Điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán tối ưu trong không gian vectơ tôpô

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------

ĐỖ THANH PHÚC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP MỘT VÀ CẤP HAI CHO BÀI
TOÁN TỐI ƯU TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

Chun ngành : Tốn giải tích
Mã số

: 60 46 01

Thái Nguyên, năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

MỞ ĐẦU

Lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 là một bộ
phận quan trọng của lý thuyết các bài toán cực trị. Người

ta xây dựng các điều kiện tối ưu cấp 2 dưới ngơn ngữ nón
các phương giảm cấp 2 cho hàm mục tiêu, nón các phương
chấp nhận được cho ràng buộc nón và nón các phương tiếp
xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức (theo một phương d nào
đó). Với d = 0, các nón cấp 2 ấy sẽ trở thành các nón cấp
1 tương ứng và như vậy từ các điều kiện tối ưu cấp 2 ta sẽ
nhận được các điều kiện tối ưu cấp 1 như một trường hợp
riêng. Vì thế nhiều nghiên cứu tập trung vào lý thuyết hợp
nhất các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho các bài tốn tối
ưu.
Cơng trình nổi tiếng của A. Dubovitskii và A.A. Milyutin
[5] ra đời, đã cho ta một lý thuyết các điều kiện tối ưu
cấp 1 dưới ngơn ngữ giải tích hàm. Phát biểu ý tưởng của
Dubovitskii - Milyutin [5], trong [4] A. Ben-Tal và J. Zowe
đã xây dựng các điều kiện tối ưu cấp 2 dưới ngơn ngữ nón
các phương giảm cấp 2 nón các phương chấp nhận được cấp
2 và nón các phương tiếp xúc cấp 2 (theo một phương d)
mà trường hợp riêng của kết quả này (với d = 0) ta sẽ nhận
lại được các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Dubovitskii Milyutin.
Luận văn trình bày lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp
2 của Ben Tal - Zowe [4] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2
với ràng buộc nón và ràng buộc bất đẳng thức dưới ngơn
ngữ nón các phương giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các
phương chấp nhận được cấp 2 cho ràng buộc nón và nón các

phương tiếp xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức. Khi các nón
cấp 2 lấy theo phương 0 ta sẽ nhận được các điều kiện tối
ưu cấp 1.
Luận văn này bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận
và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày điều kiện tối ưu cấp 2 tổng quát cho
cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu trong
không gian vectơ tôpô thực dưới ngơn ngữ nón các phương
giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các phương chấp nhận
được cấp 2 của ràng buộc nón và nón các phương tiếp xúc
cấp 2 của ràng buộc đẳng thức. Các kết quả được trình bày
trong chương này là của Ben Tal - Zowe [4].
Chương 2 trình bày cách tiếp cận áp dụng điều kiện cần
cấp 2 tổng quát trong chương 1 bao gồm các kết quả tính
tốn nón các phương giảm cấp 1 và cấp 2, nón các phương
chấp nhận được cấp 1 và cấp 2 và nón các phương tiếp xúc
cấp 1 và cấp 2, cùng với các điều kiện cần cấp 1 và cấp 2 cho
bài toán tổng quát (P) và bài toán với hữu hạn ràng buộc
bất đẳng thức (MP). Các kết quả trình bày trong chương
này là của Ben Tal - Zowe [4].
Chương 3 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho
bài toán tổng quát (P) trong trường hợp không gian X là
hữu hạn chiều của Ben Tal - Zowe [4] và X vô hạn chiều của
Maurer - Zowe.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3

Chương 1
Điều kiện cần tổng quát
cho cực tiểu yếu địa
phương
1.1

Các khái niệm và định nghĩa

Ta xét bài toán tối ưu có dạng

(P )

M in f (x),
g(x) ∈ K,
h(x) = 0,
x ∈ X.

Ánh xạ f : X → U, g : X → V, h : X → W là các ánh
xạ liên tục, Ở đây X, U, V và W là các khơng gian vectơ
tơpơ thực, K là nón lồi trong V với phần trong không rỗng
(intK = ∅), U được sắp bởi nón nhọn C với intK = ∅.
Theo quy ước thông thường ta viết: u1 ≥ u2 (hoặc u2 ≤
u1 ) nếu u1 −u2 ∈ C, và u1 > u2 (u2 < u1 ) nếu u1 −u2 ∈ intC.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Khi đó, ≥ có tính chất bất biến với phép tịnh tiến và phép
nhân vô hướng dương.
Ta quan tâm tới bài tốn tìm cực tiểu yếu địa phương,
tức là ta tìm điểm x0 thuộc tập chấp nhận được F := {x ∈
X : −g(x) ∈ Kvà h(x)=0} mà tồn tại một lân cận N (x0 )
của điểm x0 sao cho
f (x) ∈ f (x0 ) − intC, với ∀x ∈ N (x0 ) ∩ F.

(1.1)

Ta xét x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ).
Nếu U là đường thẳng thực R và C là nửa đường thẳng không
âm R+ = {λ ∈ R : λ không âm}, khi đó (P ) là bài tốn cực
tiểu địa phương thơng thường. Thật vậy, (1.1) tương đương
với (≥ là kí hiệu thứ tự thông thường trong R)
f (x) ≥ f (x0 ) với x0 ∈ N (x0 ) ∩ F.

(1.2)

Trường hợp quan trọng nhất của bài toán (P ) là bài toán
quy hoạch toán học hữu hạn chiều: U = R, C = R+ và K =
Rn+ (n ∈ N). Nếu gi , i = 1, 2, . . . , n, là các thành phần của
g, thì bài tốn (P ) trở thành:
min f (x),
(M P )

gi (x) ≤ 0, với i = 1, 2, · · · , n,
h(x) = 0,
x ∈ X.

Như là một ví dụ cho bài tốn (P ), khi f khơng phải
là hàm thực, ta xét trường hợp U = Rn và lấy C là nón
sắp thứ tự từ điển trong Rn , nghĩa là C là tập tất cả các
vectơ trong Rn mà thành phần khác không đầu tiên dương,
cùng với 0Rn . Ta kí hiệu cl C là bao đóng tơpơ của C. Khi
đó, Rn = (cl C) ∪ (−int C) và (cl C) ∩ (−int C) = ∅. Khi đó,
(1.1) tương đương với
f (x) ∈ f (x0 ) + cl C, với x ∈ N (x0 ) ∩ F.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5
Định nghĩa 1.1.1. Một phương d ∈ X được gọi là phương
tựa giảm tại x của hàm mục tiêu f : X → U tại x nếu với
∀u > 0, u ∈ U , tồn tại số thực T > 0 sao cho
f (x + td) ≤ f (x) + tu, 0 < t ≤ T.
Định nghĩa 1.1.2. Một phương d được gọi là phương tựa
chấp nhận được tại x của hàm g : X → V nếu với ∀v ∈ intK,
tồn tại số thực T > 0 sao cho
g(x + td) ∈ −K + tv, với 0 < t ≤ T.
Nón các phương tựa giảm và phương tựa chấp nhận được
tại x được kí hiệu lần lượt là Df (x) và Dg (x).
Định nghĩa 1.1.3. Ta gọi z ∈ X là phương giảm cấp hai
của f tại x tương ứng với d ∈ X nếu tồn tại u > 0, và lân
cận N (z) của z và số thực T > 0 sao cho
f (x+td+t2 z¯) ≤ f (x)−t2 u, với mọi z¯ ∈ N (z) và 0 < t ≤ T.
(1.3)

Định nghĩa 1.1.4. Phần tử z ∈ X được gọi là phương chấp
nhận được cấp hai của g tại x tương ứng với d ∈ X nếu tồn
tại v ∈ intK, và lân cận N (z) của z và số thực T > 0 sao
cho
g(x+td−t2 z¯) ∈ −K −t2 v, với mọi z¯ ∈ N (z), và 0 < t ≤ T.
(1.4)
Tập tất cả z thoả mãn (1.3) và (1.4) được kí hiệu lần lượt
là Qf (x, d) và Qg (x, d). Hiển nhiên, Qf (x, d) và Qg (x, d) là
các tập mở. Ta đặt
Df< (x) := Qf (x, 0), Dg< (x) := Qg (x, d)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(1.5)



6
Định nghĩa 1.1.5. Vectơ z được gọi là phương tiếp xúc cấp
hai hàm h : X → W tại x tương ứng với d ∈ X nếu tồn tại
một số thực T > 0 và đường cong r(t) ∼ o(t2 ) sao cho
h(x + td + t2 z + r(t)) = 0, với 0 < t ≤ T1 .
Tập các vectơ z như vậy được kí hiệu là Vh (x, d). Ta đặt
Th (x) := Vh (x, 0).

(1.6)

Lấy d ∈ X, khi đó ta gọi f là d-chính quy tại x nếu
Qf (x, d) là tập không rỗng và lồi. Tương tự, ta nói g là dchính quy tại x nếu Qg (x, d) là tập không rỗng và lồi. h là
d-chính quy tại x nếu Vh (x, d) là tập khơng rỗng và lồi. Nếu
f là d-chính quy tại x với ∀d ∈ Df (x), thì f được gọi là chính

quy tại x (do (1.6) ta chỉ cần, với d ∈ Df¯(x)). Tương tự, g
được gọi là chính quy tại x nếu g là d-chính quy tại x với
∀d ∈ Dg (x), h được gọi là chính quy tại x nếu h là d-chính
quy tại x với ∀d ∈ Th (x).
Với tập con S của X, hàm tựa δ ∗ (.|S) xác đinh trên không
gian vectơ topô đối ngẫu X ∗ của X với giá trị trên đường
thẳng thực mở rộng R ∪ {∞} được định nghĩa như sau:
δ ∗ (x∗ |S) = sup x∗ x với x∗ ∈ X ∗ .

(1.7)

x∈S

(Nếu S = ∅, thì ta quy ước δ ∗ (·|S) = −∞ ). Miền hữu hiệu
của δ ∗ (.|S) kí hiệu là Λ(S)
Λ(S) = {x∗ ∈ X ∗ : δ ∗ (x∗ |S) < ∞}.
Kí hiệu S + là tập các cực của S
S + = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ x ≥ 0 (∀x ∈ S)}.
Ta có nếu S là nón thì
Λ(S) = −S + ,
δ ∗ (x∗ |S) =

0, nếu x∗ ∈ Λ(S),
∞, nếu x∗ ∈ Λ(S).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(1.8)

7

1.2

Điều kiện cần tổng quát cho cực
tiểu yếu địa phương

Định lý 1.2.1. Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của
bài tốn (P ). Khi đó, với mọi
d ∈ Df (x0 ) ∩ Dg (x0 ) ∩ Th (x0 ),

(1.9)

trong đó f, g và h là d-chính quy, tồn tại các hàm tuyến tính
liên tục trên X:
lf ∈ Λ(Qf (x0 , d)), lg ∈ Λ(Qg (x0 , d)), lh ∈ Λ(Vh (x0 , d))
(1.10)
không đồng thời bằng không thoả mãn phương trình Euler Lagrange
lf + lg + lh = 0,
(1.11)
và bất đẳng thức Legendre
δ ∗ (lf | Qf (x0 , d)) + δ ∗ (lg | Qg (x0 , d)) + δ ∗ (lh |Vh (x0 , d)) ≤ 0.
(1.12)
Bổ đề 1.2.2. Giả sử S1 , · · · , Sn là tập con lồi của X và
x∗ ∈ Λ(∩nn=1 Si ). Nếu
(∩n−1
n=1 intSi ) ∩ Sn = ∅,

(1.13)

thì
n
∗

δ (x

∗

|∩ni=1

δ ∗ (x∗i |Si ) : x∗ = x∗1 +· · · +x∗n ∈ Λ(Si )}.

Si ) = min{
i=1

Bổ đề 1.2.3. Giả sử S1 , · · · , Sn+1 là các tập con lồi, khơng
rỗng của X, trong đó S1 , · · · , Sn là các tập mở. Khi đó
∩n+1
i=1 Si = ∅
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(1.14)



8
nếu và chỉ nếu tồn tại x∗i ∈ Λ(Si ), ß = 1, · · · , n + 1, không
đồng thời bằng không, sao cho

x∗1 + x∗2 + · · · + x∗n+1 = 0,
δ ∗ (x∗1 |S1 ) + δ(x∗2 |S2 ) + · · · + δ(x∗n+1 |Sn + 1) ≤ 0.

(1.15)
(1.16)

∗
Chú ý 1.2.4. Nếu ∩n+1
i=2 Si = ∅ thì x1 = 0 trong bổ đề 1.2.3.

Hệ quả 1.2.5. Giả sử S1 , S2 , · · · , Sn là các nón lồi khơng
rỗng trong X và giả sử S1 , S2 , · · · , Sn là các tập mở. Khi đó,
∩n+1
i=1 Si = ∅
nếu và chỉ nếu tồn tại x∗i ∈ Si+ , i = 1, 2, · · · , n + 1, không
đồng thời bằng không, sao cho
x∗1 + · · · + x∗n = 0.
Bổ đề 1.2.6. Giả sử A : X −→ U là tốn tử tuyến tính với
miền giá trị R(A) và S là tập con lồi không rỗng của U . Đặt
A−1 S := {x ∈ X : AX ∈ S},
và giả sử x∗ ∈ Λ(A−1 S). Giả sử một trong các điều kiện sau
đúng:
(i) R(A) ∩ intS = ∅. (điều kiện Slater),
(ii) A là tập mở .
Khi đó,
˙ u∗ ∈ Λ(S)}
δ ∗ (x∗ |A−1 S) = min{δ ∗ (u∗ |S) : x∗ = u∗ A,
(Ở đây δ ∗ (·|A−1 S) được xác định trên X ∗ và δ ∗ (·|S) trên U ∗ ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
Từ định lý 1.2.1 ta suy ra điều kiện tối ưu cấp 1 như là
một trường hợp đặc biệt. Ta phát biểu điều này trong hệ quả
sau
Hệ quả 1.2.7. Giả sử x0 là một nghiệm tối ưu địa phương
của bài toán (P ) và giả sử f, g, h là 0 - chính quy tại x0 .
Khi đó tồn tại các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X
lf ∈ Df< (x0 )+ , lg ∈ Dg< (x0 )+ , lh ∈ Th (x0 )+ ,

(1.17)

không đồng thời bằng không thoả mãn
lf + lg + lh = 0.

(1.18)

Chú ý 1.2.8. Sự khác nhau giữa các điều kiện tối ưu cấp
một và cấp hai phản ánh sự khác nhau giữa bổ đề 1.2.3 và
hệ quả 1.2.5.
Chú ý 1.2.9. Giả sử d thoả mãn giả thiết của định lý 1.2.1.
Nếu
Qg (x0 , d) ∩ Vh (x0 , d) = ∅
thì lf trong (1.10) và (1.11) khác 0.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10

Chương 2
Áp dụng điều kiện cần
tối ưu tổng quát
2.1

Các ràng buộc tích cực

Mệnh đề 2.1.1.
Giả sử v ∈ intK. Khi đó,
(i) λv ∈ int K, với mọi số thực λ > 0,
(ii) v + K ⊂ int K,
(iii) [-v,v] là một lân cận của gốc trong V .
Kí hiệu Ka là bao đóng của bao nón của K + a tức là (kí
hiệu cone A là bao nón của A):
Ka = cl cone(K + a) = cl{λ(k + a) : k ∈ K, λ ≥ 0}.
Với b ∈ V , ta kí hiệu Ka,b là bao đóng của bao nón của Ka+b ,
tức là
Ka,b = cl{(ka + b) : ka ∈ Ka , λ ≥ 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11
Bổ đề 2.1.2. Cho a ∈ −K; b ∈ −Ka . Khi đó,
Ka,b = cl(K + {λa + µb : λ ≥ 0, µ ≥ 0}).

Mệnh đề 2.1.3. [4] Giả sử V = Rn , K = Rn+ và x, d ∈ X.
Giả sử g (x) tồn tại.
(i) Nếu g(x) ∈ −K thì
n

Kg(x) =

Si , trong đó Si =
i=1

R+ , nếu i ∈ I(x),
R,
nếu i ∈ I(x).

(ii) Nếu g(x) ∈ −K và g (x)d ∈ −Kg(x) thì
n

Kg(x),g (x)d =

Si , trong đó Si =
i=1

R+ , nếu i ∈ J(x, d),
R,
nếu i ∈ J(x, d).

Ví dụ 2.1.4. Cho V = R3 và K là nón,
K = {v ∈ R3 : v12 + v22 ≤ v32 , v3 ≥ 0}.
Cho g : X −→ R3 là hàm khả vi và xét ràng buộc g(x) ∈ −K.
Ta cho hàm q : X −→ R2 xác định bởi

q(x) :=

g12 (x) + g22 (x) − g32 (x)
.
−g3 (x)

Khi đó, tồn tại
g(x) ∈ −K nếu và chỉ nếu qi (x) ≤ 0 với i = 1, 2.

(2.1)

Giả sử intK = 0. Ta có kết quả sau đây về phần trong
của Ka và Ka,b .
Bổ đề 2.1.5. Cho a ∈ −K và b ∈ −Ka . Khi đó,
intKa = intK + {λa : λ ≥ 0},
intKa,b = intK + {λa + µb : λ ≥ 0, µ ≥ 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(2.2)
(2.3)



12

2.2

Tập các phương giảm và tập các
phương chấp nhận được

Ta bắt đầu với việc phân tích Df< (x) và Dg< (x) dưới ngôn
ngữ đạo hàm theo phương
f (x; d) := lim t−1 [f (x + td) − f (x)].
t→0+

Mệnh đề 2.2.1. Cho x ∈ X. Giả sử f (x, d) và g (x, d) tồn
tại với ∀d ∈ X.Khi đó,
(i) Df (x) = {d ∈ X : f (x, d) ≤ 0},
(ii) Nếu g(x) ∈ −K, Dg (x) = {d ∈ X : g (x, d) ∈ −Kg(x) }.
Mệnh đề 2.2.2. Giả sử X, U và V là các không gian định
chuẩn. Lấy x, d ∈ X và giả sử f (x, d; z) và g (x, d; z) tồn
tại với mọi z ∈ X. Giả sử f, g thoả mãn điều kiện Lipschitz
địa phương tại x. Khi đó,
(i) Nếu f (x, d) ≤ 0,
Qf (x; d) = {z ∈ X : f (x, d; z) ∈ −int Cf

(x;d) };

(ii) Nếu g(x) ∈ −K và g (x; d) ∈ cone(K + g(x)) (=
−Kg(x) khi cone(K + g(x)) là đóng,
Qg (x, d) = {z ∈ X : g (x, d, z) ∈ −intKg(x),g (x;d) };
(ii) Nếu g(x) ∈ −K và g (x; d) ∈ −Kg (x),
Qg (x, d) ⊂ {z ∈ X : g (x, d; z) ∈ −int Kg(x),g (x;d) }.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13
Hệ quả 2.2.3. Cho X, U, V là các không gian định chuẩn,

và giả sử f, g thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương tại
x. Giả sử tồn tại f (x; d) và g (x, d) với mọi d ∈ X. Khi đó,
(i) Df< x = {d ∈ X : f (x; d) < 0},
(ii) Nếu g(x) ∈ −K thì Df< x = {d ∈ X : g (x; d) ∈
−int Kg(x) }.
Bổ đề 2.2.4. Giả sử f F- khả vi liên tục trong một lân cận
của x, với d cho trước hàm Φd (t) := f (x + td) khả vi cấp hai
tại t = 0. Khi đó, f (x, d; z) tồn tại với ∀z ∈ X, và
1
f (x, d; z) = f (x; z) + Φd (0).
2

2.3

(2.4)

Tập các phương tiếp xúc

Bổ đề 2.3.1. Giả sử X và W là các không gian Banach,
h : X → W F- khả vi liên tục trong một lân cận của x,
h (x) là toàn ánh, h(x) = 0. Lấy k là số tự nhiên bất kỳ.
Giả sử tồn tại dãy số thực → 0+ {ti }i=1,2,··· và dãy tương ứng
{y(ti )}i=1,2,··· trong X sao cho
y(ti ) −→ 0, ||h(x + y(ti ))|| = o(||y(ti )||k ).
t→∞

Khi đó, với mọi i, tồn tại {r(ti )} sao cho
h(x + y(ti )) + r(ti ) = 0, ||r(ti )|| = o(||y(ti )||k ).
Chú ý 2.3.2. Từ chứng minh trên ta thấy dạng liên tục
của bổ đề 2.3.1 cũng đúng, trong đó các dãy y(ti )i=1,2,··· và

r(ti )i=1,2,··· thay bởi các hàm y(t) và r(t) xác định trong
khoảng (0, t0 ] với số dương t0 thích hợp. Ta sử dụng điều
này để chứng minh:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14
Mệnh đề 2.3.3. Cho h là ánh xạ từ không gian Banach X
vào không gian Banach W , F - khả vi cấp hai trong một lân
cận của điểm x với h(x) = 0. Giả sử với h (x) là tồn ánh.
Khi đó,
Th (x) = {d ∈ X : h (x)d = 0},
(2.5)
1
Vh (x, d) = {z ∈ X : h (x)z+ h (x)(d, d) = 0} với d ∈ Th (x).
2
(2.6)
Nói riêng, h chính quy tai x

2.4

Điều kiện cần cho cực tiểu yếu
của bài toán khả vi

Mệnh đề 2.4.1. Giả sử X, U, V và W là các không gian
định chuẩn; f, g và h là các hàm F- khả vi cấp hai. Cho
x, d ∈ X.
(i) Giả sử f (x)d ≤ 0 và Qf (x, d) = ∅. Khi đó, với lf ∈

Λ(Qf (x, d)), tồn tại u∗ ∈ C + sao cho
lf = u∗ · f (x), u∗ f (x)d = 0,
δ ∗ (lf |Qf (x, d)) =

−1 ∗
u f (x)(d, d).
2

(ii) Giả sử g(x) ∈ −K, g (x)d ∈ −cone(K + g(x)) và
Qg (x, d) = 0. Khi đó, với lg ∈ Λ(Qg (x, d)), tồn tại
v ∗ ∈ K + sao cho
lg = v ∗ · g (x), v ∗ g (x)d = 0, v ∗ g(x) = 0,
δ ∗ (lg |Qg (x, d)) =
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

−1 ∗
v g (x)(d, d).
2



15
(iii) Giả sử X và W là các không gian Banach, h (x) là
ánh xạ lên, h(x) = 0 và h (x)d = 0. Khi đó, với lh ∈
Vh (x, d), tồn tại w∗ ∈ W ∗ sao cho
lh = w∗ · h (x),
δ ∗ (lh |Vh (x, d)) =

−1 ∗
w h (x)(d, d).

