Một số phương pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ ÁNH HỒNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP
GIẢI BÀI TỐN SONG ĐIỀU HỊA
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN
HỖN HỢP MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 36

Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN, 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mục lục
Mở đầu

2

1 Các kiến thức cơ bản
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . .
¯ . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian C k (Ω)
1.1.2 Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . .
1.1.4 Khái niệm vết của hàm . . . . . . . . . .
1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic . . . . . . . .
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . .
1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
5
6
10
10
12
13

2 Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị
2.1 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic cấp 2 với
điều kiện biên hỗn hợp mạnh . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp lặp giải bài tốn song điều hịa với điều kiện

biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mơ hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3 Bài toán Crack và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ
3.1 Phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho bài tốn song
điều hịa với điểm đứt gãy kì dị . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Mơ hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Phương pháp tích phân biên kì dị . . . . . . . . . .

27

i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



15
15
17
22
22
22

27
28
30

MỤC LỤC

3.2

3.1.3 Kết quả số . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp chia miền giải bài toán crack
3.2.1 Sơ đồ lặp chia miền . . . . . . . . .
3.2.2 Các kết quả thực nghiệm . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

Tài liệu tham khảo

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

.
.
.
.

.
.
.
.

31
37
37
39
46




Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Vũ Vinh
Quang. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Vũ Vinh Quang, người đã đưa ra
đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả.
Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cơ trong khoa Tốn
- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều
kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hồn thành
bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường
THPT Chu Văn An - Thái Nguyên và các bạn trong lớp Cao học K4A, đã
động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mở đầu
Khi nghiên cứu bài toán cơ học và vật lý trong kỹ thuật, thơng qua việc

mơ hình hóa, các bài tốn thường dẫn đến các dạng phương trình elliptic
cấp 2 hoặc các dạng phương trình song điều hịa với các hệ số điều kiện
biên khác nhau. Trong trường hợp khi điều kiện biên của bài tốn đang
xét khơng tồn tại các điểm kì dị thì đã có nhiều phương pháp của các tác
giả trên thế giới tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tương ứng như
phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn... Tuy nhiên, trong
trường hợp khi trên biên tồn tại các điểm kì dị là các điểm phân cách giữa
các loại điều kiện biên hàm và đạo hàm, điều này thường xảy ra đối với
mơ hình các bài tốn cơ học và vật liệu đàn hồi thì chúng ta sẽ gặp các
bài tốn elliptic hoặc các bài tốn song điều hịa với điều kiện biên kì dị.
Khi đó các phương pháp thơng thường sẽ gặp nhiều khó khăn. Đối với các
bài tốn này, để tìm nghiệm xấp xỉ, người ta thường sử dụng một phương
pháp đó là phương pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dưới dạng
khai triển thơng qua các hệ hàm cơ sở. Một hướng nghiên cứu thứ hai đó
là xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền.
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu bài tốn vết nứt hay cịn gọi
là bài tốn crack được các tác giả trên thế giới đưa ra. Mô hình tốn học
của bài tốn là bài tốn song điều hồ với điều kiện biên kì dị. Trình bày
cơ sở của phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải bài toán này đồng
thời xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền tìm nghiệm xấp
xỉ của bài tốn. Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính tốn để kết luận sự
hội tụ của các phương pháp lặp và so sánh tính hiệu quả của hai phương
pháp đã đưa ra. Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm và
đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức quan trọng, khái niệm
về nghiệm yếu, lý thuyết về các sơ đồ lặp hai lớp và định lý cơ bản về sự
hội tụ của sơ đồ lặp.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC

Chương 2: Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền để giải bài toán
biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh và cơ sở của phương
pháp lặp giải bài tốn song điều hồ với điều kiện biên hỗn hợp.
Chương 3: Nghiên cứu mơ hình bài tốn vết nứt, trình bày cơ sở phương
pháp tích phân biên hàm kì dị giải bài tốn này. Trên cơ sở của phương
pháp chia miền giải phương trình cấp 2 và phương pháp lặp giải phương
trình cấp 4, luận văn đưa ra sơ đồ lặp giải bài toán vết nứt, tiến hành thực
nghiệm kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp đưa ra. Từ đó đưa ra kết
luận so sánh giữa hai phương pháp.
Trong luận văn, các chương trình thực nghiệm được lập trình trên ngơn
ngữ Matlab chạy trên máy tính PC.
Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn khơng thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
các Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hồn thiện.

Tác giả

3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1

Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, luận văn trình bày những kết quả lý thuyết quan
trọng về các khơng gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm
yếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức Poincare, lý
thuyết về phương pháp lặp giải phương trình tốn tử.

1.1

Các kiến thức cơ bản về các khơng gian
hàm

1.1.1

¯
Không gian C k (Ω)

¯
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều Rn và Ω
¯
là bao đóng của Ω. Ta kí hiệu C k (Ω)(k
= 0, 1, 2, ...) là tập các hàm có đạo
¯ Ta đưa vào C k (Ω)
¯ chuẩn
hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω.
max |Dα u(x)|,

||u||C k (Ω)
¯ =
|α|=k

¯
x∈Ω

(1.1)

trong đó α = (α1 , α2 , ..., αn ) được gọi là đa chỉ số véc tơ với các tọa độ
nguyên không âm, |α| = α1 + α2 + ... + αn ,
∂ α1 +...+αn u
D u = α1
∂x1 ...∂xαn n
α

4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1. Các kiến thức cơ bản

¯ của các hàm và tất
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω
¯ với chuẩn
cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k. Rõ ràng tập C k (Ω)
(1.1) là không gian Banach.

1.1.2

Không gian Lp(Ω)

Giả sử Ω là một miền trong Rn và p là một số thực dương. Ta kí hiệu Lp (Ω)
là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho
|f (x)|p dx < ∞.

(1.2)

Ω

Trong Lp (Ω ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như
vậy các phần tử của Lp (Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa
mãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên
Ω. Vì
|f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x) + g(x)|)p ≤ 2p (|f (x)|p + |g(x)|p )
nên rõ ràng Lp (Ω) là một không gian véc tơ.
Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm || · ||p được xác định bởi

||u||p =





1.1.3

|u(x)|p dx
Ω

1/p


.

(1.3)



Không gian W 1,p(Ω)

Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một miền trong Rn . Hàm u(x) được gọi là
khả tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm trong Ω và với mỗi
x0 ∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x0 để u(x) khả tích trong Ω.
Định nghĩa 1.1.2. Cho Ω là một miền trong Rn . Giả sử u(x), v(x) là hai
hàm khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức

Ω

∂kϕ
u k1
dx = (−1)k
kn
∂x1 ...∂xn

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

vϕdx,
Ω

Chương 1. Các kiến thức cơ bản

đối với mọi ϕ(x) ∈ C0k (Ω), k = k1 + ... + kn , ki ≤ 0(i = 1, 2, ..., n). Khi đó,
v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x).
Kí hiệu
∂ku
v(x) = k1
.
∂x1 ...∂xknn
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử p là một số thực, 1 < p < ∞, Ω là một miền
trong Rn . Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa như sau:
W 1,p (Ω) = {u|u ∈ Lp (Ω),

∂u
∈ Lp (Ω), i = 1, 2, ..., n},
∂xi

trong đó các đạo hàm trên là các đaọ hàm suy rộng.
Với p = 2, ta kí hiệu W 1,p (Ω) = H 1 (Ω), nghĩa là
H 1 (Ω) = {u|u ∈ L2 (Ω),

∂u
∈ L2 (Ω), i = 1, 2, ..., n}.
∂xi

Bổ đề 1.1.4. i) Không gian W 1,p (Ω) là không gian Banach với chuẩn
n

||u||W 1,p (Ω) = ||u||Lp (Ω) +

||
i=1

∂u
||Lp (Ω) .
∂xi

ii) Không gian H 1 (Ω) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
n

(u, v)H 1 (Ω) = (u, v)L2 (Ω) +
i=1

1.1.4

∂u ∂v
,
∂xi ∂xi

, ∀u, v ∈ H 1 (Ω).
L2 (Ω)

Khái niệm vết của hàm

Định nghĩa 1.1.5. Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa như các
bao đóng của khơng gian các hàm khả vi vơ hạn có giá compact trong Ω
tương ứng với chuẩn của W 1,p (Ω).
Không gian H01 (Ω) được định nghĩa bởi
H01 (Ω) = W01,2 (Ω).

Định lý 1.1.6. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó:
i) Nếu 1 ≤ p < n thì W01,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) là:
1
1 1
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p∗ ), trong đó ∗ = − .
p
p n
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1. Các kiến thức cơ bản

- Nhúng liên tục với q = p∗ .
ii) Nếu p = n thì W01,n (Ω) ⊂ Lq (Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).
¯ là nhúng compact.
iii) Nếu p > n thì W01,p (Ω) ⊂ C 0 (Ω)
Định lý 1.1.7 (Định lý vết). Giả sử Ω là tập mở trong Rn với biên ∂Ω là
liên tục Lipschitz. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
γ : H 1 (Ω) → L2 (∂Ω)
¯ ta có γ(u) = u|∂Ω . Hàm γ(u) được
sao cho với bất kì u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω)
gọi là vết của u trên ∂Ω.
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian
H 1/2 (∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là
H 1/2 (∂Ω) = γ(H 1 (Ω)).
Định lý 1.1.9. i) Kí hiệu H 1/2 (∂Ω) là khơng gian Hilbert với chuẩn
||u||2H 1/2 (∂Ω)

|u(x) − u(y)|2
dSx dSy .
|x − y|n+1

2

|u(x)| dSx +

=
∂Ω

∂Ω ∂Ω

ii) Tồn tại một hằng số Cγ (Ω) sao cho:
||γ(u)||H 1/2 (∂Ω) ≤ Cγ (Ω)||u||H 1 (Ω) , ∀u ∈ H 1 (Ω).
Khi đó, Cγ (Ω) được gọi là hằng số vết.
Bổ đề 1.1.10. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khơng gian H 1/2 (∂Ω)
có các tính chất sau:
i) Tập {u|∂Ω , u ∈ C ∞ (Rn )} trù mật trong H 1/2 (∂Ω).
ii) Nhúng H 1/2 (∂Ω) ⊂ L2 (∂Ω) là compact.
iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H 1/2 (∂Ω) → ug ∈ H 1 (Ω)
với γ(ug ) = g và tồn tại hằng số C1 (Ω) chỉ phụ thuộc vào miền Ω sao cho
||u||H 1 (Ω) ≤ C1 (Ω)||g||H 1/2 (∂Ω) , ∀g ∈ H 1/2 (∂Ω).
Bổ đề 1.1.11. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó
H01 (Ω) = {u|u ∈ H 1 (Ω), γ(u) = 0}.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chương 1. Các kiến thức cơ bản

Định lý 1.1.12 (Bất đẳng thức Poincare). Tồn tại hằng số CΩ sao cho:
||u||L2 (Ω) ≤ CΩ ||∇u||L2 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω).
¯ u ∈ H01 (Ω). Ta kí
Chứng minh. Giả sử I là một khoảng trong Rn chứa Ω,
hiệu u là mở rộng bởi 0 của u vào I. Ta có u ∈ H01 (I) và
||u||L2 (Ω) = ||u||L2 (I) ; ||∇u||L2 (Ω) = ||∇u||L2 (I) .

(1.4)

Để chứng minh định lý đúng với Ω là khoảng bất kì trong Rn , khơng
mất tính tổng quát ta chứng minh định lý đúng với Ω = (0, a)n .
Với ∀ ∈ C0∞ (Ω) ta có
xn

u(x) = u(x , xn ) =
0

∂u
(x , t)dt.
∂xn

ta lại có
xn

2

|u(x)| =
0

2

∂u
(x , t).1dt ≤ xn
∂xn

xn
0
a

≤ xn
0

2

∂u
(x , t) dt
∂xn
2

∂u
(x , t) dt.
∂xn

Lấy tính phân hai vế bất đẳng thức trên Ω ta được:
2

u dx ≤ a
Ω

∂u
∂xn

2

2

dx ≤ a2

Ω

|∇u|2 dx,
Ω

tức là
||u||L2 (Ω) ≤ a||∇u||L2 (Ω) , ∇u ∈ C0∞ (Ω).
Do đó đẳng thức trên đúng với ∀u ∈ H01 (Ω).
Nếu Ω là một tập mở giới nội bất kì, ln tồn tại khoảng I với các cạnh
phụ thuộc vào đường kính của Ω thỏa mãn Ω ⊂ I.
Theo trên, định lý đúng với khoảng I, kết hợp với (1.4) ta suy ra định
lý đúng với Ω.
Nhận xét 1.1.13. Bất đẳng thức Poincare có nghĩa rằng: ||u|| = ||∇u||L2 (Ω)
là một chuẩn trên H01 (Ω), tương đương với chuẩn của H 1 (Ω) được xác định
bởi
||u||2H 1 (Ω) = ||u||2L2 (Ω) + ||∇u||2L2 (Ω)
8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1. Các kiến thức cơ bản

Định lý 1.1.14 (Bất đẳng thức Poincare mở rộng). Giả sử biên ∂Ω liên
tục Lipschitz, ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 , trong đó Γ1 , Γ2 là các tập đóng, rời nhau, Γ1
có độ đo dương. Khi đó, tồn tại hằng số C(Ω) sao cho
||u||L2 (Ω) ≤ CΩ ||∇u||L2 (Ω)
∀u ∈ H 1 (Ω), γ(u) = 0 trên Γ1 .
1.1.4.1

Không gian Sobolev với chỉ số âm H −1 (Ω) và H −1/2 (∂Ω)

Định nghĩa 1.1.15. Kí hiệu H −1/2 (∂Ω) là khơng gian Banach được định
nghĩa bởi
H −1 (∂Ω) = (H01 (Ω)) ,
tức là không gian đối ngẫu của H01 (Ω). Chuẩn của phần tử F ∈ H −1 (Ω)
được xác định như sau
||F ||H −1 (Ω) =

| < F, u >H −1 (Ω),H01 (Ω) |
,
||u||H01 (Ω)
H01 (Ω)\{0}
sup

trong đó

< F, u >H −1 (Ω),H01 (Ω) =

F udx.
Ω

Bổ đề 1.1.16. Cho F ∈ H −1 (Ω). Khi đó tồn tại n + 1 hàm f0 , f1 , ..., fn
trong L2 (Ω) sao cho
n
∂fi
.
(1.5)
F = f0 +
∂x
i
i=1
Hơn nữa

n

||F ||2H −1 (Ω)

||fi ||2L2 (Ω) ,

= inf
i=1

trong đó infimum lấy trên tất cả véc tơ (f0 , f1 , ..., fn ) trong [L2 (Ω)]n+1 thỏa
mãn điều kiện (1.5).
Định nghĩa 1.1.17. Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz. Kí hiệu H −1/2 (∂Ω)
là khơng gian Banach được định nghĩa bởi

H −1/2 (∂Ω) = (H 1/2 (∂Ω)) .
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1. Các kiến thức cơ bản

tức là không gian đối ngẫu của không gian H 1/2 (∂Ω). Chuẩn của phần tử
F ∈ H −1/2 (∂Ω) được xác định như sau
||F ||H −1/2 (Ω) =

| < F, u >H −1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω) |
||u||H 1/2 (∂Ω)
H 1/2 (∂Ω)\{0}
sup

trong đó
< F, u >H −1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω) =

F udS.
∂Ω

1.2

Lý thuyết về phương trình elliptic

1.2.1

Khái niệm nghiệm yếu của phương trình

Xét phương trình
− ∆u = f

(1.6)

Giả sử u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.6) thỏa mãn trong
miền Ω. Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.6).
Lấy hàm ϕ bất kì thuộc D(Ω) = C0∞ (Ω) nhân với hai vế của (1.6) rồi
lấy tích phân ta được
−

∆uϕdx =

f ϕdx.

Ω

(1.7)

Ω

Áp dụng cơng thức Green vào (1.7) và kết hợp với điều kiện ϕ|∂Ω = 0
ta có
n
∂ϕ ∂u
dx = f ϕdx,
(1.8)
∂x

∂x
i
i
i=1
Ω

Ω

hay
∇u∇ϕdx =
Ω

f ϕdx.
Ω

Như vậy, nếu u là nghiệm của phương trình (1.6) thì có (1.8). Nhưng
¯ C(Ω) thì phương trình (1.6) khơng có nghiệm cổ điển. Vậy, ta cần
nếu f ∈
mở rộng khái niệm khi f ∈ L2 (Ω).
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1. Các kiến thức cơ bản

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử u ∈ H 1 (Ω), f ∈ L2 (Ω), u được gọi là nghiệm
yếu của phương trình (1.6) nếu (1.8) được thỏa mãn.
Mệnh đề 1.2.2. Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.6) và u ∈

C 2 (Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −∆u = f.
Chứng minh. Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.6), tức là u ∈
H 1 (Ω) và ta có (1.8) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈
C 2 (Ω) ta suy ra
(∆u + f )ϕdx = 0, ∀u ∈ D(Ω).
Ω

Vì D(Ω) trù mật trong L2 (Ω), ∆u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω) nên
∆u + f = 0 trong L2 (Ω). Nhưng vì ∆u liên tục nên ∆u + f ≡ 0 trong
C(Ω). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.6).
Xét phương trình song điều hoà
∂ 4u
∂ 4u
∂ 4u
∆ u = 4 + 2 2 2 + 4 = f.
∂x
∂x ∂y
∂y
2

(1.9)

Giả sử u ∈ C 4 (Ω), f ∈ C(Ω), ϕ ∈ D(Ω). Nhân hai vế của phương trình với
ϕ và lấy tích phân trên toàn miền Ω ta thu được
ϕ∆2 udx =
Ω

f ϕdx.

(1.10)

Ω

u được gọi là nghiệm yếu nếu u thoả mãn (1.10).
Tổng quát xét bài toán
Au = f,

(1.11)

(−1)|i| Di (aij (x)Dj ).

trong đó A =
|i|,|j|≤k

Nếu u thoả mãn hệ thức
aij Dj ϕDj udx =< f, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω)
|i|,|j|≤k

được gọi là ngiệm yếu của phươg trình.

11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(1.12)


Chương 1. Các kiến thức cơ bản

1.2.2

Phát biểu các bài toán biên

Bài toán Dirichlet
Xét bài toán


 −∆u = f,
 u = ϕ,

x∈Ω

(1.13)

x ∈ ∂Ω

trong đó f ∈ L2 (Ω).
Hàm u ∈ H 1 (Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài tốn (1.13) nếu
u − ω ∈ H01 (Ω).

(1.14)

trong đó ω là hàm thuộc H 1 (Ω), có vết bằng ϕ và
f vdx, ∀v ∈ H01 (Ω).

∇u∇vdx =
Ω

(1.15)

Ω

Nhận xét 1.2.3. i) Nghiệm yếu của bài toán (1.13) là nghiệm yếu của
phương trình −∆u = f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình
này là hàm u ∈ H 1 (Ω) thỏa mãn (1.15) với mọi v ∈ C0∞ (Ω) ⊂ H01 (Ω).
ii) Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.13) và đặt u, f, ϕ đủ trơn thì
nghiệm theo nghĩa cổ điển.
Bài tốn Neumann
Xét bài tốn

 −∆u = f, x ∈ Ω
(1.16)
 ∂u = h,
x ∈ ∂Ω.
∂ν
¯ u ∈ C 2 (Ω)
¯ là nghiệm cổ điển.
trong đó h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω),
Nhân hai vế của phương trình −∆u = f với v ∈ H 1 (Ω) rồi lấy tích
phân ta được
−

v∆udx =
Ω

vf dx.

(1.17)

Ω

Áp dụng cơng thức Green vào (1.17) ta có
−
∂Ω

v

∂Ω
dS +
∂ν

∇u∇vdx =
Ω

12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

vf dx.
Ω




Chương 1. Các kiến thức cơ bản

Kết hợp với (1.16) ta suy ra
∇u∇vdx =
Ω

hvdS, ∀v ∈ H 1 (Ω).

f vdx +
Ω

(1.18)

∂Ω

Định nghĩa 1.2.4. Nếu h ∈ L2 (∂Ω), f ∈ L2 (Ω) thì nghiệm yếu của bài
tốn Neumann (1.16) là hàm u ∈ H 1 (Ω) thỏa mãn (1.18).

1.3

Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản

Xét bài toán
Au = f,

(1.19)

trong đó A : H → H là tốn tử tuyến tính trong khơng gian Hilbert thực
N chiều H với tích vơ hướng (, ) và chuẩn ||y|| = (y, y).
Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f ∈ H là véc tơ tùy
ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y0 bất kì thuộc H, người
ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y1 , y2 , ..., yk , ... của phương trình
(1.19). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp
k = 1, 2, ... bản chất của những phương pháp này là giá trị yk+1 có thể
được tính thơng qua các giá trị lặp trước: yk , yk+1 , ...
Phương pháp lặp được gọi là là phương pháp lặp một bước hoặc hai

bước nếu xấp xỉ yk+1 có thể được tính thơng qua một hoặc hai giá trị trước
đó. Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là
Bk

yk+1 − yk
+ Ayk = f, k = 0, 1, 2, ...
θk+1

(1.20)

Lước đồ lặp (1.20) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm u của phương trình
Au = f với bất kì tốn tử Bk và cách chọn tham số θk+1 .
+) Nếu Bk = E thì lược đồ lặp (1.20) được gọi là lược đồ lặp hiển
yk+1 − yk
+ Ayk = f, k = 0, 1, 2, ...
θk+1

(1.21)

Trong trường hợp θk = θ là hằng số thì lược đồ lặp (1.21) cịn gọi là
lược đồ lặp đơn giản.
+) Nếu Bk = E thì lược đồ lặp (1.20) được gọi là lược đồ ẩn.
Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1. Các kiến thức cơ bản

Lược đồ lặp (1.20) với toán tử Bk = B, tham số θk+1 = θ khơng đổi
(k = 0, 1, 2, ...) cịn được gọi là lược đồ lặp dừng.
B

yk+1 − yk
+ Ayk = f, k = 0, 1, 2, ...
θ

(1.22)

Định lý 1.3.1. Nếu A là tốn tử đối xứng, xác định dương thì
1
1
B > θA hay (Bx, x) > θ(Ax, x), ∀x ∈ H
2
2

(1.23)

là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.22) trong không gian HA
với tốc độ hội tụ cấp số nhân
||zk+1 ||A ≤ ρ||zk ||A , k = 0, 1, 2, ..., ρ < 1.
trong đó ρ =

2θδ∗ δ
1−
||B||2

1/2

(1.24)

1
, δ = min λk (A), δ∗ = min λk (B0 − θA),
k
k
2

B + B∗
B0 =
là phần tử đối xứng của toán tử B.
2

Nhận xét 1.3.2. Với Bk = B cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn
giá trị θ để lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp B = E, điều kiện hội tụ
sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn
1
λk E − θA
2

1
= 1 − θλk (A) > 0.
2

Hay
1
1 − θ||A|| > 0.
2
2

Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi θ <
.
||A||

14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 2

Một số phương pháp giải
bài tốn elliptic với biên
kì dị
2.1

Phương pháp chia miền giải bài toán
biên elliptic cấp 2 với điều kiện biên hỗn
hợp mạnh

2.1.1

Cơ sở của phương pháp

Cho Ω ⊂ R2 là miền với biên Lipschitz ∂Ω, xét bài toán

 −∆u(x) = f (x), ∀x ∈ Ω,
 lu(x) = g(x),

x ∈ ∂Ω.

1

Giả sử f (x) ∈ L2 (Ω), g(x) ∈ H 2 (∂Ω). Ta xét trường hợp tổng quát khi
điều kiện biên lu(x) = g(x) là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là
trên một phân biên trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet (l là tốn tử
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị

hàm) và Neumann (l là tốn tử đạo hàm hướng). Đây là bài toán đã được
nhiều tác giả trên thế giới quan tâm.
Trong phần này luận văn trình bày phương pháp chia miền để giải bài
tốn biên hỗn hợp mạnh. Sự hội tụ của phương pháp này đối với trường
hợp chỉ có một điểm phân cách điều kiện biên đã được nghiên cứu về lý
thuyết.
Giả sử Ω cho bởi Hình 2.1 xét bài tốn


−∆u = f, x ∈ Ω,



u = ϕ,
x ∈ ∂Ω\Γn ,




 ∂u = ψ,
x ∈ Γn
∂ν

Hình 2.1:
Chia miền Ω thành hai miền Ω1 , Ω2 với biên trơn Γ, Ω = Ω1 ∪ Ω2 , Ω1 ∩
Ω2 = ∅. Kí hiệu Γ1 = ∂Ω1 \{Γd ∪ Γ}, Γ2 = ∂Ω2 \{Γn ∪ Γ}, ui là nghiệm
trong miền Ωi (i = 1, 2). Tư tưởng của phương pháp là tìm ra các xấp xỉ
∂u1
của g =
|Γ để chuyển bài toán đang xét về hai bài toán trong hai miền.
∂ν1
Ở đây νi là véc tơ pháp tuyến ngồi của miền Ωi (i = 1, 2).
• Mơ tả thuật toán chia miền
Bước 1. Cho trước g (0) ∈ L2 (Γ), chẳng hạn g (0) = 0, x ∈ Γ.

16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị

Bước 2. Với g (k) trên Γ(k = 0, 1, 2, ...) tiến hành giải hai bài toán

(k)


−∆u1 = f, x ∈ Ω1 ,



 (k)
u1 = ϕ,
x ∈ Γ1 ∪ Γd ,
(2.1)

(k)


∂u1


= g (k) , x ∈ Γ.
∂ν1

(k)


−∆u2 = f, x ∈ Ω2 ,




(k)

x ∈ Γ2 ,

 u2 = ϕ,
(2.2)
(k)
(k)
u
=
u
,
x
∈
Γ,

2
1



(k)


∂u2


= ψ,
x ∈ Γn
∂ν2
Bước 3. Hiệu chỉnh giá trị g (k+1)
(k)

g

(k+1)

= (1 − τ )g

(k)

∂u
− τ 2 , x ∈ Γ,
∂ν2

trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn.

2.1.2

Sự hội tụ của phương pháp

Sơ đồ lặp (2.1) được viết lại dưới dạng
(k)

g (k+1) − g (k)
∂u
+ g (k) + 2 = 0, (k = 0, 1, 2, ...).
τ
∂ν2
Kí hiệu


 e(k) = u(k) − u , (i = 1, 2)
i

i
i
 ξ (k) = g (k) − g.
(k)

Khi đó ei (i = 1, 2) và ξ (k) thỏa mãn

(k)

−∆e1 = 0, x ∈ Ω1 ,



 (k)
e1 = 0,
x ∈ Γ1 ∪ Γd ,

(k)


∂e1


= ξ (k) , x ∈ Γ.
∂ν1
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(2.3)


Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị


(k)


−∆e2 = 0, x ∈ Ω2 ,




(k)

x ∈ Γ2 ,
 e2 = 0,
(k)

(k)

e2 = e1 ,




(k)



∂e2


= 0,
∂ν2

x ∈ Γ,
x ∈ Γn

(k)

∂e
ξ (k+1) − ξ (k)
+ ξ (k) + 2 = 0, x ∈ Γ, (k = 0, 1, 2, ...).
τ
∂ν2
Ta định nghĩa các toán tử Steklov-Poincare S1 , S2 như sau S1 ξ =
Γ, trong đó v1 là nghiệm của bài toán



−∆v1 = 0, x ∈ Ω1 ,


v1 = 0,
x ∈ Γ1 ∪ Γd ,



 v1 = ξ,

x ∈ Γ,
S2 ξ =

∂v2
, x ∈ Γ, trong đó v2 là nghiệm của bài toán
∂ν2


−∆v2 = 0, x ∈ Ω2 ,





 v2 = 0,
x ∈ Γ2 ,

v2 = ξ,





 ∂v2 = 0,
∂ν2

x ∈ Γ,
x ∈ Γn .

