Một số biện pháp giúp học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học phương trình ở môn toán trung học phổ thông

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN QUANG LONG

MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH
PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG
DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH Ở MƠN TỐN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN, 2014

Thái Nguyên, 2013


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN QUANG LONG

MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH
PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG
DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH Ở MƠN TỐN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS_TS. ĐÀO THÁI LAI

THÁI NGUYÊN, 2014

Thái Nguyên, 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ cơng trình nào
khác.
Tác giả luận văn

Nguyễn Quang Long
Xác nhận
của Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

PGS-TS. Đào Thái Lai

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS-TS. Đào Thái Lai, ngƣời đã tận
tình chỉ bảo, hƣớng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cơ Trƣờng Đại học sƣ phạm Thái Ngun, khoa

Tốn và khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các giáo viên và học sinh các lớp
10A1;10A2 trƣờng THPT Nguyến Huệ - Đại Từ- Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện
giúp đỡ trong suốt quá trình thực nghiệm sƣ phạm.
Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè và đồng nghiệp, những ngƣời luôn
động viên, khích lệ tơi hồn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, Tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn

Nguyễn Quang Long

iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan .........................................................................................................i
Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................... iii
Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt ......................................................................iv
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 3
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu .................................................................. 3
4. Giả thuyết khoa học .......................................................................................... 4
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 4
6. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................................. 4

7. Đóng góp của luận văn ..................................................................................... 5
Chƣơng 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỰC TẾ HỌC TỐN GIẢI PT Ở
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG ............................................................................ 6
1.1 Nội dung chƣơng trình dạy học PT THPT ..................................................... 6
1.2 Một số cơng trình liên quan. .......................................................................... 8
1.3 Nghiên cứu một số sai lầm phổ biến của HS phổ thông khi giải toán về
chủ đề PT. ............................................................................................................. 9
1.3.1 Sai lầm do tính tốn thơng thƣờng và hiểu sai kí hiệu logic. ...................... 9
1.3.2 Sai lầm liên quan đến điều kiện xác định của PT: ..................................... 11
1.3.3 Sai lầm liên quan đến sử dụng công thức biến đổi dẫn đến sai nghiệm,
thiếu trƣờng hợp. ................................................................................................. 16
1.3.4 Sai lầm trong khi HS thực hiện phép biến đổi tƣơng đƣơng và rút ra hệ quả. .. 25
1.3.5 Sai lầm liên quan đến tƣ duy hàm. ............................................................ 37
1.4 Sự cần thiết phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán PT. ................... 43
1.5 Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong giải tốn PT......................... 45
Kết luận chƣơng 1 ............................................................................................... 47
iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM
CỦA HỌC SINH THƠNG QUA PHÂN TÍCH SỬA CHỮA SAI LẦM. ......... 48
2.1. Cơ sở lý luận ................................................................................................ 48
2.1.1 Một số quan điểm về dạy học sửa chữa sai lầm trong phƣơng pháp dạy học. .. 48
2.2.1.1. Quan điểm trong phƣơng pháp dạy học theo thuyết hành vi................. 48
2.2.1.2. Quan điểm trong phƣơng pháp dạy học theo thuyết kiến tạo. ............... 49
2.2.1.3. Quan điểm trong phƣơng pháp dạy học theo Thuyết tình huống .......... 51
2.1.2 Một số quan điểm về bài tập PT. ............................................................... 53
2.2 Một số biện pháp giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình

dạy học PT ở THPT ............................................................................................ 54
2.2.1 Biện pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức cơ bản để giải PT. .......................... 55
2.2.1.1 Phƣơng pháp dạy học sinh nắm vững bản chất, ý nghĩa khái niệm
tạo cơ sở của tồn bộ kiến thức tốn học của học sinh . ..................................... 55
2.2.1.2 Rèn luyện cho HS nắm vững bản chất định lý, quy tắc trong sách
giáo khoa từ đó tạo vận dụng giải bài tập PT. .................................................... 61
2.2.1.3 Giáo viên cần trang bị cho học HS hiểu các kí hiệu lơgic, thuật ngữ
tốn học. .............................................................................................................. 65
2.2.1.4 GV cần trang bị một số kỹ năng cơ bản giải bài tập PT. ........................ 66
2.2.2 Biện pháp 2: Ngƣời dạy cần chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính
kịp thời, tính chính xác trong q trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho
học sinh. .............................................................................................................. 71
2.2.2.1 Kịp thời phát hiện HS mắc sai lầm. ........................................................ 71
2.2.2.2 Hƣớng dẫn sửa chữa, đánh giá sai lầm chính xác .................................. 72
2.2.2.3 Vận dụng tình huống sửa chữa sai lầm mang tính giáo dục ................... 74
2.2.3 Biện pháp 3: GV kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới sai lầm để HS
đƣợc thử thách với những sai lầm đó. ................................................................ 76
Kết luận chƣơng 2 ............................................................................................... 83
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ........................................................ 85
3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................. 85
v
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

3.2. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................... 85
3.3. Nội dung thực nghiệm ................................................................................. 85
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm. .................................................................... 87
3.4.1. Đánh giá kết quả định tính ........................................................................ 87
3.4.2. Đánh giá về mặt định lƣợng ..................................................................... 89

KẾT LUẬN ........................................................................................................ 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 92

vi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

Viết đầy đủ

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NXB

Nhà xuất bản

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

PT

Phƣơng trình

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông

iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hƣớng tới một nền giáo dục
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nƣớc trong khu vực và tồn thế giới. Chính
vì thế chất lƣơng dạy và học dạy và học là mối quan tâm hàng đầu của nền
giáo dục trên thế giới, hầu hết cá

yếu tố quyết định để ngƣời dạy và ngƣời học hồn thành nhiệm vụ trọng tâm
của mình.
Tốn học là bộ mơn khoa học quan trọng có nhiều ứng dụng trong thực
tế trong các ngành khoa học kỹ thuật. Cũng nhƣ các mơn khoa học khác, học
tốn học giúp con ngƣời trong việc rèn luyện tƣ duy suy nghĩ, phƣơng pháp
luận, phƣơng pháp học tập, phƣơng pháp giải quyết vấn đề, rèn luyện trí thơng
minh sáng tạo. Ngồi ra cịn rèn luyện đức tính nhiều đức tính khác nhƣ cần
cù và nhẫn lại, ý trí vƣợt khó… Dù bạn trong ngành nào thì tốn học cũng rất
cần cho cơng việc của chính bạn. Do vậy GDTHPT hiện nay coi mơn tốn là
mơn học chính, khơng thể thay thế. Tuy nhiên khảo sát thực tiễn dạy học tốn
nhiều năm qua có thể thấy chất lƣợng dạy tốn ở trƣờng phổ thơng cịn chƣa
tốt, thể hiện ở năng lực giải toán của HS còn hạn chế do còn nhiều sai lầm về
kiến thức, và phƣơng pháp.
Hiện nay HS nhiều lỗ hổng kiến thức tốn trầm trọng, dẫn đế các em
ngại học mơn tốn, khơng có ý trí học tập. Ngƣợc lại nhiều HS khá giỏi, thậm
trí là xuất sắc nhƣng vẵn mắc phải sai lầm khá cơ bản. B.V.Gownhenvenco khi
nêu ra 5 phẩm chất tốn học thì có nói 3 phẩm chất liên quan đến tránh sai lầm
trong giải tốn.
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

- Năng lực nhìn thấy đƣợc tính khơng rõ ràng của suy luận; thấy đƣợc
thiếu mắt xích cần thiết của chứng minh.
- Có thói quen lý giải lơgic một cách đầy đủ.
- Sự chính xác của lý luận.
Tiếp tục chƣơng trình phổ thơng là các trƣờng chun nghiệp nếu khơng
phân tích sửa sai trong tƣ duy của ngƣời học dẫn đến sai lầm nối tiếp sai lầm là

hậu quả của ngƣời học.

,

.
Chủ đề PT có vị trí quan trọng trong chƣơng trình mơn Tốn THPT.
Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối
cấp. Những kiến thức về PT cịn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc
hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình
học giải tích. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề
PT một cách đầy đủ theo quy định của chƣơng trình, việc rèn luyện kỹ năng
giải PT cho HS có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lƣợng dạy học
nhiều nội dung mơn Tốn ở trƣờng THPT.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

C

PT rất quen thuộc với HS phổ thông nhƣng
HS
, do đó

, khơng đi

.

Qua khảo sát thực tiễn dạy học ở nƣớc ta trong các năm qua có thể thấy
rằng chất lƣợng dạy học ở THPT cịn chƣa tốt, điều đó thể hiện năng lực giải

tốn của HS cịn hạn chế do HS còn vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức,
phƣơng pháp học tốn. Trong đó nhiều GV chƣa chú ý đến tạo cho HS khả
năng tự phát hiện sai lầm trong giải tốn, đều đó dẫn đến sai lầm không đƣợc
HS nhận thấy kịp thời gây ảnh hƣởng đến năng lực giải tốn của HS. Việc tìm
ra những ngun nhân của sai lầm đó là để có những biện pháp hạn chế, sửa
chửa chúng, giúp cho HS nhận thức đƣợc những sai lầm và khắc phục những
sai lầm này, nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho HS đồng thời nâng cao
hiệu quả dạy học toán các trƣờng THPT.
Xuất phát từ vấn đề nêu trên, nên tôi lựa chọn đề tài “Một số biện pháp
giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học PT ở môn tốn THPT ".
2. Mục đích nghiên cứu
phát hiện và sửa chữa

PT
sai lầm trong giải toán PT
PT

.

3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học mơn Tốn cho HS
PT.
3.2. Đối tượng nghiên cứu:
PT và biện pháp phát hiện và sửa chữa sai lầm đó.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

4. Giả thuyết khoa học

Nếu nhận dạng được những sai lầm của học sinh THPT khi giải tốn
phương trình và

và

phịng ngừa những sai lầm đó thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học PT ở THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về tình huống dạy học giải toán, rèn luyện
kỹ năng giải toán, quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của HS khi giải
tốn trong một số PPDH tích cực
HS THPT khi
giải tốn chủ đề PT
PT.

PT cho HS THPT.
5.4. Thực
.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về
các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.
6.2 Phương pháp điều tra – quan sát:
PT

.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm và
xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm
đƣợc xử lý bằng phƣơng pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

6.4 Phương pháp thống kê tốn học: Xử lí số liệu thu đƣợc sau q trình
thực nghiệm sƣ phạm.
7. Đóng góp của luận văn.
:
PT.
.
:
PT

.

ban đầu
.
8. Cấu trúc của luận văn.
Ngồi phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn đƣợc trình bày trong
ba chƣơng:
Chƣơng 1. Một số vấn đề về thực tế sai lầm phổ biến trong dạy và học
toán giải PT ở THPT.
Chƣơng 2. Một số biện pháp sƣ phạm khắc phục những khó khăn và sai lầm
thƣờng gặp trong giải PT cho HS THPT.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.
Luận văn có sử dụng tài liệu tham khảo và có 3 Phụ lục kèm theo.

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

Chƣơng 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỰC TẾ HỌC TOÁN GIẢI PT
Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
1.1 Nội dung chƣơng trình dạy học PT THPT
Một trong các chủ đề lớn xuyên suốt chƣơng trình tốn học phổ thơng là
chủ đề PT, từ tiểu học đến THPT trong các lớp đều giải toán PT. Tuy nhiên các
lớp tiểu học chỉ làm quen với PT một cách tiềm tàng. Ở lớp 8 HS đã đƣợc học
cấc khái niệm PT, ẩn số nghiệm của PT, tập xác định, hai PT tƣơng đƣơng
nhƣng chƣa đƣợc học về PT hệ quả. Lên lớp 9 HS đƣợc học về PT bậc nhất hai
ẩn, hệ PT bậc nhất 2 ẩn, PT bậc hai và các PT quy về bậc hai.
Bắt đầu lên THPT ngay từ lớp 10 kiến thức về PT HS học ở THCS đƣợc
tổng kết nâng cao, định nghĩa PT và các khái niệm liên quan, một số PT đƣa về
hệ PT. Lớp 11 HS đã học mở rộng về PT là PT lƣợng giác một trong các PT
siêu việt đầu tiên mà HS gặp trong chƣơng trình phổ thơng. Lớp 12 HS đã học
về các PT siêu việt nhƣ PT mũ PT lôgarit. Cuối năm học này HS học thêm về
PT bậc nhất bậc hai nhƣng đƣợc mở rộng trên trƣờng số phức.
Cụ thể chƣơng trình dạy học PT của THPT ở các lớp trong phân phối
chƣơng trình:
Lớp 10 nâng cao: Chương 3 học kỳ 1.
Đại cƣơng về PT: (2tiết).
PT bậc nhất và bậc hai một ẩn (4 tiết).
Một số PT quy về bậc nhất bậc hai (4 tiết).
Lớp 10 cơ bản.
Đại cƣơng về PT: (2tiết).
Một số PT quy về bậc nhất, bậc hai(2).
Lớp 11 cơ bản.
PT lƣợng giác cơ bản (6 tiết).
Một số PT lƣợng giác thƣờng gặp (5 tiết).
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

Lớp 11 Chương trình nâng cao:
PT lƣợng giác cơ bản (6 tiết).
Một số PT lƣợng giác đơn giản (7tiết).
Lớp 12 cơ bản:
PT mũ và PT lôgarit (4 tiết).
PT bậc 2 đối với hệ số thực (2 tiết).
Lớp 12 Chương trình nâng cao:
PT mũ và PT lôgarit (2 tiết).
Căn bậc hai của số phức và PT bậc 2 (3 tiết).
Ngoài những tiết đƣợc nêu trên thì đan xen các bài tập trong các chƣơng
rất nhiều bài toán giải PT cụ thể cho từng loại ví dụ: các dạng PT về Hốn vịchỉnh hợp -tổ hợp, cấp số nhân-cấp số cộng...
“Dạy học giải PT ở trƣờng phổ thông về nội dung gồm:
a) Dạy học khái niệm PT và những khái niệm có liên quan.
b) Dạy học PT dựa vào hàm mệnh đề: Quan niệm về đẳng thức; hiểu
đúng thực chất của dấu bằng trong PT (hình thức); phân biệt dấu bằng trong
PT và dấu = trong biến đổi đồng nhất; điều kiện xác định và nghiệm của PT.
c) Sử dụng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp và lơgic tốn (biến đổi tƣơng
đƣơng hệ quả, kết hợp nghiệm,…)
d) Dạy học giải PT.
e) Diễn biến của tập nghiệm khi biến đổi PT: Mở rộng thu hẹp tƣơng đƣơng.
f) Giải quyết phƣơng diện ngữ nghĩa (xem xét nội dung của những mệnh
đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học).
g) Dạy học các bài toán bằng cách lập PT.
h) Thấy đƣợc ứng dụng của toán học trong thực tế và tốn học hóa các
bài tốn trong thực tiễn.
i) Phát hiện quan hệ giữa các đại lƣợng.
k) Kỹ năng giải bài toán, trọng tâm là kỹ năng lập và giải PT”. [21, tr18]

7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

1.2 Một số cơng trình liên quan.
Trong q trình tìm hiểu, nghiên cứu đề tài viết về “sai lầm” của HS phổ
thơng trong giải Tốn, chúng tơi nhận thấy cịn tƣơng đối ít. Những cơng trình
đó phải kể tới Luận án Tiến sĩ của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực
giải Tốn cho HS phổ thơng trung học thơng qua việc phân tích và sửa chữa
các sai lầm của HS khi giải Toán" (1996). Luận án này đã xem xét các sai lầm
của HS ở nhiều chủ đề kiến thức, chẳng hạn, chủ đề PT, bất PT, giới hạn, hàm
số, ... Cách phân chia theo kiểu này của tác giả Lê Thống Nhất có ƣu điểm là
giúp cho ngƣời đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy,
nghiên cứu. Do số lƣợng chủ đề kiến thức của luận án là rất nhiều không đi sâu
vào từng khía cạnh nhỏ mà gộp chúng lại để thành chủ đề lớn dẫn đến mỗi
khía cạnh xét cịn chung chung mà khơng có điều kiện xem xét hết đặc trƣng
của từng dạng. Trong Luận án của mình, tác giả Lê Thống Nhất đã đƣa ra bốn
biện pháp sƣ phạm và tám dấu hiệu để nhận biết sai lầm nhƣng chƣa thực sự đi
sâu vào một kiểu sai lầm nào và chƣa phân tích một cách bao quát các nguyên
nhân dẫn tới những sai lầm đó, mà một nguyên nhân không kém phần quan
trọng ảnh hƣởng tới chất lƣợng giải bài tập Tốn đó là ngun nhân do ảnh
hƣởng về mặt tâm lí. Nhóm tác giả Trần Phƣơng - Lê Hồng Đức trong Sai lầm
thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004) cũng đề cập đến một số sai
lầm của HS ở một số dạng cụ thể. Ngồi ra phải kể tới nhóm tác giả Lê Đình
Thịnh - Trần Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam trong cơng trình Mẹo và bẫy trong
các đề thi mơn Tốn (1992), trong cơng trình này các tác giả đã đƣa ra thuật
ngữ "bẫy" và phân tích khá nhiều ví dụ và cho rằng, mỗi khi HS mắc sai lầm là
đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài toán là các tình huống đƣợc
các tác giả cài đặt mà nếu HS khơng vững kiến thức cơ bản thì sẽ mắc phải sai

lầm. Với cách sắp xếp sai lầm theo từng chủ đề kiến thức nhƣ các tác giả nói
trên thì khơng thể giải thích một cách tƣờng minh, dễ hiểu hết tất cả các kiểu
sai lầm cho HS để từ đó họ có ý thức phát hiện phịng tránh các sai lầm này,
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

mặt khác chƣa đề cập đƣợc một số kiểu sai lầm thƣờng gặp nhƣ: sai lầm ngôn
ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tƣ duy, sai lầm liên quan đến phân chia
trƣờng hợp riêng, ...
Nhƣ vậy trên phƣơng diện lí luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề
tài nghiên cứu của chúng tôi cũng đã đƣợc nghiên cứu ở một mức độ nào đó.
Tuy nhiên chƣa có một cơng trình nào nghiên cứu các sai lầm nhìn từ góc độ
hoạt động giải bài tập PT là một trong các chủ đề lớn ở trƣờng phổ thơng. Nói
một cách khác, các cơng trình nghiên cứu về sai lầm của HS khi giải về chủ đề
kiến thức PT.
Mục tiêu của chúng ta là, một mặt, trang bị cho HS những kiến thức, kỹ
năng toán học cần thiết. Mặt khác, làm cho HS hiểu đƣợc bản chất của toán
học và say mê học toán.
1.3 Nghiên cứu một số sai lầm phổ biến của HS phổ thơng khi giải
tốn về chủ đề PT.
Theo chủ đề tiếng việt thì sai lầm là “ trái với yêu cầu khách quan hoặc trái
với lẽ phải, đẫn đến hậu quả không hay” [17, tr 844], phổ biến là “có tính chất
chung có thể áp dụng cho cả một tập hợp các hiện tƣợng, sự vật” [17, tr 844]
Sai sót “Khuyết điểm khơng lớn, do sơ suất” [17, tr 844].
Phổ biến “ có tính chất chung chung, có thể ấp dụng cho một tập hợp
hiện tƣợng, sự vật. [17, tr 785] .
Do vậy theo chúng tôi hiểu sai lầm phổ biến của HS phổ thông khi giải
PT là Điều trái với khách quan (yêu cầu bài toán) hoặc lẽ phải (khái niệm,

định nghĩa, tiên đề, định lý, quy tắc, phƣơng pháp suy luận…), dẫn tới khơng
đạt đƣợc u cầu giải tốn mà những điều này xuất hiện với tần số cao trong
lời giải của nhiều HS.
1.3.1 Sai lầm do tính tốn thơng thường và hiểu sai kí hiệu logic.
Tính tốn nhầm. Đối với HS yếu, kém thƣờng tính tốn nhầm và
hiểu sai kí hiệu, trình bày khơng lơgic. Nhân các hệ số sai. Khai triển hằng
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

đẳng thức sai. Không giải đƣợc PT bậc nhất đơn giản. GV cần rèn luyện lại kỹ
năng tính tốn cho HS. Nêu rõ công thức và cách thức giải.
Hiểu nhầm kí hiệu Tốn học. Có quan điểm cho rằng HS phạm phải sai
lầm trong các suy luận là vì họ thiếu hoặc khơng nắm vững kiến thức về Lơgíc
Tốn và do đó, để khắc phục cần đƣa vào chƣơng trình các sớm càng tốt nội
dung lơgic Tốn và dạy thật kĩ nó. Tuy nhiên, một phản ví dụ là ở Pháp, sau
nhiều thập niên nhấn mạnh đặc biệt đến vai trị của dạy các yếu tố lơgíc, các
chƣơng trình tốn THPT sau năm 1990 đều ghi rõ “cấm mọi trình bày về Lơgíc
Tốn”. Trong khi mà nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng ngƣời Cộng hịa Pháp rất
quan tâm đến khó khăn và sai lầm của HS trong dạy học suy luận và chứng
minh. Nhƣng, thay vì gia tăng dạy học các yếu tố lơgíc thì họ lại loại bỏ nó đi.
Nói cách khác, thể chế dạy học ở Pháp đang cố gắng thoát khỏi những hạn chế
của quan điểm sƣ phạm dựa trên Thuyết Hành vi ngay từ sự lựa chọn và tổ chức
các nội dung toán học cần giảng dạy.
Nhiều HS hiểu sai kí hiệu và hoặc nên sử dụng một cách tùy tiện trong
trình bày. Nên khi kết luận nghiệm sai hoặc thiếu. Không hiểu bản chất của kí
hiệu nhất là HS học lớp 10. Trong hầu hết các lớp HS giải điều kiện và giải PT
thƣờng mắc phải sai lầm trong kí hiệu logic này thể hiện ở ví dụ sau:
Ví dụ 1.3.1.1: Giải PT: x2 - 3x + 2 = 0 (1) .

HS thƣờng nhầm kí hiệu và hoặc

íï x = 1
. Kết luận PT có hai nghiệm x=1 và x=2.
(1) Û ïì
ïïỵ x = 2
Bản chất HS khơng hiểu kí hiệu lẽ ra là “hoặc” nhƣng lại kí hiệu “và”.
Sai lầm này cịn thể hiện nhiều trong giải điều kiện nhƣ ví dụ sau:
Ví dụ 1.3 1.2: Giải PT:

2 x - 5 5x - 3
=
x - 1 3x + 5

éx - 1 ¹ 0
Û
Lời giải sai: Điều kiện ê
êë3x + 5 ¹ 0

éx ¹ 1
ê
ê
5
êx ¹ êë
3

Khi đó PT đã cho tƣơng đƣơng với
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

(2 x - 5)(3x + 5)= (5x - 3)(x - 1) Û x2 + 3x - 28 = 0
PT này có nghiệm hai nghiệm x=4 và x= 7 cả hai nghiệm này đều thỏa
mãn điều kiện trên nên đều là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ trên thấy rằng HS đọc sách tham khảo nhƣng chƣa hiểu hết các kí hiệu.
íï x - 1 ¹ 0
Û
Lời giải đúng: Điều kiện ùỡ
ùùợ 3 x + 5 ạ 0

ớù x ạ 1
ùỡù
5
ùù x ạ ùợ
3

Khi ú PT ó cho tng ng vi

(2 x - 5)(3x + 5)= (5x - 3)(x - 1) Û x2 + 3x - 28 = 0
PT này có nghiệm hai nghiệm x = 4 và x = 7 cả hai nghiệm này đều
thỏa mãn điều kiện trên nên đều là nghiệm của PT đã cho.
Hai ví dụ trên ta thấy rằng HS thƣờng kí hiệu bừa kí hiệu mà
khơng hiểu rõ kí hiệu này.
“Trong sách giáo khoa viết dƣới dạng, chẳng hạn: x =
để làm nổi rõ bội nguyờn ca

p
p
+ k , kẻ Â

6
2

p
p k
, ch khụng vit dƣới dạng x = + p ” [1]
2
6 2

1.3.2 Sai lầm liên quan đến điều kiện xác định của PT:
Một trong các nguyên nhân giải PT mắc sai lầm của HS là thiếu điều kiện.
Ví dụ 1.3.2.1 Giải PT: 2 x
Lời giải sai: 2 x

x 3

x 3

4

4

x 3

x 3

2x 4

x 2

Kết luận PT có nghiệm x=2
HS giải bỏ bƣớc đặt điều kiện: x≥3 nên x=2 không thỏa mãn điều kiện,
PT đã cho vô nghiệm.
Lời giải đúng: Điều kiện: x 3 0

x 3

Với điều kiện đã cho PT tƣơng đƣơng với:
2x

x 3

4

x 3

2x 4

x 2 (Không thỏa mãn điều kiện)

Kết luận PT đã cho vơ nghiệm.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

1

Ví dụ 1.3.2.2: Giải PT: x

x 1

2x 1
x 1

Lời giải sai:

1

x

x 1

2x 1
x 1

x 1 x 1 2x 1

x 2 3x 2 0

x 1
x 2

Kết luận PT có 2 nghiệm x=1 và x=2
HS giải bỏ bƣớc điều kiện nên thừa nghiệm x=1.
Lời giải đúng: Điều kiện: x 1 0

x 1

Trong điều kiện đó PT tƣơng đƣơng với PT.

x

1
x 1

2x 1
x 1

x 2 3x 2 0

x 1 x 1 2x 1

x 1(l )
x 2

Kết luận PT có 1 nghiệm x=2
Ví dụ 1.3.2.3: Giải PT:

(x

2

4 x 3) x 2

0

x2

4x 3 0

x 2

0

x 1
x 3
x 2

HS thiếu điều kiện nên thừa nghiệm x=1
íï f ( x) = 0
Biến đổi sai g ( x) f ( x) = 0 Û ïì
ïï g (x)= 0
ỵ

Trong cách giải trên HS thƣờng hay thiếu điều kiên của PT. Trong
trƣờng hợp này để PT tƣơng đƣơng thì hệ PT cần thêm điều kiện x ≥ 2

íï f ( x) ³ 0
ïï
Biến đổi đúng g ( x) f ( x) = 0 Û ïì éf ( x) = 0
ïï ê
ïïỵ êëg (x)= 0
7
x.
Ví dụ 1.3.2.4 Giải PT: Cx1 Cx2 Cx3
2

12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

Lời giải sai: Ta có PT tƣơng đƣơng với

x

x( x 1)
2!

x( x 1)( x 1)
3!

7
x
2

6 x 3x( x 1)

x( x 1)( x 2) 21x

x3 16 x 0

x( x 2 16) 0

x 4; x

4; x 0

Sai lầm: Lời giải trên còn thiếu điều kiện x N và x 3. Nên PT

trên chỉ có 1 nghiệm là x = 4.
Ví dụ 1.3.2.5 Giải PT: 2 + 4 + 8 + ... + x = 526 biết rằng x là một số
hạng của cấp số nhân:
Lời giải sai: Do giả thiết x phải cú dng x = 2n , n ẻ Ơ *
PT đã cho trở thành:
2n - 1
n
2 + 4 + ... + 2 = 526 Û 2
= 256 Û 2n - 1 = 263 Û 2n = 264
2- 1
Hồi ẩn x = 264
Vậy PT có nghiệm x = 264
Lời giải đúng: Do giả thiết x phải có dạng x = 2n , n ẻ Ơ *
PT ó cho tr thnh:
2n - 1
n
2 + 4 + ... + 2 = 526 Û 2
= 256 Û 2n - 1 = 263 Û 2n = 264
2- 1
Khụng cú giỏ tr ca n ẻ Ơ * : 2n = 264
Kết luận PT vơ nghiệm.
Ví dụ 1.3.2.6 Giải PT tan 5 x = tan 3x .
Lời giải sai: Ta có: tan 5 x = tan 3 x Û 5 x = 3 x + k p Û x =
Rõ ràng, nếu k = 1 Þ x =

kp
(k ẻ Â )
2

p

li khụng phi l nghim, bi vỡ các giá trị
2

này không thoả mãn điều kiện cos5 x ¹ 0,cos3x ¹ 0 .
Sai lầm ở đây là HS đã quên tìm tập xác định của PT. Để khắc phục sai
lầm này GV cần nhắc nhở HS rằng:
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

Nếu α là một số tuỳ ý thì PT tan x = tan a có nghiệm
x = a + k p , (k ẻ Â ) nh rng õy α là số đã xác định đối với hàm số tang,

nên tìm đƣợc x cũng xác định thỏa mãn điều kin ca x =

p
+ k p , (k ẻ Â )
2

Kết luận đó bao hàm cả khẳng định rằng các số x = a + k p , (k Ỵ ¢ )
thỗ mãn điều kiện cos x ¹ 0
Lời giải đúng: tan 5 x = tan 3x

íï
ïï 5 x ¹
ï
Điều kin: ỡ
ùù
ùù 3x ạ

ợù

p
+ kp
2
(l , k ẻ Â )
p
+ lp
2

ớù
ùù x ạ
ù
ỡ
ùù
ùù x ạ
ợù

p kp
+
10
5
(l , k ẻ ¢ )
p lp
+
6 3

Với điều kiện này thì:
tan 5 x = tan 3 x Û 5 x = 3 x + mk p x =
x=

ớù
ùù x ạ
ù
ỡ
ùù
ùù x ạ
ùợ

mp
(m Î ¢ )
2

mp
(m Î ¢ ) là nghiệm PT khi và khi thỏa mãn đồng thời điều kiện
2

p
kp
+
10
5
(l , k Î ¢ )
p lp
+
6 3

mp
p k p mp p lp
vậy m là số chẵn.

¹
+
;
¹
+
2
10
5
2
6 3
Tóm lại PT có nghiệm x = np ,(n ẻ Â ) .
Vớ d 1.3.2.7: Gii PT

sin 4 x
= 1.
cos6 x

ỉp
ư
Lời giải sai: Û cos6 x = sin 4 x cos6 x = cos ỗỗ - 4 xữ
ữ
ữ
ỗố 2
ứ

ộ
p
ờ6 x = - 4 x + l 2p
ê
2

Û ê
Û
p
ê
ê6 x = - + 4 x + l 2p
2
ở

ộ
p
lp
ờx =
+
ờ 20 5
(m, l ẻ Â )
ờ
p
ờ
ờx = - + mp
4
ë

14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

HS quên điều kiện của PT, đối với dạng bài này đơi khi HS có lấy điều
kiện nhƣng khi đƣợc nghiệm cũng hay kết hợp để loại nghiệm sai.
Lời giải đúng: Điều kiện

cos6 x ¹ 0 Û 6 x ¹

p
p kp
+ kp x ạ
+
(k ẻ Â )
2
12
6

Khi ú ta có PT:

ỉp
ư
Û cos6 x = sin 4 x Û cos6 x = cos ỗỗ - 4 xữ
ữ
ữ
ỗố 2
ứ
ộ
ộ
p
lp
p
ờx =
+
ờ6 x = - 4 x + l 2p
ê

ê
20 5
2
Û ê
Û ê
(m, l ẻ Â )
p
p
ờ
ờ
ờx = - + mp
ờ6 x = - + 4 x + l 2p
2
4
ë
ë
Với x = x= -

ổ p
ử
p
+ mp thay vo cos6 x = cos6ỗỗ- + mp ữ
ữ
ữ= 0 , vy
ỗố 4
ứ
4

p
+ mp khụng phi l nghiệm.

4

Với x =

p
lp
ta có:
+
20 5

p
lp
p kp
1
l
1 k
l- 1
+
=
+
Û
+ =
+ Û 5k = 6l - 1 Û k = l +
20 5 12
6
20 5 12 6
5
Do k , l ẻ Â ị $ n ẻ Â :

l- 1

p
lp
vi
= n l = 5n + 1 suy ra x =
+
5
20 5

l = 5n + 1 thì cos6 x = 0 .
Vậy nghiện của PT là: x =

p
lp
với l ¹ 5n + 1 (l ẻ Â )
+
20 5

Vớ d 1.3.2.8 Gii PT: log x 2 6 x 7

log x 3 .

Lời giải sai:

log x 2 6 x 7

log x 3

x2 6 x 7

x 3

15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

x 2 7 x 10 0

/>
x 2
x 5


Suy ra PT đã cho có 2 nghiệm x

2 và x 5

Sai lầm của PT trên là quên điều kiện xác định của phƣơng trình.” [18]
Lời giải đúng:
Điều kiện xác định của PT là: x 2

6x 7 0

x 3 0 . Do đó ta có thể

viết:
log x 2

6x 7

log x 3

x2 6 x 7 0
x 3 0
x

2

6x 7

x 3

x 3 0
x2

7 x 10 0

x 3
x

2

x 5

x 5

Ví dụ 1.3.2.9: Giải và biện luận PT x 1

2x m .

HS sẽ giải nhƣ sau: với x 1 nghiệm của PT là x m 1 ;
với x < 1 nghiệm của PT là x

m 1
.
3

HS này dù đã nắm đƣợc khái niệm giá trị tuyệt đối nhƣng vẫn chƣa ý
thức đƣợc rằng, tham số đƣợc xem nhƣ là những số đã biết nhƣng chƣa rõ cụ
thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1≥1 ;

m 1
1
3

1.3.3 Sai lầm liên quan đến sử dụng công thức biến đổi dẫn đến sai
nghiệm, thiếu trƣờng hợp.
*) Hiểu nhầm kí hiệu hàm số.
Ví dụ 1.3.3.1: Khi giải các PT lƣợng giác, HS thƣờng nhầm lẫn giữa hai
đơn vị đo là độ và Rađian.

16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>

ổ pử
2
Li gii sai: Gii PT: cos ỗỗx - ữ
nhiu HS gii nh sau:
=
ữ

ỗố
ứ 2
3ữ
2
cos (x - 1)= cos 450 Û x - 1 = ± 450 + k 3600
2

cos (x - 1)=

Û x = 1 ± 450 + k 3600
Lời giải đúng:

2
p
p
Û cos (x - 1)= cos Û x - 1 = ± + k 2p
2
4
4
p
Û x = 1 ± ± + k 2p
4
HS chƣa hiểu khái niệm hàm số lƣợng giác.
cos (x - 1)=

x

x

Ví dụ 1.3.3.2: Giải PT sau: 34 = 43 .

Lời giải sai:
x

x

x

x

34 = 43 Û (34 ) = (43 ) Û 81x = 64 x Û x = x log 81 64 Û x = 0

Kết luận PT có nghiệm duy nhất x=0.
Lời giải đúng:
x

ỉ4 ư
log 3 3 = log 3 4 Û 4 = 3 log 3 4 ỗỗ ữ
ữ
ữ = log 3 4 x = log 4 (log 3 4)
ỗố 3 ø
3
4x

3x

x

x

Kết luận PT có nghiệm duy nhất x = log 4 (log 3 4)

3

Ví dụ 1.3.3.3 Giải PT 2 .27
x

Lời giải sai:

x

2 .27
x

2 .3

x
x 2

3x
x 2

x
x 2

x

6
1

6.

2 .3
1

2 .3

3x
x 2

x 1

2 .3

6
2x 2
x 2

2x
0

1

1

0

2 .3

3

2x 2

x 2

x 1

1

HS đã mắc phải sai lầm khi cho rằng:

a x1 .b x2

a m .b n

x1

m

x2

n

17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

/>