2

Định lý 2.4.2. Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của
bài toán (P ); X và W là các không gian Banach, U và V là
không gian định chuẩn. Giả sử f, g và h là F-khả vi cấp 2.
Miền giá trị R(h (x0 )) của h (x0 ) là đóng. Khi đó, với mọi
d thoả mãn
f (x0 )d ≤ 0, g (x0 )d ∈ −cone(K + g(x0 )), h (x0 )d = 0,
(2.7)
∗
+
∗
tồn tại các hàm tuyến tính liên tục u ∈ C , v ∈ K + và
w∗ ∈ W ∗ không đồng thời bằng 0 sao cho
u∗ f (x0 )d = 0, v ∗ g(x0 ) = 0, v ∗ g (x0 )d = 0,

(2.8)

u∗ · f (x0 ) + v ∗ · g (x0 ) + w∗ · h (x0 ) = 0,
(u∗ · f (x0 ) + v ∗ · g (x0 ) + w∗ · h (x0 ))(d, d) ≥ 0.

(2.9)
(2.10)

Ta thêm một điều kiện chính quy
h (x0 ) là ánh xạ lên và tồn tại z ∈ X sao cho
CQ(d) g (x0 )z + g (x0 )(d, d) ∈ −int Kg(x0 ),g (x0 )d ,
h (x0 )z + h (x0 )(d, d) = 0.
Hệ quả 2.4.3. Nếu cho vectơ d trong (2.8) thoả mãn điều
kiện CQ(d) thì u∗ tương ứng trong (2.9)-(2.11) khác 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

2.5

Điều kiện cần tối ưu cho bài
toán (MP)

Ta đặc biệt hoá định lý 1.2.1 cho bài toán (MP). Để làm
điều này ta ký hiệu Dgi (x) là tập của các phương tựa chấp
nhận được của thành phần gi của g (thay K bằng R+ trong
định nghĩa), tương tự cho Qgi (x, d) và Dgquy tại x nếu Qgi (x, d) không rỗng và lồi với mọi d ∈ Dgi (x).
Nhắc lại định nghĩa của I(x):
I(x) = {i ∈ 1, 2, · · · , n} : gi (x) = 0},
và với d ∈ Dg (x), ta đặt
J(x, d) = {i ∈ I(x) : d ∈ Dg¯i (x)
Định lý 2.5.1. Cho x0 là một nghiệm tối ưu địa phương của
bài toán (M P ), và giả sử f, h và gi , i ∈ I(x0 ) là chính quy
tại x0 . Khi đó, với mọi
d ∈ Df (x0 ) ∩ ( ∩ Dgi (x0 )) ∩ Th (x0 )

(2.11)

i∈I(x0 )

tồn tại các hàm tuyến tính liên tục
lf ∈ Λ(Qf (x0 , d)), lh ∈ Λ(Vh (x0 , d)),
lgi ∈ Λ(Qgi (x0 , d)) (i ∈ J(x0 , d)),

(2.12)

không đồng thời bằng 0, thoả mãn
lf +

lgi + lh = 0,

(2.13)

i∈J(x0 ,d)

δ ∗ (lf |Qf (x0 , d))+

δ ∗ (lgi |Qgi (x0 , d))+δ ∗ (lh |Vh (x0 , d)) ≤ 0
i∈J(x0 ,d)

(2.14)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




17
Điều kiện cấp 2 ở trên chứa điều kiện cấp 1 của Dubobitskii và Milyuntin [5] như một trường hợp đặc biệt. Để thấy
điều này ta đặt d = 0 trong định lý 2.5.1. Hiển nhiên các tập
cấp 2 trong (2.12) trở thành:

+
Λ(Qf (x0 , d)) = −Df< (x+
0 ), Λ(Vh (x0 , 0)) = −Th (x0 ) ,

Λ(Qgi (x0 , 0)) = −Dgvà (2.15) trở thành bất đẳng thức tầm thường 0 ≤ 0. Ta có
hệ quả sau.
Hệ quả 2.5.2. Lấy x0 là nghiệm tối ưu địa phương của
bài toán (MP) và giả sử Df< (x0 ), Ih (x0 ) và DgI(x0 ) không rỗng và lồi. Khi ddos tồn tại lf ∈ Df< (x0 )+ , lh ∈
Th (x0 )+ và lgi ∈ Dgbằng 0, sao cho
lf +

lgi + lh = 0.
i∈I(x0 )

Các trường hợp khả vi của định lý 2.5.1 sau đây dễ dàng
được chứng minh bằng cách đặc biệt hoá định lý 2.4.2
Định lý 2.5.3. [4] Lấy x0 là một nghiệm tối ưu địa phương
của của bài toán (MP), X, W là các không gian Banach. Giả
sử f, h và gi với i = 1, 2, · · · , n là F-khả vi cấp hai và miền
giá trị của h (x0 ) là đóng. Khi đó, với mọi d thoả mãn
f (x0 )d ≤ 0, gi (x0 )d ≤ 0 (i ∈ I(x0 )), h (x0 )d = 0, (2.15)
tồn tại các số thực y0 ≥ 0 và yi ≥ 0 với i ∈ J(x0 , d), và hàm
w∗ ∈ W ∗ không đồng thời bằng 0 sao cho
y0 f (x0 ) +

yi gi (x0 ) + w∗ · h (x0 ) = 0,

(2.16)

i∈J(x0 ,d)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18
yi gi (x0 ) + w∗ · h (x0 ) (d, d) ≥ 0. (2.17)

y0 f (x0 ) +

i∈J(x0 ,d)

Chú ý 2.5.4. Với dimW < ∞, miền giá trị của h (x) ln
đóng và giả thiết này có thể là bỏ được.
Chú ý 2.5.5. Giả sử các giả thiết của định lý 2.5.3 và (2.36)
đúng với d. Khi đó, y0 có thể chọn bằng 1 nếu điều kiện chính
quy sau đây đúng:
h (x) là ánh xạ lên và tồn tại z ∈ X sao cho
(CQ(d)) gi (x0 )z + gi (x0 )(d, d) < 0, với i ∈ J(x0 , d),
h (x0 )z + h (x0 )(d, d) = 0.
Chú ý 2.5.6. Với d = 0 và W = Rm , định lý 2.5.3 qui về
điều kiện Fritz-John. Điều kiện đảm bảo y0 = 1 trong (2.37)
là điều kiện chính quy Mangasarian - Fromwitz
Chú ý 2.5.7. Nếu có một d¯ trong (2.16) mà (2.17) đúng với
các nhân tử y¯0 > 0, y¯i ≥ 0 với i ∈ J(x0 , d) và w¯∗ (chẳng hạn
khi CQ(d) thoả mãn với ít nhất một d trong (2.36)), thì tập

các phương d thoả mãn(2.36) sẽ nhận được từ (2.37) (đặt
yi = 0 với i ∈ J(x0 ) \ J(x0 , d)):
{d|f (x0 )d ≤ 0, g (x0 )d ≤ 0 với i ∈ I(x0 ), h (x0 )d = 0} =
=

d : gi (x0 )d

= 0 với i ∈ I(x0 ), y¯i > 0
≤ 0 với i ∈ I(x0 ), y¯i = 0

khi h (x0 )d = 0

Chú ý 2.5.8. Sau đây là một ví dụ đơn giản để chỉ ra rằng
các nhân tử trong định lý 2.5.3 phụ thuộc vào d.
Lấy X = R2 , f (x) = x21 − x22 , g1 (x) = x1 (x2 − 21 x1 ),
g2 (x) = −x1 ( 21 x1 ) + x2 và g3 (x) = −x21 + x42 . x0 = (0, 0) là
nghiệm tối ưu. f (x0 ) = g (x0 ) = (0, 0) với i = 1, 2, 3 và với
mọi d ∈ R2 thoả mãn (2.16).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19
Ta có kết quả sau đây cho trường hợp dimX < ∞ và
dimW < ∞.
Hệ quả 2.5.9. Xét bài toán (MP) với các hàm f, gi , h khả
vi cấp hai , X và W là các không gian Banach. Cho x0 là
nghiệm tối ưu địa phương và giả sử một trong hai điều kiện
sau đúng

(i) (CQ1)
(ii) (CQ2), miền giá trị của h (x0 ) là đóng và y0 có thể lấy
bằng 1 với mọi d thoả mãn (2.16). Khi đó, tồn tại các
nhân tử yi với i ∈ I(x0 ) và w∗ ∈ W ∗ , sao cho
yi gi (x0 ) + w∗ h (x0 ) = 0,

f (x0 ) +

(2.18)

i∈I(x0 )

f (x0 ) +

yi gi (x0 ) + w∗ h (x0 ) (d, d) ≥ 0,

(2.19)

i∈I(x0 )

với mọi d thoả mãn
g (x0 )d = 0, với i ∈ I(x0 ), yi > 0,
g (x0 )d ≤ 0, với i ∈ I(x0 ), yi = 0,

(2.20)

h (x0 )d = 0.
Ví dụ 2.5.10. Ta trình bày ví dụ minh họa cho định lý 1.2.1
và 2.5.1. Xét bài tốn khơng khả vi:
min f (x) = (x1 − 1)2 + x22 ,

1
điều kiện g(x) = |x1 | − x22 ≤ 0,
k
Trong đó k là tham số dương. Với giá trị nào của k thì
x0 := (0, 0)T là nghiệm tối ưu?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




20

Chương 3
Điều kiện đủ tối ưu
3.1

Điều kiện đủ tối ưu cho bài toán
khả vi

Định lý 3.1.1.
Xét bài toán (P) trong khơng gian X hữu hạn chiều, C
là nón lồi đóng và f, g, h là các hàm F- khả vi cấp hai. Lấy
x0 là điểm chấp nhận được của (P). Khi đó, x0 là nghiệm
tối ưu địa phương chặt nếu một trong hai điều kiện sau đây
thoả mãn:
(i) Hệ sau khơng có nghiệm d
f (x0 )d ≤ 0, g (x0 )d ∈ −Kg(x0 ) , h (x0 )d = 0, d = 0;
(3.1)
(ii) Với mọi nghiệm d của (3.1), tồn tại u∗ ∈ C+ , v ∗ ∈
K + , w∗ ∈ W ∗ sao cho

u∗ f (x0 )d = 0, v ∗ g (x0 )d = 0, v ∗ g(x0 ) = 0,

(3.2)

u∗ · f (x0 )d + v ∗ · g (x0 ) + w∗ · h (x0 ) = 0,

(3.3)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




21
u∗ f (x0 )(d, d) + v ∗ g (x0 )(d, d) + w∗ h (x0 )(d, d) > 0.
(3.4)
Giả thiết dimX < ∞ là cốt yếu trong phát biểu trên.Ta
xét ví dụ sau:
Ví dụ 3.1.2. Lấy X là một không gian l2 thực và I = R.
Chọn s ∈ X với các thành phần sn > 0 với ∀n. Ta xét bài
toán:
∞
∞
x4i .
si x2i −
min f (x) =
i=1

3.2

i=1

Điều kiện đủ tối ưu cho trường
hợp vô hạn chiều

Với X vô hạn chiều, ta có điều kiện đủ cấp hai sau đây:
Định lý 3.2.1. Xét bài toán (P) với U = R, các không gian
Banach thực X, V, W và các hàm F- khả vi cấp hai. Lấy x0
là điểm chấp nhận được bài toán (P) và giả sử tồn tại ánh
xạ x → d(x) của tập chấp nhận được F vào tập xấp xỉ tuyến
tính {d ∈ X : g (x0 )d ∈ −Kg(x0 ) , h (x0 )d = 0} của F sao cho
||d(x)−(x−x0 )|| = o(||x−x0 ||),

với mọi x chấp nhận được
(3.5)
∗
∗
∗
∗
∗
Giả sử tồn tại các nhân tử w ∈ W , v ∈ K với v g(x0 ) và
các số thực dương α, β sao cho
f (x0 ) + v ∗ · g (x0 ) + w∗ · h (x0 ) = 0,
(f (x0 ) + v ∗ g (x0 ) + w∗ h (x0 ))(d, d) ≥ δ||d||2
với mọi
d ∈ {y ∈ X|g (x0 )y ∈ −Kg(x0 ) , h (x0 )y = 0, v ∗ ·g (x0 ) ≥ −β||y||}
Khi đó, x0 là cực tiểu địa phương chặt.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22

KẾT LUẬN
Luận văn này đã trình bày lý thuyết các điều kiện tối
ưu cấp hai của Ben Tal-Zowe [4] cho bài tốn tối ưu đa mục
tiêu với ràng buộc nón trong không gian vectơ tôpô thực.
Các điều kiện cấp 2 được trình bày dưới ngơn ngữ nón các
phương giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các phương chấp
nhận được cấp 2 cho ràng buộc nón và nón các phương tiếp
xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức (theo phương d nào đó).
Chú ý rằng với d = 0, từ các nón cấp 2 ấy ta sẽ nhận được
nón các phương giảm, nón các phương chấp nhận được và
nón các phương tiếp xúc. Khi đó, từ điều kiện cần tối ưu cấp
2 ta nhận lại được điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Dubovitskii
- Milyutin [5]. Khi các hàm mục tiêu và ràng buộc khả vi
Fréchet cấp 2 , từ kết quả tổng quát ta nhận lại được các
điều kiện tối ưu cấp 2 đã biết trước.
Điều kiện tối ưu cấp 2 và cấp cao cho bài toán tối ưu đa
mục tiêu là đề tài đã và đang được nhiều tác giả quan tâm
nghiên cứu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên