương đẳng khơng tầm thường, năm 2004, C. Monico đã mơ tả các nửa vành
(khơng địi hỏi phải chứa phần tử không và đơn vị) hữu hạn khơng có tương

đẳng khơng tầm thường (xem [45, Theorem 4.1]); nhưng sự mơ tả này là khơng
đầy đủ. Sau đó, năm 2008, J. Zumbragel chỉ mới phân loại được các nửa vành
(khơng địi hỏi phần tử đơn vị) hữu hạn khơng có tương đẳng khơng tầm thường
(xem [56, Theorem 1.7]). Hơn nữa, các nửa vành khơng có tương đẳng khơng
tầm thường bất kỳ đã được nghiên cứu bởi một số tác giả, chẳng hạn, [5], [14],
[15], [25],... Tuy nhiên, việc mơ tả một cách đầy đủ nửa vành khơng có tương
đẳng không tầm thường vẫn chưa làm được.
Đối với nửa vành khơng có iđêan khơng tầm thường, năm 1957, Bourne Zassenhaus đã mô tả được cấu trúc của nửa vành nửa đơn khơng có iđêan
khơng tầm thường và khơng chứa các iđêan một phía lũy linh khác khơng; cụ
thể hơn, các nửa vành này chỉ là các nửa vành ma trận trên các nửa thể (xem [8,
Theorem 1]). Năm 1967, Steinfeld - Wiegandt [57] chỉ ra rằng kết quả này vẫn
đúng cho nửa vành nửa đơn khơng có iđêan khơng tầm thường. Sau đó, năm
1977, Stone [48] mở rộng kết quả trên cho nửa vành mà nó có thể nhúng được
vào một vành nào đó. Năm 1984, Weinert nghiên cứu tính khơng có iđêan khơng
tầm thường cho nửa vành ma trận ([55, Theorem 4.1]) và nửa vành nửa nhóm
([55, Theorem 4.3]). Khái niệm nửa vành mà Weinert xem xét là khơng địi hỏi
phần tử đơn vị. Tính đến thời điểm hiện tại, việc phân loại các nửa vành khơng
có iđêan không tầm thường vẫn là một câu hỏi mở.
Một cách khác để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta cố gắng hiểu
cách nó tác động lên các đối tượng khác. Nói cách khác, chúng ta có thể hiểu
được đối tượng toán học nhờ vào phạm trù các biểu diễn của nó. Lý thuyết biểu
diễn (lý thuyết mơđun) của nhóm, vành và đại số có thể soi sáng nhiều thông
tin về cấu trúc của chúng. Việc dùng phạm trù những biểu diễn thích hợp để
đặc trưng cấu trúc nửa vành cũng đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học
như T. S. Fofanova, E. B. Katsov, Y. Katsov, M. Takahashi, H. J. Weinert,...
Phạm trù biểu diễn của nửa vành được gọi là phạm trù nửa môđun. Cũng giống


3

như các trường hợp của vành (xem [42]), vị nhóm (xem [39]), dàn phân phối
(xem [16]), các khái niệm nửa môđun thường được sử dụng để đặc trưng nửa
vành là xạ ảnh, phẳng và nội xạ. Ở đây khái niệm nửa môđun xạ ảnh và nội
xạ được định nghĩa theo cách thơng thường, cịn nửa mơđun trái G được gọi là
phẳng (đơn-phẳng) nếu hàm tử − ⊗R G bảo toàn giới hạn ngược hữu hạn (bảo
tồn tính đơn cấu của các đồng cấu). Mọi nửa môđun xạ ảnh là phẳng; chiều
ngược lại là không đúng. Năm 2002, O. Sokratova đã chỉ ra rằng tính xạ ảnh và
tính phẳng của các nửa mơđun trên nửa vành giao hốn cộng lũy đẳng là phân
biệt (xem [47, Theorem 3.4]). Năm 2004, Katsov mở rộng kết quả này cho các
nửa vành cộng chính quy như sau: Nếu R là một nửa vành cộng chính quy sao
cho tồn tại một đồng cấu nửa vành từ R lên B, thì tính xạ ảnh và tính phẳng
của các nửa môđun trên R là phân biệt (xem [33, Theorem 5.11]); hệ quả rút ra
từ khẳng định này là: tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa mơđun trên nửa
vành giao hốn cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành
hoàn chỉnh (xem [33, Corollary 5.12]). Đồng thời, Y. Katsov còn phát biểu giả
thuyết dưới đây:
Giả thuyết. ([33, Conjecture]) Tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa mơđun
trên một nửa vành cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một
vành hồn chỉnh.
Đối với các nửa mơđun, tính phẳng suy ra tính đơn-phẳng, nhưng chiều ngược
lại nói chung là không đúng. Năm 1978, Bulman-Fleming và McDonwell chỉ ra
rằng một B-nửa môđun trái A là phẳng khi và chỉ khi A là đơn-phẳng, và khi
và chỉ khi A là một nửa dàn phân phối (xem [10, Theorem 3.1]). Năm 1986, E.
B. Katsov mở rộng kết quả này cho các nửa môđun trên Đại số Boole hữu hạn
(xem [59, Theorem 2]). Gần đây nhất, năm 2004, Y. Katsov chứng minh được
rằng khẳng định trên vẫn còn đúng đối với các nửa môđun trên các Đại số Boole
bất kỳ (xem [32, Theorem 3.2]). Đồng thời, Y. Katsov cũng nêu ra bài tốn sau:
Bài tốn. ([32, Problem 3.9]) Mơ tả lớp của các nửa vành sao cho tính phẳng
và tính đơn-phẳng của các nửa mơđun trên chúng là tương đương.
Tính đến thời điểm này, giả thuyết và bài toán nêu trên vẫn chưa có lời giải.

Mặt khác, việc dùng nửa mơđun nội xạ để nghiên cứu nửa vành cũng đã được
quan tâm (xem [1], [23], [30]), và nhận được những kết quả đáng chú ý sau:
năm 1994, H. Wang chỉ ra rằng mỗi nửa môđun trên nửa vành cộng lũy đẳng
đều nhúng được vào nửa mơđun nội xạ nào đó ([53, Theorem]). Năm 1997, Y.
Katsov mở rộng kết quả này cho nửa vành cộng chính quy ([30, Theorem 4.2]).
Năm 2008, S. N. Il’in chứng minh được rằng các nửa vành thỏa mãn điều kiện
Baer và mọi nửa mơđun trên đó đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ chỉ là
các vành ([23, Theorem 3]). Cuối cùng, J. Ahsan - M. Shabir - H. J. Weinert [1]
đã đặc trưng được nửa vành chính quy von Neumann thơng qua các nửa mơđun
cyclic p-nội xạ. Nói chung, các kết quả theo hướng này vẫn cịn ít.


4

Với các lí do nêu trên, chúng tơi chọn đề tài “Tương đương Morita cho
nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành” làm đề tài luận án tiến sĩ.
Những vấn đề sau của đề tại được tập trung nghiên cứu:
(1) Mô tả cấu trúc của nửa vành không có tương đẳng khơng tầm thường và
nửa vành khơng có iđêan không tầm thường;
(2) Dùng các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ để nghiên cứu nửa vành nửa
đơn, đặc biệt là hướng đến giải quyết giả thuyết và bài tốn nêu trên của Y.
Katsov.

2

Mục đích nghiên cứu

Mục đích của Luận án là đặc trưng các tính đơn, khơng có tương đẳng khơng
tầm thường và khơng có iđêan khơng tầm thường cho các lớp nửa vành chứa
iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh, nửa vành cơ lập một phía, nửa vành đầy đủ

và nửa vành sắp thứ tự dàn; đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua các nửa
môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ; đồng thời, trả lời giả thuyết ([33, Conjecture]) và
bài toán ([32, Problem 3.9]) nêu trên của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng
chính quy.

3

Đối tượng nghiên cứu

Nửa vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường, nửa vành khơng có iđêan
khơng tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn.

4

Phạm vi nghiên cứu
Đại số kết hợp. Lý thuyết nửa vành và nửa môđun.

5

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng tương đương Morita để nghiên cứu những vấn đề đặt ra của Luận
án.

6

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành. Mơ tả cấu
trúc nửa vành khơng có tương đẳng khơng tầm thường, nửa vành khơng có iđêan

khơng tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn cho một số lớp nửa vành


5

đặc biệt. Đồng thời, trả lời giả thuyết và bài toán nêu trên của Y. Katsov cho
nửa vành nửa đơn cộng chính quy.

7

Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1

Tổng quan luận án

Trước tiên, Luận án xây dựng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù
nửa vành dựa trên lý thuyết tương Morita quen biết của vành kết hợp và vị
nhóm. Định nghĩa 1.3.1 nêu ra khái niệm tương đương Morita cho các nửa vành.
Để đặc trưng được khái niệm tương đương Morita, Luận án mơ tả hàm tử hiệp
biến có phù hợp phải giữa các phạm trù nửa môđun. Định lý dưới đây cho thấy
hàm tử này chính là hàm tử tích tenxơ.
Định lý 1.3.5. Với mỗi hàm tử F : MR −→ MS , các phát biểu sau đây là
tương đương:
(i) F có một phù hợp phải;
(ii) F là khớp phải và bảo tồn đối tích;
(iii) Tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu tự nhiên) một R-S-song nửa môđun
P ∈ |R MS | sao cho các hàm tử − ⊗R P : MR −→ MS và F là đẳng cấu tự
nhiên.
Sử dụng Định lý 1.3.5, Luận án thu được kết quả dưới đây, nó đặc trưng

tương đương Morita cho nửa vành thông qua phạm trù nửa môđun.
Định lý 1.3.12. Với hai nửa vành R và S, các điều kiện sau là tương đương:
(i) R và S là tương đương Morita;
(ii) Hai phạm trù nửa môđun MR và MS là tương đương;
(iii) Hai phạm trù nửa môđun

RM

và S M là tương đương.

Áp dụng tương đương Morita vào nghiên cứu tính khơng có tương đẳng khơng
tầm thường, tính khơng có iđêan khơng tầm thường và tính đơn của nửa vành,
Luận án chỉ ra rằng những tính chất này là bất biến qua tương đương Morita.
Định lý 2.2.6. Cho R và S là hai nửa vành tương đương Morita với nhau.
Khi đó, R là khơng có iđêan khơng tầm thường (khơng có tương đẳng khơng tầm
thường) khi và chỉ khi S là khơng có iđêan khơng tầm thường (khơng có tương
đẳng không tầm thường). Đặc biệt, R là một nửa vành đơn khi và chỉ khi S là
một nửa vành đơn.
Từ Định lý 1.3.5, Định lý 1.3.12 và Định lý 2.2.6, chúng tôi mô tả cấu trúc
nửa vành đơn thông qua các iđêan một phía của nó.
Định lý 2.3.1. Cho R là một nửa vành đơn và I là một iđêan trái khác không.


6

Đặt D = End(R I). Khi đó, các khẳng định sau là đúng:
(i) Đồng cấu tự nhiên f : R −→ End(ID ) là một đẳng cấu nửa vành;
(ii) I là một vật sinh của R M và là một D-nửa môđun phải xạ ảnh hữu hạn
sinh;
(iii) Tồn tại một số nguyên dương n và một phần tử lũy đẳng e trong nửa

vành ma trận Mn (D) sao cho R ∼
= eMn (D)e;
(iv) D là một nửa vành đơn nếu và chỉ nếu I là một R-nửa môđun trái xạ
ảnh hữu hạn sinh.
Dựa vào các kết quả nêu trên, chúng tơi đặc trưng nửa vành đơn chứa iđêan
một phía tối tiểu xạ ảnh.
Định lý 2.3.2. Với mỗi nửa vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là một nửa vành đơn chứa iđêan trái tối tiểu xạ ảnh;
(ii) R là một nửa vành đơn chứa iđêan phải tối tiểu xạ ảnh;
(iii) R là tương đương Morita với thể D, hoặc tương đương Morita với B;
(iv) R là đẳng cấu với một vành ma trận Mn (D) trên một thể D, hoặc đẳng
cấu với nửa vành tự đồng cấu End(M ) của một dàn phân phối hữu hạn M.
Hệ quả thu được từ Định lý 2.3.2 là một biểu diễn của nửa vành khơng có
iđêan khơng tầm thường chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh.
Định lý 2.3.4. Cho R là một nửa vành chứa một iđêan trái (hoặc phải) tối
tiểu xạ ảnh. Khi đó, R là nửa vành khơng có iđêan khơng tầm thường khi và chỉ
khi R đẳng cấu với một vành ma trận Mn (D) trên một thể D, hoặc tồn tại một
nửa đẳng cấu mạnh từ R lên nửa vành tự đồng cấu End(M ) của một dàn phân
phối hữu hạn M.
Tiếp theo, Luận án chứng minh rằng nửa vành Artin một phía xích khơng
có iđêan không tầm thường chỉ là nửa vành "max–plus" (Định lý 3.1.4) và nửa
vành Artin một phía xích đơn, cũng như nửa vành sắp thứ tự dàn khơng có
tương đẳng không tầm thường chỉ là nửa vành Boole B (Định lý 3.1.4 và Định
lý 3.1.5).
Dựa vào mối liên hệ giữa tương đẳng và iđêan, chúng tôi chỉ ra rằng mọi
nửa vành cơ lập một phía khơng có tương đẳng khơng tầm thường là nửa vành
khơng có iđêan khơng tầm thường. Khẳng định này gợi ý cho chúng tơi nghiên
cứu tính khơng có tương đẳng khơng tầm thường và khơng có iđêan không tầm
thường cho nửa vành Artin cô lập. Để làm điều này, trước hết, chúng tôi mô tả
cấu trúc nửa vành nửa đơn cơ lập một phía.

Định lý 3.2.4. Với mỗi nửa vành cô lập trái R, các phát biểu sau là tương
đương:
(i) R là một nửa vành nửa đơn;


7

(ii) R là một tổng hữu hạn của các iđêan trái tối tiểu;
(iii) Mọi iđêan trái của R là một hạng tử trực tiếp của R;
(iv) R là Artin trái và Rad(R R) = 0.
Sử dụng Định lý 3.2.4 và định lý cấu trúc của O. Steinfeld - R. Wiegandt về
nửa vành nửa đơn ([57, Satz 6.2]), chúng tôi phân loại nửa vành nửa đơn cơ lập
một phía.
Định lý 3.2.6. Với mỗi nửa vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(i) R là một nửa vành nửa đơn cô lập trái;
(ii) R là một nửa vành nửa đơn cô lập phải;
(iii) R ∼
= D1 × · · · × Dn × Mn1 (R1 ) × · · · × Mnr (Rr ), trong đó D1 , . . . , Dn là
các nửa thể phi đối xứng, R1 , . . . , Rr là các thể và n, r, n1 , . . . , nr là các số tự
nhiên.
Tiếp theo, áp dụng các kết quả này, chúng tôi phân loại nửa vành Artin trái
(phải) cô lập trái (phải) khơng có iđêan khơng tầm thường.
Định lý 3.2.7. Một nửa vành Artin trái (phải) và cô lập trái (phải) R là khơng
có iđêan khơng tầm thường khi và chỉ khi R ∼
= Mn (R1 ) với R1 là một thể nào
đó và n là một số nguyên dương, hoặc R là một nửa thể phi đối xứng.
Kết quả dưới đây là một hệ quả của Định lý 3.2.7, nó phân loại nửa vành
Artin trái (phải) cô lập trái (phải) khơng có tương đẳng khơng tầm thường.
Định lý 3.2.10. Một nửa vành Artin trái (phải) và cô lập trái (phải) R là khơng
có tương đẳng khơng tầm thường khi và chỉ khi R ∼

= Mn (R1 ) với R1 là một thể
∼
và n là một số nguyên dương, hoặc R = B.
Mệnh đề 2.1.1 và Mệnh đề 2.1.6 đã quy việc nghiên cứu nửa vành khơng có
tương đẳng khơng tầm thường, nửa vành khơng có iđêan khơng tầm thường và
nửa vành đơn về việc nghiên cứu các nửa vành này cho lớp nửa vành cộng lũy
đẳng. Hơn nữa, mỗi nửa vành cộng lũy đẳng được nhúng vào một nửa vành đầy
đủ nào đó (xem, chẳng hạn, [18, Proposition 23.5]). Các khẳng định này đã gợi
ý cho chúng tôi nghiên cứu ba nửa vành nêu trên cho lớp nửa vành đầy đủ.
Định lý dưới đây mô tả cấu trúc nửa vành đầy đủ khơng có tương đẳng khơng
tầm thường, nó mở rộng định lý cấu trúc của Zumbragel về nửa vành hữu hạn
khơng có tương đẳng khơng tầm thường.
Định lý 3.3.6. Với mỗi nửa vành đầy đủ R là khơng có tương đẳng không tầm
thường khi và chỉ khi R đẳng cấu với một nửa vành con đầy đủ S của nửa vành
đầy đủ CEnd(M ) sao cho FM ⊆ S, trong đó M là một dàn đầy đủ khác khơng.
Tiếp theo, sử dụng Định lý 2.2.6, chúng tôi mô tả cấu trúc của nửa vành đơn
chứa phần tử vô cùng, và đặc biệt là nửa vành đơn đầy đủ.
Định lý 3.3.9. Với mỗi nửa vành R, các phát biểu sau là tương đương:


8

(i) R là một nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng;
(ii) R tương đương Morita với nửa vành Boole B;
(iii) R ∼
= End(M ), trong đó M là một dàn hữu hạn phân phối;
(iv) R là một nửa vành đơn đầy đủ.
Hệ quả của Định lý 3.3.9 là một biểu diễn cho nửa vành khơng có iđêan khơng
tầm thường chứa phần tử vô cùng.
Định lý 3.3.10. Cho R là một nửa vành chứa phần tử vơ cùng. Khi đó, R là

nửa vành khơng có iđêan khơng tầm thường khi và chỉ khi tồn tại một nửa đẳng
cấu mạnh từ R lên nửa vành tự đồng cấu End(M ) của một dàn phân phối hữu
hạn M.
Áp dụng tương đương Morita (Định lý 1.3.5 và Định lý 1.3.12), chúng tôi
đặc trưng nửa vành nửa đơn dựa vào các khái niệm của nửa môđun phẳng, nửa
môđun xạ ảnh và nửa môđun nội xạ.
Định lý 4.1.6. Với mỗi nửa vành nửa đơn R, các điều kiện sau là tương đương:
(i) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là xạ ảnh;
(ii) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là phẳng;
(iii) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là đơn-phẳng;
(iv) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là nội xạ;
(v) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là nội xạ ổn định;
(vi) R là một vành nửa đơn.
Dùng Định lý 4.1.6, cho phép ta nhận lại được kết quả của S. N. Il’in - Y.
Katsov ([24, Theorem 2.4]) về đặc trưng của nửa thể và đặc trưng vành nửa
đơn cho nửa vành cô lập thông qua nửa môđun xạ ảnh và nửa môđun nội xạ ổn
định.
Định lý 4.1.10. Với mỗi nửa vành cô lập trái R, các phát biểu sau là tương
đương:
(i) R là một vành nửa đơn;
(ii) Mọi R-nửa môđun trái là xạ ảnh;
(iii) Mọi R-nửa môđun trái là nội xạ ổn định.
Áp dụng tương đương Morita (Định lý 1.3.5 và Định lý 1.3.12), Luận án
chứng minh được giả thuyết ([33, Conjecture]) của Y. Katsov cho nửa vành nửa
đơn cộng chính quy.
Định lý 4.2.1. Với mỗi nửa vành nửa đơn cộng chính quy R, các phát biểu sau
là tương đương:
(i) Mọi R-nửa môđun trái phẳng là xạ ảnh;

9

(ii) R là một vành nửa đơn.
Cuối cùng, áp dụng tương đương Morita (Định lý 1.3.5 và Định lý 1.3.12),
Luận án đưa ra câu trả lời cho bài toán ([32, Problem 3.9]) của Y. Katsov cho
lớp nửa vành nửa đơn cộng chính quy.
Định lý 4.2.4. Với mỗi nửa vành nửa đơn cộng chính quy R, các điều kiện sau
là tương đương:
(i) Mọi R-nửa môđun trái đơn-phẳng là phẳng;
(ii) R ∼
= Mn1 (D1 ) × · · · × Mnr (Dr ), trong đó D1 , . . . , Dr là các thể, hoặc là
nửa vành Boole B.

7.2

Cấu trúc của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chia làm
bốn chương.
Chương 1 của Luận án tìm cách mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho
phạm trù nửa vành. Trong Mục 1.1, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm,
tính chất và ví dụ về nửa vành và nửa môđun. Trong Mục 1.2, thiết lập điều
kiện cần và đủ để một nửa môđun hữu hạn sinh là xạ ảnh (Mệnh đề 1.2.4), hoặc
là một vật sinh (Mệnh đề 1.2.8) và đặc trưng vật sinh xạ ảnh cho phạm trù nửa
môđun (Định lý 1.2.9). Trong Mục 1.3, chúng tôi giới thiệu khái niệm tương
đương Morita cho các nửa vành (Định nghĩa 1.3.1). Chúng tôi đặc trưng được
các hàm tử (hiệp biến) giữa các phạm trù nửa mơđun có phù hợp phải (Định
lý 1.3.5). Đồng thời, chúng tôi đặc trưng được tương đương Morita của các nửa
vành thông qua phạm trù nửa môđun (Định lý 1.3.12). Nội dụng của chương
này được viết dựa trên bài báo [36].

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu áp dụng của lý thuyết tương đương
Morita cho tính khơng có tương đẳng khơng tầm thường, tính khơng có iđêan
khơng tầm thường và tính đơn của nửa vành. Trong Mục 2.1, chúng tơi trình
bày lại các khái niệm và một số kết quả về nửa vành khơng có tương đẳng khơng
tầm thường và nửa vành khơng có iđêan khơng tầm thường. Đồng thời, chúng
tơi đặc trưng được nửa vành khơng có iđêan không tầm thường thông qua vành
đơn và nửa vành đơn cộng lũy đẳng (Mệnh đề 2.1.6). Đặc trưng tính khơng có
iđêan khơng tầm thường, tính đơn của nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao
hốn cộng lũy đẳng (Định lý 2.1.9). Trong Mục 2.2, chúng tôi chỉ ra rằng tính
khơng có tương đẳng khơng tầm thường, tính khơng có iđêan khơng tầm thường
và tính đơn của nửa vành bảo toàn qua tương đương Morita (Định lý 2.2.6).
Trong Mục 2.3, chúng tôi mô tả cấu trúc của nửa vành đơn thơng qua các iđêan
một phía của nó (Định lý 2.3.1). Áp dụng kết quả này, chúng tôi mô tả cấu
trúc nửa vành đơn chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.2). Kết hợp
Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 2.3.2, chúng tôi đưa ra một biểu diễn cho nửa vành


10

khơng có iđêan khơng tầm thường chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý
2.3.4). Nội dung của chương này được viết dựa trên hai bài báo [35] và [37].
Chương 3 của Luận án nghiên cứu tính khơng có tương đẳng khơng tầm
thường, tính khơng có iđêan khơng tầm thường và tính đơn cho một số lớp nửa
vành đặc biệt. Trong Mục 3.1, Luận án mô tả cấu trúc nửa vành Artin trái
(phải) xích khơng có iđêan khơng tầm thường và nửa vành Artin trái (phải)
xích đơn (Định lý 3.1.4); cũng như, mô tả cấu trúc nửa vành không có tương
đẳng khơng tầm thường sắp thứ tự dàn (Định lý 3.1.5). Trong Mục 3.2, chúng
tôi đặc trưng nửa vành nửa đơn cơ lập một phía (Định lý 3.2.4 và Định lý 3.2.6).
Áp dụng Định lý 3.2.4 và Định lý 3.2.6, chúng tôi phân loại nửa vành Artin trái
(phải) cô lập trái (phải) khơng có iđêan khơng tầm thường (Định lý 3.2.7) và

nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) khơng có tương đẳng khơng tầm
thường (Định lý 3.2.10). Trong Mục 3.3, chúng tôi phân loại nửa vành đầy đủ
khơng có tương đẳng khơng tầm thường (Định lý 3.3.6). Dùng Định lý 2.2.6,
chúng tôi đặc trưng nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng, đặc biệt là nửa vành
đơn đầy đủ (Định lý 3.3.9). Kết hợp Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 3.3.9 cho ta một
biểu diễn của nửa vành khơng có iđêan khơng tầm thường chứa phần tử vô cùng
(Định lý 3.3.10). Nội dung của chương này được viết dựa trên các bài báo [34],
[35] và [37].
Chương 4 của Luận án nhằm đặc trưng nửa vành nửa đơn và nửa vành nửa
đơn cô lập dựa vào các khái niệm nửa môđun phẳng, nửa môđun xạ ảnh, nửa
môđun nội xạ...; đặc biệt là trả lời giả thuyết và bài tốn của Y. Katsov cho
nửa vành nửa đơn cộng chính quy. Trong Mục 4.1, chúng tơi chứng minh các
tính xạ ảnh, nội xạ, nội xạ ổn định, phẳng và đơn-phẳng đều bất biến qua phép
tương đương phạm trù giữa các phạm trù nửa môđun. Áp dụng các kết quả này
và Định lý 1.3.12, chúng tôi đặc trưng được nửa vành nửa đơn thông qua các
nửa môđun nêu trên (Định lý 4.1.6). Kết hợp Định lý 3.2.4 và Định lý 4.1.6 cho
phép ta đặc trưng được nửa vành nửa đơn cô lập thông qua nửa môđun xạ ảnh
và nội xạ ổn định (Định lý 4.1.10). Trong Mục 4.2, chúng tôi chỉ ra rằng giả
thuyết của Y. Katsov là đúng cho các nửa vành nửa đơn cộng chính quy (Định
lý 4.2.1), và mơ tả cấu trúc nửa vành nửa đơn cộng chính quy mà trên đó tính
phẳng và đơn-phẳng của các nửa môđun là tương đương (Định lý 4.2.4). Nội
dung của chương này được viết dựa trên hai bài báo [34] và [36].


11

Chương 1

TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA
1.1

Kiến thức chuẩn bị

Trong tiết này, Luận án trình bày lại một số khái niệm, ví dụ và tính chất
của nửa vành, nửa mơđun; khái niệm tích tenxơ cho các nửa môđun theo quan
niệm của Y. Katsov. Đồng thời, chúng tơi chứng minh được tính chất kết hợp
của tích tenxơ. Nội dung của tiết này chủ yếu được trích từ các tài liệu [18],
[22], [30], [33] và [43].
Định nghĩa 1.1.1. ([18, p. 1]) Một nửa vành là một cấu trúc đại số dạng
(R, +, ·, 0, 1) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) (R, +, 0) là một vị nhóm giao hốn với đơn vị 0;
(2) (R, ·, 1) là một vị nhóm với đơn vị 1;
(3) Phép nhân phân phối hai phía với phép cộng;
(4) 0r = 0 = r0 với mọi r ∈ R.
Ví dụ 1.1.2. (i) Mọi vành đều là nửa vành. Một nửa vành mà không phải là
vành, được gọi là nửa vành thực sự. Một nửa vành R được gọi là phi đối xứng
(zerosumfree) nếu 0 là phần tử khả nghịch duy nhất của vị nhóm (R, +, 0); nghĩa
là, với mọi r, r ∈ R, nếu r + r = 0, thì r = r = 0 (xem [18, p. 4]).
(ii) Tập hợp các số tự nhiên N, tập hợp các số thực không âm R+ cùng với
phép cộng và phép nhân thông thường là các nửa vành.
(iii) Cho (M, +) là một vị nhóm giao hốn. Ký hiệu End(M ) là tập hợp tất


12

cả các tự đồng cấu của vị nhóm M . Khi đó, End(M ) là một nửa vành với phép
cộng và phép nhân xác định bởi: với mọi f, g ∈ End(M ),
(f + g)(x) = f (x) + g(x) và f g(x) = f (g(x)) với mọi x ∈ M .
(iv) Giả sử X là một tập hợp bất kỳ khác rỗng và P(X) là tập hợp gồm tất cả
các tập con của nó. Khi đó, P(X) cùng với phép hợp và phép giao các tập hợp,

lập thành một nửa vành. Đặc biệt, nếu X = {x}, thì nửa vành P(X) = {∅, X}
được gọi là nửa vành Boole, và được ký hiệu lại là B := {0, 1}.
(v) Cho n là một số nguyên dương và R là một nửa vành. Một ánh xạ
f : {1, 2, ..., n}2 −→ R được gọi là một ma trận vuông cấp n trên R. Ký hiệu
Mn (R) là tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó, với phép cộng và
phép nhân được xác định bởi:
(f + g)(i, j) = f (i, j) + g(i, j),
n

f g(i, j) =

f (i, k)g(k, j),
k=1

Mn (R) là một nửa vành và được gọi là nửa vành ma trận trên R.
Một nửa vành R được gọi là giao hoán nếu vị nhóm (R, ·) là giao hốn. Nửa
vành R được gọi là nửa thể (nửa trường) nếu (R \ {0}, ·, 1) là một nhóm (giao
hốn). Cho R và S là hai nửa vành. Ánh xạ f : R −→ S, được gọi là đồng cấu
nếu f bảo toàn phép cộng, phép nhân, phần tử không và phần tử đơn vị. Đồng
cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu nếu f lần lượt là đơn ánh, toàn
ánh và song ánh, một cách tương ứng. Nếu tồn tại một đẳng cấu giữa các nửa
vành R và S, thì chúng ta nói R và S là đẳng cấu, và ký hiệu là R ∼
= S.
Định nghĩa 1.1.3. ([18, p. 149]) Một R-nửa môđun trái trên nửa vành R
là một vị nhóm giao hốn (M, +, 0M ) cùng với một phép nhân với vô hướng
(r, m) → rm từ R × M vào M thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi r, r ∈ R và
m, m ∈ M :
(1) (rr )m = r(r m);
(2) r(m + m ) = rm + rm ;
(3) (r + r )m = rm + r m;

13

(4) 1m = m;
(5) r0M = 0M = 0m.
Các nửa môđun phải trên nửa vành R cũng được định nghĩa theo một cách
tương tự. Mỗi nửa vành có thể được xem như các nửa mơđun phải và trái trên
chính nó.
Ánh xạ f : M −→ N từ R-nửa môđun trái M đến R-nửa môđun trái N , được
gọi là R-đồng cấu (hoặc đồng cấu) nếu f bảo toàn phép cộng và phép nhân với
vô hướng. Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu nếu f lần lượt
là đơn ánh, toàn ánh và song ánh, một cách tương ứng. Nếu tồn tại một đẳng
cấu giữa các R-nửa mơđun M và N , thì chúng ta nói M và N là đẳng cấu, và
ký hiệu M ∼
= N.
Một tập con khác rỗng N của một R-nửa môđun trái M được gọi là nửa
môđun con của M nếu đóng kín với phép cộng và phép nhân với vơ hướng. Cho
R là một nửa vành và {Mi | i ∈ I} là một họ những R-nửa môđun trái Mi .
Khi đó,

i∈I

Mi cũng là một R-nửa mơđun trái với phép cộng và nhân từng

thành phần, và được gọi là tích trực tiếp của các R-nửa môđun Mi . Tương tự,
⊕i∈I Mi = {(mi )i∈I | mi = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i}
là một nửa môđun con của R-nửa môđun trái

i∈I

Mi , và được gọi là tổng trực

tiếp (đối tích) của các R-nửa mơđun Mi . Đặc biệt, khi Mi = M với mọi i ∈ I,
thì ⊕i∈I Mi chính là M (I) := {f ∈ M I | f có giá hữu hạn}, và nó được ký hiệu
lại là ⊕I M hoặc M (I) .
Giao của một họ bất kỳ các nửa môđun con của một R-nửa môđun trái M
cũng là một nửa môđun con của M . Đặc biệt, nếu A là một tập con của R-nửa
mơđun trái M , thì giao của tất cả các nửa môđun con của M chứa A, là một
nửa môđun con của M , gọi là nửa môđun con được sinh bởi A. Thực chất, nửa
môđun con này đúng bằng RA := {r1 a1 + ... + rn an | n ≥ 1, ri ∈ R, ai ∈ A}. Nếu
A sinh ra tồn bộ M , thì A được gọi là một tập sinh của M . Một R-nửa mơđun
trái M là hữu hạn sinh nếu nó chứa một tập sinh hữu hạn.
Cho R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái. Một quan hệ tương
đương ρ trên R được gọi là một tương đẳng nếu mρm và nρn , thì suy ra


14

(m + n)ρ(m + n ) và rmρrm với mọi r ∈ R. Nói một cách khác, một tương
đẳng ρ trên M là một quan hệ tương đương và thỏa mãn điều kiện ρ là nửa
mơđun con của M × M . Cho ρ là một tương đẳng trên R-nửa môđun trái M ,
và với mỗi m ∈ M , gọi m/ρ là lớp tương đương của m theo tương đẳng ρ. Đặt
M/ρ := {m/ρ | m ∈ M } và định nghĩa phép tốn cộng, nhân với vơ hướng
trên M/ρ như sau: (m/ρ) + (n/ρ) = (m + n)/ρ và r(m/ρ) = (rm)/ρ với mọi
m, n ∈ M và r ∈ R. Khi đó, M/ρ là một R-nửa mơđun trái và được gọi nửa
môđun thương của M bởi ρ. Hơn nữa, ta có một tồn cấu giữa các nửa môđun
M −→ M/ρ, được xác bởi m → m/ρ. Đặc biệt, nếu N là một nửa môđun con
của R-nửa môđun trái M , thì N cảm sinh một tương đẳng ≡N trên M , gọi là
tương đẳng Bourne, được xác định bởi m ≡N m nếu và chỉ nếu tồn tại n, n ∈ N

sao cho m + n = m + n . Nếu m ∈ M thì ta viết m thay thế cho m/ ≡N . Nửa
môđun thương M/ ≡N được ký hiệu bởi M/N .
Cho R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái. Nếu A là một tập
con khác rỗng của M , tồn tại một đồng cấu α : R(A) −→ M xác định như sau
α(f ) =

m∈A f (m)m.

A là một tập sinh của M chỉ khi α là toàn cấu. A được

gọi là độc lập tuyến tính nếu α là đơn cấu; tức là, A là độc lập tuyến tính nếu
và chỉ nếu

m∈A f (m)m

=

m∈A g(m)m

suy ra f = g. Một tập sinh và độc lập

tuyến tính của M được gọi là một cơ sở của M trên R. Theo [18, p. 194], một
R-nửa môđun trái M được gọi là tự do nếu M chứa một cơ sở trên R. Dễ thấy
rằng với mọi tập khác rỗng A, R-nửa môđun trái R(A) là tự do, và mỗi R-nửa
môđun trái tự do là đẳng cấu với R(A) , với tập A thích hợp nào đó (xem [18, p.
194]). Mệnh đề sau cho thấy mọi nửa môđun là đều thương của một nửa mơđun
tự do nào đó.
Mệnh đề 1.1.4. ([18, Proposition 17.11]) Nếu R là một nửa vành và M là một
R-nửa mơđun trái, thì tồn tại một R-nửa mơđun tự do F và một toàn cấu từ F
tới M .

Theo [18, p. 195], một R-nửa môđun trái P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi tồn
cấu giữa các nửa mơđun trái f : M −→ N , và với mọi đồng cấu g : P −→ N ,
tồn tại một R-đồng cấu h : P −→ M sao cho f ◦ h = g.


15

Theo ([18, Proposition 17.14]), mọi R-nửa môđun trái tự do là xạ ảnh. Chiều
ngược lại nói chung là khơng đúng (xem [24, Theorem 3.3], [33, Theorem 5.4]
hoặc [47, Theorem 3.1]). Tuy nhiên, như một hệ quả của Mệnh đề 1.1.4, khẳng
định dưới đây sẽ cho ta một đặc trưng về nửa môđun xạ ảnh thông qua nửa
môđun tự do. Để làm điều này, trước hết, ta cần nhớ lại rằng R-nửa môđun trái
N được gọi là một phép co (retract) của R-nửa mơđun trái M nếu tồn tại một
tồn cấu θ : M −→ N và một đơn cấu φ : N −→ M sao cho θφ = idN .
Mệnh đề 1.1.5. ([18, Proposition 17.16]) Một R-nửa môđun trái M là xạ ảnh
nếu và chỉ nếu M là một phép co của một R-nửa môđun tự do F .
Từ đây trở đi, ta ký hiệu M là phạm trù các vị nhóm giao hốn; MR và R M
lần lượt là phạm trù các nửa môđun phải và phạm trù các nửa môđun trái trên
nửa vành R, một cách tương ứng.
Một vị nhóm cộng giao hốn M được gọi là lũy đẳng nếu m + m = m, với
mọi m ∈ M . Cho (M, +) là một vị nhóm giao hốn lũy đẳng. Khi đó, M là
một vị nhóm được sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự ≤ trên M xác định như sau:
x ≤ y nếu và chỉ nếu x + y = y, với x, y ∈ M ; và phần tử đơn vị 0 chính là
phần tử bé nhất của M . Hơn nữa, với bất kỳ x, y ∈ M , cận trên nhỏ nhất của
chúng được xác định bởi x ∨ y = x + y. Do đó, M là một (∨−) nửa dàn chứa
phần tử nhỏ nhất 0. Xin nói thêm, nếu M là hữu hạn, thì với mọi x, y ∈ M ,
cận dưới lớn nhất của chúng được tính bởi x ∧ y =

z≤x,z≤y

z; vì thế, M là một

dàn (nói chung là không phân phối). Một dàn M được gọi là phân phối nếu hai
phép toán ∨ và ∧ phân phối được với nhau. Ngược lại, nếu M là một (∨−) nửa
dàn có phần tử nhỏ nhất ký hiệu là 0, thì (M, ∨, 0) cũng là một vị nhóm giao
hốn lũy đẳng. Từ các nhận xét này, cho phép ta đồng nhất phạm trù các vị
nhóm giao hốn lũy đẳng với phạm trù các nửa dàn S0 chứa phần tử nhỏ nhất.
Bây giờ, vì nửa vành Boole B := {0, 1} là giao hốn, nên hai phạm trù các nửa
mơđun MB và

BM

là đồng nhất. Nếu M là một B-nửa môđun, thì vị nhóm

(M, +) hiển nhiên là lũy đẳng. Ngược lại, nếu (M, +) là một vị nhóm giao hốn
và lũy đẳng, M cũng trở thành một B-nửa môđun với phép nhân với vô hướng


16

xác định bởi: với mọi b ∈ B và m ∈ M ,
b·m=

0 nếu b = 0 ,
m nếu b = 1 .

Do đó, chúng ta có thể đồng nhất hai phạm trù S0 và B M, và một B-nửa mơđun
xạ ảnh cũng chính là một vật xạ ảnh trong phạm trù S0 . Định lý dưới đây cho
ta một đặc trưng về các B-nửa môđun xạ ảnh.
Định lý 1.1.6. ([22, Theorem 5.3]) Một nửa dàn M ∈ |S0 | là xạ ảnh nếu và chỉ

nếu M là một dàn phân phối sao cho |{x ∈ M | x ≤ a}| < +∞ với mọi a ∈ M .
Tiếp theo, theo [30, Definition 3.1], tích tenxơ của nửa mơđun phải A ∈ |MR |
và nửa môđun trái B ∈ |R M| được xác định là một vị nhóm thương F/σ của
vị nhóm giao hốn tự do (tức là, N-nửa mơđun tự do) F ∈ |M|, được sinh bởi
tích Descartes A × B, với tương đẳng σ trên F được sinh bởi các cặp có dạng
< (a1 + a2 , b), (a1 , b) + (a2 , b) >, < (a, b1 + b2 ), (a, b1 ) + (a, b2 ) >
và
< (ar, b), (a, rb) > ,
ở đây a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B và r ∈ R. Với định nghĩa này, ta nhận được một
song hàm tử tích tenxơ − ⊗ − : MR ×R M → M. Hàm tử này được mở rộng lên
cho cấu trúc song nửa môđun trong [33]. Cụ thể, cho trước hai nửa vành R và
S, một R-S-song nửa môđun A, ký hiệu R AS , là một vị nhóm giao hốn có cấu
trúc R-nửa mơđun trái và S-nửa môđun phải sao cho (ra)s = r(as); một đồng
cấu song nửa môđun f : R AS −→ R BS là một đồng cấu vị nhóm f : A −→ B
sao cho r(f a)s = f (ras), và ký hiệu R MS (A, B) là tập hợp tất cả các đồng cấu
song nửa môđun từ A đến B. Rõ ràng, tất cả các R-S-song nửa môđun cùng
các đồng cấu song nửa môđun lập thành một phạm trù và được ký hiệu R MS .
Cho T , R và S là các nửa vành bất kỳ, T AR ∈ |T MR |, R BS ∈ |R MS |. Khi đó,
trên tích tenxơ A ⊗R B tồn tại cấu trúc T -S-song nửa môđun với phép nhân
với vô hướng được xác định trên các phần tử sinh của vị nhóm A ⊗R B bởi
t(a ⊗ b)s = ta ⊗ bs; và với bất kỳ η ∈ T MR (A1 , A) và µ ∈ R MS (B1 , B) tồn tại
một đồng cấu giữa các T -S-song nửa mơđun η ⊗ µ : A1 ⊗ B1 −→ A ⊗ B được


17

xác định bởi (η ⊗ µ)(a1 ⊗ b1 ) = η(a1 ) ⊗ µ(b1 ).
Mệnh đề 1.1.7. ([33, Proposition 3.1]) Các tương ứng (A, B) → A ⊗ B và
(η, µ) → η ⊗ µ, ở đây T AR ∈ |T MR |, R BS ∈ |R MS |, η ∈ T MR (A1 , A),
và µ ∈ R MS (B1 , B), xác định song hàm tử − ⊗ − :

Nếu

R BS

T MR

× R MS −→

T MS .

∈ |R MS | và T CS ∈ |T MS |, thì MS (B, C) có cấu trúc T -R-song

nửa mơđun xác định như sau:
(tµr)(b) = t(µ(rb)) với b ∈ B, µ ∈ MS (B, C).
Một cách tương tự, nếu T AR ∈ |T MR | và T CS ∈ |T MS |, thì T M(A, C) có
cấu trúc R-S-song nửa mơđun xác định bởi: với a ∈ A, µ ∈ T M(A, C),
(rµs)(a) = µ(ar)s.
Mệnh đề 1.1.8. ([33, Proposition 3.2]) Với B, B1 ∈ |R MS |, C, C1 ∈ |T MS |,
các tương ứng (B, C) −→ MS (B, C) và (β, γ) −→
MS (B1 , C1 ), ở đây β ∈

R MS (B1 , B)

cộng tính MS : (R MS )op × T MS −→

và γ ∈

T MR (β, γ)

T MS (C, C1 ),

: MS (B, C) −→
xác định hàm tử

T MR .

Với A, A1 ∈ |T MR |, C, C1 ∈ |T MS |, các tương ứng (A, C) −→ T M(A, C) và
(α, γ) −→
γ∈

R MS (α, γ)

T MS (C, C1 ),

: T M(A, C) −→ T M(A1 , C1 ), ở đây α ∈ T MR (A1 , A) và

xác định hàm tử cộng tính T M : (T MR )op × T MS −→

Cho A và B là hai phạm trù. Nếu tồn tại hai hàm tử G : A

R MS .

B : F sao cho

với mỗi cặp A ∈ |A| và B ∈ |B|, tồn tại một đẳng cấu tự nhiên (theo A và B)
ϕ = ϕA,B : A(F (B), A) ∼
= B(B, G(A)), thì bộ ba F, G, ϕ được gọi là một phù
hợp từ B đến A. Khi đó, hàm tử F được gọi là phù hợp trái của G, và hàm tử
G được gọi là phù hợp phải của F (xem, chẳng hạn, [43, Chapter 4]). Theo [43,
Theorem 2, Chapter 4], phù hợp F, G, ϕ hoàn toàn được xác định khi và chi

khi tồn tại một đẳng cấu tự nhiên η : idB −→ GF . Định lý dưới đây chỉ ra rằng
hàm tử Hom là phù hợp phải của hàm tử tích tenxơ ⊗.
Định lý 1.1.9. ([33, Theorem 3.3]) Cho R, S, T là các nửa vành, T AR ∈ |T MR |,
R BS

∈ |R MS |, và
ϕ:

T CS

∈ |T MS |. Khi đó, tồn tại các đẳng cấu tự nhiên

T MS (A

⊗R B, C) −→

T MR (A, MS (B, C))


18

và
T MS (A

ψ:

⊗R B, C) −→

R MS (B, T M(A, C)).

Đặc biệt, với mỗi R-S-song nửa môđun
T MS

−→

T MS ;

và với mỗi T -R-song nửa môđun

T MS

−→

T MR

R MS

R BS

∈ |R MS |, hàm tử MS (B, −) :

là một phù hợp phải của hàm tử − ⊗R B :
T AR

∈ |T MR |, hàm tử

T MR

−→

T M(A, −)

:

là một phù hợp phải của hàm tử A ⊗R − : R MS −→ T MS .

Cuối cùng, chúng tôi chứng minh quy tắc kết hợp cho các tích tenxơ của các
nửa môđun.
Mệnh đề 1.1.10. Cho R, S, T, U là các nửa vành, T AR ∈ |T MR |, R BS ∈ |R MS |,
và S CU ∈ |T MU |. Khi đó, tồn tại một đẳng cấu tự nhiên
(A ⊗R B) ⊗S C ∼
= A ⊗R (B ⊗S C).
Chứng minh. Với mỗi c ∈ C, ta có ánh xạ αc : B −→ B ⊗S C cho bởi
αc (b) = b ⊗ c và một đồng cấu βc = 1A ⊗ αc : A ⊗R B −→ A ⊗R (B ⊗S C), khi
đó ánh xạ
γ : (A ⊗R B) × C −→ A ⊗R (B ⊗S C),
được xác định bởi γ(x, c) = βc (x), cảm sinh ra một đồng cấu ϕ : (A ⊗R B) ⊗S
C −→ A ⊗R (B ⊗S C) sao cho ϕ((a ⊗ b) ⊗ c) = a ⊗ (b ⊗ c) . Nhờ vào tính đối
xứng, ta có thể xây dựng một đồng cấu ψ : A ⊗R (B ⊗S C) −→ (A ⊗R B) ⊗S C
sao cho ψ(a ⊗ (b ⊗ c)) = (a ⊗ b) ⊗ c. Dễ dàng chỉ ra rằng ϕ và ψ là các ánh xạ
ngược của nhau; do đó, phép chứng minh đã được hồn tất.

1.2

Vật sinh xạ ảnh

Trong tiết này, dựa trên những hiểu biết về vật sinh xạ ảnh của hai phạm
trù môđun ([3], [41]) và vị nhóm ([38]), luận án giới thiệu và nghiên cứu chi tiết
khái niệm vật sinh xạ ảnh cho phạm trù nửa môđun. Để làm điều này ta phải
cần đến vật xạ ảnh hữu hạn sinh và vật sinh trong phạm trù nửa môđun.

Các mệnh đề dưới đây cho ta thêm một số đặc trưng về nửa môđun xạ ảnh
và nửa môđun xạ ảnh hữu hạn sinh.


19

Mệnh đề 1.2.1. Nửa môđun
nửa môđun tự do
cho P ∼
= α(F ).

RF

RP

∈ |R M| là xạ ảnh khi và chỉ khi tồn tại một

∈ |R M|, và một tự đồng cấu lũy đẳng α : F −→ F sao

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1.5, nửa môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi tồn
tại một nửa môđun trái tự do F và một toàn cấu θ : F

P sao cho θµ = 1P ,

trong đó µ : P

F là phép nhúng chính tắc. Từ tiêu chuẩn này và các khẳng
định α2 = α với α := µθ : F −→ F , và P ∼
= µθ(F ), chúng ta ngay lập tức nhận
được phát biểu của mệnh đề nói trên.

Gọi S = R M(P, P ) := End (R P ) là một nửa vành các tự đồng cấu của R-nửa
mơđun trái R P ∈ |R M|. Khi đó, P trở thành một R-S-song nửa môđun với cấu
Def

trúc S-nửa môđun phải trên P được xác định bởi x.f = f (x), với mọi x ∈ P
và f ∈ S; tức là, R PS ∈ |R MS |. Như trong trường hợp của các môđun trên các
các vành (xem [41]), chúng ta viết Q = P ∗ := R M(R P,R R) với S-R-song nửa
môđun đối ngẫu P ∗ của R-S-song nửa môđun P , ở đây cấu trúc S-R-song nửa
môđun trên Q được xác định theo quy tắc
p(sqr) = ((ps)q)r,
với p ∈ P , s ∈ S, q ∈ Q và r ∈ R, trong đó các phần tử của cả S và Q có tác
dụng lên phía phải của P . Đặc biệt, chúng ta có p(qr) = (pq)r và p(sq) = (ps)q
(“P QR-kết hợp” và “P SQ-kết hợp”, một cách tương ứng (cf., [41, Section 18C])).
Ở đây và trong đoạn tiếp theo, các phần tử p, q, r, s (và p , q , r , s ) thuộc
vào P , Q, R, và S, một cách tương ứng. Sử dụng tính chất “P QP -kết hợp”, ta
xác định một tự đồng cấu qp ∈ S bởi p (qp) = (p q)p với mọi p ∈ P và q ∈ Q.
Khi đó, hồn tồn tương tự như đã được làm trong [41, Section 18C], chúng ta
chỉ ra rằng qp là một tự đồng cấu của R P và (q p)q = q (pq) với mọi p ∈ P ,
q, q ∈ Q (“QP Q-kết hợp”), cũng như khẳng định dưới đây:
Bổ đề 1.2.2. Các tương ứng (p, q) −→ pq và (q, p) −→ qp lần lượt xác định
(R, R)-đồng cấu α : P ⊗S Q −→ R và (S, S)-đồng cấu β : Q ⊗R P −→ S, một
cách tương ứng.
Chú ý 1.2.3. Một cách tương tự như trên, cho trước một R-nửa môđun phải