Một phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
------------------

TRẦN THỊ HÀ GIANG

MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP
TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
------------------

TRẦN THỊ HÀ GIANG

MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP
TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
------------------

TRẦN THỊ HÀ GIANG

MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP
TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014


Cơng trình được hồn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Thị Thu Thủy

Phản biện 1:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phản biện 2:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Vào hồi ......giờ...... ngày .... tháng .... năm 2014

Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

1 Giới thiệu về bất đẳng thức biến phân và bài tốn điểm
bất động

1

1.1

Khơng gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Định nghĩa không gian Hilbert thực . . . . . . .

1

1.1.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Ánh xạ đơn điệu. Ánh xạ không giãn . . . . . .

5

1.2.2

Phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3

Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.4

Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động . .

11

1.2

1.3

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

. .

15

1.3.1

Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.2

Nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và
bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . .

17

2 Tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài
toán điểm bất động

19
i


2.1

Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.1

Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.2

Sự hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

i


MỞ ĐẦU
Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia và các cộng sự đưa ra
nghiên cứu vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu
bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó phương pháp
bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở
thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải
số các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, bài tốn vận tải, lý
thuyết trị chơi và nhiều bài tốn thuộc lĩnh vực vật lý và kỹ thuật.
Nhiều bài toán trong toán học được phát biểu dưới dạng bất đẳng
thức biến phân như bài toán bù phi tuyến, bài toán tối ưu, bài toán
điểm bất động . . . .
Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa
trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động. Nội dung của phương

pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài tốn tìm điểm bất
động của một ánh xạ nghiệm thích hợp. Phương pháp chiếu gradient
là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu
mêtric PC để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm của bất
đẳng thức biến phân.
Mục đích của đề tài luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một kết
quả công bố năm 2013 trong [8] cho bài tốn tìm nghiệm chung của
bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động chung của một họ vô
hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không
ii


gian Hilbert, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất
động và một số phương pháp lặp giải các bài tốn này.
Chương 2 trình bày và làm chi tiết hơn kết quả nghiên cứu trong [8]
về sự hội tụ mạnh của phương pháp tìm nghiệm chung của bất đẳng
thức biến phân và tập điểm bất động chung của một họ vô hạn các
ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người Thầy, người hướng
dẫn luận văn cao học của mình, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy - giảng
viên trường Đại học Khoa học, đại học Thái Nguyên. Người đã dành
nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn và giải quyết những thắc
mắc cho tơi trong suốt q trình tôi làm luận văn. Tôi cũng xin bày
tỏ lời cảm ơn chân thành tới các Thầy Cô trong hội đồng chấm luận
văn thạc sĩ, các Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học Tốn K6B, gia đình,
bạn bè, đồng nghiệp đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tơi có
thể hồn thiện khóa học cũng như luận văn của mình.
Hải Phòng, tháng 5 năm 2014.

Học viên

Trần Thị Hà Giang

iii


BẢNG KÝ HIỆU

Rn

không gian Euclide n chiều

D(A)

miền xác định của tốn tử A

R(A)

miền giá trị của tốn tử A

H

khơng gian Hilbert thực

C

tập con lồi đóng của H

I

ánh xạ đơn vị

PC

Phép chiếu mêtrix H lên tập con lồi đóng C của H

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x

iv


Chương 1

Giới thiệu về bất đẳng thức biến
phân và bài tốn điểm bất động
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả
về không gian Hilbert thực H, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài
toán điểm bất động trong không gian Hilbert và một số phương pháp
xấp xỉ nghiệm của các bài toán này. Nội dung của chương này được
viết dựa trên các tài liệu [1], [2], [5], [6], [8] và một số tài liệu trích
dẫn trong đó.

1.1
1.1.1

Khơng gian Hilbert thực
Định nghĩa khơng gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một
tích vơ hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu ·, · : H × H → R thỏa
mãn các điều kiện sau:
i) x, x ≥ 0,

∀x ∈ H; x, x = 0 ⇔ x = 0;

ii) x, y = y, x ,

∀x, y ∈ H;

iii) αx, y = α x, y ,

∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R;
1


∀x, y, z ∈ H.

