Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán ở trường thcs bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
…………………..

HỒ MAI LOAN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ở TRƢỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ
GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
…………………..

HỒ MAI LOAN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ở TRƢỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ
GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy - học Bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN ANH TUẤN

THÁI NGUYÊN - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo - Tiến sĩ Nguyễn
Anh Tuấn, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực
hiện đề tài.
Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo trong tổ phƣơng pháp dạy
Tốn Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cơ giáo
trong khoa Tốn - Trƣờng Đại học Sƣ phạm Đại học Thái Nguyên đã tận tình
giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, khoa Sau đại học Trƣờng Đại
học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tơi
hồn thành luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cũng nhƣ toàn thể các đồng
nghiệp Trƣờng THCS Nguyễn Cơng Trứ, Ba Đình, Hà Nội đã quan tâm và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn các học viên trong lớp Cao học Tốn Khóa 16
và các bạn đồng nghiệp xa gần về sự động viên, khích lệ cũng nhƣ trao đổi về

chun mơn trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thiện luận văn.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2010

Hồ Mai Loan

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




NHỮNG TỪ VIẾT TẮT ĐƢỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN
TỪ VIẾT TẮT

NỘI DUNG

BĐT

Bất đẳng thức

DH

Dạy học

CM

Chứng minh

GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

HPT

Hệ phƣơng trình

KN

Kỹ năng

PP

Phƣơng pháp

THCS

Trƣờng học cơ sở

SGK

Sách giáo khoa

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 0
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .............................................................................. 1
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ........................................... 2
1. Mục đích nghiên cứu: ................................................................................. 2
2. Nhiệm vụ nghiên cứu: ................................................................................ 2
III. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC .................................................................... 2
IV. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ............................................................ 3
1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận ................................................................ 3
2. Phƣơng pháp điều tra quan sát .................................................................... 3
3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm ........................................................... 3
4. Phƣơng pháp thống kê toán học .................................................................. 3
V. CẤU TRÚC LUẬN VĂN ......................................................................... 3
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................... 4
1.1. Một số vấn đề về kỹ năng và rèn luyện kỹ năng qua mơn Tốn ............... 4
1.1.1. Kỹ năng: ............................................................................................... 4
1.1.2. Kỹ năng giải toán: ................................................................................ 5

1.1.3. Sự cần thiết rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh:.......................... 5
1.2. Chủ đề “Hàm số và phƣơng trình” ở THCS. ............................................ 6
1.2.1. Nội dung kiến thức của chủ đề “Hàm số và phƣơng trình” trong
chƣơng trình SGK THCS ............................................................................... 6
1.2.2. Những kiến thức cơ bản của HS khi học chủ đề “Hàm số và
phƣơng trình”: ............................................................................................... 7
1.3. Tình hình dạy và học về giải tốn vận dụng mối liên hệ giữa hàm số
và phƣơng trình ở THCS. ............................................................................. 17

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1.3.1.Về vị trí vai trị của rèn luyện kĩ năng giải tốn. .................................. 17
1.3.2. Những khó khăn GV và HS trong thực tiễn trƣờngTHCS về việc
khai thác vận dụng mối quan hệ giữa hàm số với phƣơng trình để giải
tốn. . ........................................................................................................... 18
1.4. Kết luận chƣơng 1 ................................................................................. 19
CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƢỜNG THCS
BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ
PHƢƠNG TRÌNH ...................................................................................... 21
2.1. Sơ lƣợc về mối quan hệ giữa hàm số và phƣơng trình: .......................... 21
2.1.1 Về tập xác định của chúng: .................................................................. 21
2.1.2.Về nghiệm của phƣơng trình và sự biến thiên của hàm số: .................. 21
2.1.3. Về các phép biến đổi và các biểu thức trong hàm số và phƣơng
trình :............................................................................................................ 21
2.1.4. Về đồ thị của hàm số và số nghiệm của phƣơng trình: ........................ 22
2.2. Một số kỹ năng trong giải toán bằng cách khai thác mối liên hệ giữa

hàm số và phƣơng trình: ............................................................................... 22
2.3. Định hƣớng (nguyên tắc) xây dựng hệ thống bài toán: .......................... 26
2.4. Hệ thống bài toán và biện pháp rèn luyện kỹ năng ................................. 26
2.4.1. Dạng toán 1: ....................................................................................... 27
2.4.1.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết .................................................. 28
2.4.1.2 Minh họa qua một số ví dụ : ............................................................. 29
2.4.2. Dạng tốn 2: ....................................................................................... 34
2.4.2.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết .................................................. 34
2.4.2.2.Minh họa qua một số ví dụ : ............................................................. 36
2.4.3. Dạng toán 3…………………………………………………………...41
2.4.3.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết:………………………………...42
2.4.3.2. Minh họa qua một số ví dụ .............................................................. 43
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2.4.4. Dạng toán 4: ....................................................................................... 47
2.4.4.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết .................................................. 47
2.4.4.2. Minh họa qua một số ví dụ: ............................................................. 48
2.4.5. Dạng tốn 5 ........................................................................................ 52
2.4.5.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết ................................................. 52
2.4.5.2.Minh họa qua một số ví dụ: .............................................................. 54
2.4.6.Dạng tốn 6:………………………………………………………...
2.4.6.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết .................................................. 57
2.4.6.2. Minh họa qua một số ví dụ:………………………………………
2.5. Kết luận chƣơng 2: ................................................................................ 59
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................. 61
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm ....................................................... 61
3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm .................................................... 61

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm .................................................................. 61
3.2. Phƣơng pháp thực nghiệm ..................................................................... 61
3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm........................................................ 62
3.4. Tiến hành thực nghiệm ......................................................................... 63
3.4.1. Nội dung giáo án lên lớp 1:................................................................. 63
3.4.2. Nội dung giáo án lên lớp 2:................................................................. 70
3.5.Kết quả thực nghiệm .............................................................................. 76
3.5.1. Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thực nghiệm ................................ 76
3.5.2. Kết quả bài kiểm tra của học sinh ....................................................... 77
3.6. Kết luận chƣơng 3 ................................................................................. 79
KẾT LUẬN ................................................................................................. 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 81

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Luật Giáo dục nƣớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam quy định:
„„Phƣơng pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ
động, tƣ duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
của học sinh‟‟(Luật Giáo dục 1998, chƣơng I, điều 24)
Thực tế cho thấy rèn luyện kỹ năng cho học sinh là một khâu quan

trọng khơng thể tách rời của q trình đào tạo ở trƣờng THCS. Đó là hoạt
động cần thiết để học sinh biến tri thức nhân loại thành vốn hiểu biết và khả
năng của riêng mình, đặc biệt quá trình rèn luyện kỹ năng thực hiện tốt thì
chất lƣợng học tập mới mang lại hiệu quả cao.
Hàm số và phƣơng trình trong chƣơng trình tốn trƣờng THCS là nội dung
hay, có khả năng rèn luyện tƣ duy của học sinh nhƣng cũng lại đƣợc xem là
phần khó học và khó dạy. Lý do là học sinh chƣa đƣợc rèn luyện đầy đủ kỹ
năng còn giáo viên đã đổi mới phƣơng pháp dạy học nhƣng vẫn chƣa làm cho
học sinh chủ động và có hứng thú trong học tập. Do đó chúng tơi thấy rằng,
thơng qua việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh qua một chủ đề cụ thể, từ đó
học sinh xây dựng đƣợc cho mình phƣơng pháp tƣ duy lơ-gíc.
Với những lý do trên chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu “ Rèn luyện kỹ
năng giải một số dạng toán ở trường THCS bằng cách khai thác mối liên
hệ giữa hàm số và phương trình”

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu đề xuất phƣơng án rèn luyện kỹ năng giải một số dạng
toán ở trƣờng THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phƣơng
trình thơng qua:
+ Xác định một số kỹ năng giải tốn bằng cách khai thác mối liên hệ giữa
hàm số và phương trình;
+ Xây dựng hệ thống bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán bằng cách

khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình cho HS ở trường THCS.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu:
+ Nghiên cứu cơ sở lý luận: Nghiên cứu lý luận về rèn luyện kỹ năng
toán học, nghiên cứu mục tiêu, nội dung dạy học chủ đề „„hàm số và phƣơng
trình‟‟ ở trƣờng THCS.
+ Nghiên cứu thực tiễn: Tình hình thực tiễn dạy và học phần „„hàm số và
phƣơng trình‟‟ ở THCS về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
+ Xác định một số kỹ năng: Giải toán bằng cách khai thác mối liên hệ
giữa hàm số và phƣơng trình;
+ Xây dựng hệ thống bài tập: Để rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán
ở trƣờng THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phƣơng trình
+ Thực nghiệm sư phạm: Để kiểm chứng phƣơng án đề ra.
III. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xác định một số kỹ năng chủ yếu và xây dựng hệ thống bài toán chọn
lọc nhƣ trong luận văn thì có thể rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán ở
trƣờng THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phƣơng trình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3
IV. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu lý luận về rèn luyện kỹ năng toán học, các phƣơng pháp
dạy học theo xu hƣớng mới, nghiên cứu mục tiêu, nội dung dạy học phần
„„hàm số và phƣơng trình‟‟ ở trƣờng THCS.

2. Phƣơng pháp điều tra quan sát
Điều tra tình hình thực tiễn „„hàm số và phƣơng trình‟‟ ở trƣờng THCS
về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
- Soạn một số bài dạy theo hƣớng tăng cƣờng rèn luyện kỹ năng giải
một số dạng toán ở trƣờng THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm
số và phƣơng trình cho học sinh.
- Dạy thực nghiệm các bài soạn để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài
4. Phƣơng pháp thống kê toán học
Xử lý các số liệu điều tra và kết quả thực nghiệm phƣơng pháp bằng
thống kê tốn học
V. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngồi phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2. Xây dựng hệ thống bài toán rèn luyện kỹ năng giải một số dạng
toán ở trƣờng THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số
và phƣơng trình.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về kỹ năng và rèn luyện kỹ năng qua mơn Tốn
1.1.1. Kỹ năng:

Theo G.Polia: “Trong tốn học kỹ năng là khả năng giải các bài toán,
thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và
chứng minh nhận được”.
Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành
động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.Nếu ta tạm
thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng từng cái thì tri thức thuộc phạm
vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết” còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động,
thuộc khả năng “biết làm”.
Trong từ điển Tâm lí học do Vũ Dũng chủ biên đã định nghĩa “ Kỹ năng”
là năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phƣơng thức hành động đã đƣợc
chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tƣơng ứng
Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.
Kỹ năng sử dụng mối liên hệ giữa hàm số và phƣơng trình để giải tốn phải
dựa trên cơ sở: nắm chắc các khái niệm có liên quan, vững vàng trong lập
luận và ngơn ngữ chính xác trong lời giải. Rèn luyện kỹ năng có vai trị đặc
biệt quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ.
Các bài tập đặt ra: Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng
trình…, nhiệm vụ đặt ra hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ, làm lệch
hƣớng tƣ duy, các em cứ suy nghĩ theo lối mịn cũ, đơi khi q phức tạp mà
khơng nghĩ dùng phƣơng pháp mới có nhiều ƣu điểm hơn. Các yếu tố này đều
ảnh hƣởng sự hình thành kỹ năng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5
Trong giải toán GV cần tổ chức để học sinh biết cách tìm tịi nhận ra yếu
tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Khả năng bao qt vấn

đề. Hình thành đƣợc một mơ hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng
loại. Xác lập đƣợc mối liên quan giữa bài tập mơ hình khái quát và các kiến
thức tƣơng ứng. Biết qui lạ về quen, biết khái qt hóa, đặt biệt hóa…Để hình
thành một kỹ năng cho HS, cần phải tổ chức cho các em tập luyện những hoạt
động tƣơng ứng với kỹ năng đó.
1.1.2. Kỹ năng giải tốn:
- Kỹ năng giải tốn là kỹ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các
bài tập toán học .
- Kỹ năng dựa trên cơ sở tri thức. Kỹ năng và tri thức thống nhất với
nhau trong hoạt động.
- Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức,
phƣơng pháp). Do đó nói đến kỹ năng giải tốn khơng thể tách rời hiểu biết tri
thức và phƣơng pháp tốn học.Bởi đó là điều kiện cần cho HS tiến hành các
hoạt động tốn học từ đó hình thành nên kỹ năng.
1.1.3. Sự cần thiết rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh:
Mục đích của dạy học mơn Toán là:
- Truyền thụ tri thức, kỹ năng Toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào
thực tiễn;
- Phát triển năng lực trí tuệ chung;
- Giáo dục tƣ tƣởng chính trị phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ;
- Bảo đảm chất lƣợng phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dƣỡng năng khiếu
về tốn;

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6
Những u cầu về đổi mới dạy học mơn Tốn ở trƣờng THCS là: tăng

cƣờng rèn luyện kỹ năng, bồi dƣỡng năng lực trí tuệ và kỹ năng vận dụng
tốn học vào thực tiễn. Do vậy cần thiết xây dựng các biện pháp nhằm rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh góp phần thực hiện nhiệm vụ bộ mơn.
1.2. Chủ đề “Hàm số và phƣơng trình” ở THCS.
1.2.1. Nội dung kiến thức của chủ đề “Hàm số và phương trình” trong
chương trình SGK THCS
Dựa vào phân phối chƣơng trình của Bộ Giáo dục trong chƣơng trình
tốn THCS, phần Hàm số và Phƣơng trình đƣợc phân phối nhƣ sau:
Số lƣợng
tiết
06

16

Nội dung
Hàm số
Phƣơng trình bậc nhất một ẩn : ax+b=0
(a  0)

Phần Đại Số
Lớp 7 ( Học kì I )
Lớp 8 ( Học kì II )

08

Bất phƣơng trình một ẩn

Lớp 8 ( Học kì II )

11

Hàm số bậc nhất : y=ax+b

Lớp 9 ( Học kì I )

01

Phƣơng trình bậc nhất hai ẩn

Lớp 9 ( Học kì I )

11

Hệ hai phƣơng trình bậc nhất hai ẩn

Lớp 9 ( Học kì I )

04

Hàm số y=ax2 (a  0)

Lớp 9 ( Học kì II )

Phƣơng trình bậc hai một ẩn :
14

ax2+bx+c = 0 (a  0)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Lớp 9 ( Học kì II )




7
1.2.2. Những kiến thức cơ bản của HS khi học chủ đề “Hàm số và
phương trình”:
* Những kiến thức và kỹ năng cơ bản của HS khi học chủ đề
“Hàm số”:
+ Hàm số có thể được cho bằng bảng:
VD: Nhiệt độ T( oC ) tại các thời điểm t(giờ) trong cùng một ngày đƣợc
cho trong bảng sau:
t (giờ)
0
4
8
12
o
T ( C)
20
18
22
26
+ Hàm số có thể được cho bằng cơng thức :

16
24

20

21

VD: Thời gian t(h) của một vật chuyển động đều trên quãng đƣờng 50
km tỉ lệ nghịch với vận tốc V(km/h) theo công thức: t = 50/V
Khi y là hàm số của x ta có thể viết: y = f(x), y = g(x) …
VD: y = 2x+3 ta có thể viết y = f(x) = 2x+3, và khi đó thay cho câu
“khi x bằng 3 thì giá trị tƣơng ứng của y là 9” ta viết f(3) = 9
Học sinh biết cách tính thành thạo các giá trị của hàm số khi cho trƣớc
biến số, biết biểu diễn các cặp số (x;y) trên mặt phẳng toạ độ
+ Kĩ năng vẽ đồ thị: Ở THCS học sinh đƣợc vẽ đồ thị của hàm số:
y = ax (a  0) (SGK Toán 7-Tập một)

y = ax+b (SGK Tốn 9-Tập một)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

y=ax2 (a  0) (SGK Toán 9-Tập hai)

Học sinh phải có những kỹ năng nhƣ tìm tập xác định, xét sự đồng
biến, nghịch biến, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị.
+ Hàm số bậc nhất :
* Hàm số bậc nhất là hàm số đƣợc cho bởi công thức : y = ax + b , với
a, b R, a  0
Hàm số bậc nhất xác định với mọi x  R.
Trên tập hợp số thực R , hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0;
nghịch biến khi a < 0

* Kỹ năng chủ yếu:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9
- Xác định đƣợc dạng tổng quát: y = ax+b, a  0
- Xác định đƣợc hệ số a,b
- Dựa vào định nghĩa: hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0;
nghịch biến khi a < 0
Ví dụ:
Cho hàm số y = f(x) = k2x + 5 - 9x . Tìm k để hàm số là :
a) Hàm số bậc nhất đồng biến.
b) Hàm số bậc nhất nghịch biến
Giải: -Xác định đƣợc dạng tổng quát: y = ax+b
Hàm số y = f(x) = k2x + 5 - 9x =(k2 - 9)x + 5
- Xác định đƣợc hệ số a,b
có : a = k2 – 9 ,b=5.
- Dựa vào tính chất :hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0;
nghịch biến khi a < 0
a) y = f(x) là hàm số bậc nhất đồng biến  k2 - 9 > 0
 k > 3  k > 3 hoặc k < -3

b) y = f(x) là hàm số bậc nhất nghịch biến  k2 – 9 < 0
 k < 3  -3 < k < 3

+ Hàm số bậc hai : y = ax2 (a  0)
* Tính chất của hàm số y = ax2 (a  0)
- Nếu a > 0: hàm số y = ax2 nghịch biến khi x < 0, đồng biến khix > 0 ;

y > 0 với mọi x  0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10
y = 0 khi x = 0 , y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Nếu a < 0 : Hàm số y = ax2 nghịch biến khi x > 0, đồng biến khi x < 0;
y < 0 với mọi x  0
y = 0 khi x = 0 và y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số
* Đồ thị hàm số y = ax2
Đồ thị hàm số y = ax2 (a  0) là một parabol đi qua gốc toạ độ O, nhận
trục Oy làm trục đối xứng; O là đỉnh của parabol
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh, O là điểm thấp nhất của
đồ thị.
- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dƣới trục hoành, O là điểm cao nhất của
đồ thị.
* Kỹ năng chủ yếu khi vẽ đồ thị hàm số: y = ax2(a  0)
- Xác định đƣợc dạng tổng quát: y = ax2(a  0)
- Xác định đƣợc hệ số a
- Dựa vào tính chất:
Nếu a > 0 hàm số: y = ax2 nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0 ;
y > 0 với mọi x  0
y = 0 khi x = 0, y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số
Nếu a < 0 hàm số: y = ax2 nghịch biến khi x > 0, đồng biến khi x < 0;
y < 0 với mọi x  0
y = 0 khi x = 0 và y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số: y = ax2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11
Ví dụ :
a) Xác định hệ số hàm số y = ax2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(1,-1)
Vẽ đồ thị của hàm số với a vừa tìm đƣợc.
b) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hồnh độ bằng 3
c) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ bằng -3
d) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ gấp đơi hồnh độ.
Giải
- Xác định đƣợc dạng tổng qt: y = ax2(a  0)
- Xác định đƣợc hệ số a:Vì A(1;-1)  y = ax2
Thay toạ độ của điểm A: x =1 ; y=-1 vào: y = ax2 ta đƣợc -1 = a.12  a = -1
- Dựa vào tính chất: Nếu a < 0 hàm số: y = ax2 nghịch biến khi x > 0, đồng
biến khi x < 0; y < 0 với mọi x  0
- Vẽ đồ thị hàm số: y = -x2
Đồ thị hàm số y = -x2 đƣợc vẽ (hình 1).

(Hình 1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12
b) Thay x = 3 vào y = -x2 ta đƣợc y = -9 . Điểm phải tìm là B(3,-9)
c) Thay y = -3 vào y = -x2 ta đƣợc -3 = -x2  x =  3

Các điểm phải tìm là C ( 3 , -3) và C (- 3 , -3).
d) Điểm có tung độ gấp đơi hồnh độ có nghĩa là y = 2x
 y  2x

Giải hệ : 

 y  x

2

Ta đƣợc các điểm (0; 0) ; (-2 ; -4) đó là hai điểm phải tìm.

*Những kiến thức và kỹ năng cơ bản của học sinh khi học chủ đề
“Phƣơng trình”:
Giáo viên cần chú ý rèn luyện cho học sinh giải phƣơng trình ở các
dạng cơ bản:
+ Phương trình bậc nhất: ax+b = 0 (a  0)
Học sinh nắm đƣợc quy tắc chuyển vế: Trong một phƣơng trình, ta có
thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
Học sinh nắm đƣợc quy tắc nhân với một số: Trong một phƣơng trình,
ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Cách giải phƣơng trình : ax+ b = 0 (a  0)  x  

b
2a

Ví dụ: Giải phƣơng trình bậc nhất
4x  3  2
 4 x  2  3 (Áp dụng quy tắc chuyển vế)
 4 x  1

x

1 ( Áp dụng quy tắc nhân với một số )
4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13
+ Phương trình bậc hai: ax2+bx+c = 0 (a  0)
HS biết phƣơng pháp giải riêng các phƣơng trình 2 dạng đặc biệt giải
thành thạo các phƣơng trình thuộc 2 dạng đặc biệt đó (b hoặc c bằng 0, hoặc
cả b và c bằng 0)
HS biến đổi phƣơng trình dạng tổng quát : ax2+bx+c = 0 (a  0)
b  b 2  4ac

Về dạng  x   
2a 
4a 2

2

  b2  4ac

Nếu   0 phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt:
b  b 2  4ac
x1,2 
2a

Nếu  >0 phƣơng trình vơ nghiệm
Nếu  =0 phƣơng trình có nghiệm kép: x  

b
2a

Trong các trƣờng hợp cụ thể của a,b,c để giải phƣơng trình
Ví dụ 1: Giải và biện luận phƣơng trình bậc hai
mx2 -2(m-1)x -2 = 0
Để giải được dạng toán này, học sinh cần phải thực hiện được các kỹ
năng cơ bản sau:
+ Xác định dạng: ax2+bx+c = 0
+ Xác định hệ số a,b,c của phương trình bậc hai:
ax2+bx+c=0 (*)
+Học sinh dựa vào cơng thức tính nghiệm để giải và biện luận.
Nếu hệ số a = 0 phương trình (*) trở thành phương trình bậc nhất: bx+c = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14
Nếu hệ số a  0, tính  ( hoặc  ' )
Nếu   0 (hoặc  ' >0) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
b  b 2  4ac
x1,2 
2a

Nếu  <0 (hoặc  ' <0): phương trình vơ nghiệm.

Nếu  =0 (hoặc  ' =0) phương trình có nghiệm kép: x  
(hay x  

b
2a

b'
)
a

+ Kết luận
Giải
+ Xác định dạng bài toán: mx2 -2(m-1)x -2 = 0
+Xác định hệ số a = m, b‟= -(m-1), c = -2.
+ .Nếu m = 0, phƣơng trình có nghiệm duy nhất : x = 1
Nếu m  0
Tính '   m  1  2m  '  m2  1
2

+ Nhận xét vì  '  0 với mọi m nên phƣơng trình ln có hai nghiệm
phân biệt
+ Phƣơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
Ví dụ 2: Cho phƣơng trình: x 2  (3m  1) x  2m 2  2m  0
a) Tìm các giá trị m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 mà
x1  x2  2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
b) Tìm các giá trị m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 mà
x12  x22 có giá trị nhỏ nhất.

Giải
Để giải được dạng tốn này, học sinh cần phải thực hiện được kỹ năng cơ
bản sau:
+ Xác định dạng: ax2+bx+c = 0
+ Xác định hệ số a,b,c của phương trình bậc hai ax 2+bx+c=0
+ Tính  ( hoặc  ' )
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phải chứng minh  >0
(hoặc  ' >0 )
+ Biến đổi biểu thức (đề bài đã cho) để xuất hiện x1  x2 và x1. x2
+ Tìm m ( áp dụng hệ thức Vi-ét ) đưa f( x1 , x2 )= f(m)
+ Để tìm giá trị nhỏ nhất theo m cần đưa về dạng f2(m)+M
Để tìm giá trị lớn nhất theo m cần đưa về dạng

N- f2(m)

+ Kết luận
Giải:
+ Xác định dạng: x 2  (3m  1) x  2m 2  2m  0
+ Xác định hệ số a = 1, b = -(3m+1), c = 2m2  2m
+   (3m  1)2  4(2m2  2m )  (m  1)2
+ Phƣơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt    0  m  1(*)
+ x2  x1  2   x1  x2   4   x1  x2   4 x1 x2  4 (**)
2

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

 x1  x2  3m  1
2
 x1. x2  2m  2m

+ Theo hệ thức Vi ét ta có: 

Ta thay vào (**) : (3m  1)2  4(2m2  2m)  4  m2  2m  3  0.
Phƣơng trình này có a - b + c = 1 - (-2) + (-3) = 0 nên có nghiệm m1  1, m2  3
thỏa mãn (*). Vậy m{1;3} .
b) Tƣơng tự ý (a):
S  x12  x22  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  (3m  1)2  2(2m2  2m)  5m2  2m  1

+ Đặt f(m) = 5m2  2m  1
2
5

f(m)  5(m2  m 

1
1
1
4 4

)   1  5(m  )2  
25 5
5
5 5
1
5

1
5

Dấu “=” xảy ra khi (m  )2  0  m   .
+Vậy GTNN của x12  x22 là

4
1
khi m = 
5
5

Kỹ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất 2 ẩn:
- Kỹ năng viết nghiệm tổng quát của phƣơng trình bậc nhất 2 ẩn và vẽ
đƣờng thẳng biểu diễn tập nghiệm của các phƣơng trình;
- Kỹ năng đốn nhận số nghiệm của hệ phƣơng trình (bằng phƣơng
pháp hình học);
- Số nghiệm của hệ phƣơng trình bậc nhất 2 ẩn, tìm tập nghiệm của các
hệ đã cho bằng cách vẽ hình và biết thử lại để khẳng định kết qủa;
- Kỹ năng giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp thế, phƣơng pháp
cộng đại số (học sinh không bị lúng túng khi gặp các trƣờng hợp đặc biệt hệ
vô nghiệm hoặc vơ số nghiệm)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




17
Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn (bằng phƣơng pháp thế)
4 x  5 y  3

x  3y  5
4 x  5 y  3 4.(5  3 y )  5 y  3 20  12 y  5 y  3 17 y  17




x  5  3y
x  5  3y
x  5  3y
x  5  3y
 y  1
 y  1
 y  1



x  5  3y
 x  5  3(1)
x  2

Kỹ năng giải bất phƣơng trình bậc nhất:

- Kỹ năng1. Học sinh sử dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một
hạng tử của bất phƣơng trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó;
- Kỹ năng2. Học sinh sử dụng quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế
của bất phƣơng trình với cùng một số khác 0 , ta phải : Giữ nguyên chiều bất
phƣơng trình nếu số đó dƣơng, đổi chiều bất phƣơng trình nếu số đó âm.
Ví dụ: Giải bất phƣơng trình sau.
3x+2 > 8
 3x > 8-2 (sử dụng quy tắc chuyển vế)
 3x > 6
 x>2

(sử dụng quy tắc nhân với một số dƣơng)

1.3. Tình hình dạy và học về giải toán vận dụng mối liên hệ giữa hàm số
và phƣơng trình ở THCS.
1.3.1.Về vị trí vai trị của rèn luyện kĩ năng giải toán.
100% giáo viên và 98% học sinh đuợc hỏi ý kiến đã khẳng định rằng:
Trong quá trình đào tạo ở trƣờng THCS hoạt động rèn luyện kĩ năng của học
sinh rất cần thiết vì nó quyết định trực tiếp đến kết quả học tập. Chính vì vậy
việc giáo viên tổ chức tốt hoạt động rèn luyện kĩ năng cho học sinh có ý nghĩa
rất lớn đối với kết quả học tập, cũng nhƣ việc rèn luyện cho học sinh phát huy
đƣợc tính tƣ duy sáng tạo.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

Kết quả về nhận thức rèn luyện kĩ năng của giáo viên và học sinh

STT

Học sinh Giáo viên

Nội dung

(%)

(%)

1

RLKN giúp học sinh khắc sâu bài học

100

100

2

RLKN giúp học sinh củng cố , nắm chắc tri thức

95.5

100

3

RLKN giúp học sinh mở rộng tri thức

90.5

95

83

100

56

95

86

87

89

90.5

4
5
6
7

RLKN giúp học sinh đánh giá đƣợc kiến thức
của bản thân
RLKN giúp học sinh tự tin trong học tập
RLKN giúp học sinh giải quyết đƣợc những kiến
thức mới

RLKN giúp học sinh tính tự giác độc lập

Số liệu ở bảng trên cho thấy:
- Đối với học sinh: Hầu hết các em đã nhận thức khá đầy đủ về ý nghĩa của
việc rèn luyện kĩ năng đối với kết quả học tập, đặc biệt có 56% học sinh đã
thấy tự tin trong học tập;
- Đối với giáo viên: Đã đánh giá rất cao về việc rèn luyện kĩ năng cho học
sinh, 100% giáo viên đã nhận thấy rằng rèn luyện kĩ năng giúp học sinh làm
chủ đƣợc kiến thức của bản thân.
1.3.2. Những khó khăn của GV và HS trong thực tiễn trườngTHCS về việc
khai thác vận dụng mối quan hệ giữa hàm số với phương trình để giải
tốn..
* Đối với GV: -Khi dạy dạng toán “hàm số và phƣơng trình” cịn gặp
khó khăn khi hƣớng cho HS cách giải sao cho nhanh gọn ,dễ hiểu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên