Đề HSG môn Toán 12 năm 2010 Thái Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (4 điểm). Cho hàm số
( )
( )
3 2 2 2
y 2x 4m 1 x 4 m m 1 x 2m 3m 2
= − + + − + − + −
có đồ thị là (C
m
).
1. Tìm điểm cố định mà đồ thị (C
m
) luôn đi qua với mọi m.
2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các giá trị cực trị của hàm số cùng dấu.
Câu II (4 điểm).
1. Giải phương trình sau:
( )
3sin 2x cos2x 5sinx + 2 3 cosx + 3 + 3
1
2cosx 3
− − −
=
+
.
2. Giải phương trình sau:
( )
2

3
2
2x 1
log 3x 8x 5
x 1
−
= − +
−
.
Câu III (2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm (x; y) thoả mãn x ≥ −1:
( )
3
x
2
y
x 4
8m
y x 2y

>



+

=

−

Câu IV (3 điểm).

1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại duy nhất số thực x
n
sao cho:
n
n
X
1
x n 0
2010
− + =
. Xét dãy số (U
n
) với U
n
= x
n
− n. Tìm lim U
n
.
2. Tìm n nguyên dương thoả mãn:
( )
0 1 2 2 n n
n n n n
C 2C 6C ... n n 2 C 403+ + + + − + =
. Với
k
n
C
là
số tổ hợp chập k của n phần tử.

Câu V (2 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh
của hình vuông ABCD, biết rằng các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các
điểm M(2; 1), N(0; 1), P(3; 5), Q(−3; −1).
Câu VI (3 điểm). Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm ∆ABC.
1. Gọi (P) là mặt phẳng cắt các đoạn SA, SB, SC, SG lần lượt tại A’, B’, C’, G’ sao cho không có
điểm nào trùng với đầu mút của các đoạn thẳng. Chứng minh rằng:
SA SB SC SG
3
SA' SB' SC' SG '
+ + =
.
2. Khi hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SM và BN với M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC.
3. Khi hình chóp S.ABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a và
·
o
ASB 60=
,
·
o
BSC 90=
,
·
o
CSA 120=
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Câu VII (2 điểm). Cho 2010 số thực dương a
1
, a
2

,..., a
2010
thoả mãn:
1 2 2010
1 2 2010
... 2009
1 a 2 a 2010 a
+ + + ≥
+ + +
Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a
1
a
2
...a
2010.
--- HẾT ---
Họ và tên thí sinh:.................................................................. Số báo danh:..................