iv) x + y, z = x, z + y, z ,

Khơng gian tuyến tính H cùng với tích vơ hướng ·, · được gọi là
khơng gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.2. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là khơng

gian Hilbert.
Ví dụ 1.1. l2 là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
∞

x, y =

ξn ηn
n=1

trong đó x = (ξn ), y = (ηn ) là hai dãy số thực thuộc l2 .
Ví dụ 1.2. lpn là không gian Banach hữu hạn chiều nhưng không phải
là không gian Hilbert với p = 2. Thật vậy, với x = (1, 1, 0, 0, . . .) và
y = (1, −1, 0, 0 . . .) ta có
x + y = (2, 0, 0, . . .) và x − y = (0, 2, 0, 0, . . .).
Do đó

❶
x =

n
i=1
p

p

|xi |

➀ p1

1

1

= (1p + 1p ) p = 2 p ,
1

y = (1 + 1p ) = 2 p ,
1

x + y = (2p ) p = 2,
1

x − y = (2p ) p = 2.
Nếu p = 2 thì quy tắc hình bình hành:
x+y

2

2

+ x−y

=2 x

2

+2 y

2

thỏa mãn, do đó lpn , p = 2 là khơng gian Hilbert. Nếu p = 2 thì quy
tắc hình bình hành khơng thỏa mãn, do đó lpn khơng là không gian
Hilbert với p = 2.
2


Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.
Định nghĩa 1.3. Tập C ⊂ H là một tập lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ C
và với mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C.
Từ định nghĩa trên ta thấy tập ∅ là một tập lồi.
Định nghĩa 1.4. Hàm f : C → R được gọi là:
(i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C thì
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ;
(ii) lồi chặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), với mọi x, y ∈ C, x = y
thì
f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) .
1.1.2

Một số tính chất

Bổ đề 1.1. Cho H là một khơng gian Hilbert thực. Khi đó:
(i) x + y

2

= x

(ii) tx+(1−t)y

2

2

+ y

2

∀x, y ∈ H;

+ 2 x, y ,

= t x 2 +(1−t) y 2 −t(1−t) x−y

2

∀t ∈ [0, 1],

∀x, y ∈ H;
(iii) Nếu {xn } là một dãy phần tử trong H hội tụ yếu tới z ∈ H,
thì lim sup xn − y
n→∞

2

= lim sup xn − z

2

n→∞

+ y − z 2.

Bổ đề 1.2. Cho H là khơng gian Hilbert thực, C là một tập con lồi
đóng trong H và các phần tử x, y, z thuộc H. Với một số thực a bất
kỳ, tập hợp

➝
v ∈C : y−v

2

≤ x−v

là tập lồi đóng trong H.
3

2

➠
+ z, v + a


Định lý 1.1. Nếu C là một tập hợp lồi đóng trong khơng gian Hilbert
H thì tồn tại một phần tử duy nhất x0 của C sao cho
x0 ≤ x

với mọi x ∈ C.

Chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành ta có
x+y

2

2

+ x−y

=2

2

x

+ y

2

với mọi x, y ∈ C.

Do đó
x−y

2

=2

x

2

+ y

Đặt d = inf x . Vì C là một tập lồi nên
x∈C

2

−4

x+y
2

2

(1.1)

x+y
x+y
∈ C. Do đó
≥ d.
2
2

Từ đó và từ đẳng thức (1.1) suy ra
x−y

2

≤2 x

2

+2 y

2

− 4d2 .

(1.2)

Nếu x = d và y = d thì từ (1.2) suy ra x = y. Do đó phần tử x0
nói trong định lý, nếu tồn tại, là duy nhất. Do định nghĩa của d, tồn
tại một dãy phần tử {xn } của C sao cho n→∞
lim xn = d. Theo (1.2),
với mọi n ta có
xn − xm

2

≤ 2 xn

2

+ 2 yn

2

− 4d2 .

Do đó n→∞

lim xn − xm = 0. Vậy {xn } là một dãy Cauchy trong không
m→∞

gian Hilbert H đầy đủ nên dãy {xn } hội tụ đến x0 ∈ H. Do C là một
tập đóng trong H nên x0 ∈ C. Ngoài ra, x0 = n→∞
lim xn = d.
Hệ quả 1.1. Nếu C là một tập hợp con lồi đóng trong khơng gian
Hilbert thực H thì với mỗi phần tử x của H, tồn tại duy nhất một
phần tử y của C sao cho
x − y = dist (x, C) = inf x − u .
u∈C
4


1.2
1.2.1

Bài toán điểm bất động
Ánh xạ đơn điệu. Ánh xạ không giãn

Cho H là không gian Hilbert thực, A : H → H là một ánh xạ với
miền xác định là D(A), miền giá trị là R(A).
Định nghĩa 1.5. Ánh xạ A được gọi ánh xạ đơn điệu nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ D(A).

