Đặct rưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN VŨ MINH HỒNG

ĐẶC TRƯNG CHO TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TỐN
QUY HOẠCH LỒI VÀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2015


Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1 Một số kiến thức giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Bài toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân . .

11

2 Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch
lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân

14

2.1 Đặc trưng cho tập nghiệm trong trường hợp f khả vi
Gâteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2 Đặc trưng tập nghiệm qua dưới vi phân . . . . . . . . .

21

2.3 Đặc trưng tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận

28
36

Tài liệu tham khảo

37

i

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

O. L. Mangasarian (1988) đã chứng minh rằng tập nghiệm của bài
toán lồi:
(P ) M in {f (x) : x ∈ C} , C ⊂ Rn , f : Rn → R

Có thể đặc trưng bởi gradient của f khi f khả vi liên tục hai lần trên
một tập mở chứa C và có thể đặc trưng bởi dưới vi phân của f khi f
liên tục và phần trong tương đối của tập nghiệm khác rỗng. Z. L. Wu và
S. Y. Wu (2006) đã chứng minh rằng với bài tốn lồi (P) trong khơng
gian định chuẩn với hàm mục tiêu khả vi Gâteaux tại một nghiệm tối
ưu thì tập nghiệm bao gồm các điểm chấp nhận được nằm trong siêu
phẳng mà véctơ pháp tuyến của nó bằng đạo hàm Gâteaux đó. Với bài
tốn quy hoạch lồi liên tục, điểm chấp nhận được là nghiệm khi và chỉ
khi nó nằm trong siêu phẳng với vectơ pháp tuyến thuộc dưới vi phân
của hàm mục tiêu tại điểm đó. Đồng thời có thể đặc trưng tập nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân. Đây là đề tài được nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế em chọn đề tài "Đặc trưng cho tập
nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bất đẳng thức biến phân".
2. Mục đích của luận văn

Luận văn trình bày các kết quả về đặc trưng cho tập nghiệm của bài
toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân của Z. L. Wu
1


và S. Y. Wu đăng trong J. Optim. Theory Appl (2006).
3. Nội dung của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi như: Phần trong
tương đối, dưới vi phân hàm lồi, các phép tính về dưới vi phân hàm
lồi. Chương 1 cũng trình bày bài toán quy hoạch lồi, bài toán bất đẳng
thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu và hàm sai
khác đối ngẫu của bài toán bất đẳng thức biến phân sẽ được xét trong
chương 2.
Chương 2.Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và
bài tốn bất đẳng thức biến phân.
Trình bày các tính chất đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy
hoạch lồi trong trường hợp hàm mục tiêu khả vi Gâteaux, trường hợp
bài toán quy hoạch lồi liên tục và bài toán bất đẳng thức biến phân
của Z. L. Wu và S. Y. Wu ([13], 2006). Trong trường hợp hàm mục tiêu
của bài toán quy hoạch lồi khả vi Gâteaux, tập nghiệm sẽ nằm trong
siêu phẳng mà vectơ pháp tuyến của nó bằng đạo hàm Gâteaux của
hàm mục tiêu. Trong trường hợp quy hoạch lồi liên tục, một điểm chấp
nhận được là nghiệm của tối ưu khi và chỉ khi nó nằm trong siêu phẳng
mà vectơ pháp tuyến thuộc dưới vi phân của hàm mục tiêu tại điểm
này. Trong một số trường hợp tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân trùng với tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi với hàm sai
khác đối ngẫu là hàm mục tiêu.
Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người
đã hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi hồn thành bản luận văn này.
Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin Trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã
tham gia giảng dạy khóa học. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn
2

bè đồng nghiệp và các thành viên lớp Cao học Tốn K7A đã ln
quan tâm động viên giúp đỡ tơi trong suốt quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 05 năm 2015
Tác giả
Trần Vũ Minh Hoàng

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi như:
Phần trong tương đối, dưới vi phân hàm lồi, các phép toán về dưới vi
phân các hàm lồi, hàm khả vi Gâteaux. Chương này cũng trình bày
bài tốn quy hoạch lồi, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất
đẳng thức biến phân đối ngẫu và hàm sai khác đối ngẫu sẽ được xét
trong chương 2. Các kiến thức trình bày trong chương này được tham
khảo trong [1], [13].
1.1

Một số kiến thức giải tích lồi

Giả sử X là khơng gian tuyến tính trên trường số thực.
Định nghĩa 1.1.1.
Tập A ⊂ X được gọi là lồi nếu: ∀x1 , x2 ∈ A, ∀λ ∈ R :
0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx1 + (1 − λ) x2 ∈ A,

trong đó R là tập các số thực.
Định nghĩa 1.1.2.
a) Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại 0, nếu:
∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K.

K được gọi là nón có đỉnh tại x0 , nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0.

4


b) Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu K là một tập lồi
có nghĩa là:
∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ K.

Định nghĩa 1.1.3.
Phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phần trong của A trong
affA; Kí hiệu là riA, trong đó affA là bao affine của tập A.
Như vậy
riA = {x ∈ affA :∃ε > 0, (x + εB) ∩ affA ⊂ A},
trong đó B là hình cầu đơn vị trong Rn .
Định nghĩa 1.1.4.
Trên đồ thị của hàm f : D ⊂ X → R, ký hiệu là epif, được định
nghĩa như sau:
epif = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r} .

Định nghĩa 1.1.5.
Hàm f : D ⊂ X → R được gọi là chính thường nếu:
domf = ∅ và f (x) > −∞ (∀x ∈ D) ,

trong đó domf = {x ∈ D : f(x) < +∞}.

Định nghĩa 1.1.6.
Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epif là tập lồi trong X × R.
Hàm f được gọi là lõm trên D nếu −f là hàm lồi trên D.
Giải sử f là hàm xác định trên không gian lồi địa phương HausdorffX, f X < +∞.
Định nghĩa 1.1.7.
Đạo hàm của hàm f theo phương d tại x , ký hiệu là f (x; d) được
định nghĩa là giới hạn sau:
f (x; d) = lim
λ↓0

f (x + λd) − f (x)
λ

Nếu giới hạn này tồn tại (có thể hữu hạn hoặc ±∞).
5


Định lí 1.1.1.
Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X . Khi đó f có đạo hàm
theo phương tại mọi điểm x ∈ domf . Đồng thời,
f (x + λd) − f (x)
f (x; d) = inf
.
λ
λ>0
Nhận xét 1.1.1.
Nếu f là lồi chính thường trên X , x ∈ domf thì f (x, .) là hàm lồi.
Giả sử f là hàm lồi trên X .
Định nghĩa 1.1.8.
Phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ được gọi là dưới gradient (subgradient) của

f tại x ∈ X nếu:
f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x (∀x ∈ X) .

Định nghĩa 1.1.9.
Tập tất cả dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân
(subdifferential) của f tại x, ký hiệu là ∂f (x), tức là:
∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x , ∀x ∈ X} .

Định lí 1.1.2.
Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và x ∈ domf . Khi đó,
x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ f (x; d) ≥ x∗ , d (∀d ∈ X) .

Chứng minh.
Nếu x∗ ∈ ∂f (x) thì ∀d ∈ X, λ > 0, ta có:
f (x + λd) − f (x) ≥ λ x∗ , d .

Theo Định lý 1.1.1, f có đạo hàm tại x theo phương d, cho nên:
f (x; d) ≥ x∗ , d

(1.1)

Ngược lại, nếu (1.1) đúng, ta lấy x ∈ X, d = x − x, từ Định lý 1.1.1, ta
nhận được:
x∗ , x − x ≤ f (x; x − x) ≤ f (x + (x − x)) − f (x) .

Do đó, x∗ ∈ ∂f (x).
6


Định lí 1.1.3.

Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và x ∈ domf . Khi đó,
x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ f (x) + f ∗ (x∗ ) = x∗ , x .

Chứng minh.
Giả sử x∗ ∈ ∂f (x). Khi đó,
f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x (∀x ∈ X)
⇒ x∗ , x − f (x) ≥ x∗ , x − f (x)(∀x ∈ X)
⇒ x∗ , x − f (x) ≥ sup{ x∗ , x − f (x)}(∀x ∈ X)
= f ∗ (x∗ ) .

(1.2)

Mặt khác, theo bất đẳng thức Young-Fenchel
x∗ , x − f (x) ≤ f ∗ (x∗ ) .

(1.3)

Từ (1.2) và (1.3) suy ra:
f (x) + f ∗ (x∗ ) = x∗ , x .

(1.4)

Giả sử (1.4)đúng. Từ bất đẳng thức Young-Fenchel với λ > 0, d ∈ X ,
ta có:
f (x + λd) ≥ x∗ , x + λd − ( x∗ , x − f (x))
x∗ , λd
f (x + λd) − f (x)
≥
= x∗ , d
⇒

λ
λ
∗
⇒ f (x; d) ≥ x , d (∀d ∈ X)
⇒ x∗ ∈ ∂f (x) .

Ví dụ 1.1.1.
Cho hàm affine f (x) = x∗ , x + α (x∗ ∈ X ∗ , α ∈ R).
Khi đó, ∂f (x) = {x∗ } (∀x ∈ X).
Ví dụ 1.1.2.

7


Cho hàm chỉ f (x) = δ (.| A), trong đó A là tập lồi khác ∅
Khi đó, với x ∈ A,
x∗ ∈ ∂δ (x| A) ⇔ δ (x| A) ≥ δ (x| A) + x∗ , x − x

(∀x ∈ X)

⇔ x∗ , x − x ≤ 0 (∀x ∈ A).

Điều này có nghĩa là x∗ là véctơ pháp tuyến của A tại x.
Như vậy, ∂δ (x| A) là nón pháp tuyến của A tại x,
∂δ (x| A) = N (x| A) .
/ A, ∂δ (x| A) = ∅.
Chú ý: Với x ∈

Ví dụ 1.1.3.
X = R, f (x) = |x|

Với x = 0: f là hàm khả vi, và :
∂f (x) = |x|−1 x .

Với x = 0:
∂f (0) = {ξ ∈ R : |z| ≥ ξ, z , ∀z ∈ R}
= {ξ ∈ R : |ξ| ≤ 1}
= [−1, 1] .

Định nghĩa 1.1.10.
Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại x ∈ X , nếu ∃x∗ ∈ X ∗ sao
cho với mọi d ∈ X ,
f (x + td) = f (x) + t x∗ , d + o (t) .

(1.5)

Khi đó, ta gọi x∗ là đạo hàm Gâteaux của f tại x: f G (x) = x∗ .
Định lí 1.1.4.
Giả sử f là hàm lồi trên X . Khi đó,
a)Nếu f khả vi Gâteaux tại x với đạo hàm Gâteaux tại x là x∗ và
8


f khả dưới vi phân tại x, thì ∂f (x) = {x∗ }.
b)Nếu f là hàm chính thường, liên tục tại x và ∂f (x) gồm một phần
tử duy nhất x∗ thì f khả vi Gâteaux tại x và f G (x) = {x∗ }.

Chứng minh.
a) Từ (1.5) ta có:
f (x; d) = f G (x) , d = x∗ , d .

Do đó,
y ∗ ∈ ∂f (x) ⇔ y ∗ , d ≤ x∗ , d
⇔ x∗ − y ∗ , d ≥ 0

(∀d ∈ X)
(∀d ∈ X)

⇔ x∗ − y ∗ = 0 hay x∗ = y ∗ .

Vậy ∂f (x) = {x∗ }.
b) Giả sử ∂f (x) = {x∗ }. Ta có: f (x; d) liên tục. Do đó, f (x; d) là
hàm đóng. Vì vậy, ∀d ∈ X ,
f (x; d) = f (x, .)

∗∗

(d) (Định lý Fenchel-Moreau)

= sup { y ∗ , d : y ∗ ∈ ∂f (x)}
= x∗ , d .

Suy ra: f G (x) = x∗ .
Hệ quả 1.1.1.
Giả sử X là không gian Banach, f là hàm lồi khả vi Fréchet tại
x ∈ X với đạo hàm Fréchet tại x ∈ X là f (x). Khi đó,
∂f (x) = f (x) .

Định lí 1.1.5.
Giả sử f là hàm lồi chính thường trên không gian lồi địa phương
Hausdorff X , liên tục tại x ∈ X . Khi đó, ∂f (x) khác ∅, lồi, compact

yếu∗ . Đồng thời,
f (x; d) = max { x∗ , d : x∗ ∈ ∂f (x)} .
9


Chứng minh.
a) Ta chứng minh ∂f (x) lồi?
Lấy x∗1 , x∗2 ∈ ∂f (x) và λ ∈ [0, 1]. Khi đó, ∀x ∈ X ,
λx∗1 , x − x ≤ λ (f (x) − f (x))
(1 − λ) x∗2 , x − x ≤ (1 − λ) (f (x) − f (x))
⇒ λx∗1 + (1 − λ) x∗2 , x − x ≤ f (x) − f (x) (∀x ∈ X)
⇒ λx∗1 + (1 − λ) x∗2 ∈ ∂f (x) ⇒ ∂f (x) lồi.

b) Ta chứng minh ∂f (x) = ∅.
Theo Định lý 4.2 [1] f (x; .) liên tục trên X. Do đó, ∂f (x) = ∅ (Mệnh
đề 4.6 [1]).
c) Ta chứng minh ∂f (x) compact yếu∗ .
Do f (x; d) liên tục, f (x; d) là hàm đóng. Theo Định lý 4.5 [1],
sup { x∗ , d : x∗ ∈ ∂f (x)} = f (x; d) < +∞ (∀d ∈ X) .

Khi d chạy trên các tập hữu hạn A trên X , thì:
−∞ < max f (x; d) < +∞.
d∈A

Vì vậy, ∂f (x) bị chặn trên tơpơ yếu∗ của X ∗ .
Mặt khác, ∂f (x) =
Hd , trong đó Hd là nửa khơng gian đóng yếu∗
trong

X ∗,

d∈X

Hd = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , d ≤ f (x + d) − f (x)} .
⇒ ∂f (x) là tập đóng yếu∗ trong X ∗ .
⇒ ∂f (x) compact yếu∗ trong X ∗ .

Mệnh đề 1.1.1.
Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và λ > 0. Khi đó,
∀x ∈ X ,
∂ (λf ) (x) = λ∂f (x) .
10


Định lí 1.1.6. (Moreau-Rockafellar)
Giả sử f1 , f2 , ..., fm là hàm lồi chính thường trên X . Khi đó, ∀x ∈ X ,
∂ (f1 + ... + fm ) (x) ⊃ ∂f1 (x) + ... + ∂fm (x) .
m

Hơn nữa, nếu tại điểm x ∈

domfi , tất cả các hàm f1 , f2 , ..., fm
i=1

liên tục (có thể trừ ra một hàm), thì
∂ (f1 + ... + fm ) (x) = ∂f1 (x) + ... + ∂fm (x) .

Hệ quả 1.1.2.
Giả sử f1 , f2 , ..., fm là các hàm lồi chính thường trên X và
λ1 > 0, ..., λm > 0. Khi đó, ∀x ∈ X ,

∂ (λ1 f1 + ... + λm fm ) (x) ⊃ λ1 ∂f1 (x) + ... + λm ∂fm (x) .
m

Hơn nữa, nếu tại điểm x ∈

domfi , tất cả các hàm f1 , f2 , ..., fm
i=1

liên tục (có thể trừ ra một hàm),thì với mọi x ∈ X ,
∂ (λ1 f1 + ... + λm fm ) (x) = λ1 ∂f1 (x) + ... + λm ∂fm (x) .
1.2

Bài toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân

Xét bài toán quy hoạch lồi:
M in {f (x) : x ∈ C}

trong đó C là một tập lồi trong Rn . Trong [9] Mangasarian đã chứng
minh rằng tập nghiệm của bài tốn đó có thể đặc trưng bởi gradient
của f khi f khả vi liên tục hai lần trên một tập lồi mở chứa C và bởi
dưới vi phân của f khi f là liên tục và phần trong tương đối của tập
nghiệm khác rỗng.

11


Giả sử X là không gian vectơ định chuẩn thực, C là tập lồi khác
rỗng trong X . Với hàm f : X → (−∞, +∞] và x ∈ X với f (x) < +∞,
đạo hàm theo phương của f tại x theo phương v ∈ X là:
f (x; v) := lim+ [f (x + tv) − f (x)] /t.

t→0

Dưới vi phân của hàm lồi f tại x là:
∂f (x) := {ξ ∈ X ∗ : f (y) − f (x) ≥ ξ, y − x , ∀y ∈ X}.

Ta biết dưới vi phân của hàm f là đơn điệu, có nghĩa là: với (x, y) ∈
X × X,
ξ ∈ ∂f (x) , η ∈ ∂f (y) ⇒ ξ − η, x − y ≥ 0.
Nếu hàm lồi f liên tục tại x thì ∂f (x) khác rỗng.
Nếu f khả vi Gâteaux tại x thì ∂f (x) = {∇f (x)}.
Với một tập lồi đóng C trong X và một ánh xạ F : X → X ∗ ,
bài toán bất đẳng thức biến phân là tìm véctơ x∗ ∈ C sao cho:
(V IP (C, F )) F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C.

Bài toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu là tìm x∗ ∈ C sao cho:
(DV IP (C, F )) F (x) , x∗ − x ≤ 0 với mọi x ∈ C.

Bài toán VIP(C,F) thuộc loại bài toán bất đẳng thức biến phân Stampachia, cịn bài tốn DVIP(C,F) được gọi là bài toán bất đẳng thức
biến phân Minty (xem [6], [8]).
Ký hiệu: Tập nghiệm của VIP(C,F) là C ∗ , và của DVIP(C,F) là C∗ .
Rõ ràng là
F (x∗ ) , x∗ − x∗ = 0, ∀ (x∗ , x∗ ) ∈ C ∗ × C∗ .
Hàm sai khác đối ngẫu G(x) ghép với VIP(C,F) được xác định bởi,
G (x) := sup { F (c) , x − c : c ∈ C} với x ∈ X.

Ta ký hiệu:
Λ(x) := {c ∈ C : F (c), x − c = G(x)} .
12

Dễ thấy rằng với x∗ ∈ C, x∗ ∈ C∗ khi và chỉ khi G (x∗ ) = 0 khi và chỉ
khi x∗ ∈ Λ(x∗ ).
Chú ý: G là không âm trên C và lồi trên tồn khơng gian X . Vì vậy
C∗ cũng là tập nghiệm của bài tốn quy hoạch lồi
M in {G(x) : x ∈ C}

khi cực tiểu bằng không
Nhắc lại: Một ánh xạ F : X → X ∗ được gọi là giả đơn điệu trên C nếu:
F (x) , y − x ≥ 0 ⇒ F (y) , y − x ≥ 0, với mỗi (x, y) ∈ C × C;
F được gọi là giả đơn điệu∗ trên C nếu nó giả đơn điệu trên C và thỏa
mãn:
(x, y) ∈ C × C, F (x) , x − y = 0,
F (y) , x − y = 0 ⇒ F (x) = kF (y) ,

với k > 0 nào đó. Nói riêng, F là giả đơn điệu+ nếu F là giả đơn điệu∗
trên C với k = 1. Rõ ràng là khi F là giả đơn điệu trên C thì C ∗ ⊆ C∗ .

13


Chương 2

Đặc trưng cho tập nghiệm của bài
toán quy hoạch lồi và bài tốn bất
đẳng thức biến phân
Chương 2 trình bày các tính chất đặc trưng cho tập nghiệm của bài
toán quy hoạch lồi trong trường hợp hàm mục tiêu khả vi Gâteaux,
trường hợp bài toán quy hoạch lồi liên tục và bài toán bất đẳng thức
biến phân. Kết quả chỉ ra rằng tập nghiệm của bài toán quy hoạch
lồi nằm trong siêu phẳng mà vectơ pháp tuyến của nó bằng đạo hàm

Gâteaux của hàm mục tiêu. Trong trường hợp quy hoạch lồi liên tục,
một điểm chấp nhận được là nghiệm tối ưu khi và chỉ khi nó nằm trong
siêu phẳng mà vectơ pháp tuyến của nó thuộc dưới vi phân của hàm
mục tiêu tại điểm này. Trong một số trường hợp, tập nghiệm của bài
toán bất đẳng thức biến phân trùng với tập nghiệm của bài toán quy
hoạch lồi với hàm sai khác đối ngẫu là hàm mục tiêu. Các kết quả trình
bày trong chương này là của Z. L. Wu - S. Y. Wu ([13], 2006).
2.1

Đặc trưng cho tập nghiệm trong trường hợp f khả vi
Gâteaux

Để đặc trưng tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi ta bắt đầu với
phát biểu sau cho hàm không nhất thiết lồi.

14


Mệnh đề 2.1.1.
Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán min {f (x) : x ∈ C}. Nếu f là
khả vi Gâteaux tại x∗ thì
∇f (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0 với mỗi x ∈ C.

Nhắc lại, F là liên tục theo phương tại x ∈ X nếu:
lim F (x + tv) = F (x) , ∀v ∈ X.

t→0+

Khi F là liên tục theo phương tại mỗi điểm trong C thì sự tồn tại
nghiệm của bài tốn DVIP(C,F) kéo theo sự tồn tại nghiệm của bài

toán VIP(C,F). Với các điều kiện đơn điệu suy rộng thì một số kết quả
tồn tại nghiệm của DVIP(C,F) đã nhận được (xem [10], [11] cho trường
hợp đơn điệu, [14] cho trường hợp giả đơn điệu). Mệnh đề sau cho ta sự
tồn tại nghiệm của bài toán VIP(C,F) nếu hàm được xây dựng nhận
cực tiểu trên C tại một điểm liên tục theo phương của F .
Mệnh đề 2.1.2.
Giả sử x∗ ∈ C , F liên tục theo phương tại x∗ và
1

F (x∗ + s (x − x∗ )) , x − x∗ ds

f (x) :=
0

xác định với mọi x trong tập mở chứa C . Nếu f có cực tiểu trên
C tại x∗ thì f có đạo hàm Gâteaux F (x∗ ) tại x∗ và x∗ ∈ C ∗ . Nói
riêng nếu x∗ ∈ C∗ thì f có cực tiểu trên C tại x∗ và vì vậy x∗ ∈ C ∗ .
Chứng minh.
Vì F là liên tục theo phương tại x∗ cho nên:
1

f (x∗ , v) = lim+

F (x∗ + stv) , v ds = F (x∗ , v) , ∀v ∈ X;

t→0

0

Điều đó có nghĩa là đạo hàm Gâteaux của f tại x∗ tồn tại và bằng

F (x∗ ). Do đó, từ Mệnh đề 2.1.1 ta suy ra: x∗ ∈ C ∗ .
15


Nếu x∗ ∈ C∗ thì
F (x∗ + s (x − x∗ )) , x − x∗ ≥ 0 với mỗi (x, s) ∈ C × (0, 1] .

Từ đó ta thấy rằng f có cực tiểu trên C tại x∗ và x∗ ∈ C ∗ .
Nhận xét 2.1.1.
(i) Trong Mệnh đề 2.1.2, nếu tập lồi C là đóng và hàm f là nửa liên
tục dưới và bị chặn dưới trên C và nếu 0 < α,0 < ε ≤ +∞, và mỗi
x ∈ C với inf f < f (x) < inf f+ε, tồn tại y ∈ C sao cho
0 < α x − y ≤ f (x) − f (y) ,

theo Định lý 2.2 (trong [12]), f có cực tiểu tại một điểm nào đó trong
C . Trong trường hợp này Mệnh đề 2.1.2 có thể xem như kết quả tồn
tại nghiệm của VIP(C,F).
(ii) Với Mệnh đề 2.1.2, chú ý rằng C không nhất thiết bị chặn và F
không địi hỏi liên tục trên tồn bộ C và x∗ có thể khơng nằm trong
C∗ . Chẳng hạn, xét C = [0, +∞) × [0, +∞) và với x = (x1 , x2 ) ∈ R2 ,
F (x) =

(1, 1) , nếu (x1 , x2 ) = (0, 0) ,
(0, 0) , nếu (x1 , x2 ) = (0, 0) .

Rõ ràng là C không bị chặn và F không liên tục tại (0, 0) ∈ C .
Tuy nhiên, vì F liên tục tại x∗ = (1, 1) và f nhận cực tiểu trên C tại
x∗ , theo Mệnh đề 2.1.2, x∗ ∈ C ∗ còn x∗ ∈
/ {(0, 0)} = C∗ .
Mệnh đề tiếp theo dùng để chứng minh kết quả chính trong phần này.

Mệnh đề 2.1.3.
Giả sử x∗ , y ∗ ∈ X . Khi đó, với hàm f : X → R ta có: (i) ⇒ (ii) ⇒
(iii) ⇒ (iv) ⇒ (v), trong đó (i) − (v) là các phát biểu sau đây:
(i) Tồn tại ξ ∈ ∂f (x∗ ) và η ∈ ∂f (y ∗ ) sao cho
ξ, x∗ − y ∗ = 0 và

η, x∗ − y ∗ = 0.

(ii) Tồn tại ξ ∈ ∂f (x∗ ) và η ∈ ∂f (y ∗ ) sao cho: ξ − η, x∗ − y ∗ ≤ 0.
(iii) ∂f (x∗ ) ∩ ∂f (y ∗ ) = ∅.
16


(iv) Tồn tại ξ ∈ ∂f (x∗ ) và η ∈ ∂f (y ∗ ) sao cho
{v ∈ X : ξ, v ≥ 0} = {v ∈ X : η, v ≥ 0} .

(v) Tồn tại ξ ∈ ∂f (x∗ ) và η ∈ ∂f (y ∗ ) sao cho
ξ, x∗ − y ∗ ≥ 0 ⇔ η, x∗ − y ∗ ≥ 0,
ξ, y ∗ − x∗ ≥ 0 ⇔ η, y ∗ − x∗ ≥ 0.

Nếu C là tập lồi trong X và f khả vi Gâteaux tại x∗ và y ∗ mà chúng
là nghiệm của bài toán min {f (x) : x ∈ C} thì các phát biểu (i) − (v)
là tương đương nhau.
Chứng minh.
Suy luận (i) ⇒ (ii) và (iii) ⇒ (iv) ⇒ (v) là tầm thường. Vì vậy, ta
chỉ cần chỉ ra (ii) ⇒ (iii).
Giả sử ξ ∈ ∂f (x∗ ) và η ∈ ∂f (y ∗ ) thỏa ξ − η, x∗ − y ∗ ≤ 0. Khi đó
với mọi y ∈ X ,
ξ, y − y ∗ = ξ, x∗ − y ∗ + ξ, y − x∗
≤ η, x∗ − y ∗ + f (y) − f (x∗ )

≤ f (x∗ ) − f (y ∗ ) + f (y) − f (x∗ )
= f (y) − f (y ∗ ) .

Điều này kéo theo ξ ∈ ∂f (y ∗ ). Như vậy, suy luận (ii) ⇒ (iii) là đúng.
Giả sử C lồi và x∗ , y ∗ là nghiệm của bài toán min {f (x) : x ∈ C}.
Nếu f khả vi Gâteaux tại x∗ , y ∗ , theo Mệnh đề 2.1.1 ta có:
ξ, y ∗ − x∗ ≥ 0 và

η, x∗ − y ∗ ≥ 0

với ξ = ∇f (x∗ ) và η = ∇f (y ∗ ). Trong trường hợp này (v) ⇒ (i) phải
đúng.
Nhận xét 2.1.2.
Dễ thấy (ii) trong Mệnh đề 2.1.3 tương đương với
ξ − η, x∗ − y ∗ = 0 với ξ nào đó thuộc ∂f (x∗ ) và η nào đó thuộc
17


∂f (y ∗ ).
Từ chứng minh của Mệnh đề 2.1.3 đẳng thức này kéo theo
{ξ, η} ⊆ ∂f (x∗ ) ∩ ∂f (y ∗ ) .

Nếu f là khả vi Gâteaux tại x∗ thì
∇f (x∗ ) − η, x∗ − y ∗ = 0 ⇒ η = ∇f (x∗ ) .

Với điều kiện f khả vi Gâteaux tại nghiệm x∗ của bài toán
min {f (x) : x ∈ C}, nếu y ∗ ∈ C cũng là nghiệm của bài toán đó thì (i)
trong mệnh đề 2.1.3 kéo theo (iii), có nghĩa là:
∇f (x∗ ) ∈ ∂f (y ∗ ) .

Kết quả chính sau phát biểu rằng tập nghiệm của bài toán
min {f (x) : x ∈ C} chỉ bao gồm các điểm chấp nhận được mà tại đó
(i) trong Mệnh đề 2.1.3 thỏa mãn với phần tử nào đó thuộc tập dưới
vi phân. Đặc biệt hơn tập nghiệm tối ưu bao gồm các điểm chấp nhận
được nằm trong siêu phẳng mà véctơ pháp tuyến của nó là gradient
của hàm mục tiêu tại nghiệm tối ưu đã cho.
Định lí 2.1.1.
Giả sử f : X → (−∞, +∞] là hàm lồi chính thường, C là tập
nghiệm của bài toán min {f (x) : x ∈ C} và f khả vi Gâteaux tại
x∗ ∈ C .
Ký hiệu
C (x∗ ) : = {x ∈ C : {v ∈ X : ξ, v ≥ 0}}
= v ∈ X : ∇f (x∗ ) , v ≥ 0, với ξ nào đó thuộc ∂f (x) .

Khi đó, C = C0 = C1 = C2 = C3 = C4 = C5 , trong đó
C0 := {x ∈ C : ξ, y − x ≥ 0, với ξ nào đó ∈ ∂f (x) với ∀y ∈ C},
C1 := {x ∈ C : ∇f (x∗ ) , x − x∗ = 0, ∇f (x∗ ) ∈ ∂f (x)},
C2 := {x ∈ C (x∗ ) : ∇f (x∗ ) , x − x∗ = 0} ,
C3 := {x ∈ C : ξ, x − x∗ = ∇f (x∗ ) , x − x∗ = 0,
với ξ nào đó thuộc ∂f (x)},
18


C4 := {x ∈ C : ξ, x − x∗ = 0, với ξ nào đó thuộc ∂f (x) },
C5 := {x ∈ C : ξ, x − x∗ ≤ 0, với ξ nào đó thuộc ∂f (x) }.

Chứng minh.
Bao hàm thức C1 ⊆ C2 ⊆ C3 là hiển nhiên. Sự kiện C3 ⊆ C1 thì suy
ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.3 và Nhận xét 2.1.2. Do tính đơn điệu của
∂f , các đẳng thức C3 = C4 = C5 suy ngay ra từ các bất đẳng thức sau:

ξ, x − x∗ ≥ ∇f (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0,

với mỗi ξ ∈ ∂f (x) và mỗi x ∈ C .
Vì vậy, ta chỉ cịn phải chỉ ra:
C1 ⊆ C0 ⊆ C ⊆ C4 .
(C1 ⊆ C0 ): Với mỗi x ∈ C1 , ta có ∇f (x∗ ) , x − x∗ = 0 với
∇f (x∗ ) ∈ ∂f (x). Khi đó với ξ ∈ ∇f (x∗ ) và với mỗi y ∈ C , ta có
ξ, y − x = ∇f (x∗ ) , y − x∗ − ∇f (x∗ ) , x − x∗
= ∇f (x∗ ) , y − x∗ ≥ 0,

trong đó bất đẳng thức sau cùng suy ra từ Mệnh đề 2.1.1. Vì vậy
x ∈ C0 .
C0 ⊆ C Giả sử x ∈ C0 . Khi đó, ξ, y − x ≥ 0, với ξ nào đó ∈
∂f (x) và với mỗi y ∈ C . Vì vậy, x ∈ C do bất đẳng thức
f (y) ≥ f (x) + ξ, y − x ≥ f (x) , với mỗi y ∈ C.
C ⊆ C4 Giả sử x ∈ C . Vì hàm lồi f là khả vi Gâteaux tại x∗ ∈ C ,
ta có: ∂f (x∗ ) = {∇f (x∗ )}. Vì vậy,
f (c) − f (x∗ ) ≥ ∇f (x∗ ) , c − x∗ ≥ 0, với mọi c ∈ C.

Lấy c = x trong bất đẳng thức trên ta được
∇f (x∗ ) , x − x∗ = 0.
19


Vì vậy, với mọi y ∈ X , ta có
f (y) − f (x) = f (y) − f (x∗ ) ≥ ∇f (x∗ ) , y − x∗ = ∇f (x∗ ) , y − x ;

nghĩa là, ∇f (x∗ ) ∈ ∂f (x). Do đó x ∈ C4 .
Nhận xét 2.1.3.
Với điều kiện f khả vi Gâteaux tại nghiệm tối ưu x∗ của bài toán

min {f (x) : x ∈ C}, đẳng thức C = C0 trong Định lý 2.1.1 kéo theo
x ∈ C là nghiệm của bài toán tối ưu này nếu và chỉ nếu tồn tại ξ ∈
∂f (x) sao cho: ξ, x − x ≥ 0, ∀x ∈ C .
Hơn nữa, đẳng thức C = C5 trong Định lý 2.1.1 chỉ ra rằng x thuộc C
cũng như bất đẳng thức trên đúng tại x = x∗ .
Vì vậy, Định lý 2.1.1 mở rộng nguyên lý cực tiểu (Định lý 3.4.3 [2])
trong Rn cho không gian véctơ định chuẩn thực trong trường hợp f
khả vi Gâteaux tại nghiệm tối ưu.
Cuối cùng, theo Mệnh đề 2.1.1, đẳng thức (= 0) trong C1 , C2 và C3
trong Định lý 2.1.1 có thể thay bằng bất đẳng thức (≤ 0). Vì vậy,
C = {x ∈ C : ∇f (x∗ ) , x − x∗ ≤ 0, ∇f (x∗ ) ∈ ∂f (x)}
= {x ∈ C (x∗ ) : ∇f (x∗ ) , x − x∗ ≤ 0}
= x ∈ C : ξ, x − x∗ = ∇f (x∗ ) , x − x∗ ≤ 0, với mỗi ξ ∈ ∂f (x) .

Với hàm lồi khả vi Gâteaux, dưới vi phân của nó chỉ bao gồm đạo
hàm Gâteaux, cho nên C (x∗ ) trong Định lý 2.1.1 bao gồm điểm x mà
tại đó ∇f (x) có cùng phương như ∇f (x∗ ). Do đó, C trong Định lý
2.1.1 có biểu diễn đặc biệt hơn trong đó điều thứ hai được thiết lập bởi
Mangasarian (Định lý 1 [9]) cho hàm lồi khả vi liên tục hai lần trên
Rn .
Định lí 2.1.2.
Giả sử f : X → (−∞, +∞] là hàm lồi chính thường, C là tập
nghiệm của bài tốn min {f (x) : x ∈ C} và f khả vi Gâteaux trên
C . Ký hiệu
20


C (x∗ ) = {x ∈ C : {v ∈ X : ∇f (x) , v ≥ 0} = {v ∈ X : ∇f (x∗ ) , v ≥ 0}} ,

với x∗ ∈ C . Khi đó,

C = x ∈ C : ∇f (x) , y − x ≥ 0, với mỗi y ∈ C
= {x ∈ C : ∇f (x∗ ) , x − x∗ = 0, ∇f (x) = ∇f (x∗ )}
= {x ∈ C (x∗ ) : ∇f (x∗ ) , x − x∗ = 0}
= {x ∈ C : ∇f (x) , x − x∗ = ∇f (x∗ ) , x − x∗ = 0}
= {x ∈ C : ∇f (x) , x − x∗ = 0} = {x ∈ C : ∇f (x) , x − x∗ ≤ 0} .

Chứng minh.
Như ta đã biết, tính khả vi Gâteaux của hàm lồi f tại x ∈ C kéo
theo ∂f (x) = {∇f (x)}.
Vì vậy, với C0 trong Định lý 2.1.1,
C¯ ⊆ x ∈ C : ∇f (x) , y − x ≥ 0, với mỗi y ∈ C ⊆ C0 ⊆ C.

Từ đó ta nhận được biểu diễn thứ nhất cho C . Tương tự ta có thể nhận
được các biểu diễn cịn lại cho C .
Nhận xét 2.1.4.
Trong biểu diễn thứ hai của C trong Định lý 2.1.2, đẳng thức
∇f (x) = ∇f (x∗ ) có thể thay bằng phát biểu " ∇f (x) và ∇f (x∗ ) có
cùng phương", hoặc ∇f (x) , x − x∗ = 0, hoặc ∇f (x) , x − x∗ ≤ 0,
như trong các biểu diễn khác. Nói riêng, đẳng thức ∇f (x) , x − x∗ =
0 là đủ để đặc trưng điểm x trong C .
2.2

Đặc trưng tập nghiệm qua dưới vi phân

Nhắc lại rằng tính liên tục của hàm lồi kéo theo sự khác rỗng của
dưới vi phân. Tính chất này cho phép ta mở rộng Định lý 2.1.1 cho
bài toán quy hoạch lồi liên tục mà không giả thiết hàm mục tiêu khả
vi Gâteaux. Trong phần này, chúng ta trình bày tính chất đặc trưng
của tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi, liên tục trong không gian
Banach X .

21


Bổ đề 2.2.1.
Giả sử x1 , x2 ∈ X và giả sử xt := tx1 +(1 − t) x2 với t ∈ (0, 1). Khi
đó, với hàm lồi f : X → R, ta có các suy luận (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii),
trong đó (i) − (iii) được phát biểu như sau:
(i) ∂f (x1 ) ∩ ∂f (x2 ) = ∅.
(ii) f (xt ) = tf (x1 ) + (1 − t) f (x2 ) .
(iii) ∂f (xt ) = ∂f (x1 ) ∩ ∂f (x2 ) .

Vì vậy, nếu ∂f (xt ) = ∅ thì các suy luận trở thành (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii).
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii): Giả sử
ξ ∈ ∂f (x1 ) ∩ ∂f (x2 ) .

Khi đó, theo định nghĩa,
f (y) − f (x1 ) ≥ ξ, y − x1 ,∀y ∈ X;

(2.1)

f (y) − f (x2 ) ≥ ξ, y − x2 ,∀y ∈ X.

(2.2)

Lấy y = x2 trong (2.1) và y = x1 trong (2.2), ta nhận được
f (x2 ) − f (x1 ) = ξ, x2 − x1 .

Từ đó và (2.1) ta suy ra,
f (xt ) ≥ f (x1 ) + (1 − t) ξ, x2 − x1 = tf (x1 ) + (1 − t) f (x2 ) .

Do tính lồi của f , điều đó kéo theo (ii).
(ii) ⇒ (iii): Giả sử (ii) đúng, với ξ ∈ ∂f (xt ) và với mỗi y ∈ X ta
có,
f (y) − [tf (x1 ) + (1 − t) f (x2 )] = f (y) − f (xt ) ≥ ξ, y − xt

(2.3)

= t ξ, y − x1 + (1 − t) ξ, y − x2 .

22


Khi lấy (y, t) = (x1 , 0) và (y, t) = (x2 , 1) trong (2.3) ta nhận được,
f (x1 ) − f (x2 ) = ξ, x1 − x2 .

Từ đó và (2.3), với mỗi y ∈ X,, ta có
f (y) − f (x1 ) ≥ t ξ, y − x1 + (1 − t) ξ, y − x2 + (1 − t) [f (x2 ) − f (x1 )]
= t ξ, y − x1 + (1 − t) ξ, y − x2 + (1 − t) ξ, x2 − x1
= ξ, y − x1 ,
f (y) − f (x2 ) ≥ t ξ, y − x1 + (1 − t) ξ, y − x2 + t [f (x1 ) − f (x2 )]
= t ξ, y − x1 + (1 − t) ξ, y − x2 + t ξ, x1 − x2
= ξ, y − x2 .

Điều này kéo theo
ξ ∈ ∂f (x1 ) ∩ ∂f (x2 ) .

Vì vậy,
∂f (xt ) ⊆ ∂f (x1 ) ∩ ∂f (x2 ) .

Ta chỉ còn phải chứng minh,
∂f (x1 ) ∩ ∂f (x2 ) ⊆ ∂f (xt ) .

Lấy,
ξ ∈ ∂f (x1 ) ∩ ∂f (x2 ) .

Khi đó, ta có (2.1) và (2.2). Điều này cùng với (ii) kéo theo,
f (y) − f (xt ) ≥ ξ, y − xt , với mọi y ∈ X,

nghĩa là, ξ ∈ ∂f (xt ).
Từ chứng minh trên ta thấy rằng bao hàm thức
∂f (x1 ) ∩ ∂f (x2 ) ⊆ ∂f (xt )

luôn luôn đúng. Với Bổ đề 2.2.1, ta trình bày đặc trưng sau cho tập
nghiệm trong bài tốn quy hoạch lồi liên tục.

23