Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng dạng eliptic

..

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

❇Ị■ ◆●➴❈ ◆❿▼

◆●❍■➊◆ ❈Ù❯
P❍×❒◆● P❍⑩P ❙➮ ●■❷■
P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ✣❸❖ ❍⑨▼
❘■➊◆● ❉❸◆● ❊▲■P❚■❈

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✸

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

✶

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

❇Ị■ ◆●➴❈ ◆❿▼

◆●❍■➊◆ ❈Ù❯
P❍×❒◆● P❍⑩P ❙➮ ●■❷■
P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ✣❸❖ ❍⑨▼

❘■➊◆● ❉❸◆● ❊▲■P❚■❈
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ✿ ❚❖⑩◆ Ù◆● ❉Ö◆●
▼➣ sè ✻✵ ✳✹✻ ✳✵✶ ✳✶✷
✿

◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿ ❚❙✳ ✣➄◆● ❚❍➚ ❖❆◆❍

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✸

Số hóa bởi trung tâm học lieäu

/>




ữủ t ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ❝õ❛

❖❛♥❤

❚❙✳ ✣➦♥❣ ❚❤à

✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔

❞♦ tỉ✐ tü ữợ sỹ ữợ ừ ữợ ✈➔ ❦❤æ♥❣ s❛♦
❝❤➨♣ tø ❜➜t ❦ý ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔♦ ✤➣ ữủ ổ ố trữợ


ũ ồ

Soỏ hoựa bụỷi trung tâm học liệu

/>




ữủ t ữợ sỹ ữợ ồ ừ
ữủ tọ ỏ ỡ t t tợ ổ ✈➲
sü ❣✐ó♣ ✤ï ♥❤✐➺t t➻♥❤ ✤➸ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ ❡♠ ①✐♥
✤÷đ❝ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ t tợ rữớ ồ ồ ồ
◆❣✉②➯♥✱ ♥ì✐ ❡♠ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♠ët ❤å❝ ✈➜♥ s❛✉ ồ
ỡ ỗ ✤➣ ❝↔♠ t❤ỉ♥❣✱ ❝❤✐❛ s➫✱ õ♥❣ ❤ë ✈➔ ❣✐ó♣
✤ï tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❡♠ ❤å❝ ❝❛♦ ❤å❝ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣
❡♠ ①✐♥ ❝❤ó❝ sù❝ ❦❤ä❡ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ỗ
t ỡ

♥❣➔② ✷✵ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✸✳

◆❣÷í✐ ✈✐➳t ▲✉➟♥ ❱➠♥
❇ị✐ ◆❣å❝ ◆➠♠

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

✹

▼ư❝ ❧ư❝

✶ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❇✃ ❚❘Đ

✽

✶✳✶

❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✷

▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè tr✉②➳♥
t➼♥❤

✶✳✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✷✳✶

❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥✱ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì

✶✳✷✳✷

✽

✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✷✳✸

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❏❛❝♦❜✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✷✳✹

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tr✉② ✤✉ê✐ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✶✳✸✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✶✳✸✳✷

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✶✳✸✳✸

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✸✳✹

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ õ t ổ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✸✳✺

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✶✳✸✳✻

P❤✐➳♠ ❤➔♠ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✶✳✸✳✼

❇➔✐ t♦→♥ ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✶✳✸✳✽

❚➼♥❤ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ②➳✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✶✳✸✳✾

❙ü ❤ë✐ tö ✈➔ s❛✐ sè

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✷ P❍×❒◆● P❍⑩P ❙❆■ P❍❹◆ ❱⑨ P❍×❒◆● P❍⑩P P❍❺◆
❚Û ❍Ú❯ ❍❸◆
✷✽

✷✳✶

✷✳✷

❑❤→✐ ♥✐➺♠ ♠ð ✤➛✉ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✶✳✶

❇➔✐ t♦→♥ ❝â ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✶✳✷

❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳





Pt t



ữợ s ữợ

Soỏ hóa bởi trung tâm học liệu

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

/>
✹✾


✺

✷✳✸

✷✳✷✳✸

❇➔✐ t♦→♥ s❛✐ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✵

✷✳✷✳✹

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❙❡✐❞❡❧ ❝♦ ❞➣♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✼

✷✳✷✳✺

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳t ❦✐➺♠ ❦❤è✐ ❧÷đ♥❣ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ P♦✐ss♦♥

✳ ✳

✻✸

✳

✻✸

✷✳✸✳✶

❇➔✐ t♦→♥ rt ố ợ ữỡ tr Pss

Pữỡ tỷ ỳ ❤↕♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣

Ω

❧➔ ❝❤ú ♥❤➟t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✽

✷✳✸✳✸

❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ♠✐➲♥ ✤❛ ❣✐→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ú ♥❤➟t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✹

✷✳✸✳✹

❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ❜✐➯♥ ❝♦♥❣

✽✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳







ữợ ❜➔✐ t♦→♥

✸✳✷

❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤û ♥❣❤✐➺♠
✸✳✷✳✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✸
✽✹

❙♦ s→♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❋❉ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❋❊▼
tr➯♥ ♠✐➲♥ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✻

✸✳✷✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❋❊▼ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝â ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤ù❝ t↕♣ ✽✼

✸✳✷✳✸

❈→❝ ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

Số hóa bởi trung tâm học liệu

✾✻

✾✼
✾✽

/>

✻

▼Ð ✣❺❯
◆❤✐➲✉ ❤✐➺♥ t÷đ♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❦ÿ t❤✉➟t ❞➝♥ t
ừ ữỡ tr t ỵ t ●✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤â ✤➳♥ ✤→♣ sè ❜➡♥❣ sè ❧➔
♠ët ②➯✉ ❝➛✉ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ t❤ü❝ t✐➵♥✳ ❚r♦♥❣ ♠ët sè ➼t tr÷í♥❣ ❤đ♣✱ t❤➟t
✤ì♥ ❣✐↔♥ ✈✐➺❝ ✤â ❝â t❤➸ ữủ ớ tữớ ừ
t ữợ ❞↕♥❣ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ sì ❝➜♣✱ ❝→❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❤♦➦❝ ❝→❝ ❝❤✉é✐ ❤➔♠✳
❈á♥ tr♦♥❣ ✤↕✐ ✤❛ sè tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤→❝✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥
❝â ❤➺ sè ❜✐➳♥ t❤✐➯♥✱ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❝â
❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤ù❝ t↕♣ t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ t÷í♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ❝â✱ ❤♦➦❝
❝â ♥❤÷♥❣ r➜t ♣❤ù❝ t↕♣✳ ❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤â ✈✐➺❝ t➼♥❤ ♥❣❤✐➺♠
♣❤↔✐ ❞ü❛ ✈➔♦ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❣➛♥ ✤ó♥❣✳ ❍✐➺♥ ♥❛② ❝â ♥❤✐➲✉ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❣✐↔✐ sè ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ♥❤÷✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤ú✉ ❤↕♥✱ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tỷ ữỡ ổ
ữợ ộ ữỡ ❝â ÷✉ ✈➔ ♥❤÷đ❝ ✤✐➸♠ r✐➯♥❣✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ❝➔✐ ✤➦t t❤û ♥❣❤✐➺♠ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❑➳t q✉↔ t❤û
♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤♦ t❤➜②✿
✲ ❚r➯♥ ❝→❝ ♠✐➲♥ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❞➵

❞➔♥❣ ❤ì♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✱ s❛✐ sè ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐
♣❤➙♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ♥❤ä ❤ì♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥✳
✲ ❚r➯♥ ❝→❝ ♠✐➲♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤ù❝ t↕♣ ✈➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝â ❦ý ❞à✳ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
♣❤➛♥ tû ỳ tỹ ỡ
ỗ ♠ð ✤➛✉✱ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔
t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè t✉②➳♥
t➼♥❤✱ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❦❤ỉ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❧❜❡rt ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ②➳✉✱ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tø t❤ü❝ t➳ ❞➝♥ ✤➳♥ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❞↕♥❣ ❡❧❧✐♣t✐❝✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦➳t

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>



q ừ rữợ t tr ♥✐➺♠ ♠ð ✤➛✉ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥✱ s❛✉ ✤â tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❤❛✐
❝❤✐➲✉ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➛♥ tû ❤ú✉ ❤↕♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♣♦✐ss♦♥✳
❈❤÷ì♥❣ ✸✿ ❈➔✐ ✤➦t ❝❤÷ì♥❣ t❤û ♥❣❤✐➺♠ tr➯♥ ♠✐➲♥ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t✱ ❤➻♥❤
▲ ✈➔ ♠✐➲♥ ✤❛ ❣✐→❝✳
❉ò ✤➣ r➜t ❝è ❣➢♥❣✱ ♥❤÷♥❣ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣
❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝á♥ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât ♥❤➜t ✤à♥❤✱ ❡♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ữủ sỹ õ
ỵ ừ t ổ ❜↕♥ ✤➸ ❜↔♥ ❜→♦ ❝→♦ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥
❤ì♥✳

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

✽

❈❤÷ì♥❣ ✶
▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❇✃ ❚❘Đ
✶✳✶ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤
❳➨t ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤

n

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤



 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a1n+1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = a2n+1
... ...


an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = ann+1

n

➞♥✿

✭✶✳✶✳✶✮

aij ✱ (i, j = 1, n) ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ✤➣ ❜✐➳t✱ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛ ❤➺
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✳✶✮❀ ain+1 ✱ (i = 1, n) ❝ô♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ✤➣ ❜✐➳t✱ ❣å✐ ❧➔ ✈➳

♣❤↔✐ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✳✶✮❀ xi (i = 1, n) ❧➔ ❝→❝ ➞♥ sè ♣❤↔✐ t➻♠✳
tr♦♥❣ õ

ỵ



a11
a21
A = ...
an1


a12 ... a1n
a22 ... a2n 

...
an2 ... ann

❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✳✶✮✳




a1n+1
x1
 a2n+1 
 x2 
b =  ✳✳  ✈➔ x =  ✳✳ 


✳

✳

ann+1

xn

❧➔ ✈❡❝tì ✈➳ ♣❤↔✐ ✈➔ ✈❡❝tì ➞♥ sè ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✳✶✮✳ ❍➺ ữỡ
tr õ t t ồ ữợ

Ax = b

Soỏ hóa bởi trung tâm học liệu

✭✶✳✶✳✷✮

/>

✾

◆➳✉ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè

A

❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✿

a11
a21

det(A) = ...
an1

a12 ... a1n
a22 ... a2n
=0
...
an2 ... ann

t❤➻ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✳✶✮ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✳

✶✳✷ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐
sè tr✉②➳♥ t➼♥❤

✶✳✷✳✶ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥✱ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì
❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

A = (aij )

❧➔ ♠ët số tỹ ỵ

||A||

tọ

ỳ s


A 0 (✈ỵ✐ ||A|| = 0 ⇔ A = 0)

❜

α.A = |α| . A , α

❝

A+B ≤ A + B

❞

A.B ≤ A . B

ởt số tỹ

(ợ || A|| = ||A||)

ữớ t❛ t❤÷í♥❣ ❞ị♥❣ ❜❛ ❝❤✉➞♥ ♠❛ tr➟♥ s❛✉✿

A

1

|aij | (❝❤✉➞♥

= max
j

ởt)

i

1
2

A
A

2

|aij |2

=



(

t)

|aij | (

)

ij

= max
i

j

Pữỡ ss

ị tữ ừ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤û ●❛✉ss ❧➔ ❦❤û ❞➛♥ ❝→❝ ➞♥ ✤➸ ✤÷❛ ❤➺ ❜❛♥
✤➛✉ ✈➲ ❤➺ ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥ ❜➡♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣
♥❤÷✿
✲ ✣ê✐ ❝❤é ✷ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➜t ❦ý✳

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>



ởt ữỡ tr t ý ợ ởt sè ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣✳
✲ ❈ë♥❣ ✈➔♦ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ët tê ❤đ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ♠ët sè
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤→❝✳
◆❤÷ ✈➟② ♣❤÷ì♥❣ ss ỗ q tr
tr t ữ ❤➺ ✈➲ ❞↕♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥✳
✲ ◗✉→ tr➻♥❤ ♥❣÷đ❝✿ ●✐↔✐ t tr tứ ữợ

tr t

✈✐➳t ❝❤♦ ❣å♥ ❤➺ t❛ ①➨t ❤➺

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a1,n+1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = a2,n+1
✭✶✳✷✳✶✮

.....................................................
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = an,n+1
✈➔ t

(0)

aij = aij

ữợ

(i = 1, ..., n; j = 1, ..., n + 1)✳

❉ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤➸ ❦❤û

tr➻♥❤ ❝á♥ ❧↕✐✿ ●✐↔ sû

a11 = 0

x1

tr♦♥❣

n−1

♣❤÷ì♥❣

✭t❛ ❧✉ỉ♥ ❝â ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ♥➔② ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤ê✐

❝❤é ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✮✳
✰ ❈❤✐❛ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù ♥❤➜t ❝❤♦

a11

t❛ ❝â ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣

tr➻♥❤

x1 + b12 x2 + ... + b1n xn = b1,n+1
(0)

(0)

(j = 2, ..., n + 1)✳
✰ ❈ë♥❣ ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù i ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✷✳✶✮
(0)
s❛✉ ❦❤✐ ✤➣ ♥❤➙♥ ✈ỵ✐ −ai1 t ữủ
ợ



b1j = a1j /a11

ữỡ tr

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = a2,n+1
a32 x2 + a33 x3 + ... + a3n xn = a3,n+1

✭✶✳✷✳✸✮

................................................
(1)

(1)

(1)

(1)

an2 x2 + an3 x3 + ... + ann xn = an,n+1
✈ỵ✐

(1)

(0)

(0)

aij = aij − ai1 b1j

(i = 2, ..., n; j = 2, ..., n + 1)

ữ s ữợ t t ữủ ữỡ tr

ữợ ✷✿

❉ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ tr♦♥❣ ✭✶✳✷✳✸✮ ❦❤û

x2

tr♦♥❣ ❝→❝

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ỏ tữỡ tỹ ữ tr ữợ tr➻♥❤ ✤÷đ❝

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>



t tử ữ t q s ữợ tự

m

t t ✤÷đ❝ ❤➺✿

xm + bm,m+1 xm+1 + ... + bm,n xn = bm,n+1
(m)

(m)

(m)

am+1,m+1 xm+1 + ... + am+1,n xn = am+1,n+1
...............................................
(m)

(m)

an,m+1 xm+1 + ... + a(m)
n,n xn = an,n+1
✈ỵ✐✿

(m−1)

bmj = amj
(m)

(m−1)

/amm ,

(m−1)

(j = m + 1, ..., n + 1)

(m−1)

− aim

aij = aij

❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ s❛✉

n

bmj ,

(i = m + 1, ..., n; j = m + 1, ..., n + 1)

ữợ ỷ t t ữủ ữỡ tr ợ tr

t ❣✐→❝ tr➯♥ s❛✉ ✤➙②✿

x1 + b12 x2 + ... + b1n xn = b1,n=1
x2 + ... + b2n xn = b2,n+1
✭✶✳✷✳✹✮

................................
xn = bn,n+1
❈→❝ ❤➺ sè ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝✿

(m−1)

bmj = amj
(m)

(m−1)

aij = aij

(m−1)

/amm ,

(m = 1, ..., n; j = m + 1, ..., n + 1)

(m−1)

− aim

bmj ,

(i = m + 1, ..., n; j = m + 1, ..., n + 1)
✭✶✳✷✳✺✮

(m−1)
❈→❝ ♣❤➛♥ tû amm (m

= 1, ..., n)

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû trư ❤❛② ❝→❝

♣❤➛♥ tỷ ừ

tr ữủ

tứ ữợ ❧➯♥

xn = bn,n+1
n

xk = bk,n+1 −

❑❤è✐ ❧÷đ♥❣ t➼♥❤ t♦→♥✿

bkj xj ,

(k = n − 1, ..., 1)

✭✶✳✷✳✻✮

j=k+1
❉➵ t❤➜② r➡♥❣ sè ♣❤➨♣ t♦→♥ ♥❤➙♥✱ ❝❤✐❛ ✈➔ trø

✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ q✉→ tr➻♥❤ t❤✉➟♥ ✭✶✳✷✳✺✮ ❧➔✿

n

n

[(n − m + 1) + 2 (n − m − 1) (n − m)] =
m=1

Số hóa bởi trung tâm học liệu

[k + 2k (k − 1)]
k=1

/>

✶✷

n

2k 2 − k = n(n + 1)(4n − 1)/6

=
k=1

n(n − 1)✳
3
2
●❛✉ss ❧➔ (4n + 9n − 7n)/6

❙è ♣❤➨♣ t♦→♥ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣÷đ❝ ❧➔
❉♦ ✤â✱ tê♥❣ sè t ừ ữỡ
ù

2n3 /3

n



t

ừ ợ

r q✉→ tr➻♥❤ t❤✉➟♥ t❛ ♣❤↔✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ❝❤♦

♣❤➛♥ tû trư✳ ◆➳✉ ♥â ❜➡♥❣

0

t❤➻ q✉→ tr➻♥❤ ❦❤ỉ♥❣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝✳ ◆❣♦➔✐

r❛ ♥➳✉ ❝â trà t✉②➺t ✤è✐ ♥❤ä t❤➻ ❦❤✐ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ♥â s❛✐ sè ❧➔♠ trá♥ s➩ ❧ỵ♥✱ ❞♦
✤â ❝â t❤➸ ❧➔♠ ❣✐↔♠ ✤ë ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ t➻♠ ✤÷đ❝✳ ✣➸ ❦❤➢❝ ♣❤ư❝
❦❤â ❦❤➠♥ tr➯♥ ♥❣÷í✐ t❛ t❤÷í♥❣ ❞ị♥❣ ữỡ ss ợ tỷ
trử õ tr tt ố ❧ỵ♥ ♥❤➜t tr♦♥❣ ❝ët✳ ❑❤✐ ✤â t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss ❝â t❤➸ tâ♠ t➢t ♥❤÷ s❛✉✿

❚❤✉➟♥✿

✲ ❚➻♠

m = 1, ..., n
(m−1)
(m−1)
r ✤➸ arm
= max aim
,m i n



arm

ợ

(m1)

=0



s

r trữớ ủ

(m1)

arm

= 0✿

◆➳✉

r=m

t❤➻ t❛ ❣✐ú ♥❣✉②➯♥ t❤ù tü

❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❝á♥ ♥➳✉ ❦❤→❝ t❤➻ ❝➛♥ ✤ê✐ ❝❤é ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù
✈➔

m✳
✲ ❚➼♥❤

bmj , am

ij t❤❡♦ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✳✺✮✳

◆❣÷đ❝✿

❚➼♥❤

r

xn , xn−1 , ..., x1

t❤❡♦ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✳✻✮✳

◆❤➟♥ ①➨t ✷✿

❚r♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤û ●❛✉ss t❛ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣

❜✐➳♥ ✤ê✐ ❧➯♥ ♠❛ tr➟♥ ♥❤÷ ❝❤✐❛ ♠ët ❤➔♥❣ ❝❤♦ ♠ët sè ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣✱ ✤ê✐ ❝❤é
❤❛✐ ❤➔♥❣✱ trø ✤✐ ♠ët ❤➔♥❣ ♠ët ❤➔♥❣ ❦❤→❝ ♥❤➙♥ ✈ỵ✐ ♠ët sè✳ ❉♦ ✤â✱ ✤à♥❤
t❤ù❝ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

A

❝â t❤➸ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝✿

(0) (0)

detA = (−1)k a11 a22 ...a(n−1)
nn
tr♦♥❣ ✤â

k

❧➔ sè ❧➛♥ ✤ê✐ ❝❤é ❝→❝ ❤➔♥❣✳

✶✳✷✳✸ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❏❛❝♦❜✐
❚❛ ✈✐➳t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

Ax = b

aii xi +

tr♦♥❣ ❞↕♥❣ ❝❤✐ t✐➳t✿

aij xj = bi ,

i = 1, 2, ..., n

j=i

Soá hóa bởi trung tâm học liệu

/>
✭✶✳✷✳✼✮


✶✸

x(0)

❑❤✐ ✤â ①✉➜t ♣❤→t tø ♠ët ①➜♣ ①➾

❜➜t ❦ý ❝â t❤➸ t➼♥❤ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥

❝õ❛ ❝→❝ ①➜♣ ①➾ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝õ❛ ❤➺ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿

(k+1)

aii xi

(k)

+

aij xj = bi ,

i = 1, 2, ..., n,

k = 0, 1, 2, ...

✭✶✳✷✳✽✮

j=i
●✐↔ sû

∀i, aii = 0✳

(k+1)

xi

=−
j=i

❑❤✐ ✤â tø ✭✶✳✷✳✽✮ t❛ ✤÷đ❝✿

aij (k) bi
x + ,
aii j
aii

i = 1, 2, ..., n,

k = 0, 1, 2, ...

✭✶✳✷✳✾✮

❈→❝❤ t➼♥❤ ❝→❝ ①➜♣ ①➾ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❝õ❛ ❤➺ t❤❡♦ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❧➦♣

ỵ tỗ t ởt số 0 < q < 1 s❛♦ ❝❤♦✿
n

∀i = 1, 2, ..., n,

|aij | ≤ q |aii |

✭✶✳✷✳✶✵✮

j=i
j=1

t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❏❛❝♦❜✐ ❣✐↔✐ ữỡ tr Ax = b ở tử ợ t
ý ①➜♣ ①➾ ❜❛♥ ✤➛✉ x(0) ✈➔ ✤è✐ ✈ỵ✐ s❛✐ sè t❛ ❝â ❝→❝ ✤→♥❤ ❣✐→✿
qk
x(0) − x(1) , k = 0, 1, 2, ...
∞
∞
1−q
q
x(k) − x
≤
x(k) − x(k−1) , k = 0, 1, 2, ...
∞
∞
1−q
tr♦♥❣ ✤â x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❤➺✳
x(k) − x

◆❤➟♥ ①➨t ✶✿

≤

✭✶✳✷✳✶✶✮

✭✶✳✷✳✶✷✮

❈â tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ →♣ ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❏❛❝♦❜✐

♥❣❛② ❝❤♦ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦✱ ♠➔ ♣❤↔✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈✐➺❝ ✤ê✐ ❝❤ê ❝→❝
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ữủ ợ tr trở ửt ✤ê✐ ❝❤é ❤➔♥❣

✶ ✈➔ ❤➔♥❣ ✷ ❝✉↔ ♠❛ tr➟♥✿

◆❤➟♥ ①➨t ✷✿

1 3 1
5 1 −1
2 1 6

→

5 1 −1
1 3 1
2 1 6

◆➳✉ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥

Rn

t❛ sû ❞ư♥❣ ❝❤✉➞♥

n

x

✈❡❝tì ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

1

|xi |

=

t❤➻✿

i=1

|aij |

n

S

1

|Sij | = max

= max

1≤j≤n

Số hóa bởi trung tâm học liệu

i=1

1≤j≤n

i=j

|aij |

/>
||.||1

❝õ❛


✶✹

❉♦ ✤â t❛ ❝ơ♥❣ ❝â ❦➳t q✉↔ t÷ì♥❣ tü ✣à♥❤ ỵ tr õ t
tỗ t

0 < q1 < 1

s

n

j = 1, ..., n,

|aij | ≤ q1 |aii |

✭✶✳✷✳✶✵✬✳✮

j=i
i=j

.

✈➔ tr♦♥❣ ❝→❝ ✤→♥❤ ❣✐→ ✭✶✳✷✳✶✶✮✱ ✭✶✳✷✳✶✷✮ t❤❛② ❝❤♦ ❝❤✉➞♥

.

∞ ❧➔ ❝❤✉➞♥

1✳

✶✳✷✳✹ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tr✉② ✤✉ê✐ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦
❳➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❝❤➨♦ s❛✉✿

Ax = f ✱

tr♦♥❣ ✤â ♠❛ tr➟♥ ❆ ❝â ❞↕♥❣ ❜❛ ✤÷í♥❣

c1 −b1 0
 −a2 c2 −b2
....
A=

0
0
0
0
0
0


...
...

0
0


0
0 



✭✶✳✷✳✶✸✮

... −bn+1
... −an cn

❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ❝â t❤➸ ✈✐➳t tr♦♥❣ ❞↕♥❣✿


c1 x1 − b1 x2 = f1 ,
−ai xi−1 + ci xi − bi xi+1 = fi , (i = 2, ..., n − 1)

−an xn−1 + cn xn = fn ,
●✐↔ sû

ci = 0(i = 1, ..., n)✳

.

❚ø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➺ rót r❛

x1 = b1 /c1 x2 + f1 /c1

❚❤➳ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tr➯♥ ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù ❤❛✐ ❦❤✐
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛

x2

q✉❛

x3 ✳

✭✶✳✷✳✶✹✮

✭✶✳✷✳✶✺✮

i=2

t❛ rót r❛ ✤÷đ❝

❱➻ t❤➳ t❛ s➩ ✤✐ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✷✳✷✮ tr♦♥❣

❞↕♥❣

xi = αi xi+1 + βi

✭✶✳✷✳✶✻✮

αi , βi ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ❝➛♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ▼✉è♥ ✈➟② t❤➳ ❜✐➸✉ t❤ù❝ xi−1 =
αi−1 xi + βi−1 ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù i − 1(i ≥ 2) t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
❝õ❛ xi q✉❛ xi+1
tr♦♥❣ ✤â

xi =

bi
fi + ai βi−1
xi+1 +
ci − ai αi−1
ci − ai αi−1

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

✶✺

❙♦ s→♥❤ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥➔② ✈ỵ✐ ✭✶✳✷✳✶✺✮ t❛ rót r❛✿

αi =

bi
fi + ai βi−1
, βi =
(i = 2, ..., n 1)
ci ai i1
ci ai i1



ỵ ✭✶✳✷✳✶✺✮ t❛ ❝â✿

α1 =

b1
f1
, β1 =
c1
c1

✭✶✳✷✳✶✽✮

◆❤÷ ✈➟②✱ t❤❡♦ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✳✶✼✮✱ ✭✶✳✷✳✶✽✮ t❛ ❧➛♥ ❧÷đt t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❤➺

αi , βi , (i = 1, ..., n − 1)✳ ❑❤✐ i = n − 1 ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✳✶✻✮
xn−1 = αn−1 xn + βn−1 ✳ ❚❤➳ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ♥➔② ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝✉è✐
sè

❝❤♦ t❛
❝õ❛ ❤➺

✭✶✳✷✳✶✹✮ t❛ t➻♠ ✤÷đ❝✿

xn =
✣➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔

βn

fn + an βn−1
cn − an αn−1

t➼♥❤ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✳✺✮✳

❇➙② ❣✐í✱ s❛✉ ❦❤✐ ❜✐➳t
❧➛♥ ❧÷đt t➼♥❤ ✤÷đ❝

xi

xn

αi , βi ✱ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✳✶✺✮ t❛ s➩
i = n − 1, n 2, ..., 1

số

ợ

Pữỡ tr tr ữỡ tr ợ tr➟♥ ❜❛
✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tr✉② ✤✉ê✐✳ Pữỡ õ t
tõ ữủ ỗ q✉→ tr➻♥❤ s❛✉✿
✰ ◗✉→ tr➻♥❤ tr✉② ✤✉ê✐ ①✉æ✐✿ ❚➼♥❤

αi =

α1 =

b1
c1 ,

bi
fi + ai βi−1
, βi =
ci − ai αi−1

ci − ai αi−1

✰ ◗✉→ tr➻♥❤ tr✉② ✤✉ê✐ ♥❣÷đ❝✿ ✣➦t

β1 =

f1
c1 ,

(i = 2, ..., n − 1)

xn = βn ✱ t➼♥❤ xi = αi xi+1 + βi , (i =

n − 1, ..., 1)✳

❑❤è✐ ❧÷đ♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tr➯♥ ❝ï 8n✳
❚r♦♥❣ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥❤➜t ✤à♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr t ờ
ỵ s

ỵ sû ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥
❦✐➺♥ b1, an, ci = 0,

✭✶✳✷✳✶✸✮

t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉

(i = 1, ..., n) ✈➔ |c1 | ≥ |b1 | , |cn | ≥ |an | , |ci | ≥ |ai | +
|bi | , (i = 2, ..., n − 1)✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝❤➦t✳
❑❤✐ ✤â✿ ∆i = ci − aiαi−1 = 0✈➔ |αi| ≤ 1, (i = 2, ..., n)✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❱➻

|c1 | ≥ |b1 | = 0

♥➯♥

|α1 | =

|b1 |
|c1 |

≤1

❑❤✐ ✤â✿

|c2 − a2 α1 | ≥ |c2 | − |a2 | |α1 | ≥ |a2 | + |b2 | − |a2 | |α1 |

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

✶✻

= |a2 | (1 − |α1 | + |b2 |) ≥ |b2 | > 0 ⇒ |c2 − a2 α1 | = 0
s✉② r❛✿

|α2 | =
▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ tø

|b2 |
≤1
|c2 − a2 α1 |

|α2 | ≤ 1 s✉②

r❛

|α3 | ≤ 1, ..., |αi−1 | ≤ 1, (i = 2, ..., n)

❙✉② r❛

|ci − ai αi−1 | ≥ |ci | − |ai | |αi−1 | ≥ |ai | + |bi | − |ai | |αi−1 |
= |ai | (1 − |αi−1 | + |bi |)6/5/2013 ≥ |bi | > 0, ∀i
❱➟②

ci − ai αi−1 =, (i = 2, ..., n)

✶✳✸ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ②➳✉

✶✳✸✳✶ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì
❑❤ỉ♥❣ tỡ

V

tr trữớ ổ ữợ

K

ởt t ố tữủ

tữớ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ✈❡❝tì✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ①→❝ ✤à♥❤ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥✿
✶✳ P❤➨♣ ❝ë♥❣✿ ù♥❣ ✈ỵ✐ ♠é✐ ❝➦♣ ♣❤➛♥ tû
♣❤➛♥ tû ❝õ❛

V✱

✈✐➳t ❧➔

x ✈➔ y

❝õ❛

V

x + y✳

✷✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈ỵ✐ ổ ữợ ợ ộ tỷ

kK

õ ♠ët

❝â ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝

V✱

✈✐➳t ❧➔

x ∈ V ✈➔ ♠é✐ sè
kx ❤♦➦❝ (xk)✱ s❛♦

❝❤♦ ✽ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✿

x + y = y + x, ∀x, y ∈ V
✐✐✮ x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ V
✐✐✐✮ ỗ t V s + x = x + ε, ∀x ∈ V ✳ P❤➛♥ tû ε ❣å✐ ❧➔
♣❤➛♥ tû tr✉♥❣ ❤á❛ ❝õ❛ V ✳
✐✈✮ ❱ỵ✐ ộ x V tỗ t x V s ❝❤♦ x + (−x) = −x + x = θ ✳
P❤➛♥ tû −x ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ✤è✐ ❝õ❛ x✳
✈✮ k(x + y) = kx + ky, ∀x, y ∈ V, ∀k ∈ K
✈✐✮ (k + l)x = kx + lx, ∀x ∈ V, ∀k, l ∈ K
✈✐✐✮ k(lx) = (kl)x, ∀x ∈ V, ∀k, l ∈ K
✈✐✐✐✮ 1x = x, ∀x ∈ V
✐✮

❚→♠ t➼♥❤ ❝❤➜t tr➯♥ ❣å✐ ❧➔ t→♠ t✐➯♥ ✤➲ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

✶✼

✶✳✸✳✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥
✶✳✸✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥✱ ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣

x ∈ V õ ởt
tỹ ỵ x ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ x✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜❛ t➼♥❤ ❝❤➜t✿
✐✮ x ≥ 0, ∀x ∈ V : x = 0 ⇔ x = ε
✐✐✮ kx = |k| . x , ∀x ∈ V, ∀k ∈ R
✐✐✐✮ x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ V
❣✐❛♥ ✈❡❝tì

V

tr♦♥❣ ✤â ù♥❣ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû

sè

❇❛ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➔② ❣å✐ ❧➔ ❜❛ t✐➯♥ ✤➲ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥✳
❚➟♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì
❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥

V

❣å✐ ❧➔

t➟♣ ♥➲♥

❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣

V✳

✶✳✸✳✷✳✷ ❙ü ❤ë✐ tư

tư

❚r♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥

x ∈ V ✭❤❛②
n → ∞✱ tù❝ ❧➔✿
tỵ✐

V

t❛ ①➨t ❞➣② ♣❤➛♥ tû

❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❧➔

x ∈ V✮

♥➳✉ ❞➣②

{xn }✳ ◆â✐ ❞➣② xn
sè xn − x → 0

❤ë✐
❦❤✐

∀ε > 0 ∃N : n > N ⇒ xn − x < 0.
xn → x

❑❤✐ ✤â t❛ ✈✐➳t
❚❛ ♥â✐ ❞➣②

xn

❤ë✐ tö

n → ∞✱ ❤❛② ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔ xn → x✳
tr♦♥❣ V xn ở tử tỗ t x V
❦❤✐

✤➸

xn → x✳

✶✳✸✳✷✳✸ ❙ü trò ♠➟t
❈❤♦

y∈T

S ⊂ T ⊂ V✳

◆â✐ ❙ trị ♠➟t tr♦♥❣ ❚ ♥➳✉ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠é✐ ♣❤➛♥ tỷ

tỗ t ởt



T =V

t õ t

S

{yn S}
trũ ♠➟t

yn → y ✳
tr♦♥❣ V ✳
✤➸

✶✳✸✳✷✳✹ ❈❤✉➞♥ ❚÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣
❚r♦♥❣ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❧➔♠ ♥➲♥ ❝â t❤➸ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
❝❤✉➞♥ ❝❤♦ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû

x ∈ V✳

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ♥❤✐➲✉ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥

❦❤→❝ ♥❤❛✉ tr➯♥ ❝ị♥❣ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ♥➲♥✳

.

❚❛ ♥â✐ ❤❛✐ ❝❤✉➞♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉
t↕✐ ❤❛✐ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣

M1 x

M1
1

✈➔

≤ x

Số hóa bởi trung tâm học liệu

M2
2

1

.

2 tữỡ ữỡ tỗ

s

M2 x

1,

x ∈ V

/>



ị ừ tữỡ ữỡ ♠ët ❞➣② ✤➣ ❤ë✐ tö
t❤❡♦ ❝❤✉➞♥ t❤ù ♥❤➜t t❤➻ ❞➣② ✤â ❝ơ♥❣ ❤ë✐ tư t❤❡♦ ❝❤✉➞♥ t❤ù ❤❛✐ ✈➔ ♥❣÷đ❝
❧↕✐✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✿

xn − x

1

→ 0 ⇔ xn − x

2

→0

✶✳✸✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
✯ ❉➣② ❈❛✉❝❤②
❱ ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥ ✳ t
ợ ồ
ữỡ

N

>0

{xn } V

õ

{xn }



trữợ ớ ụ tỗ t ♠ët sè

✤➸✿

n, m > N ⇒ xn − xm < θ
▼å✐ ❞➣② ❈❛✉❝❤② ❝â ❦❤ỉ♥❣ q✉→ ♠ët ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✳
❚r♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥

V

♠å✐ ❞➣② ❤ë✐ tư ✤➲✉ ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤②✳ ◆❤÷♥❣

❦❤ỉ♥❣ ♣❤↔✐ ❞➣② ❈❛✉❝❤② ♥➔♦ ❝ơ♥❣ ❤ë✐ tư✳
✯ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
▼ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥

V

tr♦♥❣ ✤â ♠å✐ ❞➣② ❈❛✉❝❤② ✤➲✉ ❤ë✐ tư ❣å✐ ❧➔

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥ ❇❛♥❛❝❤ ❤❛② ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤➛②✳

✶✳✸✳✹ ❑❤æ♥❣ õ t ổ ữợ
r ổ tỡ


V ì V R

V

tr trữớ số tỹ tỗ t ởt →♥❤

tù❝ ❧➔ ù♥❣ ♠é✐ ❝➦♣

(u, v) ∈ V × V ✱

(u, v)v s❛♦ ❝❤♦✿
✭✐✮ (u, v)v = (v, u)v
∀u, v ∈ V
✭✐✐✮ (u + w, v)v = (u, v)v + (w, v)v
∀u, v, w ∈ V
✭✐✐✐✮ (ku, v)v = k(u, v)v
∀u, v ∈ V, ∀k ∈ R
✭✐✈✮ (u, u)v ≥ 0
∀u ∈ V
✭✈✮ (u, u)v = 0 ⇔ u = 0
❚❤➻ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ (u, v)v ❣å✐ ❧➔ ♠ët t➼❝❤ ✈ỉ ữợ tr

õ

ởt số tỹ ỵ

V

ồ ổ õ t ổ ữợ tữớ t t

t

V
(u, v)v

ổ

(u, v)

t

ú ỵ r ổ õ t ổ ữợ ữớ t ự ữủ

t tự ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③ s❛✉✿

|(u, v)v |2 ≤ (u, u)v .(v, v)v

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>



ổ rt
V

ổ õ t ổ ữợ

u
t

V

V

t ữ ✈➔♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤✉➞♥✿

=

(u, u)V

trð t❤➔♥❤ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥ ♥➔② ❣å✐ ❧➔

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt✳
◆➳✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➞♥ ✤➛② t❤➻ ♥â ✤÷đ❝
❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
❚r♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

V

♥➳✉✿

(u, v)V = 0 v V

t

ú ỵ õ t t ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❤✇❛rt ❧➔✿
|(u, v)|V ≤ u

V

v

u=0

V

✶✳✸✳✻ P❤✐➳♠ ❤➔♠ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
✶✳✸✳✻✳✶ P❤✐➳♠ ❤➔♠ ✈➔ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤
❚❛ ♥â✐ F ❧➔ ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ tr➯♥ V ♥➳✉ F
♥❣❤➽❛ ❧➔ ù♥❣ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✶✳

v∈V

V → R✱
F (v) ∈ R✳

❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕✿

❝â ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët sè

❚➼❝❤ ♣❤➙♥✿

b

v (x) dx

✭✶✳✸✳✶✮

a
❧➔ ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ tr➯♥

L2 (a, b) ✈➻ ù♥❣ ♠é✐ v ∈ L2 (a, b) t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✭✶✳✸✳✶✮

❝â ♠ët ❣✐→ trà ①→❝ ✤à♥❤✳

❈❤♦ ❤➔♠ sè

f (x) ∈ L2 (a, b)

❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✳

❚➼❝❤ ♣❤➙♥✿

b

f (x) v (x) dx

✭✶✳✸✳✷✮

a
❧➔ ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ tr➯♥

L2 (a, b) ✈➻ ù♥❣ ♠é✐ v ∈ L2 (a, b) t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✭✶✳✸✳✷✮

❝â ♠ët ❣✐→ trà ①→❝ ✤à♥❤✳
❚➼❝❤ ♣❤➙♥✿

b

f (x) [v (x)]2 dx

✭✶✳✸✳✸✮

a
❧➔ ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ tr➯♥

L2 (a, b) ✈➻ ù♥❣ ♠é✐ v ∈ L2 (a, b) t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✭✶✳✸✳✸✮

❝â ♠ët ❣✐→ trà ①→❝ ✤à♥❤✳

Soá hóa bởi trung tâm học liệu

/>

✷✵

❚❛ ♥â✐ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠

F (v)

t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉✿
∀p, q ∈ R u, v ∈ V

F (pu + qv) = pF (u) + qF (v) ,

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✷✳

✭✶✳✸✳✹✮

P❤✐➳♠ ❤➔♠ ✭✶✳✸✳✶✮ ✈➔ ✭✶✳✸✳✷✮ ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

P❤✐➳♠ ❤➔♠ ✭✶✳✸✳✸✮ ❦❤æ♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
❚❛ ♥â✐ ♣❤✐➳♠ t t
tỗ t số ữỡ

K

F (v) tử ✭ ❤❛② ❜à ❝❤➦♥✮ tr➯♥ V

s❛♦ ❝❤♦✿

|F (v)| ≤ K v

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✸✳

♥➳✉

V

,

∀v ∈ V

✭✶✳✸✳✺✮

P❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭✶✳✸✳✷✮ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥

L2 (a, b) ✈➻ t❤❡♦

❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛rt t❛ ❝â✿

b

b

f (x) v (x) dx ≤
a

b

2

[f (x)] dx
a

[v (x)]2 dx

a

❉♦ ✤â✿

b

f (x) v (x) dx ≤ K v
a

L2 (a,b) , K

= f

L2 (a,b)

✭✶✳✸✳✻✮

✶✳✸✳✻✳✷ ❉↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥

α(u, v) ❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ V ♥➳✉ ♥â ❧➔ ♠ët →♥❤
①↕ tứ V ìV tợ R tự ự ợ ộ ❝➦♣ (u, v) ∈ V ×V ❝â ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤
♠ët số tỹ ỵ (u, v) s ợ ♠å✐ u, v, w ∈ V ✈➔ k, h ∈ R
❚❛ ♥â✐

t❛ ✤➲✉ ❝â✿

α (ku + hw, v) = kα (u, v) + hα (w, v)

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✹✳

α (u, kv + hw) = kα (u, v) + hα (u, w)

✭✶✳✸✳✼✮

b

u (x) v (x) dx u, v ∈ W01 (a, b)

β (u, v) =

✭✶✳✸✳✽✮

a

V = W01 (a, b)✳
α(u, v) ✤è✐ ①ù♥❣ tr➯♥ V

❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ tr➯♥
❚❛ ♥â✐ ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥

α (u, v) = α (v, u)

Số hóa bởi trung tâm học liệu

♥➳✉✿

∀u, v ∈ V

/>
✭✶✳✸✳✾✮


✷✶

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✺✳
V =

❘ã r➔♥❣ ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥

β(u, v)

ð ✭✶✳✸✳✽✮ ✤è✐ ①ù♥❣ tr➯♥

W01 (a, b)✳

❚❛ ♥â✐ ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥
t↕✐ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣

M

α(u, v) ❧✐➯♥ tư❝ ✭ ❤❛② ❜à ❝❤➦♥✮ tr➯♥ V

s

| (u, v)| M u

ử

tỗ

v

V

u, v ∈ V

V

✭✶✳✸✳✶✵✮

⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛rt ✈➔♦ t➼❝❤ ♣❤➙♥

✭✶✳✸✳✽✮ t❛ s✉② r❛✿

b

b

u (x) v (x) dx ≤

b

2

[u (x)] dx
a

a

≤ u

[v (x)]2 dx

a

W01 (a,b)

v

W01 (a,b)

❉♦ ✤â✿

|β (u, v)| ≤ u

v

W01 (a,b)

∀u, v ∈ W01 (a, b)

W01 (a,b)

✭✶✳✸✳✶✶✮

β(u, v) ð ✭✶✳✸✳✽✮ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ W01 (a, b)✳
t✉②➳♥ α(u, v) ❝â t V t tỗ t

s t
♥â✐ ❞↕♥❣ s♦♥❣
❞÷ì♥❣

γ

sè

s❛♦ ❝❤♦✿

❱➼ ❞ư ✶✳✸✳✼✳

α (v, v) ≥ γ v

2
V

,

∀v ∈ V

✭✶✳✸✳✶✷✮

❚ø ✭✶✳✸✳✽✮ t❛ s✉② r❛✿

b

β (v, v) =

2

2
L2 (a,b)

[v (x)] dx = v
a

▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻

v ∈ W01 (a, b)

t❤ä❛ ♠➣♥

v(a) = 0

x

v (x) = v (a) +

✭✶✳✸✳✶✸✮

♥➯♥✿

x

v (t) dt =
a

v (t) dt
a

❉♦ ✤â✿

x

|v (x)| =

x

v (t) dt ≤
a
b

12 dt

≤
a

=

|v (t)| dt ≤

a

b

√

b

[v (t)]2 dt

a
b

b−a

2

[v (t)] dt =
a

Số hóa bởi trung tâm học liệu

|v (t)| dt
a

√

b−a v

L2 (a,b)

/>

✷✷

❈❤♦ ♥➯♥✿

b

2
L2 (a,b)

[v (x)]2 dx ≤ (b − a)2 v

a

✭✶✳✸✳✶✹✮

❑➳t ủ ợ t s r tỗ t sè ❞÷ì♥❣

b

b

2

[v (x)] dx ≥ c

β (v, v) =
a

c ✤➸ ❝â✿

2

[v (x)] + [v (x)]2 dx

a

♥❣❤➽❛ ❧➔✿

β (v, v) ≥ c v
❱➟② ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥

β(u, v)

2
W01 (a,b)

ð ✭✶✳✸✳✽✮ ❝â t➼♥❤

✭✶✳✸✳✶✺✮

W01 (a, b)

t

ỵ s
t

F (v)

tr ổ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

V✳

◆➳✉ F (v) t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ V t tỗ t ởt tỷ
t w V s❛♦ ❝❤♦✿
F (v) = (w, v)V , ∀v ∈ V

♥❣❤➽❛ ❧➔ F (v) ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ð ❞↕♥❣ ởt t ổ ữợ

t tr ổ ❍✐❧❜❡rt
✶✳✸✳✼✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ②➳✉

❳➨t ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
❈❤♦
❈❤♦

V✳

α(u, v) ❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ tr➯♥ V ✳
L(v) ❧➔ ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ V ✳

❳➨t ❜➔✐ t♦→♥✿

❚➻♠ u ∈ V t❤ä❛ ♠➣♥✿
α(u, v) = L(v), ∀v ∈ V
❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❣å✐ ❧➔

✭✶✳✸✳✶✻✮

❜➔✐ t♦→♥ ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt V ✳

✶✳✸✳✼✳✷ ỹ tỗ t ừ t
ỵ ◆➳✉ ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ α(u, v) ✤è✐ ①ù♥❣✱ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ V
✈➔ V ✲ ❡❧✐♣t✐❝ ✈➔ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ L(v) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ V t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥
✭✶✳✸✳✶✻✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✳
Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

✷✸

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

α(u, v)

❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱ ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➯♥

✤è✐ ①ù♥❣ ✈➔

✲ ❡❧✐♣t✐❝ ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ①❡♠ ♥â ❧➔ ♠ët t➼❝❤ ổ ữợ ợ tr

V

V

V

ợ t ổ ữợ ợ tr t ởt ổ rt ợ ỵ



V

ợ

u
V



V



(u, u), ∀α ∈ V

=

✭✶✳✸✳✶✼✮

❧➔ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝â ❝ị♥❣ t➟♣ ♥➲♥ ❧➔ ❝→❝

V✳
α(u, v)

♣❤➛♥ tû ❝õ❛
❱➻ ❞↕♥❣

❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥

√

γ u

V

V

♥ú❛ ♥➯♥ t❤❡♦ ✭✶✳✸✳✶✵✮✱ ✭✶✳✸✳✶✷✮ t❛ ❝â✿

≤ u

α

≤

√
M u

♥❣❤➽❛ ợ tữỡ ữỡ ợ ụ ừ
ớ ✈➻

K

L(v)

❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥

V✱

✭✶✳✸✳✶✽✮

V

V✳

♥➯♥ t❤❡♦ ✭✶✳✸✳✺✮ t❛ ❝â ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣

✤➸ ❝â✿

|L (v)| ≤ K v

✭✶✳✸✳✶✾✮

V

❑➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ✭✶✳✸✳✶✽✮ t❛ s✉② r❛✿

K
|L (v)| ≤ √ v
γ
♥❣❤➽❛ ❧➔

L(v)

❝ơ♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥

Vα ✳

❱➟② t ỵ s t tỗ t

u0 V

L (v) = (u0 , v) ,
tự tỗ t

u0 V

u0

✤➸✿

∀v ∈ Vα

t❤ä❛ ♠➣♥✿

α (u0 , v) = L (v) ,
❱➟②

✭✶✳✸✳✷✵✮

α

∀v ∈ V

✭✶✳✸✳✷✶✮

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✸✳✶✻✮

▼✉è♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ✤â ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t t❛ ❣✐↔ sû ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✸✳✶✻✮
❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠

u1

✈➔

u2 ∈ V ✿

α (u1 , v) = L (v) , α (u2 , v) = L (v) ,

∀v ∈ V

❚❛ s✉② r❛✿

α (u1 − u2 , v) = 0,

Soá hóa bởi trung tâm học liệu

∀v ∈ V

/>

✷✹

▲➜②

v = u1 − u2

t❛ ❝â✿

α (u1 − u2 , u1 − u2 ) = 0 ⇒ u1 − u2

α

=0

❑➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ✭✶✳✸✳✶✽✮ t❛ s✉② r❛✿

u1 − u2
tù❝ ❧➔

u1 = u2

tr♦♥❣

V

=0

V✳

✶✳✸✳✽ ❚➼♥❤ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ②➳✉
✶✳✸✳✽✳✶ ▼ð ✤➛✉

❈→❝❤ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✸✳✶✻✮ ❧➔ t❤❛② ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

V

❜➡♥❣ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉

VN

❝õ❛ ♥â✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤â t❛

s➩ t❤❛② ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ✈æ sè ❝❤✐➲✉ ❜➡♥❣ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✱ tù❝
❧➔ ❜➡♥❣ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ✤↕✐ sè✳ ◆➳✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥
♥â ✑ ①➜♣ ①➾✑ ✤÷đ❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥

V

VN

❝❤å♥ ❦❤➨♦ s❛♦ ❝❤♦

t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤↕✐ sè ✈ø❛ ♥â✐

✑①➜♣ ①➾✑ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✸✳✶✻✮✳

✶✳✸✳✽✳✷ ❈→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ V

N

❚❛ ①➙② ❞ü♥❣ ◆ ♣❤➛♥ tû

ϕi , i = 1, 2, ..., N

tở

V

ở t

t rỗ

VN = span {1 , ϕ2 , ..., ϕN }
❱➻
❧➔

N

ϕi ∈ V

♥➯♥

❝❤✐➲✉✮ ❝õ❛

❈→❝ ♣❤➛♥ tû

VN ⊂ V

✈➔ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ✭ ❝ö t❤➸

V ✱ ♥❤➟♥ ❤å ❝→❝ ϕi ❧➔♠ ♠ët ❝ì sð✳
ϕi ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝ì sð ❤❛② ❝→❝

♣❤➛♥ tû tå❛ ✤ë✳

✶✳✸✳✽✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ✤↕✐ sè
❙❛✉ ❦❤✐ ❝â

VN

t❛ t❤❛② t❤➳ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✸✳✶✻✮ tr♦♥❣

✤â tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

VN ✳

V

❜ð✐ ❝ò♥❣ ❜➔✐ t♦→♥

✣â ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥✿

❚➻♠ wN ∈ VN t❤ä❛ ♠➣♥✿

α (wN , v) = L (v) , ∀v ∈ VN
◆❣❤✐➺♠

wN

❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✸✳✷✷✮ t➻♠ tr♦♥❣

VN

✭✶✳✸✳✷✷✮
♥➯♥ ❝â ❞↕♥❣✿

N

wN =

cj ϕj
j=1

Soá hóa bởi trung tâm học liệu

/>
✭✶✳✸✳✷✸✮