Định nghĩa 1.6. Ánh xạ A được gọi là η-đơn điệu mạnh nếu tồn tại
một hằng số η > 0 sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ η x − y 2 ,

∀x, y ∈ D(A).

Định nghĩa 1.7. Ánh xạ A được gọi là k-ngược đơn điệu mạnh nếu
tồn tại một hằng số k > 0 sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ k A(x) − A(y) 2 ,

∀x, y ∈ D(A).

Định nghĩa 1.8. Ánh xạ đa trị T : H → 2H là đơn điệu cực đại nếu
T là ánh xạ đơn điệu và đồ thị G(T ) của nó khơng là tập con thực sự
của đồ thị của bất cứ một ánh xạ đơn điệu nào khác, trong đó, theo
định nghĩa G(T ) = {(x, T (x)) : x ∈ H}.
Ví dụ 1.3. Xét các ánh xạ Ti : R → 2R (i = 1, 2) cho bởi các công
thức:







{1} ,

x≥0





∅,

x < 0,

T2 (x) = {1}

∀x ∈ R.

T1 (x) = 

Ta thấy T1 và T2 đều là các ánh xạ đơn điệu. Tuy nhiên T1 không phải
là ánh xạ đơn điệu cực đại vì G(T1 ) chứa thực sự trong G(T2 ).
5


Mệnh đề 1.1. Giả sử T : H → 2H là ánh xạ đơn điệu. Khi đó ánh
xạ T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mọi (a, b) ∈ H × H, nếu
b − u, a − x ≥ 0 ∀(x, u) ∈ G (T )
thì b ∈ T (a).
Mệnh đề 1.2. Ánh xạ đa trị T : H → 2H là đơn điệu cực đại khi và
chỉ khi λT là ánh xạ đơn điệu cực đại với λ > 0.
Chứng minh. Giả sử T là ánh xạ đơn điệu cực đại và λ > 0. Khi đó
λT là ánh xạ đơn điệu. Để chứng minh λT là ánh xạ đơn điệu cực đại
ta giả sử (a, b) ∈ H × H thỏa mãn
b − u, a − x ≥ 0 ∀(x, u) ∈ G (λT ) .
Vì
(x, u) ∈ G (λT ) ⇔ u ∈ λT (x) ⇔ x, λ−1 u ∈ G (T )
điều kiện đó kéo theo
λ−1 b − λ−1 u, a − x ≥ 0,

x, λ−1 u ∈ G (T ) .

Do T là ánh xạ đơn điệu cực đại nên λ−1 b ∈ T (a). Suy ra b ∈ (λT )(a).
Vậy λT là ánh xạ đơn điệu cực đại.
Ngược lại, giả sử λT là ánh xạ đơn điệu cực đại và λ > 0. Đặt
T = λT , khi đó T = λ−1 T là ánh xạ đơn điệu cực đại. Mệnh đề được
chứng minh.
Định nghĩa 1.9. Cho H là một không gian Hilbert thực và một ánh
xạ T : H → H. Ánh xạ T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số
Lipschitz L > 0 nếu
T (x) − T (y) ≤ L x − y
6

với mọi x, y ∈ D(T ).


Nếu 0 < L < 1 thì T là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T là ánh xạ không
giãn.
1.2.2

Phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.10. Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian
Hilbert thực H, phép chiếu mêtric PC từ H lên C cho tương ứng mỗi
x ∈ H với phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn
x − PC (x) ≤ x − y

với mọi y ∈ C.

Bổ đề 1.3. Giả sử C là một tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert

thực H, phần tử x ∈ H và z ∈ C. Khi đó z = PC (x) nếu và chỉ nếu
x − z, y − z ≤ 0 với mọi y ∈ C.
Bổ đề 1.4. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng bất kỳ trong không
gian Hilbert thực H, các phần tử x, y ∈ H, khi đó phép chiếu mêtric
PC từ H lên C thỏa mãn tính chất sau
PC (x) − PC (y)

2

≤ x−y

2

− (PC (x) − x) − (PC (y) − y) 2 .

Mệnh đề 1.3. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng
gian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó những
điều sau thỏa mãn:
(a) PC (PC (x)) = PC (x) với mọi x ∈ H;
(b) PC là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là
PC (x) − PC (y) , x − y ≥ PC (x) − PC (y) 2 ,

∀x, y ∈ H;

(c) PC là ánh xạ không giãn, nghĩa là
PC (x) − PC (y) ≤ x − y ,
7

∀x, y ∈ H;

(d) PC là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là
PC (x) − PC (y) , x − y ≥ 0,
(e) Nếu xn

∀x, y ∈ H;

x0 và PC (xn ) → y0 thì PC (x0 ) = y0 .

Chứng minh. (a) Giả sử PC (x) ∈ C với mọi x ∈ H và PC (z) = z với
mọi z ∈ C, khi đó PC (PC (x)) = PC (x) với mọi x ∈ H.
(b) Với mọi x, y ∈ H ta có
x − PC (x) , PC (x) − PC (y) ≥ 0
và
y − PC (y) , PC (x) − PC (y) ≥ 0.
Điều đó kéo theo
x − y, PC (x) − PC (y) ≥ PC (x) − PC (y) 2 .
(c) là hệ quả trực tiếp của (b).
(d) được suy ra từ (b).
(e) Từ Bổ đề 1.3 ta có:
xn − PC (xn ) , PC (xn ) − z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
Vì xn

x0 và PC (xn ) → y0 nên từ bất đẳng thức trên suy ra
x0 − y0 , y0 − z ≥ 0 với mọi z ∈ C.

1.2.3

Bài tốn điểm bất động

Cho H là khơng gian Hilbert thực, T : H → H là một ánh xạ phi
tuyến.
8


Định nghĩa 1.11. Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Hilbert H
được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu x = T (x).
Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ). Chú ý rằng
tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert,
nếu khác rỗng, là một tập con lồi và đóng của H.
Bài tốn điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tập
con lồi của không gian Hilbert H, T : C → H là một ánh xạ.
Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ .

(1.3)

Việc tìm nghiệm của bài tốn điểm bất động (1.3) tương đương với
việc giải phương trình tốn tử:
T (x) − x = 0.

(1.4)

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của
Banach vào năm 1922 như sau
Định lý 1.2. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ co. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động q trong X và
với xấp xỉ ban đầu tùy ý x0 ∈ X, dãy lặp {xn } được định nghĩa bởi
xn+1 = T (xn ), với n ≥ 0, hội tụ mạnh tới q.
Chứng minh. a) Sự tồn tại
Với x0 tùy ý thuộc X, đặt xn+1 = T (xn ) với n ≥ 0. Do T là ánh xạ

co trong không gian mêtric X nên tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) sao cho
d(T (x), T (y)) ≤ kd(x, y).

9


Xét:
d(xn , xn+1 ) = d(T (xn−1 ), T (xn )) ≤ kd(xn−1 , xn )
≤ k 2 d(xn−2 , xn−1 )
≤ · · · ≤ k n d(x0 , x1 ).
Lấy m > n ta có:
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + . . . + d(xm−1 , xm )
≤ (k n + k n+1 + . . . + k m−1 )d(x0 , x1 )
≤ k n (1 + k + . . . + k m−n−1 + . . .)d(x0 , x1 )
1
≤ kn
d(x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞.
1−k
Vậy {xn } là dãy Cauchy trong khơng gian mêtric đầy đủ X. Do đó
dãy {xn } hội tụ tới phần tử q ∈ X. Với mỗi n ≥ 0 ta có
0 ≤ d(q, T (q)) ≤ d(q, xn ) + d(xn , T (q))
= d(q, xn ) + d(T (xn−1 ), T (q))
≤ d(q, xn ) + kd(xn−1 , q).
Vì dãy {xn } hội tụ về phần tử q ∈ X nên d(q, xn ) + kd(xn−1 , q) → 0
khi n → ∞. Từ đó 0 ≤ d(q, T (q)) ≤ 0 suy ra d(q, T (q)) = 0 hay
T (q) = q. Vậy q là điểm bất động của ánh xạ T .
b) Tính duy nhất
Giả sử tồn tại p ∈ X sao cho T (p) = p. Khi đó
d(q, p) = d(T (q), T (p)) ≤ kd(q, p).
Với k ∈ [0, 1) thì từ đẳng thức trên suy ra d(q, p) = 0 do đó q = p.