Khi đó tốn tử nghịch đảo S1−1 được xác định bởi

S1−1 ξ = ω1 |Γ
trong đó ω1 là nghiệm của bài tốn



−∆ω1 = 0,



ω1 = 0,


∂ω1


= ξ,

∂ν1
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

x ∈ Ω1 ,
x ∈ Γ1 ,
x ∈ Γ.



(2.4)
∂v1
,x ∈

∂ν1


Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị

Vì thế
(k)

S1−1 ξ (k) = e1 |Γ
(k)

(k)
S2 e1

∂e
= 2 |Γ .
∂ν2

Sử dụng các toán tử S1 , S2 đã định nghĩa, (2.4) được viết lại dưới dạng
ξ (k+1) − ξ (k)
+ (I + S2 S1−1 )ξ (k) = 0, x ∈ Γ, (k = 0, 1, 2, ...).
τ
Tác động S1−1 lên cả hai vế của phương trình trên, ta thu được sơ đồ lặp
hai lớp
(k+1)
(k)
e1 |Γ − e1 |Γ
(k)
+ Be1 |Γ = 0, (k = 0, 1, ...),
τ

trong đó kí hiệu B = I + S1−1 S2 . Từ lược đồ trên ta có
(k+1)

e1

(k)

|Γ = (I − τ B)e1 |Γ .

Để thiết lập sự hội tụ của lược đồ này chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất
−1
của tốn tử B. Vì mục đích này ta đưa vào không gian Λ = H002 (Γ) =
−1

{v|Γ : v ∈ H01 (Ω)} và không gian đối ngẫu Λ = H002 (Γ). Có thể kiểm tra
rằng trong dạng phát biểu yếu toán tử S1 được định nghĩa bởi
S1 ξ, η

Λ ,Λ

= (∇H1 ξ, ∇H1 η)L2 (Ω1 ) , ∀ξ, η ∈ Λ,

trong đó H1 ξ là thác triển điều hịa của ξ lên Ω. Toán tử S1 là toán tử đối
xứng, xác định dương và
C21 ||ξ||H 21 (Γ) ≤ S1 ξ, ξ
Do đó S1 ξ, η

1
2

Λ ,Λ

1
2

Λ ,Λ

≤ C31 ||ξ||H 12 (Γ) .

xác định một tích vơ hướng của ξ, η ∈ Λ và chuẩn được
1

sinh bởi tích vơ hướng này tương đương với chuẩn thông thường của H 2 (Γ).
Kí hiệu tích vơ hướng này và dạng chuẩn cảm sinh bởi (·, ·)S1 và || · ||S1
(ξ, η)S1 = S1 ξ, η

Λ ,Λ , ||ξ||S1 = S1 ξ, ξ

19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
2

Λ ,Λ

.

Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị
1

2
ˆ 2η
(Γ), kí hiệu ω = H
Bây giờ ta xét tính chất của tốn tử S2 . Giả sử η ∈ H00
là thác triển điều hòa của η lên Ω2 tức là ω là nghiệm của bài toán


−∆ω = 0, x ∈ Ω2 ,





 ω = 0,
x∈Γ ,

2

x ∈ Γ,


ω = η,






 ∂ω = 0,
∂ν2

x ∈ Γn .

Tương tự kí hiệu v = H2 ξ là thác triển điều hịa của ξ lên Ω2 . Khi đó
0=−

−

∆vωdx =
Ω2

∂v
ωds +
∂ν2

∇v∇ωdx
Ω2

∂Ω2

=−

∇H2 ξ.∇H2η dx.

S2 ξηds +
Γ

Ω2

Từ đó
∇H2 ξ.∇H2η dx.

S2 ξηds =
Γ

Γ2

Theo bất đẳng thức Poincare-Fridrichs và định lý vết ta có
S2 ξ, ξ

Λ ,Λ

= (∇H2 ξ.∇H2 ξ)L2 (Ω2 ) = (∇v, ∇v)L2 (Ω2 )
2
2
≥ C22
||v||2H 1 (Ω2 ) ≥ C32
||ξ||2

1

H 2 (Γ)

.

Mặt khác, theo đánh giá nghiệm của bài toán xác định v ta có
||v||H 1 (Ω2 ) ≤ C||v||H 21 (Γ) .

(2.5)

Ngoài ra, theo định nghĩa của chuẩn trong H 1 (Ω2 ) thì
||v||2H 1 (Ω2 ) = ||v||2L2 (Ω2 ) + ||∇v||2L2 (Ω2 )
nên
||∇v||2L2 (Ω2 ) ≤ ||v||2H 1 (Ω2 ).

(2.6)

Từ (2.5), và (2.6) suy ra rằng
S2 ξ, ξ

Λ ,Λ

= ||∇v||2L2 (Ω2 ) ≤ C 2 ||ξ||2

20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

H 2 (Γ)

.




Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị

Như vậy, tốn tử S2 là tốn tử đối xứng, xác định dương và giới nội.
Trong tích năng lượng của S1 ta có
(Bξ, η)S1 = S1 (I + S −1 S2 )ξ, η

Λ ,Λ

= S1 ξ, η

Λ ,Λ

+ S2 ξ, η

Λ ,Λ .

Do S1 , S2 là các toán tử đối xứng nên toán tử B cũng là toán tử đối xứng.
Giả sử rằng đối với phép chia miền Ω thành các miền con Ω1 , Ω2 tồn
tại các hằng số 0 < m ≤ M sao cho
m≤

S2 ξ, η
S1 ξ, η

Λ ,Λ

≤ M, ∀ξ ∈ Λ.

(2.7)

Λ ,Λ

Khi đó ta có
(1 + m)||ξ||2S1 ≤ (Bξ, ξ)S1 ≤ (1 + M )||ξ||2S1 .
Tức là
(1 + m)I ≤ B ≤ (1 + M )I,
trong không gian năng lượng của S1 .
Từ lý thuyết tổng quát của lược đồ lặp hai lớp suy ra rằng nếu
0<τ <

2
1+M

(2.8)

thì ||I − τ B|| < 1 và giá trị tối ưu của τ là
τopt =

2
.
2+m+M

(2.9)

Với giá trị này của τ ta thu được ước lượng
(k)

(0)

||e1 |Γ ||S1 ≤ ρk ||e1 |Γ ||S1 ,
với

ρ=

M −m
.
2+m+M

Khi đó để ý rằng
(k)

(k)

||ei ||H 1 (Ωi ) ≤ C1 ||e1 |Γ ||H 21 (Γ) .
Ta suy ra
(k)

(0)

||ei ||H 1 (Ωi ) ≤ Cρk ||e1 |Γ ||H 21 (Γ) .

(2.10)

Ở đây các hằng số dương C21 , C31 , C22 , C1 , C chỉ phụ thuộc vào Ωi và Γ.
Ta phát biểu kết quả thu được ở trên về sự hội tụ của phương pháp bởi
định lý sau đây.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị

Định lý 2.1.1. Với giả thiết (2.7), phương pháp lặp (2.1)-(2.3) hội tụ nếu
tham số lặp τ thỏa mãn điều kiện (2.8). Giá trị tối ưu của tham số lặp
được cho bởi (2.9) và khi đó ước lượng cho các sai số được xác định bởi
(2.10).

2.2

Phương pháp lặp giải bài tốn song điều
hịa với điều kiện biên hỗn hợp

2.2.1

Mơ hình bài tốn

Trong mục này luận văn xét mơ hình bài tốn cho phương trình song
điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp. Trong luận văn sẽ trình bày cơ sở
của một phương pháp lặp dựa trên lý thuyết tốn tử trong các khơng gian
hàm. Sự hội tụ của phương pháp lặp đã được chứng minh về mặt lý thuyết
và được kiểm nghiệm qua nhiều thí dụ cụ thể bằng các chương trình thực
nghiệm. Chúng ta xét mơ hình bài tốn sau:
∆2 u = f, x ∈ Ω,
u = g0 , x ∈ SA ,
∂u
= g1 , x ∈ ∂Ω,
∂ν
∂∆u
= g2 , x ∈ SD ∪ SB ∪ SE
∂ν

2.2.2

(2.11)

Phương pháp lặp

Để nghiên cứu bài toán trên, đặt v = ∆u với ∀x ∈ Ω , v = ϕ với
∀x ∈ SA . Khi đó bài tốn (2.11) sẽ tương đương với hai bài toán cấp hai
sau.


∆v = f, x ∈ Ω





 v = g1 , x ∈ SC
(2.12)

v = ϕ, x ∈ SA





 ∂v = g2 , x ∈ SD ∪ SE ∪ SB
∂ν
22

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên