Bài tập ôn PTLG - Quy tắc đếm - Newton

A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx.
1
2sincos3
=−
xx

2
1sin3cos
−=−
xx
3
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
,
4
4
1
)
4
(cossin
44
=++
π
xx
5
)7sin5(cos35sin7cos xxxx
−=−
6
tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x

− = +

7
3(1 cos 2 )
cos
2sin
x
x
x
−
=
8
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
1 2cos
2
x +5sinx – 4 = 0 ,
2 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3 *
2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x
4 2(sin
4
x + cos
4
x) = 2sin2x – 1 5 sin
4

2x + cos
4
2x = 1 – 2sin4x
6 *
x
x
2
cos
3
4
cos
=
S : x = k3Đ π , x= ±
4
π
+k3π ,
x = ±
4
5
π
+k3π
7
2
3
3 2tan
cos
x
x
= +
8 5tan x -2cotx - 3 = 0

9
2
6sin 3 cos12 4x x
+ =

10
4 2
4sin 12cos 7x x
+ =
11 cos 2x + 3cosx +2 = 0
12 2+ cos 2x = - 5sinx
13 6 – 4cos
2
x – 9sinx = 0
14 2cos 2x + cosx = 1
15 2tg
2
x + 3 =
xcos
3

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP THEO sinx VÀ cosx.
1 2sin
2
x – 5sinx.cosx – cos
2
x = - 2 2 3sin
2
x + 8sinxcosx + ( 8
3

- 9)cos
2
x = 0
3 4sin
2
x +3
3
sin2x – 2cos
2
x = 4 4 * 6sinx – 2cos
3
x = 5sin2x.cosx.
5
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
6 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
7 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 8 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
9 sin
2
x + 2sin 2x –3 +7cos
2
x = 0 . 10 cos
3
x – sin
3
x = cosx + sinx.
11 sinxsin2x + sin3x = 6cos

3
x 12 sin
3
x + cos
3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x )
S : x= Đ
4
π
+
2
π
k

13 * sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx S : x = Đ
4
π
+kπ
14 3cos

4
x – sin
2
2x + sin
4
x = 0
S :x = Đ ±
3
π
+ kπ v x=
4
π
+
2
π
k

15 3sin
4
x +5cos
4
x – 3 = 0 . 16 * 6sinx – 2cos
3
x = 5sin 2x cosx
IV. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: a( cosx
±
sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
1

5 cos
3
x + sin
3
x = sin 2x + sinx + cosx 6 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0
7 1 + sin
3
x + cos
3
x =
2
3
sin2x
8 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
9 sin
3
x – cos
3
x = 1 + sinxcosx 10 * tanx + tan
2
x + tan
3
x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6
11 *

x
2
sin
2
+ 2tan
2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
12 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin 2x
13 cos
3
x – sin
3
x = - 1 14 * 2cos 2x +sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2(sinx + cosx ).

V. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
1 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) .
2 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x

sin
2
x = 2cos
2
(
−
4
π

2
x
)
S: sinx =1 v sinĐ
2
x
= 1
3 1+ 3tanx = 2sin 2x S : x = - Đ
4
π
+ k π 4 2cos 2x – 8cosx + 7 =
xcos
1

S : x = k2Đ π , x = ±
3
π
+k2π
5 sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x

S : cosx = 0 , cos 2x =Đ
2
1

6 2cos
2
2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x
7 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx
8 sin2x+ 2tanx = 3
9 sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x
10 tan
3
( x -
4
π
) = tanx - 1 S:x = kĐ π v x =
4
π
+
kπ

11 sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx
12 sin2x + cos 2x + tanx = 2 S : x = Đ
4
π
+ kπ
13 sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 14 sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2
15 sin
2
x + sin
2
3x – 3cos
2
2x = 0
16 cos3x cos
3
x – sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1

17 sin
4
2
x
+ cos
4
2

x
= 1 – 2sinx
18 sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x
19 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin
3
x.
20
x
x
xx
sin
cos1
sincos
=
−
+

21 sin
2
)

42
(
π
−
x
tan
2
x – cos
2
2
x
= 0 22 cotx – tanx + 4sinx =
xsin
1

23 sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 24 sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
25
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x

x
xx
x
26 sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
27 cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0.
28
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =
29 tanx +cosx – cos
2
x = sinx (1+tanx.tan
2
x

)
30 cotx – 1 =
2
cos2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
+ −
+
B. QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1 Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng
mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?
2
2 Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh
khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại. Hỏi có bao nhiêu
cách trang trí phòng khách?
3 Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?
b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau?
c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một?
4 Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm 6 nam và 6 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a. họ ngồi chỗ nào cũng được ? b. nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ?
c. nam nữ ngồi đối diện nhau ? d.nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ?
5 Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho, sao cho:
a. Số đó chẵn b. Số đó chia hết cho 5 c. Luôn có mặt chữ số 1 và 3
6 Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số đã cho sao
cho các số lẻ luôn đứng liền nhau.

7 Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6
a. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 3 lần, các số khác có mặt đúng
1 lần.
b. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài
lần.
8 Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho:
a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau.
b) 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối giống nhau.
9 Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7
a.Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 2 lần. Các số khác có mặt một lần.
b. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số khác có mặt một vài lần.
10 Một bộ đề thi có 15 câu hỏi. Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu (4 câu rút ra là “ đề thi ” của thí sinh này).
a. Có bao nhiêu đề thi khác nhau? ( Hai đề thi được coi là khác nhau nếu có ít nhất một câu khác nhau. )
b. Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh. Chứng tỏ rằng có ít nhất 3 thí sinh gặp cùng một đề thi.
11 Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về màu. Lấy ra hai viên.
a. Có bao nhiêu kết quả khác nhau?
b. Có bao nhiêu cách lấy ra được 2 viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên bi khác màu?
12 Giáo viên hướng dẫn lao động muốn chia 9 học sinh ra làm 3 nhóm gồm 4, 3, và 2 học sinh. Có bao nhiêu cách chia?
13 Cho một đa giác lồi có n đỉnh (
4n
≥
).
a. Tính số đường chéo của đa giác này;
b. Biết rằng ba đường chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao điểm (không phải là
đỉnh) của các đường chéo ấy.
14 Tính số đường chéo của một đa giác lồi có n cạnh. Tìm đa giác có số cạnh bằng số đường chéo.
15 Từ các số: 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số sao cho:
a, Chữ số hàng mười nghìn là số 3.
b, Chữ số hàng đơn vị khác 4.
c, Các chữ số đều khác nhau.

16 Từ các số: 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau sao cho:
a, Số tạo thành đêu bắt đầu bởi chữ số 5
b, Số tạo thành không bắt đầu bởi chữ số 1
c, Số tạo thành đêu bắt đầu bởi số 23
d, Số tạo thành không bắt đầu bởi số 345
17 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng hai lần.
18 Giải các phương trình và bất phương trình sau.
a,
2
x2
2
x
A50A2
=+
b,
8x.Px.P
3
2
2
=−
c,
2
x7
CCC
3
x
2
x
1
x

=++
d,
x14x9C6C6C
23
x
2
x
1
x
−=++
e,
n
18
2n
18
CC
>
−
f,
2n
13
n
13
CC
+
<
g,
1x
7
2x

7
x
7
C2CC
++
=+
h,
( )
xxxx
PAAP 2672.
22
+=+
i
3
4
1
3
1
14
1
P
A
C
n
n
n
<
+
−
−

19 Giải các phương trình và bất phương trình sau.
3
a. b.
c. d.
e. f.
g. h. i.
C. NHỊ THỨC NEWTON
1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
20
x
2
x






+
với
0x
≠
.
2 Tìm hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển
( )
7
x32

−
3 Tìm số hạng chứa
2
x
trong khai triển
10
x
x2
3






+
với
0x
≠
.
4 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
15
2
x
2
x







+
với
0x
≠
.
5 * Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển
( )
15
3
2x
+
với
0x
>
.
6 * Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: với x > 0
7 Tìm hệ số của số hạng chứa
35
x
trong khai trển
25
3
2
x
x
 
−
 ÷

 
với
0x
≠
.
8 Tìm hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai trển
15
x
1
x






+
với
0x
≠
.
9 Tìm hệ số của số hang chứa
20
x
trong khai triển
( )
10

3
xx
−
10 Tìm hệ số của số hạng chứa
6
x
trong khai triển
30
2
x
2
x






−
với
0x
≠
.
11 * Tìm các số âm trong dãy số x
1
, x
2
, …, x
n
, … với: x

n
=
nn
n
PP
A
4
143
2
4
4
−
+
+

12 Tìm hệ số của
1025
yx
trong khai triển
( )
15
3
xyx
+
.
13 Chứng minh:
1
1 2 1
... .
k k k k k

k k k k m k m
C C C C C
+
+ + + − +
+ + + + =
14 Cho m
≤
k
≤
n. Chứng minh:
0 1 1 2 2
... .
k k k m k m k
m n m n m n m n m n
C C C C C C C C C
− − −
+
+ + + + =
15 Chứng minh rằng:
( ) ( )
0 1 2
... 1 ... 1 0.
k n
k n
n n n n n
C C C C C− + − + − + + − =
16 a) Chứng minh:
( ) ( )
2 3 2
2.1. 3.2. ... . 1 . . 1 .2 .

n n
n n n
C C n n C n n
−
+ + + − = −
b) Chứng minh:
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1
2
... .
n n
n n n n
C C C C+ + + =
17 * Trong khai triển
17
3
4
3 2
1
.x
x
 
+
 ÷
 
Tìm số hạng không chứa x của khai triển.
4
18 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
7

3
4
1
x
x
 
+
 ÷
 
với x > 0.
19 Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( )
5 6 7 11
1 1 1 ... 1 .x x x x+ + + + + + + +
Ta được
một đa thức:
2 11
( ) 0 1 2 11
. . ... . .
x
P A A x A x A x= + + + +
Tính
7
A
=?.
20 Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức
( )
9
2 3
1 x x+ −

. Ta được một đa thức:
2 2
0 1 2
...
x
P A A x A x= + + +
. Tính
7
.A
21 Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển của biểu thức:
( )
8
2
1 1 .x x
 
+ −
 
22 * Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức: ;
23 Tìm hệ số của
3
x
trong khai triển của biểu thức:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 5
1 1 1 1 .
x

P x x x x= + + + + + + +
24 * Trong khai triển:
7
3
2
1
x
x
 
+
 ÷
 ÷
 
.Tìm số hạng chứa
2
x
của khai triển đó.
25 * Trong khai triển:
21
3
3
a b
b a
 
+
 ÷
 ÷
 
. Tìm số hạng có số mũ của a và b như nhau.
26 * Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị:

0 1 2
, , ,..., .
n
n n n n
C C C C
27 Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển:
( )
n
a b+
, biết rằng tổng các hệ số bằng 4096.
28 Chứng minh rằng:
1332211
433323
−−−−
=++++
nn
n
n
n
n
n
n
n
.nC.n...C.C.C

29 Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức:
( ) ( ) ( )
14109
111 x...xx ++++++
ta sẽ được đa thức:P(x) = A

0
+ A
1
x + A
2
x
2
+ … + A
14
x
14
Hãy xác định hệ số A
9

30 Chứng minh rằng:
( ) ( )
242
2112312
−
−=−+++
nn
nnn
.nnCnn...C..C..

31 Tính tổng S =
( )
n
n
n
nnnn

nC...C.C.C.C
1
4321
1432
−
−++−+−
(n ≥ 2)
32 * Chứng minh rằng:
1616
16
2
16
141
16
150
16
16
2333 =+−+− C...CCC

33 Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức:
f(x) =
( ) ( ) ( ) ( )
7654
12121212 +++++++ xxxx

34 Trong khai triển của
10
3

2
3
1






+ x
thành đa thức:
P(x) =
10
10
9
910
xaxa...xaa
++++
Hãy tìm hệ số a
k
lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10)
35 Tìm số nguyên dương n sao cho:
243242
210
=++++
n
n
n
nnn
C...CCC

.
36 CMR:
( )
122333
200120002000
2001
20004
2001
42
2001
20
2001
−=++++ C...CCC

37 Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
a.
( )
n
n
n
nnn
C
n
...CCC
1
1
1
3
1
2

1
210
+
−+−+−

5