Vậy q là duy nhất.
10


Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn được trình bày
trong định lý sau
Định lý 1.3. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi
đóng giới nội của H, T : C → C là một ánh xạ khơng giãn. Khi đó T
có ít nhất một điểm bất động trong C.
Định nghĩa 1.12. Ánh xạ T : H → H được gọi là d-compact, nếu nó
thỏa mãn tính chất với mỗi dãy {xn } bị chặn trong H và {T (xn ) − xn }
hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {xnk } của {xn } cũng hội tụ mạnh.
Tính chất của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn được công
bố trong định lý sau
Định lý 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con
lồi đóng và giới nội của H. Giả sử T : C → C là một ánh xạ không
giãn và d-compact. Khi đó tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập
lồi và khác rỗng.
1.2.4

Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động

Sau đây là một số phương pháp lặp cơ bản để tìm điểm bất động
của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Phương pháp lặp Mann được Mann đề xuất năm 1953. Với phương
pháp này, dãy lặp {xn } được xác định như sau:
x0 ∈ C,

xn+1 = (1 − αn ) xn + αn T (xn ),

n = 0, 1, 2, . . .

(1.5)

ở đây, dãy {αn }∞
n=0 ⊂ (0, 1). Ông đã chứng minh được rằng, nếu dãy số
{αn }∞
n=0 ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện
11

∞
n=0

αn (1 − αn ) = ∞ thì dãy lặp


(1.5) hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T , với T : C → H
là ánh xạ không giãn.
Phương pháp lặp Ishikawa được đề xuất bởi Ishikawa vào năm
1974 như sau:



















x0 ∈ C, tùy ý,
(1.6)

yn = (1 − βn ) xn + βn T (xn ),
xn+1 = (1 − αn ) xn + αn T (yn ) n = 0, 1, 2, . . .

∞
trong đó {αn }∞
n=0 và {βn }n=0 là các dãy số thực trong [0, 1]. Để ý rằng

khi βn = 0, với mọi n thì dãy lặp Ishikawa trở về dãy lặp Mann.
Phương pháp lặp Halpern được Halpern đề xuất năm 1967 để tìm
phần tử x∗ ∈ Fix(T ) của ánh xạ không giãn T : C → C:
x0 ∈ C,

xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ),

n = 0, 1, 2, . . .

(1.7)

trong đó u, x0 là hai phần tử xác định thuộc C và {αn } ⊂ [0, 1]. Ông

chứng minh kết quả sau:
Định lý 1.5. Cho C là một tập lồi đóng bị chặn của không gian Hilbert
thực H và T : C → C là một ánh xạ không giãn trên C. Khi đó với
−θ
u ∈ C và dãy số thực {αn }∞
n=0 ⊂ [0, 1] sao cho αn = n , θ ∈ (0, 1),

thì dãy lặp {xn }∞
n=0 xác định bởi (1.7) hội tụ mạnh tới điểm bất động
của T .
Năm 1977, Lions đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.7)
đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian

12


Hilbert H, với dãy số {αn }∞
n=0 thỏa mãn các điều kiện:
(L1 ) : n→∞
lim αn = 0;
∞

αn = ∞;

(L2 ) :
n=0

(L3 ) : n→∞
lim

|αn − αn+1 |
= 0.
αn2

Năm 1992, Wittmann cũng có kết quả cho sự hội tụ mạnh của dãy lặp
(1.7) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không
gian Hilbert, với dãy số {αn }∞
n=0 thỏa mãn các điều kiện (L1 ), (L2 ) và
∞

|αn+1 − αn | < ∞.

(L4 ) :
n=0

Bauschke là người đầu tiên vận dụng phương pháp lặp Halpern để
tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
trong không gian Hilbert, bằng cách thay điều kiện (L4 ) bằng điều
kiện
∞

|αn+N − αn | < ∞.

(L5 ) :
n=0

Kết quả đó được trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.6. Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H và {Ti }N
i=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn,

sao cho F =

N
i=1

Fix (Ti ) = ∅ và thỏa mãn
F = Fix (TN TN −1 · · · T1 )
= Fix (T1 TN · · · T2 )

(1.8)

= · · · = Fix (TN −1 TN −2 · · · T1 TN ) .
Giả sử rằng {αn }∞
n=0 là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện (L1 ),
(L2 ) và (L5 ). Khi đó với u và x0 tùy ý thuộc C, dãy {xn }∞
n=0 xác định
13


bởi:
xn+1 = αn+1 u + (1 − αn+1 ) T[n+1] (xn ),
trong đó T[n] = Tn

mod N

n≥0

(1.9)

hội tụ mạnh tới PF u.

Sau này, O’Hara có một kết quả khác bằng việc thay điều kiện (L5 )
bằng điều kiện
(L6 ) : n→∞
lim

αn
= 1 hoặc
αn+N

lim
n→∞

αn − αn+N
=0
αn+N

để có kết quả sau
Định lý 1.7. Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H và {Ti }N
i=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
sao cho F =

N
i=1

Fix (Ti ) = ∅ và thỏa mãn điều kiện (1.8). Giả sử rằng

{αn }∞
n=0 là một dãy các số thực thỏa mãn các điều kiện (L1 ), (L2 ) và

(L6 ). Khi đó với u và x0 tùy ý thuộc C, dãy {xn }∞
n=0 xác định bởi
xn+1 = αn+1 u + (1 − αn+1 ) T[n+1] (xn ),
ở đây T[n] = Tn

mod N

(1.10)

hội tụ mạnh tới PF u.

Gần đây, Alber đã đề xuất một phương pháp đường dốc:
xn+1 = PC (xn − µn (xn − T (xn ))) ∀n ≥ 0, x0 ∈ C,
và ông đã chỉ ra rằng nếu µn > 0,

∞
2
n=0 µn

(1.11)

< ∞ và dãy {xn } bị chặn,

thì
(i) tồn tại điểm tụ yếu x˜ ∈ C của dãy {xn };
(ii) tất cả các điểm tụ yếu của {xn } thuộc Fix(T );
(iii) Nếu Fix(T ) là tập hợp gồm một phần tử, nghĩa là Fix(T ) = {˜
x}
thì dãy {xn } hội tụ yếu tới x˜.
14

1.3
1.3.1

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
Bất đẳng thức biến phân

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ., . và
chuẩn . , C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và A : H → H
là một ánh xạ phi tuyến. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát
biểu như sau: Tìm điểm x∗ ∈ C sao cho
A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0,

∀x ∈ C.

(1.12)

Ký hiệu tập nghiệm của (1.12) là ΩA . Nếu A là ánh xạ đơn điệu mạnh
và liên tục Lipschitz trên C, thì bài tốn (1.12) có nghiệm duy nhất.
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trị quan trọng trong
nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình vi
phân, điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, quy hoạch tốn học, cơ học, tài
chính, . . . . Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến
phân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động. Nội dung
của phương pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài tốn
tìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thích hợp. Bài tốn (1.12)
tương đương với
u∗ = PC (u∗ − µA(u∗ )),

(1.13)

trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số.
Nếu A là ánh xạ đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz trên C và µ > 0
đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.13) là ánh xạ co.
Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard
xn+1 = PC (xn − µA(xn ))
15


hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1.12). Phương pháp
này được gọi là phương pháp chiếu. Phương pháp này có ưu điểm là
dễ lập trình và tốc độ hội tụ nhanh. Tuy nhiên với phương pháp này
thì việc tính tốn phép chiếu mêtric PC khơng đơn giản vì sự phức tạp
của tập con lồi đóng bất kỳ C của H. Để khắc phục khó khăn này,
Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001
để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert. Từ đó đến nay đã có nhiều cơng
trình mở rộng hướng nghiên cứu của Yamada để giải bất đẳng thức
biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.
Phương pháp lai đường dốc (hybrid steepest descent) được Ya mada
đề xuất năm 2001 để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ
điển trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không
gian Hilbert thực H như sau: Cho H là không gian Hilbert thực và
T : H → H là một ánh xạ không giãn sao cho C = Fix(T ) = ∅. Giả
sử A : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipchitz
2η
trên D(A). Cho µ ∈ 0, 2 và {λn }n≥1 ⊂ (0, 1] là một dãy số thực
L
thỏa mãn điều kiện:

(C1 ) : lim λn = 0;
n→+∞
∞

(C2 ) :

λn = +∞;
n=1

λn − λn+1
= 0.
n→+∞
λ2n+1

(C3 ) : lim

Lấy tùy ý phần tử x0 ∈ H, dãy lặp {xn }∞
n=1 được xác định bởi:
xn+1 = T (xn ) − λn+1 µA (T (xn )) ,
16

n = 0, 1, 2, . . .

(1.14)